El documento trata sobre relaciones de recurrencia en matemáticas, mostrando ejemplos de fórmulas iterativas y recursivas. Se presentan diversas funciones como el factorial, la potencia, y la secuencia de Fibonacci, así como el método de la torre de Hanoi. También se incluyen ejercicios para resolver y encontrar soluciones generales a partir de ecuaciones características.

1. Profesor: Daniel Quinto Pazce
SEMESTRE 2013-0

2. 
Es un proceso repetitivo en el que cada término
se puede expresar en términos anteriores.
Sn = C1Sn-1 + C2Sn-2 + … + CkSn-k
Donde: S0, S1 son condiciones iniciales
1)
Ejemplo:
Sn = 2*Sn-1 + 1
,
S0 = 0
Halle una fórmula iterativa.

3. Sn
Sn
Sn
Sn-2
Sn
Sn
Sn
Sn
Sn
Sn
= 2*Sn-1 + 1
= 2*(2Sn-2 +1) + 1
= 22Sn-2 + 2 + 1
= 2*Sn-3 + 1
= 22(2*Sn-3 + 1) + 2 + 1
= 23Sn-3 + 22 + 2 + 1
= 2nSn-n + 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1
= 2nS0 + 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1
= 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1
= 2n 1
2 1
Sn
=
2
n
1

4. 2) Sn = 3 Sn-1 ;
Halle S5
S0 = 1
S5 = 3S4
S5 = 3(3S3)
S5 = 3(3(3S2))
S5 = 3(3(3(3S1)))
S5 = 3(3(3(3(3S0))))
S5 = 35S0
S5 =343 (1)
S5 =343

5. 3)
n
n
Sn S[ ] S[ ]; S 0
2
3
0 y S1 1, halle S16
S1
S2
S0
S4
S1
S8
S1
S2
S0
S16
3S0
5S1
S16
3 * 0 5 *1
S16
5
S16
S1
S2
S0
S5
S1

6. 4)
Resolver su recursiva en forma iterativa
Sn = 2,47 Sn-1 con S0 = 2,47
Solución:
Sn = 2,47 Sn-1
Sn-1 = 2,47 Sn-2
Sn = (2,47)2 Sn – 2
Sn-2 = 2,47 Sn-3
Sn = (2,47)3 Sn – 3
generalizando …
Sn = (2,47)n Sn – n
= (2,47)n . S0
Sn = (2,47)n+1

7. 4)
Resolver en forma recursiva
CN
2C N
N
2
N es una potencia de 2 ; N = 2n
C.I.
C1 =0 , N >= 2

8. CN
2C N
N
2
C2n
2C 2 n
C2n
C2n
2n
C2n
2n 1
C2n 2
n
2
C2n
n
2
C2n
2n
C2n
n
2
C2n
2
n
C1
n
0
n
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
2
C2n
2n
n
2
C2n
2n * n
CN
n 2n
1

9. Ejercicios
N2
C
Ejercicio. Resolver
1 =1 , N>= 2
2
Cuando N es una potencia de 2
CN

CN
CASO DE RECURRENCIA
Dada la relación recursiva de orden
superior
S(n) = S1b1n + S2b2n + ... + Stbtn; 1 k t


10. Ecuación característica
La ecuación característica, asociada a una relación de
recurrencia lineal, tiene t raíces reales distintas, b1, b2,..bt
1. Dada la ecuación recursiva
a(n) = 3a(n-1)+4a(n-2)
si n>2, con condiciones iníciales a(0)=0 y a(1)=1, hallar la
solución general.
Solución:

11. Ejemplo
A) Ecuación Características
De la Ecuación dada, pasamos al primer
miembro
a(n)-3a(n-1)-4a(n-2)=0
La ecuación característica es de la forma :
t2-3t-4=0
Resolvemos (t + 1)( t- 4) = 0
t1=-1 y t2 = 4

12. Ejemplo
B) Solución General
a(n)=c1(t1)n + c2(t2)n
a(n)=c1(-1)n + c2(4)n
resolviendo por las condiciones iníciales tenemos:
para
a(0)=0 se tiene
c1 + c2= 0
Para
a(1)=1 se tiene
- c1 + 4 c2 = 1, resolviendo c1 y c2 se tiene:
c1 = -1/5 y c2 = 1/5
a(n) = 1/5(4n-(-1)n)

13. Escribiendo en forma de función
0
para n = 0
a(n) =
1
para n = 1
3a(n-1)-4a(n-2) para n > 1
 Ejemplo 2
Dada an = 6an-1 – 9an-2 ;
a0 = 1, a1 = 6
¿Hallar la solución General?

