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Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana
Estructuras de
Materiales Compuestos
Resistencia de láminas

Introducción
2
Estructuras de Materiales Compuestos - Resistencia de láminas
• Las láminas de compuestos son, en general, muy resistentes
en la dirección de las fibras, y poco resistentes a cargas
transversales o de corte en el plano.
• Los compuestos pueden sufrir diferentes tipos de fallas. Éstas
pueden ocurrir en las fibras, la matriz o la interfase.
• Las fallas en la fibra son en general catastróficas llevando a la
fractura del laminado.
• Las fallas en la matriz pueden ocurrir a una carga bastante
menor a la de fractura del laminado.
• Estamos interesados en el comportamiento macroscópico de
la falla de la lámina
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

Tracción longitudinal
3
• En tracción longitudinal, la fibra y la matriz trabajan en paralelo, es decir,
a la misma deformación específica en la dirección longitudinal
• La fase con menor deformación de rotura fallará primero
• Recordando la expresión de micromecánica, la tensión presente en cada
fase será:
s1
sf
sm
sm
1 m m f f
V V
s s s
 
sm, sf = tensión media en la matriz y fibra respectivamente
Vm, Vf = fracción volumétrica de matriz y fibra respectivamente

4
• Primer caso: deformación última de la fibra menor a la deformación
última de la matriz
s1
sf
sm
sm
1
1max
1max max
m m f f
u
ft
m
f f m
f
V V
E
V V
E
s s s
 
s s
 

 
 
 
 
 
u u
ft mt
 

s1
1
fibras
matriz
f max mmax
sfmax
sfmax

5
• En la realidad, no todas
las fibras rompen al
mismo tiempo
• La rotura de una fibra
modifica la tensión
localmente, afectando
también a las fibras
adyacentes
• El efecto global reduce
el ancho portante en 2d

6
Dependiendo de las propiedades de
los constituyentes, la rotura de una fibra
produce diferentes tipos de fallas
locales:
1. Fisura de la matriz transversal a la
carga (matriz frágil - interfase
resistente)
2. Pérdida de adherencia entre la
matriz y la fibra (interface débil - alta
deformación a rotura de la matriz)
3. Fisuras cónicas en la matriz (matriz
dúctil - interfase resistente)

7
A medida que se incrementa
la carga, se incrementa la
densidad de roturas puntuales, y
la interacción produce fallas
adyacentes.
Estas últimas a su vez
interactúan para propagar una
rotura catastrófica.
En la práctica, se oyen las
fallas puntuales y la rotura
catastrófica genera un ruido muy
fuerte.

8
• Segundo caso: deformación última de la fibra mayor a la deformación
última de la matriz
s1
sf
sm
sm
s1
1
fibras
matriz
f max
mmax
sfmax
sfmax
u u
ft mt
 

1
1max
1max max
m m f f
u
mt
f
m m f
m
V V
E
V V
E
s s s
 
s s
 

 
 
 
 

9
• La falla inicia con la
formación de múltiples
fisuras de la matriz.
• Estas fisuras producen
estados tensionales
localizados, con altas
tensiones de corte en la
interfase fibra - matriz
• En consecuencia se
producen pérdidas de
adherencia fibra - matriz, y
roturas singulares de fibras.

Compresión longitudinal
10
• La falla esta asociada con el
micropandeo de las fibras
dentro de la matriz (pandeo
en un medio elástico)
• Existen numerosos modelos
propuestos para estimar la
ocurrencia de dicho fenómeno
• Las tensiones de flexión
generadas en las fibras llevan
a la formación de bandas de
falla (kink bands)

Compresión longitudinal
11
Kink bands
La desalineación de las fibras reduce
drásticamente la resistencia a compresión
longitudinal del compuesto

Tracción transversal
12
• Estado de tensión más crítico
• Caracterizado por la alta
concentración de tensiones en
la matriz y la interfase
• Dichas concentraciones se
superponen a las tensiones
residuales de la contracción de
la matriz y a los efectos
higrotérmicos
• La falla se caracteriza por
fisuras en la matriz y pérdida
de adherencia de la matriz

13
Las tensiones residuales del curado poseen gran influencia
sobre la resistencia del compuesto a tracción transversal

14
Compuesto acondicionado en cámara térmica y
ensayado en tracción transversal a temperatura
ambiente

Compresión transversal
15
• La resistencia a compresión
transversal suele ser mayor a
la de tracción transversal
• La falla se suele producir en la
matriz por corte o compresión
• Altas tensiones de corte en la
interfase pueden generar
pérdida de adherencia de la
fibra y la matriz.

