1. FUNCIONES
Las funciones tienen un papel importante en
la modelación de las situaciones de la vida
real.
Así en las aplicaciones prácticas el valor de
una magnitud suele depender de los valores
que toman otras magnitudes. Por ejemplo, el
tiempo que invierte una persona en
trasladarse desde su casa al trabajo depende
de la distancia que deba recorrer, el salario de
un trabajador depende de su número de años
de estudio, el tiempo de cocción de un
alimento depende de la temperatura del agua
en que está sumergido. Así vemos también
que el área de un circulo está dada por 𝝅𝒓 𝟐
,
para valores diferentes de radio r, se obtienen
distintos valores del área.
O en la ecuación y+x=2, a cada valor de x le
corresponde un valor de y.
2. Se debe tener en cuenta que
no toda correspondencia es
una función. Por ejemplo, la
relación que a cada mes del
año se le asocia su numero de
dias no es una función ya que
la variable mes no es numérica
y además a febrero se le puede
asociar dos valores,
dependiendo si el año es
bisiesto o no.
3. Representación de funciones
Una función se puede expresar mediante un texto, mediante una
formula algebraica, por una tabla de valores o a traves de un
grafico.
Representación mediante un texto
Es una descripción escrita en la que se indica de manera
cuantitativa como se relacionan dos cantidades.
Por ejemplo, la expresión el salario de un obrero es 15 dólares
diarios define una función que relaciona el numero de días
trabajados y el salario percibido.
4. Representación algebraica
Una función se puede representar algebraicamente si las magnitudes estan
relacionadas entre si por una formula. Dicha formula contiene las magnitudes y las
operaciones aritmeticas que se deben realizar para obtener el resultado: sumas,
restas, productos, divisiones, logaritmos, potencias etc.
Para expresar algebraicamente una función debe escribir la regla de
correspondencia en la forma
y =f(x)
Que se lee y en funcion de x
A x se le denomina la variable independiente mientras que a y se le denomina
variable dependiente.
5. Ejemplo
La expresión el salario de un obrero es de 15 dólares diarios se puede representar
mediante la formula
Y=15x
Donde x es el numero de dias de trabajo y y es la cantidad de dinero que el obrero
recibirá por trabajar los x días.
Esta función también se puede representar asi:
F:x ---> 15 x
La expresión del area del circulo es:
𝐴 = 𝜋𝑟2
6. Las ventajas de esta forma de representar estan dadas por su brevedad y por
la posibilidad de calcular valores de la funcion para cualquier valor de la
variable en el dominio de definición; por ejemplo:
Si el obrero trabajo 10 dias entonces recibirá 15x10= 150 dólares.
Si un circulo tiene radio igual a 2m, su area es 𝐴 = 𝜋(2𝑚)2
= 12,6𝑚2
.
Una desventaja de la representación algebraica es que no se visualiza el
comportamiento de la función con respecto de la variable independiente.
7. Representacion tabular
Esta manera de representar una función consiste en
elaborar una tabla en la que se escribe una pequena
cantidad de valores de la variable independiente y de
la función.
La representación tabular se utiliza cuando se
recolectan datos empiricos, en las ciencias naturales y
en ingeniería.
Por ejemplo, una representación tabular de la función
que relaciona el salario de un obrero y el numero de
dias de trabajo se ilustra en la siguiente tabla:
x(dias) 1 2 13 15 29
y(dolares) 15 30 195 225 435
8. Representación grafica
En fisica , medicina, economia y otras ciencias, las funciones se representan
generalmente en forma grafica y en muchos casos es esta la unica
posibilidad de definirlos.
El grafico de una funcion es el conjunto de todos los puntos (x,y) del plano
cartesiano que satisfacen a una ecuacion y=f(x).
La ventaja de la representación grafica es que se puede visualizar la
informacion sobre la funcion y es posible analizar directamente las
caracterisiticas de su variacion. Asi mismo no todo conjunto de puntos
representado en el plano es una funcion y esto graficamente permite
determinar si es o no una funcion.
