TORSION FLEXION

1. Prefacio
El presente libro estudia los temas más importantes en Resistencia de Materiales, con
énfasis en aplicación a, solución de problemas y diseño de elementos estructurales y
dispositivos mecánicos. El libro está orientado para alumnos de Ingeniería del segundo o
tercer año.
El desarrollo del curso de Resistencia de Materiales presupone que el alumno posee los
recursos propios del cálculo infinitesimal, cálculo integral, geometría de masas en lo
referente a saber calcular centros de gravedad y momentos de inercia de figuras planas, y,
fundamentalmente, de la Estática, sin cuyo conocimiento es impensable poder obtener un
suficiente aprovechamiento del curso.
En la mayoría de los capítulos el primer objetivo es la determinación de las tensiones
normales y transversales, luego la determinación de los valores máximos de estos tensiones
y finalmente el cálculo de las correspondientes deformaciones. Se estudian como tipos de
carga: Tracción, Corte, Torsión y Flexión. Inicialmente se estudia la teoría y esta se
complementa con un apreciable número de ejemplos o problemas resueltos y luego con
problemas propuestos para que el alumno refuerce su comprensión.
En el primer capítulo se hace una introducción al estudio de la Resistencia de Materiales
marcando sus objetivos y estableciendo los principios generales, que completan las
conclusiones de la teoría de la Elasticidad, para poder desarrollar la disciplina siguiendo el
método lógico-deductivo.
En el resto de los capítulos se hace un análisis sistemático de las acciones que se derivan
de una solicitación externa actuando sobre un prisma mecánico. Y este estudio se hace
considerando los efectos producidos por cada una de las posibles magnitudes causantes,
actuando cada una de ellas independientemente de las otras. Así, las tensiones normal y
cortante que someten al prisma a tracción o compresión y a cortadura, respectivamente, son
tratados en los Capítulos 2 y 3.
En el capítulo 4 se estudia la teoría de la torsión y los tres capítulos siguientes se dedican al
estudio de la flexión, en sus múltiples aspectos. En los dos primeros de éstos se expone la
teoría general haciendo en uno de ellos un análisis del estado tensional que se crea en el
prisma mecánico cuando se le somete a flexión pura o flexión simple, y en el otro, el estudio
de las deformaciones producidas por la misma causa.
El importante tema del pandeo es tratado en el Capítulo 8, en el que hay que abandonar una
de las hipótesis fundamentales admitidas en Resistencia de Materiales cual es la de
pequeñez de las deformaciones.
Finalmente, un último capítulo se dedica al estudio de los estados tensional y de
deformaciones cuando la solicitación que actúa sobre el prisma mecánico es arbitraria. Era
necesario acabar la obra con un tema que nos hiciera ver la generalidad de aplicación de las
teorías de la Resistencia de Materiales a todo tipo de piezas.
En toda la obra se usa el Sistema Técnico de Unidades o el Sistema Internacional de
Unidades y para la solución de muchos de los problemas se usó software matemático.
Agradezco la ayuda y sugerencias de los docentes de Ingeniería Mecánica y
Electromecánica de la UMSA, quienes realizaron valiosos aportes al texto.

2. Contenido
Prefacio
INDICE
1 Conceptos Básicos de la Resistencia de Materiales
1.1. Objeto y Finalidad de la Resistencia de Materiales
1.2. Concepto de Sólido Elástico
1.3. Modelo teórico de sólido utilizado en Resistencia de Materiales. (Prisma
mecánico)
1.4. Principios generales de la Resistencia de Materiales
1.5. Tipos de Cargas exteriores sobre un prisma mecánico
1.6. Equilibrio estático y equilibrio elástico
1.7. Tipos de Solicitación
1.8. Determinación de las Cargas Internas (Método de las Secciones)
1.9. Tensiones o Tensiones
1.10. Deformación
1.11. Diagrama Tensión y Deformación
1.12. Constantes Elásticas
1.13,- Diagrama Tensión – Deformación para otros materiales
1.14. Diagramas Ideales
1.15. Coeficiente de Seguridad, Tensión Admisible y Carga Admisible
1.16. Falla frente a Cargas Estáticas y Variables
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
2 Tracción y Compresión
2.1. Introducción
2.2. Diagramas de Fuerzas Normales:
2.3.- Tracción Compresión Mono axial
2.4.- Tracción Compresión Biaxial
2.6.- Problemas Estáticamente Indeterminados (Hiperestáticos)
2.7.- Trabajo de las Fuerzas en Tracción Compresión (Energía Potencial de
Deformación)
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
3 Corte Puro
3.1. Introducción
2.2.- Tensiones y Deformaciones en Corte Puro
2.3. Problemas Estáticamente Indeterminados (Hiperestáticos)
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
4.- Torsión
4.1. Introducción
4.2. Diagrama de Momentos de Torsión:
4.3.- Torsión Circular
4.4 Torsión en Elementos con Sección Rectangular
4.5 Tensiones en Secciones Cerradas de Pequeño Espesor
4.6. Problemas Estáticamente Indeterminados (Hiperestáticos)
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
5.- Flexión - Fuerza Cortante y Momento Flector
5.1. Introducción
5.2. Cargas
5.3. Tipos de Apoyos
5.4. Tipos de Vigas
5.5. Cálculo de Reacciones
5.6. Momento Flector y Fuerza Cortante
5.7. Relación entre el momento Flector y la Fuerza Cortante
5.8. Determinación del Momento Flector y la Fuerza Cortante
5.9. Valores del Momento Flector y la Fuerza Cortante en los extremos
5.10. Cálculo de Momentos por funciones de Singularidad
5.11. Diagrama de Fuerzas Cortantes y de Momentos Flectores
PROBLEMAS RESUELTOS

3. PROBLEMAS PROPUESTOS
6.- Flexión – Tensiones Normales y Cortantes
6.1. Introducción
6.2. Tensiones Normales en Flexión
6.3. Tensiones Cortantes en Flexión
6.4. Perfiles Comunes Usados en Vigas
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
7.- Deformaciones en Flexión
7.1. Introducción
7.2 Línea Elástica
7.3 Método de la Ecuación Diferencial de la Elástica o Doble Integración del
Momento
7.4. Método de Superposición
7.5. Método del Área del Diagrama de Momentos o Teoremas de Mohr
7.6. Método de la viga conjugada
7.7. Sistemas Hiperestáticos
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
8.- Solicitación Compuesta
8.1. Introducción
8.2. Combinación de Tensiones
8.3. Combinación de Deformaciones
8.4 Casos de Solicitación Compuesta
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
9.- Métodos Energéticos
9.1. Introducción
9.2. Trabajo
9.3 Energía Potencial
9.4 Ecuaciones de la energía
9.5 Teorema de Castigliano
9.6 Ecuaciones de Castigliano
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
10.- Pandeo de Columnas
10.1. Introducción
10.2 Equilibrio Estable, Inestable e Indiferente
10.3. Tipos de apoyos y Columnas
10.4 Carga Crítica de Euler
10.5. Ecuación de la línea elástica:
10.6. Límites de Aplicación de la Formula de Euler
10.7. Columnas cargadas Excéntricamente – Formula de la Secante
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS

4. 1 Conceptos Básicos de la Resistencia de Materiales
1.1 Objeto y Finalidad de la Resistencia de Materiales
El objetivo del presente libro es establecer los criterios que nos permitan determinar el
material más conveniente, la forma y las dimensiones más adecuadas que hay que dar a los
elementos de una estructura o máquina para que puedan resistir la acción de las fuerzas y
momentos exteriores que los solicitan, así como para obtener este resultado de la forma
más económica posible.
Si se someten dos cables de la misma forma y dimensiones, pero de distinto material como
podían ser de acero y cobre a una misma fuerza por ejemplo el peso de un cuerpo, mismo
que se incrementa paulatinamente, se observa que el cable de cobre es el primero en el que
se produce la rotura. Por lo tanto se puede decir que el acero posee mayor resistencia
mecánica que el cobre, entendiendo por tal la capacidad de oponerse a la rotura al ser
sometido a una solicitación exterior.
En cuanto a las deformaciones que experimentan ambos materiales, también se observa
que son distintas. Se llama rigidez a la propiedad que presenta el material de oponerse a las
deformaciones.
Otro aspecto de gran importancia es la estabilidad, entendiendo por tal la capacidad de
oposición del elemento a grandes desplazamientos y deformaciones como resultado de las
cargas exteriores. El cálculo de la estabilidad de la pieza nos permitirá conocer su capacidad
de conservar las formas de equilibrio que adopta en estado deformado.
Teniendo presentes las anteriores consideraciones, podemos dar una definición más simple
aún que la dada inicialmente, y decir que Resistencia de Materiales es la ciencia que trata
del cálculo de la Resistencia Mecánica, Rigidez y Estabilidad de las piezas de una estructura
o máquina.
En el presente libro se estudiaran principalmente dos problemas fundamentales:
1.° Problema de dimensionamiento. Conocido el sistema de cargas que solicita a una pieza
de una estructura o máquina, calcular sus dimensiones para que la pieza resista y las
deformaciones que se originan no sobrepasen unos valores límites fijados de antemano.
2.° Problema de comprobación. Conocida la solicitación exterior y terminado el
dimensionamiento de una pieza, comprobar su resistencia y calcular las deformaciones.
La Resistencia de Materiales tiene importantes aplicaciones en todas las ramas de la
ingeniería. Sus métodos los utilizan los ingenieros aeronáuticos y navales para el diseño y
construcción de aviones y barcos, respectivamente; los ingenieros civiles, al proyectar
puentes, presas y cualquier tipo de estructura; los ingenieros de minas, para resolver la
necesidad de conocimientos de construcción que exige su profesión; los ingenieros
mecánicos y electromecánicos. para el proyecto y construcción de maquinaria y todo tipo de
construcciones mecánicas, como son los recipientes a, presión; los ingenieros energéticos,
para proyectar los diferentes componentes de un .reactor; los ingenieros metalúrgicos, por la
necesidad que tienen del conocimiento de los materiales actuales para la búsqueda de
nuevos materiales: los ingenieros eléctricos, para el proyecto de máquinas y equipos
eléctricos, y, en fin, los ingenieros químicos, para el diseño de instalaciones en industrias de
su especialidad.

5. 1.2 Concepto de Sólido Elástico
La Estática y la Mecánica Teórica consideran indeformables los cuerpos materiales, ya se
encuentren en estado de movimiento o de reposo. Las conclusiones que se obtienen con
esta suposición son en gran número de casos buenas aproximaciones de lo que realmente
ocurre. Pero para determinar la resistencia de una pieza y sus deformaciones se deben
analizar los cuerpos como deformables.
Según lo indicado se pueden considerar los sólidos como: a) Sólido rígido, b) Sólido elástico
y c) Sólido verdadero.
a) Sólido rígido.- Es aquel que se supone indeformable y que ante cualquier carga (por
grande que sea) a que está sometido, la distancia entre dos moléculas cualesquiera
permanece invariable.
b) Sólido elástico.- Es aquel que ante una tensión exterior se deforma y recupera su forma
original al cesar la causa exterior. A los sólidos elásticos se les supone una serie de
cualidades como son las de isotropía, homogeneidad y continuidad. Un cuerpo es isótropo
cuando sus propiedades físicas no dependen de la dirección en que se han medido en dicho
cuerpo. El sólido es homogéneo si toda región del mismo posee idéntica composición y
características que otra cualquiera. Finalmente el cuerpo es continuo si no existen huecos
entre partículas ni, por consiguiente, distancias intersticiales.
c) Solido verdadero.- Las propiedades de isotropía, homogeneidad y continuidad no
concurren en ningún material, ya sea natural o elaborado por el hombre: no es posible que
se dé un grado de elasticidad exactamente igual en todas las direcciones debido a la
distribución de sus átomos o moléculas en redes cristalinas ordenadamente dispuestas.
Tampoco existe en la realidad la homogeneidad perfecta, así como sabemos por las teorías
modernas de la materia que ésta no es continua y que existen espacios vacíos entre las
moléculas y entre los mismos átomos que la componen. Por lo tanto en algunos materiales
como la madera y el hormigo el cuerpo no puede ser analizado como Solido Elástico y debe
ser analizado como solido verdadero. Entonces sólido verdadero es aquel que resulta de
considerarlo como deformable ante las cargas a que está sometido y falto de isotropía,
homogeneidad y continuidad
El considerar a los sólidos continuo es muy cómoda, pues permite admitir, cuando existe
una deformación debida a la aplicación de una fuerza a unas moléculas del sólido, que el
tensión es absorbido en parte por las moléculas próximas y de esta forma queda repartido
de forma continua y apta para el cálculo. Los materiales a que nos refiramos en lo sucesivo
los consideraremos como sólidos elásticos. Quiere ello decir que si microscópicamente no
son ciertas las hipótesis que se lo hacen, sí lo son macroscópicamente, pues los resultados
que se obtienen quedan sancionados por la experiencia. Aún podremos en muchos casos,
por ejemplo, cuando falte la homogeneidad en un sólido, considerar la existencia de varios
sólidos elásticos dentro del sólido dado, cada uno de los cuales estará concretado por zonas
que posean perfecta homogeneidad, y aplicarles las consideraciones teóricas que hagamos
para los sólidos elásticos en general.
1.3 Modelo teórico de sólido utilizado en Resistencia de Materiales. (Prisma mecánico)
Con objeto de estudiar los sólidos elásticos se crea un modelo teórico que se denomina
prisma mecánico, que desde el punto de vista físico posea las propiedades de isotropía,
homogeneidad y continuidad y que se define atendiendo a un criterio meramente
geométrico.

