funciones vectoriales de variable real dominio, rango, limites y continuidad

1. 3 Funciones vectoriales de una variable real
3.1 Introducción
En R3
de…nimos la recta que pasa por el punto P0 y es paralela al vector a como
el conjunto fP0 + t aj t 2 Rg. En esta de…nición de una recta, a cada número
real t le corresponde el punto único P0 + t a de R3
. A esta correspondencia se
le llama función vectorial de una variable real, la cual se denota con el símbolo
f, y cuya regla de correspondencia es:
f(t) = P0 + t a = (x0 + t a1; y0 + t a2; z0 + t a3)
donde P0 = (x0; y0; z0) y a = (a1; a2; a3). El dominio de f es el conjunto de
todos los números reales y el rango de f es la recta que pasa por el punto P0 y
es paralela al vector a.
Cualquier función que tiene como dominio un conjunto de números reales y
como rango un conjunto de vectores o puntos, se denomina función vectorial de
una variable real. En este capítulo estudiaremos el cálculo diferencial e integral
para este tipo de funciones.
3.2 Funciones vectoriales de una variable real
De…nición 1 Una función vectorial de una variable real, denotada por f : R !
Rn
, es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango
es un conjunto de vectores o puntos de Rn
:
Por ejemplo,
f(t) = (1; 3; 2) + t(1; 1; 2) = (1 + t; 3 + t; 2 + 2t); Df = R
describe una función vectorial de una variable real. El rango de esta función es
una recta en R3
y la función es una correspondencia o transformación de puntos
sobre la recta real R en puntos sobre la recta que pasa por el punto (1; 3; 2) y es
paralela al vector (1; 1; 2). El punto t = 0 de R se transforma en f(0) = (1; 3; 2);
t = 1 se transforma en f( 1) = (0; 2; 0); etc.
Si de…nimos f(t) en términos de sus componentes tenemos f(t) = (f1(t); f2(t);
f3(t)) donde f1(t) = 1 + t, f2(t) = 3 + t y f3(t) = 2 + 2t. A las funciones f1,
f2 y f3 se les denomina funciones componentes de la función f; estas funciones
componentes son funciones reales de una variable real. Si I denota la función
identidad en los números reales, I(t) = t, entonces f1 = 1 + I, f2 = 3 + I y
f3 = 2 + 2I. De este modo, podemos escribir la función f en términos de sus
componentes como sigue:
f = (f1; f2; f3) = (1 + I; 3 + I; 2 + 2I):
En general, si el rango de f es un conjunto de vectores en Rn
, podemos
escribir
f = (f1; : : : ; fn)
1

2. donde fi es el i-ésimo componente de f(t). La función real fi con dominio Df se
llama la i-ésima función componente de la función vectorial f. De esta forma,
una función vectorial f con rango en Rn
de…ne n funciones reales f1; : : : ; fn
todas las cuales tienen como dominio a Df . Como veremos después, esta repre-
sentación de una función vectorial en términos de sus funciones componentes nos
permite aplicar a las funciones vectoriales las técnicas del cálculo desarrolladas
para las funciones reales de una variable real.
Ejemplo 1 Si f = (a cosh; b senh) donde a > 0 y b > 0, demuestre que el rango
de f es una rama de una hipérbola.
Solución. Un punto (x; y) pertenece al rango de f si y sólo si x = a cosh t y
y = b senh t para algún t 2 R. Así pues, si (x; y) 2 Rf
x2
a2
y2
b2
= cosh2
t senh2
t = 1:
Esto nos demuestra que si (x; y) 2 Rf entonces (x; y) está sobre la hipérbola de
ecuación
x2
a2
y2
b2
= 1; en realidad, (x; y) está sobre la rama derecha de esta
hipérbola ya que x = a cosh t > 0. Llamemos a esta rama de la hipérbola H.
Ahora bien, si (x; y) 2 H, entonces existe un número t tal que y = b senh t.
Usando la ecuación para H, obtenemos
x2
a2
= 1 + senh2
t = cosh2
t:
Como x > 0, concluimos que x = a cosh t. Lo que nos demuestra que si (x; y) 2
H, entonces (x; y) 2 Rf , y, por tanto, el rango de f es H.
Ejemplo 2 Dibuje el rango de f cuando
f(t) = (t; t; 2t2
) Df = [ 3; 3]:
Solución. El rango de f es el conjunto de puntos f(t)j f(t) = (t; t; 2t2
); t 2 [ 3; 3] .
Si escribimos f(t) = t(1; 1; 0)+t2
(0; 0; 2), vemos que f(t) es la suma de un vector
a lo largo de la recta y = x en el plano XY y un vector perpendicular al plano
XY . Así pues, el rango de f debe encontrarse en el plano de ecuación y = x.
También podemos ver esto del siguiente modo: Para cada punto (x; y; z) del
rango de f, x = t, y = t, z = 2t2
. Como el plano con ecuación y = x es el
conjunto de todos los puntos (x; y; z) de R3
tales que y = x, el rango de f debe
encontrarse en tal plano.
Si hacemos u = x sec 4 =
p
2x, entonces u es la distancia dirigida a lo largo
de la recta y = x en el plano XY . El rango de f es una parte de la parábola
z = u2
que se encuentra en el plano que contiene el eje Z y la recta y = x en el
plano XY (ver la …gura 1).
2

3. Figure 1: Rango de f(t) = (t; t; 2t2
):
3.2.1 Ejercicios
1. Proporcione una función del intervalo [0; 1] sobre el segmento rectilíneo
que une los puntos:
(a) ( 1; 2) y (3; 5)
(b) (1; 4; 7) y (3; 2; 1)
(c) P0 y P1 en Rn
2. Si f(t) = (a cos t; a sen t) donde a > 0 y Df = [0; 2 ], demuestre que el
rango de f es una circunferencia en R2
.
3. Si f(t) = (a cos t; b sen t) donde a > 0, b > 0 y Df = [0; 2 ], demuestre que
el rango de f es una elipse en R2
. Si a = 2 y b = 4, dibuje la elipse.
4. Si f = (3I; I2
), demuestre que el rango de f es una parábola en R2
.
5. Dibuje el rango de f cuando f(t) = (t; t; sen t), t 2 [0; 4 ].
3.3 El límite de una función vectorial
En esta sección extenderemos el concepto de límite de una función real de
una variable real a las funciones vectoriales de una variable real. El concepto
de límite para las funciones vectoriales tiene el mismo signi…cado intuitivo:
3

4. lim
t!a
f(t) = b signi…ca que f(t) puede hacerse arbitrariamente cercana al vec-
tor b tomando a t su…cientemente cerca de a, pero distinto de a. Como en Rn
la distancia de f(t) a b es jf(t) bj, la de…nición formal de lim
t!a
f(t) = b es:
De…nición 2 Se dice que el vector b es el límite de la función f en a, lo cual
se denota lim
t!a
f(t) = b o lim
a
f = b, si para cada número " > 0 existe un número
> 0 tal que siempre que t 2 Df y 0 < jt aj < entonces
jf(t) bj < ":
Nota: Siempre que consideremos el lim
a
f = b, se supondrá que a es un punto
de acumulación de Df .
Observe también, que lim
t!a
f(t) = b es equivalente a lim
t!a
jf(t) bj = 0; es
decir, cuando t se aproxima a a, f(t) se aproxima a b si y sólo si jf(t) bj se
aproxima a 0.
Para proporcionar un signi…cado geométrico a la de…nición de límite, intro-
ducimos la noción de vecindad de un punto en Rn
. Una vecindad de c de radio
r es el interior de la esfera n-dimensional de radio r y centro c:
S(c; r) = fxj jx cj < rg :
Consecuentemente, una vecindad en R es un intervalo abierto, es decir
S(c; r) = fxj jx cj < rg = (c r; c + r):
En R2
, una vecindad es el interior de un círculo y en R3
es el interior de una
esfera. Si omitimos el punto c de la vecindad S(c; r), obtenemos una vecindad
reducida de c la cual se denota S0
(c; r).
En términos de vecindades, la de…nición de lim
a
f = b es:
De…nición 3 lim
a
f = b signi…ca que para cada vecindad S(b; ") de b, existe
una vecindad reducida S0
(a; ) de a tal que f transforma S0
(a; ) en S(b; ").
Ejemplo 3 Si f = (3I; I2
), determine lim
2
f.
Solución. Para t próximo a 2, vemos que f(t) = (3t; t2
) está cerca de (6; 4).
Así, suponemos que lim
2
f = (6; 4). Para veri…car que lim
2
f = (6; 4), debemos
demostrar que para todo > 0 existe una > 0 tal que siempre que t 2 Df y
0 < jt 2j <
entonces
(3t; t2
) (6; 4) < ":
Ahora bien,
(3t; t2
) (6; 4) = (3t 6)2
+ (t2
4)2 1=2
;
4

