Este documento presenta tres temas de la asignatura Teoría Electromagnética I. El primer tema calcula el potencial absoluto en un punto dado dos conductores paralelos con cargas opuestas. El segundo tema determina el radio de separación de dos dieléctricos en un cable coaxial para que la diferencia de potencial sea igual en cada uno, y calcula la capacitancia por unidad de longitud. El tercer tema calcula la carga total contenida en una esfera dada un campo eléctrico expresado en coordenadas cartesianas.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
ING. CARLOS DEL POZO C. ( )
ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )
PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 07 de diciembre de 2010
Alumno: ________________________________________________________________________________
Resumen de Calificaciones
Total Primera
Estudiante Examen Deberes Lecciones
Evaluación
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC-ESPOL – 2010 – 2S

2. Primer Tema:
Se tienen dos conductores paralelos de sección transversal muy pequeña e infinitamente
largos, con densidad de carga −λ y +λ respectivamente, separados una distancia D , tal
como se muestra en la figura. Calcular el potencial absoluto en el punto de observación M
ubicado a una distancia R de la línea de carga positiva.
−λ +λ
i M
D R
Procederemos a determinar la intensidad de campo eléctrico producida por una línea
infinita de carga y el potencial escalar eléctrico con relación a puntos ubicados sobre
una superficie equipotencial cilíndrica de radio ro (referencia).
E+ dl +λ E− dl −λ
dS dS
r1 r2
εo ∫
⊙→
E + ⋅ dS = QNETA ( Σ ) = Q ⇒ εo ∫
⊙→
E + dS cos 0 o = Q
Q λ λ
ε o E + 2π rl = Q ⇒ E+ = = ⇒ E− =
2πε o rl 2πε o r 2πε o r
λ λ
E+ = µr y E− = (− µ r )
2πε o r 2πε o r
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3. r1 r1 r1
ϕr − ϕr = − ∫ E+ ⋅ dl = − ∫ E + dl cos 180 = − ∫ E+ ( −dr ) cos 180o
1 o
o
ro ro ro
r1
λ λ r  λ r  λ r 
ϕr − ϕr = − ∫ dr = − ln  1  = ln  o  ⇒ ϕr = ln  o 
1 o
ro
2πε o r 2πε o  ro  2πε o  r1 
1
2πε o  r1 
r2 r2 r2
ϕ r − ϕr = − ∫ E − ⋅ dl = − ∫ E− dl cos 180o = − ∫ E− dr cos 180o
2 o
ro ro ro
r2
λ λ r  λ r 
ϕ r − ϕr = ∫ dr = ln  2  ⇒ ϕr = − ln  2 
2 o
ro 2πε o r 2πε o  ro  2
2πε o  ro 
ϕ ( M ) = ϕr + ϕr
1 2
λ r  λ r 
ϕ (M ) = ln  o  + ln  2 
2πε o  r1  2πε o  r0 
λ   ro   r2   λ  r   r  
ϕ (M ) = ln   + ln    = ln  o   2  
2πε o   r1   ro   2πε o  r1   ro  
λ r 
ϕ (M ) = ln  2 
2πε o  r1 
En nuestro caso particular: r1 = R y r2 = D + R , por lo cual se tendría lo siguiente:
λ  D+R
ϕ (M ) = ln  
2πε o  R 
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4. Segundo Tema:
Un cable coaxial de radio interior a y radio exterior c , tiene en su interior dos dieléctricos
de permitividades ε1 y ε 2 = ε1 /2 , tal como se muestra en la figura.
a) (20%) Calcular el valor del radio b de separación de los dos dieléctricos, para que la
diferencia de potencial en cada dieléctrico sea igual.
b) (15%) Calcular la capacitancia por unidad de longitud del cable. Su respuesta no debe
quedar expresada en términos del radio b .
Para resolver el presente problema, asumiremos que se ha aplicado una diferencia de
potencial Vo entre los cilindros del cable coaxial de radio interior a y radio exterior c , a
efectos de determinar el campo eléctrico y la diferencia de potencial en cada dieléctrico.
