Funciones de varias variables

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Recopilado por: Lic. Pedro Orlando González Cordero
1.- CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1.a) Una magnitud variable z se denomina función uniforme de dos variables x e y, si
para cada conjunto de valores e éstas (x,y) de campo dado le corresponde le
corresponde un único valor y determinado z. Las variables x e y se llaman argumentos o
variables independientes. La dependencia funcional se escribe:
z = f(x,y); P = f (T,V,n); V = f ( x,y,z)
1.b) Campo de existencia de la función.
Por campo de existencia de la función z = f(x,y), se entiende el conjunto de puntos(x,y)
del plano XOY que determina la función, esto es, una región del plano limitada por por
una o varias curvas. Para una función u = f(x,y,z) el campo de existencia de la fundón es
un cuerpo determinado el espacio OXYZ.
1c) Líneas y Superficies de nivel.
Se le da el nombre de línea de nivel de una función z = f(x,y), a la línea f(x,y) = C del
plano OXY, en cuyos puntos la función toma el mismo valor z = C.
Se llama superficie de nivel de una función de tres argumentos u = f(x,y,z) a aquella
superficie f(x,y,z) = C, en cuyos puntos la función toma un valor constante u = C.
2.- CONTINUIDAD Y DERIVADAS PARCIALES.
CONTINUIDAD EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
2 a) Límite de una Función.
El número A recibe el nombre de límite de la función z = f(x,y), si se cumple.
Es decir la imagen asociada a la función z alrededor o en las cercanías de punto P(a,b)
es el número A.
2 b) Continuidad de una función.
La función z = f(x,y) recibe el nombre de continua en ele punto P(a,b) si:
La función que es continua en todos los puntos del campo de existencia se denomina
continua en el campo.
Las condiciones de continuidad de una función z f(x,y) pueden no cumplirse en puntos
aislados ( puntos de discontinuidad), o puntos que formen una o varias líneas (líneas de
discontinuidad) o figuras geométricas mas complicadas.

DERIVADAS PARCIALES
2 d) Definición.
Si z = f(x,y), y se mantiene “y constante”, obtenemos
Que recibe el nombre de derivada parcial de de la función z con respecto a la variable x.
Si z = f(x,y), y se mantiene “x constante”, obtenemos
Que recibe el nombre de derivada parcial de de la función z con respecto a la variable y.
Cabe destacar, que para hallar las derivadas parciales pueden uilizarse las fórmulas
ordinarias de derivación.
Ejemplos:
Hallar las derivadas parciales de las funciones:
2.1) z = x2
+ y3
-3xy. 2.2) 2.3) .
2.4) z = xy 2.5) z = 2.6) z = ln( x + )
2.7) z = ln[ tg ] 2.8) . 2.9) z = arc tg

3.- DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN
3 a) Incremento total de una función.
Se llama incremento total de una función z = f(x,y) a la diferencia:
∆z = ∆f (x,y) = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x,y)
Se llama incremento total de una función u = f(x,y,z) a la diferencia:
∆u = ∆f (x,y,z) = f(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) – f(x,y,z)
3 b) Diferencial total.
Recibe el nombre de diferencial total de una función z = f(x,y) ó u = f(x,y,z); la parte
principal del incremento total ∆z, lineal respecto a los incrementos de los argumentos
∆x y ∆y .La función tiene diferencial total, cuando sus diferenciales parciales son
continuas. Si la función tiene diferencial total, se llama diferenciable. Las diferenciales
de las variables independientes, por definición, coinciden con sus incrementos, es decir
dx = ∆x y dy = ∆y.
La diferencial total de una función z = f(x,y) se calcula por la fórmula:
dz = ∂z dx + ∂z dy.
∂x ∂y
Análogamente, la diferencial total de una función de tres argumentos u = f(x,y,z) se
calcula por la fórmula:
Du = ∂u dx + ∂u dy + ∂u dz.
∂x ∂y ∂z
Ejemplos:
3.1) Hallar el diferencial total de la función f (x,y) = x2
+ xy - y2
.
3.2) Hallar el diferencial total f(x,y) =
3.3 ) La altura de un cono es h = 30 cm y el radio de ka base R = 10 cm. ¿Cómo varia el
volumen si la altura aumenta 4mm y el radio disminuye 1 mm?. V(h,R) = ⅓πR2
h.
3.4) Un gas ideal esta confinado en un recipiente de 960 cm3 a una temperatura de
40º C. ¿Cuál es el cambio de la presión interna si la temperatura aumenta 0,4 º C y el
volumen se incrementa en 0,02ml.?