5. Figure 2: Interpretación geométrica de lim
2
f:
por tanto (ver …gura 2)
(3t; t2
) (6; 4) < " si j3t 6j <
"
p
2
y t2
4 <
"
p
2
:
Como lim
t!2
3t = 6, existe una 1 > 0, por ejemplo 1 =
"
3
p
2
, tal que
j3t 6j <
"
p
2
siempre que 0 < jt 2j < 1:
Por otra parte, lim
t!2
t2
= 4 implica que existe una 2 > 0, por ejemplo 2 =
min 1;
"
5
p
2
tal que
t2
4 <
"
p
2
siempre que 0 < jt 2j < 2:
Luego, si = min ( 1; 2),
(3t; t2
) (6; 4) = (3t 6)2
+ (t2
4)2 1=2
<
"
"
p
2
2
+
"
p
2
2
#
= "
siempre que 0 < jt 2j < . Esto demuestra que limt!2(3t; t2
) = (6; 4).
Utilizando la …gura 2, damos una interpretación geométrica de la solución
del ejemplo 3. Si elegimos una tal que siempre que la distancia de t a 2 sea
5

6. menor que , las longitudes de los lados del rectángulo sean menores que "=
p
2.
Entonces, la longitud de la diagonal debe ser menor que ".
En el ejemplo 3 el límite de la función vectorial de una variable real es el
vector cuyos componentes son los límites de los correspondientes componentes
de la función. Esto es cierto para cualquier función vectorial y la prueba de este
hecho, esencialmente es el razonamiento utilizado en la solución del ejemplo 3.
Teorema 1 Sea b = (b1; : : : ; bn) 2 Rn
, f = (f1; : : : ; fn) una función de R
en Rn
, y a un punto de acumulación de Df . Entonces, lim
a
f = b si y sólo si
lim
a
fi = bi para i = 1; : : : ; n.
Prueba. Si lim
a
f = b, entonces para cualquier " > 0 existe un > 0 tal que
jf(t) bj =
" n
X
i=1
(fi(t) bi)
2
#1=2
< "
siempre que t 2 Df y 0 < jt aj < . De donde
jfi(t) bij < " para cada i = 1; : : : ; n
siempre que t 2 Df = Dfi
y 0 < jt aj < . Esto demuestra que lim
a
f = b
implica lim
a
fi = bi para i = 1; : : : ; n.
Si lim
a
fi = bi para i = 1; : : : ; n, entonces para cualquier " > 0 existe un
i > 0 tal que
jfi(t) bij <
"
p
n
siempre que t 2 Dfi y 0 < jt aj < i. Tomando = min ( 1; : : : ; n), tenemos
que
jf(t) bj =
" n
X
i=1
(fi(t) bi)
2
#1=2
<
" n
X
i=1
"
p
n
2
#1=2
= "
siempre que t 2 Df y 0 < jt aj < . Esto demuestra que lim
a
fi = bi para
i = 1; : : : ; n implica lim
a
f = b. Esto completa la prueba.
El teorema 1 nos dice que, si el límite existe, entonces
lim
a
f = lim
a
f1; : : : ; lim
a
fn :
Por tanto, esto signi…ca que el límite de una función vectorial f puede calcularse
utilizando los límites de las funciones componentes fi. Por ejemplo,
lim
t! 4
(t; sen t; tan t) = lim
t! 4
t; lim
t! 4
sen t; lim
t! 4
tan t
=
4
;
p
2
2
; 1
!
:
De…nimos a continuación algunas operaciones sobre funciones vectoriales.
6

7. De…nición 4 Si f y g son funciones vectoriales con rangos en Rn
y dominios
Df y Dg en R, entonces f + g, f g, f g y f g son funciones con dominios
Df Dg y reglas de correspondencia:
[f + g] (t) = f(t) + g(t)
[f g] (t) = f(t) g(t)
[f g] (t) = f(t) g(t)
[f g] (t) = f(t) g(t) (de…nida solamente en R3
):
Si f es una función vectorial y ' es una función real de una variable real,
entonces la función 'f está de…nida como sigue:
['f] (t) = '(t)f(t), D'f = D' Df :
Estas operaciones también pueden expresarse en términos de las funciones
componentes. Si f = (f1; : : : ; fn) y g = (g1; : : : ; gn) entonces para cualquier
t 2 Df Dg
[f + g] (t) = f(t) + g(t)
= (f1(t); : : : ; fn(t)) + (g1(t); : : : ; gn(t))
= ([f1 + g1] (t); : : : ; [fn + gn] (t)) :
Por tanto,
f + g = (f1 + g1; : : : ; fn + gn): (1)
De la misma manera podemos demostrar que
f g = (f1 g1; : : : ; fn gn) (2)
f g =
n
X
i=1
figi (3)
Si f = (f1; f2; f3) y g = (g1; g2; g3), entonces
f g = (f2g3 f3g2; f3g1 f1g3; f1g2 f2g1):
Observe que f g es una función real de variable real. Por ejemplo, si f =
(I; cos; sen) y g = (exp; I1=2
; I2
), entonces
f g = I exp + I1=2
cos +I2
sen;
es decir,
[f g] (t) = t et
+
p
t cos t + t2
sen t:
Como Df = R y Dg = [0; 1), entonces
Df g = Df Dg = [0; 1):
El teorema 1 nos permite probar algunos teoremas de límites de funciones
vectoriales utilizando los teoremas conocidos sobre límites de funciones reales.
7

8. Teorema 2 Si f y g son funciones vectoriales de una variable real tales que
lim
a
f = b y lim
a
g = c
y a es un punto de acumulación de Df Dg, entonces
lim
a
[f + g] = lim
a
f + lim
a
g = b + c
lim
a
[f g] = lim
a
f lim
a
g = b c
lim
a
[f g] = lim
a
f lim
a
g = b c
lim
a
[f g] = lim
a
f lim
a
g = b c (sólo para R3
).
Prueba. Probaremos solamente el límite de una suma. Las pruebas de los
límites para las otras funciones son semejantes. Si f = (f1; : : : ; fn) y g =
(g1; : : : ; gn),
lim
a
[f + g] = lim
a
(f1 + g1; : : : ; fn + gn)
= lim
a
(f1 + g1) ; : : : ; lim
a
(fn + gn)
= lim
a
f1 + lim
a
g1; : : : ; lim
a
fn + lim
a
gn
= lim
a
f1 + + lim
a
fn + lim
a
g1 + + lim
a
gn
= lim
a
(f1; : : : ; fn) + lim
a
(g1; : : : ; gn)
= lim
a
f + lim
a
g:
Teorema 3 Si f es una función vectorial y ' es una función real y
lim
a
f = b y lim
a
' = r
a es un punto de acumulación de D'f , entonces
lim
a
('f) = lim
a
' lim
a
f = rb:
Prueba. Si f = (f1; : : : ; fn), entonces
lim
a
('f) = lim
a
(' f1; : : : ; ' fn)
= lim
a
(' f1) ; : : : ; lim
a
(' fn)
= lim
a
' lim
a
f1; : : : ; lim
a
' lim
a
fn
= lim
a
' lim
a
f1; : : : ; lim
a
fn
= lim
a
' lim
a
f:
8

