1) El documento trata sobre límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales de variable real. 2) Explica la definición formal de límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales. 3) Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular límites, determinar la continuidad y derivar funciones vectoriales.

1. Limites, continuidad,Derivadas de funciones Vectoriales
de variable real
Sumaya Jaimes Reategui
Sumaya Jaimes Reategui Limites, continuidad,Derivadas de funciones Vectoriales de variable real 1 / 22

2. Tabla de contenidos
1 Limites de funciones vectoriales de variable real
2 Continuidad funciones vectoriales de variable real
3 Derivada de una función vectorial de variable real
4 Gráfica de Curvas
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3. Limites de funciones vectoriales de variable real
Definición formal de limite
Sea f : Df −→ Rn, y x0 un punto de acumulación de
Df (Df =dominio de f ). Diremos : lı́mx−→x0 f (x) = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃
δ > 0 tal que si
x ∈ Df , 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f (x) − b| < ε.
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4. Limites de funciones vectoriales de variable real
Theorem
sea f : I ⊂ R −→ Rn,f (t) = (f1, f2, ..., fn) lı́mt−→t0 f (t) =
(lı́mt−→t0 f1 (t) , lı́mt−→t0 f2 (t) , ..., lı́mt−→t0 fn (t)) = (b1, b2, ...bn), donde
lı́mt−→t0 f1 (t) = b1, lı́mt−→t0 f2 (t) = b2, ..., lı́mt−→t0 fn (t) = bn
Ejemplo
Hallar el lı́m
t−→1
et −e
t−1 , ln t
1−t , t
Solución
lı́m
t−→1
et −e
t−1 , ln t
1−t , t
=
lı́m
t−→1
et −e
t−1 , lı́m
t−→1
ln t
1−t , lı́m
t−→1
t
=
lı́m et
t−→1
, lı́m
t−→1
1
t
−1, lı́m
t−→1
t
= (e, −1, 1) En la primera y segunda
componente se aplicó la regla de L’hospital,dado que se tenı́a la
indeterminación
0
0
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5. Limites de funciones vectoriales de variable real
Theorem
Sean f : I −→ Rn, g : J −→ Rn tal que
lı́m
t−→t0
f (t) = a, lı́m
t−→t0
f (t) = b entonces
a) lı́m
t−→t0
(f (t) ± g (t)) = a ± b
b) lı́m
t−→t0
(f (t) × g (t)) = a × b
c) lı́m
t−→t0
(f (t) · g (t)) = a · b
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6. Continuidad funciones vectoriales de variable real
Definición formal de continuidad
La función f : I ⊂ R −→ Rn es continua en el punto t0 ∈ Df , si para cada
ε 0 ∃ δ 0 tal que si t ∈ Df , |t − t0| δ =⇒ |f (t) − f (t0)| ε.
Observación
Si t0 no es un punto de acumulación del domonio de f ( Df ) esto es:
(t0 − δ, t0 + δ) ∩ Df − {t0} = φ entonces la función es continua pues ∀
ε 0 ∃ δ 0 tal que si t ∈ Df |to − to| δ =⇒ |f (to) − f (to)| ε
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7. Continuidad funciones vectoriales de variable real
Definción operativa de continuidad
La función f : I ⊂ R −→ Rn es continua en el punto t0 ∈ Df , si
lı́m
t−→t0
f (t) = f (to) o equivalente si se cumple cada una de las siguientes
propiedades.
1 f (to) exista
2 lı́m
t−→t0
f (t) existe (Para funcion a trozos lı́m
t−→t−
0
f (t) = lı́m
t−→t+
0
f (t) )
3 lı́m
t−→t0
f (t) = f (to))(Para función a trozos
lı́m
t−→t−
0
f (t) = lı́m
t−→t+
0
f (t) = f (t0))
Ejemplo
f (t) = (cos(t), t), t ∈ Z Si t0 es punto de acumulación,por la definición de
continua en t0 es equivalente lı́m
t−→t0
f (t) = f (to)
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8. Continuidad funciones vectoriales de variable real
Ejemplo
Hallar los valores de a, b para que la función
f (t) =











(a + tb, t) si t 0
(1, t) si t = 0
(b, t) si t 0
Sea continua en t = 0
Solución
Como la funcion es continua t=0 tenemos
a lı́m
t→0−
(f (t) = f (0) =⇒ lı́m
t→0−
(a + tb, t) = (1, 0) =⇒ a + 0b = 1 =⇒
a = 1
b lı́m
t→0+
(f (t)) = f (0) =⇒ lı́m
t→0+
(b, t) = (b, 0) = (1, 0) =⇒ b = 1
Por tanto los valores son a = 1, b = 1
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9. Derivada de una función vectorial de variable real
Definición formal
Sea f : I ⊂ R −→ Rn, la derivada de f (t) = (f1 (t)) , f2 (t) , ...fn (t) es
definido por
df (t)
dt = lı́m
h−→0
f (t+h)−f (t)
h
Definición Formal en un punto t0
La derivada en el punto t0 ∈ I será df (to)
dt = lı́m
h−→0
f (to+h)−f (to)
h
Theorem
Si f : I ⊂ R −→ Rn, f (t) = (f1 (t)) , f2 (t) , ...fn (t)) entonces
df (t)
dt =
df1(t)
dt , df2(t)
dt , ..., dfn(t)
dt
siempre que dfi (t)
dt existe ∀ i = 1, .., n.
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10. Derivada de una función vectorial de variable real
Ejemplo
Hallar la derivada de la función g (t) = cos t2, sin t2
Solución
dg(t)
dt =
d cos t2
dt
,
d sin t2
dt
= − sin t2 · 2t, cos t2 · 2t
Ejemplo
Hallar la Derivada de la función g (t) = (t, |t|)
Solución
La función es una función por partes g(t) =









(t, −t) si t 0
(0, 0) si t = 0
(t, t) si t 0
g0
(t) = (1, −1) si t 0
g0
(t) = (1, 1) si t 0
En t = 0
dg+(0)
dt
= (1, +1) ,
dg−(0)
dt
= (1, −1)
Las derivadas lateras existen pero son diferentes
Por tanto g (t) no tiene derivación en t = 0.
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11. Derivada de una función vectorial de variable real
Definición
Si C es una curva descrita por f (t) = (f1(t), ..., fn(t)) , si df (t)
dt existe y
es distinta de cero entonces df (t)
dt se llama vector tangente a la curva C en
el punto f (t) y la recta Lf (t) =
n
p/p = f (t) + s df (t)
dt , s ∈ R
o
se llama
recta tangente a la curva C en f (t) .
Observación importante
La recta tangente
df (t)
dt
= (
df1(t)
dt
, ...,
dfn(t)
dt
) apunta en la dirección en
que la curva va siendo trazada en f(t) cuando t aumenta
Ejemplo
Sea f (t) = (t, g (t)), donde g : R → R,diferenciable. Observamos que el
dominio de f es Df = Dg. La recta tangente
Lf (t) =
n
(t, g (t)) + s
1, dg(t)
dt
, s ∈ R
o
.
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12. Derivada de una función vectorial de variable real
Theorem
Si f , g : I ⊂ R → Rn,son diferenciables sobre un intervalo I y ϕ :J → R
derivable entonces
1
d(f (t)±,g(t))
dt = df (t)
dt ± dg(t)
dt
2
d(f ·g)
dt = df (t)
dt .g (t) + f (t) .dg(t)
dt
3
d(f ×g)(t)
dt = df (t)
dt × g(t) + dg(t)
dt × f (t)
4 ϕ (J) ⊂ I , x = ϕ (t) entonces d(f (ϕ(t)))
dt = df (t)
dx
dϕ(t)
dt (Regla de la
cadena)
5
dϕ(t)g(t)
dt = dϕ(t)
dt f (t) + ϕ (t) df (t)
dt
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13. Derivada de una función vectorial de variable real
Theorem
Si la función f es diferenciable sobre intervalo I entonces el continua sobre
I
Theorem
Si f : I ⊂ R → Rn es continua sobre [a, b] y diferenciable sobre
ha, bi entonces existe C = (C1, ..., Cn), Ci ∈ (a, b) tales que
f (b) − f (a) = (b − a)
df1(C1)
dt , ...., dfn(Cn)
dt
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14. Gráfica de Curvas
Gráfica de Curvas en R2
Sea C una curva que tiene como parametricación ( es decir Rango de α(t)
es la curva C) α(t) = (f1(t), f2(t)), consideremos x = f1(t), y = f2(t) Para
graficar seguimos los siguiente pasos
1 Dominio de α(t)
2 Intersecciones con los ejes coordenados
a.- Intersección con el eje X. Para esto resolver y = f2(t) = 0
b.- Intersección con el eje Y. Para esto resolver x = f1(t) = 0
3 Simetrı́a con los ejes coordenados
a.- Simétrico con el eje X. Diremos que la Curva es simétrica con el eje X
si al reemplazar t por -t obtenemos α(−t) = (−f1(t), f2(t))
b.- Simétrico con el eje Y. Diremos que la Curva es simétrica con el eje Y
si al reemplazar t por -t obtenemos α(−t) = (f1(t), −f2(t))
c.- Simétrico con respecto al origen . Diremos que la Curva es simétrica
con respecto al origen si al reemplazar t por -t obtenemos
α(−t) = (−f1(t), −f2(t))
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15. Gráfica de Curvas
4 Calcular los puntos donde el vector tangente horizontal y vertical
a Un vector tangente es horizontal en los punto donde la segunda
componente de la derivada de α(t) es igual cero;es decir
df2(t)
dt
= 0,
donde
dα(t)
dt
= (
df1(t)
dt
,
df2(t)
dt
)
b Un vector tangente es vertical en los punto donde la primera
componente de la derivada de α(t) es igual cero;es decir
df1(t)
dt
) = 0,
donde
dα(t)
dt
= (
df1(t)
dt
,
df2(t)
dt
)
5 En el caso de que
dα(t)
dt
= 0 en un punto t = t0. si lı́mt−→t−
0
dα(t)
dt
,
lı́mt−→t+
0
dα(t)
dt
tienen diferentes direcciones entoces (f1(t0), f2(t0))
es un punto cúspide
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16. Gráfica de Curvas
6 Asintotas:
a.- Sea lı́mt−→±∞ α(t) = (lı́mt−→±∞ f1(t), lı́mt−→±∞ f2(t))
i Si lı́mt−
→±∞ f1(t) = a, a ∈ R y lı́mt−
→±∞ f2(t) = ±∞, entonces x=a
es una asintota vertical
ii Si lı́mt−
→±∞ f1(t) = ±∞, y lı́mt−
→±∞ f2(t) = b, b ∈ R entonces y=b
es una asintota horizontal
b.- Sea lı́mt−→t0
α(t) = (lı́mt−→t0
f1(t), lı́mt−→t0
f2(t))
a.- La recta y=mx+b es una oblicua
si,m = lı́mt−
→±∞
f2(t)
f1(t)
, b = lı́mt−
→±∞(f2(t) − mf1(t))
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17. Gráfica de Curvas
Gráfica de Curvas en R3
Sea C una curva que tiene como parametricación ( es decir Rango de α(t)
es la curva C) α(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)), consideremos
x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t) Para graficar seguimos los siguiente pasos:
1 Dominio de α(t)
2 Intersecciones con los ejes coordenados
a.- Intersección con el eje X. Para esto resolver
y = f2(t) = 0, z = f3(t) = 0
b.- Intersección con el eje Y. Para esto resolver
x = f1(t) = 0, z = f3(t) = 0
c.- Intersección con el eje z. Para esto resolver x = f1(t) = 0, y = f2(t) = 0
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18. Gráfica de Curvas
3 Hallar los Vectores tangentes paralelos a los planos coordenados
a Un vector tangente es paralelo al plano XY(z=0) en los punto donde la
tercera componente de la derivada de α(t) es igual cero;es decir
df3(t)
dt
= 0, donde
dα(t)
dt
= (
df1(t)
dt
,
df2(t)
dt
,
df3(t)
dt
)
b Un vector tangente es paralelo al plano XZ(y=0) en los punto donde la
segunda componente de la derivada de α(t) es igual cero;es decir
df2(t)
dt
= 0, donde
dα(t)
dt
= (
df1(t)
dt
,
df2(t)
dt
,
df3(t)
dt
)
c Un vector tangente es paralelo al plano YZ(x=0) en los punto donde la
primera componente de la derivada de α(t) es igual cero;es decir
df1(t)
dt
= 0, donde
dα(t)
dt
= (
df1(t)
dt
,
df2(t)
dt
,
df3(t)
dt
)
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19. Gráfica de Curvas
Ejemplo
Usando vectores tangentes graficar la curva C cuya parametrizacion(
Rango de α(t) es C es α(t) = (t3, t2 + 2t)
Solución
1 El Dominio de α(t) es Dα(t) = Df1 ∩ Df2 = R, dondef1(t) = t3
, f2(t) = t2
+ 2t
2 Intersecciones con los ejes coordenados
a.- Intersección con el eje X. Para esto resolver y = f2(t) = 0 =
⇒ t2
+ 2t = 0 =
⇒ t = 0, t = −2 Por tanto, la
curva intercepta a la eje X en los puntos(0, 0), (−8, 0)
b.- Intersección con el eje Y. Para esto resolver x = f1(t) = 0 =
⇒ t3
=
⇒ t = 0 Por tanto, la curva intercepta a
la eje X en los puntos(0, 0)
3 No hay Simetrı́a con los ejes coordenados
4 Calcular los puntos donde el vector tangente horizontal y vertical
a Un vector tangente es horizontal en los punto donde la segunda componente de la derivada de α(t) es igual
cero;es decir
df2(t)
dt
= 2t + 2 = 0 =
⇒ t = −1, donde
dα(t)
dt
= (
df1(t)
dt
,
df2(t)
dt
) = (3t2
, 2t + 2) Por tanto
en el punto (-1,-1) la curva α(t) tiene vector tangente horizontal Vt (t) = (3, 0)
b Un vector tangente es vertical en los punto donde la primera componente de la derivada de α(t) es igual cero;es
decir
df1(t)
dt
) = 3t2
= 0 =
⇒ t = 0, donde
dα(t)
dt
= (
df1(t)
dt
,
df2(t)
dt
) = (3t2
, 2t + 2) Por tanto en el punto
(0,-0) la curva α(t) tiene vector tangente vertical Vt (t) = (0, 2)
5 la curva α(t) no tiene asintotas
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20. Gráfica de Curvas
Figura: Gráfico de la curva C que es el rango de la función f (t) = t3
, t2
+ 2t
usando Geogebra, en el intervalo [−12, 12],indicando los vectores tangentes
horizontales, verticales y la intersección con los ejes coordenados
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21. Gráfica de Curvas
Ejemplo
Usando vectores tangentes graficar la curva C cuya parametrizacion(
Rango de α(t) es C es α(t) = (cos(t), sen(t), t)
Solución
1 Dominio de α(t) es Dα = Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 = R, donde f1(t) = cos(t), f2(t) = sen(t), f3(t) = t
2 Intersecciones con los ejes coordenados
a.- Intersección con el eje X. Para esto resolver y = f2(t) = 0, z = f3(t) = 0 =
⇒ sent = 0, t = 0 =
⇒ t = 0 Por
tanto el punto de intersección de la curva con el eje X es el punto (1, 0, 0)
b.- No hay Intersección con el eje Y,Z.
3 Hallar los Vectores tangentes paralelos a los planos
a Un vector tangente es paralelo al plano XY(z=0) en los punto donde la tercera componente de la derivada de
α(t) es igual cero;es decir
df3(t)
dt
= 1 6= 0, donde
dα(t)
dt
= (
df1(t)
dt
,
df2(t)
dt
,
df3(t)
dt
) = (−sent, cost, 1) no
existe vector tangente paralelo al plano XY
b Un vector tangente es paralelo al plano XZ(y=0) en los punto donde la segunda componente de la derivada de
α(t) es igual cero;es decir
df2(t)
dt
= cost = 0 =
⇒ t =
(2n + 1)π
2
, n ∈ N, donde
dα(t)
dt
= (−sent, cost,1):Por tanto hay infinitos puntos,por ejemplo cuando n=0,el punto (0, 1,
π
2
) tiene un
vector paralelo al plano XZ, esto es V=(-1,0,1), cuando n=1 el punto unto (0, −1,
3π
2
) tiene un vector
paralelo al plano XZ, esto es V=(+1,0,1)
c Un vector tangente es paralelo al plano YZ(x=0) en los punto donde la primera componente de la derivada de
α(t) es igual cero;es decir
df1(t)
dt
= −sent = 0 =
⇒ t = nπ, n ∈ N, donde
dα(t)
dt
= (−sent, cost,1):Por
tanto hay infinitos puntos,por ejemplo cuando n=0,el punto (1,0,0) tiene un vector paralelo al plano XZ, esto es
V=(0,1,1), cuando n=1 el punto (−1, 0, π) tiene un vector paralelo al plano XZ, esto es V=(0,-1,1)
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22. Gráfica de Curvas
Figura: Gráfico de la curva C que es el rango de la función α (t) = (cost, sent, t)
usando Geogebra, en el intervalo [−4π, 4π],indicando los vectores tangentes
paralelos a planos coordenados y la intersección con los ejes coordenados
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