6. Se llama prisma mecánico al sólido engendrado por una sección plana S de área cuyo
centro de gravedad G describe una curva llamada línea media o directriz, siendo el plano
que contiene a S normal a la curva.
La mayoría de las piezas pueden considerarse como uno de los siguientes tipos de prismas:
a) Barra. Se llama así al prisma mecánico cuyas dimensiones de la sección transversal son
pequeñas, en comparación con la longitud de la línea media. Pertenecen a este tipo los
elementos de estructuras y los cables, por ejemplo. Este es tipo de prisma mecánico más
usado. Adicionalmente la mayor parte de barras son planos, es decir con línea media
contenida en un plano, siendo éste, además, plano de simetría del prisma.
En estructuras de hormigón armado se emplean sección transversal rectangular y cuadrada,
mientras que en estructuras metálicas secciones muy usuales son el perfil laminado doble te
I en vigas, o dos secciones en U soldadas en pilares.
Fig. 1 Barra
b) Placa. Es un cuerpo limitado por dos planos, cuyo espesor es pequeño en comparación
con las otras dos dimensiones.
Fig. 2 Placa
Pertenecen a este tipo las losas que se fabrican para tapar depósitos subterráneos, as;
como las placas utilizadas como forjados en las edificaciones.
c) Cascara. Es un cuerpo limitado por dos superficies no planas, cuya distancia es pequeña
en comparación con las otras dos dimensiones (Fig. 1.7).
Fig. 3 Cascara
Son de este tipo los depósitos, como los tanques de agua, silos, gasómetros, etc., así como
las tuberías de gran diámetro y, en general, las estructuras laminares. En los últimos tipos,
es decir, en placas y cascaras, en vez de línea media se utiliza la superficie media, que se
define como la constituida por los puntos que dividen el espesor en dos partes iguales.

7. 1.4 Principios generales de la Resistencia de Materiales
Como se mencionó anteriormente la Resistencia de Materiales requiere hipótesis
simplificativas, en el presente texto se asumen las siguientes hipótesis:
a) Los materiales se consideran continuos.- La mayoría de los materiales cumple con esta
hipótesis aun cuando existan poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la
materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen
espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada.
b) Los materiales se consideran homogéneos.- Con esta hipótesis se consideran las
propiedades idénticas en todos los puntos.
c) Los materiales se consideran isótropos.- Con esta hipótesis se consideran las
propiedades idénticas en todas las direcciones. Los metales son materiales homogéneos e
isótropos y la madera, el hormigón y la piedra no lo son.
d) Las fuerzas interiores que preceden a las cargas son nulas.- Las fuerzas interiores entre
las partículas del material se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo
sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares
que existen en un sólido no sometido a cargas.
e) Es válido el principio de superposición de efectos.- Debido a que las deformaciones de los
cuerpos son pequeños en comparación con las dimensiones del mismo, las ecuaciones de
equilibrio correspondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuración
inicial, es decir, sin deformaciones, y que las deformaciones son proporcionales a las
cargas.
f) Es aplicable el principio de Saint Venant.- Según este principio las fuerzas interiores en los
puntos de un sólido, situados lejos de los lugares de aplicación de las cargas no dependen
del modo de aplicación de las mismas, por lo que se puede sustituir un sistema de fuerzas
por otro equivalente
1.5 Tipos de Cargas exteriores sobre un prisma mecánico
Las cargas exteriores sobre una pieza están constituidas por las cargas directamente
aplicadas y las reacciones debidas a los apoyos. Las cargas se clasifican en:
a) Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie.- Las primeras actúan sobre todos los puntos
del sólido y se deben a campos de fuerzas tales como el campo gravitatorio, el campo de
fuerzas de inercia, o el campo magnético. Las fuerzas de superficie son las que se aplican a
la superficie exterior del prisma. Pueden ser concentradas o repartidas.
b) Cargas concentradas y distribuidas.- Las cargas concentradas son aquellas que se
aplican en un punto mientras que las cargas distribuidas las que están aplicadas en
porciones de área o volumen, En la naturaleza no existen fuerzas concentradas sino solo
distribuidas sin embargo cuando el área o volumen de aplicación son pequeños las cargas
pueden considerarse como concentradas. Las cargas distribuidas pueden ser de superficie
(presión del viento o del agua sobre una pared) o de volumen (peso propio).
c) Cargas estáticas y dinámicas.- Las cargas cuya magnitud, punto de aplicación y dirección
no varían o lo hacen muy lentamente, se llaman cargas estáticas mismas que no provocan
vibraciones de las estructuras o elementos, mientras que las cargas que varían con el
tiempo se llaman cargas dinámicas y son las que provocan vibraciones

8. Si la variación de la carga es de carácter periódico, es decir, que los valores máximos de la
carga se repiten cada determinado intervalo de tiempo las cargas se denominan cargas de
régimen estable o cargas de repetición periódica. La resistencia para cargas estables se
analiza en el presente libro pero no para cargas de régimen no estable.
1.6 Equilibrio estático y equilibrio elástico
Para que un sólido rígido se encuentre en equilibrio es necesario y suficiente que se
verifiquen:
1 Que la suma de las fuerzas que actúan sobre el sólido sea igual a cero, o lo que es lo
mismo, que la resultante sea nula. Esta condición asegura que el sólido no tenga
desplazamientos.
2 Que el momento resultante de todas las fuerzas respecto de cualquier punto sea igual a
cero. Esta condición asegura que el sólido no experimente giros.
En un Sólido Elástico estas condiciones son necesarias pero no suficientes, ya que si
suponemos realizado en el sólido un corte ideal y prescindimos de una de las partes, es
necesario que el sistema de fuerzas interiores en los puntos de la sección ideal sea
equivalente al sistema de fuerzas que actúan sobre la parte eliminada. Así, para el equilibrio
en un sólido elástico no sólo se requieren las condiciones del equilibrio estático, sino
también que exista equilibrio entre las fuerzas exteriores y las internas en cada una de las
infinitas secciones.
Esta última condición es la característica del equilibrio elástico: es necesario que las fuerzas
exteriores que actúan sobre el sólido sean contrarrestadas por las fuerzas interiores de
cohesión molecular.
1.7 Tipos de Solicitación
Considérese un cuerpo en equilibrio sometido a la acción de fuerzas y momentos externos,
en cualquier sección interna aparecen una fuerza y un momento resultantes internos que
equilibran las cargas externas. Los valores de la fuerza y el Momento internos se hallan
generalmente con las ecuaciones de la estática
P1
P2
P3
P4
Pn
M1
P1
M2
M3
Mn
Fuerza Interna
Momento Interno
Fig. 4 Fuerza y Momento Internos
La fuerza y el momento internos pueden descomponerse en componentes paralelas y
normales a la sección. Del análisis individual de estas componentes definen los diferentes
tipos de carga. Así la Fuerza Normal produce cargas Normales de Tracción Compresión, la
Fuerza Tangencial produce cargas de Corte, el Momento Normal produce cargas de Torsión
y el Momento Tangencial produce cargas de Flexión.

9. a) Tracción Compresión.- Un cuerpo está sometido a Solicitación de Tracción o
Compresión, cuando sobre él se apliquen fuerzas paralelas al eje centroidal y
perpendiculares a la sección transversal. Dependiendo si la carga tiende a estirar o a
comprimir la pieza, la carga será de tracción o compresión.
Fig. 5 Tracción
b) Corte.- Un cuerpo está sometido a Solicitación de Corte cuando sobre él se apliquen
fuerzas perpendiculares al eje centroidal y paralelas a la sección transversal.
Fig. 6 Corte
c) Torsión.- Un cuerpo está sometido a Solicitación de Torsión cuando sobre él se aplican
Momentos paralelos al eje centroidal y perpendiculares a la sección transversal.
Fig. 7 Torsión
d) Flexión.- Un cuerpo está sometido a Solicitación de Flexión cuando sobre él se aplican
Fuerzas y Momentos perpendiculares a su eje centroidal y paralelos a la sección
transversal.

10. Fig. 8 Flexión
e) Cargas Combinadas.- Los cuerpos y elementos en condiciones reales presentan
combinaciones de los anteriores tipos de carga. En el presente texto inicialmente se
analizan los tipos de carga de forma individual y su combinación se analiza posteriormente
1.8 Determinación de las Cargas Internas (Método de las Secciones)
En un cuerpo sometido a fuerzas y momentos, para hallar las cargas internas por el método
de corte o secciones se imagina un plano imaginario que seccione o divida el cuerpo en dos
partes. Para que cada parte este en equilibrio, en la superficie de corte de cada una de las
partes por la interacción que ejerce la otra deben actuar una fuerza y un momento internos
que equilibran las cargas exteriores, que actúan sobre la parte separada. Los valores de la
Fuerza y el Momento internos se pueden hallar generalmente con las ecuaciones de la
estática
P1
P2
P3
P4
Pn
M1
P1
M2
M3
Mn
Fuerza Interna
Momento Interno
Fig. 9 Fuerza y Momento Internos
La fuerza y el momento internos tienen componentes tangencial y normal a la sección. La
componente normal de la fuerza a la sección “N” produce tracción, la componente tangencial
de la fuerza a la sección “Q” produce corte, la componente normal del momento a la sección
“Mt” produce torsión y la componente tangencial del momento a la sección “Mf” produce
flexión. Frecuentemente las fuerzas exteriores se encuentran en un mismo plano, los
momentos exteriores perpendiculares a este plano y no existen momentos de torsión Mt
Fig. 10 Configuración Frecuente

11. 1.9 Tensiones o Tensiones
a) Análisis Molecular
Considérese una barra sometida a la acción de dos fuerzas iguales, opuestas y colineales
en sus extremos. Se verifica el equilibrio: P - P = 0
Fig. 11 Fuerzas en las Moléculas
Realizando un análisis molecular, la fuerza externa se distribuye en pequeñas fuerzas
tirando de cada molécula, que tratan de separarla de sus vecinas, sin embargo la atracción
entre moléculas opone resistencia con una fuerza igual y contraria, lo que finalmente impide
que las moléculas se alejen entre sí. Tomando un par de ellas se verifica que:
-Pi Fi - Fi Pi (1.1
Donde Pi es la acción sobre cada molécula generada por las fuerzas “P” y “Fi “ la reacción
que opone el material generada por la atracción molecular (o Atómica).
Aumentando “P” aumenta la reacción Fi , que podrá crecer hasta un determinado límite, más
allá del cual las moléculas se separan irremediablemente, y como consecuencia la barra se
deforma permanentemente o se separa.
b) Hipótesis de Navier
Según esta hipótesis los sólidos homogéneos se imaginan como una sucesión de
innumerables secciones transversales paralelas entre si y perpendiculares a su eje
longitudinal (similar naipes pegados entre sí). Cada sección es tan delgada como el
diámetro de un átomo y los átomos están ordenados según un arreglo matricial
Fig. 1.12 Hipótesis de Navier
Entonces : n
P
Pi 
(1.2
P y Pi Fuerzas externa e interna sobre cada átomo
“n” el número de átomos que hay en la sección transversal.

12. c) Vector Tensión
Considérese un cuerpo sometido cargas exteriores, si el mismo es cortado idealmente en
dos partes A y B por medio de un plano π y se suprime una de las partes, por ejemplo la B,
de la condición de equilibrio elástico se concluye que en toda la sección S aparece una
distribución continua de fuerzas
Fig. 1.13 Vector Tensión
Si df es la fuerza resultante en un punto P, se define como tensión en el punto a:
A
F
Area
Fuerza
Esfuerzo 

(1.3
dS
f
d
S
f
t dS






 0
lim
(1.4
El tensión o tensión es un vector colineal con df.
e) Tipos de Tensiones o Tensiones
El vector tensión puede descomponerse en una componente normal al plano () que recibe
el nombre de tensión normal y en una componente paralela al plano () que recibe el
nombre de tensión tangencial o cortante. A ambas tensiones se denomina componentes
intrínsecas del vector tensión.
Fig. 1.14 Tensiones Normales y Cortantes
La tensión normal provoca que las partículas que están en el plano dado, tiendan a
separarse o a acercarse mientras que las tensiones tangenciales provocan el deslizamiento
de las partículas del material, en el plano de la sección en cuestión.

13. Los materiales no tienen una determinada resistencia a las fuerzas y momentos, ya que ella
depende de las dimensiones, pero sí tienen determinadas resistencias a las tensiones
normales y cortantes
En las caras de un elemento diferencial cúbico actuarán en el caso general las tensiones de
la figura
Fig. 1.15 Estado tensional
f) Densidad de Tensiones
Fig. 1.16 Densidad de Tensión
Cuando una barra de sección variable se somete a cargas de tracción F, en cualquier
sección transversal aparece una fuerza interna F que equilibra a la externa que se distribuye
en tensiones normales. Sin embargo la magnitud de estos tensiones es variable debido a la
variación del área. Estos tensiones son mayores donde las secciones normales son las
menores y viceversa. Dibujando líneas equidistantes de la periferia se puede apreciar que
ellas tienen mayor “concentración” o “densidad” donde el área es menor. La magnitud de las
tensiones es proporcional a la concentración de líneas equidistantes. Este fenómeno es
similar a la velocidad que adquiere un fluido en una tubería por lo que también es conocido
por flujo de tensiones.
g) Concentradores de tensión
Fig. 1.17 Concentración de Tensiones
Los cambios o variaciones de las secciones transversales de una pieza y especialmente las
variaciones bruscas, resultan en la magnificación de las tensiones efecto conocido como
Concentración de Tensiones.