9. El teorema 2 nos dice que para las funciones vectoriales el límite de la suma
es la suma de los límites, el límite de la diferencia es la diferencia de los límites,
el límite del producto escalar es el producto escalar de los límites y el límite
del producto vectorial es el producto vectorial de los límites, siempre y cuando
los límites de las funciones existan. El teorema 3 a…rma que el límite de una
función real por una función vectorial es el límite de la función real multiplicada
por el límite de la función vectorial, si los límites de estas funciones existen.
Nota: Los teoremas 2 y 3 pueden probarse utilizando la de…nición de límite.
Las pruebas habrían sido análogas a las pruebas correspondientes para funciones
reales, ya que la longitud de un vector tiene las mismas propiedades básicas que
el valor absoluto de un número real.
A continuación de…nimos los límites laterales.
De…nición 5 El límite de f a la izquierda de a, lo que se escribe lim
t!a
f(t) = b,
si para todo " > 0 existe un > 0 tal que
jf(t) bj < "
siempre que t 2 Df (a ; a).
De…nición 6 El límite de f a la derecha de a, lo que se escribe lim
t!a+
f(t) = b,
si para todo " > 0 existe un > 0 tal que
jf(t) bj < "
siempre que t 2 Df (a; a + ).
3.3.1 Ejercicios
1. Si f(t) = (t; t2
), calcule y marque la posición de f(0:9), f(0:99), f(0:999),
f(1:1), f(1:01), f(1:001). Utilice la de…nición 2 para veri…car que lim
t!1
f(t) =
(1; 1).
2. Determine lim
a
f (si es que existe), cuando
(a) f = (I1=2
; I2
; sen), a = 2
(b) f(t) = ln t;
p
1 + t2;
2t
4 t2
, a = 2
(c) f(t) =
1
1 + t2
;
1 + 2t
t2
; 3t2
, a = 3
3. Si f(t) = ([t] ; t), determine lim
t!2
f(t) y lim
t!2+
f(t).
4. Si f(t) = (t; t2
; t3
), determine lim
h!0
f(t + h) f(t)
h
9

10. 3.4 Continuidad
La extensión de la noción de continuidad de las funciones reales a la de funciones
vectoriales es muy natural y directa como la extensión del concepto de límite.
De…nición 7 La función f es continua en el punto a 2 Df si para cada " > 0
existe una > 0 tal que
jf(t) f(a)j < "
siempre que t 2 Df y jt aj < .
Si a no es un punto de acumulación de Df , entonces f es continua en el
punto a, pues en este caso hay una > 0 tal que a es el único punto en Df
(a ; a + ) y, entonces para cualquier " > 0, jf(t) f(a)j < " siempre que
t 2 Df (a ; a + ).
Si a es un punto de acumulación de Df , entonces la de…nición 7 es equivalente
a: la función f es continua en el punto a 2 Df si
lim
t!a
f(t) = f(a):
El teorema siguiente es una consecuencia inmediata del teorema 1 (página
6).
Teorema 4 Si f = (f1; : : : ; fn) y a 2 Df , entonces f es continua en el punto a
si y sólo si fi es continua en el punto a, para todo i = 1; : : : ; n.
Prueba. Si a no es un punto de acumulación de Df , entonces la prueba es
inmediata (recuerde que para todo i, Dfi
= Df ). Supongamos que a es un
punto de acumulación de Df . Según el teorema 1, limt!a f(t) = f(a) si y sólo
si limt!a fi(t) = fi(a) para todo i = 1; : : : ; n. Esto completa la prueba.
De este modo, la continuidad de una función vectorial en un punto a puede
determinarse comprobando la continuidad de las funciones componentes en a.
Por ejemplo, la función f = (I; cos; sen) es continua en todos los puntos de R.
El teorema siguiente es una consecuencia de los teoremas de límite 2 y 3.
Teorema 5 Si las funciones f y g son continuas en a, entonces f + g, f g,
f g y f g son continuas en a. Si f y ' son continuas en a, entonces 'f es
continua en a.
Prueba. Probaremos solamente que f + g es continua en a. Las pruebas para
las demás funciones son análogas. Si a no es un punto de acumulación de Df+g,
entonces f + g es continua en a. Si a es un punto de acumulación de Df+g,
entonces a es un punto de acumulación de Df y de Dg y limt!a f(t) = f(a) y
limt!a g(t) = g(a). De acuerdo con el teorema 2, tenemos
lim
t!a
[f + g] (t) = lim
t!a
f(t) + lim
t!a
g(t)
= f(a) + g(a) = [f + g] (a):
Luego f + g es continua en a.
10

11. De…nición 8 La función f es continua en un conjunto S Df si la función
restringida fS es continua en todos los puntos de S.
Por función restringida fS, donde S Df , entendemos la función con do-
minio S y regla de correspondencia fS(t) = f(t) para todo t 2 S.
En la mayoría de los casos el conjunto S es un intervalo. Si S es un intervalo
abierto, la de…nición 8 es equivalente a: la función f es continua en el intervalo
abierto I si f es continua en todo punto de I. Si S es un intervalo cerrado, la
de…nición 8 es equivalente a: la función f es continua en el intervalo cerrado
[a; b] si f es continua en el intervalo abierto (a; b) y limt!a+ f(t) = f(a) y
limt!b f(t) = f(b).
Una función se llama continua si es continua en todo punto de su dominio.
3.4.1 Ejercicios
1. Encuentre los puntos (si los hay) donde las funciones siguientes no son
continuas y dibuje el rango de cada función.
(a) f = (exp; I), Df = [0; 2]
(b) f(t) =
8
<
:
t;
sen t
t
; t 2 (0; )
(0; 1); t = 0
2. Si f(t) = (jtj ; 2 jtj ; t), t 2 [ 2; 2] y
g(t) =
( t; 2t; t); t 2 [ 2; 0]
(2 t; 4 2t; 2 t); t 2 (0; 2]
;
dibuje el rango de f y g.
3.5 Curvas
El término curva tiene signi…cados distintos en diferentes áreas de la matemática.
Aquí, le asignaremos un signi…cado apropiado para el estudio de las funciones
vectoriales. Una posibilidad es la de de…nir una curva como el rango de una fun-
ción vectorial continua que tiene como dominio un intervalo. Llamamos a esto
una curva de puntos. Esta de…nición es apropiada para la geometría analítica.
Ejemplos de curvas de puntos son: la recta, la parábola, la elipse, etc. estudiadas
en la geometría analítica.
Si g es una función real continua con un intervalo I como dominio, entonces,
si hacemos f = (I; g) vemos que la grá…ca de g, f(t; g(t)j t 2 Ig es el rango de
f y, por tanto, puede considerarse como una curva de puntos en R2
. Sin em-
bargo, cuando se discuten las tangentes a la grá…ca se hace uso de la descripción
analítica de ésta. En este contexto la grá…ca es más que solamente un conjunto
de puntos. Es un conjunto de puntos trazado en la forma descrita por la fun-
ción f = (I; g); es decir, f(t) va trazando el conjunto de puntos de izquierda a
derecha a medida que t aumenta sobre el intervalo I.
11