Corte en el plano
16
• Bajo cargas de corte en el plano se
generan altas tensiones de corte en la
interfase produciendo la falla por corte
en la matriz o la pérdida de adherencia
de la fibra y la matriz.
• Existen numeroso modelos para
estimar la resistencia a corte en el plano

Cargas fuera del plano
17
• Las cargas fuera del plano pueden ser s3 , t4 , t5
• El plano 23 es un plano de isotropía
• Los modos de falla correspondientes a s3 en tracción
y compresión serán los mismos correspondientes a
tracción transversal y compresión transversal
respectivamente
• El modo de falla correspondiente a t5 será
equivalente al modo de falla correspondiente al
corte en el plano

Cargas fuera del plano
18
• El estado de carga t4 es equivalente a una tracción y compresión
de igual magnitud en un sistema tomado a 45°
• Debido a que la resistencia a tracción transversal es menor a la
de compresión transversal, la falla se presentará como una falla
de tracción transversal, pero con un plano de falla a 45°
• Sin embargo, la carga de falla será menor a la de tracción
transversal debido a que el estado de carga en el sistema rotado
es combinado
2
3
t4 3' 4
s t
 
2' 4
s t



Estados de carga fundamentales
19
1
2
s1 > 0 s1 < 0
s2 > 0 s2 < 0
t6 > 0
t6 < 0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2

Anisotropía
20
• La resistencia de la lámina es una propiedad anisótropa
• La resistencia de la lámina es diferente para cada estado de
carga fundamental
• En tensión plana, la resistencia se puede caracterizar por
cinco parámetros de resistencia
Parámetro Denominación
Resistencia a tracción longitudinal F1t
Resistencia a compresión longitudinal F1c
Resistencia a tracción transversal F2t
Resistencia a compresión transversal F2c
Resistencia a corte en el plano F6

Anisotropía
21
Las resistencias
definidas corresponden a
los ejes principales de la
lámina: sistema 123
Parámetro Denominación
Resistencia a tracción longitudinal F1t
Resistencia a compresión longitudinal F1c
Resistencia a tracción transversal F2t
Resistencia a compresión transversal F2c
Resistencia a corte en el plano F6
1
2
3

Anisotropía
22
La resistencia a corte es indiferente al signo en el
sistema 123
t6 > 0
1
2
t6 < 0
1
2
6
x
s t
 
6
y
s t

6
x
s t

6
y
s t
 



Anisotropía
23
La resistencia a corte no es indiferente al signo en el
sistema XYZ


X
Y
ts > 0
X
Y
ts < 0
1 s
s t
 
2 s
s t

1 s
s t

2 s
s t
 
1
2
1
2




Criterios de falla
24
• Hemos visto que, bajo los estados de carga
fundamentales, podemos obtener la resistencia
mediante ensayos o por medio de modelos
micromecánicos
• En general, los estados de carga presentes en las
láminas de un laminado no son los fundamentales
sino combinaciones de éstos
• Existen diversos criterios para estimar la resistencia
de una lámina bajo carga combinada

Criterios de falla
25
Los criterios de falla de lámina se pueden dividir en
tres grupos
• Criterios no interactivos: no se considera una interacción
entre los modos de falla. Predicen el modo de falla.
• Criterios interactivos: se considera la interacción entre
modos. La resistencia se estima mediante una expresión
en la que intervienen diferentes modos. No queda
identificado el modo de falla
• Criterios basados en el modo de falla: las expresiones
para la falla de fibra y de matriz son diferentes.

Criterio de tensión máxima
26
La falla ocurre cuando al menos una de las
componentes de tensión en el sistema de ejes
materiales de la lámina alcanza el valor de resistencia
correspondiente.
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
t
c
t
c
t
c


















t
t
t
s
s
s

27
Si el material posee un plano de isotropía transversal 23
2 3
2 3
5 6
t t
c c
F F
F F
F F



4 2t
F F

2
3
t4 3' 4
s t
 
2' 4
s t



28
En un caso de tensión plana, para cualquier tensión de corte
t6  F6 la envolvente de falla es la siguiente
s1
s2
F2t
F2c
F1c F1t
s2
s2
s1
s1

29
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1
x
y
2
z=3
q
 
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2
' 2 0
0
x
m n mn
n m mn
mn mn m n
s s
s s
t
 