4.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS
4 a) Caso e una sola variable independiente.
Si z = f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez,
funciones diferenciables de una variable independiente t:
x = φ(t) y = ψ(t).
la derivada de la función compuesta
z = f [x = φ(t) , y = ψ(t)]
se puede calcular por la fórmula:
dz = ∂z ∂x + ∂z ∂y
dt ∂x ∂t ∂y ∂t
En el caso particular que t coincida con uno de los argumentos, por ejemplo con x, la
derivada “total” de z respecto de x será
dz = ∂z ∂x + ∂z ∂y dz = ∂z + ∂z ∂y
dx ∂x ∂x ∂y ∂x dx ∂x ∂y ∂x
4b) Caso de varias variables independientes.
Si z es una función compuesta de varias variables z = f (x,y), donde
x = φ(u,v) e y = ψ(u,v)
(u y v que son variables independiente; f ,φ,ψ son funciones diferenciables),
Las derivadas parciales de z con respecto a u y v se expresan asi:
∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Ejemplos:
4.1) Hallar , si z = e(3x +2y)
x = cos t y = t2
4.2) Hallar y la derivada total , si z = exy
donde y = φ(x) = .
4.3) Hallar y , si z = f(x,y) x = uv y =
4.4) Hallar y , si z = x2
+ y2
x = r cosθ; y = r senθ
4.5) Hallar y V = P = ρ g h ; T = (inventada)

h (altura) T (temperatura) P(presión) ρ(densidad)
5.- GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL
Recibe el nombre de Gradiente de una función z = f(x,y), un vector , cuyas
proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las correspondientes derivadas parciales
de la función:
Grad z = ∂z i + ∂z j
∂x ∂y
El gradiente de la función en cada punto tiene la dirección de la normal a la
correspondiente línea de nivel de la función.
La dirección del gradiente de la función, en un punto dado, es la dirección de la
velocidad máxima de crecimiento de la función en este punto, es decir, cuando u = grad
z, la derivada ∂z/∂u toma su valor máximo, igual a:
Análogamente se determina el gradiente de una función de tres variables w = f(x,y,z):
Grad w = ∂w i + ∂w j + ∂w k
∂x ∂y ∂z
▼f = ∂f i + ∂f j + ∂f k = fx i + fy j + fz k = grad f
∂x ∂y ∂z
El gradiente de una función de tres variables, en cada punto lleva la dirección de la
normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto.
Ejemplos:
5.1) Hallar el gradiente de la función z = f(x,y) = x2
y
5.2) Hallar el gradiente de z en el punto (2; 1) z = x3
+ y3
-3xy
5.3) Hallar el gradiente de z en el punto (5; 3) z =
5.4) Hallar el gradiente de w en el punto (1; 2; 3) w = xyz
5.5) Hallar la dirección y magnitud del gradiente de w en el punto (2; -2; 1) si

w = x2
+ y2
+ z2
.
5.6) Hallar el gradiente en el punto (1; 0; 2) si w = (x2
ey
+ x3
)
DERIVADA DIRECCIONAL
Se da el nombre de Derivada Direccional de una función z = f(x,y) en una dirección
dada n = PP1 a la expresión:
∂z = lim f( P1) – f( P)
∂n P1P→ 0 P1P
Donde f( P ) y f( P1) son los valores de la función en los puntos P y P1. Si la función z
es diferenciable, se verificará la fórmula:
∂z = ∂z cosα + ∂z senα
∂n ∂x ∂y
Donde α es el ángulo formado por el vector n con el eje OX.
Análogamente se determina la derivada en la dirección dada n, para una función de tres
argumentos u = f(x,y,z). en este caso
∂u = ∂u cosα + ∂u cosβ + ∂u cos γ
∂n ∂x ∂y ∂z
Donde α, β, γ son los ángulos entre la dirección n y los correspondientes ejes
coordenados ( se les conoce como los cosenos directores).
La derivada en una dirección dada caracteriza la velocidad con que varía la función en
dicha dirección.
Ejemplos:
5.7) Hallar la derivada de la función z = 2x2
– 3y2
en el punto P (1;0) en la dirección que
forma con el eje OX un ángulo de 120º.
5.8) Hallar la derivada de la función z = ln(√(x2 + y2 ) ) en el punto (1;1) en la
dirección de la bisectriz del primer cuadrante.
5.9) Hallar la derivada de la función u = x2
-3yz -5 en el punto M(1; 2; -1) en la
dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes de coordenada.
5.10) El punto en que la derivada de una función, en cualquier dirección, es igual a cero,
se llama estacionario de esta función. Hallar los puntos estacionarios de las siguientes
funciones:

5.10.a) z = x2
+ xy + y2
- 4x -2y
5.10.b) z = x3
+ y3
-3xy
5.10.c) z = 2y2
+ z2
–xy –yz +2x
6.- DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES
Supongamos que tenemos definida la función z =f(x,y) en una región D del plano OXY,
y que existen las derivadas parciales fx, fy. Entonces cada una de esas derivadas
parciales es una función con dominio D, y podemos buscar sus derivadas parciales:
fxx = ∂2
f = ∂(fx) fxy = ∂2
f = ∂(fx)
∂x2
∂x ∂y∂x ∂y
fyx = ∂2
f = ∂(fy) fyy = ∂2
f = ∂(fy)
∂x∂y ∂x ∂y2
∂y
Las nuevas derivadas, cuando existen, se llaman derivadas parciales de z =f(x,y) de
segundo orden. Sin embargo, si f, fx, fy, fxy,fyx,fxx, fyy son continuas en D, entonces
las derivadas mixtas son iguales:
fxy = fyx
en consecuencia, hay, en efecto, solo tres (3) derivadas parciales de segundo orden.
Estas definiciones se extienden con naturalidad a las funciones de tres o más variables o
argumentos. Por ejemplo, en una función u = f(x,y,z), tenemos:
tres primeras derivadas parciales fx; fy; fz.
seis segundas derivadas parciales fxx; fyy; fzz; fxy; fxz; fyz
diez terceras derivadas parciales fxxx; fyyy; fzzz; fxxy; fxxz;
fyyz; fxyy; fxzz; fyzz; fxyz
Para subrayar el hecho de que unas variables se consideran como constantes e escriben
cosas como:
(∂2
w / ∂x2
)yz en lugar de fxx(x,y,z) donde w f(x,y,z)
EJEMPLOS:
Hallar las derivadas hasta segundo orden.

6.1) z = f(x,y) = x2
+ y2
+ x cos(xy) 6.2) z = f(x,y) = 2x3
y2
– 3xy2
+ x – 2y
6.3) z = f(x,y) = ex
cos( 2y-3x) 6.4) z = f(x,y) = x2/ (y2 + 1)
En cada caso verifique que fxy = fyx :
6.5) z =f(x,y) = x7
y5
6.6) u = f(x,y,z) = x2
z4
– y3
z2
+ x3
y2
6.7) z = f(x,y) = x ln(x2
– y2
) 6.8) u =f(x,y,z) = x/(x+z)
7.- APLICACIONES:
En muchos problemas físicos se plantea las derivadas parciales de órdenes superiores:
por ejemplo, en las teorías Electromagnéticas, de la Vibración de Cuerpos Sólidos, de la
Conducción del Calor, del Movimiento de Fluidos y de la Termodinámica. En todos
esos casos se expresan leyes fundamentales de la física en la forma de ecuaciones que
relacionen las derivadas parciales de funciones adecuadas.
Ejemplo la ecuación del Calor:
∂u = k2
( ∂2
u + ∂2
u + ∂2
u )
∂t ∂x2
∂y2
∂z2
es la que gobierna la variación de la temperatura, u = f(x,y,z,t),
con la posición (x,y,z) y el tiempo t, en un cuerpo sólido homogéneo; sometido a
algunas variaciones de temperatura del medio ambiente que lo rodea.
También se usan los operadores:
▼x f = fx ▼x▼y f =fxy ▼x
2
f = fxx
▼.▼f = ▼2
f = ∂2
f + ∂2
f + ∂2
f
∂x2
∂y2
∂z2
A esta expresión se le llama Laplaciano de f.
La siguiente ecuación recibe el nombre de “Ecuación de Laplace”
▼2
f = ∂2
f + ∂2
f + ∂2
f =0
∂x2
∂y2
∂z2
La función f(x,y) o f (x,y,z) que satisface la ecuación de Laplace en una región abierta
es armónica.
EJEMPLOS:
En cada uno de los casos siguientes, verifique que f es armónica:
7.9) f(x,y) = x2
–y2
7.10) f(x,y) = x3
– 3xy2
7.11) f(x,y) =xy
7.12) f(x,y) = x4
-6x2
y2
+ y4
7.13) f(x,y,z) = x2
+ y2
-2z2