12. Consideremos ahora el problema de describir el movimiento en el espacio de
una partícula durante un intervalo de tiempo [a; b]. Con cada punto t de [a; b]
asociamos el punto f(t) que es la posición de la partícula en ese instante con
relación a un sistema de coordenadas rectangulares establecido. De esta forma,
el movimiento de la partícula queda descrito por la función vectorial f de dominio
[a; b] y rango en R3
. Además, la función f es continua, pues en mecánica clásica
se supone que una partícula no puede cambiar instantáneamente su posición;
es decir, si la partícula está en el punto P0 = f(t0) en el instante t0 y S(P0; ")
es una vecindad de P0, entonces existe un intervalo abierto para el tiempo
(t0 ; t0 + ) durante el cual la partícula permanece en la vecindad S(P0; ").
En problemas como este, la curva de puntos que es el rango de f no nos da
una descripción adecuada del movimiento de la partícula. Claramente, la misma
curva de puntos puede haber sido trazada de modos diferentes; en diferentes
direcciones y con diferentes velocidades. Para describir la forma en que se ha
trazado la trayectoria de la partícula debemos conocer cuál es la función f, no
sólo su rango.
De…nimos por ello una curva-trayectoria como una función vectorial continua
con un intervalo como dominio. En este capítulo trataremos casi exclusivamente
con curvas-trayectoria y, por ello, emplearemos simplemente el término curva
para indicar curva-trayectoria. Por tanto, una curva es una función f. Sin
embargo, como el término curva debe tener una connotación geométrica, debe-
mos imaginarla como la curva de puntos trazada en la forma descrita por f.
Denotaremos la curva por C y diremos que C es la curva descrita por f.
Como una curva está descrita por una función continua, no puede haber
interrupciones o huecos en su trazo. Por ejemplo, el conjunto dibujado en la
…gura 3 no es una curva de acuerdo con la de…nición que hemos aceptado.
Supongamos que este conjunto fuera una curva descrita por la función continua
f = (f1; f2) con el intervalo I como dominio. Entonces f1 y f2 serían continuas
en I. De acuerdo con el teorema del valor intermedio para las funciones reales
de una variable real, f1 y f2 transforman intervalos en otros intervalos. Sin
embargo, en la …gura 3 vemos que f2 no transforma el intervalo [t1; t2] en otro
intervalo.
Ejemplo 4 Proporcione una descripción geométrica de la curva C descrita por
f, donde f(t) = (cos t; sen t) y Df = [0; 2 ].
Solución. La curva de puntos que es el rango de f es la circunferencia de radio
uno con centro en el origen, (x; y)j x2
+ y2
= 1 . A medida que t toma valores
de 0 a 2 , el punto f(t) va recorriendo C, la circunferencia, en dirección contraria
al giro de las manecillas del reloj desde f(0) = (1; 0) hasta f(2 ) = (1; 0). La
curva C también puede describirse con las ecuaciones paramétricas:
x = cos t, y = sen t, t 2 [0; 2 ]:
La variable t se llama parámetro, y estas ecuaciones se denominan ecuaciones
paramétricas de la curva C.
12

13. Figure 3: Ejemplo de un conjunto que no es una curva.
Ejemplo 5 Trace la curva dada por las ecuaciones paramétricas:
x = cos t, y = sen t, z = 1
2 t; t 2 [0; 4 ]:
Solución. La distancia del eje Z a un punto (x; y; z) cualquiera de la curva es
p
x2 + y2 =
p
cos2 t + sen2 t = 1:
Así, la curva debe encontrarse sobre el cilindro circular recto con base de radio
1 y el eje Z como eje (ver …gura 4). A medida que t aumenta de 0 a 4 , el punto
(x; y; z) = (cos t; sen t; 1
2 t) se mueve desde (1; 0; 0) hasta (1; 0; 2 ) girando en
dirección contraria al giro de las manecillas del reloj, cuando se ve desde arriba,
y moviéndose hacia arriba sobre la super…cie del cilindro. Esta curva es un arco
de hélice cilíndrica. Esta función f también puede escribirse en términos de los
vectores unitarios i, j y k como f(t) = (cos t) i + ( sen t) j + (1
2 t) k.
Ejemplo 6 Proporcione una función que tenga como rango la curva de puntos
trazada por un punto P de una circunferencia cuando la circunferencia rueda
sin deslizamiento sobre una recta. Esta curva de puntos se llama cicloide.
Solución. (Ver la …gura 5) Supongamos que la recta sobre la que la circunfer-
encia rueda es el eje X y sea P el punto de la circunferencia que se encuentra
sobre el eje X cuando el centro de la circunferencia está sobre el eje Y . Sea
la medida en radianes del ángulo que forma el vector P C con la dirección
negativa del eje Y y sea ' el ángulo que forma la dirección positiva del eje X
con P C. Como C = (a ; a) y ' + = 3
2 , tenemos
13

14. Figure 4: Curva de…nida por x = cos t, y = sen t, z = 1
2 t.
Figure 5: Grá…ca de la cicloide.
14

15. (x; y) = P = C + (a cos '; a sen ')
= (a ; a) + ( a sen ; a cos )
= a( sen ; 1 cos ):
Por tanto, la cicloide es el rango de la función f donde
f( ) = a( sen ; 1 cos ):
3.5.1 Ejercicios
1. Proporcione las descripciones geométricas y los dibujos de las grá…cas para
las siguientes funciones:
(a) f(t) = e t
(cos 2 t; sen 2 t)
(b) f(t) = e t
(sen 2 t; cos 2 t)
(c) f(t) = (1 sen t; 2 + sen t; 2 sen t)
2. Dibuje la curva descrita por
f(t) = cos t i + 2 cos t j + sen t k; t 2 [0; 2 ]:
3. Dibuje el arco de hélice cónica descrita por
f( ) = cos ; sen ;
2
; 2 [0; 2 ]:
4. Proporcione una función que tenga como rango la curva de puntos trazada
por un punto P sobre una circunferencia de radio 1, cuando esta circun-
ferencia rueda sobre el lado interior de un círculo de radio 4 y dibuje la
curva. A esta curva de puntos se le llama hipocicloide.
5. Un punto P en el primer cuadrante de R2
se mueve de tal forma que su
distancia al origen es igual a la pendiente t de la recta que va del origen
a P. Proporcione una representación paramétrica de la curva trazada por
P usando t como parámetro y dibuje la curva.
3.6 La derivada
Si f es una función vectorial de una variable real, de…nimos la derivada de f
esencialmente en la misma forma en que se de…ne la derivada de una función
real de una variable real.
15

16. De…nición 9 La derivada de una función vectorial f es la función vectorial f0
cuya regla de correspondencia es
f0
(t) = lim
h!0
f(t + h) f(t)
h
y cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales t para los que el límite
existe.
Si t es un número real en el dominio de f0
, entonces se dice que f es derivable
o diferenciable en t.
Aplicando el teorema 1 (página 6), obtenemos la siguiente regla para calcular
la derivada de una función vectorial: la derivada de la función f es la función
vectorial cuyos componentes son las derivadas de las componentes de f.
Teorema 6 Si f = (f1; : : : ; fn), entonces
f0
= (f 0
1 ; : : : ; f 0
n);
donde el dominio de f0
es la intersección de los dominios de las derivadas
f 0
1 ; : : : ; f 0
n.
Prueba. De acuerdo con el teorema 1, sabemos que
lim
h!0
f(t + h) f(t)
h
= lim
h!0
f1(t + h) f1(t)
h
; : : : ;
fn(t + h) fn(t)
h
existe si y sólo si cada uno de los límites
lim
h!0
fi(t + h) fi(t)
h
(i = 1; : : : ; n)
existe. Esto prueba que el dominio de f0
es la intersección de los dominios de
f 0
1 ; : : : ; f 0
n. Si t está en el dominio de f0
, entonces usando de nuevo el teorema 1
concluimos que
f0
(t) = (f 0
1 (t); : : : ; f 0
n(t));
es decir, que
f0
= (f 0
1 ; : : : ; f 0
n):
Ejemplo 7 Determine f0
cuando
1. f = (cos; sen)
2. f(t) = (t; 2 t3
; 4 ln(1 t)), t < 1
3. f(t) = e t
(1; cos !t; sen !t):
Solución.
16