14. Las hendiduras, agujeros y cambios de sección bruscos son Concentradores de Tensiones.
Se ha podido verificar que por ejemplo un agujero circular en una placa plana incrementa las
tensiones hasta tres veces.
1.10 Deformación
Consideremos dos puntos P y Q en un sólido elástico en estado neutro, sin carga, es decir,
no sometido a solicitación alguna
Fig. 1.18 Deformación
Aplicadas las cargas externas hay deformación y los dos puntos pasan a las posiciones P' y
Q'. Se definen como deformación total y unitaria a la variación de distancia entre estos dos
puntos y a la variación sobre la distancia original, respectivamente
r
d
r
d
Q
P
Q
P





 '
'
'
'
'

(1.5
r
d
r
d
r
d
PQ
PQ
Q
P







'
'
'

(1.6
Los sólidos, bajo la acción de cargas externas se deforman y cambian sus dimensiones o
forma, Al cambio de dimensión se le denomina deformación lineal y al cambio de forma
deformación angular.
a) Deformación provocada por Cargas de Axiales
Fig. 1.19 Deformación por Cargas Axiales
Una barra sometida a cargas axiales además de experimentar una deformación en la
dirección de axial también presenta otra deformación en la dirección transversal. Las cargas
de tracción provocan alargamiento en la dirección axial y adelgazamiento en la dirección
transversal, mientras que las cargas de compresión provocan acortamiento en la dirección
axial y ensanchamiento en la dirección transversal.
Las deformaciones se cuantifican con:
δ = lf - lo Deformación longitudinal (1.7

15. ε = (lf – lo)/lo Deformación longitudinal unitaria (1.8
δq = df - do Deformación transversal (1.9
εq = (df – do)/do Deformación transversal unitaria (1.10
Donde lf, lo, df y do son las longitudes y diámetros final e inicial
b) Deformación provocada por Cargas de Corte
Las cuerpos sometidos a cargas de corte no presentan deformaciones significativas (no se
verifica cambio de dimensiones) pero si presentan distorsión (se verifica cambio de forma).
Fig. 1.20 Distorsión por Cargas de Corte
La deformación se cuantifica con:
γ Angulo de inclinación de las caras
c) Deformación provocada por Cargas de Torsión
Las barras sometidas a cargas de torsión no presentan deformaciones longitudinales sino
rotaciones o deformaciones angulares entre secciones. Las secciones transversales giran
una respecto a otra.
Fig. 1.21 Deformación por Cargas de Torsión
La deformación se cuantifica con:
φ Angulo de rotación entre secciones de los extremos de la barra
d) Deformación provocada por Cargas de Flexión
Los cuerpos generalmente rectos sometidos a cargas de Flexión se vuelven curvos por lo
que presentan deformaciones lineales y angulares.

16. Fig. 1.22 Deformación por Cargas de Flexión
Las deformaciones se cuantifican con:
ô Deformación lineal
θ Deformación angular
1.11 Diagrama Tensión y Deformación
La deformación depende de las cargas externas y consecuentemente de las tensiones y de
fuerzas de atracción molecular, es decir, de la estructura interna del material. Para obtener
la relación entre tensiones y deformaciones se procede por vía experimental mediante
ensayos realizados en el laboratorio, en donde se comprueba, en efecto, que para dos
piezas de distintos materiales, de iguales dimensiones y sometidas al mismo estado de
cargas, las deformaciones son distintas.
El ensayo más simple que se hace es el de tracción. En este ensayo sometiendo una pieza
de dimensiones normalizadas llamada probeta a una carga de tracción que se aumenta
gradualmente hasta la rotura.
En la probeta se realizan previamente dos marcas, que determinan una longitud
denominada distancia entre puntos, sobre las que se efectúa, por medio de un
extensómetro, la medida de los alargamientos.
Si A es la sección de la probeta y P la fuerza aplicada en sus extremos en dirección axial, la
fuerza origina en el interior del material un estado de tensiones que se supone constante.
A
P


(1.11
La probeta, debido al tensión, se alarga. La deformada unitaria longitudinal es:
o
o
f
l
l
l 


(1.12
Aumentando progresivamente el valor de P, midiendo ε y llevando los valores a un gráfico,
se obtiene para el acero dulce el diagrama tensión-deformación similar al de la figura

17. Fig. 1.23 Diagrama ζ - ε
En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características:
a) Período elástico.- Este período queda delimitado por la tensión Se (límite de elasticidad).
El límite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta
elásticamente, es decir que producida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En
la práctica, este límite se considera como tal cuando en la descarga queda una deformación
especifica remanente igual al 0.001 %.
Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el Sp (límite de proporcionalidad),
dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda zona entre Sp y Se, si bien es
elástica, no manifiesta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones.
En la primera zona:
E
d
d






(1.13
En la segunda zona
)
(


f
d
d

(1.14
En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí.
b) Período elasto-plástico.- Para tensiones superiores al límite elástico, la pieza no recobra
su dimensión original y la deformación es permanente acorde con la carga aplicada. A
medida que aumenta la solicitación, la gráfica disminuye el valor de su tangente, tendiendo a
anularse en el tramo final del período, al cual se llega con un valor de tensión que se indica
como Sy (tensión de fluencia).
c) Período plástico (fluencia).- Una vez arribado al valor de tensión Sy (límite de fluencia),
el material fluye, aumentan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. El
fenómeno no es tan simple, ya que la tensión oscila entre dos valores cercanos entre sí,
denominados límites de fluencia superior e inferior, respectivamente. La tensión de
proporcionalidad es aproximadamente 80% la de fluencia

18. Fig. 1.24 Líneas de Chernov - Lüders
Los experimentos demuestran que durante la fluencia se producen deslizamientos relativos
entre los cristales y en la superficie de la probeta aparecen las llamadas líneas de Chernov -
Lüders, que forman con el eje de la misma un ángulo de 45º.
d) Período de endurecimiento y de estricción.- Luego de la fluencia hay un
reacomodamiento cristalográfico y el material se endurece e incrementa su resistencia, es
decir, admite un incremento de carga. En este período las deformaciones son muy
pronunciadas. La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo, denominado “tensión de
rotura”, a partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada
deformación de rotura, produciéndose la rotura física. La tensión Sut no es en realidad la
máxima tensión que se origina en la probeta sometida a carga. En efecto, alcanzado el valor
de la deformación específica correspondiente a Sut, comienza a manifestarse en la probeta
un fenómeno denominado “estricción”.
Fig. 1.25 Fenómeno de estricción
La estricción es la reducción de una sección central de la pieza, misma que hace que las
tensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar su
concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de Sut y cambia su
curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformación de rotura.
Entonces el diagrama que anterior suele denominarse “diagrama convencional, ya que los
cálculos de las tensiones se realizan siempre sobre la base de suponer la sección
transversal constante, con área igual a la inicial.
La estricción se mide por el “coeficiente de estricción lateral” con la siguiente expresión:
f
f
i
A
A
A 


(1.15
Dónde:
Ai y Af área inicial y final respectivamente
En los aceros comunes φ ≈ 50 %

19. Fig. 1.26 Diagrama ζ - ε efectivo y convencional
Para tensiones mayores a la fluencia como M en la gráfica la pieza presenta deformaciones
permanentes. Cuando se quita la carga las tensiones y deformaciones desaparecen a través
de una recta paralela a la del período elástico. Si la probeta vuelve a cargarse la curva llega
al punto N, pero con un nuevo recorrido donde ya no existe el período de fluencia y la zona
recta se prolonga hasta un valor ζ'p > ζp.
Fig. 1.27 Endurecimiento mecánico del acero dulce
Este fenómeno se denomina endurecimiento mecánico o por trabajo en frío, y también
puede lograrse por laminado en frío, trefilado o torsión. El trefilado se utiliza para endurecer
alambres o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en
general, con conformaciones superficiales), para hormigón armado.
Para aceros endurecidos mecánicamente o los de dureza natural, logrado por un mayor
contenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama ζ - ε es distinto del
que se vio. Las características más importantes son las siguientes:
- Sus límites de proporcionalidad y elasticidad son más elevados que los aceros comunes.
- No poseen un límite de fluencia definido ni tampoco zonas de escurrimiento plástico.
- La deformación de rotura se reduce considerablemente.
Al no existir un límite de fluencia definido, este se determina en forma convencional como la
tensión para la cual la deformación especifica remanente alcanzan al 0.2 %.

20. Fig. 1.28 Límite Convencional de Fluencia 0,%
Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran capacidad de deformación
antes de alcanzar la rotura, se denominan “dúctiles”. Se puede decir que estos materiales
avisan la rotura física, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tan
grandes, que la estructura llega a la falla por este motivo.
Los materiales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce bruscamente, sin
grandes deformaciones previas, se denominan “frágiles”.
e) Elasticidad y Plasticidad.- La propiedad que posee un material de volver parcial o
completamente a su forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llama
“elasticidad”. Si la pieza recupera completamente su longitud inicial, se dice que el material
es “perfectamente elástico” sino “parcialmente elástico”. Un material es “perfectamente
plástico” cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración
deformada.
En la realidad ningún material es perfectamente elástico o plástico, pero el acero, aluminio,
goma, la madera y el hormigón se consideran perfectamente elásticos dentro de ciertos
límites. Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como
perfectamente plásticos.
1.12 Constantes Elásticas
El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite definir las constantes elásticas,
a) Módulo de Elasticidad Longitudinal (E).- Considérese una barra recta sometida a
tracción.
Fig. 1.33 Barra de sección constante sometida a tracción
La deformación unitaria es :

21. L
L

 
(1.16
En la zona elástica, las tensiones son proporcionales a las deformaciones
Fig. 1.34 Proporcionalidad entre ζ – ε en la zona elástica
E
Tg 




(1.17

 E
 (1.18
Ecuación conocida como de Hooke. La constante E, se conoce como módulo de elasticidad
longitudinal o módulo de Young. Es la más importante de las cuatro constantes elásticas.
b) Módulo de Elasticidad Transversal (G).- Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior
y con una fuerza P en su cara superior.
Fig. 1.35 Distorsión provocada por tensiones cortantes
La deformación se cuantificada por el ángulo y la tensión tangencial o cortante es:
A
P


(1.19
La grafica entre - es similar a la vista anteriormente para las tensiones normales.

22. -
Dentro de la zona elástica, la constante que vincula la tensión tangencial con la deformación
angular, es llamada módulo de elasticidad transversal o módulo de rigidez (G).
G
Tg 




(1.20
Esta es la ecuación de Hooke para tensiones cortantes. Para el acero común Sy’ = 0,57 Sy
c) Coeficiente de Poisson
Al someter a una barra a un tensión axial, además de experimentar deformación según la
dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en la dirección normal a ella.
Fig. 1.37 Deformaciones Longitudinal y Transversal
Las deformaciones unitarias son:
L
L



(1.21
a
a
q



(1.22
Experimentalmente se ha visto que ambas deformaciones son proporcionales
εq = ν ε (1.23

23. ν se define como el coeficiente o módulo de Poisson y su valor depende del material, En
general para materiales isótropos, varía entre 0,25 y 0,33. En cualquier caso ν < 0,50
Valores de Constantes Elásticas según el material
Material E (Ton/cm²) γ
Acero 2.000 a 2.100 0.22 a 0.33
Cobre 1.160 a 1.300 0.31 a 0.34
Bronce 1.100 0.32 a 0.35
Hierro fundido 750 a 1600 0.23 a 0.27
Aluminio 760 0.32 a 0.36
Madera (paralela a la fibra 80 a 120 -
Hormigón 150 a 350 0.10 a 0.20
Mampostería de ladrillo < 120 -
Caucho 0.01 0.47
Corcho - » 0.00
Los módulos de elasticidad longitudinal y transversal están relacionados por:
E = 2 G ( 1 + ν ) (1.24
Donde ν es el coeficiente de Poisson
1.13 Diagrama Tensión – Deformación para otros materiales
En la figura 1.29 se presentan los diagramas tensión – deformación para diferentes
materiales. Ahora bien como se observa en la figura 1.30, hay algunos materiales para los
cuales se observa que el diagrama ζ - ε es una curva continua sin tramos rectos, es decir,
que prácticamente en ningún momento se verifica la ley Hooke. Un ejemplo clásico es el
hormigón, donde interesa la curva ζ - ε en compresión.


Mat. Dúctil
Mat. Frágil


Acero de Alta Calidad
Acero Media Calidad
Acero Corriente
Fig. 1.29 Diagramas Tensión Deformación

24. En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Cabe distinguir tres
valores del módulo de elasticidad:
Fig. 1.30 Módulos Tangentes y Secantes
a) Módulo al origen.- Es el valor al origen
E = tg α (1.25
b) Módulo Instantáneo.- Su valor lo da la pendiente a la curva ζ - ε en cada punto:
)
( o
tg
d
d
E 




(1.26
c) Módulo Secante.- Su valor viene dado por la tangente trigonométrica del ángulo α1. Para
estos materiales, Bach, propuso como relación entre ζ - ε una ley de tipo exponencial que
lleva su nombre:
ζk
= E e (1.27
el coeficiente k depende del material (valor medio, ya que depende de muchas variables):
Material Coeficiente k
Hormigón k = 1,15
Cobre k = 1,10
Latón k = 1,085
Cuero k = 0,70
Fig. 1.31 Diagramas no lineales ζ - ε
En el caso que k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales presentan un
comportamiento diferente en compresión que a tracción, tal es el caso del hormigón.