7.14) f(x,y) = arctg(y/x) 7.15) f(x,y) =ln r r = √(x-a)2
+ (y-b)2
Verifique que cada una de las siguientes funciones es solución de la ecuación de Calor:
7.15) u = e-k2 a2 t
sen ax 7.16) u = e-2 k2 a2 t
cos a(x + y)
7.17) u = e(-ax2 )/ t
/ √ t
7.18) u = 1 e –[ (x-xo)2
+ ( y-yo)2
+ (z-zo)2
] / 4a2
t
( 2a√πt )3
La ecuación ondulatoria, tiene importancia en la teoría electromagnética.
7.19) Verifique que (a) u(x,y) = sen(x - ct) ; (b) u(x,t) = sen(x + ct) y
(c) u(x,t) = Asen( aλt +φ) senλx
satisfacen la ecuación ondulatoria siguiente.
∂2
u = c2
( ∂2
u ) c = constante
∂t2
( ∂x2
)

8.- EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN (MÁX, MÍN Y PUNTOS SINGULARES)
Definición.
Se dice que una función f(x,y) tiene un máximo (o un mínimo) f(a,b) en el punto P
(a,b), si para todos los puntos P´(x,y) diferentes de P, de un entorno suficientemente
pequeño del punto P, se cumple la desigualdad f(a,b) > f(x,y), (o respectivamente
f(a,b) < f(x,y)). El máximo o mínimo de una función recibe también el nombre de
extremo de la misma. Análogamente de determina el extremo de una función de tres o
más variables o argumentos.
Condiciones para la existencia de un extremo.
Los puntos en los que la función diferenciable f(x,y) puede alcanzar un extremo( es
decir los llamados puntos estacionarios), se hallan resolviendo el sistema de ecuaciones:
fx(x,y) = ∂f = 0 fy(x,y) = ∂f = 0
∂x ∂y
(condiciones necesarias para la existencia del extremo) El sistema de ecuaciones
anterior es equivalente a una ecuación df(x,y) = 0. En el caso general, en el punto
extremo P(a,b) de la función f(x,y), o no existe df(x,y) o bien df(x,y) = 0.
Condiciones Suficientes para la existencia de un extremo.
Sea p(a,) un punto estacionario de la función f(x,y); es decir df(a,b) = 0.
En este caso: a) si d2
f(a,b) < 0, siendo dx2
+ dy2
> 0, f(a,b) es un máximo de f(x,y)
b) si d2
f(a,b) > 0, siendo dx2
+ dy2
< 0, f(a,b) es un mínimo de f(x,y)
c) si d2
f(a,b) cambia de signo f(a,b) no es un punto extremo de f(x,y)
Las condiciones citadas equivalen a lo siguiente:
fx(a,b) = fy(a,b) = 0 A = fxx(a,b), B = fxy(a,b) C = fyy(a,b)
formamos el discriminante:
∆ = AC –B2
Tenemos los casos:
(a) Si ∆ > 0, la función tiene un extremo en el punto P(a,b) y
es máximo si A < 0 (o C <0)
(b) Si ∆ > 0, la función tiene un extremo en el punto P(a,b) y
es mínimo si A > 0 (o C > 0 )
(c) Si ∆ < 0, en el punto P(a,) no existe extremo
(d) Si ∆ = 0 la existencia del extremo en el punto P(a,b) queda indeterminada
De forma análoga se procede para más de tres variable o argumentos.