14. Solucion

Ecuación Características
an – 6an-1 + 9n-2 = 0
t2 – 6t + 9 = 0
(t - 3)2 = 0
Existe solución de multiplicidad par
t1 = 3 ; t 2 = 3

Solución General
an = C1(t1)n + C2 n (t2)n
an = C13n + C2n3n
resolver C1, C2 con las condición iniciales
* Para a0 = 1
30 C1 + 0.30 C2 = 1
C1 = 1
* Para a1 = 6
31C1 + 1.31 C2 = 6 6 = 3 + 3 C2
Luego: reemplazando en la solución general
an = 3n + n.3n
Solución General: an = 3n (n + 1)
C2 = 1

15. Ejercicio 3: dada relación recursiva
an 7an 1 16an
2
12an 3 0 , n 4, a1 3, a2 11, a3 29
Hallar la solución no recursiva
Solución:
•Ecuación Características Pasando al primer miembro:
3 - 7 2 + 16 - 12 = 0, resolviendo
( - 2)2 ( - 3) = 0
Cuyas raíces son:
= 2, de multiplicidad par y = 3 La solución
general será
Ecuación General
an = A1 ( 1)n + A2 n ( 2)n + A3( 3)n
an = A1 (2)n + A2 n (2)n + A3(3)n
Por las condiciones iníciales:
Para a1 = 3, a2 = 11, y a3 = 29 se tiene
Cuya solución es A1 = 1, A2 = 2 y A3 = -1, por lo que la solución no recursiva,
será:
an = 2n + n 2n + 1 – 3n

16. Ejercicio 4: dada la expresión:
a(n)
0
4
8a n
si 0
si 1
1
15a(n
2) sin o
Hallar la solución general
• Ecuación Características
Suponiendo que a(n) = n reemplazamos:
an = 8 n-1 – 15 n-2
(t –5) (t –3) = 0
(t2 – 8t + 15) = 0
(t –5) (t –3) = 0
Ecuación General
a(n) = c15n + c23n
para n = 0
a(0) = c150 + c230
0 = c1 + c2
para n = 1
a (1) = c151 + c231
4 = 5c1 + 3c2
c1 = 2 y c2 = - 2
a(n) = 2 . 5n – 2. 3n

17. Ejercicios
Resuelva:
an
0
, n=0
-9
, n=1
-1
, n=2
21
, n=3
5an 1 8an 2 4an 3 , otro caso
1
an
, n=1
6
20
, n=2
, n=3
6an 1 11an 2 6an 3 , otro caso

18. 
Es un proceso repetitivo de la función
recursiva, llamándose a sí misma varias
veces hasta retornar al punto de partida.

19. a)
b)
c)
Ayuda a comprender mejor, para escribir
algoritmos iterativos.
Es más fácil escribir algoritmos recursivos.
Cualquier algoritmo recursivo se puede
escribir en su forma iterativa.

20. a)
b)
c)
La rapidez de su procedimiento es lento.
La capacidad de su almacenamiento es
alto.
El seguimiento de su ejecución es más
difícil.

21. Ejemplo:
1.-CASO FACTORIAL
Como ejemplo:
N=3
3! = 3*2*1 = 6
FACT(3) = 3*FACT(2) = 6
= 3*2*FACT(1)
= 3*2*1*FACT(0)

22. Función FACT (N)
Inicio
Si N>0
FACT = N*FACT(N-1)
Sino
FACT = 1
Fin
Retornar FACT
Fin

23. 2.-POTENCIA bx
Ejemplo:
23 = 8, b=2 x=3
Pot (2, 3) = 2*Pot (2, 2)
Pot (2, 3) = 2*(2*Pot (2, 1))
Pot (2, 3) = 2*(2*2)

24. Función Potencia (b, x)
Inicio
Si (x = 1)
Potencia b
Sino
Potencia  b*Potencia (b, x-1)
Fin
Fin

25. 3.- Número de Fibonacci
0
1
1
2
3
5 8 13 21 34 …

26. Traza para n = 6
FIBO(6) = FIBO(5) + FIBO (4) = 5
FIBO(5) = FIBO (4) + FIBO (3)
FIBO (4) = FIBO (3) + FIBO (2)
FIBO (3) = FIBO (2) + FIBO (1)
1
0

27. 
Función FIBO (n)
Inicio
Si (n>2)
FIBO  FIBO (n-1) + FIBO (n-2)
En otro caso
Si (n = 2)
FIBO  1
En otro caso
FIBO  0
Fin
Fin
Fin

28. Se sabe que: Fn
b2 F n 1 b2 Fn
Fn
Fn
2
1
...... bk Fn
Fn
k
2
Obtener la solución de recursión
Fn
bt1n
n
dt2
// t1 y t 2 raíces, n>=3
de
Condiciones iniciales
t2
F
1
t2
t1
t2
t 1
0
1, F2
t 1
5 1
2
1
5
2
2
0

29. Sustituyendo:
n
Fn
b
n
5 1
2
1
d
5
2
1
F1
1
b
1
5 1
2
d
1
5
2
2
F2
2
b
5 1
2
1
(1)
2
d
1
5
2
Resolviendo ( 1 ) y ( 2 )
b
1 1
5
2
5
d
1 1
5
2
5
2
(2)