9. Para determinar si un grafico representa a una
funcion se emplea el siguiente criterio:
Si en el grafico la linea recta corta en un solo
punto a la linea que representa la interaccion es
una funcion, si la corta en mas de un punto no lo
es.
10. Veamos un ejemplo de funcion en trozos o segmentos
Los valores a cancelar en un parqueadero pueden darse de la siguiente
manera:
En este caso no se puede dar la expresion algebraica de la funcion en
forma global, pero si distintas expresiones en dependencia del tiempo
empleado.
Cuando se define una funcion con expresiones parciales y se especifica el
intervalo de validez de cada una de ellas estamos definiendo una funcion
a trozos.
La funcion que nos da el valor a cancelar en el parqueadero es
Tiempo Valor $
0-1h 0,5
1-2h 1,0
2-4h 2,0
4-8h 4,0
8-24h 10,0
0,5 si 0<x<1h
1,0 si 1<x<2h
2,0 si 2<x<4h
4,0 si 4<x<8h
10,0 si 8<x<24h
11. Aunque generalmente se usa f para denominar una funcion
y x se emplea para indicar la variable independiente se
pueden emplear otras letras.
Por ejemplo, las siguientes funciones asignan a cada numero
su cuadrado:
f(t)= 𝑡2, f(y)= 𝑦2, g(s)= 𝑠2, q= 𝑟2.
12. FUNCIONES Y CURVAS PLANAS
Generalidades
Dado un conjunto E de números reales, asociemos a cada punto x de E un nuevo
número real mediante un criterio cualquiera, con tal de que sea preciso.
Por ej., si E es todo el eje real, podriamos asociar a todo punto x al numero x2; si E es
el intervalo x>0, podriamos asociar a todo punto x el num log x.
Se dice entonces que se ha construido, o definido , una función (o sea una
correspondencia) sobre el conjunto E, y dicho conjunto E toma el nombre de dominio
de definición de la función, o simplemente dominio de la función.
Los valores asociados a los distintos puntos de E se llaman valores de la función y
constituyen todos ellos un nuevo conjunto de numeros reales, que sera llamado
codominio de la funcion(recorrido), y se representa con un simbolo del tipo f(E) ( o
tambien g ( E), etc); el valor de la función asociado a un punto generico x de E se
representa con el simbolo f(x) ( o bien g (x), etc.).
EJEMPLO Si E es el intervalo (-∞, ∞) y f(x)= x2, entonces el conjunto de valores f(E ) es
el intervalo (O, ∞). Simbolicamente escribiremos
f (-∞, ∞)= (O, ∞). Si en cambio E=[2,3] y f(x)= x2, resulta f([2,3])=[4,9].
13. Para indicar la función ( osea, la correspondencia entre E y f(E ), se usa el
mismo símbolo f( x) ( si bien seria mas correcto indicar con f la funcion y
con f( x) el valor que toma la funcion en correspondencia al punto x).
A menudo se pone y=f( x) y se dice que y es función de x, para dar a
entender que el valor de y depende del valor de x. Por esta razón se dice
tambien que x es la variable independiente, o argumento de la función,
mientra que y es la variable dependiente o función.
Una función y =f (x) puede ser representada gráficamente mediante un
sistema de ejes cartesianos x y. Sobre el eje x se marcan los puntos de E y
sobre el eje y se marcan los puntos f(E).
14. Las paralelas a los ejes , trazadas por dos puntos correspondientes x y f(x),
se intersecan en un punto O, de coordenadas x y = f(x) ( recordemos que
x y se llaman respectivamente abscisa y ordenada de P).
Queda asi determinado un conjunto de puntos P del plano xy, llamado
gráfica de la función, que en general será un conjunto de puntos
desparramados sobre el plano xy, pero que en muchos casos que
interesan en las aplicaciones está constituido por una o mas curvas, en el
sentido intuitivo de la palabra.