Ejemplo. Hallar los extremos de z = x3
+ 3xy2
-15x -12y
FÓRMULA DE TAYLOR PARA LAS FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES
Supongamos que la función f(x,y) tiene en un entorno del punto P(a,b) derivadas
parciales continuas hasta el orden (n+1) inclusive. Entonces en este entorno se verifica
la fórmula de Taylor:
f(x,y) = f(a,b) + 1 [ fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b)] + ….
1 / 2! [ fxx(a,b)(x-a)2
+2fxy(a,b)(x-a)(y-b) +fyy(a,b)(y-b)2
] …
1/ n! [ (x-a)∂/ ∂x + (y-b)∂/∂y ]n
f(a,b) + Rn (a,b)
Rn (x,y) =1/ (n+1)! [ (x-a)∂/ ∂x + (y-b)∂/∂y ]n+1
f(a,b) + Rn (a,b)
En el caso particular en que a = b = 0, la fórmula recibe el nombre de fórmula de
Maclaurin.
Ejemplos:
Hallar la fórmula de Taylor hasta 2do orden
8.1) Para la función f(x,y) = yx.
En el entorno del punto (1,1).
8.2) Para la función f(x,y) = e(x+y)
. En el entorno del punto (1.-1)
8.3) para la función f(x,y) = √(1+x+y). En el entorno del punto (0,1)
Hallar por la fórmula de Maclaurin hasta términos de 3er orden
8.3) f(x,y) = ex
seny
8.4) f(x,y) = cos(x) cos(y)
8.6) f(x,y) = ln( 1 + x2
+ y2
)

9.- FUNCIÓN VECTORIAL DE UN ARGUMENTO ESCALAR
Derivada de una función Vectorial de un argumento escalar. (tiempo)
La función vectorial V = V(t) puede determinarse dando las tres funciones escalares
Vx(t), Vy(t), y Vz(t) de sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas:
V = Vx(t) i + Vy(t) j + Vz(t) k
La derivada de la función vectorial V = V(t) con respecto al argumento escalar t es una
nueva función vectorial determinada por la igualdad:
dV = lim V(t +∆t) – V(t) = dVx(t) i + dVy(t) j + dVx(t) k
dt ∆t ∆t dt dt dt
el modulo de la derivada de la función escalar es igual a
|dV/ dt | = √ (dVx/ dt)2
+ (dVy/dt)2
+ (dVz/dt)2
El extremo del radio vector variable r = r(t) describe en ele espacio una curva
r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
que recibe el nombre de hodógrafo del vector r(t)
la derivada dr/dt representa de por sí un vector, tangente al hodógrafo en el punto
correspondiente
|dr /dt | = ds/ dt
Donde “ s “ es la longitud del arco del hodógrafo, tomada desde cierto punto inicial.
Si el parámetro es el tiempo, dr/dt = U es la velocidad del extremo del vector r y
d2
r = dU = W es la aceleración del extremo del vector r
dt2
dt
REGLAS PRINCIPALES PARA LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES
VECTORIALES.
1) d/dt ( V + U + W ) = d/dt(V) + d/dt(U) + d/dt(W)
2) d/dt( mV) = m d/dt(V)
3) d/dt( φV) = dφ/dt V + φ dV/dt donde φ(t) es una función escalar de t
4) d/dt(V U) = dV/dt U + V dU/dt
5) d/dt( V x U) = dV/dt x U + V x dU/dt
6) d/dt ( V[φ(t)] ) = (dV/dφ),( dφ/dt)

7) V . dV/dt = 0 , si | V | = constante.
Ejemplos:
Hallar las derivadas parciales de las funciones:
2.1) z = x2
+ y3
-3xy. 2.2) z = (x-y) / (x+y) 2.3) z = √x2
–y2
.
2.4) z = xy 2.5) z = esen(x/y)
2.6) z = ln( x + √x2
+y2
)
2.7) z = ln[ tg(x/y) ] 2.8) z = (x) / √x2
+y2
2.9) z = arctg(y/x)
Ejemplos:
3.1) Hallar el diferencial total de la función f (x,y) = x2
+ xy - y2
.
3.2) Hallar el diferencial total f(x,y) = √x2
+ y2
3.3 ) La altura de un cono es h = 30 cm y el radio de ka base R = 10 cm. ¿Cómo varia el
volumen si la altura aumenta 4mm y el radio disminuye 1 mm?. V(h,R) = ⅓πR2
h.
3.4) Un gas ideal esta confinado en un recipiente de 960 cm3 a una temperatura de
40º C. ¿Cuál es el cambio de la presión interna si la temperatura aumenta 0,4 º C y el
volumen se incrementa en 0,02ml.?
Ejemplos:
4.1) Hallar dz/ dt, si z = e(3x +2y)
x = cos t y = t2
4.2) Hallar ∂z/∂x y la derivada total dz/dx, si z = exy
donde y = φ(x) = √x.
4.3) Hallar ∂z/∂u y ∂z/∂v, si z = f(x,y) x = uv y = u/v
4.4) Hallar ∂z/∂r y ∂z/∂θ, si z = x2
+ y2
x = r cosθ; y = r senθ
4.5) Hallar ∂V/∂h y ∂V/∂ψ V = (n R2 T)/ P P = ρ g h ; T = ln ψ/ (μ h) (inventada)
h (altura) T (temperatura) P(presión) ρ(densidad)
Ejemplos:
5.1) Hallar el gradiente de la función z = f(x,y) = x2
y
5.2) Hallar el gradiente de z en el punto (2; 1) z = x3
+ y3
-3xy
5.3) Hallar el gradiente de z en el punto (5; 3) z = √(x2
– y2
)
5.4) Hallar el gradiente de w en el punto (1; 2; 3) w = xyz