25. 1.14 Diagramas Ideales
Los diagramas que se vieron a veces son reemplazados por diagramas idealizados por
Prandtl, resumiendo las características fundamentales de los tres tipos de materiales. El
diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dos tramos rectos: uno
inclinado, correspondiente al período elástico; el otro horizontal, materializando el período de
fluencia. El período de endurecimiento no interesa porque la deformación al final de la
fluencia es tan significativa que el material está en falla antes de llegar a la rotura.
Fig. 1.32 Diagramas ideales a) material dúctil b) material frágil c) material plástico
En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es próximo a la tensión de rotura,
prescindiéndose del tramo curvo y en materiales plásticos el diagrama es una recta
horizontal, lo que significa que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin
incremento de tensión.
1.15 Coeficiente de Seguridad, Tensión Admisible y Carga Admisible
No hay la seguridad absoluta y las piezas están amenazadas por incertidumbres.
Existen numerosas causas de incertidumbres: Las hipótesis de cargas, las hipótesis de
cálculo, los errores de cálculos, los defectos del material, los errores de las dimensiones, los
errores de ejecución, etc.
La falla de una pieza puede provocar pérdidas económicas y humanas por lo que se debe
buscar la máxima seguridad. Para evitar la falla, la tensión máxima en una pieza no debe
superar un valor límite. Para materiales dúctiles el valor límite es el límite de fluencia y para
de materiales frágiles es el límite de resistencia o tensión de rotura
Sadm = Sy/  Para materiales dúctiles (1.28
Sadm = Sut/  Para materiales frágiles (1.29
Donde  es el coeficiente de seguridad. La elección del coeficiente de seguridad es
compleja pero disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero;
indican valores que varían entre 1.25 y 1.60, para estructuras de hormigón armado, los
coeficientes de seguridad varían entre 1,75 y 2,10 y en la construcción de máquinas el valor
varía, entre 1.5 a 2.5.

26. 1.16 Resistencia para Cargas Estáticas y Variables
a) Cargas Estáticas.- Son aquellas cuya magnitud no varía con el tiempo,
P
t
P
min
P
max
Fig. 1.38 Carga Estática
Como se mencionó anteriormente, la falla frente a cargas estáticas se previene con :
 = E  < Sadm (1.30
 = G  < S’adm (1.31
b) Cargas Variables.- Son aquellas cuya magnitud varía con el tiempo. Cuando la variación
es de carácter periódico y los valores máximos de la carga se repiten cada determinado
intervalo de tiempo las cargas se denominan de régimen estable o de repetición periódica.
En el presente libro se analiza la resistencia solo para cargas estables
P
t
P
min
P
max





 

2
min
max P
P
Pmed
Fig. 1.39 Carga variable de régimen estable
Los dos casos más comunes de cargas variables de régimen estable son:
- Cargas Intermitentes.- Son aquellas que aparecen y desaparecen. Es decir que varían
periódicamente de un valor máximo a cero. ( Pmin = 0 )
P
t
P
min
P
max







2
max
P
Pmed
Fig. 1.40 Carga Intermitente
- Cargas Alternantes.- Son aquellas cuya magnitud cambia de un valor positivo al mismo
valor negativo. ( Pmax = - Pmin)

27. P
t
P
min
P
max
0
2
min
max






 

P
P
Pmed
Fig. 1.41 Carga Alternante
Existen varias teorías para verificar la falla frente a cargas variables. En el presente libro se
desarrollará sólo la teoría de Goodman Modificado.
Esfuerzos Máximos
Esfuerzos Medios
Esfuerzos Míni mos
45º
Sy
Sut
Se
-Se
med
Fig. 1.42 Diagrama de Goodman Modificado
Según esta teoría la pieza no falla mientras las tensiones se encuentran dentro de la región
sombreada.
Para construir el diagrama se necesitan: El Limite de Rotura Sut , El Limite de Fluencia Sy y
el Limite de Resistencia a la fatiga Se (cuyo valor aproximado es la mitad de la resistencia a
la rotura. Se = Sut/2). Por cada una de estas tensiones se traza una línea horizontal que
intersecte a una línea a 45 grados que constituye la línea de Tensiones Medias.

28. PROBLEMAS RESUELTOS
1.1. Se tiene dos cables metálicos, el primero de Aluminio con un diámetro de 1 mm y el
segundo de Acero con un diámetro de 0.5 mm. Tomar Sy al = 283 Mpa (2884.8 Kg/cm²) y Sy
ac = 428 Mpa (4362.8 Kg/cm²). Se pide hallar la carga máxima que pueden soportar ambos
cables y cuál es el de mayor resistencia
Cable Al
 0.1 [cm]
Cable Ac
 0.05 [cm]
(a) (b)
Solución:
Para evitar la falla
 = P/A < Sy
Despejando P =  d2 Sy /4
Reemplazando valores
Pal = 22.65 Kg
Pac = 8.56 Kg
El cable de aluminio es más resistente.
1.2. Dos piezas “a” y “b” con una longitud inicial de 10 cm y 100 cm, se deforman hasta
alcanzar longitudes finales de 11 cm y 105 cm respectivamente. Se pide calcular la
deformada total y unitaria
Solución:  = lf – l
 =  / l = (lf - l)/ l
a = 1 cm
a = 0.1 (10%)
b = 5 cm
b = 0.05 (5%)
Nótese que: a < b pero a > b
1.3. Si en el problema anterior los diámetros de ambas piezas es de 1 cm. Se pide calcular
la deformada total y unitaria transversal. Tomar  = 0.3
Solución: q = - 
df = q d + d

29. qa = - 0.03 (3%)
dfa = 0.97 cm
qb = - 0.015 (1.5%)
dfb = 0.985 cm
1.4. Para el problema 1.2 se pide hallar las tensiones a los que están sometidas las piezas si
son de acero. Tomar E = 2.1 x 10 6 Kg/cm²
Solución:  = E 
a = 0.1 (10%)
b = 0.05 (5%)
Entonces a = 210000 Kg/cm²
b = 105000 Kg/cm²
Ningún material soporta estos tensiones. Estas deformadas (10 y 5 %) son imposibles.
1.5. Cuál es la deformada máxima que puede tener un acero antes de fallar.
Tomar Sy = 428 Mpa (4362.8 Kg/cm²) y E = 2.1 x 10 6 Kg/cm²
Solución:  < Sy
 = E 
 < = Sy/ E = 0.00207 (0.2%)
1.6. Una carga de 100 Kg se aplica a dos piezas de aluminio y acero con el mismo diámetro
de 1 cm. Tomando Eacero = 2.1 x 10 6 Kg/cm², Ealuminio = 0.9 x 10 6 Kg/cm², Sy acero = 428 Mpa
(4362.8 Kg/cm²) y Sy aluminio = 283 Mpa (2884.8 Kg/cm²). Se pide hallar : La relación de
deformadas y la relación de factores de seguridad.
Solución:  =  / E
 = Sy/
acero = P/A = aluminio
acero/aluminio = Ealuminio / Eacero = 0.428 (42.8 %)
acero / aluminio = Syacero/ Syaluminio = 1,512 (151,2 %)
Estos resultados muestran primero que el acero se deforma menos que el aluminio y
segundo que el acero resiste más que el aluminio
1.7. Hallar los módulos de elasticidad al corte para los materiales del 1.anterior. Tomar  =
0.3 Eac = 2.1 x 10 6 Kg/cm², Eal = 0.9 x 10 6 Kg/cm²
Solución:

30. G = E/[2 ( 1 +  )]
Gacero = 8,07 x 105 Kg/cm²
Galumino = 3,46 x 105 Kg/cm²
1.8. Construir el diagrama de Goodman Modificado para un material con Sy = 4000 Kg/cm²
Sut = 6000 Kg/cm² y Se = Sut/2 = 3000 Kg/cm²
Solución:
45º
6000
med
S
4000
3000
-3000
A
B
C
D
E
A(0,3000)
B(6000,6000)
C(4000,4000)
E(0,-3000)
1.9. En el anterior 1.hallar las ecuaciones de las tensiones máximas, tensiones medios y
tensiones mínimas.
Solución: A (0,3000)
B (6000,6000)
C (4000,4000)
E (0,-3000)
La ecuación de la recta conocidos dos puntos es
(y – y1)/(x – x1) = (y2 – y1)/(x2 – x1)
Para (A,B)
(y – 3000)/(x - 0) = (6000 – 3000)/(6000 – 0)
Smax = x/2+3000 para Smax< 4000
Las curvas de tensiones mínimas van de B a E y de C a D
(y – 6000)/(x - 6000) = (-3000 – 6000)/(0 - 6000)
Smin = 1,5 x – 3000 para min < 0
Cuando Smin = 0 se halla que x = 2000 y D = ( 2000,0)
(y – 4000)/(x - 4000) = (0 – 4000)/(2000 - 4000)
y = 2 x – 4000

31. Smin = 2x – 4000 para min > 0
1.10. Hallar las tensiones admisibles para carga estática, carga intermitente y carga
alternante del material de los problemas 6 y 7
Solución:
a) Carga estática
S = Sy = 4000 Kg/cm²
b) Carga intermitente
S = . Smax = x/2+3000 y x = 2000
S = 4000 Kg/cm²
c) Carga alternante
S = Se = 3000 Kg/cm²
1.11. Para las cargas dadas determinar en cada caso si hay o no falla con el material de los
problemas 6 y 7
 max = 3500 Kg/cm² y  min = – 3500 Kg/cm².
 max = 3500 Kg/cm² y  min = – 500 Kg/cm².
 max = 4500 Kg/cm² y  min = 0 Kg/cm².
 max = 4500 Kg/cm² y  min = 1500 Kg/cm².
Solución:  med = (max+ min)/2
 a med = 0
 b med = 1500 Kg/cm²
 c med = 2250 Kg/cm²
 d med = 3000 Kg/cm²
45º
6000
med
S
4000
3000
-3000
A
B
C
E
D(20000,0)
a)  a med = 0
S max = 3000 <  a max = 3500 Hay falla

32. b)  b max = 1500 Kg/cm² < 4000 Kg/cm² y = x/2+3000
Smax = 3750 >  b max = 3500 Kg/cm² No hay falla
 b min = - 500 Kg/cm² < 0 y = 1,5 x – 3000
Smin = - 750 <  b min = -500 Kg/cm² No hay falla
c)  c max = 2250 Kg/cm² < 4000 Kg/cm² y = x/2+3000
Smax = 4125 <  b max = 4500 Kg/cm² Hay falla
d)  d max = 3000 Kg/cm² < 4000 Kg/cm² y = x/2+3000
Smax = 4500 <  b max = 4500 Kg/cm² No hay falla
 d min = 3000 Kg/cm² > 0 y = 2x – 4000
Smin = 2000 >  b min = 1500 Kg/cm² Si hay falla
1.12. Hallar las ecuaciones genéricas de las tensiones máximas, medios y mínimos.
45º
med
S
A
B
C
D
E
A(0,0.5*Sut
)
B(Sut
,Sut
)
C(Sy
,Sy
)
D(Descon,0)
E(0,0.5*Sut)
Sy
Sut
Se
-Se
La ecuación de la recta conocidos dos puntos es
(y – y1)/(x – x1) = (y2 – y1)/(x2 – x1)
La curva de tensiones máximas va de A a B
(y – 0.5 Sut)/(x - 0) = (Sut – 0.5 Sut)/(Sut – 0)
Smax = (x + Sut)/2 para Smax< Sy
Las curvas de tensiones mínimas van de B a E y de C a D
BE) (y – Sut)/(x – Sut) = (-0.5 Sut – Sut)/(0 – Sut)
Smin = 1,5 x – 0,5 Sut para min < 0
CD) Cuando Smin = 0 se halla que x = Sut/3 y la coordenada de D ( Sut/3, 0)
(y – Sy)/(x – Sy) = (0 – Sy)/(Sut/3 – Sy)
y = (x – Sy)( – Sy)/(Sut/3 – Sy) + Sy
Smin = (x – Sy)( – Sy)/(Sut/3 – Sy) + Sy para min > 0

33. PROBLEMAS PROPUESTOS
1.13. Se pide hallar la carga que pueden levantar (resistencia) dos cables metálicos, el
primero de Aluminio con un diámetro de 2 mm y el segundo de Acero con un diámetro de 1
mm. Tomar S y al = 2884.8 Kg/cm² y S y ac = 4362.8 Kg/cm²
1.14. Se pide hallar resistencia de los cables del 1.anterior, para cargas Alternante e
Intermitente.
1.15. Una carga de 100 Kg se aplica a una pieza de Acero con un diámetro de 1 cm y una
longitud de 100 cm. Se pide calcular las deformadas longitudinal y transversal.
1.16. En el anterior 1.se pide calcular la variación del volumen debido a la deformación.
1.17. Que carga aplicada a una pieza cilíndrica de Acero con un diámetro de 1 cm y una
longitud de 100 cm produce una deformación de 0,1 mm.
1.18. Cuál es la deformada máxima que puede tener un Aluminio antes de alcanzar la
fluencia. Tomar Sy = 2884.8 Kg/cm² y E = 0.7 x 10 6 Kg/cm²
1.19. Construir el diagrama de Goodman Modificado para un material con
Sy = 3000 Kg/cm² Sut = 5000 Kg/cm² y Se = Sut/2 = 2500 Kg/cm²
1.20. En el anterior 1.hallar las ecuaciones de las tensiones máximas, tensiones medios y
tensiones mínimas.
1.21. Hallar las tensiones admisibles para carga estática, carga intermitente y carga
alternante del material de los problemas 4 y 5
1.22. Para las cargas dadas determinar en cada caso si hay o no falla con el material de los
problemas 4, 5 y 6
 max = 3000 Kg/cm² y  min = – 3000 Kg/cm².
 max = 3000 Kg/cm² y  min = – 500 Kg/cm².
 max = 4000 Kg/cm² y  min = 0 Kg/cm².
 max = 4000 Kg/cm² y  min = 1500 Kg/cm².
1.23. Hallar las ecuaciones genéricas de las tensiones máximas, tensiones medios y
tensiones mínimas.