30. Reemplazando:
n
Fn
1 1
5
2
5
1
n
5
1 1
5
2
5
2
n 1
Fn
1
5
2
n 1
1 1
5
2
5
1 1
5
2
5
… formula no recursiva
Tomando Fn bt n
1
Fn
n
bt1
Fn2
n
bt 2
Fn
1
Fn
Fn
n
bt1
posibles soluciones
Fn2
n
bt 2
Ecuaciones
bt
n
bt
n 1
bt
n 2
div
bt
n
2
t2
t 1
0

31. Las Torres de Hanoi

32. Forma “Relación Recursiva” de la Torre de Hanoi
Nº de Discos
0
1
2
3
….
n
Relación
Nº Movimientos
0
1=2*0+1
3=2*1+1
7=2*3+1
C0
C1
C2
C3
Cn
Cn
Cn
2 * Cn
Cn
2n 1
1
1
2 * Cn
1
1
 Relación Recursiva
 Relación no Recursiva
Ejemplo:
Mover todos los discos de la torre A a la torre B en la menor
cantidad de pasos

33. Paso 0


Inicialización: la torre A
contiene 4 discos de
diferentes tamaños los discos
sólo pueden ir sobre uno de
mayor tamaño
Objetivo: mover todos los
discos de la torre A a la torre
B
Formula recursiva
Cn 2 * Cn 1 1
C4 2 * C3 1
C4 2 * (2 * C2 1) 1
C4 2 * (2 * (2 * C1 1) 1) 1
C4 2 * (2 * (2 * (2 * C0 1) 1) 1) 1
C0 0
De la formula recursiva
deducimos que para 4
discos, se realizaran 15
pasos
entonces
C4 2 * (2 * (2 * (2 * 0 1) 1) 1) 1 15

34. Paso 1 y 2
Paso 3 y 4

35. Paso 5 y 6
Paso 7 y 8

36. Paso 9 y 10
Paso 11 y 1 2

37. Paso 13 y 14
Paso 15

38. Movimientos de la Torre de Hanoi
H (n, A, B, C)

39. n=3
H(n, A, B, C)
Ejercicio:
Obtener todos los movimientos H (4, A, B, C)
Obtener todos los movimientos H (2, A, B, C)

40. Inicialmente los “n” discos están en el poste A, nos proponemos
mover
“n-1” discos del poste A al poste B
¿Cuántos movimientos necesita para llegar al poste C? Hacer
representación gráfica.

41. EJERCICIOS RESUELTOS

42. 1) Sea Sn=2Sn-1, S0=1. Hallar la relación
iterativa.
Sn=2Sn-1=21Sn-1
Sn=2(2Sn-2)=22Sn-2
Sn=2(2(2Sn-3))=23Sn-3
…
Sn=2(2(2(..)))=2nSn-n=2n(S0)
Sn=2n
Relación Iterativa: Sn=2n

43. 2) Sea Sn=Sn-1+n, S1=1; n>=2. Hallar la
relación iterativa.
Sn= Sn-1+n=Sn-1+(n)
Sn=(Sn-2+n-1)+n=Sn-2+(n-1)+(n)
Sn=((Sn-3+n-2)+(n-1)+n)=Sn-3+(n-2)+(n-1)+(n)
Sn=(((Sn-4+n-3)+n-2)+n-1)+n=Sn-4+(n-3)+(n-2)+(n-1)+(n)
…
Sn= Sn-(n-1)+(n-(n-2))+ (n-(n-3))+…+(n-3)+(n-2)+(n-1)+(n)
Sn=(1)+(2)+…+ (n-3)+(n-2)+(n-1)+(n)
Sn=n (n+1)/2
Relación Iterativa: Sn= n(n+1)/2

44. 3) Del factorial de un número (N!) crear la
función recursiva, la traza para N=5 y el
algoritmo.
1
N=0
FN=
N*FN-1
Traza para N=5:
F5=5*F4
F5=5*4*F3
F5=5*4*3*F2
F5=5*4*3*2*F1
F5=5*4*3*2*1=120
N>0
Función FACT (N)
Inicio
Si N>0
FACT =
N*FACT(N-1)
Sino
FACT = 1
Fin
Retornar FACT
Fin

45. 4) De la potencia de un número bx crear la función
recursiva y la traza para b=2 y x=5 y el algoritmo
recursivo.
b
x=0
B*P(b,x-1),
x>1
P(b,x)=
P(2,5)=2*P(2,4)
P(2,5)=2*2*P(2,3)
P(2,5)=2*2*2*P(2,2)
P(2,5)=2*2*2*2*P(2,1)
P(2,5)=2*2*2*2*2=32
Función Potencia (b, x)
Inicio
Si (x = 1)
Potencia b
Sino
Potencia  b*Potencia (b, x-1)
Fin
Fin

46. 5) Del número combinatorio .crear la función recursiva, la
traza para y el algoritmo recursivo.
Función COMB (N,K)
Inicio
Si K=1
COMB = N
Sino
Si N=K+1
COMB = N
Sino
COMB=COMB(N-1,K-1)+COMB(N-1,K)
Fin
Retornar COMB
Fin