   
 
   
  
   
 
   
 
 
   
 
2
1
2
2
6
cos
cos
x
x
x
sen
sen
s s q
s s q
t s q q


 
Ejemplo de cálculo

30
1 1
2 2
2 2
2 2
6 6
cos cos
cos cos
c t
x
c t
x
x
F F
F F
sen sen
F F
sen sen
s
q q
s
q q
s
q q q q
  
  
  
Conocidas las tensiones en los ejes materiales de la lámina,
podemos aplicar el criterio de falla para saber a qué tensión sx
se produce la falla del material

31
Ejemplo
Calcule utilizando el criterio de tensión máxima, la resistencia a tracción
(sx
max) de una lámina unidireccional cuyas fibras están orientadas a 15° con
respecto al eje x.
1
2
y
x sx
sx
1
1
2
2
6
726
302
97.6
127
51.5
t
c
t
c
F MPa
F MPa
F MPa
F MPa
F MPa






32
Ejemplo
Comenzamos calculando las tensiones en los ejes principales
de la lámina
 
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2 0.933 0.067 0.5
' 2 0 0.067 0.933 0.5 0
0 0.25 0.25 0.866 0
0.933* 0.067*0 0.5*0
0.067* 0.933*0 0.5*0
0.25* 0.25*0 0.8
x x
x
x
x
m n mn
n m mn
mn mn m n
s s s
s s
t
s
s
s
 
       
 
     
 
     
     
   
     
   
  
       
 
 
  
  
0.933*
0.067*
66*0 0.25*
x
x
x
s
s
s
   
   

   
   

   
Ahora debemos determinar si la falla se produce por tracción
longitudinal, tracción transversal o corte.

33
Ejemplo
La falla por tracción longitudinal se producirá cuando:
La falla por tracción transversal se producirá cuando:
La falla por corte se producirá cuando:
Tomamos el mínimo de los valores
calculados ya que la falla por corte
ocurrirá antes que las fallas por tracción
transversal y tracción longitudinal
max
778
x MPa
s 
max
1457
x MPa
s 
max
206
x MPa
s 
max
206
x MPa
s 
MPa
F x
t 726
933
.
0 max
1
1 


 s
s
MPa
F x
t 6
.
97
067
.
0 max
2
2 


 s
s
MPa
-
F x 5
.
51
25
.
0 max
6
6 



 s
t

Criterio de deformación máxima
34
La falla ocurre cuando al menos una de las
deformaciones medidas en el sistema de ejes
materiales de la lámina alcanza el valor de la
deformación específica máxima del ensayo uniaxial.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
5 5 5
u u
c t
u u
c t
u u
c t
u u
u u
u u
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

35
Las deformaciones máximas dependen directamente de las
tensiones máximas
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
3 3
3 3
3 3
4
4
12
5
5
12
6
6
12
u u
c t
c t
u u
c t
c t
u u
c t
c t
u
u
u
F F
E E
F F
E E
F F
E E
F
G
F
G
F
G
 
 
 



 
 
 



31
21
1 2 3
32
12
1
1 1 2 3
2 13 23
1 2 3
3
4
23
5
6
13
12
1
0 0 0
1
0 0 0
0
1
0 0 0
0
0
1
0 0 0 0 0
0
0
1
0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0
u
t
t
E E E
F
E E E
E E E
G
G
G
u
u
u
u

 u u




 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
   
 
 
   
   

   
 
   
 
   
 
   
 
   
   
 
 
 
 
 
Tensión simple

36
En el caso de tensión combinada, de acuerdo a este criterio,
existe cierta interacción debido al efecto Poisson.
31
21
1 2 3
32
12
1 1
1 2 3
2 2
13 23
3 3
1 2 3
4 4
23
5 5
6 6
13
12
1
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0
E E E
E E E
E E E
G
G
G
u
u
u
u
 s
 s
u u
 s
 t
 t
 t
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
   
 
 
   
   
 

   
 
   
 
   
 
   
 
   
   
 
 
 
 
 
 
Tensión combinada

37
Asumiendo un estado combinado, las ecuaciones explícitas
son:
 
 
 
3
1 2
1 21 31 1 12 2 13 3
1 2 3 1
3
1 2
2 12 32 21 1 2 23 3
1 2 3 2
3
1 2
2 13 23 31 1 32 2 3
1 2 3 3
5 6
4
4 5 6
23 13 12
1
1
1
E E E E
E E E E
E E E E
G G G
s
s s
 u u s u s u s
s
s s
 u u u s s u s
s
s s
 u u u s u s s
t t
t
  
