1. APLICAR DERIVADAS EN EL CÁLCULO DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

2. APLICAR DERIVADAS EN EL CÁLCULO DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
DE UN OBJETO QUE SE MUEVE EN LÍNEA RECTA
Una función f es derivable en a si f'(a)
existe. Es derivable en un intervalo
abierto (a, b) (o [a,) o (-,a), (-,))
si es derivable en todo número del
intervalo.
Velocidad
Sea s =f(t) la función posición de un
objeto que se mueve a lo largo de una
recta numérica. L a velocidad
(instantánea) del objeto en el instante t
esta dada por:
V(t)= ds /dt = f ´(t)
La velocidad es positiva o negativa,
si el objeto se desplaza en el sentido
positivo o negativo de la recta numérica.
Si la velocidad es cero el objeto está en
reposo.
Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= 3t2
-
8t+7
Donde s se mide en centímetros y t en segundos
Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5
Solución
Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2
-8t+7) / dt= 6t-8)
Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1)
y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)
Aceleración

3. Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una
recta numérica. La aceleración (instantánea) del objeto en el instante t, está dada
por:
a(t)= dv /dt =f"
(t)
Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3
-
3t+1
Donde s se mide en metros y t en segundos.
a. ¿En qué instante la aceleración es cero?
b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero.
Solución
Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2
-3 y a(t)= dv /dt=6t
a. a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el
instante t = 0
b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg
DERIVADA IMPLICITA
No todas las curvas se
pueden describir como una
sola función. Por ejemplo, la
curva que presenta la
ecuación: x2
+y2
=16 es una
circunferencia y no
representa una función.
Sin embargo, la
semicircunferencia superior
sí representa una función; y
la semicircunferencia
inferior también la representa. Podemos obtener dos funciones diferentes a partir
de esta circunferencia. Éstas se llaman funciones implícitas.
La circunferencia representada en el dibujo tiene centro en (0,0), y radio 4 su
ecuación es entonces:
x2
+ y2
= 16

4. Esto quiere decir que un punto (x,y) está en la circunferencia, si y sólo si,
satisface la ecuación. Por ejemplo: (0,-4) pertenece a la circunferencia porque:
02
+ (-4)2
= 0 + 16 = 16
Efectivamente, estas funciones se pueden obtener despejando y de la
ecuación:
x2
+ y2
= 16 implica y2
= 16 - x2
Sin embargo, no siempre es factible despejar funciones a partir de una
ecuación dada, aunque sepamos que hay dos o más funciones implícitas definidas.
Y, aún así, podríamos estar interesados en, por ejemplo, determinar la ecuación de
la recta tangente a la curva en algunos de sus puntos.
Resulta que es posible derivar una función implícita aun cuando no podamos
despejarla de la ecuación que la define. Basta sencillamente con derivar ambos
miembros de la ecuación que la define, teniendo en cuenta, eso sí, que una de las
variables es función de la otra. El siguiente ejemplo ilustra el método llamado
derivación implícita.
Ejemplo 1
Cálculo de la Derivada en un Punto de la Circunferencia
Considere que y es una función de x definida por la siguiente ecuación: x2
+ y2
= 16
Determinar y' y encontrar su valor en el punto (3,7). Solución Vamos a derivar
a ambos lados de la ecuación, pero teniendo el cuidado de recordar que y es
función de x: x2
+ y2
=16
(x2
+y2
)' = (16)' (vamos a derivar ambos miembros)
2x+2y·y'= 0 aplicamos la regla ([f(x)]n
)'=n[f(x)]n-1
·f'(x))
2y·y'=-2x y'=-2x/2y y'=-x/y
Ahora, en el punto (3,7) tenemos x=3, y=7. Por lo tanto, aquí se tiene y'=-
3/7.
Ejemplo 2