Llamamos la atención sobre el hecho que ademas de estar representados
por los correspondientes puntos del codominio f( E) son las ordenadas
de los distintos puntos P de la grafica, y por lo tanto pueden interpretarse
tambien como las elevaciones de los puntos P sobre el eje x ( positivas
cuando la grafica se encuentra arriba del eje x, negativas cuando la grafica
se encuentra debajo del eje x, y nulas cuando la grafica corta el eje x).
15. Una curva cualquiera del plano xy no podrá, en general, ser
considerada como gráfica de una función f(x).
Es necesario que las paralelas al eje y no la corten en mas de
un punto, ya que si, por ejemplo en correspondencia a un
valor de x la paralela al eje y cortara la curva en dos o mas
puntos, el valor f(x) no estaria univocamente determinado.
Con la palabra función sobreentendemos función que toma
un solo valor para cada punto de su dominio. La
correspondencia entre E y f(E) debe ser, univoca.
.
16. Una función del tipo f(x) = a, que asigna a todo x de E un mismo
valor a, se llama función constante; se dice que la función es
constante en E. En particular la función f(x)= 0 es una función
costante que asigna a todo x de E el valor de 0; para subrayar un
hecho se escribe también f(x) =0 y se dice que la función es
identicamente nula en E( osea toma el valor 0 para todo x de E).
Algunas propiedades del codominio f(E) son consideradas como
propiedades de la función. Por ej, si el codominio tiene máximo,
se dice que la función tiene máximo; si el codominio es acotado,
se dice que la función es acotada.
Decir entonces que por ejemplo una función f(x) es acotada en E,
significa que existe un numero K>0 tal que para todo x de E
resulta If(x)l <K.
17. Si una f(x) esta asignada mediante un conjunto de operaciones que hay que
efectuar con la variable independiente x, sin especificar el dominio de
definicion, se sobreentiende que este es el mas amplio posible, es decir, la
totalidad de los numeros x para los cuales es posible efectuar las operaciones
indicadas.
Por ejemplo si se habla de la función V x (raiz cuadrada de x ) sin especificar
el dominio se sobreentiende x >0, osea el dominio es el intervalo [0, ∞]
porque solo para x >0 se puede calcular raiz de x.
La función 1/x esta definida para x no es igual a 0, es decir su dominio de
definicion está constituido por los dos intervalos (-∞,0), (0, ∞); debe ser x no
es igual a 0 porque no se puede dividir para 0: los denominadores deben
sobrentenderse siempre no es igual a 0.
Cualquier polinomio en x ( en particular una constante) define una función
en todo el eje real, se habla por ejemplo de la funcion x2, sobreentendiendo
la correspondencia x -> x2 osea la funcion f tal que f(x)=x2.
Para indicar que x puede tomar cualquier valor real, se escribe
-∞< x < ∞
18. Evaluacion de funciones
El proceso de evaluacion de una funcion consiste en la sustitucion
del argumento de la funcion por un valor numerico o una
expresion algebraica y la simplificacion de los terminos resultantes
para hallar una expresion final reducida.
Ejemplo. Dada la funcion
f(x)=-𝑥2
+ 4x + 1, hallar a) f 2 ; b)f t − 1 ; c)f 𝑥 ); d f(2 −
5)
a) Reemplazando x por 2 en f(x)=-𝑥2
+ 4x + 1 se obtiene
f(2)=-22 + 4(2) + 1 =5
19. b)Reemplazando x por (t-1)
en f(t-1)=-(𝑡 − 1)2+4(t − 1) + 1 se obtiene
f(t-1)=-(𝑡2−2𝑡 + 1) + 4t − 4 + 1
=-𝑡2 + 6𝑡 −4
Reemplazando x por 𝑥 en f(x)=-𝑥2 + 4x + 1 se obtiene
f( 𝑥)=-( 𝑥)2
+4( 𝑥) + 1
=-x+ 4( 𝑥) + 1
a) Reemplazando x por 2 5 en lugar de x, da:
f(2- 5)= -(2 5)2 + 4(2 − 5) + 1 =
= -9+4 5 + 8 − 4 5) + 1
20. Dominio y recorrido de una funcion
Existen funciones que no estan definidas para todos los
valores de sus variables; por ejemplo, el valor del salario de un
obrero no esta definido cuando el tiempo toma valores
negativos.
