Este documento presenta diferentes tipos de funciones matemáticas y sus gráficas. Define conceptos como función, variable dependiente e independiente. Explica funciones lineales, cuadráticas, polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. También cubre progresiones aritméticas y geométricas. El objetivo es entender el uso de funciones y poder aplicarlas a problemas. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar la representación gráfica de funciones.

1. 1
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO
Licenciatura En Ingeniería De Sistemas De La Información.
Matemáticas.
Funciones y progresiones.
Docente encargado: José Antonio Ferra.
Alumno: José Miguel Montero Hernández.
Juchitán de Zaragoza Oaxaca México
Diciembre 2014

2. 2
Tabla de contenido
Introducción. ................................................................................................................ 3
Funciones y graficas. .................................................................................................. 4
1. Concepto de función. ........................................................................................... 4
2. Tipos de funciones y sus gráficas. ....................................................................... 7
2.1. Función lineal. ................................................................................................ 7
2.2. Función cuadrática. ........................................................................................ 9
2.3. Función polinómica. ..................................................................................... 11
2.4. Función racional........................................................................................... 12
2.5. Función exponencial. ................................................................................... 13
2.6. Función logarítmica. ..................................................................................... 15
Progresiones. ............................................................................................................ 17
1. Progresiones aritméticas. ................................................................................... 17
2. Progresiones geométricas. ................................................................................ 19
Conclusión................................................................................................................. 22
Bibliografía ................................................................................................................ 23
Ejercicios: graficar funciones. .................................................................................... 24
Función lineal. ........................................................................................................ 24
Función cuadrática. ................................................................................................ 27
Polinómicas de grado superior. .............................................................................. 30
Función racional. .................................................................................................... 34
Función exponencial. ............................................................................................. 36
Función logarítmica. ............................................................................................... 38

3. 3
Introducción.
En el presente trabajo, se detallarán las diferentes funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana.
Este trabajo está diseñado para presentar la idea de funciones y sus representaciones, tales como reglas y tablas de datos, incluyendo las nociones matemáticas de variables independientes y dependientes.
Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:
Función Lineal
Función Cuadrática
Función Polinómica
Función Logarítmica
Función Exponencial
Estudiaremos sus características y fórmulas para así poder hacer buen uso de estas, así como también entenderemos que cada una de estas funciones se resuelve de cierta manera, siguiendo un método de resolución, analizaremos el concepto inicial de función, variable dependiente e independiente ya que son de gran importancia a la hora de empezar con funciones.
Cada función tiene una manera particular al momento de ser representada en una gráfica aprenderemos a graficar, conociendo las diferencias entre una función y otra.
El principal objetivo de este trabajo es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios.

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Funciones y graficas.
1. Concepto de función.
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 X --------> x2. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones: X --------> x2 o f(x) = x2. Así, f (3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. Entonces f (3) = 9. De igual modo f (2) = 4, f (4) = 16, f(a) = a2, etc.

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Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Conjunto X
Conjunto Y
Ángela
55
Pedro
88
Manuel
62
Adrián
88
Roberto
90 Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla:
Conjunto X
Conjunto Y
Desarrollo
− 2
− 1
f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1
1
f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
0
3
f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
1
5
f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
2
7
f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
3
9
f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
4
11
f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

6. 6
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. f (x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre imagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la pre imagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Fuentes… (Profesorenlinea)

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2. Tipos de funciones y sus gráficas.
2.1. Función lineal.
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
y = 2x
x
0
1
2
3
4
y = 2x
0
2
4
6
8

8. 8
Pendiente.
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Función identidad.
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Fuentes… (Vitutor)

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2.2. Función cuadrática.
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx + c
Representación gráfica de la parábola.
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)

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Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
xv = − (−4) / 2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
Ecuación: x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
Fuentes… (vitutor)

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2.3. Función polinómica.
Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Fuentes… (ditutor)

12. 12
2.4. Función racional.
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.
Fuentes… (vitutor)

