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Ejercicios transformada z

Este documento presenta varios ejercicios sobre la transformada Z. En el ejercicio a), se analiza la transformada Z de una señal discreta y se concluye que el resultado propuesto es incorrecto. En el ejercicio b), se evalúa si un diagrama de polos y ceros corresponde a un filtro pasa bajos, concluyéndose que no. En el ejercicio c), se comprueba la transformada Z de una función y se determina que el resultado dado es falso. Finalmente, en el ejercicio d) se verifica la transformada Z de

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EJERCICIOS DE TRANSFORMADA Z
Materia:
Moderna de Control
Autor:
Cesar Salazar 26.127.573
Maturín, Febrero del 2017
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRONICA
EXTENSIÓN MATURÍN
a) La transformada Z de la siguiente señal de tiempo discreto usando tablas y
propiedades:
𝑋[ 𝑛] = 𝑒−𝑐𝑛
cos(
2𝜋𝑛
3
) 𝑢[ 𝑛]
¿Sera?
𝑋( 𝑧) =
𝑧[𝑧 − 𝑒−𝑐
cos(
2𝜋
3
)]
𝑧2 − 2𝑧𝑒−𝑐 cos(
2𝜋
3
) + 𝑒−2𝑐
Respuesta:
Es bien conocida la existencia de la tabla de propiedades de la transformada Z, la
cual encierra una serie de constantes durante el proceso de transformación.
Cabe destacar que esta no es la única de su tipo, y que existen innumerables
variaciones entre sí.
Haciendo comparación práctica de la función que se quiere comprobar, se tomara
en cuenta, la función más parecida, en este caso el renglón numero 15.
Por lo que una función del tipo:
𝑋[ 𝑛] = 𝑒−𝑐𝑛
cos(
2𝜋𝑛
3
) 𝑢[ 𝑛]
Tendría un resultado a través de tablas y propiedades de:
𝑿( 𝒛) =
𝟏 − 𝒆−𝒄
𝒛−𝟏
𝐜𝐨𝐬 (
𝟐𝝅
𝟑
)
𝟏 − 𝟐𝒆−𝒄 𝒛−𝟏 𝐜𝐨𝐬 (
𝟐𝝅
𝟑
) + 𝒆−𝒂𝒕 𝒛−𝟐
El cual difiere del resultado suministrado anteriormente, por lo que lógicamente se
responderá de manera negativa o falsa la igualdad anterior.
b) ¿El diagrama de polos y ceros de la siguiente figura, corresponde a un filtro pasa
bajos?
Un diagrama de polos y ceros, es la encargada de describir de manera grafica y
entendible las características de una función de transferencia de un circuito práctico
dado, y esta suele tener una forma que se adecua al tipo de circuito expresado, ya
dejando de lado las posibles variables y rangos de error.
Partiendo de esto, los valores que se manejen en la función de transferencia
serán los que influyan directamente en la grafica de polos y ceros.
Como por ejemplo, aquí se observa un diagrama de polos y ceros de un filtro pasa
bajos, el cual nos da una referencia clara de cómo debería de ser, el cual no es el caso
de nuestra grafica anterior, el cual, no describe el arco de valores que deja pasar, el
cual, es la función principal de dicho filtro. Por lo que se considera, negativa o falsa la
afirmación de que la imagen suministrada, comprende el de un filtro pasa bajos.
c) Si la siguiente función en tiempo continuo y en tiempo discreto donde a es una
constante es:
𝟏
𝒂
(𝟏 − 𝒆−𝒂𝒕
)
La transformada Z será;
𝑋(𝑧) =
1
𝑎
[
𝑧−1
(1 − 𝑒−𝑎𝑘
)
1 − 𝑧−1(1 + 𝑒−𝑎𝑘) + 𝑧−2 𝑒−𝑎𝑘
]
Según las propiedades de la TZ, la transformada Z de es la siguiente:
𝑋( 𝑍) = [
𝑧−1
(1 − 𝑒−𝑎𝑘
)
(1 − 𝑧−1)(1− 𝑒−𝑎𝑘 𝑧−1)
]
Por lo que el resultado anteriormente expuesto es incorrecto o falso, siendo el
resultado verdadero, el último presentado.
d) Si
𝑋[ 𝑛] = 𝑒−10𝑛
𝑈[ 𝑛]
¿Su transformada Z es?:
𝑋[ 𝑧] =
𝑧
𝑧 − 𝑒−10
=
1
1 − 𝑒−10 𝑧−1
Respuesta:
La función X[z], cierta o afirmativamente es la transformada Z de la
función Z[n]. Esto es evidenciado por la definición paso por paso:
Definición de la función
𝑋[𝑧] = 𝑒−10𝑛
Definición de la transformada Z
𝑋[𝑧] = ∑ 𝑒−10𝑘𝑇
𝑧−𝑘
∞
𝑘=0
Definición de Sumatoria
𝑋[ 𝑧] = 1 + 𝑒−10𝑇
𝑧−1
+ 𝑒−2(10)𝑇
𝑧−2
+ 𝑒−3(10)𝑇
𝑧−3
+ ⋯ + 𝑒−𝑛(10)𝑇
𝑧−𝑛
Aplicación de la serie geométrica
𝑿[ 𝒛] =
𝒛
𝒛 − 𝒆−𝟏𝟎
=
𝟏
𝟏 − 𝒆−𝟏𝟎 𝒛−𝟏
Ejercicios transformada z

