1. ANALISIS MATEMATICO 3
EXTREMOS DE FUNCIONES DE 2 VARIABLES
ALUMNO – LEONARDO LÓPEZ

2. GENERALIDADES
Una aplicación importante de la derivada de una función de una
variable se relaciona con los valores extremos de una función.
A partir de procedimientos que involucran a la primera y segunda
derivada, se determinan los valores máximos y mínimos relativos
de la función, luego a partir de estos valores, se examina la
posibilidad de que los mismos sean también extremos absolutos
Al extender la teoría a funciones de dos variables, se vera, que el
procedimiento es similar al de una variable, con alguna
complicación adicional.

3. Definición de extremos absolutos de funciones
De dos variables
A)
B)

4. Definición de extremos relativos de funciones
de dos variables
C)
D)

5. En el caso de la función
Se trata de un disco abierto ((0,0);r) para el cual r<5; de la definición “D” la función
tiene un máximo relativo de 5 en el punto donde X=0 y Y=0, de la definición “A”, tam
bien 5 es el máximo absoluto de f

6. La siguiente grafica correspondiente a la función
El dominio de g es el plano xy completo, en este caso según las definiciones, g tiene
un mínimo relativo de 0 en el origen, también 0 es el mínimo absoluto de g, conside
rando un disco abierto ((0,0);r)

7. Condición necesaria para la existencia de extremos
Sea
z = f(x , y) definida para todo punto de un entorno de (X0, Y0).
Se dice que (X0, Y0) es un punto critico de z = f(x , y) si se verifica que
1) fx (X0, Y0) = 0 y fy (X0, Y0) = 0
2) fx (X0, Y0) no existe o fy (X0, Y0) no existe
Ejemplo
Sea Z= f(x,y) = 2x² + y² + 8x – 6y + 20
Hallar los puntos críticos y analizar si son extremos
Zx = 4x+8
Zy= 2y-6
4x+8=0 2y-6=0
X= -2 y=3 punto critico (-2;3)

8. Con X=2 e Y=3, entonces el valor de la función en el mismo es =3
y su grafica es la siguiente
Como f(x , y)>3 V (x ; y) ≠ (-2 ; 3)
Por lo tanto es el minimo de f(x; y) = (-2;3;3)

9. Ahora bien, si tenemos la siguiente función:
Z = f(x , y) = y² - x² cuya grafica es:
Existen las de derivadas parciales ya que:

10. Zx = -2x
Zy = 2y Existen Zx y Zy V (x ; y) Є R²
Donde:
Zx = -2x = 0 X=0
Zy = 2y = 0 Y=0
Sin embargo en (0 ; 0) la función no tiene ni mínimo ni máximo, ya
que en cualquier entorno de centro (0 ; 0) tiene puntos (x ; y) que son
mayores que f(0 ; 0) y tiene puntos que son menores a f(0 ; 0), por lo
tanto no se verifica la definición ni de máximo ni de mínimo, por lo
que no hay extremos.
En cualquier entorno de centro 0 y radio r, la superficie tiene la forma
de una silla de montar y el punto (0 ; 0) recibe el nombre de punto de
silla o punto de ensilladura de la función f.
Sacamos la conclusión que tal como ocurría en funciones de una
variable los puntos críticos no siempre conducen a extremos relativos

11. Si tomamos los puntos del plano XZ donde Y = 0 y X≠0, los valores
de la función son negativos, la grafica de tal situación es
En cambio en los puntos del plano YZ, donde X=0 y Y≠0,
los valores de la función son positivos

12. El criterio básico para determinar extremos relativos de
funciones de dos variables es el de la segunda derivada,
el cual proporciona condiciones que garantizan
el hecho de que una función tiene un extremo relativo en
un punto en donde las primeras derivadas son iguales a
cero
Condición suficiente para la existencia de extremos
De una función de dos variables
Teorema criterio de la segunda derivada

14. El resultado de este determinante es
fxx(a , b) . fyy(a , b) – fyx(a , b).fxy(a , b)
O fxx(a , b) . fyy(a , b) – f²xy(a , b)
La expresión f²xy(a , b), recibe el nombre de hessiano, y se debe al matemático
alemán Hesse, podemos decir, que la condición suficiente para que una
función de 2 variables alcance un extremo relativo en (a , b) es que el
determinante hessiano sea positivo en ese punto