17. Figure 6: Interpretación geométrica de f 0
.
1. f0
= ( sen; cos)
2. f0
(t) = 1; 3t2
;
4
(1 t)
, t < 1
3. Como f(t) = (e t
; e t
cos !t; e t
sen !t), entonces
f0
(t) = e t
; e t
( cos !t ! sen !t); e t
( sen !t + ! cos !t)
= e t
(1; cos !t; sen !t) + e t
(0; ! sen !t; ! cos !t) :
Damos ahora una interpretación geométrica de la derivada de una función
vectorial. Sea C la curva descrita por la función vectorial f cuyo dominio es I.
Si t y t + h están en I (h 6= 0), entonces
1
h
[f(t + h) f(t)]
es un vector paralelo a la cuerda que une f(t) con f(t + h) (ver la …gura 6).
Si f es diferenciable en t y f0
(t) 6= 0, entonces la dirección del vector
1
h
[f(t + h) f(t)]
se aproxima a la dirección de f0
(t) cuando t se aproxima a cero, puesto que
f0
(t) = lim
h!0
f(t + h) f(t)
h
:
17

18. Por lo tanto, es natural dar la siguiente de…nición:
De…nición 10 Si C es una curva descrita por f(t) y si f0
(t) existe y es distinta
del vector cero, entonces f0
(t) se llama vector tangente a la curva C en el punto
f(t), y la recta
L = ff(t) + r f0
(t)j r 2 Rg
se llama recta tangente a la curva C en el punto f(t).
El vector tangente f0
(t) apunta en la dirección en que la curva va siendo
trazada por f(t) cuando t aumenta.
El ejemplo siguiente muestra que la de…nición de recta tangente a una curva
es una extensión del concepto de recta tangente a la grá…ca de una función real
de una variable real.
Ejemplo 8 Si C es la grá…ca de la función real g, demuestre que g0
(x) es la
pendiente de la recta tangente (ver de…nición 10) en el punto (x; g(x)) de C.
Solución. C es la curva descrita por la función f = (I; g). Luego, f0
= (1; g0
) y
la recta tangente en el punto (x; g(x)) de C es
L = f(x; g(x)) + r(1; g0
(x))j r 2 Rg :
La pendiente de L es g0
(x).
Introducimos a continuación otra notación para la derivada. Si la curva está
descrita por la transformación f del intervalo I, entonces C = fxj x = f(t); t 2 Ig
y decimos que C está descrita por la ecuación paramétrica
x = f(t):
Sea
d x
dt
= f0
(t):
Si C es una curva en el espacio tridimensional, entonces tiene una ecuación
x = (x; y; z) = f(t)
y
d x
dt
= (
d x
dt
;
d y
dt
;
d z
dt
) = f0
(t):
Ejemplo 9 Encuentre la recta tangente a la hélice cilíndrica (…gura 4, página
14) descrita por las ecuaciones paramétricas
x = cos t
y = sen t
z = 1
2 t; t 2 ( 1; 1)
en el punto 0; 1;
4
.
18

19. Solución. Observe que el punto 0; 1;
4
corresponde a t =
2
. La curva C
está descrita por la ecuación
(x; y; z) = cos t; sen t; 1
2 t = f(t):
Entonces
f0
(t) =
d x
dt
;
d y
dt
;
d z
dt
= sen t; cos t; 1
2
y
f0
2
= 1; 0; 1
2 :
Por tanto, la recta tangente a C en 0; 1;
4
es
L =
n
0; 1;
4
+ r 1; 0; 1
2 r 2 R
o
por lo que las ecuaciones paramétricas de L son
x = r
y = 1
z =
4
+
1
2
r; r 2 ( 1; 1):
Los ejemplos siguientes ilustran la manera en que puede utilizarse la derivada
como una ayuda para el dibujo de una curva.
Ejemplo 10 Dibuje la curva C descrita por
f = (I3
4I; I2
4):
Solución. Como f1 = I3
4I es una función impar y f2 = I2
4 es una
función par, la curva es simétrica respecto al eje Y ; si f(t0) = (x0; y0) entonces
f( t0) = ( x0; y0). Entonces podemos restringir nuestra atención a valores
no negativos de t. Como f0
= (3I2
4; 2I), la curva tiene un vector tangente
f0
(t) = 3t2
4; 2t en cada punto f(t). Al dibujar C los puntos donde f0
(t) es
horizontal (con segunda componente cero) o vertical (con primera componente
cero) son de interés particular. En f(0) = (0; 4) la curva tiene un vector
tangente horizontal f0
(0) = ( 4; 0) y en f 2
p
3
= 16
9
p
3; 8
3 la curva tiene
un vector tangente vertical f0 2
p
3
= 0; 4
3
p
3 . Considerando la expresión
general del vector tangente
f0
(t) = 3t2
4; 2t ;
tenemos:
Si t 2 0; 2
3
p
3 , entonces f0
(t) apunta hacia la izquierda y hacia arriba puesto
que 3t2
4 es negativa y 2t es positiva.
19

20. Figure 7: Curva de f = (I3
4I; I2
4).
Si t 2 2
3
p
3; 1 , entonces f0
(t) apunta hacia la derecha y hacia arriba puesto
que 3t2
4 es positiva y 2t es positiva.
Marcando algunos puntos (entre los que deben incluirse todas las intersec-
ciones con los ejes de coordenadas) podemos dibujar C (ver la …gura 7). Algunos
de estos puntos son: f(0) = (0; 4), f 2
3
p
3 = 16
9
p
3; 8
3 , f(2) = (0; 0),
f(5
2 ) = 45
8 ; 9
4 . El punto (0; 0) se llama punto doble de C: f( 2) = f(2) = (0; 0).
Observe que C tiene dos vectores tangentes en este punto: f0
( 2) = (8; 4) y
f0
(2) = (8; 4).
Observe que en la de…nición 10 no se de…ne ningún vector vector tangente
en el punto f(t) si f0
(t) = 0. En tal punto puede suceder que la curva tenga un
cambio de dirección abrupto. Ilustramos esto en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 11 Dibuje la curva C descrita por
f(t) =
t2
1 + t2
;
t3
1 + t2
; t 2 ( 1; 1):
Solución. Como f1 es una función par y f2 es una función impar, C es simétrica
con respecto al eje X; si f(t0) = (x0; y0) entonces f( t0) = (x0; y0). Con-
siderando el vector tangente
f0
(t) =
2t
(1 + t2)
2 ;
t4
+ 3t2
(1 + t2)
2
!
;
20