34. PROPIEDADES MECANICAS
Material
Sy Sut E G

Ksi MPa Ksi MPa Ksi GPa Ksi GPa
Aluminun allys 2014-T4 41 283 62 428 10,6 73 4 27.6 0.33
Aluminun allys 2014-T6 60 410 70 480 10,6 73 3,8 26.2 0.33
Aluminun allys 2024-T4 48 331 68 470 10,6 73 3,9 27 0.33
Aluminun allys 6061-T6 40 276 45 310 10,4 72 3,9 27 0.33
Aluminun allys 7075-T6 70 483 80 552 10 69 3,75 26 0.33
Brass (Red, cold rolled) 60 414 75 518 15 104 5,5 38 0.34
Brass (Red, annealed) 15 104 40 276 15 104 5,5 38 0.34
Bronze (cold rolled) 75 772 100 515 15 104 6,5 44.9 0.34
Bronze (annealed) 20 138 50 345 15 104 6,5 44.9 0.34
Cast iron (tension) 29.5 205 40 274.5 25 173 12,5 86.3 0.28
Cast iron (compression) - - 125 870 25 173 12,5 86.3 0.28
Concrete (compression) 2 13.8 5 35 4,5 31 - - 0.15
Copper (cold-drawn) 40 280 45 310 17 117 6,3 43.5 .35
Plate glass - - 10 70 10 69 4 27.6 0.2
Magnesium alloy 22 150 40 280 24 166 20 138 0.35
Monel (wrough, hot rolled) 50 345 90 621 26 179 9,5 65.6 .32
Nickel alloy 60 414 80 552 30 207 11,4 78.7 0.31
Nylon - - 9 60 400 2.76 - - 0.4
Polyethylene - - 2.5 17.5 150 1 - - 0.4
Rubber (average) 0.6 4 2 13.5 .4 .00276 .0007 41.5 0.48
Steel .2% C hardened 62 428 90 620 30 207 11,6 80 .32
Steel .2% C cold-rolled 60 414 85 587 30 207 11,6 80 .32
Steel .2% C hot-rolled 53 366 62 428 30 207 11,6 80 .32
Steel .4% C hot-rolled 53 366 84 580 30 207 11,6 80 .32
Steel .8% C hot-rolled 76 524 122 842 30 207 11,6 80 .32
Steel Stainless (cold-rolled) 165 1140 190 1310 29 200 12,5 86.3 .27
Steel Stainless (heat-treated) 132 911 150 1040 29 200 12,5 86.3 .27
Steel, structural - - - - -
Steel ASTM-A36 36 250 60 400 29 200 11 75.9 .32
Steel ASTM-A572 50 340 70 500 29 200 11 75.9 .32
Steel ASTM-A514 100 700 120 830 29 200 11 75.9 .32
Douglas Fir 6 41 7.4 51 1,3 9 - - .29
Southern Pine 6.5 45 8.4 58 1,9 13.1 - - .3
Red Oak 4.6 32 6.9 48 1,8 12.4 - - .3

35. 2 Tracción y Compresión
2.1 Introducción
Un elemento está sometido a tracción o compresión cuando al realizar un corte por cualquier
sección recta no aparecen momentos internos, tampoco fuerzas de corte y solo se verifica
una fuerza normal N en el centro de gravedad de la sección, es decir, en todas las
secciones rectas del elemento se anulan el tensión cortante y los momentos torsor y flector.
Dependiendo si la carga tiende a estirar o a comprimir la pieza, la carga será de tracción o
compresión.
Fig. 2.1 Tracción
Ejemplos de elementos sometidos a tracción compresión son: Los cables metálicos, los
arriostres, los elementos de las vigas armadas y elementos de las estructuras metálicas.
Para la validez de las ecuaciones y resultados de este capítulo se asume la veracidad de las
siguientes condiciones:
1.- Se cumple la hipótesis de Bernoulli (Conservación de las secciones planas)
2.- Los elementos tienen secciones transversales uniformes
3.- Los materiales son homogéneos
4.- Las cargas están aplicadas en los centros de gravedad de la sección
5.- Los miembros sometidos a compresión no son tan esbeltos y no hay pandeo.
2.2 Diagramas de Fuerzas Normales:
Se denominan diagramas de fuerzas normales a los diagramas que dan las fuerzas
normales N en cada sección de una barra prismática.

36. Fig. 2.4 Diagrama de Fuerzas Normales
2.3 Tracción Compresión Monoaxial
a) Tensiones
Considérese una barra prismática sometida a Tracción-Compresión.
Fig. 2.1 Tensiones en Tracción Compresión
Realizando un corte en la barra por la sección recta transversal A, se observa que:
n = P/A (2.1
n = 0 (2.2
La hipótesis de Bernoulli se comprueba experimentalmente observando que en una barra
sin carga en la que se trazaron líneas rectas paralelas y perpendiculares a su eje
longitudinal, con carga las líneas paralelas al eje longitudinal se alargan por igual (La
deformación longitudinal es constante),
Fig. 2.1 Hipótesis de Bernoulli
Entonces si εX = cte, de la ley de Hooke se concluye que como el área es también
constante, las tensiones resultan constantes. Para una pieza de sección variable las
tensiones varían inversamente proporcionalmente a la magnitud del área

37. Si en lugar de cortar la barra por la sección recta transversal A, se la corta por una sección
inclinada en un ángulo α
Fig. 2.3 Tensiones en una sección inclinada
Por equilibrio, la fuerza externa P genera una fuerza interna de igual magnitud, sin embargo
esta ya no es perpendicular a la sección y se la puede descomponer en una componente N
perpendicular a la sección que producirá tensiones normales y en otra componente Q
tangencial a la sección que producirá tensiones cortantes. Se tiene:
N = P Cos α (2.3
Q = P Sin α (2.4
α = N/Aα (2.5
α = Q/Aα (2.6
AN = Aα Cos α (2.7
De 2.2, 2.3 y 2.6
α = N/Aα = P Cos α /(AN /Cos α) = P Cos2 α / AN (2.8
α = (P/2AN) (1 + Cos 2 α) (2.9
De 2.4, 2.5 y 2.6
α = Q/Aα = P Sin α/(AN /Cos α) = P Sin α Cos α / AN (2.10
α = (P/2AN) Sin 2 α (2.11
Reemplazando α = 0 en 2.7 y 2.8, se verifican los resultados obtenidos en 2.1
La ecuación de una circunferencia es :
(x – xo)2
+ (y – yo)2
= R2
(2.12
Y se verifica que
(α - P/2AN)2
+ α
2
= (P/2 AN)2
(2.13

38. P/2AN

max
max

Fig. 2.4 Tensiones en una sección normal
Entonces, la relación entre las tensiones α y α puede se representa por una circunferencia
con un radio de P/2AN y con centro desplazado horizontalmente con el mismo valor del
radio.
b) Tensiones Principales
Se llaman tensiones principales a las tensiones máximas. De 2.7, 2.8 y del gráfico
Para α = 0 max = N = P/AN  min = 0 (2.14
Para α = 45 45 = P/2AN  max = P/2AN (2.15
Para cargas de tracción y compresión en una dimensión las tensiones normales máximos
ocurren en una sección transversal α = 0 y las tensiones cortantes máximos en una sección
a α = 45º. Para prevenir la falla, ambos tensiones máximas no deben exceder las fluencias.
max = P/AN < Sy (2.16
max = P/2AN < S´y (2.17
c) Deformaciones
Una pieza recta de sección constante y longitud l cargada en sus extremos por una fuerza
de tracción (compresión) sufre una deformación L
Fig. 2.5 Deformación en una pieza de sección constante
En la zona elástica, la deformada es proporcional a la carga y es válida la ecuación de
Hooke
x = P/AN = E x (2.18
y = z = 0 (2.19
x = /L (2.20
y = z = - ν x = - ν x /E (2.21

39. Entonces x = PL/EA (2.22
Resultado válido para piezas con sección constante. Para piezas con sección variable se
aplica la anterior ecuación a un elemento diferencial “dx” donde el área se puede considerar
constante.
dx
P
P
l
lf
Fig. 2.6 Deformación en una pieza de sección variable
d = Pdx/EA (2.23


l
EA
Pdx
0

(2.24
Para una sección transversal constante se obtienen los mismos resultados de 2.17
d) Cargas, Tensiones y Deformadas debido al Peso Propio
En objetos de gran altura como por ejemplo edificios, torres y otros, el peso propio es una
carga que tiene mucha importancia y debe ser tomada en cuenta. El peso es una carga
variable ya que a analizando una sección horizontal a una altura “y”, esta soporta el peso de
la porción del objeto que se encuentra encima de ella. Para entender mejor esto se presenta
la analogía de una torre humana de 3 personas cada una con un peso de 75 Kg. En ésta
torre la persona de arriba no soporta sobre sus hombros ninguna carga, la del medio soporta
75 Kg. y la de abajo soporta 150 Kg. sobre sus hombros.
y
h
dy A
W(y )
Peso
sobre "y "
Fig. 2.7 Peso Propio
Para un elemento diferencial “dy” el área de la sección se considera constante y su peso es
dW =  A(y) dy (2.25
El peso de la porción de la pieza que se encuentra sobre una sección a una altura “y” es


h
y
dy
y
A
y
W )
(
)
( 
(2.26

40. Un error común es tomar el límite inferior como cero, ya que en este caso el peso calculado
es el de toda la pieza. Entonces se enfatiza en que el límite inferior de la integral es “y”.
La tensión en una sección a una altura “y” es:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
y
A
dy
y
A
y
A
y
W
y
h
y





(2.27
La deformación longitudinal debido al peso propio se halla con la ecuación 2.19
reemplazando en ella el peso como carga













h
h
y
h
EA
dy
dy
y
A
EA
Pdy
0
0
)
(


(2.28
e) Deformaciones debido a la temperatura
Además de las deformadas debido a las cargas externas se presentan deformadas
originados por cambios de temperatura, conocidas como dilataciones y contracciones. Los
cambios de temperatura originan una deformación lineal uniforme en todas las direcciones,
que se calcula por :
lf = l +l  T (2.29
Entonces t = l  T (2.30
t =  T (2.31
 es el coeficiente de dilatación que es un valor específico de cada material.
Material
Aluminio 23.2
Fundición 10.4
Cobre 16.7
Acero 11.7
Hormigón 10.8
Las deformada total es por consiguiente la suma de las deformadas debido a cargas
externas y la deformada debido a los cambios de temperatura.
tot = mec + t = /E +  T (2.32
Si la deformación por cambios de temperatura se restringe, provocan tensiones. Para
encontrar estas tensiones, se usa la anterior ecuación escrita en otra forma que se conoce
como la ley de Hooke extendida o la ley de Duhamel – Neumann
 = E (tot -  T) (2.33
Cuando la expansión térmica de un sistema se restringe por ejemplo anclando una pieza
entre dos paredes rígidas, aun pequeños cambios de temperatura producen grandes
tensiones térmicos. Esto se debe al módulo de Young que para la mayoría de los materiales
usados en Ingeniería es grande

41. 2.4 Tracción Compresión Biaxial
a) Tensiones
Considérese un elemento diferencial sometido simultáneamente a cargas de tracción
compresión en dos direcciones
Fig. 2.8 Tensiones en Tracción Compresión Biaxial
En la sección inclinada aparecen simultáneamente tensiones normales  y cortantes .
Por trigonometría
L Cos  = dy (2.34
L Sin  = dx (2.35
De la estática
 F1 = 0  L dz - y dx dz Sin  - x dy dz Cos  = 0 (2.36
 - y Sin2  - x Cos2  = 0 (2.37
 = y (1-Cos 2)/2+ x (1+ Cos 2)/2 (2.38
 = (y+ x )/2+(x - y )(Cos 2)/2 (2.39
 F2 = 0  L dz + y dx dz Cos  -x dy dz Sin  = 0 (2.40
 + y Sin  Cos  - x Sin  Sin  = 0 (2.41
 = (x -y )(Sin2)/2 (2.42
Las ecuaciones 2.26 y 2.29 dan las tensiones normales y cortantes para una sección
inclinada.
Ya que (Sin 2 )2
+( Cos 2 )2
= 1 (2.43
Entonces [-(x + y )/2]2
+ 
2
= [(x - y )/2]2
(2.44
Similar a una dimensión, las ecuaciones representan una circunferencia con desplazamiento
en  de (x +y )/2, sin desplazamiento en  y radio igual al (x - y )/2. Esta ecuación no
necesariamente pasa por el origen

42. (x-y)/2

max
max

(x y)/2
Fig. 2.9 Circulo de Mohr en Tracción Compresión Biaxial
b) Tensiones Principales
Las tensiones máximas o principales son:
Para  = 0 max = x  min = 0 (2.45
Para  = 90 max = y  min = 0 (2.46
Para  = 45 min = 0  max = (x -y )/2 (2.47
Una pieza sometida a tracción compresión en dos dimensiones tiene tensiones normales
máximas en los ejes “x” y “y”, y tensiones cortantes máximos en secciones inclinadas a  =
45º.
Para que la pieza no falle, las tensiones máximas no deben exceder los límites de fluencia
max < S y (2.48
 max < S´y (2.49
c) Deformaciones
En la figura se muestra un elemento sometido a tracción compresión en dos dimensiones o
biaxial
Fig. 2.10 Deformaciones en Tracción Compresión Biaxial
Debido a que las ecuaciones son lineales, se aplica el principio de superposición, donde se
hallan primero las deformaciones originadas sólo por las cargas horizontales y luego las

43. deformaciones originadas sólo por las cargas verticales. Las deformadas totales se hallan
por la superposición o combinación de ambos resultados parciales.
Considerando inicialmente sólo las tensiones horizontales
x = x /E (2.50
y = - q = -  x /E (2.51
Considerando ahora sólo las tensiones verticales
y = y /E (2.52
x = - q = -  y /E (2.53
Superponiendo
xt = x /E -  y /E = x- y (2.54
yt = y /E -  x /E = y- x (2.55
2.5 Tensiones en Recipientes de Pequeño Espesor
a) Tensiones en Recipientes Cilíndricos de Pequeño Espesor
Considerando recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un
fluido a presión. Se van a determinar las tensiones ejercidos sobre un pequeño elemento de
pared con lados respectivamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. Debido a la
simetría axial del recipiente y de su contenido, no se ejercen tensiones cortantes sobre el
elemento.
Figura 2.11 Recipiente cilíndrico
Las tensiones ζ1 y ζ2 mostrados en la figura 2.11 son por tanto tensiones principales. El
tensión ζ1 se conoce como tensión de costilla y se presenta en los aros de los barriles de
madera. El tensión ζ2 es el tensión longitudinal. Para determinar las tensiones de costilla se
retira una porción del recipiente y su contenido limitado por el plano “xy” y por dos planos
paralelos al plano yz con una distancia Δx de separación entre ellos. Se aclara que p es la
presión manométrica del fluido.

