El documento presenta un problema de mecánica sobre un semidisco y una partícula que rueda dentro de una ranura en el semidisco. Se proporcionan las ecuaciones del movimiento, las integrales primeras y expresiones para las reacciones entre los objetos.

1. ´
Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´nica
a
2.o EXAMEN PARCIAL Y FINAL EXTRAORDINARIO (31 de enero de 2001)
Apellidos Nombre N.o Grupo
Ejercicio 2.o (puntuaci´n: 10/25 ´ 10/60)
o o Tiempo: 60 min.
Un semidisco de masa M y radio R rueda sin desli-
zar sobre una recta horizontal, manteni´ndose den-
e O
tro de un plano vertical. En el semidisco existe una m
G
acanaladura circular de radio R/2, por la que cir-
cula una part´ ıcula de masa m con ligadura bilate-
ral lisa. Se pide: M, R
1. Ecuaciones del movimiento e integrales primeras, caso de haberlas;
2. Expresar la reacci´n que ejerce el semidisco sobre la part´
o ıcula, en una posici´n gen´rica.
o e
3. Expresar la reacci´n de la recta sobre el semidisco, en una posici´n gen´rica.
o o e
4R
1.— La posici´n del centro de masas G es OG =
o ,
3π
lo que se puede calcular aplicando directamente el teo- O n t
rema de Guldin. Por tanto el momento de inercia es N
G
2 y θ
2 1 4 ϕ
IG = M R − .
2 3π x
H
Tomaremos como grados de libertad los ´ngulos θ y ϕ de
a V
la figura, medidos ambos desde la vertical descendente
en sentido antihorario.
Expresaremos en primer lugar las velocidades de G y de m:
˙ 4R ˙
v G = −Rθ i + θ(cos θ i + sen θ j); (1)
3π
˙ R
v m = −Rθ i + ϕ (cos ϕ i + sen ϕ j) .
˙ (2)
2
t
Operando la Lagrangiana,
2 2
1 1 4 ˙ 1 4 4 ˙
L = T − V = M R2 − θ 2 + M R2 1 + −2 cos θ θ2
2 2 3π 2 3π 3π
2
1 ˙ 1 1˙ 4R R
+ mR2 θ2 + ϕ2 − 2 θϕ cos ϕ +
˙ ˙ M g cos θ + mg cos ϕ, (3)
2 2 2 3π 2
resulta:
L=
1 3 8 ˙ 1 ˙ ϕ2
˙ ˙˙ 4R R
M R2 − cos θ θ2 + mR2 θ2 + − θϕ cos ϕ + M g cos θ + mg cos ϕ. (4)
2 2 3π 2 4 3π 2
185exam.tex

2. Derivando se obtienen las ecuaciones de Lagrange:
3 8 ¨ 4 ˙ ¨
M R2 − cos θ θ + M R2 θ2 sen θ + mR2 θ
2 3π 3π
1 1 4
− mR2 ϕ cos ϕ + mR2 ϕ2 sen ϕ + M R g sen θ = 0; (5)
¨ ˙
2 2 3π
1 1 ¨ R
mR2 ϕ − mR2 θ cos ϕ + m g sen ϕ = 0.
¨ (6)
4 2 2
Como integral primera se puede escribir la conservaci´n de la energ´ E = T + V , al ser
o ıa
todas las fuerzas conservativas:
E=
1 3 8 ˙ 1 ˙ ϕ2
˙ ˙˙ 4R R
M R2 − cos θ θ2 + mR2 θ2 + − θϕ cos ϕ − M g cos θ − mg cos ϕ. (7)
2 2 3π 2 4 3π 2
2.— La reacci´n N sobre la part´
o ıcula se expresa mediante la ecuaci´n din´mica de dicha
o a
part´
ıcula en direcci´n normal a la ranura, n:
o
¨ R
N − mgj · n = mam · n ⇒ N = mRθ sen ϕ + m ϕ2 + mg cos ϕ.
˙ (8)
2
3.— Para expresar las reacciones sobre el semidisco basta con plantear las ecuaciones
din´micas en direcciones x e y para el sistema completo:
a
H = M aG · i + mam · i
⇓
(9)
¨ 4 ¨ ˙ ¨ 1 ϕ cos ϕ − ϕ2 sen ϕ
H = M R −θ + θ cos θ − θ2 sen θ + mR −θ + ¨ ˙ ;
3π 2
V − (M + m)g = M aG · j + mam · j
⇓ (10)
4R ¨ ˙ 2 R 2
V = (M + m)g + M θ sen θ + θ cos θ + m ϕ sen ϕ + ϕ cos ϕ .
¨ ˙
3π 2
2