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  • 1. EJERCICIOS DE TRANSFORMADA Z Materia: Moderna de Control Autor: Cesar Salazar 26.127.573 Maturín, Febrero del 2017 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRONICA EXTENSIÓN MATURÍN
  • 2. a) La transformada Z de la siguiente señal de tiempo discreto usando tablas y propiedades: 𝑋[ 𝑛] = 𝑒−𝑐𝑛 cos( 2𝜋𝑛 3 ) 𝑢[ 𝑛] ¿Sera? 𝑋( 𝑧) = 𝑧[𝑧 − 𝑒−𝑐 cos( 2𝜋 3 )] 𝑧2 − 2𝑧𝑒−𝑐 cos( 2𝜋 3 ) + 𝑒−2𝑐 Respuesta: Es bien conocida la existencia de la tabla de propiedades de la transformada Z, la cual encierra una serie de constantes durante el proceso de transformación.
  • 3. Cabe destacar que esta no es la única de su tipo, y que existen innumerables variaciones entre sí. Haciendo comparación práctica de la función que se quiere comprobar, se tomara en cuenta, la función más parecida, en este caso el renglón numero 15. Por lo que una función del tipo: 𝑋[ 𝑛] = 𝑒−𝑐𝑛 cos( 2𝜋𝑛 3 ) 𝑢[ 𝑛] Tendría un resultado a través de tablas y propiedades de: 𝑿( 𝒛) = 𝟏 − 𝒆−𝒄 𝒛−𝟏 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟐𝝅 𝟑 ) 𝟏 − 𝟐𝒆−𝒄 𝒛−𝟏 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟐𝝅 𝟑 ) + 𝒆−𝒂𝒕 𝒛−𝟐 El cual difiere del resultado suministrado anteriormente, por lo que lógicamente se responderá de manera negativa o falsa la igualdad anterior. b) ¿El diagrama de polos y ceros de la siguiente figura, corresponde a un filtro pasa bajos?
  • 4. Un diagrama de polos y ceros, es la encargada de describir de manera grafica y entendible las características de una función de transferencia de un circuito práctico dado, y esta suele tener una forma que se adecua al tipo de circuito expresado, ya dejando de lado las posibles variables y rangos de error. Partiendo de esto, los valores que se manejen en la función de transferencia serán los que influyan directamente en la grafica de polos y ceros. Como por ejemplo, aquí se observa un diagrama de polos y ceros de un filtro pasa bajos, el cual nos da una referencia clara de cómo debería de ser, el cual no es el caso de nuestra grafica anterior, el cual, no describe el arco de valores que deja pasar, el cual, es la función principal de dicho filtro. Por lo que se considera, negativa o falsa la afirmación de que la imagen suministrada, comprende el de un filtro pasa bajos. c) Si la siguiente función en tiempo continuo y en tiempo discreto donde a es una constante es: 𝟏 𝒂 (𝟏 − 𝒆−𝒂𝒕 ) La transformada Z será; 𝑋(𝑧) = 1 𝑎 [ 𝑧−1 (1 − 𝑒−𝑎𝑘 ) 1 − 𝑧−1(1 + 𝑒−𝑎𝑘) + 𝑧−2 𝑒−𝑎𝑘 ]
  • 5. Según las propiedades de la TZ, la transformada Z de es la siguiente: 𝑋( 𝑍) = [ 𝑧−1 (1 − 𝑒−𝑎𝑘 ) (1 − 𝑧−1)(1− 𝑒−𝑎𝑘 𝑧−1) ] Por lo que el resultado anteriormente expuesto es incorrecto o falso, siendo el resultado verdadero, el último presentado. d) Si 𝑋[ 𝑛] = 𝑒−10𝑛 𝑈[ 𝑛] ¿Su transformada Z es?: 𝑋[ 𝑧] = 𝑧 𝑧 − 𝑒−10 = 1 1 − 𝑒−10 𝑧−1 Respuesta: La función X[z], cierta o afirmativamente es la transformada Z de la función Z[n]. Esto es evidenciado por la definición paso por paso: Definición de la función 𝑋[𝑧] = 𝑒−10𝑛 Definición de la transformada Z 𝑋[𝑧] = ∑ 𝑒−10𝑘𝑇 𝑧−𝑘 ∞ 𝑘=0 Definición de Sumatoria 𝑋[ 𝑧] = 1 + 𝑒−10𝑇 𝑧−1 + 𝑒−2(10)𝑇 𝑧−2 + 𝑒−3(10)𝑇 𝑧−3 + ⋯ + 𝑒−𝑛(10)𝑇 𝑧−𝑛 Aplicación de la serie geométrica 𝑿[ 𝒛] = 𝒛 𝒛 − 𝒆−𝟏𝟎 = 𝟏 𝟏 − 𝒆−𝟏𝟎 𝒛−𝟏