5. Cálculo de las Rectas Tangente y Normal en una Hipérbola
Determine la
ecuación de la recta
tangente y de la recta
normal a la curva x2
-y2
=
9 en el punto (5,4). Esta
curva se llama hipérbola.
Solución: Por derivación
implícita: x2
-y2
= 9
(x2
-y2
)'= (9)' 2x-2y·y'=
0 y'= x/y
La pendiente m de la
recta tangente es y'
evaluada en x = 5, y =
4, entonces:
m = 5/4 y b = 4-5/4 · 5 = 4-25/4 =- 9/4.
La ecuación de la recta tangente es y=5/4 · x-9/4.
Ahora, la pendiente m0 de la normal es m0=-1/m, es decir m0=-1/(5/4)=-4/5 y
la intersección sería:
b0=4-(-4/5)(5)=4+4=8.
De manera que la ecuación de la normal es y=-4/5·x+8}
Cálculo de la Derivada en una Ecuación
Determinar y' si y está dada implícitamente por la ecuación 2xy2
+y3
=x3
+2.
Solución: Procedemos por derivación implícita derivando ambos miembros de la
ecuación
2xy2
+ y3
= x3
+2
(2xy2
+y3
)' = (x3
+2)',
(2xy2
)' + (y3
)' = (x3
)' + (2)'
(2x)'y2
+ (2x)(y2
)' + 3y2
· y' = 3x2

6. 2y2
+ (2x)(2y · y') + 3y2
· y' = 3x2
2y2
+ (4xy+3y2
)y' = 3x2
(4xy+3y2
)y' = 3x2
- 2y2
y' = 3x2
- 2y2
/(4xy + 3y2
)
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciónes f",f"´,f iv
,........... ,
fn
Tal que:
f"(x)=[f´(x)]´
f´´´(x)=[f"(x)]´
f iv
(x)=[f´´´(x)]´
.
.
.
f n
(x)=Dx [f n-1
(x)]´ .
FUNCIONES: CRECIENTES Y DECRECIENTES: DEFINICIÓN
i. Se dice que una
función f definida en un
intervalo es creciente, si
sólo si, f(x1) < f(x2),
siempre que x1< x2
donde x1 y x2 son dos
números cualesquiera en
el intervalo.
ii. Se dice que una
función f definida en un
intervalo es decreciente
en ese intervalo, si y
sólo si, f(x1) > f(x2),
siempre que x1< x2,
donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.

7. Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento
y decrecimiento:
1. f(x)=3x+8
Solución f´(x)=3
Se observa que f´(x)=3>0 para todo x en R. En consecuencia, la función es
creciente en R.
2. f(x)=x2
+2x-3
Solución: f´(x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que
f´(x)=0, donde la función f no es creciente ni decreciente.
2x+2=0
x = -1. Es decir para x = -1 esta función no es creciente ni decreciente.
Estudiaremos el comportamiento de la derivada antes y después de x=-
1 f´(x)=2(x+1).
Intervalo F´(X) La Función es
(- ,1) - Decreciente
(-1,+  ) + Creciente
Definición: Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x = c si existe
un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) > f(x), para toda x en el
intervalo.
Definición: Decimos que la función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe
un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) < f(x), para toda x en el
intervalo.

8. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS
RELATIVOS
Teorema. Sea f una
función continua en el intervalo
cerrado [a,b] y diferenciable en
el intervalo abierto (a,b):
i. Si f´( x)>0 para toda x
en (a,b), entonces f es
creciente en [a,b].
ii. Si f´( x)<0 para toda x
en (a,b), entonces f es
decreciente en [a,b]
Teorema. Prueba de la
Primera Derivada para
Extremos
Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b)
que contiene a c, y supongamos que f´( x) existe en todos los puntos de (a,b)
excepto posiblemente en c:
i. Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que
contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)<0 para todos los
valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto
extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.
ii. Si f´(x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que
contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)>0 para todos los
valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto
extremo izquierdo, entonces f tiene
un valor mínimo relativo en c.
Máximos y Mínimos Absolutos
Definición. Sea c un punto del dominio de
la función f. Diremos que:
i. F(c) >f(x) para toda x en el dominio
de la función.