      
       
       
  

38
Acotando las deformaciones a las máximas, pero expresado
en función de las tensiones máximas
 
 
 
1 1 12 2 13 3 1
2 21 1 2 23 3 2
3 31 1 32 2 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
c t
c t
c t
F F
F F
F F
F F
F F
F F
s u s u s
u s s u s
u s u s s
t
t
t
     
     
     
  
  
  

39
En un caso de tensión plana, para cualquier tensión de corte
t6  F6 la envolvente de falla es:
F2t
F2c
F1c F1t
s2
s2
s2
s1
s1
2 21 1 2t
F
s u s
 
2 21 1 2c
F
s u s
  

Criterio de Tsai-Hill
40
• Considera interacción
• Es una adaptación de los criterios energéticos conocidos para
materiales isótropos
• Hill propuso una modificación del criterio para metales
dúctiles anisótropos
• Azzi y Tsai adaptaron este criterio para materiales
compuestos. A,B,C y D son parámetros característicos del
material función de las resistencias fundamentales
2 2 2
1 2 1 2 yp
s s s s s
  
2 2 2
1 2 1 2 6 1
A B C D
s s s s t
   
Criterio de Von Mises para tensión plana.
Componentes principales de tensión.

41
Del ensayo uniaxial de tracción longitudinal a rotura se
obtiene
2
1 1
t
AF  2
1
1
t
A
F

0
0
6
2
1 F1t
u



t
s
s
Del ensayo uniaxial de compresión longitudinal a rotura se
obtiene
2
1 1
c
AF  2
1
1
c
A
F

0
0
6
2
1 F
- 1c
u



t
s
s
El parámetro A toma diferentes valores de acuerdo
al signo de la tensión normal s1

42
Del ensayo uniaxial de tracción transversal a rotura se obtiene
0
0
6
2
1
F2t
u



t
s
s
Del ensayo uniaxial de compresión transversal a rotura se
obtiene
El parámetro B toma diferentes valores de acuerdo
2
2 1
t
BF  2
2
1
t
B
F

2
2 1
c
BF  2
2
1
c
B
F

0
0
6
2
1
F
- 2c
u



t
s
s

43
Del ensayo de corte puro en el plano a rotura se obtiene
6
u
F



6
2
1
0
0
t
s
s
El parámetro D es independiente del signo de la
tensión t6
2
6 1
DF  2
6
1
D
F


44
El parámetro C que considera la interacción entre las
tensiones s1 y s2 debe ser obtenido de ensayos.
Sin embargo, si se supone un estado biaxial de s1 = s2 y t6 = 0
se puede aproximar por el criterio de tensión máxima. Como la
resistencia en la dirección transversal es mucho menor que la
resistencia en la dirección longitudinal, el material fallará cuando
la tensión alcance el valor F2.
2 2
2
2 2
2
2 2
1 2
1
F F
CF
F F
   2
1
1
C
F
 
El parámetro C toma diferentes valores de acuerdo

45
2 2 2
1 2 1 2 6 1
A B C D
s s s s t
   
1
2
1
1
2
1
1
0
1
0
t
c
si
F
A
si
F
s
s




 
 


2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
t
c
si
F
B
si
F
s
s




 
 


1
2
1
1
2
1
1
0
1
0
t
c
si
F
C
si
F
s
s

 


 
 


2
6
1
D
F


46
Tomando valores de t6 podemos ver que la ecuación describe
cuatro ecuaciones de elipse (una en cada cuadrante)
2
2 2
6
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 6
1
F F F F
t
s s s s
   
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10
9
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x 10
7
s
1
s
2
2 2
2
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1
1 k
F F F
s s s s
   

Criterio de Tsai-Wu
47
• Tsai y Wu propusieron un criterio más general para considerar
la interacción.
• Explícitamente para tensión plana:
• Como el signo de la tensión de corte no debe influenciar el
criterio, se tiene:
Donde fi y fij son tensores de primer y
segundo orden respectivamente
1
i i ij i j
f f
s s s
 
2 2 2
1 1 2 2 6 6 11 1 22 2 66 6
12 1 2 16 1 6 26 2 6
2 2 2 1
f f f f f f
f f f
s s t s s t
s s s t s t
     