Definicion de dominio de una funcion .- Dada la funcion f:E→F,
el dominio de f es el conjunto de todos los valores que puede
tomar la variable independiente.
El dominio de una funcion f se denota por Dom(f).
Para determinar el dominio de una funcion se debe tener en
cuenta las siguientes reglas.
21. Las expresiones polinomicas estan definidas para
todos los numeros reales.
Por ejemplo si f(x)=𝑥3
-𝑥2
+7, Dom(f)=R.
Las expresiones que contienen la variable
independiente en el denominador no estan
definidas cuando el denominador se anula.
Por ejemplo , si la ley de correspondencia es
y=
𝑥
𝑥−2
, siempre se tendra que
x = 2 por lo que Dom f = R/{2}
22. Las raices cuadradas estan definidas solo para
numeros no negativos.
Por ejemplo , si y= 5 + 1 esta funcion tiene
sentido solo si x+1>0, o sea, x>-1.
El dominio es Dom(f)=[1,ꝏ]
23. Ejemplos
1.-La funcion f(x) =
3𝑥
((𝑥−2)(𝑥+5)
denota un numero
real si (x-2)(x+5)=0
Por tanto el dominio de f consta de los numeros
reales excepto x+2 y x=-5.
2.-El dominio de la funcion definida
por y= 1 − 𝑥2 es el intervalo −1,1 .
Puesto que y es un numero real entonces cada
valor de 1-𝑥2
debe ser un numero no negativo; es
decir, 1-𝑥2
>0, lo que significa:
25. Definicion de recorrido El recorrido de una funcion es el
conjunto de todos los valores que toma la variable
dependiente.
Al recorrido tambien se le suele denominar rango o imagen
de la funcion.
El recorrido de una funcion f se denota por R(f)
Para determinar el recorrido de una funcion se debe tener
en cuenta las siguientes reglas:
26. 1.-El valor absoluto de cuaquier numero es no
negativo.
Por ejemplo, si f(x)=-[𝑥2
+7], Ran(f)=[0,ꝏ[.
2.-La raiz cuadrada de cualquier numero positivo
es positiva.
Por ejemplo, si y=
𝑥 + 1, el recorrido es Ran f = [0, ꝏ[.
27. Ejemplos:
1.- La funcion f(x)=𝑥2 solo toma valores positivos, por lo
que Ran h=[0,ꝏ[.
2.- Hallar el recorrido de h (x)=
𝑥2
𝑥2+1
Solucion: como 𝑥2
>0, entonces 𝑥2
+1>0, De manera que
𝑥2
𝑥2+1
>0.
Tambien, 𝑥2 < 𝑥2+1, luego
𝑥2
𝑥2+1
< 1.
Por tanto, 0<
𝑥2
𝑥2+1
< 1; es decir, Rab h=[0,1[.
28. La funcion lineal tiene una ecuacion general que es
F(x)=ax+b
b->R
a->R
F(x)=y
y es la variable dependiente
x es la variable independiente
b es la ordenada al origen(punto del plano cartesiano en
donde se corta con el eje y)
a es el coeficiente de la variable independiente, esta es igual
a la pendiente
29. Dependiendo de su valor la recta va a presentar una
particularidad.
Asi la funcion lineal siempre va a estar representada por una
recta.
Asi si aumentamos le valor de b esto refleja una traslacion del
eje y si aumentamos va a estar cortando al eje y cada vez mas
arriba.
Si modificamos el valor de a la pendiente aumenta es decir se
inclina mas.
a>0 la pendiente es hacia arriba
Cuando a <0 vamos a tener una pendiente hacia abajo.
Cuando x les cero la recta es paralela al eje x.
A esta funcion se la denomina funcion constante.
30. Cuando b es cero es perpendicular al
eje x esta es una funcion constante.