5.5) Hallar la dirección y magnitud del gradiente de w en el punto (2; -2; 1) si
w = x2
+ y2
+ z2
.
5.6) Hallar el gradiente en el punto (1; 0; 2) si w = (x2
ey
+ x3
√z3
– yz
)
EJEMPLOS:
Hallar las derivadas hasta segundo orden.
6.1) z = f(x,y) = x2
+ y2
+ x cos(xy) 6.2) z = f(x,y) = 2x3
y2
– 3xy2
+ x – 2y
6.3) z = f(x,y) = ex
cos( 2y-3x) 6.4) z = f(x,y) = x2/ (y2 + 1)
En cada caso verifique que fxy = fyx :
6.5) z =f(x,y) = x7
y5
6.6) u = f(x,y,z) = x2
z4
– y3
z2
+ x3
y2
6.7) z = f(x,y) = x ln(x2
– y2
) 6.8) u =f(x,y,z) = x/(x+z)
EJEMPLOS:
En cada uno de los casos siguientes, verifique que f es armónica:
7.9) f(x,y) = x2
–y2
7.10) f(x,y) = x3
– 3xy2
7.11) f(x,y) =xy
7.12) f(x,y) = x4
-6x2
y2
+ y4
7.13) f(x,y,z) = x2
+ y2
-2z2
7.14) f(x,y) = arctg(y/x) 7.15) f(x,y) =ln r r = √(x-a)2
+ (y-b)2
Verifique que cada una de las siguientes funciones es solución de la ecuación de Calor:
7.15) u = e-k2 a2 t
sen ax 7.16) u = e-2 k2 a2 t
cos a (x + y)
7.17) u = e(-ax2 )/ t
/ √ t
7.18) u = 1 e –[ (x-xo)2
+ ( y-yo)2
+ (z-zo)2
] / 4a2
t
( 2a√πt )3
La ecuación ondulatoria, tiene importancia en la teoría electromagnética.
Verifique que (a) u(x,y) = sen(x - ct) ; (b) u(x,t) = sen(x + ct) y
(c) u(x,t) = Asen( aλt +φ) senλx
satisfacen la ecuación ondulatoria siguiente.

∂2
u = c2
( ∂2
u ) c = constante
∂t2
( ∂x2
)
Hallar la fórmula de Taylor hasta 2do orden
8.1) Para la función f(x,y) = yx.
En el entorno del punto (1,1).
8.2) Para la función f(x,y) = e(x+y)
. En el entorno del punto (1.-1)
8.3) para la función f(x,y) = √(1+x+y). En el entorno del punto (0,1)
Hallar por la fórmula de Maclaurin hasta términos de 3er orden
8.3) f(x,y) = ex
seny
8.4) f(x,y) = cos(x) cos(y)
8.6) f(x,y) = ln( 1 + x2
+ y2
)
EJEMPLOS:
Determinar la trayectoria, la velocidad y la aceleración de este movimiento.
9.1) si la ecuación de movimiento es: r (t) = 9 cost i + 4 sent j
9.2) Si la ecuación de movimiento es: r (t) = 2 cost i + 2 sent j + 3t k
9.3) Si la ecuación de movimiento es: r (t) = 2 cosα cosωt i + 2 senα cosωt j + senωt k
donde ω y α son constantes.

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