44. Figura 2.12 Trozo del cilindro
Con la ecuación de equilibrio de fuerzas en “z” se halla el tensión de costilla:
p (2r) Δx = 2 ζ1 Δx t (2.56
ζ1 = p r / t (2.57
Para hallar el tensión longitudinal ζ2 como se muestra en la figura 2.13 se hace un corte
perpendicular al eje x y se considera, el cuerpo libre, consta de la parte del recipiente y de
su contenido a la izquierda de la sección
Figura 2.13 Corte del cilindro
De la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluiría que:
p (π r2
) = ζ2 2 π r (2.58
ζ2 = p r / (2 t) (2.59
El tensión en la costilla es el doble del tensión longitudinal
b) Tensiones en Recipientes Esféricos de Pequeño Espesor
Debido a la presión interior p, un elemento diferencial y por la simetría de la esfera estará
sometido a las tensiones ζ2 uniformes

45. Fig. 2.14 Tensiones en un Recipiente de Pared Delgada Esférico
La tensión ζ2 se halla de una manera similar a la tensión longitudinal en cilindros
De la sumatoria de fuerzas en x, finalmente se concluiría que:
p (π r2
) = ζ2 2 π r (2.60
ζ2 = p r / (2 t) (2.61
2.6 Problemas Estáticamente Indeterminados (Hiperestáticos)
Cuando en una barra o en una estructura el número de ecuaciones de equilibrio es inferior al
número de incógnitas, se dice que es un caso Hiperestático. Estos casos suelen darse
cuando la barra o la estructura tiene apoyos (ligaduras) de más. Para resolver pues un caso
hiperestático no serán suficientes las Ecuaciones de equilibrio y se buscarán para
complementarlas Ecuaciones de Deformación,

46. PROBLEMAS RESUELTOS
2.1. Una pieza con una sección de 1 cm² está sometida a una fuerza de tracción en una
dimensión de 100 Kg. Hallar las tensiones en secciones con ángulos de 0º hasta 360º con
un intervalo de 10º.
Solución:
2.2. Hallar las tensiones máximas del 2.1.
Solución: max = P/AN = 100/1 = 100 Kg/cm²
 max = P/2AN = 100/2 = 50 Kg/cm²
2.3. Una pieza está sometida a cargas de tracción compresión en dos dimensiones con x =
90 Kg/cm² y y = -120 Kg/cm². Hallar las tensiones para ángulos desde 0º hasta 360º con un
intervalo de 10º. Graficar los resultados.
(Gr) (Rad) =(P/2An)(1+Cos 2) =(P/2An)(Sin 2)
0 0.0 100.0 0.0
10 0.2 97.0 17.1
20 0.3 88.3 32.1
30 0.5 75.0 43.3
40 0.7 58.7 49.2
50 0.9 41.3 49.2
60 1.0 25.0 43.3
70 1.2 11.7 32.1
80 1.4 3.0 17.1
90 1.6 0.0 0.0
100 1.7 3.0 -17.1
110 1.9 11.7 -32.1
120 2.1 25.0 -43.3
130 2.3 41.3 -49.2
140 2.4 58.7 -49.2
150 2.6 75.0 -43.3
160 2.8 88.3 -32.1
170 3.0 97.0 -17.1
180 3.1 100.0 0.0
190 3.3 97.0 17.1
200 3.5 88.3 32.1
210 3.7 75.0 43.3
220 3.8 58.7 49.2
230 4.0 41.3 49.2
240 4.2 25.0 43.3
250 4.4 11.7 32.1
260 4.5 3.0 17.1
270 4.7 0.0 0.0
280 4.9 3.0 -17.1
290 5.1 11.7 -32.1
300 5.2 25.0 -43.3
310 5.4 41.3 -49.2
320 5.6 58.7 -49.2
330 5.8 75.0 -43.3
340 5.9 88.3 -32.1
350 6.1 97.0 -17.1
360 6.3 100.0 0.0
-60.0
-40.0
-20.0
0.0
20.0
40.0
60.0
-50.0 0.0 50.0 100.0
Esf Normal
Esf
Corte

47. Solución:
2.4. Hallar las tensiones máximas del problema 2.3.
Solución:  = 0 max = x = 90 Kg/cm²
 = 90 max = y = -120 Kg/cm²
 = 45  max = (x - y )/2 = 105 Kg/cm²
2.5. Una pieza cilíndrica de Acero tiene  = 3 cm y largo L = 100 cm está sometida a una
carga de 1000 Kg. Tomando Sy = 1800 Kg/cm² y Sy´ = 960 Kg/cm²s
se pide hallar:
Las tensiones máximas
Las tensiones a 30o
Las deformadas total, unitaria longitudinal y transversal
Los coeficientes de seguridad
Solución:
a) A = 2
/4 = 7,07 Kg/cm²
max = N = P/AN = = 141,47 Kg/cm² para  = 0o
(Gr) (Rad)
= (x+y)/2 +
(x-y)(Cos 2)/2 =(x-y)(Sin 2)/2
0 0.0 90.0 0.0
10 0.2 83.7 35.9
20 0.3 65.4 67.5
30 0.5 37.5 90.9
40 0.7 3.2 103.4
50 0.9 -33.2 103.4
60 1.0 -67.5 90.9
70 1.2 -95.4 67.5
80 1.4 -113.7 35.9
90 1.6 -120.0 0.0
100 1.7 -113.7 -35.9
110 1.9 -95.4 -67.5
120 2.1 -67.5 -90.9
130 2.3 -33.2 -103.4
140 2.4 3.2 -103.4
150 2.6 37.5 -90.9
160 2.8 65.4 -67.5
170 3.0 83.7 -35.9
180 3.1 90.0 0.0
190 3.3 83.7 35.9
200 3.5 65.4 67.5
210 3.7 37.5 90.9
220 3.8 3.2 103.4
230 4.0 -33.2 103.4
240 4.2 -67.5 90.9
250 4.4 -95.4 67.5
260 4.5 -113.7 35.9
270 4.7 -120.0 0.0
280 4.9 -113.7 -35.9
290 5.1 -95.4 -67.5
300 5.2 -67.5 -90.9
310 5.4 -33.2 -103.4
320 5.6 3.2 -103.4
330 5.8 37.5 -90.9
340 5.9 65.4 -67.5
350 6.1 83.7 -35.9
360 6.3 90.0 0.0
-150.0
-100.0
-50.0
0.0
50.0
100.0
150.0
-150.0 -50.0 50.0
Esf Normal
Esf
Corte

48.  max = P/2AN = 70,73 Kg/cm² para  = 45o
b)  = (P/2AN )(1 + Cos 2)
30 = 106,10 Kg/cm²
 = (P/2AN) Sin 2
30 = 61,25 Kg/cm²
c)  = Pl/EA = 6,73 x 10-3 cm
 = /l = 67 x 10-6 ( 67 x 10 –4
%)
q = -  = -20,20 x 10 –6 (-20,20 x 10 –4
%)
q = q d = -60,6 x 10 –6
cm
d)  = Sy/max = 1800/141,47 = 12,72
 = Sy´/max = 960/70,73 = 13,57
2.6. Una pieza de a = 2 cm de ancho por b = 3 cm de alto y c = 1 cm de profundidad está
sometida a una fuerza horizontal de 100 Kg. y una vertical de 200 Kg. Se pide hallar las
dimensiones finales. Tomar  = 0.3
200[kg]
100[kg]
c
b
a
Solución:
x = Fx/(b c) = 33,33 Kg/cm²
y = Fy/(a c) = 100,00 Kg/cm²
xt = x /E -  y /E = 1,58 x 10-6
yt = y /E -  x /E = 4,28 x 10-5
af = a + a xt = 2,000003 cm
bf = b + b yt = 3,00012 cm
2.7. En la pirámide truncada de área transversal cuadrada de la figura. Se pide calcular:
a) El peso parcial sobre cualquier altura “y”
b) El tensión normal máximo

49. c) La deformada total
y
1000[cm]
dy
60[cm]
90[cm]
A
A
SEC. A-A
Solución: b(y) = (- 30/1000) y + 90
a) El peso sobre y es
 
  dy
y
dy
y
A
y
W
h
y
h
y
2
90
1000
/
30
)
(
)
( 
 


 

 
 
  












30
)
3
(
1000
90
1000
/
30
60
)
(
3
3
y
y
W 
b) El tensión normal es máximo en la base ( y = 0)
3
3
3
max
90
)
90
60
(
1000 




max = 703.83 
c) La deformada


l
EA
Wdy
0

y
d
l
y
E
dy
y




























0
2
90
1000
30
3
90
1000
30
3
60
90
1000


  























)
30
(
2
1000
90
60
90
1
60
1
30
1000
60
90
1000 2
2
3
E


2.8. En la pieza cónica truncada de la figura, se pide hallar la deformación debida a la acción
de la fuerza P y del peso propio.

50. y
h
dy
D/2
D
B
B
SEC. B-B
P
Solución:
 



h
EA
dy
y
W
P
0
)
(








 1
2 h
y
D
d
2
2
1
2
4
4 














h
y
D
d
A


dy
y
h
y
D
dy
y
y
A
y
W  















0
1
2
4
0
)
(
)
(
2



)
3
3
(
48
)
( 2
2
2
2
h
yh
y
h
y
D
y
W 



































h
h
h
y
D
E
dy
h
yh
y
h
y
D
h
y
D
E
Pdy
0
2
2
2
2
2
0
2
1
2
4
)
3
3
(
48
1
2
4




2
2
3
)
D
h(24P
D
E
h





2.9. En el sistema de la figura se piden las tensiones en los cables.
l/2
P
(b) (c)
l l
(a) (b) (c)
l l
a
b
c
Solución:
 Fy = 0 Ta+ Tb + Tc = P (i
 Ma = 0 P l/2 – Tb l – Tc 2l = P/2 - Tb –Tc 2 = 0 (ii
El sistema es hiperestático ya que son tres incógnitas (Ta , Tb ,Tc) y sólo 2 ecuaciones. La
tercera ecuación se halla analizando las deformaciones

51. (a-c)/2l = (b-c)/l











c
c
b
b
c
c
a
a
EA
T
EA
l
T
EA
l
T
EA
l
T
2
Ta –Tc = 2 (Tb – Tc)
Ta – 2 Tb + Tc = 0 (iii
De i, ii y iii Ta = P - Tb - Tc = 2 Tb - Tc
Tb = P/3
Tc = P/12
Ta = 7P/12
2.10. En el sistema de la figura se piden las tensiones en los cables
 
O
O'
  
P
a
b c
Solución:
lb = la Sin  = 0.5 la
lb = lc Sin  = 0.866 lc
 Fy = 0 Ta Sin + Tb+Tc Sin  = P
Ta 0.5 + Tb + Tc 0,866 = P (I
 Fx = 0 Ta Cos  = Tc Cos 
Ta 0,866 = Tc /2 (ii
 Ma = 0 No existe ya que las fuerzas son concurrentes
El sistema es hiperestático ya que son tres incógnitas (Ta , Tb ,Tc) y sólo 2 ecuaciones. De la
ecuación de deformadas
 
O
O'

 
O
O'

 

52. Del gráfico a = OO´Sin (-) = Ta la / EA (iii
b = OO´Sin (90-) = Tblb/EA (iv
c = OO´Sin (+) = Tclc/EA (v
De iii y iv Ta la/ Sin (-) = Tb lb/ Sin (90-) (vi
De iv y v Tb lb/ Sin (90-) = Tc lc/ Sin (+) (vii
la 0.5 = lb
lc 0,866 = lb
De vi Tala/(Sin Cos - Sin  Cos ) = Tblb/ Cos 
Ta (lb/0.5)/(Cos 0.5- Sin  0,866) = Tblb/ Cos 
Ta = 0.5Tb( 0.5- 0.866 Tan )
0.5 - (Ta / 0.5Tb) = 0.866 Tan 
Tan  = [( 0.52Tb - Ta) / (0.5Tb)]/0.866 (viii
De vii Tb lb/ Cos = Tc lc/ SinCos+Sin Cos)
Tb lb/ Cos = Tc (lb/0.866)/ (0.866Cos+Sin 0.5)
0.5 Tan  = (Tc/0.866 Tb) – 0.866
Tan  = [(Tc – 0.8662Tb) / (0.866 Tb)]/0.5 (ix
De viii y ix [( 0.52Tb - Ta) / (0.5Tb)] 0.5 = [(Tc – 0.8662Tb) / (0.866 Tb)] 0.866
( 0.52Tb - Ta) = (Tc – 0.8662Tb)
( 0.52Tb - Ta) = (Tc – 0.8662Tb)
Tb = Ta + Tc (x
Esta última es la ecuación de deformaciones buscada.
De x y i Ta 0.5 + (Ta +Tc )+ Tc 0,866 = P
1.5 Ta + 1.866 Tc = P
1.5 Ta + 1.866 (2Ta 0.866) = P
Ta = 0.211 P 0.29 P
Tc = 0.366 P 0.42 P
Tb = 0.577 P 0.5 P
2.11. En el sistema de la figura se piden hallar las tensiones en los cables a y b. La barra
horizontal se supone rígida y articulada en la pared

