Derivada Direccional

1. Clase 10 21 de Septiembre
Derivada Direccional
Sea U ≤ Rd un conjunto abierto
Xo E U
f : U → R función escolar .
Sea nerd un
vechrunilavio-OHUI-1.la
derivada direccional de f en Xo en la
dirección de u es :
lim
flxothuenf) = :
¥-4 (xd
h →o
si este límite existe
i
Obs 1 Si U= li = (0,0 , .
-0
, 1,0,
- -
O),
¥-4 (Xo
) = 2ft»
oxi

2. bs 2 Si f es diferenciable en ✗o
Df (a) = Dflxo) -
U .
Ju
si U =
tres + . -
+
ande, {
comb.
lineal
de la base
canónica
¥ ix. =
1¥.
'" -
- -
¥.
""
)
/?
)
dd
=
dnf-fq.lu + - - ' t ad
Yuko)
La misma conclusión vale si como
hipótesis f tiente sus derivados
parciales continuas.

3. Ejemplo Determine Duflxis) si
flx, D= ✗
3-3✗
y +
Llyz
y U es vector unitario de ángulo
V6 . en el punto His) -11,21
Solución Primero determinamos U.
v
. =
( un
% , Senta )
it
/6
1
u = ( cents ,
ten %)
=
( Esta , %)

4. Calculamos los derivados
parciales :
¥
,
His) = 3×2 -
3g
parciales son
¥ ".» = -3×+8 ,
} .
¡¿
ᵈ"
como
U = ¢312,112)
=
FE 11o) +
12 10, 1) } tener en
cuenta .
ni. →
Duflxis) =
TE ¥-1≥g) +
1¥
,
Kid
=
Bz 13×2-3 y)
+1=(-3×+89)
=
↓ (353×2-3 ✗ + (8-353)y )
Finalmente 4
Duf 11,2) =
1-2 ( 353 -3 + ( 8-3 B) 2)
= (13 -
353)/2 . A

5. Interpretación Geométrica
Diet
""
R2
F- 11,2)
↳ . a- curvas
" de nivel
de f
Vector Gradiente
Si las derivadas parciales de f existen
,
el vector
gradiente es
flxo) =
( If (xd
,
. . -
Pjfdlxo) )
0×1
OI si f es diferenciable en Xo
Duflxo) = < Jflxol ,
a>

6. Ejemplo Calcular Tlflqr) ni
flxiy) = senx + EXJ
SI:
¥
,
↳y
) =
cnxtye
"
¥-10,1) = coro + 1 =
2
¥5 His) = ✗ ÉJ
¥510,1) = O
- :
Df/
0,11=(255×10,1),
¥519"
)
=
(2/0) .
µ

7. Ejemplo: Si flxijiz) = ✗ senyz
(a) Determine DFIX, y,z)
(b) Usando la/
,
determine la derivada
direccional de f- en 143,01 en
la dirección de F-
itzj -
K.
Solución a
Tlflxisitl =
(2,1×14471,3*14427%-714121)
=/senyz ,
✗ 2- unlyzl , xyarlyzl)
k
b n el
punto 113,0) .
Pf/ 13,0) =
10,0, 3)
Por otra parte Notación clásica para
¡ = / 1
, 0,0)
K =/0,0,
1)
✓ = ¡ +
Zj -
K o-
j =/91,01
= (1,0/0)+210/1,0) -
(190,1)
= (1,2 ,
-
1)

8. 11Mt =
✓12+22tt =
V6 1=1 .
i. v no es unitario ! !
Pero u =
Yg,,
si lo es
u =
(
fq ,
Era '
Era )
-
'
.
Du f ( 13,0) = Pf /13,0) .
U
= <
10,937,1kg ,
% /
) )
=
-3hr
,
=
-
Pta
µ

9. Maximización de la Derivada Direccional
Si
f- es diferenciable en ✗ c- U
;
entonces podemos considerar
5 =
{ UE Rd : 11h11 = r
}
y la función
S → R
U Dflx) U =
Dfulxl .
Esta función siempre tiene un máximo y un
mínimo
global
El máximo
global se alcanza en
un
≥
tflx.
105-1×11
El minino global se alcanza en
U = _ Jfcx)
m
¥> |
.

10. Ejemplo :
suponga que la
temperatura
en el
punto lxiy ,
2-1 está
dada
por :
TH,y ,
7) =
8-
1 1- ✗
2+212+32-2
•
En
qué dirección aumenta más rápido
°
la temperatura.
en el
punto 11,1, -4
¿
cuál es la razón de incremento makina?
Solución . El gradiente de T es
OT =
¥5 i +
Fuji +3¥ ⇐
160 ✗
=
( 1T ✗2-125+3-2212
i +
t 320 f
( 1T ✗2+42+3-2212
J +
48oz K
-
( 1T ✗2-1292+3-242

11. i. PT = 160
(tyzz
( -
✗ i -
ZYJ -37k
)
En ( 1,1 ,
-
2) el vector
gradiente es :
17TH,
1
,
-
2) =
1¥ (-
i -
zj -16k)
=
§ ( - i -
zj +6k)
: La temperatura aumenta más
rápido en
la dirección del vector
gradiente
PT 11,1,
-
2) =
5/8 / -
i -
2J -16k)
lo del respectivo rector unitario)
" =
↳ ,
=
En
ti -4+64
La razón del incremento máxima es
IIP-111,1,
-
2) D=
¡ t -
I -
25+64=5-8541
≈ 4°C . ☒