   
6 16 26
0 0 0
f f f
  

Criterio de Tsai-Wu
48
• Realizando las simplificaciones anteriores, la falla se asume
cuando:
• Considerando los casos de falla en tensión uniaxial
longitudinal de tracción y compresión:
2 2 2
1 1 2 2 11 1 22 2 66 6 12 1 2
2 1
f f f f f f
s s s s t s s
     
1 1
2
2 1 1 11 1 1
1 1
6
1 1
2
11
2 1 1 11 1
1 1
6
1 1
0 1
0
1
0 1
0
t
t t
t c
c
c c
t c
F
f F f F f
F F
F
f
f F f F
F F
s
s
t
s
s
t

 
 
    
 
 
  

   
  
   



 
 

Criterio de Tsai-Wu
49
• Considerando los casos de falla en tensión uniaxial transversal
de tracción y compresión:
• Considerando corte puro hasta la falla:
1
2
2 2 2 2 22 2 2
2 2
6
1
2
22
2 2 2 2 22 2
2 2
6
0
1 1
1
0
0
1
1
0
t t t
t c
c c c
t c
F f F f F f
F F
f
F f F f F
F F
s
s
t
s
s
t

 
 
    
 
 
  

  
  
    



 
 
1
2
2 66 6 66 2
6
6 6
0
1
0 1
f F f
F
F
s
s
t
 

   


 

Criterio de Tsai-Wu
50
• Para obtener f12 es necesario realizar un ensayo biaxial. Sin
embargo, dicho ensayo es generalmente complicado de
implementar, y por lo tanto, los resultados son poco
confiables. En la práctica, se utiliza la siguiente aproximación:
Se ha demostrado que típicamente para compuestos de vidrio o carbono:
Viendo esta relación, se puede definir un factor adimensional f12*
En la práctica se puede asumir f12* = 0 ó f12* = -0.5 para evitar la
realización de los ensayos biaxiales:
12
11 22
0.9 0
f
f f
  
* *
12
12 12 12 11 22
11 22
f
f f f f f
f f
  

Criterio de Tsai-Wu
51
La ventaja de este criterio es
que sólo se necesita una ecuación
para representar la envolvente
completa.
Para valores de t6 constantes
representa la ecuación de una
elipse de ejes rotados.
2 2
1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 *
6 12 1 2
2
1 1 2 2
6
1 1 1 1 1 1
1 1
2 1
t c t c t c t c
t c t c
F F F F F F F F
f
F F F F
F
s s s s
t s s
       
     
       
       
 
  
 
 
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10
9
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x 10
7
s
1
s
2
Criterio de Tsai-Wu

Comparación off-axis
52

Comparación de criterios
53
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10
9
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x 10
7
s
1
s
2
Criterios de falla - Comparación
6 0
t 

Criterio basados en el modo de falla
54
• Los modos de falla de fibra y de matriz o interfase son
fenómenos físicos diferentes
• Los modos de falla de fibra están asociados a la tensión s1
(rotura de fibra en tracción - micropandeo en compresión)
• Los modos de falla de matriz o interfase están asociados a las
tensiones s2 y t6
• Puck desarrolló un criterio muy aceptado que considera
además no-linealidad del material. La falla de matriz o
interfase esta basado en el criterio de Mohr, y el criterio
predice el plano de fractura.

Criterio de Hashin - Rotem
55
Hashin y Rotem presentaron un criterio que diferencia estos
fenómenos
1 1
1
1 1
0
0
t
c
F si
F
F si
s
s


 


1
1
1
F
s

2
2
6
2
2 6
1
F F
t
s  
 
 
 
 
   
2 2
2
2 2
0
0
t
c
F si
F
F si
s
s


 


s2
s1

Validación experimental
56
• Existen numerosos criterios además de los mostrados
anteriormente para estimar la resistencia de láminas
anisótropas bajo cargas combinadas
• Hinton, Soden y Kaddour organizaron el “Worldwide Failure
Exercise” que duró 12 años, con el fin de comparar la
capacidad de predicción de cada criterio
• Como resultado, se observó que el criterio de Tsai-Wu es uno
de los más acertados en comparación con los resultados
experimentales
• Cuadrante a cuadrante varía la precisión de los diferentes
criterios dependiendo también del material

57

58

59

Diferentes enfoques
60
Máxima deformación
Máxima tensión
Máxima tensión
Tsai-Wu
s2
s1
Híbrido

Diferentes enfoques
61
Conservativo
Máxima tensión
Máxima deformación
Teoría interactiva

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