13. 13
2.5. Función exponencial.
La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
X
Y=2x
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8

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Propiedades de la función exponencial.
Dominio: R.
Recorrido: R +.
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva a ≠ 1 (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a > 1.
Decreciente si a < 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.
Fuentes… (vitutor)

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2.6. Función logarítmica.
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
X
Log
1/8
-3
1/4
-2
1/2
-1
1
0
2
1
4
2
8
3

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Propiedades de las funciones logarítmicas.
Dominio: R +
Recorrido: R
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
Fuentes… (vitutor)

17. 17
Progresiones.
1. Progresiones aritméticas.
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12,...
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d = −5.
Término general de una progresión aritmética.
1. Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
8, 3, -2, -7, -12, ..
an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13
2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
a4= -7 y d= -5
an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

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Interpolación de términos en una progresión aritmética.
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7, -12.
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética.
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 =... = a1 + an
8, 3, -2, -7, -12, ...
3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)
-4 = -4 = -4
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética.
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 8, 3, -2, -7, - 12,... Fuentes… (Vitutor)

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2. Progresiones geométricas.
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48,...
6/3 = 2
12/6 = 2
24/12 = 2
48/24 = 2
r= 2.
Término general de una progresión geométrica.
1. Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn-1
3, 6, 12, 24, 48, ..
an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n
2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak · rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 · rn-4
an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n

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Interpolación de términos en una progresión geométrica.
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24, 48.
Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48,...
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente.
Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

21. 21
Producto de dos términos equidistantes.
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
Suma de términos equidistantes
a3 · an-2 = a2 · an-1 =... = a1 · an
3, 6. 12, 24, 48, ...
48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12
144 = 144 =144
Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica.
Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48,...
Fuentes… (vitutor)

22. 22
Conclusión.
Al término de esta unidad hemos comprendido muchas cosas, sabemos que una función es un conjunto de elementos, llamemos a uno A y a otro B podemos decir que a cada elemento de A se le asigna un solo elemento de B, esta es una relación conocida como depende de.
Existen diferentes tipos de funciones, la primera es la función lineal la cual siempre es una línea recta su tipo de ecuación es del tipo y=mx, la función cuadrática como su nombre lo dice posee términos elevados al cuadrado, su grafica es la parábola, mientras que las funciones polinómicas están compuestas de un polinomio de mayor grado siendo su grafica la hipérbola, entre otras más.
Cada una de estas funciones actúa de diferente manera, y lo podemos observar al momento de desarrollar una, el método para graficar consiste en asignar valores a x para obtener los valores de y, podemos optar por tabular dichos valore, para después localizar las coordenadas y trazar las líneas o curvas de la función a través de la coordenadas obtenidas.
Mientras que las progresiones aritméticas son una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia.
A diferencia de esto las progresiones geométricas son una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija r, llamada razón.
Pienso que este tema es muy importante ya que podemos ponerlo en práctica en muchas áreas de la ciencia, lo cual sería de gran ayuda al momento de resolver cuestiones o plantear problemas.

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Bibliografía
ditutor. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html: http://www.ditutor.com/funciones/funcion_polinomica.html
Profesorenlinea. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de Profesorenlinea: http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Funciones_matematicas.html
vitutor. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de vitutor: http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html
vitutor. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de vitutor: http://www.vitutor.com/fun/2/c_8.html
vitutor. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de vitutor: http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html
vitutor. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de vitutor: http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html
vitutor. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de vitutor: http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc4_contenidos.html
Vitutor. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de Vitutor: http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html
Vitutor. (s.f.). Recuperado el 9 de Diciembre de 2014, de Vitutor: http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc3_Contenidos.html

24. 24
Ejercicios: graficar funciones.
Función lineal.

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26. 26

27. 27
Función cuadrática.

28. 28

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30. 30
Polinómicas de grado superior.

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32. 32

33. 33

34. 34
Función racional.

35. 35

36. 36
Función exponencial.

37. 37

38. 38
Función logarítmica.

39. 39