53. l/2
(a) (b)
P
l/2
 
l/2
l/2
Ta
Tb
P
l/2
 
Ry
Rx
Solución:
Tan  = (l/2)/(l/2) = 1
 = 45º
Tan  = (l/2)/l = 0.5
 = 26,56
 Fx = 0 Rx- TaCos  -Tb Cos  = 0 (i
 Fy = 0 Ry + Ta Sin  +Tb Sin -P = 0 (ii
 Mo = 0 - Ta Sin  l/2 -Tb Sin  l + P l = 0
Ta 0.3535 + Tb 0.4472 = P (iii
Son tres ecuaciones con cuatro incógnitas Rx , Ry , Ta y Tb

l/2
A

a
b
A'
B'
Del grafico la Cos  = l/2
lb Cos  = l
a = AA´Sin 
b = BB´Sin 
AA´ = BB´/2
Entonces AA´ = a / Sin  = BB´/2 = b /2 Sin 
Tala/(EA Sin ) = Tblb/ (2EA Sin )
Ta/(2 Cos  Sin ) = Tb/ (2 Cos  Sin )
Ta/ Sin (2 ) = Tb/ Sin (2 )
Ta/ 1 = Tb/ 0.8 (iv

54. Que es la cuarta ecuación buscada, De donde
Ta = 1.405 P
Tb = 1.124 P
2.12. Hallar las tensiones en los cables a y b
 
 
 
P
Ry
Rx
Ta Tb
 
 
 
P
(a) (b)
l/2
l/2
Solución:
 Fx = 0 Rx + Ta Sin 30 = 0 (i
 Fy = 0 Ry + Ta Cos 30 + Tb -P = 0 (ii
 Mo = 0 -Ta l/2 -Tb Sin 60 l + P Sin 60 l/2 = 0
-Ta 0,5 -Tb 0,866 + P 0,433 = 0 (iii
El 2.es hiperestático con tres ecuaciones y cuatro incógnitas Rx , Ry , Ta y Tb
 
 
(a)
 
b
A
A'
B
B'
lb Cos 30 = la
a = AA´Sin 90
b = BB´Sin 60
AA´ = BB´/2
Entonces AA´ = a / Sin 90 = BB´/2 = b /(2 Sin 60)
Tala/(EA) = Tblb/ (2EA Sin 60)
Ta lb Cos 30 = Tb lb / (2 Sin 60)
Ta 1,5 = Tb (iv
Resolviendo

55. Ta = 0,2406 P
Tb = 0,361 P
2.13. Se pide hallar el diámetro de la barra AC. Tomar Sy = 1800 Kg/cm²
P
20
30
B
B
A
C
60
 P

TAC
2TBC
Cos 
Vista Lateral
Solución:
Tan  = 20/60  = 18.43
Tan  = 15/60  = 14.03
 Fy = 0 TAC Sin  = P
TAC = 3163.09 Kg Tracción
 Fx = 0 TAC Cos  + 2TBC Cos  = 0
TBC = - 1546.56 Kg Compresión - Pandeo
Analizando solo la barra AC
AC = TAC/( dAC
2
/4) < Sy
dAC = 1.49 cm
2.14. En el sistema de la figura se piden las reacciones en A y B
Solución:
 Fy = 0 Rb = Ra + P (i
El sistema es hiperestático con una ecuación y dos incógnitas Ra y Rb. Las ecuaciones de
los círculos respecto del sistema x - y son
x2
+y2
= 302
x2
+ (y-40)2
= 152
60[cm]
40[cm]
30[cm]
A
B
T
A
B
y
x
Ra
2
1
P P
Rb

56. los diámetros 1 = 2 (302
-y2
)1/2
2 = 2 [152
-(y-40)2
]1/2
éstos se igualan a un altura de
2(302
-y2
)1/2
= 2[152
-(y-40)2]1/2
302
-y2
= 152
- y2
+ 80y –1600
y = 28,43
ec deformaciones
t = 1+2 = 0
 
dy
y
y
E
R
y
E
dy
R a
a

 











43
.
28
0
43
.
28
0
2
2
/
1
2
2
1
)
30
(
1
)
30
(
1
60
)
30
(
2
4



)
6167
.
3
(
60
1


E
Ra

 
dy
y
y
E
P
R
y
E
dy
P
R a
a

 
















40
43
,
28
40
43
,
28
2
2
/
1
2
2
2
)
40
(
15
1
)
40
(
15
1
30
)
(
)
)
40
(
15
(
2
4
)
(



)
0472
.
2
(
30
)
(
2


E
P
Ra 

0
)
0472
.
2
(
30
)
(
)
6167
.
3
(
60
2
1 








E
P
R
E
R a
a
Ra = - 0.259 P
Rb = 0.741 P
2.15. Se pide hallar las reacciones en las paredes
60
45 10
30
30
P

A B
P
A B
RA
RB
x
1 2 3
RA
Solución:
 Fx = 0 Rb + P = Ra (i
Los diámetros y deformadas
d1 = -30 x/45 + 60
d2 = 30
d3 = 3 x - 195

57.   30
45
)
60
45
/
30
(
4
60
45
/
30
4
45
0
2
1





  x
E
R
dy
x
E
dy
R a
a



7
1 09
,
9
)
60
1
30
1
(
30
)
45
(
4 


 e
R
E
R
a
a


8
2
2 02
,
2
30
)
4
(
30 

 e
R
E
R
a
a


  )
3
)(
195
3
(
)
(
4
195
3
4
)
(
85
75
2
3






  x
E
P
R
dy
x
E
dy
P
R a
a



9
3 36
,
3
)
(
)
30
1
60
1
(
)
3
(
)
(
4 





 e
P
R
E
P
R
a
a


La ec de deformadas
t = 1 +2+3 = 
Ra9,09 E-7
+Ra2,03 E-8
+(Ra-P)3,36 E-9
= 0,001
Ra = 0.75 P
Rb = 0.25 P
2.16. Hallar las tensiones en las barras del sistema de la figura
30
a
b
a
100 cm
P
Ta
Tb
P
Ta
Solución
Fx = 0 Ta Cos 30 = Ta Cos 30 No aporta
Fy = 0 2 Ta Sin 30 + Tb = P (i
M = 0 Las fuerzas son concurrentes
Se tiene una ecuación y dos incógnitas. De las deformaciones
30
a
b
a
 a
b
O
O'
b = OO´

58. a = OO´Sin 30
b = a /Sin 30
Tb lb/EA = Tala/(EA Sin 30)
la Sin 30 = lb
Tb la Sin 30 = Ta la/Sin 30
Tb = Ta / Sin2 30
4 Tb = Ta (ii
De i y ii 2 (4 Tb) Sin 30 + Tb = P
Ta = 0.2 P
Tb = 0.8 P
2.17. Tres barras se encuentran articuladas en A para soportar juntas, un peso W como se
indica en la figura. El desplazamiento horizontal del punto A esta impedido por una varilla
corta horizontal AO que se supone infinitamente rígida, a) Determinar las expresiones para
calcular las tensiones en cada una de las barras y la fuerza total sobre la barra AO. b)
Utilizando las anteriores relaciones determinar las tensiones sí: A1 = A2 = A3 = 2 cm²  = 30º;
 = 45º; W = 2500 [ Kg].


L
L1
,A1
,E0
L2
,A2
,E0
L3
,A3
,E0
a
W
Solución.
 Mo = 0
0
)
cos
(
)
cos
( 3
2
1 


 Wa
a
T
a
T
a
T 

0
cos
cos 3
2
1 


 W
T
T
T 
 (i


L
L1
,A1
,E0
L2,A2,E0
L3,A3,E0
 





W
Además 2
1 /
cos 

 
2
3 /
cos 

 
(ii

59. l1 Cos  = l2 = l3 Cos  (iv
2
2
1
2
1 ·
·
cos T
A
A
T 







 
2
2
3
2
3 ·
·
cos T
A
A
T 







 
(v
1
3
3
3
2
1
2
1
cos
cos
cos
A
A
A
W
A
T






(vi
1
3
3
3
2
2
2
cos
cos A
A
A
W
A
T

 


(vii
1
3
3
3
2
3
2
3
cos
cos
cos
A
A
A
W
A
T






(viii
Además


R
T1
T2
T3
x
y
W
0
1
3 

 R
sen
T
sen
T 

1
3
3
3
2
1
2
3
2
cos
cos
)
cos
(cos
A
A
A
A
sen
A
sen
W
R










(ix
Con los datos se halla que:
T1 = 936.062 Kg
T2 = 1248 Kg
T3 = 624.041 Kg
R = - 26.768 Kg
2.18. Hallar la deformación total de la barra de la figura, considerando el material Acero con
D = 10 cm, l = 50 cm, E = 2.1x106 Kg/cm² y P = 2000 Kg
P 2P
D
D/3
l/2 l/2 l/2
D/2

60. 

 


2
/
3
3
3
2
/ 2
2
2
/
0 1
1
l
l
l
l
l
T
EA
dx
P
EA
dx
P
EA
dx
P

P1 = -P (compresión) P2 = -P (compresión) P3 = P (tracción)
2
1
D
D 
3
1
D
d 
144
5
)
(
2
2
1
2
1
1
D
d
D
A

 


)
4
2
(
4
2
2
l
l
x
D
D
l
Dx
D




3
2
D
d 














 



9
1
4
2
4
)
(
2
2
2
2
2
2
2
l
l
x
D
d
D
A


)
4
2
(
4
2
3
l
l
x
D
D
l
Dx
D




0
3 
d













 



2
2
2
3
2
3
3
4
2
4
)
(
l
l
x
D
d
D
A


2
2
2
2
/
3
3
3
2
/ 2
2
2
/
0 1
1
3
8
13
25
ln
12
5
72
ED
Pl
ED
Pl
ED
Pl
EA
dx
P
EA
dx
P
EA
dx
P l
l
l
l
l
T



 





 


Reemplazando T = - 0,00296 cm
2.19. En el sistema mostrado en la figura, se pide determinar las reacciones que soportan
las paredes rígidas por efecto de las cargas que se indican. Considerar una sección
rectangular de espesor constante “b” y los siguientes datos:
L = 30cm; H = 10 cm; h = H/3; E = 2.1x106 Kg/cm² ; P = 5000 Kg; b = 5 cm
Solución:



 



l
l
l
l
l
l
l
T
EA
dx
P
EA
dx
P
EA
dx
P
EA
dx
P 3
2
/
5 3
4
2
/
5
2 3
3
2
2
2
0 1
1


61. H
l
x
b
A 







3
2
1
1
3
/
2 bH
A 
l
x
l
bH
h
x
l
h
H
b
A
A
3
)
'
2
(
'
4
3








 


Asumiendo que el bloque no llega a chocar en el extremo izquierdo
P1 = 0
P2 = P
P3 = P
P4 = 3P
Reemplazando



 












l
l
l
l
l
l
T
l
x
l
bH
E
Pdx
l
x
l
bH
E
Pdx
bH
E
Pdx
H
l
x
Eb
dx
2
/
2
/
0
2
0
3
)
'
2
(
3
3
)
'
2
(
3
3
2
1
0




 












l
l
l
l
l
l
T
l
x
l
bH
E
Pdx
l
x
l
bH
E
Pdx
bH
E
Pdx
H
l
x
Eb
dx
2
/
2
/
0
2
0
3
)
'
2
(
3
3
)
'
2
(
3
3
2
1
0

cm
EbH
PL
T 00837
.
0
)
3
ln
2
9
2
ln
3
3
( 




ya que ésta deformada es mayor a la tolerancia indicada, hay contacto en la pared izquierda
y se debe tomar en cuenta la reacción R1 sobre la pared izquierda del apoyo. Recalculamos
la deformada con
P1 = -R1
P2 = P - R1
P3 = P - R1
P4 = 3P - R1
Además la deformación iguala a la tolerancia dada ( = 0.001)



 

















l
l
l
l
l
l
T
l
x
l
bH
E
dx
R
P
l
x
l
bH
E
dx
R
P
bH
E
dx
R
P
H
l
x
Eb
dx
R
2
/
1
2
/
0
1
2
1
0
1
001
.
0
3
)
'
2
(
)
3
(
3
)
'
2
(
)
(
3
)
(
3
2
1

001
.
0
)
1
3
(ln
3
)
3
ln
3
2
ln
2
2
(
2
3 1






EbH
l
R
EbH
Pl
T

De donde R1 = 4657.03 Kg
Además R2 = P + 2P – R1

62. 2P
P
R2
R1
De donde R2 = 10342.97 Kg
2.20. Hallar una expresión para determinar la deformación que sufre una barra con sección
variable según una función cuadrática, como se ve en la figura.
d
x
y
D
f(x2
)
l
P
d
x
y
D
x
dx
Dx
Solución:


l
x
t
EA
Pdx
0

la variación del diámetro en función de x es cuadrática
B
Ax
Dx 
 2
para x = 0 Dx = d
para x = l Dx = D
Resolviendo
d
x
l
d
D
Dx 





 
 2
2
2
2
2
·
·
4 













 
 d
x
l
d
D
Ax
















 



l
0
2
2
2
t
d
x
l
d
D
4
E
dx
P
·
·
·
·
De donde





















)
(
1
·
·
·
·
2
d
D
d
d
D
arctg
d
D
D
D
d
E
l
P
t


2.21. Hallar una expresión para determinar la reacción en cada uno de los apoyos, de los
elementos mostrados en la figura, originados por un aumento de la temperatura T,
considerando como datos: , l, a.

63. Cu
a
l
a
a/2
l

Al
Solución:
Suponiendo que la deformación por dilatación es mayor a la holgura
Cu Al
La deformada en la pieza de cobre por tensiones es


l
x
cu
cu
A
E
dx
R
0
·

)
1
(
2


l
x
a
Dx















l
cu
cu
l
x
a
E
dx
R
0 2
1
2
4
·


2
8
a
E
Rl
cu
cu

 
En el aluminio la deformación es similar:


l
x
al
al
A
E
dx
R
0
·

)
1
(
2


l
x
a
Dx















l
al
al
l
x
a
E
dx
R
0 2
1
2
4
·


2
8
a
E
Rl
al
al

 
La deformación por la variación de temperatura:
T
l
T
l
T
l al
cu
al
cu
T 






 )
( 




Además 


 

 T
al
cu
Reemplazando, obtenemos:

64. 