Tomando, en primer lugar, una superficie
gaussiana que cumpla con la condición de
que a < r ≤ b , se tiene que:
D2 ( b
∫
⊙→
D1 (a < r ≤ b) ⋅ dS = QNETA( a < r ≤b ) = Q ( r = a )
<r≤
c c) | D1 ( a < r ≤ b) | 2π rl = Q (r = a )
b
ε2 Q(r = a )
ε1 | D1 (a < r ≤ b) |=
a 2π rl
De la misma manera y tomando una
D1 ( a < r ≤ b ) superficie gaussiana que cumpla con la
condición de que b < r ≤ c , se tendría que:
Q(r = a )
| D2 (b < r ≤ c) |=
2π rl
A partir de los cuales se obtendrían las respectivas intensidades de campo eléctrico en
cada dieléctrico, es decir:
Q(r = a ) Q (r = a )
| E1 (a < r ≤ b) |= ⇒ E1 (a < r ≤ b) = µr
2πε1rl 2πε1rl
Q( r = a) Q (r = a )
| E2 (b < r ≤ c) |= ⇒ E2 (b < r ≤ c) = µr
2πε 2 rl 2πε 2 rl
A continuación, procederemos a determinar las diferencias de potencial en cada
dieléctrico:
+
ϕ+ − ϕ − = ∆ϕ = − ∫ E ⋅ dl
−
b b
ϕb − ϕc = − ∫ E 2 ( b < r ≤ c ) ⋅ dl = − ∫ E2 ( b < r ≤ c ) dl cos 180o
c c
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5. b b
Q (r = a)
ϕb − ϕc = ϕbc = − ∫ E 2 ( b < r ≤ c ) ( − dr ) cos 180o = − ∫ dr
c c
2πε 2 rl
Q (r = a)  c 
ϕbc = ln  
2πε 2l b
a a
ϕa − ϕb = − ∫ E1 ( a < r ≤ b ) ⋅ dl = − ∫ E1 ( a < r ≤ b ) dl cos 180o
b b
a a
Q (r = a)
ϕa − ϕb = ϕ ab = − ∫ E1 ( a < r ≤ b ) ( −dr ) cos 180o = − ∫ dr
b b
2πε 1rl
Q (r = a)  b 
ϕ ab = ln  
2πε1l a
Sabiendo que ε 2 = ε1 /2 , se requiere determinar el radio b para el cual ϕab = ϕbc , es decir:
Q (r = a)  b  Q (r = a)  c  1 b 1 c
ln   = ln   ⇒ ln   = ln  
2πε1l a 2πε 2l b ε1  a  ε 2  b 
2
1 b 2 c b c b c
ln   = ln   ⇒ ln   = 2ln   ⇒ ln   = ln  
ε1  a  ε1  b  a b a b
b c2
= ⇒ b3 = ac 2 ⇒ b = 3 ac 2
a b2
Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a)
CSISTEMA = = =
∆ϕ ϕ ac ϕ ab + ϕbc
Q (r = a) Q (r = a)
CSISTEMA = =
Q (r = a)  b  Q (r = a)  c  Q (r = a)  b  Q (r = a)  c 
ln   + ln   ln   + ln  
2πε1l a 2πε 2l b 2πε1l a πε1l b
Q (r = a) Q (r = a)
CSISTEMA = =
Q (r = a)  c  Q (r = a)  c  Q (r = a)  c  Q ( r = a)  c 
2ln   + ln   ln   + ln  
2πε1l b πε1l b πε1l b πε1l b
CSISTEMA πε1 πε1 πε1 πε1 πε1 πε1
= = = = = =
l c c
2
b  3 ac 2   ac 2  c
2/3
2ln   ln   ln   ln   ln  3 3  ln  
b b a  a    a
   a 
CSISTEMA 3πε1
=
l c
2ln  
a
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6. Tercer Tema:
(35%) En un punto P ( x, y, z ) de una región del espacio, existe un campo eléctrico
E = krx µ x + kry µ y + krz µ z , donde k es una constante y r es la distancia del punto P
respecto del origen de coordenadas.
Calcular la carga total contenida en el volumen limitado por una superficie esférica de radio
R centrada en el origen.
Para resolver el presente problema
z aplicaremos la Ley de Gauss en su forma
diferencial o microscópica (LGD), tomando
en consideración que trabajaremos con el
sistema de coordenadas rectangulares.
P ( x, y , z ) ρ ∂Ex ∂E y ∂Ez ρ
∇⋅E = ⇒ + + =
εo ∂x ∂y ∂z ε o
r
y QTOTAL
o kR + kR + kR =
ε oVesfera
4
QTOTAL = 3kRε oVesfera = 3kRε o π R 3
3
x QTOTAL = 4π kε o R 4
Segunda Metodología: Dominio de sistemas de coordenadas.-
Para expresar E = krx µ x + kry µ y + krz µ z de la forma E = Er µ r + Eθ µθ + Eφ µφ ; es
decir, expresarlo de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, se debe
considerar los siguientes reemplazos:
x = r senθ cosφ
y = r senθ senφ
z = r cosθ
µ x = senθ cosφ µr + cosθ cosφ µθ − senφ µφ
µ y = senθ senφ µr + cosθ senφ µθ + cosφ µφ
µz = cosθ µr − senθ µθ
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7. Er = kr 2 ( sen 2θ cos 2φ + sen 2θ sen 2φ + cos 2θ ) = kr 2
Eθ = kr 2 ( senθ cosθ cos 2φ + senθ cosθ sen 2φ − senθ cosθ ) = 0
Eφ = kr 2 ( − senθ senφ cosφ + senθ senφ cosφ ) = 0
E = kr 2 µ r
Al aplicar la Ley de Gauss en su forma integral o macroscópica (LGI), notamos que para la
superficie gaussiana de radio r = R , el dS que tiene ser perpendicular a la superficie
gaussiana y saliendo de la misma, tiene una dirección radial, es decir de la forma dS µr .
Por lo cual, y si es que hubieren las componentes Eθ y Eφ del campo eléctrico, solamente
la componente Er contribuiría con el flujo eléctrico que atraviesa la superficie gaussiana.
Con lo cual se tendría lo siguiente:
εo ∫
⊙→
E .dS = QNETA ( r = R ) ⇒ εo ∫
⊙→
E dS cos 0o = QNETA ( r = R )
εo E ∫
⊙→
dS = QNETA ( r ) ⇒ ε o E 4π r 2 = QNETA ( r )
εo E ∫
⊙→
dS = QNETA ( r ) ⇒ ε o E 4π r 2 = QNETA ( r )
QNETA ( r ) = 4π kε o r 4
QNETA ( r = R ) = 4π kε o R 4
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