21. Figure 8: Curva descrita por f(t) = t2
1+t2 ; t3
1+t2 .
vemos que C no tiene tangentes horizontales ni verticales. Sin embargo f0
(0) = 0.
Investigamos ahora el comportamiento de C en el punto f(0) = (0; 0). Escribi-
endo
f0
(t) =
t
(1 + t2)
2 2; t3
+ 3t ;
vemos que, para t < 0, f0
(t) tiene la misma dirección que 2; t3
+ 3t y para
t > 0, f0
(t) tiene la misma dirección que 2; t3
+ 3t . Como
lim
t!0
2; t3
+ 3t = ( 2; 0) y lim
t!0+
2; t3
+ 3t = (2; 0);
la curva tiene un cambio abrupto de dirección en f(0) (ver …gura 8).
A tal punto se le llama cúspide o punto cuspidal. La recta x = 1 es una
asíntota vertical de C:
lim
t!1
t2
1 + t2
= 1 y lim
t!1
t3
1 + t2
= 1:
Si una función f describe el movimiento de una partícula durante un intervalo
de tiempo I (es decir, para cualquier t 2 I, f(t) es la posición de la partícula
en el tiempo t), entonces f0
(t) es la velocidad y jf0
(t)j es la rapidez o velocidad
modular de la partícula en el instante t.
Así, f0
(t) = 0 signi…ca que la partícula tiene velocidad cero en el instante
t. Como hemos visto, puede que haya un cambio abrupto de dirección en la
21

22. trayectoria en el punto f(t). Sin embargo, no es este necesariamente el caso. Por
ejemplo, supongamos que f = (I3
; I3
). Entonces, f0
= (3I2
; 3I2
) y f0
(0) = 0.
La curva descrita por f es la recta con ecuación y = x trazada de izquierda a
derecha cuando t aumenta. El hecho de que f0
(0) = 0 signi…ca que la partícula
se detiene en el origen.
3.6.1 Ejercicios
1. Determine f0
cuando
(a) f = (I1=3
; 3I2
; sen)
(b) f = (exp; senh; cosh)
(c) f(t) = ln t2
+ 1 ;
p
t2 + 1;
2t
t2 + 1
(d) f(t) =
e2t
; t2
sen 1
t ; t 6= 0
(1; 0); t = 0
2. Pruebe que si f es diferenciable en el punto t, entonces f es continua en t.
3. Encuentre un vector tangente y la recta tangente a
(a) la elipse con ecuaciones paramétricas
x = 4 cos
y = 3 sen ; 2 [0; 2 ]:
en los puntos (0; 3), (2
p
2; 3
2
p
2), (4; 0).
(b) la hélice cónica de representación paramétrica
f( ) = cos ; sen ;
2
en los puntos (0; 0; 0), 0; 2 ; 1
4 :
4. Trace la curva C descrita por la función f en cada uno de los casos que
siguen. Encuentre todos los puntos en que C tiene un vector tangente
horizontal o vertical.
(a) f = (I3
; I2
+ 2I)
(b) f = (I4
4I; I3
)
(c) f(t) = (cos t; sen 3t) ; t 2 [0; 2 ]
(d) f(t) = (cos 2t; cos 2t tan t) ; t 2 3 ; 3
5. Trace la curva C descrita por la función f en cada uno de los casos que
siguen. Encuentre todos los puntos en que C tiene un vector tangente
paralelo a uno de los planos coordenados.
22

23. (a) f(t) = (sen t; cos t; sen 3t)
(b) f(t) = (sen 2t; cos t; sen 3t)
6. Trace la curva C descrita por la función f en cada uno de los casos que
siguen. Determine todos los puntos de C en que f0
(t) = 0 y analice el
comportamiento de C en estos puntos.
(a) f(t) = t2
; t3
; t 2 [ 1; 1]
(b) f(t) = t3
; t5
; t 2 [ 1; 1]
(c) f(t) = t4
2t2
; t3
; t 2 [ 1; 1]
3.7 Teoremas de derivación
Se dice que una función es diferenciable en un punto si la derivada de la función
existe en dicho punto. De…nimos a continuación lo que signi…ca la diferencia-
bilidad en un intervalo.
De…nición 11 La función f es diferenciable en el intervalo abierto (a; b) si f
es diferenciable en cada punto de (a; b).
De…nición 12 La función f es diferenciable en el intervalo cerrado [a; b] si f
es diferenciable en el intervalo abierto (a; b) y si existen las siguientes derivadas
laterales en los puntos extremos:
f0+
(a) = lim
h!0
f(a + h) f(a)
h
y
f0
(b) = lim
h!0
f(b + h) f(b)
h
:
El teorema siguiente es una simple consecuencia de las de…niciones de con-
tinuidad y diferenciabilidad en un intervalo.
Teorema 7 Si la función f es diferenciable en un intervalo I, entonces f es
continua en I.
En el cálculo de funciones vectoriales las reglas de derivación son semejantes
a las existentes para las funciones reales de una variable real. Por ejemplo, la
derivada de una suma es la suma de las derivadas. Antes de presentar estas reglas
introducimos la notación que nos permite formularlas de un modo conveniente.
Hagamos f0
= D f; D es una función (operador) cuyo valor en f es f0
. Las
funciones cuyo dominio y rango son conjuntos de funciones se llaman operadores.
De ahora en adelante diremos que la función f0
se obtiene cuando aplicamos el
operador D a f.
23

24. Teorema 8 Si las funciones f, g y ' son diferenciables en un intervalo I,
entonces f + g, f g, f g, f g y 'f son diferenciables en I, y en I,
D(f + g) = Df + Dg
D(f g) = Df Dg
D(f g) = f Dg + Df g
D(f g) = f Dg + Df g
D('f) = ' (Df) + (D') f:
Prueba. Probaremos solamente D(f g). Las pruebas de las otras reglas son
análogas. Si f = (f1; f2; f3) y g = (g1; g2; g3), entonces
f g = (f2g3 f3g2; f3g1 f1g3; f1g2 f2g1):
Por el teorema 6, página 16, en el intervalo I,
D (f g) = (D(f2g3 f3g2); D(f3g1 f1g3); D(f1g2 f2g1))
= (f2 Dg3 + g3 Df2 f3Dg2 g2 Df3; f3 Dg1 + g1 Df3
f1Dg3 g3 Df1; f1 Dg2 + g2 Df1 f2Dg1 g1 Df2)
= (f2 Dg3 f3Dg2; f3 Dg1 f1Dg3; f1 Dg2 f2Dg1)
+ (g3 Df2 g2 Df3; g1 Df3 g3 Df1; g2 Df1 g1 Df2)
= (f1; f2; f3) (Dg1; Dg2; Dg3) + (Df1; Df2; Df3) (g1; g2; g3)
= f Dg + Df g:
Nota: Como el producto vectorial no es conmutativo, se debe tener cuidado
en escribir en el orden correcto los factores de la fórmula para la derivada del
producto vectorial. Esta fórmula únicamente es válida en R3
: Las otras reglas
se veri…can para funciones vectoriales con rango en Rn
.
Ejemplo 12 Demuestre que si jfj es una constante, entonces f(t) y f0
(t) son
ortogonales para todo t 2 Df .
Solución. Para todo t 2 Df ,
f(t) f(t) = jf(t)j
2
= jfj
2
(t):
Por tanto, si jfj = c
f f = jfj
2
= c2
y
D (f f) = f Df + Df f = 2 f Df = 0:
Esto demuestra que para todo t 2 Df , f(t) f0
(t) = 0; es decir, que f(t) y f0
(t)
son ortogonales para todo t 2 Df .
24