9. ii. F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la
función.
Teorema del Valor Extremo
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene
máximo mínimo en [a,b]. Es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c)
es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo.
Punto Crítico
Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:
i. f´(c)=0 ii). f´(c) no existe
Ejemplo: Hallar los puntos críticos de la función
Solución
f´(x)=0 si y sólo si 2(x-1)=0 si y sólo si x=1. Además vemos que f´(x) no está
definida en x=0 y en x=2.
Por lo tanto, los puntos críticos de f son 1, 0 y 2.
CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA DERIVADA SEGUNDA:DEFINICIÓN
La gráfica de una
función f es cóncava hacia
arriba en punto (c,f (c))
Si existe f´(c) y un
intervalo abierto (a,b) que
contiene a c, tal que todo
punto de la gráfica, en ese
intervalo, se encuentra por
encima de la tangente a la
curva en el punto indicado.
Definición. La gráfica de
una función f es cóncava

10. hacia abajo en punto (c,f (c))
Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto
de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por debajo de la tangente a la curva
en el punto indicado.
Teorema
Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a,b) entonces:
1. Si f" (x)>0 , x  (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).
2. Si f" (x)<0 ,  x  (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b)
Definición. Un punto (c,f(c)) en donde cambia la concavidad de la gráfica de una
función f, se denomina punto de inflexión de la gráfica de f.
Teorema. Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f y si
existe f"(c), entonces f"(c)=0.
Ejemplo. Determinar las concavidades y
puntos de inflexión de las gráfica de la
función f( x)=x3
+3x2
-3x-3
Solución. Hallaremos aquellos valores de x
en donde f(x)=0 o no existe
f´(x)=3x2
+6x-3; f"(x)=6x+6
f"(x)=6(x+1); hacemos 6x+6=0 (f"(x) existe
para toda x)
luegox= -1.
Estudiaremos las concavidades en los intervalos (- ,-1) y (-1,+  ), con el
signo de f"(x) en cada intervalo.
Si x (- ,-1) f"(x)<0. La función es cóncava hacia abajo.
Si x (-1,+  ) f"(x)<0. La función es cóncava hacia arriba.
En consecuencia el punto (-1,f(-1))=(-1,2) es un punto de inflexión.

11. PROBLEMA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
El 24 de abril de 1990, el
transbordador espacial Discovery
desplegó el telescopio espacial
Hubble. Un modelo para la velocidad
del transbordador durante esta
misión, desde el despegue en t=0
hasta que los cohetes auxiliares de
combustible sólido se desprendieron
en t=126 s. Se expresa mediante:
V(t)=0.0001302t3
- 0.09029t2
+
23.61t - 3.083 (en pies/s). Con este
modelo, estime los valores máximos y
mínimos absolutos de la aceleración
del transbordador entre el despegue y
el desprendimiento de los cohetes
auxiliares.
Solución: Nos piden los valores
extremos, no de la función velocidad que se da, sino de la función aceleración. De
modo que primero debemos derivar para hallar la aceleración:
A(t)=v`(t)= d/dt (0.001302t3
-0.09029t2
+23.61t-3.083) = 0.003906t2
-0.18058t +
23.61
Ahora el método cerrado a la función continua a en el intervalo 0 < t < 126
Su derivada es a`(t)=0.007812t-0.18058
El único número crítico ocurre cuando a`(t)=0
t1=0.18058/0.007812  23.12
Al evaluar a(t) en el número crítico y los
extremos tenemos:
a(0)=23.61 a(t1) 21.52 a(126)  62.87
De modo que la aceleración máxima es
aproximadamente 62.87 pies/s2
y la
aceleración mínima es como de 21.52
pies/s2.

12.  Formas Indeterminadas
Teorema:
Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto
posiblemente en el número a en I, y supongamos que para toda x  a en I, g`(x) 
0. Entonces, si límite cuando x tiende a de f(x) es más o menos infinito y límite
cuando x tiende a "a" de g(x) = más o menos infinito y si límite cuando x tiende a
"a" del cociente de las respectivas derivadas de las funciones existe, entonces el
límite cuando x tiende a "a", también existe y tendrá el mismo valor.
Nota: Esta regla es aplicable a formas 0/0 ó  / .
Aplicación de la regla para determinar el valor de la forma 0 / 0 ó  / :
Se halla la derivada
del numerador para
obtener un nuevo
numerador, se halla la
derivada del
denominador para
obtener un nuevo
denominador. El valor
de esa nueva fracción,
para el valor asignado
de la variable, será el
valor límite de la
primera fracción.