15. Re expresando las condiciones i), ii) y iii)
1) Si h = fxx (a , b) . fyy(a , b) - f²xy(a , b) > 0 y fxx(a, b)>0
entonces f(a , b) tiene un mínimo relativo en (a , b)
2) Si ) Si h = fxx (a , b) . fyy(a , b) - f²xy(a , b) > 0 y fxx(a, b)<0
F(a , b) tiene un máximo relativo en (a , b)
3) f(a , b) tiene un punto de ensilladura en (a , b) si
fxx (a , b) . Fyy(a , b) - f²xy(a , b) < 0
Si esta expresión:
fxx (a , b) . Fyy(a , b) - f²xy(a , b) = 0, no se puede afirmar nada en cuanto a
La existencia de extremos

16. Pasos para calcular extremos relativos
1) se calculan las derivadas parciales de 1er orden y se igualan
a 0, quedan determinados sistemas de ecuaciones que al
resolverlos dan los puntos críticos
2) Se calculan las derivadas parciales 2das, se forma el
hessiano, y se analiza el signo del mismo en cada punto critico
si es positivo hay extremos
3) Se analiza el signo de la derivada parcial 2da fxx en los
puntos seleccionados para determinar que tipo de extremos hay

17. 4) Puede ocurrir que se verifique la condición necesaria que
ambas derivadas parciales en el punto critico no existan, en este
caso se debe estudiar la variación de la función en un entorno
de dicho punto
5) Si el hessiano es igual a 0 se procede como en 4, se analiza
la variación de la función
Ejemplo
Z=f(x , y) = x²-xy+y²+3x-2y+1
fx (x,y) = 2x – y + 3 = 0 La solución del sistema da como punto critico
fy (x,y) = -x+2y-2 = 0 (-4/3 , 1/3)
fxx = 2 fxx (-4/3 , 1/3) = 2 fyx = -1
fyy = 2 fyy (-4/3 , 1/3) = 2 fxy = -1

18. Calculando el hessiano
2 -1
= 3 > 0 hay extremos
-1 2
Como fxx(-4/3 , 1/3) = 2 > 0 la función tiene un mínimo en el
Punto (-4/3 , 1/3)
METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En muchas funciones el calculo de extremos debe realizarse,
teniendo en cuenta restricciones o ligaduras.
Se deben calcular extremos restringidos, en estos casos, se utilizan
en la resolución los multiplicadores de Lagrange

19. Supongase que se quiere calcular los extremos relativos
De una función Z= f(x , y) sujeta a la restricción g(x , y) = 0
Este metodo emplea una función auxiliar de 3 variables
X, Y, λ que se indicaran como:
F(X,Y, λ) = f(x,y) + λg(x,y)
La función Z=f(x,y) debe admitir derivadas parciales
continuas y la función g(x,y), derivadas parciales
continuas no todas nulas.
Condición Necesaria
Fx = 0; Fy = 0; Fλ = 0

20. Condición suficiente
d²f > 0 se tiene un mínimo relativo condicionado
d²f ≠ 0
d²f < 0 se tiene un máximo relativo condicionado
Pasos para calcular los extremos condicionados
1) Definir la función auxiliar F de las tres variables x,y,λ para
la cual F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
2) Considerar el sistema de ecuaciones que se forma al
igualar a 0 las tres primeras derivadas parciales de F

21. Fx (x,y,λ) = 0
Fy (x,y,λ) = 0
Fλ (x,y,λ) = 0
3)Resolver el sistema de ecuaciones del paso 2 para determinar
los puntos críticos de F
4) Entre las primeras dos coordenadas de los puntos críticos
de F, obtenidos en el paso 3, se encuentran los valores de
x e y que proporcionan los extremos relativos deseados

22. Ejemplo
Calcular los extremos de la función f(x,y) = x^2+y^2 con la
restricción g(x,y)= x + 2y -2 = 0
F(x,y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + 2y – 2)
Fx = 2x + λ = 0 x=2/5
Fy = 2y + 2 λ = 0 y=4/5
F λ = (x + 2y +2) = 0 λ =-4/5
Calculando el diferencial segundo
d²f = Fxx.dx^2 + 2.Fxy.dx.dy+Fyy.dy^2

23. Fxx = 2 d²f = 2.dx² + 2.0.dx.dy + 2.dy²
Fyy= 2
Fxy = 0 = 2.dx² + 2.dy² > 0
Luego en el punto P(2/5 ; 4/5) hay un mínimo relativo
condicionado