25. También se utilizan los símbolos Dt y
d
dt
para denotar la derivada de una
función vectorial:
Dtf(t) =
d
dt
f(t) =
df
dt
= f0
(t);
es decir, si f(t) es la regla de correspondencia para f, entonces
Dtf(t) =
d
dt
f(t)
denota la regla de correspondencia para f0
.
Sea f una función diferenciable que describe la circunferencia C(P0; r) con
centro en P0 y radio r. Para todo t 2 Df , jf(t) P0j = r y, por tanto, de
acuerdo con el ejemplo 12, f(t) P0 es ortogonal a
Dt [f(t) P0] = Dtf(t) DtP0 = f0
(t);
es decir, el radio trazado desde P0 al punto f(t) sobre la circunferencia es or-
togonal al vector tangente en este punto.
Ejemplo 13 Si f = (I; cos; sen) y ' = exp 2I, determine D('f).
Solución. Como ' es una función real de una variable real compuesta, tenemos
'(t) = [exp 2I] (t) = exp(2t) = e2t
y D' = R. La fórmula para la derivada de f g, llamada regla de la cadena, es
(f g)
0
= (f 0
g) g0
:
Por tanto, D(exp 2I) = 2(exp 2I); es decir, '0
(t) = 2e2t
.
Ahora, como las funciones f y ' son diferenciables en R y
D(' f) = ' (Df) + (D') f
= [exp 2I] (1; sen; cos) + [2 exp 2I] (I; cos; sen)
= [exp 2I] (1 + 2I; 2 cos sen; cos +2 sen);
es decir, para todo t 2 R,
Dt [' f] (t) = e2t
(1 + 2t; 2 cos t sen t; cos t + 2 sen t) :
De…nimos a continuación la composición de una función vectorial f con una
función real ' para después estudiar algunas propiedades de esta composición.
De…nición 13 Si ' es una función real de una variable real y f es una función
vectorial de una variable real, f ' es la función función vectorial de una variable
real con regla de correspondencia
[f '] (t) = f('(t))
y dominio Df ' = ft 2 D'j '(t) 2 Df g.
25

26. Si t 2 Df ' y f = (f1; : : : ; fn), entonces
[f '] (t) = f('(t)) = (f1('(t)); : : : ; fn('(t)))
= ([f1 '] (t); : : : ; [fn '] (t)) :
Por tanto,
f ' = (f1 '; : : : ; fn ') :
Teorema 9 Si ' es continua en t0 y f es continua en '(t0), entonces f ' es
continua en t0.
Prueba. De acuerdo con el teorema 4, página 10, f ' es continua en t0 si y
sólo si fi ' (i = 1; : : : ; n) es continua en t0. Como ' es continua en t0 y fi es
continua en '(t0), sabemos por la teoría de las funciones reales de variable real
que fi ' es continua en t0. Esto completa la prueba.
Teorema 10 Si ' es diferenciable en un intervalo I y f es diferenciable en un
intervalo que contiene a '(I) = f'(t)j t 2 'g, entonces f ' es diferenciable en
I y
D (f ') = [(Df) '] D' en I:
Prueba. Según el teorema 6, página 16, en el intervalo I,
D (f ') = (D(f1 '); : : : ; D(fn ')) :
De acuerdo con la regla de la cadena para funciones reales de variable real, para
i = 1; : : : ; n, tenemos
D(fi ') = [(Dfi) '] D' en I:
Así,
D (f ') = ([(Df1) '] D'; : : : ; [(Dfn) '] D')
= ([(Df1) '] ; : : : ; [(Dfn) ']) D'
= [(Df) '] D':
Esto completa la prueba.
Podemos escribir la fórmula del teorema 10 en la forma
Dtf('(t)) = '0
(t)f0
('(t)):
La generalización del teorema del valor medio a las funciones vectoriales de
una variable real es la siguiente:
Teorema 11 Si f es continua en [a; b] y es diferenciable en (a; b) entonces
existen ci 2 (a; b) tales que
f(b) f(a) = (b a)(f 0
1(c1); : : : ; f 0
n(cn)):
Prueba. La hipótesis sobre f implica que cada componente fi es una función
continua en [a; b] y diferenciable en (a; b). La conclusión del teorema se sigue de
la aplicación del teorema del valor medio de funciones reales de variable real a
cada componente fi de f.
26

27. 3.7.1 Ejercicios
1. Si
f(t) = t; t2
; 1
3 t3
; t 2 [0; 1)
g = (cos; sen; I)
'(t) = e t
; t 2 [0; 1)
determine:
(a) f0
(b) g0
(c) f00
(d) D2
t g(t)
(e) D(f + g)
(f) (f g)0
(g) D(f g)
(h) D('f)
(i) 'f0
(j) D(f ')
(k)
d
dt
g(t2
)
(l) D jfj
2
(m) D (jfj)
2. Determine
(a) Dt(a cos !t; a sen !t)
(b) D2
t (a cos !t; a sen !t)
3. ¿Cuál es el dominio y regla de correspondencia para
(a) D (jfj)
(b) D
f
jfj
?
4. Supongamos que una curva de puntos C está descrita por la función f de
[a; b] y por la función g de [0; b a], donde g(u) = f(b u). ¿Cuál es la
relación entre los vectores tangentes determinados por f y g, en cualquier
punto de la curva?
27

28. 5. Consideremos el arco C de hélice cilíndrica descrito por
f(t) = (cos t; sen t; t); t 2 [0; 2 ]:
Demuestre que en ningún punto de C, f0
(t) es paralela a la cuerda de f(0)
a f( 2 ).
6. Determine el componente radial (es decir, el componente en la dirección
de f(t)) de f0
(t) y de f00
(t), cuando
(a) f(t) = (r cos !t; r sen !t)
(b) f(t) = (r cos t2
; r sen t2
):
7. La grá…ca polar de r = es una espiral de Arquímedes. Sus ecuaciones
paraméticas son:
x = cos
y = sen :
Determine un vector tangente a la espiral en el punto ( ; 0).
8. Sea g una función real diferenciable en [ ; ] y sea C la grá…ca polar de
r = g( ). Entonces, C está descrita por la función f = gu de [ ; ], donde
u = (cos; sen).
Demuestre que
f0
= g0
u + gu?
donde u?
= ( sen; cos)
e interprete este resultado geométricamente.
9. Resuelva el problema 7 usando el problema 8.
10. Determine un vector tangente en cualquier punto de la cardioide cuya
ecuación polar es r = 1 + cos . Dibuje la curva.
3.8 La diferencial
Sea f una función vectorial de…nida en [a; b] y sean t y t + h puntos distintos
en [a; b]. El vector f(t; h) = f(t + h) f(t) se llama incremento de f en t
correspondiente al incremento h de t; éste es el cambio de f debido al cambio h
en t. Si f es diferenciable en t, entonces
f(t; h) = f(t + h) f(t) = h f0
(t) + h '(t; h)
donde '(t; h) =
1
h
[f(t + h) f(t)] f0
(t). Como lim
h!0
'(t; h) = 0, el incremento
f(t; h) es aproximadamente igual a h f0
(t) para pequeños valores de h. Al
término h f0
(t) se le llama diferencial.
28

29. Figure 9: La diferencial df(t; h).
De…nición 14 El vector h f0
(t) se llama diferencial de f en t correspondiente
al incremento h en t y se denota por d f(t; h); es decir
d f(t; h) = h f0
(t):
En términos de la diferencial, tenemos
f(t; h) = d f(t; h) + h '(t; h)
donde lim
h!0
'(t; h) = 0. Por tanto, para valores pequeños de h,
f(t; h) d f(t; h)
y
f(t + h) = f(t) + f(t; h) f(t) + d f(t; h): (4)
Sea C la curva descrita por la transformación f de [a; b]. Si f0
(t) 6= 0, entonces
d f(t; h) = h f0
(t) es un vector paralelo al vector tangente a C en el punto f(t)
(ver …gura 9). La ecuación 4 implica que en una vecindad de f(t) la recta
tangente a C en f(t) está muy cerca de la curva.
Es práctica común usar dt en lugar de h y abreviar d f(t; h) por d f. Por
tanto,
d f = d f(t; dt) = f0
(t)dt
y f0
(t) es
df
dt
, una notación ya introducida para la derivada. Cuando usamos d f
para denotar un valor de la diferencial, es generalmente posible determinar por
el contexto de la discusión los valores de t y dt que el usuario tiene en mente.
29

