11. Ejercicios de Análisis Matemático 11
-1 1
Figura 2: La función f .x/ D sen.1=x/
27. Supongamos que a 0 b. Estudia el comportamiento en cero de las funciones f; g W R ! R
dadas para todo x ¤ 0 por :
f .x/ D arc tg
b
x arc tg
a
x
; g.x/ D xf .x/:
Solución. En este ejercicio (y en los siguientes) debes tener en cuenta que:
lKım
x!1
arc tg x D
2
; lKım
x!C1
arc tg x D
2
;
2
arc tg x
2
Tenemos que:
lKım
x!0
x 0
a
x D C1; lKım
x!0
x 0
b
x D 1; lKım
x!0
x 0
a
x D 1; lKım
x!0
x 0
b
x D C1
Deducimos que:
lKım
x!0
x 0
f .x/ D
2
2 D ; lKım
x!0
x 0
f .x/ D
2 C
2 D
Observa que la función f está acotada:
jf .x/j 6ˇˇˇˇ
arc tg
b
x ˇˇˇˇ
Cˇˇˇˇ
arc tg
b
x ˇˇˇˇ
6
2 C
2 D
Por tanto g.x/ es el producto de un función con límite 0 por una función acotada. Se sigue que
lKım
x!0
g.x/ D 0. Eso es todo lo que podemos decir del comportamiento de f y g en 0. No tiene
sentido considerar su continuidad en 0 porque no están definidas en 0. Si se define f .0/ D y
g.0/ D 0, entonces f tiene una discontinuidad de salto en 0 y es continua por la derecha en 0, y
g es continua en 0.
28. Estudia los límites en C1y en 1de:
a) Una función polinómica.
b) Una función racional.
Solución. a) Sea
P.x/ D c0 C c1x C c2x2 C C cn1xn1 C cnxn
una función polinómica de grado par n 1. Podemos suponer que cn 0. Es fácil probar que
hay un número K 1 tal que para jxj K es:
P.x/
xn
cn
2
0 .1/
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12. Ejercicios de Análisis Matemático 12
Pongamos en lo que sigue ˛ D cn
2 .
Supongamos que n es par. Entonces xnD 0 y, por tanto xnDjxjn para todo x¤0. Deducimos
de (1) que para todo x ¤ 0 es
P.x/ ˛jxjn:
x!1jxjnD lKım
Como lKım
x!C1jxjnDC1, deducimos, por la desigualdad anterior, que lKım
x!1
P.x/D
lKım
x!C1
P.x/ D C1.
Supongamos que n es impar. Entonces para x 0 se tiene que xn 0. De la desigualdad (1)
deducimos que
P.x/ ˛xn .x 0/; P.x/ 6 ˛xn .x 0/:
Como lKım
x!1
xn D 1 y lKım
x!C1
xn D C1, deducimos, por las desigualdades anteriores, que
lKım
x!1
P.x/ D 1, lKım
x!C1
P.x/ D C1.
El caso en que cn 0 se deduce de lo anterior sin más que considerar el polinomio P.x/.
Otra forma, quizás mejor, de obtener estos resultados es como sigue. De la igualdad
P.x/
xn D cn C
cn1
x C
cn2
x2 C C
c1
xn1 C
c0
xn
obtenida dividiendo el polinomio P.x/ por xn, se sigue enseguida que
lKım
x!1
P.x/
xn D lKım
x!C1
P.x/
xn D cn
De aquí se sigue que las funciones P.x/ y cnxn son asintóticamente equivalentes para
x ! 1 y para x ! C1, de donde se deducen de forma inmediata los mismos resultados
antes obtenidos.
b) Supongamos ahora queQ.x/DbmxmCbm1xm1C Cb1xCb0 es otra función polinómica
P.x/
de grado m con bm 0. Para estudiar los límites en ˙1 de la función racional f .x/ D
Q.x/
podemos sustituir P yQ por funciones asintóticamente equivalentes a ellas en ˙1. Por lo antes
visto, tenemos que P.x/ Ï cnxn y Q.x/ Ï bmxm para x ! ˙1, por tanto:
f .x/ D
P.x/
Q.x/
Ï
cnxn
bmxm D
cn
bm
xnm .x ! ˙1/
Deducimos que:
lKım
x!1
P.x/
Q.x/ D
8ˆˆˆˆˆˆ:
C1; n m n m par
1; n m n m impar
cn
; n bm
D m
0; m n
lKım
x!C1
P.x/
Q.x/ D
8ˆˆ:
C1; n m
cn
; n D m
bm
0; m n
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