 T
l
a
E
Rl
a
E
Rl
al
cu
al
cu
)
(
8
8
2
2
De donde:









 T
l
a
E
Rl
a
E
Rl
al
cu
al
cu
)
(
8
8
2
2
 








 T
l
E
E
a
E
E
R al
cu
al
cu
al
cu
)
(
2
2
2.22. La pieza mostrada en la figura fue maquinada con las dimensiones mostradas, si la
temperatura aumenta a 120ºC, determinar las reacciones que soportan los apoyos luego de
la dilatación, tomando: l = 20[cm]; D = 5[cm]; d = 2[cm]; cu = 17x10-6[1/ºC]; al = 22.2x10-
5[1/ºC]; Ecu = 1.1x106[ Kg/cm²]; Eal = 7x105[ Kg/cm²

Cu Al
l l
D d
Tº=25 ºC
Solución:
La deformación debido a la dilatación es:
T
l
T
l
T
l al
cu
al
cu
T 






 )
( 




)
25
120
)(
10
2
.
22
10
17
(
20 5
6


 

 x
x
T

cm
T 0745
.
0



Ya que la deformada es mayor a la holgura, hay contacto en la pared derecha.


 
 T
R
Cu Al
R
x
x
dx
Dx

 

l
l cu
cu
l
al
al
R
A
E
dx
P
A
E
dx
P 2
2
0
1

  









al
cu
2
al
2
cu
T
l
a
E
l
R
8
a
E
l
R
8
*
*
*
*
*
*
*

65. P1 = R
A1 =  d2/4
P2 = R
A1 =  Dx2/4
El diámetro es lineal
Dx = A x + B
de las condiciones de borde se obtiene que:
D
d
x
l
d
D
Dx 


 2
Reemplazando:













l
l
cu
l
al
R
D
d
x
l
d
D
E
Rdx
d
E
Rdx
2
2
0
2
2
4
4



Resolviendo:
cu
al
cu
al
R
E
E
Dd
dE
DE
R

 2
)
(
4 

Reemplazando






T
cu
al
cu
al
E
E
Dd
dE
DE
R
2
)
(
4
Con los datos
R = 2599.39 Kg
2.23. En la siguiente figura determinar las tensiones que ocurren en cada uno de los
alambres flexibles, que soportan a la barra rígida, articulada en uno de sus extremos.
(Considerar los datos mostrado en la figura.
l l l
 

E,A1,l1 E,A2,l2
E,A3,l3
P
Solución:
Las deformaciones

66.  




1
2
3
a
b
entonces a / l = b / (2l)
1 = a Sin 
2 = b Sin 
3 = b Sin 
además l = l1 Cos 
l = l2 Cos 
l = l3 Cos 
reemplazando:




sen
sen
1
2
2





sen
sen
1
2 2





sen
sen
1
3 2

Las deformadas:
1
1
1
1
EA
l
T


2
2
2
2
EA
l
T


3
3
3
3
EA
l
T






sen
EA
sen
l
T
EA
l
T
1
1
2
2
cos
2
cos

1
1
2
2
cos
cos
2
A
sen
T
A
sen
T









sen
EA
sen
l
T
EA
l
T
1
1
3
3
cos
2
cos

1
1
3
3
cos
cos
2
A
sen
T
A
sen
T






67. De la estática
0
2
2 3
2
1 


 l
sen
T
l
sen
T
Pl
l
sen
T 


K
P
A
sen
T 1
1
cos


K
P
A
sen
T
2
cos 2
2



K
P
A
sen
T
2
cos 3
3



Donde 




 cos
4
cos
4
cos 2
3
2
2
2
1 sen
A
sen
A
sen
A
K 


2.24. Determinar la deformación debido al peso propio del bloque mostrado en la figura.
Siendo la sección, circular y variable con la altura, de forma parabólica, según el sistema de
coordenadas, mostrado.
H
H/3
H
y
x
ry
y
x
y
dy
wy
Solución:
dy
EA
y
w
H
y
T 

0
)
(

la ec. de la parábola es
2
)
( o
o y
y
P
x
x 


)
,
6
(
)
,
( H
H
y
x o
o 
para x = H/2 y = 0
6
3
)
( 2
H
H
H
y
r
x r 



El área a cualquier altura “y” es:
2
2
2
6
3
)
(
)
( 









H
H
H
y
r
y
A r 

El peso por debajo de “y” es:

68. 
 dy
r
y
w y
2
)
( 
Reemplazando y simplificando:
 
5
4
3
2
2
3
4
5
2
12
60
140
180
135
47
540
)
( y
Hy
y
H
y
H
y
H
H
H
y
w 






La deformada:
 
dy
H
H
H
y
E
y
Hy
y
H
y
H
y
H
H
H
H
T 




























0 2
2
5
4
3
2
2
3
4
5
2
6
3
)
(
12
60
140
180
135
47
540



simplificando:
)
3
ln
6
17
(
90
2


E
H
T



69. PROBLEMAS PROPUESTOS
2.25. Hallar la tensión normal en una barra de sección circular sujeta a una carga de tracción
de 100 Kg si su diámetro es de 1 cm.
2.26. Hallar las tensiones normal y cortante para una sección a 30º en el anterior problema
2.27. Una pieza está sometida a tensiones de tracción compresión en dos dimensiones con
x = - 120 Kg/cm² y y = -150 Kg/cm². Hallar las tensiones para una sección que forma un
ángulo de 30º con la horizontal
2.28. Hallar el círculo de Mohr y las tensiones máximas en el anterior problema.
2.29. Una pieza de acero tiene sección cuadrada de 3 x 4 cm y un largo de 900 cm y está
sometida a una carga de 1500 Kg. Se pide hallar:
Las tensiones máximas
Las tensiones a 30o
Las deformadas total y unitaria longitudinal y transversal
Los coeficientes de seguridad Sy = 1800 Kg/cm² y Sy´ = 960 Kg/cm²
2.30. Una pieza de a = 3 cm de ancho por b = 4 cm de alto y c = 2 cm de profundidad está
sometida a una fuerza horizontal de 150 Kg. y una vertical de -200 Kg. Se pide hallar las
dimensiones finales. Tomar  = 0.3
200[kg]
150[kg]
c
b
a
2.31. En el sistema de la figura la sección transversal es circular y las dimensiones están en
centímetros. Se pide hallar:
a) El peso parcial sobre cualquier altura “y”
b) La tensión normal máxima
c) La deformada total

70. 500
1000
30
45
15
y
2.32. En el sistema de la figura se piden las tensiones en los cables.
P
(a) (b) (c) (b) (a)
l
l
l/2
2.33. En el sistema de la figura se piden las tensiones en los cables
 

(a) (b) (c)
P
2.34. Hallar las tensiones en los cables
l/5
(a)
l/4
l/5 l/5 l/5 l/5
(b) (c) (d) (e)
P
2.35. Hallar las tensiones en los cables

71.  
 
 
P
(a)
(b)
l/2
l/2
(c)
2.36. Se pide hallar el diámetro de la barra AC. Tomar Sy = 1800 Kg/cm²
P
20
30
B
B
C
60

A
A
2.37. Hallar la deformación total debido al peso propio. Tomar las unidades en cm
40
P
60
30
25
2.38. Para el sistema de la figura se piden las reacciones en A y B. Tomar las unidades en
cm
50
P
50
A
30
40
B
2.39. Se pide hallar las reacciones en las paredes. Tomar  = 0.01 cm

72. 70
60 20
50
40
P

A B
2.40. Tres barras se encuentran articuladas en A para soportar juntas, un peso W como se
indica en la figura. El desplazamiento horizontal del punto A esta impedido por una varilla
corta horizontal AO que se supone infinitamente rígida, a) Determinar las expresiones para
calcular las tensiones en cada una de las barras y la fuerza total sobre la barra AO. b)
Utilizando las anteriores relaciones determinar las tensiones sí: A1 = A2 = A3 = 2 cm²  = 30º;
 = 45º; W = 2500 Kg.
P
l/4 l/4 l/4 l/4
l/3
A
2.41. Hallar la deformación total del sistema de la figura. Tomar E = 2.1x106 Kg/cm² y P =
2000 Kg
45 45
0.35
60
P
2.42. Hallar la deformada debido a la fuerza P y el peso propio
y
h
dy A
D/2
P
D
A
2.43. En el sistema mostrado en la figura determinar las reacciones que soportan las
paredes rígidas por efecto de las cargas y un incremento de la temperatura. Considerar una
sección rectangular de espesor constante “b” y los siguientes datos:

73. L = 30cm; H = 10 cm; h = H/3; E = 2.1x106 Kg/cm² ; P = 5000 Kg; b = 5 cm T = 90C
H
l
H
h
l
2P
l
l/2
P
A

B
B
B-B
b
2.44. Hallar una expresión para determinar la deformación que sufre una barra con sección
variable según una función cúbica, como se ve en la figura.
d
x
y
D
f(x2
)
l
P
d
x
y
D
x
dx
Dx
2.45. Hallar una expresión para determinar la reacción en cada uno de los apoyos, de los
elementos mostrados en la figura, debido a la variación de temperatura T, considerando
como datos: , l, a.
Cu Al
a/2 a
l l

T
2.46. Si la temperatura aumenta a 120 º C, determinar las reacciones que soportan los
apoyos luego de la dilatación, tomando: l = 20 cm; D = 5 cm; d = 2 cm; cu = 17x10-6
(1/ºC);
al = 22.2x10-5
(1/ºC); Ecu = 1.1x106
[ Kg/cm²]; Eal = 7x105
[ Kg/cm²
Cu
d a
l l
cm
T
Al D
2.47. Hallar las tensiones en el sistema de la figura. Cuando las deformaciones además de
la carga P provienen de un incremento de la temperatura T

74. l l l
 

E,A1,l1 E,A2,l2
E,A3,l3
P
2.48. Determinar la variación que debe tener la sección circular del elemento de la figura, de
modo que las tensiones debido al peso propio sean constantes.
ry
y
x
y
dy
wy
2.49. La barra maciza mostrad en la figura, consta de un tramo troncocónico y otro cilíndrico,
determinar la deformación total del sistema siendo el material el mismo para ambos tramos.
3P P 2P
l l
D
d
2.50. Determinar la expresión para calcular la deformación total de la barra, que tiene una
perforación que produce una pared de espesor constante t, como se muestra en la figura, la
barra se encuentra sometida a la acción de las respectivas cargas. La sección de la barra
varía según se ve en dicha figura.
t
D
D/2
l l
l/2
P
2P 3P 2P
2.51. La barra mostrada en la figura se encuentra sometida a la acción de las fuerzas
mostradas que produce una reacción interna de la barra, debido a los apoyos que se
muestran, determinar las reacciones que se producen en dichos apoyos, considerando
además que los materiales tienen diferente módulo de elasticidad, y su sección transversal
es circular y varía en cada tramo.
l
3P 2P
E1
E1
E2
l l
d 2d

75. 2.52. Determinar la ecuación para determinar el Área de las secciones transversales de los
elementos elásticos que se muestran en la figura. Considerar conocidas las longitudes de
cada una de éstas.
P
2
1
3
a
a
2.53. Hallar las tensiones de los elementos mostrados en la figura.
P
2



a
1
2.54. Hallar las tensiones en las barras de la armadura mostrada en la figura cuando se
aplica la fuerza indicada. Considerar E, A igual para todas las barras.
a
a a
P
1 2
2.55. Una armadura simétrica experimenta las cargas mostradas en la figura. Determinar las
tensiones normales que experimentan cada una de ellas.
3a
3a
a
P
1 1
2
2
2.56. Calcular las tensiones de montaje de los elementos flexibles mostrados en la figura, si
uno de ellos fue fabricado con una falla en su longitud  = 0.5 cm.
a
a=1[m]
2a 


76. 2.57. Determinar los desplazamientos, horizontal y vertical, del punto de aplicación de la
fuerza P, además determinar todas las tensiones en las diferentes barras. Considerar, el
módulo de rigidez a la tensión E·A, constante.
P
l
2l
l
l
1 2
3
.
2.58. Determinar el desplazamiento del punto A debido a las cargas aplicadas sobre la
armadura mostrada en la figura.
P
2l l
2
3
1
A l
l

77. 3 Corte Puro
3.1 Introducción
Un elemento está sometido a Corte Puro cuando al realizar un corte por cualquier sección
recta no aparecen momentos internos, tampoco fuerzas normales y solo se verifica una
fuerza tangencial Q en el centro de gravedad de la sección, es decir, en todas las secciones
rectas del elemento se anulan la fuerza normal y los momentos torsor y flector.
Fig. 3.1 Corte Puro
Ejemplos de elementos sometidos a Corte Puro son: Vigas de muy pequeña luz donde la
rotura se produce por corte puro y el efecto de flexión es despreciable, el corte de planchas
metálicas mediante cizallado, punzonado o troquelado y las uniones con remaches, bulones,
soldadura, pernos, etc.
Para la validez de las ecuaciones y resultados de este capítulo se asume la veracidad de las
siguientes condiciones:
1.- Se cumple la hipótesis de Bernoulli (Conservación de las secciones planas)
2.- Los elementos tienen secciones transversales uniformes
3.- Los materiales son homogéneos
4.- Las cargas están aplicadas en los centros de gravedad de la sección
5.- Los miembros sometidos a compresión no son tan esbeltos y no hay pandeo.
3.2 Tensiones y Deformaciones en Corte Puro
a) Tensiones
Considérese una pieza sometida a una carga horizontal en su cara superior y anclada en su
cara inferior: