Funciones vectoriales

1.1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
Definición 1. Una función [: 1 e Iffi. -4 Iffi.n cuya regla de correspondencia es
[(t) = ([l(t); [2 (t); ''';[n(t)), tE 1
se denomina función vectorial de una variable real t.
Las n funciones reales ti, (i = 1,2, ..., n) se llaman funciones componentes de la
función vectorial [.
El dominio de la función vectorial [ es el conjunto
Df = D{¡ n Dtz n ... Dfn
donde Df ¡ es el dominio de la función componente ti, Cí = 1,2, ... , n)
Ejemplo 1. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales:
a) [Ct) = (t2
; InCt - 2); ~ bJ g(t) = (~2'; e
t
; In(1- t))
t + -./9 - t 2
Solución
a) Si [lCt) = t 2
,f2(t) = InCt - 2) Y [3(t) =..j4 - t, entonces
D{¡ = ~, Dtz = (2; +00) y DfJ = (-00; 4)
Luego,
Df = D{¡ n Dtz n DfJ = (2: 4)
1 et
b) Si Bl(t) = --2,B2(t) = y B3(t) = In(1- t) ,entonces
t + -./9 - t2
Dg! = Iffi. - {-2}, DgZ = (-3; 3) Y Dg3 = (-00; 1)
Luego,
Dg == Dgl n DgZ n Dg3 = (-3: -2) U (-2; 1)

Observacióll J. Sea f(t) = '(fl (t); f2 (t); .oo ;fn(t)) la regla de
correspondencia de la función vectorial f Si esta regla de correspondencia la
escribimos en laforma
e:
Xl =flCt)
x2 = f2(t)
X n = fn(t)
,t E I
Se dice que la curva e es una curva parametrizada en el espacio ~n • y las
ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la curva e.
Si en las ecuaciones paramétricas de la curva ese elimina el parámetro t, de tal
manera que aparezcan ecuacioncs en términos de Xl' X2, oo., Xn , estas ecuaciones
reciben el nombre de ecuacioncs cartesianas de la curva e.
Observación 2. En algunas situaciones. las jimciones vectoriales se utili::an
para determinar el movimiento de una partícula a lo largo de una curva e. cuya
posición en el tiempo t es ([1 Ct); f'l:(t); oo.; fn (t)) . Así. si f: I -t ~n es l/na
función vectorial tal que f(t) = (fl(t); f2(t); oo.;fn(t)) . entonces [Ct) es el
vector de posición de! punto P(f1Ct); f2(t); oo.; fnCt) ) en la curva e.En la figura
1. 1 se observa que cuando t toma valores de menor a mayor en el intervalo f. el
extremo del vector de posición f(t) traza la trayectoria de ia curva eindicando
su orientación.
o t IR
Fig 1 1

Ejemplo 2. Tr;;cc la imagen de las siguientes funciones
a) fU) = (l + t3
; t 2
) b) h(t) = (t; t; t 2
)
c) 9(t)=(4cost;5sent) d) r(t) = (cost;sent;t). t~O
Solución
a) Las ecuaciones paramétricas de la curva el descrita por la función vectorial
fes
e :{X == 1 + t
3
t E IR
1 Y == t 2 •
Al eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas, se obtiene
y == ex - lf/3
La gráfica de esta ecuación cartesiana se muestra en la figura 1.2
o
Fig 1 2
x
bI Las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por la función vectorial 9 es
{
X == 4 cos t
e2 : 5 f' tE !H:.
Y = sen,
Para eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas se despeja cos t y
sen t, esto es
x v
cos t == - y sen t == .~
4 J
Luego. al utilizar la identidad cos2
t + sen2
t == 1 resulta la ecuación
cartesIana
x2 y2
16 + 25 == 1
La gráfica de esta ecuación cartesiana se muestra en la figura 1.3

~
I ~ x
o 71: 1t 3n 271: IR
2 2
-5
Fig 1 3
c) Las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por la función vectorial 9 es
¡
X = t
e3 : y = t . t E ~
z = t
2
Al eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas, se obtiene que los
puntos de la curva están situados en la inte~cción de las supeHicies
. y = x y z =x 2
La gráfica de la curva se muestra en ~gura lA
z
o y
~íg 1 <1
d) Las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por ia función vectorial r es
[
X = cost
e4 : y =sen t. t E [O; +(0)
z = t
Al eliminar el parámetro t en las dos pnmeras ecuaciones, se obtiene la
ecuación cartesiana
x ~ + y Z = 1

/':sta ecuación indica que la curva se encuenrra en un cilindro circular recto de
radio L con eje de simetría el eje z. Con la tercera ecuación z = t se localiza
los puntcs de la curva sobre el cilindro circular recto.
La imagen de la función vectorial r se denomina hélice circular recto.
(Fig. 1.5)
o
x
Fig 1.5
OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES
/
/
/
y
Definición 2. Sean[, g: IR ...... ~n funcIones vectonales cuyos dominios son D, y
Dg respectivamente, y sea c.p: ilt -. lIt una función real con dommio Dw . ;"as
regias de correspondencia de las runciones [+ g.[ - g, c.p[ y f .9 son
a) (f + g)(t) = Jet) + g(t), tE (D¡ n Dg) = D¡Tg
b) (f - g)(t) = Jet) - g(t), tE (Df n Dg) = D
f - 9
e) (cpf)(t) =cp(t)[(t) = cp(t) (tl(t); "';[n(t»), tE Dtp¡ = Dtp n D¡
n
d) (f. g)(t) = [Ct). gCt) =¿(¡(t)g¡Ct). tE D[.g = D¡ n Dg
e) Si ¡,g: IR ...... ~3 son funciones vectoriales con imagen en el espacio ~3.
entonces la regla de correspondencia de la función producto vectorial [x 9
es daáa por
(f x g)(t) =[Ct) x g(t), tE Dfx9 =Df n Dg
Ejemplo 3. Dadas las funciones vectoriales
[Ct) = (t; t; t 2
) y g(t) = (t; t l
; t 3
)
Ialle al (f +g)(-l) b) (f. g)(l) c) (f x g)(2)

Solución
a) Se tiene, f(-l) = (-1; -1; 1) Y g(-l) = (-1; 1; -1). Luego,
(f + g)(-l) =f(-l) + g(-l) = (-1; -1; 1) + (-1; 1; -1) = (-2; O; O)
b) Como f(l) = (1; 1; 1) Y g(l) = (1; 1; 1), entonces
(f • g)(l) = f(l) • g(l) = (1; 1; 1) • (1; 1; 1) = 3
c) Dado que f(2) = (2; 2; 4) y g(2) = (2; 4: 8), entonces
1 J k
(f x g)(2) = f(2) x g(2) = 2 2 4 = (O; -8; 4)
2 4 8
Ejemplo 4. Halle una función vectorial que represente a las siguientes curvas
a) 9X2 + 4y2 = 36 b) Y = X2 - 4x + 7
Solución
a) La curva es una elipse con ecuación canónica
X2 y2 x 2 y 2
4 + '9 = 1 <=} (2) + (3) = 1
Hay muchas maneras de parametrizar esta curva, una de ellas es elegir
x y
2= cos t y 3= sen t <=} x =2 cos t y Y = 3 sen t
Luego, la función vectorial ~representa a la curva es
fCt) = (2cos t ; 3 sen t), t E Iffi.
b) Una parametrización natural de esta curva es elegir x = t. De donde,
y = t 2
- 4t + 7
Por tanto, la función vectorial que representa a la curva es
g(t) = Ct; t 2
- 4t + 7), t E Iffi.
Ejemplo 5. Halle una función vectorial que represente a la curva de intersección
de las siguientes superficies.
a) X2 + y2 = 16 Y z = xy b) z =16x2 + 9y2 Y Y = XL
Solución
a) Una manera natural de parametrizar la curva de intersección de las superficies
es elegir
x = 4 cos t y Y = 4 sen t. Entonces z = 16 cos t sen t
J,llego. la función vectorial que representa a la curva de intersección de las
~lIpetfic ¡es cs
/(1) (1 cos t;4sent;16cost sent), ;;EIffi.

b) En estc caso, para parametrizar la curva de intersección se elige
x = t, de donde y = t 2 y z = 16t2 + 9t4
Por consiguiente, la función vectorial que representa a la curva de intersección
de las superficies es
gCt) = Ct; t 2; 16t2
+9t4
), tE lRl.
EJERCICIOS
1.- Trace la gráfica de la imagen de las siguientes funciones
a) [Ct) = Ccos t; sen t) b) [Ct) = C3 cosh t; 5 senh t)
(
1- t2 2t)
e) [Ct) = 1 + t2 ; 1 + t2 d) [Ct) = C5 sen t; 4 cos t)
e) [Ct) = C3 + tS; t 2
+ 1)
g) [Ct) = Ct; t; sen t), t E [O; 4rr]
(
3t 3t
2
)
i) [Ct) = Ca cos t; a sen t; bt), a > O j) [Ct) = 1 + t3 ; 1 + t 3
k) [Ct) = (3 sen t; 5 cos t; 7), t E (O; 2rrJ
1.- Determinar el punto de intersección de la recta
((t) = C9 + 3t; -10 - 4t; 7 + 2t) con el plano YZ.
3.- Encuentre una representación paramétrica de las siguientes curvas
a) X2 + y2 = 9, Z = O R. aCt) = C3 cos t; 3 sen t; O)
b) X2 + y2 - 6x - 4y + 12 = O, Z = O
c) y = 3x2
, Z = O
d) (x - 1)2 + 4(y - 2)2 =4, Z = O R. a(t) =(1 + 2 cos t; 2 + sen t; O)
4.- Sean [Ct) = (t 2
+ 1; O; t3
) y g(t) = (sen t; - cos t; O). Halle
a) [Ca + b) b) g(t - 3) c) [(sen t) x g(t 2
+ 1)
5.- Defina una función vectorial del intervalo [a; b] sobre el segmento de recta
de extremos Po Y P1 de IRl.n
.
6.- Defina una función del intervalo [-2; 2] en 1Rl.3
cuya imagen sca cllrian).:ulo
de vértices (3; 2; -1), (2; O; 1) y (1; -2; 1)

7.- Sean [Ct) = (2t-l ;"';4 - t 2), gCt) = (InCt +1); "';t2+ 2t - 8)
Calcule [± g, [. g, [ x g, 4[ - 2g , Ysus dominios de definición.
1.2 LíMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Definición 3. Sea [: Iffi. -t Iffi.n una función vectorial dada por
[Ct) = (flCt);f2Ct); "';[nCt)), tE Iffi.
y sea to un número real cualquiera. Entonces
lim [Ct) = (lim [lCt); ... ; lim [nCt))
t-+to t ~ to t ~to
siempre que existan lim [iCt) , i = 1.2, ..., n
t-+to
Ejemplo 6. Calcule lim [Ct) Cen caso exista}. de las siguientes funciones
t-+to ®
vectoriales
(
1-...;t + 1 t )
a) [Ct) = t + 2 : t + 1; 2 , to = O
(
e' - e in t sen (t - 1) .
b) [Ct) = t="1;::. _ t; t _ 1 rC
o = 1
_(1 -coslsen t) , cos t - cos(sen t) ,_1_)
c)[Ct)- sen2t ' t 2 't+rr,to=O
(
Tr sen (Vt - 1) vt - 1)
.d) [Ct) = C2 - t) tan(It); 5 ; _ _
L , LO = 1
tan(Vt=l) t - 1
Solución
(
1 - vt + 1 t )
a) lim[Ct) == lim ; lim--; lim 2 = (O; O; 2)
t-+o t-+o t + 2 t-+O t + 1 t-+o
(
et - e In t sen (t - 1))
b) lim[Ct) == lim--;lim--;lim . = Ce;-1;1)
t-+o t-+1 t - 1 t-+1 1 - t t-+l t - 1
. . (. 1 - cos(sen t) . cos t - cosesen t) . . 1 )
c) lIm[(t) == hm . 'hm 'hm--
I .0 t-+o sen2 t ' t-+o t 2 . ' t-+O t + rr
(~. O'~)
2' 'rr

d) limf(t) = lim(2-t)tan("2t
);lim ;lim-- = e2/ 1r
;1;-
(
re sen (Vt - 1) {t - 1) ( 1)
t-.l t-->l t-'l tan(Vt - 1) t->1 t - 1 2
PROPIEDADES OPERACIONALES DE LÍMITE DE FUNCIONES
VECTORIALES
Sean f, g: !R{ ~!R{n funcione1i vectoriales de una variable real tales que
y sea r.p: !R{ ~ !R{ una función real tal que lim r.p(t) = a, entonces
t ....to
i) lim [(Ct) + g(t)] = lim f(t) + lim g(t) = E+ a
r-.to t....to t....to
ii) lim [((t) - g(t)] = lim f(t) - lim g(t) = E- a
t-.to t....to t....to
iii) lim [r.p(t)gCt)] = (lim r.p(t») (lim 9Ct») == aE
t-.to t....to t....tG
iv) lim [(Ct) • g(t)] = (lim fCt»). (lim 9Ct») = E•a
r....ta t-.to t....ta
v) lim[{(t) x 9(t)] = (lim Ht») x (lim 9(t») = Ex a (solo en !R{3)
r-.ro t ....to t....to
(
sen t I )
Ejemplo 7. Sean [Ct) = --; cos t ; -t-,- y
t .-t-1[
(
1 + cos t 1 )
g(t) = . ;--;sen t + t
sen r cos t
funciones vectoriaies con imagen en el espacio ~3. Halle:
a) lim[f(t). g(t)]
t -->1r
b) lim[f(t) x 9U)]
(4Tt
Solución
r sent i ' ( 1
a) limfet) = llim--;Jimcost;lim--) = 0;-1;-2)
t-->1r t-41r t t ....1r t ....rr t +re re
(
1 + cost i )
Iim 9(t) = lim ; lim --; lim(sen t + t) = (O; -1; re)
t ....rr ,t....rr sen t t ....rr cos t t ....rr
Luego.
· 1' 3
lim[f(t) • g(t)J = (limf(t») • (limg(t») = O; -1; - • (O; -1; rr) =-
. _ t_rr t~rr

b) Iim[f(t) x g(t)] = (lim{(t)) x (limg(t)) = (o;-1; 2
1
) x (O; -1; rr)
t....rr t....rr t....rr rr
r J k
e
-2rr
2
)
= 1 = '0'0
o -1 -rr 2rr "
2
o -1 rr
EJERCICIOS
1.- Calcule lim {(t) (en caso exista) de las siguientes funciones vectoriales
t....to
a) {Ct) = (..,ff; t 2
; sen t), to = 2
b) {Ct) =(In t; JS+t2; 4 !tt2 )' to =2
_ ( t . 3 + St . 2) _
c) {(t) - 4 + t 2 ' -t-
2 -, St , to - ~
_ (sen 7t. sen St. tan 3t ) _
d) {Ct) - - - , --3 ' - 2
- , to - O
t sen t sen t
e) fCt) = et.--· t2
.......J,.J t = 1
(
t2 - 1
I t-l' 'lf!J//' o
(
tr
-1 sen(t-l) l-t2
)
f) {(t) = - - ; ; - - ,
t In t t 2 - 1 sen rrt
to = 1
2.- Si {U) = (1t + [.-3
t
]l; t + 4; 7), determine Jim_ {(t) y Jim jCt)
. L....6 ::-+6+
(
t + 1 fft - 4 + v8 - t )
3.- Si fU) = S [2]; S - [4t]; .Halle }im_ {Ct)
+ t. J64 sen Ct - 6) - t 2 , ....8
1.3 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Definición 4. Una función vectorial f: ¡ -4 iffi.n es continua en el punto to E j _si
solo SI. las funciones coordenadas f¡: 1 -4 IR{ son continuas en [o- i = 1.2, .... n

(
tZ
- 1 sen (rrt) In t + 1)
Ejemplo 8. Dada la función vectorial [Ct) = --; ; ---
t + 1 cosCrrt) t + 2
Determine si la función vectorial es continua en t = 1.
Solución
Las funciones coordenadas
son continuas en t = 1, pues
Luego, la función vectorial [ es continua en t = 1.
PROPIEDADES @
Sean [, g: 1 -. ~n funciones vectoriales continuas en el punto to E 1. Entonces
i) A[ es continua en to , siendo A una constante real.
ii) [± 9 es continua en to
iii) [. 9 es continua en to
iv) [ x 9 es continua en ta (solamente para funciones con imagen en 1ffi.3)
Observacióll 3. Una función vectorial [: ~ -> ~n es continua en el intervalo
1 e ~ , si es continua en cada uno de los puntos de /.
Ejemplo 9. Determine si las siguientes funciones vectoriales son continuas en el
punto to indicado.
(
sen t ln(l + t) cos t - 1 )
a) [Ct) = -t-; 1 _ t ; t ,ta = O
b) gCt) =(1 - t; In(2t - 1); t3
+1), ta = O
Solución
sen t
a) La función coordenada [1 (t) = - - no es continua en to, pues [1 (O) no está
t
definida. Luego. la función vectorial [(t) no es continua en to =O.
b) La función vectorial g(t) = ( 1 - t; ln(2t - 1); t 3 + 1) es continua en
to = 1, pues las funciones coordenadas gl(t) = 1- t,gzCt) = ln(2t - 1) Y
g3(t) = t 3
+ 1 son continuas en to = 1.

EJERCICIOS
1.- Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los
intervalos que se indican
a) {(t) = (v'4 - t 2 ; In(3 - t); et
-
3
), tE [-Z; 3)
{(
Zarcsen t. (rr). COS(Z1Tt)). .
3 ' t sen - , , SI t E (0,1)
b) {(t) = rr t t t
("3; t - 1; In(t) + 1) , si t E [1; Z]
c) {(t) = [(sen t; 1 ~ t; 2t), S
.i t E [O: 1)
(- 1;0;3) ,SltE[1;Z]
2.- Determine la continuidad de las funciones vectoriales en el punto indicado
{(
t2 - 4 et
-
2 - 1)
a){(t)= It-31-1; t ,ento = 2
[(
4 arcsen t 1).
b) {(t) = 4t +5; t ; sen t sen t ' SI t =1= O
(5; O; O) , si t = O
3.- Encuentre los puntos (si es que existen) donde ias siguientes funciones no son
continuas
a) {(t) = (é; t; senh t), D¡ = [O; 4]
[(
sen t)
b) r(t) = t; -t- , sí t E (O;rr]
(O; 1), si t = O
c) {(t) = Ct; t; [Zt]), t E [O; 8]
[
(-t; -2t; t) , si tE [-2; O]
d) {(t) = (t1/3(t_Z)2/3. _t_. tZ) sitE(Q.Z]
. 1 + t 2 " ,
( (t + 3)1/3(t - 2)2/3; tt2
: 3
2
; 2t + 6) si t E (-00; -3J
) f( ) - t(t2
+ 2t - 3 ' ) .
e t - t2
+1 ;(t-1)ln(t+4); V(t-l)(t+3)4 ,sitE (-3;1]
(3t - 3; é - e; sen (rrt)) ,si t E (1; +00)

-1.- Demuestre que si f: 1 --+ ~n es una función continua en 1 entonces IIfll es
continua en l.
1.4 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Definición 5. Sea f: ~ ~ ~n una función vectorial con dominio Dr.
La derivada de la función vectorial f en cualquier punto t E DI es la función
vectorial [,Ct) dada por
, df(t). fCt + h) - fCt)
f Ct) =-d- =1un h .
t h->O
si ellírilite existe.
Si f' (to) existe para to E D, . se dice que f es derivable o difcrcnciablc en en'
En generaL si ['Ct) existe para todo tE I e Dr. entonces se dice que r es
derivable en el intervalo 1 e Dr.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRI.1 DE LA DERIVADA DE UNA
FUNCiÓN VECTORIAL
Sea f: 1 ~ jR1.n una función vectorial derivable en el punto t o E l.
G .. f'() df(to) I .
eometncamente, to = --;¡¡- es un vector tangente a a curva trayectona
de {(t) en el punto feto) (Fig. 1.6)
e
f
~
o I (l
o
"'9 ' h

Definición 6. Sea f: 1 ~ IRn
una función vectorial derivable en el punto to E l.
La ecuación vectorial de la recta tangente a la curva trayectoria de f que pasa por
el punto feto) y es paralela al vector ['Cto) es
El siguiente resultado nos proporciona un procedimiento conveniente para
calcular la derivada de una función vectorial. en términos de las derivadas de las
funciones componentes.
Teorema!. Si f(t) = Ul(t); f2(t); oo. ;fn(t)) es una función vectorial con
imagen en el espacio IRn
, donde f1(t); f2Ct); oo. ;fnCt) son funciones reales
derivables. entonces
['Ct) = U{ Ct); f;Ct); oo.; f~Ct))
Observación 4. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva een el espacio
~n , de modo que su vectOr po~ón en el tiempo t es
[Ct) = UICt); f2Ct); "';fnCt)); entonces, el vector vek)cidad v(t) y el vector
aceleración aCt) de la partícula en ei in~te t son dadas por
v(t) = ['Ct) = U{Ct); [;(t); oo . ;f~(t))
a(t) =v'Ct) =["Ct) =U;'Ct); [;'(t); oo.;f~'(t))
El vector velocidad vCt) tiene la dirección del vector tangente a la curva een el
punto fCt) y el vector aceleración aCt) apunta hacia el lado cóncavo de la curva e
(lado hacia donde se doble la curva).(Fig. 1.7)
e
f
~
o t
o
Fig.1.7
I I módulo del vector velocidad vCt), esto es,

IIv(t)1I = 1I['(t)1I =.j(f;(t)]2 + [f{(t»)2 +... + (f¡{(t)]2
se denomina rapidez de la partícula en el instante t.
Ejemplo 10. Halle la derivada de las siguientes funciones vectoriales:
a) t(t) = ((t +1)3; arctan(2t2
); e-3t
)
b) g(t) = (cos(4t);sen (2t); e
t2
)
Solución
a) ['(t) = (3(t + 1)2; 1 ::t4 ; -3e-3t
)
b) g' (t) = (-4 sen (4t); 2 cos(2t) ; 2te t2
)
Ejemplo 11. Sea t(t) = (t arccos t - v'f"=t2; In(...fl+t2) - t arctan t: e-tZ
)
Calcule ['(O) Y["(O).
Solución
i)
(
t t t t Z')
{'(t) = arccos t - + ; - - - arctan t - - - ; -Zte-t
...rr=?i .J1 - t2 1 +t Z
. 1 + t2
= (arccost: -arctant: -2te-
t2
)
['(O) = G;O; O)
( 1 1 Z· 2)
ii) ["(t) = - ; --,-; -2e-t + 4t2
e-t
..ff=tZ 1 1'" t 2
["(O) = (-1; -1; -2)
Ejemplo 12. La imagen de la función vectorial t(t) = (et- 1; e-2(t-l») describe
la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano Xv.
iI) Trace la gráfica de la trayectoria de ia partícula,
h) Dibuje los vectores velocidad y aceleración para t = 1.
e) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva imagen de t en el
punto A(e; e-2
).
Stllución
a) Las ecuaciones paramétricas de la curva e descrita P9r la función vectorial
r es
Jx=et
-
1
e: Iv =e-2(t-l)' tE IW.

Al eliminar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas, se obtiene la
ecuación cartesiana
1
e:y =2 ,x> O ·
x
La gráfica de esta ecuación se muestra en la figura 1.8.
y
Flg 1 8 Fig 1 9
b) Los vectores velocidad y aceleración en cualquier instante t son
v(t:) =['(t) = (e r- 1 ; _ 2e-2(t-l))
a(t) =v'Ct) =(e t - 1;4e-2(t-l))
Para t = 1, los vectores velocidad y aceleración son
v(l) = (1; -2) Y a(l) = (1; 4)
cuyas gráficas se muestran en la figura 1.9.
x
c) El vector de posición del punto de tangencia A(e; e-2
) se obtiene cuando
t =2, esto es, [(2) = Ce; e-Z)
Luego, el vector tangente a la curva ees
['(2) = (e; -2e-Z
)
Por tanto, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto A es

REGLAS DE DERIVACiÓN
Sean [, g: 1 -) IRl.n
funciones vectoriales derivables de t, e una constante real y
a: 1 -) IRl. una función real derivable de t. Entonces se tiene:
d
l.- dt [[(t) ± g(t)] =['(t) ± g'(t)
d
2.- dt [e [Ct)] = e['Ct)
d
3.- dt [aCt)[Ct)] = a'Ct) [Ct) + aCt) ['Ct)
d
4.- dt [[(t) • g(t)] = ['(e) • g(t) +!Ct). g'(t)
d
5.- - [[(t) x gCt)] = ['Ct) x g(t) +[Ct) x g'(t) (válido solo en IRl.3
)
dt
d [Ct) • ['Ct)
ó.- át [I/[(t)!!] = 1I[(t)!: ,si [Ct) "* O
Observación 5. Si [: 1 -) IRl.n
es una función vectorial derivable de t tal que
IIrCt)!! = e, Vt E 1 (e constante real) :ntonces
['Ct) • [Ct) = O
1'sto indica que el vector tangente ['(t) es perpendicular al vector de posición
I (L).
Ejemplo 13. Si [(t) = (t; t 2
; 3 + t),g(t) = (cos t; sen t; InCt + 1» y
(r(t) = e-4t
, calcule
,1) C
a n'(O)
"iolución
'c tlcne
b) ([+g)'(O) c) (f.g)'(O) d) (fxg)'CO)
['(t) = (1; 2t; l),g'(t) = (-sen t; cos t; t ~ 1)' a'(t) = _4e-4t
I llego, al evaluar en t =O se obtiene
['(O) = (1; O; l),g'(O) =(O; 1; 1) Y a'(O) = -4
1, al utilizar las reglas de derivación resulta
1) (tr n'(O) =a'(O)[CO) + a(O)['CO)
=- 4(0; O; 3 + 1 1; O; 1) = 1; 0;-11

b) (f + g)'(O) = ['(O) + g/(O) = (1: O: 1) + (O: 1: 1) = (1: 1: 2)
c) (f. g)'(O) = ['(O) • g(O) + [(O) • g/(O) = 1 + 3 = 4
d) (f x g)'(O) = [['(O) x g(O)] +[feO) X g/(O)]
1 J k 1 J k
1 O 1 + O O 3 =(0:1:0)+(-3:0:0)=(-3:1:0)
1 O O O 1 1
Ejemplo 14. Determine si el vector de posición de la función vectorial
Jet) = (cos(t 2
): sen (t 2
)) es perpendicular a su vector tangente en cualquier
punto t E Dr.
Solución
Como 11[(t)11 = 1, "It E IRl., entonces el vector tangente
['Ct) = (-2t sen (t2): 2tcos(t2)) es perpendicular al vector pos~cióll
[(t), "It E IR{.
Ejemplo 15. Dada la función vectorial J et) = (1 - 2t: t 2
: 2e 2
(t-l)). Halle la
ecuación vectorial de la recta tangente a la curva descrita por [ en el punto en que
el vector ['(t) es paralelo al vector [ ( l. ).
Solución
Como los vectores Jet) )" ; /(t) = (-2; 2t; 4e 2(t-l) ) sor. paralelos, entonces
existe un escalar k tal que
['(t) = kf(t) =(-2; 2t; 4e 2Ct - 1 )) =k(1- 2t: t 2
; 2e 2
(t -l ))
(-2 = k(1 - 2t)
= ~ 2t = kt 2
= k = 2 Y t =1
(4e2( t-l) = 2ke 2(t-l)
Luego. ei punto de tangencia y el vector tangente son respectivamente
[(1) = (-1; 1; 2) Y ['(1) = (-2; 2; 4)
Por tanto, la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva descrita por [ es
LT:(x;y:z) = (-1:1;2) +s(-2;2;4), s E Iffi.
I Teorema 2. Si f: 1 .... Iffi.n es una función vectorial derivable de t y <p: [ -> iffi. es
una función reaí derivable en 1, entonces f o <p es derivable en I y
d
dt [[(<p(t))] =['(<p(t»)<p/(t) =<p'(t)['(<p(t)), tE ¡

I)cmostración
Como fecp(t)) = ([1ecp(t)); fz ecp(t)); ... ; fn (cp(t))), entonces
d .
dt (f(cp(t))] = ([{ ecp(t))cp'(t); f~ ecp(t) )cp'Ct); ... ;f~ ecpCt))cp'(t))
= cp'(t)['(cp(t))
Ejcmplo 16. Sean las curvas el y ez dadas por las funciones vectoriales
(
1 - t
Z
) (2t - 1 )
(I¡:f(t)= -Z-;Zt+1;1+eZ-t
y eZ:g(t) = -Z-;4-t;3-é+l
,,) Ilalle el punto de intersección de las curvas el y ez.
b) Calcule la medida del ángulo que forman las curvas el y ez en su punto de
intersección.
"iolución
.1) Sean tl y tz dos valores distintos de t para los cuales
. (1-ti (2tz - 1 " )
I (tl) = g(tz) = -Z-: Zt¡ + 1; 1 + e
Z
- tl ) = . 2 ; 4 - tz; 3 - e[2+
1
{
1 - t l
Z
Zt2 - 1
= 2 - Z
2tl + 1 = 4 - r~
1 + eZ-tl = 3 _ ~ '2+1
Al resoiver el sistema de ecuaciones, se obtiene tI = 2 Y e2 = -1
Luego, el punto de intersección de las curvas el y ez es
(
3 '
feZ) =g(-l) = -2;5,Z)
h) La derivada de las funciones vectoriales f y 9 son
['Ct) = (-t: 2: _e 2
-
t ) y g'(t) = (1; -1; _e t +1
)
Los vectores tangentes a las curvas el y ez en su punto de intersección son
['(Z) = (-2;Z;-1) y g'(-l) = (1;-1;-1)
Como el ángulo que forman ¡as curvas el y ez en su punto de intersección es
igual al ángulo formado por los vectores tangentes f' (Z) y g' (-1), se tiene
['(2). g'(-l) -1 (' .J3)
cose =11['(2)llIlg'(-1)1I =v3 ~ () =arcco-3
Fjcmplo ] 7. Una partícula se mueve hacia la derecha sobre la curva y = .JXl + 4
partiendo del punto (O: 2) en el instante t = 2. Si la distancia de cualquier punto
dl! la curva al origen de coordenadas es proporcional a t. halle el vectOr velocidu<l
dl~ la partícula en el instante t = 6.

Solución
Sea P(x; y) un punto cualquiera de la
curva e (Fig. l. 10). Entonces.
donde k es una constante de
proporcionalidad.
Como en t = 2 la partícula está cn cl
punto (O; 2), entonces se tiene
.JO + 4 = 2k = k = 1
Así, al reemplazar k = 1 en (*) resulta
,.¡'x2 + y2 = t = X2 + y2 = t 2
(**)
e
I' ( x :v)
...
o x
Dado que y = ...,¡ X2 + 4, entonces y ~ = X2 + 4. Al sustituir esta expreslOn en
(**), se tiene
I ~
W- 4
2X2 + 4 =t 2
==> x = 1 - - (x > O)
. 2
'J
Luego, la función vectorial que describe el movimiento de la partícula es
. _ ( ic:c: - 4, ¡e2
+4
Jet) - I 2 ' ¡ 2 ).
"" " /
t~2
La derivada de [ es
( t t)
[' (t) = ; -r=:=;;=:::;
,.J2t2 - 8 "¡2t2 + 8
Por tanto, el vector velocidad de la particula en el instante [ = 6 es
í6 6) (3 3)
v(6) = ['(61 = 1-;- = -;--=
> 8 4~ 4 2v5
Ejemplo 18. Una partícula se mueve a lo ¡argo de la curva e descrita por la
función vectorial
[Ct) = (3'sen G);3COS(~);.....;8t)
al Halle el vector veiocidad y la rapidez de la particuia en cualquier instante c.
b) Determine el vector aceleración y su módulo,

I ) ( '"Iellle el ángulo () que forman los vectores velocidad y aceleración.
Solución
iI ) El vector velocidad y la rapidez de la partícula en cualquier instante t son
v(t) = ['Ct) = (cos(~);-sen G);v'8)
Rapidez: IIvCt)11 = ¡¡(Ct)¡¡ = Y1+8 = 3
h) El vector aceleración y su módulo son
a(t) =["(t) =(-~sen G);-~cos (~); O) YlIa(t)1I =~
e) Como IIv(t)11 = 3, entonces por la observación 5 resulta que los vectores v(t)
y v'U) =aCt) son perpendiculares.
Por consiguiente, la medida del ángulo que forman los vectores velocidad y
aceleración es fJ = Tr/2.
EJERCICIOS
1.- Sí [Ct) = Ct: t: t2
), g(t) = (cos t; sen t: t), cpU) = e-t, halle
d
a) dt (g(t)) b) ["(t) c) (feg)'(t)
d .
d) dt [f(t) x g(t)]
e) [cp(t)[Ct)]'
d d d
f) dt [f(cp(t»)] g) dt UlgCt)11l h) dt [gCt
2
)]
d
j) dt[f(t)+g(t)]
2.- En cada uno de los siguientes ejercicios, i) dibuje la curva representada por la
función vectorial, ii) dibuje íos. vectores velocidad y aceleración para eí valor
de t indicado.
rr
a) [Ct)= (2+3cosC2t):4-3senC2t»). t=¡ .1
b) [Ct) = Ct + 2; t 2
+ 4), t = 1 c) [Ct) =(4e-t2
: t), t = 1
d) fCt) = C2 + t 3
: t 2
+ 4), t =1 e) [Ct) = (sen t: t; cos t), t = O
t) f(t) =(2 cos t; 2 sen t; 4), t =2Tr

3.- En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuación paramétrica de la
recta tangente a la curva descrita por la función vectorial en el punto indicado.
a) f(t) = (t5; t4; t 3), P(1; 1; 1)
b) [(t) = (sen t; 2t sen t; 4t2
), P(1; rr; rr2
)
c) [(t) = (t cos(3rrt) ; t sen (3rrt); 2t), P(-1; O; 2)
d) [(t) = (2 cos t; 2 sen t; 16), P(O; 2; 16)
4.- En cada uno de los siguientes ejercicios, i) halle las ecuaciones de las rectas
tangentes horizontales a la curva e descrita por la función vectorial,
calculando los valores de t para los cuales dy/ dt = O ii) obtenga las
ecuaciones de las rectas tangentes verticales a la curva e, calculando los
valores de t para los cuales dx / dt = O.
a) [Ct) = (t2 + t; t 2
- t) b) [(t) =(4t 2
- 4t; 1- 4t2
)
(
3at 3at
2
)
c) [(t) = 1 + t3 ; 1 + t3 d) [(t) = (4 sen t; 7 cos t)
5.- Halle {'Ct) y ["Ct) en las siguientes funciones vectoriales
a) [(t) = (arcsen t; In(1 -t<@;t) ;t 2
)
b) [(t) = (e St ; ln(t + 1); arctan(t + 1»
(
1- t2 2t)
c) [Ct) = 1 + t2 ; 1 + t2 d) f(t) = (eos t; sen (2t); tan t)
e) [(t) = (arcsen t; arceos t) f) [(t) == (cosh t; senh 4t; e-St)
g) [Ct) = (In(1 + t l
) ; 1:t 2 ; aretan t)
h) [(t) = (Itlt; ltl; 1-ln(4 + t2
)
(
2t 1- t
2
)
6.- Sea 9 una función vectorial dada por g(t) = 1 + t 2 ; 1 + t 2 ; 1
Demuestre que el ángulo formado por g(t) y g/(t) es constante.
7.- Al medio día, un insecto se posa en el extremo del minutero de un reloj de
radio 20 cm, y empieza a caminar hacia el centro del reloj con una rapidez de

v = 1 cm/seg. Si el reloj funciona nonnalmente, detennine el vector
velocidad del insecto después de 30 seg de iniciado su caminata.
R. v(30) = G;1)
8.- Considere la hélice descrita por la función vectorial
[(t) = (a cos(wt) ; a sen (wt); bwt), w > O
Demuestre que la recta tangente a la hélice en cualquier punto t, fonna con el
b
eje Z un ángulo cuyo coseno es
../a2
+ b2
9.- Referido a la hélice del ejercicio 8, demuestre que los vectores velocidad v(t)
y aceleración a(t) tienen longitud constante y que
!lv(t) x a(t)1I a
=---
Ilv(t)113 a2 + b2
10.- Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas
en el punto de intersección dc ambas curvas.
R. Ll = {el; O) + t(1; -1)/ t E IR}, L2 = {(1; O) + t(1; -2) /t E :R}
11.- Dada la curva C: [(t) = (cos t; sen t; et
), determine el punto en el cual
(
"';3 1
la tangente es paralela al plano P:v3 x + y - 4 = O R. T;"2; eTr/6)
L.- Halle la ecuación ri~ ia recta tangente a la curva
{
xz - 2z - 3x + 3 =O .
e: 2 4 + 3 '4 _ O: en el punto correspondiente a t = O
z - yz - z y. - .
RL- f(l' -~'O) .t(-~'~'l) It - ¡mIS!
. T-t ' 3' T • 3'9' <::~
1 Sea [Ct) = (flCt); [2Ct); [3Ct)) una función vectorial derivable de t hasta el
segundo orden y que para t ~ 2, se tiene II[Ct)11 = ~
il~ Demuestre que ['Ct) • ['Ct) = -[Ct) • ["Ct), t ~ 2

b) Si a es el ángulo que forman los vectores [Ct) y ["Ct), demuestre que
14.- Considere que el cicloide descrito por la función vectorial
[Ct) = CaCt - sen t); a(l - cos t», a> O
Halle el ángulo que forma la recta tangente a la cicloide en t = rr/2 con la
pane positiva del eje X.
1.5 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
Definición 7. Si [: [a; b] ~ IRn
es una función vectorial continua en el intervalo
[a; b] tal que [(t) = ([1 (t);[z(t); ... ;[n(t», entonces la integral indefinida de [
es
J[(t)dt = (J[l(t)dt; J[2(t)dt; ... ;f[n(t)dt)
y la integral definida de [ es
Observación 5. Si f(t) = ([1(t); [2 (t); ... ;fnCt» es una función vectorial con
imagen en el espacio IRn , entonces al hallar la integral indefinida de [, se tiene
Así, la integral indefinida de la función vectorial [ se expresa
J[(t)dt = (F1 Ct) + C1;F2(t) + C2 ; ... ;Fn(t) + Cn)
== (F1 (t); F2 (t); ... ;Fn(t» + (C1 : C2: 0.0; Cn)
== F(t) + é
donde F'(t) = !Ct)
Ejemplo 19.
a) Halle la integral indefinida de la función vectorial

!(I) (Cos t;l:t;te
C
)
11) ('.1 Icule la integral J1[Ct)dt, dond~[Ct) = (2t; _1_; te t )
o 1 + t
~ 1I11Il'Í(,1I
11) Alll1lcgrar cada una de las funciones componentes, se obtiene
f/CL)dt = (Jcos t dt;1 1 ~ t2 dt; Jt2
dt) = (sen t; arctan t; t:)+e
1
1) JI!Ct)dt = ('J12tdt;Jl_1-dt;fltet dt)
o o ol+t o
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Si /,g: [a; bJ -. lR.n son funciones vectoriales .inuas en [a; b] '! a Yf3 son
escalares, entonces
f
D
[a ¡Ce) ± f3g(t)]dt = a fb[U )dt + f3 f"gCt)dt
a a a
Si ¡,g: [a; b1 -. IR?n es una función vectorial continua en
e= (Cl ; ." ; en) es un vect~e constantes, entonces
(o _ _ / (0
a l I [C-f(t)]dt=C-(J f(t)dtl
Ja a /
la; bJ ::-
b¡ r [e x[(t)]dt = exl' rfCt)dt
;1 lvalido solo en el espacio ]'.3)
J a Ja
3.- Si f: la; bJ -. ~n es una funcion vectorial continua en la; bJ. entonces
lIib
f(t)dtll ~ "C:I[et)lIdt
Teorema 3. (Primer Teorema Fundamental del Cálculo).
Sca f: [a; b] ~ lR.n una función vectorial continua en [a; b], entonces la función
¡: definida por
r C
F(t) = I [(U)dll, a ~ t ~ b
, es denvabie y F'(t) = Jet), Vt E [a; bJ

Teorema 4. (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo).
Sea f: [a; b] ~ Im.n
URa función vectorial continua en [a; b], entonces
Lbf(t)dt = F(t)]~ = F(b) - F(a)
l
IT/4
Ejemplo 20. Calcule o f(t)dt x h(O) , donde
fe,) ~ (""n,sec',; "n'(U) cos' , - sen' (2')sen',;!;fi) y
h(t) = (L>e
t2
-
1
dt; it
Z
- t) dt; ft
3
dt)
Solución
Por consiguiente. se tiene
Ejemplo 21. La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m:: 2 en el plano
está dada en función del tiempo t por ia ecuación
F(t) :: (2(cos t t sen t); 2(sen t + t cos t))
Cuando t =O la posición y la velocidad de la partícula son feO) =(2; O) Y
veO) = (1; O). Halle la velocidad y la posición de la partícula como funciones de
t.
Solución
Por la segunda Ley de Newton, se tiene
FU) = ma(t) = 2f"(t) = (2(C05 t - t sen t); 2(sen t + tcos t))
De donde resulta

1/1(t ) - e(,;Os L - t sen t; sen t + t cos t)
1'(1) ff"(t)dt = (f(cos t - t sen t)dt; f(sen t + t cos t)dt)
- et cos t; t sen t) + e
II,ulo qlle veO) =['(O) = e= (1; O), Entonces, ['(t) = (t cos t + 1: t sen t)
1(1) f['(t)dt=(tsent+cost+t;-tcost+sent)+el
I 111110 rCO) = (1; O) + el = (2; O) =::) el = (1; O)
"01 1,11110,
I (t) = (t sen t + cos t + t + 1; -t cos t + sen t)
l' 11'1111110 22. Una partícula inicia su movimiento en feO) =(2; O; O) con
' 1 IlIl ,,'.Id inicial veO) = l- j +k, Su aceleración es a(t) = (2t; 3t2
; 6t),
Ih 'Il'IIIIIIlC la función velocidad y la posición de la partícula en cualquier instante
I
SIIIIIl'liln
tI(t) =V'(t) = (2t; 3t2;6t) = v(t) = fv'(t)dt = (ez; t 3;3t2) + e
I 111110 veO) =(O; O; O) + e=(1; -1; 1) = e= (1; -1; 1)
I 111 VII, la velocidad que satisface la condición inicial veO) =(1; -1; 1) es
11(1) = (t 2
+1; t 3
- 1; 3tZ
+ 1)
11,1110 que
J' (1) = v(t) = (t2 + 1; t3
- 1; 3t2
+1)
I 1I 1111ll C~ rct) =Jv(t)dt = C;+ t; ~ - t; t3
+ t) + el
I h ,lll' l I - OYutilizando el hecho de que feO) = (2; O; O), se tiene
1( 0) = (O; O; O) +el = (2; O; O) = el = (2; O; O)
1
'1 I 1 1
1I1 'guicntc, la función de posición de la partícuia en cualquier instante t es
I (t ) e:+ t + 2;~ - t; t
3
+ t)

1.- Calcule las siguientes integrales
('r/2
b) Jo (sen t; cos t; sen3
t cos t)dt
f.
Tl/3
c) Céen t[csc2
t - sec2 t - ese t]; see t; ese t) dt
rr/4 •
R. C1;e-Z;1-Ze-1
)
2.- Calcule ii • b, si a= (Z; -4; 1) Y b=f(te Zt
; t eosh 2t; 2te-Zt
)dt
o @
3.- Una función vectorial [ satisface la ecuación: t ['Ct) =[Ct) + tao t > O.
donde a es un vector no nulo en el espacio ~3. Si se sabe que [(1) = za y
['(1) = 3á, calcule r(l) y [(3) e~rminos del vector a.
R. ['(1) = a ,[(3) = (6 + 31n 3)a
4.- Sean las funciones vectoriales Jet) = Cte-t ; 1; et ) y gCt) = C1; -1; t).
Calcule
rO
a) J . [[Ct) x gCt)]dt
"-l
~G
b) L;.[[Ct) • g(t)Jdt
5.- Sean [,g: la; b] -+ iffi.n funciones vectoriales continuas y derivables de t.
Demuestre que
ro[Jet) • g(t)]dt =[J(t) • g(t)J~ - fO[['Ct) • g(t)]dt
Ja a
6.- Sean ii un vector no nulo en el espacio ~n y [ una función vectorial tai que
[Ct) • á = t, Vt E ~.
Si el angulo que forman ['Ct) y á es constante. demuestre que j"Ct) es
perpendicular a [' (t).

I ¡ ( 1I1WAS REGULARES
1"'"1t lb" H. Sc dice que una curva ee ]Rl.n es una curva parametrizada, si existe
111. 111111 ¡ún vcctorial a: [a; b] -t ]Rl.n tal que a({a; b]) = e.
1, IlIndón vectorial a(t) = (a1(t);a2(t); ... ;an(t)) se llama parametrización
• 111 Vil e.
1I 1111"1123. La función vectorial a: [O; 2rr] -t ]Rl.2 definida por
11(1) =(cos t; sen t)
1111 I 1',11 ollllctrización de la curva e: X2 + y2 =1
1111"024. La función vectorial a: ]Rl. -t IRl.2
definida por
) {
(t; t), t ~ O
ItU =
(t; t 2
), t> O
11111 I ,11 ,Imerrización de la curva
{
X ,x ~ O
( : y =[(x) =
X2 ,x> O
I III a de ese muestra en la figura t.11
IllIIplo 25. Halle la parametrización de la curva
(' fx2
+ y2 + Z2 = R2
tz = a ,
R>O
O<a<R
1, IIlplazar z =a en la ecuación
I },l t ZL = R2• se obtiene
el: X2 + y2 = R2
- a2
I ji 1I.lIllctnzación de la curva el es
íx = JR2 - a2 cos t ,t E [O; 2rr]
(/
I (y = JR2 - aZ sen t
I 11 I I~te una función vectorial
1" /,'1 IRl.
3
talque
1) lVal - a2 cos t:,JR2 - a2 sen c;a) , t E [O; 2rr]
I 111 II'CII de esta función vectorial se muestra en la figura 1.12
y
x
Flg 1 11
z
F 9 . ~

Definición 9. Sea ee IRl.n
una curva parametrizada, esto es, existe una función
vectorial a: [a; b] -+ IRl.n
, tal que a([a; b]) = e
i) Se dice que e es una curva con puntos dobles si a(tl) = a(t2), t1
=1= t2
(Fig. 1.13)
ii) Se dice que ees una curva simple si no tiene puntos dobles (Fig. 1.14)
iii) Se dice que ees una curva cerrada si a(a) = a(b) (Fig. 1.15)
iv) Se dice que e es una curva regular, si la función vectorial a(t) tiene
derivada continua y a'(t) =1= O, '<;/t E [a; b]
Curvas con puntos
dobles
Fig. 1.13
Curvas cerrada
Fig 1 15
Curva simple
Fig. 1.14
y
(4;0) X
Fig 1 16
Ejemplo 26. La imagen de la función vectorial a: [O; 2rr) -. IRl.z definida por
a( t) = (4 cos t ; 4 sen t) es una curva cerrada (Fig. 1.16), pues
a(O) = a(2rr) = (4; O)

I 11111(1111 ],7. 1..1 IInagcll de la función vectorial a: ~ __ ~2 definida por
f (( (1 I I 1.( ~; (.l - l) es una curva con puntos dobles, pues para
I I : (- 1 I JTI) y tz ::::: ~(-1 - m) se cumple
f I al G;-~) :::::a(t2 )
I 1I '11 plo 2H. La imagen de la función vectorial a: IR{ __ 12.3 definida por
" 1) (ti ros t; a sen t; bt) Ca > 0, b > O) es una curva regular, pIes
,,'(t) (-a sen t; a cos t; b) =1= (O; O; O), Vt E ~
I j t IIIt"iÚIl 10. (Reparametrización de una curva regular)
l.1 (J e ~n una curva regular, es decir, existe una función vectorial
"kili ~~n talquea([a;bJ)=C y a'(t)=t=O,VtE[a;bJ.
I JII¡ ICJ!ilrametrización de a(t) es una función vectorial y::::: a o rp; (e; dJ -. Iffin
I al 'I"C y(u) = (a o rp)(u) = a(<p(u)) , u E [e; dJ (Fig. 1.17)
I tlllk <(J: le; d] -. [a; b] es una funciófI r~: j derivable y sobreyectiva tal que
'/" 1,) I o. Vu E (e; d].
<p
f--t-~--41
I I
" 11 d a t
c'hwrv3ción 6.
y=a o<p
I
b
11 1 Ifl' (L) > O se conserva la misma orientación en la curva reparametrizada.
1I 1 IJI' (t) < O se invierte la orientación en la curva rcparametrizada.
I IllIIplll 29. Sea a: [O; 2rr] -> lR{2 una función vectorial dada por
IrU) Ccos t; sen t)
/

a) Si <p: [O; 1] --+ [O; 2rr] es una función real definida por (¡¡(u) = 2rru , entonces
y(u) = (a o <p)(u) = a(<p(u)) = (cos(2rru); sen (2rru)) es una
reparametrización de la curva aCt).
Como <p' (u) = 2rr > O, entonces la curva y(u) mantiene la misma
orientación de la curva a(t).
b) Si 4>: [O; 2rr] --+ [O; 2rr] es una función real dada por
4>(u) = 2rr - u,
entonces y(u) =(a o 4»(u) =a(4)(u) == (cos(2rr - u); sen (2rr - u)) es
una reparametrización de a(t).
Como 4>'(u) -, - 1 < O, entonces la curva y(u) invierte la orientación de la
curva a(t).
LONGITUL' DE ARCO DE UNA CURVA REGULAR
Definición tI. Sea a: la; b1-t IRn
una
curva regular en [a; b1, tal que
La longitud de arco de la curva medida desde
t == a hasta e =b es
L(C) == Lbnat(t)!ldt
b
= iJ[a~(t)F +... + [a~(t)F dt
Observación 7. La función longitud de arco de la curva a(t) es dada por
-[
s(t) = l(t) =la Ila'(u)lIdu ,t E [a; b]
Ejemplo 30. Halle la longitud de arco de las siguientes curvas
a) a(t) =Ca cos t; a sen t; bt), desde t = Ohasta t = 2rr
b) a(t) = (t; 1;~t3 +~t-l),desdet = 1 hastat == 3
t
2
t
Z
V2 )
c) a(t) == '2+ t;'2 - t;T ln t (t> O), desde t = 1 hasta t == 2

01) 11(1) - - du; --du; 4tl
/
Z
,desde t = 1 hasta t = 4
(f
I COS u Jt sen u )
1 ffu 1 ffu
..1lid"'..
1) (1'(1) (asent;acost;b) y lIa'(t)II=-v'az +bz
Lllq.~(), la longitud de arco desde t = Ohasta t = 211 es
I ([iI) i Z1rlla'(t)lIdt =iZ1r.Jaz + b2 dt =211.Jaz + bZu
" 1,'(1) (1;O;~t2 -~t-Z)
I 1 1 1
IItr'(l)11 = h +-(tZ - t-z)2 =-.J(tz +t-Z)Z = -(tZ + t-Z)
~ 4 2 2
1'01 tanlo, la longitud de arco de la curva desde t = 1 hasta t = 3 es
I«(J) . f3I1a'(t)lIdt=J3~(tZ+t-Z)=~[~_~]3 = 14u
1 1 2 23 tI 3
) tr'(I)=(t+l;t-l;~;)
1 ( 1 )2 1
Ilu'(t)1I = (t + 1)Z..l.. (t -1)Z + 2tz = "íz t + ";2 t ="ízt +"íz t
1'01 consiguiente, la longitud de arco de la curva desde t '7 1 hasta t = 2 es
1
,Ce) . {lI a '(t)lI dt = iZ
("ízt + JzJdt= ~(3+ln2)U
11, 1,'(1) (
COS t sen t, 2)
--'-- -
fft' fft '..¡t
cos2
t sen2
t 4 j;, 3
lIu'(I)11 = --+--+-= _=-=t-1
/
2
2t 2t t 2t '1/2
I Itl' '(l. la longitud de arco de la curva desde t = 1 hasta t = 4 es
I (e) f
4 f4 3
Ila'(t)lIdt = _t-1
/
2
= 3.J2u
I 1 "íz
1111'111 1. Ilalle la longitud de la curva a(t) = Ct; 1 -1- t 2
) , desde el punto en
1I 1" lllores a(t) y a' (t) son paralelos de sentidos opuestos hasta el pumo
11 111 ' 1,,'. Illlsmos vectores son ortop,onales.

i) Si Lo es el valor de t donde a(t) y a'(t) = (1; 2t) son paralelos, entonces
a(to) = (to; 1 + t5) = ka'(to) = k(l; U o)
De donde resulta k = t n Y to = ±1
Para ta = -1. los vectores a(-l) = (-1;2) y a '(-l) = (1;-2) son
paralelos y tienen sentidos opuestos.
Para to = 1 , los vectores a(l) = (1, 2) Y a'(1) = (1; 2) son paralelos y
tienen el mismo sentido. Luego. el valor de to que cumple con las
condiciones del problema es to = -1
ii) Si tI es el valor de t donde a(t) y a'(t) son ortogonales, entonces
a(t1 ) • a'(t1 ) = 3tl + 2ti = tI (3 + 2tD =O
Luego, el valor de tI que cumple con las condiciones del problema es tI = O
Por consiguiente, la longitud de arco de la curva desde t = -1 hasta t = Oes
Ejemplo 32. Sean las curvas
t
el: a(t) = 2lñ2(cos t; sen t; 3), ~ t ~ 2rr
¿En cuánto debe incrementarse t para que la longitud de arco de la curva el sea
igual a "TI desde el instante en que e2 interseca a el?
Solución
Sean tI y t2 los valores del parámetro t en las cuales las curvas el y e2 se
cortan, esto es
~
a(tl) = 21n 2 (COS tI; sen tI; 3) = PUz) = (t2 + 1; t/; 3tz + 3)
De esta igualdad, se tiene
tz + 1 ~ 2íñ2 cos(tl ) ...
...:L
{
t,
tt = 21n 2 sen(t¡) ...
tI
3tz + 3 = 3. 2iñ2
(1)
(2)
(3)
Al resolver las ecuaciones (1) y (3), se obtiene cos(tl ) = 1, de donde resulta
tI = O Ó tI = 2rr
Para tI =O, se tiene tz = OYestos dos valores satisfacen las tres ecuaciones

27<
'11 11 (1 2IT, se obtiene t2 = ZTñZ - 1 Y estos valores no satisfacen la segunda
11.1 1<'111.
I'tl ol1siguicnte, las curvas el y e2 se intersecan para tl = O Ó t2 = O
I 1 ¡('llvaua de la función vectorial a es
1 t
2In 2 (cost-sent;sent+cost;3) y lIa'(t)11 =vTf.ZIñ2
I 1I1'~'O, la longitud de arco de la curva el desde t = Ohasta t es
/.(C) = flla'(t)lIdt = m fZI~2du = m(21:2 -1) = m
I Ir donde resulta
I t t
/Inl - 1 = 1 ~ Zfñ2 = 2 ~ - = 1 ~ t = In 2
In Z
1'.11 tanto, el incremento de t debe ser In 2 desde t = O.
I jl'luplo 33. Una partícula se mueve en el esracio de modo que en cualquier
111 1,IIIIe t su posición es
(((l) = (Zt cos t; Zt sen t; -t2 + Zt)
1) I)~termine la rapidez de la partícula en el instante t = 1
11) Sí la partícula toca al plano XV efl el instante t = O, halle otro instante t l en
que la partícula toca nuevamente el plano XV.
1) 'I,dle el espacio recorrido por la partícula desde t = Ohasta t = t l .
Solución
1
1) (('(L) = (Z(cos t - t sen t); 2(sen t + t cos t); -Zt + 2)
!la/Ct)!I =J4Ccos t - t sen t)2 + 4(sen t + t cos t)2 + (Z - 2t)2
= 2.J2Jt 2 - t + 1
, IIITo, la rapidez de la partícula en el instante t = 1. es
lIa'(l)1I = Zv2
,,) , a partlcula toca al plano XY cuando z = O. esto es.
Yo = _t2 + Zt = O ~ t = OV t = 2
1'01' consiguiente, el instante en que la partícula toca nuevamente al planu XY
" ( - Z.
, Il'spacio recorrido por la partícula desde t = Ohasta t = Z es
f
2 {l . (2 I 1 2 3
/.' lIa'(t)lIdt= L z.J2Jt2 -t+1=Z.J2) I(t--) +¡dt
11 J o o '-i 2

~,J2 [(t - ~) (, - ~)'+~+~{ - ~+ (, - ~)'+~) 1:
[
3{6 + ..[2 3..[2 ]
= 2 +-¡-ln(3 +2.,[3) u
EJERCICIOS
1.- Encuentre la longitud de arco de las siguientes curvas:
a) a(t) = (2 sen t; 5; 2 eos t), t E [-10; 10]
b) a(t) = (..[2t;é;e-t ), O::; t::; 1
c) aCt) = (2t; In t; t 2
), 1::; t ::; e
d) a(t) = (J~ 2 eos(rru2
) du; J~ 2 sen (rru2
) du; 3V5t) , O::; t ::; rr
e) a(t) = a(t-sent;1-eost:4sen (~)), tE [0;2rr]
rr -
f) a(t) = (t; ln(see t); 3) ,desde t = Ohasta t = 4 R. in(l + ,,)2)
g) a(t) = (a(eost + t sen t);a (, 'n t - teos t)) ,a> O, e E lO; 2rrJ
R.2rr 2 a
h) aCt) = (t; In(sec t); In(see t +tan t)), t E [O; ~J
i) a(t) = (e t eos t; e t
sen t), t E [O; 2]
R. v21n(1 +v2)
R. ..[2(e2
- 1)
2.- La imagen de la función vectorial y(t) = (eos 4t ; sen 4t; 4) describe la
trayectoria de una partícula que se mueve en el espacio ~3
a) Trace la gráfica de la trayectoria que describe la partícula,
b) Dibuje los vectores velocidad y aceleración para t = rr/4.
c) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva descrita por la
partícula en el punto A(O: 1: 4)
d) Calcule la longitud de la trayectoria que recorre la partícula desde r = O
hasta t = 2rr.
3.- Sea ia elipse descrita por x = a eos t ,y = b sen [, t E [O: 2rrJ ,O < b < G
r "/2
Demuestre que la longitud de la elipse es L = 4a Jo ,,¡ .... - e2 sen2 t dt,
donde e es la excentricidad de la elipse,

:-;1 IlIliI l:urva tiene la ecuación polar r = f(e), donde a ::; e ::; b ::; a + 27T ,
lb (dr)2
d 'll1uestre que la longitud de arco es a r 2
+ de de
Ilw el ejercicio 4 para hallar la longitud de arco de las siguientes curvas dadas
11 l:(lordenadas polares
01) I ,él cardioide r = 4(1 +cos e), o::; e :s; 27T
7T 1 r~--
11) r = e, O::; e ::; 7T R, -(7T2
+ 1)1/2 + -ln(7T + .J7T2 + 1)
2 2
1') r = e B ,O:::; e:::; 7T R. ..f2(e7r
-1)
1
R. 2 +"3v3ln(2 +v3)
l:) r = 1 - cos e, O::; e :::; 27T
1) r = 1 + cos e , o:s; e:s; 7T
R.8
R.4
(, I 11 los siguientes ejercicios, represente la curva dada mediante la intersección
tk dos superficies. Halle ecuaciones paramétricas para cada curva.
,1) X2 + Z2 = 4 ,y2 + Z2 = 4 (primer 0ctante)
R. x = t ,ji = t ,Z = ~
h) X 2 + y2 + Z2 = 16 ,xy = 4 (primer octante)
4 1
R. x = t ,y =- ,z =-J-t4 + 16(2 - 16
t t
7· Sea e una curva en el espacio dada por a(t) = it
[3(U)dU
donde [3(u) =(u cos(u) ; u sen (u); 1)
( ..Icule la longitud de arco de la curva e desde el punto a(O) hasta ei punto
(((1 ).
I! I)"das las curvas
(:,: (r(t) = (sen t; 1 - cos t; t) y e2 : (J(t) = (1 - cos t; 4 sen G);t - sen t)
1) 11"lIe si existe, un punto de intersección entre el y e2 . En caso de que
lista, halle el ángulo de intersección. R. (O; O; O) Y 7T/2
1,) ('alcule la longitud de arco de la curva e2 comprendida entre los puntos
(O' O' O) y (~. 2' ~ _ V3) R. 27T
, , 2" 3 2 3

9.~ Un punto recorre una curva e e ~3 de manera que el vector posición aCt)
siempre coincide con el vector tangente a'Ct).
a) Halle la ecuación paramétrica de la curva e, si se sabe que
aCO) = Ca; b; c), donde a, b, c > O R. a(t) = Cae t ; bet ; cet)
b) Halle la longitud de la curva e desde t =Ohasta t =1
R. va +b +c (e - 1)
{
X 2 + y2 + Z2 = 6
10.- Dada la curva e: 2 2 2
X -y +z =4
a) Halle la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva e en el punto
(1; 1; 2) R. LT : = {(1; 1; 2) + t(-2; O; 1) / t E ~}
b) Halle la longitud de arco de la curva e desde t = Ohasta t = {5 R.5
11.- El salto de una vizcacha es descrita por la función vectorial a(t) = (t2; 21tl)
Calcule la longitud recorrida en el tramo cuando . t ::::; 1
R. 2[.f2+ln(.f2+1)]
1.7 VECTORES UNITARIOS: T A GENTE. NORMAL PRINCIPAL Y
BINORMAL
1.9 Definición 11. Sea a: [a; b] --t ~n una
curva regular
El vector tangente unitario denotado por T(t)
en la dirección de a'(t) está dado por
a'(t)
T(t) = Ila'Ct)11
Como IIT(t)11 = 1, entonces T(t) • TCt) = 1;
luego al derivar esta expresión, se tiene
2T(t) • T'(t) = O~ TU) • T'Ct) = O
a (/ )
Fig. 1 19
Así, T'Ct) es un vector perpendicular al vector tangente T(t). 'r:ft E la: OJ.
Definición 12. El vector unitario que tiene la misma dirección que T' (t) (si
T' (t) *" O) se denomina normal principal a la curva a: (a: b] --t ~n en el punto
a(t) y se denota por

I
'/"'(1)
N(I) - - -
II'/"'(1)11
1 1II11Il' qulo! liT'Ct) 11 "* O (Fig.1.20)
1 "lllel ((: la ;bJ ~ ~n es una curva regular,
1II11IIll'S la función longitud de arco de la
IIIoI(r(L)es
z
1(1) = f1Ia'(U)lldU
1 Ik Il valla de esta función real es
I'(L) = lIa'(t)1I
I 11 ' ''11. tic la expresión del vector tangente unitario, se tiene
er'Ct) = 1'(t)T(t) (*)
y
1'19 120
.101 l'ulélc ión indica que la dirección del vector velocidad a'(t) es igual a la tlel
,liu tangente unitario T(t) y la velocidad escalar o rapidei' es dndn por
('(t) = lIa'(t)1I
1 1111 ohjeto se mueve a lo largo de una curva C, l:! vector tnng,enle 1I1lilario T(L)
11'11I1t.! en la dirección del movimiento. mientras que el vector normal pri ncil',ll
N ( 1) l'S ortogonal a T( t) Y señala la dirección hacia donde gira el objeto ¡lado
IIlll.O ue la curva C). Además IIN(t)1I = 1. Vt E [a: b].
e11¡,('rvación 8. Sea a: [a: b] ~~ una curva regular..tal que e= a([a: b)).
I 11 ' (t) cs derivable en [a: bJ,entonces al deri var la expresión (*) resulta
/t" (1) =[1/(t)T(t) + 1'(t)T'(t) = II/(t)T(t) + 1'(t)IIT'(t)IIN(t)
IlIl'''P. el vector aceleración al/(t) es combinación lincal de lo, ect(1n:~ t:1l1!.!enl c
111111.110 TU) Ynormal principal N(t).
z
e
I"""irión 13, Sea a: [a: b] ~ ~n una curva
I l "ld,lr lal que
trl/(/) "* O, Vt E [a: b]
I I nlor unitario dado por
J((I) = T(t) XN(t) y
dl'lHllll ina vector binorlllal a la curva
II( 1((: vD en el pumo ate) IFig. 1.211
Fig 1 21
( 1' , 1' 1 :ll'i()n 9. Sea a: [a: b1~ ~n una función vectorial que tiene derivad:¡~
lIllllllIloIS IW'ita cl segundo orden, tal que a'Ct) "* Oy al/(t) "* O. Vt E [a: 'd.
1) I 01 cluación de la recta tangente a la curva een el punto a( tn) es

LT : Cx; y; z) = aCto) + s TCto), s E Iffi..
ii) La ecuación de la recta normal a la curva en el punto aCto) es
LN : (x; y; z) = aCto) + ANCto),A E Iffi.
iii) Los tres vectores unitarios: tangente, normal principal y binormal forman
el triedro móvil o intrínseco y satisfacen las siguientes relaciones
B(t) =T(t) x N(t), N(t) = B(t) x T(t), T(t) = N(t) x B(t)
B(t) • N(t) = O, N(t). T(t) = O, BU). T(t) = O, Vt E [a; b]
PLANOS FUNDAMENTALES GENERADOS POR EL TRIEDRO
INTRINSECO
Definición 14. (Plano osculador)
Sea a: [a; bJ ~ [RI.3 una curva regular. El
plano que pasa por a(to) y es paralelo a los
vectores T(to) Y N(to) se llama plano
osculador de la curva e = a([a; b]) en el
punto a(to). (Fig. 1.22). La ecuació (1
cartesiana del plano osculador es
Po: ((x; y; z) - (xo; Yo; zo)) • BCto} !::::: 01
e
r ' j
Def;nición 1S. (Plano Normal Principal). El plano normal principal a la curVá
regular a: [a; b] -4 Iffi.3 en el punto aCto) = CXo; Yo; zo). es eí plano generado por
N y B con normal T. La ecuación cartesiana de este plano es
IpN : ((x;y;z) - (xo;Yo;zo))· T(to) = oi
Definición 16. (Plano Rectificante). Es el plano generado por T y B con normal
N. La ecuación cartesiana es
Ejemplo 34. Halle los vectores tangente unitario, normal principal y binormai áe
la espiral cónica aCt) = etCcos t r+ sen t J+ k) en un punto arbitrario.
Solución
a'(t) = (er(eos t - sen t); et(sen t + eos t); et),lla'(t)11 =.J3 e'
a'(t) 1 .
T(t) = Ila/Ct) II =vI3(cos t - sen t: sen t + cos t; 1)

," (t) 1 fl
r- (- sen t - cos t; cos t - sen t; O) Y IIT'(t)1I = -
v 3 . 3
N(t )
T'(t) 1
IIT'(t)11 = ...¡z(-sent-cost;cost-sent;O)
11 1) (
1 1 2 )
'!'(t) x N(t) = - -f6 (cos t - sen t); - -f6 (sen t + cos t); -f6
I 11"111 plo 35. Halle las e.cuaciones de los planos normal principal, rectificante y
.' .1I1
" do!" de la curva
(( [X
2
+ y2 + Z2 = 6 oo, (1)
, X2 - y2 + Z2 =4 oo, (2)
1 1 l pllnlo A(l; 1; 2)
,,111 l'iún
I . llIlli nar la variable y en las ecuaciones (1) y (2), se obtiene la curva
1"" relada sobre el plano XZ, esto es,
:lII'x
2
+z
2
=5
I 'JI,I ilI11
etrización de la curva ea es
..J5 cos t ,Z =..J5 sen t, t E [O; 2rr)
d lilas, si se reemplaza X2 +Z2 = ~ n una de las ecuaciones (1 ) ó (2), resulta
1
I (11 'O, existe una función v ctorial a: [O; 2rr) -) ~3 tal que
rr(l) = (v'S cos t; 1; v'S sen t), t E [O; 2rr)
11111,1, sea to E [O; 2rr), tal que
1 2
U(lII) = (v'Scosto;1;v'Ssento)=(1;1;2)=>costo = J5 ysento =J5
I los elementos del triedro móvil son:
11 (1) (-..[5 sen t; 0;..[5 cos t) => a'(to) :::: (-2; O; 1)
I (t )
a' (t) (2 1)
Iler'(t)11 :::: (-sen t; O; cos t) => T(to) :::: - ,¡s; O; .JS
I ' (t ) (- cos t; O; -sen t) y IIT'(t)1I = 1
N(I)
T'(t) 1 2
IIT' (t) 11 :::: (- cos t; O; -sen t) => N(to) = (- J5; O; - J5)
r ¡ k
2 1
I Id T(to) x NCto) :::: J5
O
.JS = (O; -1; O)
1 2
LJ - -
..J5 J5

Por tanto, las ecuaciones generadas de los planos son:
Plano normal principal: 2x - z =°
Plano rectificante: x +2z - S = °
Plano osculador: y = 1
Observación 10. Sea a: 1 ~ ~3 una función vectorial cuyas funciones
coordenadas tienen derivadas continuas hasta el segundo orden. Las expresiones
de T(t), N(t) y B(t) en términos de la función a(t) y sus derivadas son
a'(t) a'(t) x al/(t) [a'(t) x al/(t)] x a'(t)
T(t) = lIal(t)¡¡ ,B(t) = lIa'(t) x al/(t)1I ,N(t) = ¡¡[a'(t) X al/(t)] x a' (t)1I
Si B(t) = b(b vector constante) '<It E 1, entonces la curva es plana. Así, la curva
esta en el plano osculador.
Ejemplo 36. Sea la curva C: a(t) = (t; 1- 2t2
; 1- 4~3)
Halle la ecuación del plano osculador de la curva C paralelo al plano z = -4
Solución
Se tiene
a' Ct) = (1; -4t; -4tl ), al/(t) =tO; -4; -St)
Ir J k
a'Ct) x al/(t) = 11 - 4t -4tl = (16tl ; St; -4)
° -4 -St
Como el plano osculador es paralelo al plano z = -4, entonces el vector binormal
(que es la normal al plano osculador) es paralelo al vector k = (O; o; 1).
Así, la primera y segunda componente del vector a'(t) x al/(t) debe ser igual a
cero, es decir
16t
l
= °Y St = O~ t = °
Luego. el punto de paso del plano osculador es
a(O) = (O; 1; 1) Y B(O) = (0,0, -1)
Por tanto. la ecuación general del plano osculador es
Po: [(x;y;z) - (O; 1; 1)]. (0;0; -1) = °= Po:z = 1
Ejemplo 37. Sea C la curva intersección entre las superficies
C: y = (x - 2)2 / Z = (x - 2)l
Halle la ecuación cartesiana del plano osculador a la curva C en los puntos
(2; O; O), (3; 1; 1) y (xo;Yo; zo)
Solución

1Ii.llt I , - (, la regla de correspondencia de la función vectorial que genera la
1I1,,,r; l'S
r. a(l) - Ct; Ct - 2)2; Ce - 2)2), t E IR
I 11 • 'lI, ~c tielle
u'(t) (1; 2Ct - 2); 2Ct - 2)), al/(t) = (O; 2; 2)
r J k
I('el) x al/Ct) = 1 2(t - 2) 2(t - 2) =(O; -2; 2)
0 2 2
a'Ct) x al/Ct) 1 ( 1 1) ~
1/(1) = Ila'Ct) x al/Ct)11 = 2...J2 (O; -2; 2) = O; - ...J2;...J2 = b
l' 11 I:llJlsiguiente, la ecuación del plano osculador que pasa por el punto (2; O; O)
¡'
':,:y-z=O
« 'I/lIO el vector binormal BCt) = bes constánte, ~mces la curva e es plana y
.1, ,l .lllsa sobre el plano osculador, Vt E IRL
EJERCi lOS
1>Ctermine T y N para cada una de LIS siguientes curvas:
,1) a(t) = Ca cos t ; b sen t), t E [O; 2rr]. a, b > O
11) aCt) =Cacosht;bsenh t), a,b>O
e) aCt) = Ct cos t; t sen t; at), a > O
ti) a(t) = (a 2
cos t ; a2
sen t; b2
t) en t = to • a, b constantes
c) a(t) = (3t 2
; 2 + 8t2
; -5t2
) en t = O
f) a(t) = (9 cos t; 9 sen t; 3) en t = rr
I En t = O Y t = 1, encuentre el vector velocidad, ei vector aceleración y la
rapidez para cada una de las siguientes curvas
a) aCt) = (10 sen 2rrt;10 cos 2rrt) b) a Ct) = Ccos(rrt2
); sen (nt 2
).'
e) a(t) = e-t (cosit;sen it)· d) a(t) = (4 sen 2rrt;4cos2rrt)
e) a(t) = (cos(200rrt); sen (200rrt); 2~)
Si a: (a; b] ......; ~3 es una curva regular, demuestre qUL
a' x a"
B =.,.,...--:----:-:c-:"
Ila' x al/II '
(a' x a") x a'
N = B x T = ,,-------:-:-
ilCa' x a") x u'I,

4.- Dada la curva a(t) = (t2
+ 1)7+ 8t] + (t2
- 3)k , halle el vector tangente
unitario en t = 1, escriba ]a ecuación del plano normal, plano osculador y
plano rectificante en el punto a(1).
5.- Sea a(t) el vector posición de una partícula que se desplaza sobre la esfera de
centro en el origen y radio r. Demuestre que el vector velocidad es
perpendicular a a(t) en cada instante. Sugerencia: Derivar a(t) • a(t) = r 2
6.- Dada la curva a = a(t) y un punto fijo Q, demuestre que si la distancia
lIaCt) - QII alcanza un mínimo para t = to, entonces a(to) - Q es normal a
a'Cto)·
Sugerencia: [a(t) - Q] • [aCt) - Q] alcanza un mínimo en t = to
7.- Demuestre que la tangente a una hélice forma un ángulo constante con el ej Z
y la normal es siempre perpendicular a ese eje.
Sugerencia: usar la parametrización aCt) == Ca cos wt ; a sen wt; bt)
8.- Determine los puntos en que la curva a(t) = (t2 - 1; t 2
+ 1; 3t) cona ai
plano 3x - 2y - z + 7 = O R. (~; 6) Y (O; 2; 3)
9.- Una partícula se mueve a lo largo de la elipse 3X2 + y2 = 1 con vector
posición aCt) = ¡Ct); + 9(t)J. El movimiento es tal que la componente
Horizontal del vector velocidad en el instante tes - 9(t).
a) ¿Se mueve la partícula sobre la elipse en dirección a favor o contraria a las
agujas del reloj? R. Contraria a las agujas del reloj .
b) Demuestre que la componente vertical del vector velocidad en el instante t
es proporcional a ¡Ct) y halle el factor de proporcionalidad. R. 3
c) ¿Cuánto tiempo se necesita para ~le la partícula recorra toda la elipse una
vez? R. 2rr/../3
10.- Si una partícula se mueve sobre la curva aet). verifique que la aceieración
al/(t) es siempre paralela al plano osculador.
l .- Halle los vectores T, N Y B asociado a la curva a(t) = (t; t2
; t3
). Además.
halle las ecuaciones de los planos osculador. normal y rectificanre en t == 1.
12.- Halle las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante a ia curva
a(t) = (e t + 1;e-t -l;t) en t = O. -

13.- Si a: [a;b] ~ IRl.3
es una curva regular y B'(t) existe, demuestre que B'(t)
es paralela a N(t).
1'1.- Determínese T, N Y B los planos osculador, normal y rectificante en a(O)
para las siguientes curvas:
a) a(t) = (t cos t; t sen t; t) b) a(t) = (t - sen t; 1 - cos t; t)
c) aCt) = (t2; cos t; sen t) en t = 1
d) aCt) = Ct; 1 - t; t +t 2
) en (1; O; 2). Demuestre que el plano osculador es
paralelo al eje Z.
15.- Dada la curva C: a(t) = (t; In(sec t) ; In(sec t + tan t)); halle el triedro
móvil en el punto en que la curva corta al plano XZ.
1 1
R. T = v'2 (1; O; 1), N = (O; 1; O), B =0(-1; O; 1)
,,2
I,H CURVATURA Y TORSIÓN DE UNA CURVA
ItFP.RA:IETRIZACIÓN DE UNA CURVA RESPECTO .L PARÁIIETRO LONGITUD DE
1t('O
rcol'ema 5. Sea a: [a; b] ~ IRl.n
una curva regular tal que a([a; b)) = e y la
longitud de arco de la curva desde t = a hasta t = b es L =: iblla'(t)lIdt
1nlonces. la función longitud de arco 1: [a; b] ~ [O; LJ dada por
s = I(t) = fllal(t)lldt
l:~ continua y monótona creciente en el intervalo [a ; b) .
J)efinición 17. Una curva regular y: [O; L] -> IRl.7t
es parametnzada por la longitud
dL arco s, si y solo si Ily'(s)11 = 1, ::Is E lO; LJ
'Il'ol'cma 6. Toda curva parametrizada por longitud de arco y: [O; L] -. IRl.n es
1111i! rcparametrización de una curva regular a: [a; bJ -) (R." y está dada por
ves) =a(cp(s)) , ::Is E [O; L]
d.JlldcL = iblla'(t)lldt y cp(s) = 1- 1
(s ),s E [O;L]
111 la IIgura 1.23 se muestra la curva reparametrizada y .

e
[ I ]
a O
f/
I I
O L
Flq 1 23
Ejemplo 38. Sea a: [O; +00) --+ IR!.3 una curva regular definida por
a(t) = (cos t; sen t; t)
Halle: a) s = l(t) b) ep(s) = 1-1(S) e) y(s) = aCepes)) d) T(s)
Solución
a'(t) = (-sent;cost;l)
®
a) s = ICt) = {lIal(U)lIdU = {visen2
u + cos 2u + 1 du = ..J2 t, t ;;::: O
b) Como s = l(t) =..J2t ,entonces la inversa de esta función es
s
ep(s) = ¡-l(S) = .¡z ,s;;::: O
e) La reparametrización de la curva regular a en función de la longitud de arco s
es
y(s) = aCepes)) = a (:z) = (cos (:z);sen (:z);:Z)
( 1 (S) 1 ('" 1 ·
)
d) y'(S) = - .¡zsen .¡z ;.¡zcos ..J2);..J2 y Ily'(s)11 = 1, '<:Is ;;::: O
Por consiguiente, el vector tangente unitario T(s) es
y'(S) I (1 (S) 1 (S) 1)
T(s) = Ily'(s)11 = y (s) = - .¡zsen .¡z ; .,¡zcos ..J2 ;J2
Ejemplo 39. Dada la curva
C: a(t) = (t; ln(sec t); ln(sec t + tan t)), t E [o;~] .
. 4
a) Halle la longitud de arco de C.

ti) Rcparamctrice e en términos de longitud de arco.
"olución
l
Tr/4 lTr/4 '
1) l. = o Ila'(t)lIdt = o Vz sec t dt = Vz In(Vz +1)
11) s = l(t) = ltlla'(U)lIdU = Vz In(sec t + tan t) ,t E [o;¡]
Al despejar t en térm(inO~sde s,)se tiene
, eJ'i - 1 s
t = tp(s) = arcsen ~ = arcsen (/2) ,s E [o; Vz!n(Vz + l)J
eJ'i + 1 2
Por consiguiente,
y(s) = a(tp(s))
= (aresen (tanh (:z));In (COSh (:z));In [COSh (:z) + senh (~)])
'<;fs E [O; Vz In(Vz + 1)]
( 'tJ RVATURA
f)efinición 18. Sea e una curva regular en el espacio ~J paralllctrizada por la
Inlll! itud de arco, esto es, existe y: lO; L] ~ ~3 ,tal que y([O; L]) = e . Sea
1(,') = y'(s) el vector tangente unitario a la curva en el punto y(S!. (Fig, 1.24)
'O
z
[
I f ]
]
a b
(
o L
Fig. 1 24
I a ¡a;ón de cambio del vector TU) con respecto a la longitud de arco s. esto es,
ti/"
I
se denom ina vector curvatura de la curva een el punto yes) y es dado por
r ~
dT(t) dT dt , 1 T'(t) (IIT'(t)ll)
K(L) =CiS =di' ds = T (t) . ds = Ila'(t)11 = Ila'(t)11 N(t) (*)
dt

Luego, el vector curvatura K(t) tiene la misma dirección que el vector unitario
normal principal N(t) y es ortogonal al vector tangente unitario.
Definición 19. La función escalar que multiplica a N(t) en (*) se denomina
curvatura de la curva C en el punto a(t) (Fig. 1.24) Yse denota por
IIT'(t)1I
k(t) = Ila'(t)11
La curvatura k(t) es un número real que nos indica que tanto se tuerce (o se
dobla) la curvatura e en el punto a(t).
Observación 11.
i) La curvatura de una recta es igual a cero.
1
ii) La curvatura de una circunferencia de radio a es
0
,esto es
1
k(t) = - , Vt E JRl.
a
iii) La curvatura de una curva plana en s~unto de inflexión es igual a cero.
iv) Si C: a: 1 --+ JRl.3 es una curva reglll.lt, entonces la curvatura de la curva C en el
punto a(t) en términos de sus derivadas es dado por
_ Ila'(t) x a"(t) 11 3
k(t) - lIa'(t)1I3 (solo en JRl. )
v) Si C es una curva plana regular en JRl.2, entonces puede presentarse los
siguientes casos:
a) Si la ecuación de la curva e es C: y = [(x), entonces la curvatura de C en
el punto de abscisa x = a es dado por
1["(a)1
k = [1 +(f'(a»2)3/2
b) Si la ecuación de la curva es C: x = g(y) . entonces la curvatura de la
curva C en el punto de ordenada y = b es
Ig"(b)1
k = [1 + (g'(b»2)3/2
c) Si la ecuación de una curva C viene dada en su forma polar C: r = g(8),
entonces la curvatura de la curva C en el punto correspondiente a eo es

1111>1040, Sea e la curva de intersección del cilindro
, 1 y2 + 2(y - x) - 2 =OCOII el plano x - y - 2z - 2 = O
1',1 '.mine la curvatura de een el punto (3; -1; 1).
,,11Il'ión
All'OJlIpletar cuadrados en las variables x e y, se tiene
f: r(x - 1)2 + (y + 1)2 = 4
l x - y - 2z - 2 = O
I IIl'gO, al parametrizar la curva se obtiene
( : cret) = Cl + 2 cos t; 2 sen t - 1; cos t - sen t) y aCO) =C3; -1; 1)
1k donde resulta
(r'Ct) = (-2 sen t; 2 cos t; -sen t - cos t) y a'CO) - (l'; 2; -1)
(r"Ct) = (-2cost;-2sent;-cos t +sent)ya"(O) = (-2;0;-1)
k
(r' (O) x a"(O) =
1 j
O 2
-2 O
-1 =(-2;2;4)
-1
1'01 tanto, la curvatura de la curva een el punto a(O) = (3; -1; 1) es
Ila'(O) x a"(O) 11 2"f6
k- - -
- lIa'(O)1I3 - 5..[5
(
t 2 t? V2
Fjcmplo 41.- Sea la curva e: a(t) = "2 + t;"2 - r: Tln t)
(
Ilalle la curvatura de la curva een el punto donde la curva corta al plano XV.
Solución
I .a curva e interseca al plimo XY cuando la tercera compolJente de su vector
posición a(t) es cero, esto es
V2
-In t = O ===> t = 1
2
Luego, el punto de intersección de la curva econ el plano XY es
a(1) =P G;-~; O)

Al derivar la función vectorial, se tiene
al(t)=(t+l;t-l; ~) y a'(l) =(2;0; V;)
al/(t) = (1; 1; - ~) y al/(1) = (1; 1; - V;)
(
...[2 3...[2 )
a'(l) x al/el) = -2 ;-2-; 2
Por consiguiente, la curvatura de la curva een el punto P (~; - ~; o) es
Ila'(l) x al/(l)11 2...[2
k(l) = Ila'(1)113 ::: -9-
RADIO DE CURVATURA
Definición 20. Sea e: a: 1 ~ lffi.3 una curva regul~y sea k(t) la curvatura de la
curva een el punto a(t) donde k(t) 1= 0, Vt E l..
El radio de curvatura de la curva een el punto a(t) es dado por
1
R(t) ::: k(t)
Observación 12. A la circun@:encia que
tiene COIllO radio R(t) (Fig. 1.25) se
denomina circunferencia de curvatura o
circulo de curvatura en el punto aUo) de la
curva econ k(t) 1= O.
El centro de la circunferencia de curvatura
se encuentra sobre la recta norlllal a la
curva e en el punto a(to). (Fig. 1.25), Y
como los vectores T y N están en el plano
osculador. entonces la circunferencia de
curvatura se encuentra tambien sobre ei
plano osculador.
La circunferencia de curvatura (Cd está en el lado cóncavo o interior de la CurVé!
ey tiene la misma curvatura que e en alto).
El centro de curvarura de la curva e en el punto aCto; es ei c¡;nu'(, Je :a
circunferencia de curvarura (C1 ) y es dado por

Oh"'I'':lriúll 13. Sea e:y =[(x) una curva plana, tal que ['(x) y f"(x) existen
11 (/ Entonces, el centro de curvatura Co(xo;Yo) de la curva een el punto
«(/; I «(/» está dado por
[
1 + (f(a))2]
11 = Cl - ['(a) ["Ca) . [
1 + (fca))2]
Yo =[Ca) + ["Ca)
1I,llIlIción 21. (EVOLUTA DE UNA CURVA) La evoluta es el lugar
'l 11ll:lrico de los centros de curvatura de una curva e.
I .1 ecuación vectorial de la evoluta de la curva a(t) es dado por
1:'CL) = a(t) + R(t)N(t)
()h,crvación 14. Si e: Y = [(x) es una curva plana, entonces la ecuación
I .1Ill'slana de la evoluta se obtiene de la siguiente manera:
1) Se determinan las coordenadas del centro de@rvatura Ca (xo; Yo) en forma
general.
JI) De las expresiones obtenidas en i), despejar x e yen términos de Xo y Yo.
lIi) Sustituir en la ecuación de la curva las expresiones de x e Y obtenidos en
Ii).
IV) 1
: 11 la ecuación resultante que está en términos de Xo y Yo, sustituir Xo por x
y Yo por y; así, la ecuación resultante será la ecuación cartesiana de la
evolura.
Ljl'mplo 42. Dada la curva e: a(t) = e~2t; i:e
sen
(U)du; t)
Ilalle la ecuación de la circunferencia de curvatura de la curva een el punto
.
J.
londe ecorta al plano x + Y -r z ='2
"'lIlución
l ' 01110 la curva einterseca al piano dado, entonces las componentes de la función
vectorial a(t) satisface la ecuación del plano, esto es,
] - 2t + ft esen (U)du + e =~ <;::::> ft é en lU)du = O<;::::> t = 2rr
2 2n 2 2n
(
1 - 4n )
1.1Iego, la curva ecorta al plano dado en el punto a(2n) = Po --2-; O: 2n
POI otro lado, se tiene
a/Ct) = (-1; esenr : 1) y a"(2rr) = (-1; 1; 1)

a"(t) = (O; e sen t cos t; O) Y a"(2rr) = (O; 1; O)
a'(2rr) x a"(2rr) = (-1; O; -1)
[a'(2rr) x a"(2rr)] x a'(2rr) = (1; 2; -1)
[a'(2rr) x a"(2rr)] x a'(2rr) 1
N(2rr) = II[a'(2rr) x a"(2rr)] x a'(2rr)1I = -/6(1; 2; -1)
Ila'(2rr)113 3-/6 .
Re2rr) = 11 e) ()II = - (radIO de curvatura)
a' 2rr x a" 2rr 2
Así, el centro de curvatura de la curva een el punto a(2rr) es
Co(2rr) = a(2rr) + R(2rr)N(2rr)
= (1 - 4rr, O, 2rr) + _3-/6_6 [_1 (1' 2' _1oLl = (2 _ 2rr' 3' _4rr_-_3)
2" 2-/6". " 2
La ecuación del plano osculador de la curva eque pasa por el punto a(2rr) es
[ (
1 - 4rr )1 :.
Po: (x;y;z)- 2 ;0;2rr (-l;O;-l)=O=Po:x+z=Z
Como las coordenadas del centro de curvatura satisfacen la ecuación del plano
osculador. entonces la circunferencia de curvatura se encuentra sobre el plano
osculador.
Ejemplo 43, Dada la curva C: a(t) = (2t 2
; 1 - t; 3 + 2t2
)
Halle la ecuación de la recta paralela al vector curvatura K(t) que pasa por el
punto aCto), donde el radio de curvatura es mínimo.
Solución
a'(t) =(4t; -1; 4t), a"U) =(4; O; 4),
a'(t) x a"(t) = 11t !1
....
k
4t = (-4; O; 4)
í 4 O 4
Luego.
( ) _ Ila'(to)11
3
__
1_ 2 3/2 'e') _ 24 2 1/2
R to - Ila'(to) x a"(to) 11 - 4..¡z(1 + 32to) ,R to - ..¡zto(32to + 1)

AI igualar a cero la derivada de R, el único punto crítico de R es to = O.
Por el criterio de la primera derivada, se tiene
Intervalo Signo de R'Cto)
(-00; O) -
(O; +00) +
Así, el radio de curvatura es mínimo en to = O.
Ahora,
[a'eO) x a"(O)] x a'eO) = (4; O; 4)
[a'eO) x a"(O)] x a'eO) 1
N(O) = II[a'(O) x a"(O)] x a'eO) II = vtz(1; O; 1)
R(to)
decrece>
crece
Ila'(O) x a"(O)11
k(O) = Ila
'
(0)11 3 = 4vtz. K(O) = k(O)N(O) = (4; O; 4)
Min
Por consiguiente, la ecuación vectorial de la rccta paralela al vector K(O) que
pasa por el punto a(O) = (O; 1; 3) es
L: (x; y; z) = (O; 1; 3) + t(4; 0.4). t ~
Ejemplo 44. Halle la ecuación cartesiana de la evoluta de la parábola y = X2
Solución
Luego, el centro de curvatura (xo;Yo) de la
curva plana dada es
[
1 + 4X
2
]
Xo = X - 2x 2 = -4x3
2 [1+ 4X
2
] 6X2 + 1
Yo = x + 2 = --2-
Al despejar x e Y en términos de Xc Y Yo , se
tiene
x = _ (XO
)1/3 V = 2yo - 1
4 • , 6
y
Flg 1.26
Al reempíazar estas expresiones en la ecuación de la parábola. se obtiene
x

Por tanto, la ecuación de la evoluta se obtiene al reemplazar Xo y Yo por x e y,
esto es
16 ( 1)3
E: X2 = 27 Y - 2
TORSIÓN
Sea a: [a; b] --+ 1Rt3
una curva regular paramctrizada por longitud de arco, tal que
a([a; b)) = e
aCt) = CalCt); a2 Ct); a3 Ct)) Ys = ICt) = f"a'CU)lldU, t E [a; b]
La razón de cambio instantáneo del vector binormal con respecto al parámetro
dB
longitud de arco s, ds ' detennina el grado de torsión de la curva een el punto aCt).
Para los vectores unitarios, se tiene
B(t) = TCt) x NCt), B'Ct) = TCt) x N'Ct)
NCt) x B'Ct) = N(t) x [T(t) x N'Ct)]
, = [N(t) • N'(t)]T(t) - [N(t) • T(t)]N'(t) =(5
Luego, los vectores N(t) y B'(t) son paralelos.
Al derivar el vector binormal con respecto al parámetro longitud de arco, se
obtiene
dB(t) dB(t) dt 1 dB(t) í , .
~ =de· ds = !la'(t)ll·de = !la'(t)l! B Ct)
Como los vectores N(t) y B'(t) son paralelos. entonces se tiene
dB(t)
-- ='[Ct)N(t)
ds
Donde '[Ct) es una función real. Al número real '[(e) se llama torsión de la curva
een el punto aCt).
Observación 15.
i) '[(e) = O, Vt E 1 si y solo si ees una curva plana·

ii) La torsión ,(t) mide como se está torciendo la curva e con relación al plano
osculador.
iti) Si a: [a; b] ~ 1R{3 es una curva regular parametrizada, tal que a'(t), atl(t) y
(l"'(t) existen en [a; b], entonces se tiene
[a'(t)xa" (t)].a'" (t)
,(t) - '>""""":"":"-----'-'-'--"""':-:;'
- lIa'(t)xa" (t)1I 2
I'.jl'mplo 45. Halle la torsión de la curva C: a(t) = (cos t; sen t; t) en t =O
Solución
cr' (L) = (-sen t; cos t; 1), a" (t) = (- cos t; -sen t; O)
cr'''(t) = (sen t; - cos t; O), a'(O) = (O; 1; 1) , a"(O) = (-1; O; O)
a'''(O) = (O; -1; O), a'(O) x a"(O) = (O; -1; 1)
Por tanto, la torsión de la curva dada en el punto correspondiente a t =Oes
[a'(t) x atl(t)] • a"'(O) 1
,(O) = Ila'(t) x a"(t)112 = 2
(
Zt + 1 t
2
)
Ejemplo 46. Sea euna curva dada por a(t) = --'-; --; t + 2
t-1 t-1
iI) Halle la torsión de la curva e ft * 1
b) Halle la ecuación del plano osculador en la que se encuentra ia curva dada
ft * 1.
Solución
il) a' C
t) = (- (t ~1)2 ; ~t2~12)~ ; 1), a" C
t) = (Ct ~1)3 ; (t ~1)3 ; O)
a'''Ct) = (- Ct ~81)4; ~ Ct ~1)4; O) ,[a'Ct) x a"Ct)] • a"'Ct) = O, Vt -:¡: 1
Luego,
[a'Ct) x a"Ct)] • a"'(t)
,(t) = Ila'(t) x a"(t)W = O, ft -:¡: 1
Por tanto. la curva ees plana para todo t * 1
,
Il) Es fáci 1verificar que
2 It - 11
arCt) xa"(t) = ( )3(-1;3;-3), B(t) = '-= ' . (-1;3;-3)
t-1 v19(t-1}

Por consiguiente, la ecuación del plano oscular en la que se encuentra la curva
dada, Vt =F 1 es
[ (
2t + 1 t
2
)]
p. (x·y,z)- -_·--·t+2 -(-1'3'-3)=0 estoes
o· "t-1't-1' " ,
Po: x - 3y +3z - 5 = O
Ejemplo 47. Dada la curva e: a(t) = (t -sen t; 1 - cos t; 4 sen G)) , halle
la curvatura y la torsión de la curva een el punto donde el plano normal principal
a la curva es paralelo al plano z = 1.
Solución
Como el plano z = 1 es paralelo al plano normal principal, entonces sus vectores
_ a'(t)
normales k = (O; O; 1) Y T(t) = Ila/Ct)11 son paralelos. Luego, se tiene
- { sen t = O
k x a'Ct) = (-sen t; 1 - cos t; O) = (O; O; O) <==> 1 O ~ t := O
- cos t =
También, se tiene
a" (t) = (sen t; cos t ; -sen G)), a'll(t) = (cos t; -sen t; - ~cos (~))
a' (O) = (O; O; 2), a" (O) = (O; l ' O), a'"
I
(O) = (1;O; -~) y
a'eO) x a"(O) = (-2;0;0)
Por consiguiente, la curvatura y la torsión de la curva e en el punto
a(O) = (O; O; O) son
Ila'(O) x a"(O)11 1
k(O) = Ila'(0)113 = 4
[a'eO) x a"eO)] - a"/eO) 1
reO) = Ila'(O) x a"(0)11 2 = -'2
Ejemplo 48. Determine la ecuación del plano oscuiador y la torsión para ia curva
(
1 ~
e: a(t) = arctan t; - -
,-; in(t + -Jl -1- t 2 ) 1
1 "T t )
en un punto donde el vector tangente a la curva tiene la dirección de ia recta
L: x -1- 1 = Y - 1 = z - 2
Solución
(
1 1 1)
Como a/et) = --2; ( 2; es paralelo a la recta
1 + t 1 + t) ..J1 + t 2
L: (x; y; z) = (-1; 1; 2) + s(l; 1; 1), s E ~ , entonces

j k
1 1 1
(1 + t)2 Vf+t2
a'(L) x el =
1 + t 2
1 1 1
(
1 1 1 1 1 1)
= (1 + t)2 - Vf+t2; - 1 + t 2 + Vf+t2; 1 + t 2 - (1 + t)2
= (O; O; O)
I)lO donde resulta t = O
I,1I11bién se tiene
a(O) = (O; -1; O), a'(O) = (1; 1; 1)
(
2t 2 t )
a"(t) = - (1 + t 2)2; - (1 + t)3; - (1 + t2)J/2 ' a"(O) = (O; -2; O)
(
-2 + 6t 2 6 2t
2
- 1 )
IIICt) a"'(O) = (-2',6', -1)
a = Cl+t 2)J;(1+t)4;Cl+t2)5/2 '
a'CO) x a"(O) =C2; O; -2)
I llego, la ecuación del plano osculador de la clIrva een el punto
treO) = (O; -1; O) es
Pn : [(x; y; z) - (O; -1 ; O)) • (2; O; -2) = O ~ Po: x - z = O
I n torsión de la curva een el punto a(O) = (O; -1; O) es
[a' (O) x a"(O)] • a"'(O) 1
TeO) = Ila'(O) x a"(0)112 = -4
Fjcmplo .t9. Dada la curva
í XZ - 3x - 2z -r 3 = O
e'
, lz: - yz -i- 3y - 4z -r 4 = o
Cnlcule su torsión en ei punto en que ia curva atraviesa ei piano X'Y,
"'olución
'" I hucer z = Oen las ecuaciones de las superficies que generan e,se obtiene
{
-3X + ~ = O oo, (1)
3y + 4 - O oo, (2)
4
,1 Il'solver (1) Y(2), se obtiene x = 1 ,y = - '3
, 4 ·
I IllTo. la curva interseca al plano X'y' en el punto p() ( 1; - '3; O)

Al despejar x en la ecuación de la primera superficie e y en la ecuación de la
segunda superficie, resulta
2z - 3 Z2 - 4z + 4
x=-- y=
z-3 ' z-3
Al definir z = t, se obtiene la ecuación vectorial de la curva e, esto es
De la función vectorial aCt), se obtiene
a' Ct) = (- Ct ~3)2 ; t2(~~~~8
;1), a' CO) = ( - ~;~;1
)
a"(t) = (Ct':3)3; Ct':3)3; O) , a"(O) =(- 2
6
7; - 227 ; O)
al"Ct)-( 18. 6 '0) ~"/(O)=(_~,-~.o)
- - (t - 3)4' - (t - 3)4' , 27' 27'
(
2 6 6 )
a'(O) x a"(t) = 27; - 27; 27
Por tanto, la torsión de la curva een el punto correspondiente a t = Oes
[a/CO) x a n(O)] • a'''(O)
r(O) = Ila'(O) x a"(O)1I 2 = O
COMPONENTE NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN
Sea euna curva regular en ~3 , esto es, existe una función vectorial
a: [a; b] -t ~3 tal que a([a; b]) = e
Sea aCt) = (alCt); a2 (t); a3 Ct)) el vector posición de una partícula P que se
mueve en el espacio, donde t es el tiempo. Entonces erepresenta la trayectoria de
la partícula.
Luego. el vector velocidad de la partícula en cualquier punto a(t) = Q E e es
dado por
vCt) = a'Ct) = 1'(t)T(t) = lIa'Ct)IIT(t)
donde T es ei vector tangente unitario y l es ia función iongitud de arco.
De la observación 8. el vector aceÍeración es dado por

1/(1) = v'(t) = l"(t)T(t) + l'(t)T'(t) = a"(t)
I/( l) = l"(t)T(t) + k(t)[l'(t)FN(t)
111fllndún 22. El coeficiente de T(t) se llama componente tangencial de la
I I 1,11 ('1 11 Yse denota por
/11/ eL) = l"(t) I
I I I lit 1Iciente de N(t) se llama componente
11111 ",, " del vector aceleración y se denota por
IUNCt) = k(t)[l'(t)]2 I
1 11 I"pidcz de la partícula en un instante tes
Il vCt)11 = l'(t)
z
~{¿.J_... T
y
x
Flg • 2í
1 IOJllpOnente tangencial de la aceleración es la razón de cambio del módulo de
II velocidad de la partícula.
11 I 11 m ponente normal de la aceleración es siempre positiva.
id~' lll üs vemos que si el módulo de la velocidad es constante. entonces la
IllllpOllente normal aumenta al aumentar la curvatura.
I II1 explica por qué un automóvil {lite toma una curva cerrada a veloclciaG
IllIllkrada o a una curva suave a gran velocidad exige, en ambos casos. una fuerza
IBulllal (rozamiento de los neumáticos) de gran magnitud para que el vehículo n0
l ' sillga de la carretera.
"ll'mplo 50. Una partícula se mueve según la ley
aCt) = Ct; InCsec t + tan t); lnCsec t))
I I,IIk sus vectores velocidad y aceleración. su velocidad escalar. los vectores
11I111.1rios T y N. Y los componentes normal y tangencial del vector aceieración.
Indo para t = Tr/3 .
"'ol"ción
v (t) = a'(t) = (1;sect;tant), l'G) = (1;2:v'3') = v
a(t) = a"(t) = (O; sec ttan [; secZt), a G) = (O; 213; 4) = a
l'(t) = Ila'(t)11 = ,rzsec t , /' G) = 2,rz
/" ( l) = ,rzsec t tan t , /" G) = 2-16
1,1 l' locidad escalar, el vector tangente unitario y la curvatura en t = rr /3 son

EJERCICIOS
1.- En los siguientes ejercicios halle los ~tores unitarios T, N YB.
a) a(t) = (1 + t; 3 - t; 2t + 4) b) a(t) = (e- 2t
; e 2t
; 1 + t
2
)
(
t t2
1 - t)
c) a(t) = Ce t sen t; e2t cos t ; e-t) d) a(t) - -_. -_._-
- l+t'l+t'l+t
2.- Sea euna curva de ecuación vectorial
c: a(t) = Ct; InCsec t); ln(sec t + tan t))
Halle los vectores T, N YB Y la ecuación del plano osculador en el punto en
que la curva corta al plano YZ.
1 . 1 1
R. T= vz-(l;O;l), N=(O;l;O) , B=(- vz-;O;vz-) Po:x-z=O
3.- En los siguientes ejercicios, halle para el valor particular Jado t. los vectores
T, N Y B; la curvatura, las ecuaciones de ia recta tangente) ía ecuación de:
plano osculador a las curvas
'li2
a) a(t) = (e' cos t; eL sen t; e'), t = O R. Po: x +y - 2z + 1 = O; k = ~
.)
b) a(t) = (ZCOShG);2senh (~);2t) ,r = O I}. P
o:Zy - z = O;k = :1.
0

1,- S~a euna curva de ecuación vectorial aCt) = (Zt; ~; t;)
a) 11¡¡lle el centro de la circunferencia de curvatura en a(O). R. (O; z..fi; O)
11) ¿Cuál de los siguientes puntos .
Pl (O; ..fi; ..fi), P2 (z..fi; z..fi; O),
pertenece a la circunferencia de la curvatura? R. P2
Si etiene la representación paramétrica
aCt) = (cos t; sen t; II~II) ,t E [O; 4rr] (
Determine todos los puntos en donde etiene un vector tangente paralelo a uno
de los planos coordenados.
(1 Si ees una curva con representación paramétrica
(
1 + t 1 - t
2
)
aCt) = t; -t-; -t-
a) Calcule su torsión R. T = O
b) Determine la ecuación del plano osculador en el punto en que e = ~
R. Po: x - y + Z T 1 = ()
() ¿Seria distinta la ecuación del plano osculador en otro pllI1l0'~ Justifique :>l;
respuesta. R. Es el mismo,
,",ca euna curva con representación paramétrica
crCt) = (Z - tl
/
2
; t l / 2; It2 - 11)
Ilalle su torsión en el punto de intersección de la curva con el plano
I Y + z = 5 R. T = O
, Dada ia curva parametrizada por aCt) = (1 - 2e; tI'; 2e Zlt - 1 ))
11,1i1~ la ecuación del plano que contiene a ia circunferencia de cur'Vatura de :a
(1lrva en el punto donde a'(t) es paralelo a a(t). Determine tambier. sí ~:
IHIIlIO (3: 2; 14) está en dicho plano, R. Po: 2x -i- 4)' - z =O
,'01 (lla curva de intersección de las superficies y2 = X ,x2
= z. En el punto
(1 1 1l, halle los vectores unitarios r, N y B; ecuación del plano osculador.
111,11111 Ilorl11al y del plano rectificante.
III .' 01 ( ' IlIla curva parametrizada
Ir(l) ((¡(cos e + e sen t); a(sen [- t cos t); t 2
), t ::::: O

Reparametrizar la curva con respecto a la longitud de arco como parámetro.
11 .- Dada la curva parametrizada por a(t) = (3t 2
; 5 - t; 5 + 3t2
)
Halle la ecuación de la recta paralela al vector curvatura y que pasa por el
punto a(td en donde el radio de curvatura es mínima.
R. L = {(O; 5; 5) +ít(1; O; 1) / ít E IRl.}
12.- Halle la distancia que recorre una partícula que se dcspla.>:a sobre la curva
c: X2 +y2 + Z2 = 1 ti x +z = 1
(1.J2 1)
desde el punto A(1; O; O) hasta el punto B 2;2; 2
.J2
R. - rr
4
13.- Dada la curva parametrizada por
a(e) = (e - sen e; 1- cos e). O< e < 2rr
y sea L la recta que pasa por el centro de la circunferencia de curvatura de la
curva en e = rr/3, en la dirección del vector urvatura.
Halle la intersección de L con el eje X. R. G;O)
14.- Dada la curva C: X2 - 2yz = O ti Y+ z - .J2x - 1 = O
(
1 1 1)
.a) Halle la ecuación del plano osculador en el punto - 2.J2; '4; '4
b) Halle la curvatura y la torsión en dicho punto.
(
1- 2t ( )
15.- Dada la curva parametrizada por a(t) = -2-; J
e
esen
udu; t
Halle la circunferencia de curvatura de een el punto donde la curva
1 (3) 3-
intersecta al plano x +y +z =2' R. Centro: 2; 3; -2 .Radio: 2v6
16.- Halle el radio de curvatura de la curva a(t) = (3t - t 3
; 3t2
; 3t + t3
)
en el punto (-2; 12; 14).
17.- Halle la torsión de la curva a(t) = (1 + t; et+1
; t 2
+ 1) (t ~ O) en el punto
de intersección con la curva (J(t) = (1 : t; e4t
; 1+ 2
.t).t~ O
R. T = - - - '
e4
-+- 4

IK Si ees una curva en ~3 descrita por
cr(t) = (t - sen t; 1 - cos t; -4COS~) I t E [O; 2rr]
II:dle la longitud de arco de eentre el punto d'e curvatura máxima y el punto
dc curvatura mínima. R. L =4.J2
1'1 )emuestre que la hélice descrita por a(t) = (a cos wt; a sen wt; bwt)
. a
llene curvatura constante k = 2 2
. a +b
() - Un punto se mueve en el espacio según trayectoria
a(t) = (4cost;4sent;4cost)
/
a) Pruebe que la trayectoria es una elipse y halle la ecuación del plano que
contiene dicha elipse.
b) Pruebe que el radio de curvatura es 2.J2(1 + sen2t)3/2
21.- Para la curva cuya ecuación vectorial es a(t) = (e t
; e-t :.J2t), demuestre
.J2
que la curvatura es kCt) = (et 1- e-t )2
_2 .- Calcule el radio de curvatura de las siguientes ecuaciones polares:
(e 2 + 1)3/2
a) r = e, R. e2 + 2 b) r =ea, R. .J2~o
rr
c) r = 1 + cos B en B = '4'
'3.- Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración I!n e.
instante t =2 para el movimiento de una partícula. de'scrito por la curva
(
----) 12
a(t) = In(t 2
+1);2arctant;2,..jt2
+1 R.ar=O, Q,...=-=
5v'30
24.- Encuéntrese la trayectoria a =a(t) de una partícula dado que
a(O) = (O: O; 1600) .. a' Ct) = (500; 1000; - 32t). ¿Que distancia recorre ia
pm1icula comenzando en el instante e = O antes áe tocar ei piano XV?
Proporcione fórmulas para las componentes normal y tangencial de la
aceleración. L,Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria cuando t = S?
R. a(t) = (500: 1000t; -16t2
+ 1600), d = 11284 R(5) =40950
~5. - Una partícula se desplaza sobre la curva el) descrita por

a(t) = (~(2t + 4)3/2; 4 - 2t; t 2 + 4t) , con una rapidez constante de 4 mjseg
Si la partícula parte del reposo del punto (O; 8; -4)
a) Halle el vector velocidad y las componentes tangencial y normal de la
aceleración en el instante en que cruza a la curva C2 , descrito por
¡iCt) = (i+ t2 ;2t;20-10t) R.aT=O, aN =i
b) Desde que la partícula parte del reposo, ¿cuánto demora hasta cruzar C2?
R. t = 2 seg
26.- Dos partículas se mueven de acuerdo a los vectores posición
a(t) = (1 + t; 2 + 3t) Y ¡i(t) = (1 - t; 3 - t 3
)
respectivamente, donde t es el parámetro, partiendo de t = O
a) ¿Colisionan las partículas una a otra? En caso que sea así ¿en qué punto?
b) Halle las ecuaciones de las rectas normales a ebas trayectorias en el punto
donde estos sean paralelos. R. L = {p j P = (O; 2) +t(-3; 1), t E ~}
27.- Sea euna curva descrita por la función vectorial
a (t) = (a 2
cos t ; a2
sen t; b2
t) con a y b constantes. Determine la curvatura,
radio de curvatura y torsión en cualquier punto.
28.- Sea S el sólido encerrado por el cilindro parabólico z = 4 - yZ y por el
paraboloide elíptico z = X2 + 3y2 Y e la curva de intersección de ambas
superficies. Halle la longitud y la curvatura de e.
29.- Sea C la curva descrita por [Ct) =C2t2
; 1 - t; 3 + 2t2
) y Po eÍ centro de
curvatura de C en el punto donde la clJI"vatura es máxima. 1!alle la ecuación de
la recta que pasa por Po paralela al vector curvatura.
4 ~
30.- Sea ela curva descrita por aU) = (5cos t; 1 - sen t; - ~ cos t) .t > O
Demuestre que ees una circunferencia y encuentre su centro y radio.
31.- Sea la curva edescrita por a(t) = (ln(t + ..J 1 -i- t 2 ) ; -~-; in(l -i- t) ¡
1-t-c J
Halle la ecuación del plano osculador y la torsión para la curva een un punto
donde el vector tangente tiene ía dirección de ia recta x - 1 = Y - 2 = z - 5.

;) Sl.!a la curva ecn IR!.3 dcscrita por a(t), t E D". Ilallc el centro de curvatura
de e, en cl punto a(1) = (3; 1; 3), si sc cumplc que el plano osculador en
dicho punto es 3y - x = O,
20t 2vÍJÜ5
,,"(1) T(t) + N(t), er(l). N(l) > O Y a'(l) =(6; 2; 2)
v'lOt2 + 1 v'lOt2 + 1
R (_18' _~' 2S)
. 5' S'
Il alle las coordenadas del centro de curvatura de la curva el descrita por
aU) = (t 3
+ 6; 3t + 4; t 2
) en un punto de intersección con la curva Cl
descrita por (J(t) = (tl - 3; 3t - 5; In(e4t
+ t - 1))
1'1 Ilalle la ecuación del plano osculador a la curva C descrita por
a(t) = (t; t;;t:) para t = 2.
Una partícula se mueve en el plano a lo largo de la espiral r = ee con una
rapidez constante de 5 pies/seg.
01) Calcule el vector velocidad y las componentes de la aceleración de ia
partícula cuando (] = rr/4.
R. v (i) = (O; 5),
b) ¡,Cuánto tardará la partícula en ir desde el punto correspondiente a (] = O
hasta el punto correspondiente a (J = rr?
..¡z
R. t=S(e1l'-1)
e) Si (] = Ocuando t = O, halle la función vectorial que describa la trayectoria
de la partícula.
R. aet) =((~t+l)(coSlnC;t+l));sen (InC;t+l)))
CI - 11¡¡lIe ia curvatura k(rr) y la torsión T(rr) para la curva edescrita por
(( ( ,)
'4 3
(~ cos s ; 1 - sen s; - -= cos s I siendo s la iongitud de arco de Ía curva e.
:" ) J
I Sobre que superficie se encuentra ía curva e?
R. k(rr) = 1 , Terr) = O, 3x -r- 4z = O

37.- Halle el centro de la circunferencia de curvatura y el plano osculador de la
curva C: a(t) E ~3, t E ~ en a(O) = (O; O; 1), si se sabe que:
2 (t2
)
a' (O) = (O; O; 2), T' (l) = 9(2; 1; -2), T' (t) es paralelo a - t; 2" - 1; t Y
al/(t) =2tT(t) + 2N(t)
R. (O; 2; l),x =O.
38.- Halle y grafique el círculo de curvatura y una porción de la curva edescrita
por: a(t) = (t sen t + cos t; sen t - t cos t), t > O en un punto en donde el
vector tangente es paralelo al eje X.
39.- La curva ees la intersección del cilindro X2 + y2 + 2(y - x) - 2 = Ocon el
plano x - y - 2z - 2 =O. Halle la curvatura, torsión y el plano osculador en
el punto (3; -1; 1).
40.- Una partícula se desplaza en el plano ~2 a lo largo de la curva ede ecuación
y = ln(x + "';x2
- 1) ,X ~ 1 con rapidez constante (V3/2) mi seg. y parte
del punto (1; O) én el instante t = O. Halle la ecuación del círculo de curvatura
de een eO
I punto en que se encuentl la partícula después de haber transcurrido
2 seg desde su partida.
o 2 2
R. (x - 4)2 + (y+ V3 -ln(2 + V3)) = 16
41.- Sea C1 la curva descrita por la función
a(t) = (1 + t; e3
-
t
; ln(t2 + 2t + 1) -ln4) y C2 la curva descrita por
(J(t) = G;4M - 1; -In t)).Halle la tor~ión de la curva el en el punto
de intersección de C1 y C2 .
42.- Diga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifique su
respuesta.
a) Sea a(t) =(a1(t); a2(t); a3(t)) una función vectorial. Si t es la longitud
de arco, entonces los vectores a'(t) y al/(t) son ortogonales.
b) Si a: [a; b] -1 ~3 es una curva, tal que "a'Ct)" =1. entonces aCt) es una
circunferencia en ~3.
c) La curva a(t) = (2t2
; 1 - t; 3 + t 2
) interseca al plano
3x - 14y + z - 10 = Oen dos puntos. R. VFV

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