30. Si f = (f1; : : : ; fn), entonces
d f = f0
(t)dt = (f0
1(t)dt; : : : ; f0
n(t)dt) ;
es decir
d f = (df1; : : : ; dfn): (5)
Si hacemos x = (x1; : : : ; xn) = (f1(t); : : : ; fn(t)) = f(t), entonces podemos
escribir dx = df y dxi = dfi, y de aquí, la ecuación 5 toma la forma
d x = (dx1; : : : ; dxn):
De la de…nición de diferencial y las fórmulas de derivación que hemos desarrol-
lado, se deduce fácilmente que
d (f + g) = d f + d g (6)
d (f g) = d f d g (7)
d (f g) = f d g + d f g (8)
d (f g) = f d g + d f g (9)
d('f) = ' d f + (d')f (10)
d(f ') = (f0
')d': (11)
Estas fórmulas se prueban utilizando los teoremas 8 (página 24) y 10 (página
26).
La fómula 11 es de interés especial. Si hacemos x = f(t) y t = '(u) entonces
x = f('(u)) = g(u), donde g = f '. En tal caso, la notación dx para
la diferencial parece ambigua; ¿signi…ca f0
(t)dt o g0
(u)du? Sin embargo, esta
ambigüedad es aparente, ya que según la fórmula 11
g0
(u)du = f0
(t)dt;
y, en realidad, es precisamente a causa de esta aparente ambigüedad que la
notación de diferencial resulta conveniente.
3.8.1 Ejercicios
1. Determine f(t; h) y d f(t; h), cuando f(t) = (t; t2
; t3
) y
(a) t = 0, dt = 10 3
(b) t = 0, dt = 103
(c) t = 103
, dt = 10 1
2. Halle el valor aproximado de f(10 3
) cuando
(a) f = (cos; sen; tan)
(b) f(t) = e t
(1; sen t; cos 2t)
30

31. (c) f(t) = e t
(1; sen2
t; cos2
t):
3. Demuestre que bajo hipótesis adecuadas
(a) d (f g) = f d g + d f g
(b) d(f ') = (f0
')d':
3.9 Integración
Una curva puede describirse utilizando uno de sus puntos y un vector tangente
en cada uno de sus puntos. Supongamos que conocemos que una curva C pasa
por el punto x0 y que para cada t 2 [a; b], f(t) es un vector tangente a C.
Deseamos determinar una transformación x de [a; b] tal que x(t0) = x0 para
algún t0 2 [a; b] y x0
(t) = f(t) para todo t 2 [a; b]. Entonces C está descrita por
la transformación x de [a; b].
Para determinar x debemos resolver la ecuación diferencial
x0
= f sobre [a; b]
sujeta a la condición x(t0) = x0. La solución de esta ecuación diferencial es
simple una vez que hayamos introducido la integral de una función vectorial.
De…nición 15 Si f = (f1; : : : ; fn) es una función vectorial de…nida en [a; b],
entonces Z b
a
f =
Z b
a
f1; : : : ;
Z b
a
fn
!
:
También utilizamos la notación
R b
a
f(t)dt para la integral de f de a a b. Así,
Z b
a
f(t)dt =
Z b
a
f1(t)dt; : : : ;
Z b
a
fn(t)dt
!
:
La integral
R b
a
f existe siempre que cada una de las integrales
R b
a
fi, i = 1; : : : ; n,
existe.
El teorema siguiente extiende el primer inciso del teorema fundamental del
cálculo a funciones vectoriales.
Teorema 12 Si f = (f1; : : : ; fn) es continua en un intervalo I y a 2 I, en-
tonces
Dt
Z t
a
f = f(t); t 2 I:
Prueba. La prueba se obtiene por la aplicación del primer inciso del teorema
fundamental del cálculo a cada una de las funciones componentes:
Dt
Z t
a
f = Dt
Z t
a
f1; : : : ;
Z t
a
fn
= Dt
Z t
a
f1; : : : ; Dt
Z t
a
fn
= (f1(t); : : : ; fn(t)) = f(t):
31

32. El teorema siguiente extiende el segundo inciso del teorema fundamental del
cálculo a funciones vectoriales.
Teorema 13 Si F = (F1; : : : ; Fn) tiene una derivada continua en un intervalo
I, entonces para todo a; b 2 I
Z b
a
F0
= F(b) F(a):
Como el teorema fundamental del cálculo puede extenderse a funciones vec-
toriales, la ecuación diferencial x0
= f puede resolverse en la forma habitual.
Teorema 14 Si f es continua en un intervalo I, si t0 2 I, y si x0 es un vector
cualquiera, entonces hay una y solamente una solución en I de la ecuación
diferencial x0
= f que satisface la condición x(t0) = x0.
Prueba. Supongamos que x0
= f y x(t0) = x0. Entonces, de acuerdo con el
teorema 13 Z t
t0
f =
Z t
t0
x0
= x(t) x(t0)
y
x(t) = x0 +
Z t
t0
f; t 2 I:
Recíprocamente, si
x(t) = x0 +
Z t
t0
f; t 2 I
entonces x(t0) = x0 y según el teorema 12
x0
= f en I:
Así, si una curva C pasa por el punto x0 en el tiempo t0 y f(t) es un vector
tangente a C para cualquier t 2 [a; b], entonces, suponiendo que f sea continua
en [a; b], C está descrita por la transformación x de [a; b], donde
x(t) = x0 +
Z t
t0
f; t 2 [a; b]:
Sea x(t) el vector de posición de una partícula P de masa m, v(t) = x0
(t) la
velocidad de P, y a(t) = v0
(t) la aceleración de P en el instante t. Si la fuerza
ejercida sobre P en el instante t es F(t) entonces, utilizando la segunda ley del
movimiento de Newton, x debe satisfacer la ecuación
m a = m x00
= F:
Así, la trayectoria de la partícula está determinada por esta ecuación diferencial
y algunas condiciones iniciales.
32

33. Ejemplo 14 Sin considerar la fricción y suponiendo una fuerza gravitacional
constante, proporcione una descripción del movimiento de una partícula de masa
m cuya velocidad inicial es v0 y cuya posición inicial es x0.
Solución. Sea m g la fuerza constante. Tenemos
a = v0
= g:
Luego,
v(t) = v0 +
Z t
0
g = v0 + g t
y
x(t) = x0 +
Z t
0
(v0 + g u) du
= x0 + v0t + 1
2 g t2
:
Para facilitar el dibujo de la trayectoria de la partícula seleccionamos un
sistema de coordenadas (ver la …gura 10) tal que x0 = (0; 0; 0), g = (0; g; 0)
y v0 = (c1; c2; 0); el origen se coloca en el punto inicial, la fuerza está en la
dirección negativa del eje Y , y la dirección del eje X se elige de modo que v0 es
paralelo al plano XY . Las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento
de la partícula son,
x = c1t
y = 1
2 gt2
+ c2t
z = 0:
Si c1 6= 0, estas son las ecuaciones paramétricas de una parábola en el plano
XY . La altura máxima de la trayectoria es
c2
2
2g
y ésta se alcanza cuando t =
c2
g
.
El eje de la parábola es vertical y su vértice es el punto
c1c2
g
;
c2
2
2g
; 0 :
3.9.1 Ejercicios
1. Evalúe las siguientes integrales:
(a)
R 1
0
(I; I1=2
; exp)
(b)
R =2
0
(sen t; cos t; tan t) dt
(c)
R 4
2
1
1 + t2
;
p
1 + t2; 4t3
dt:
2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y dibuje la curva descrita
por x en cada caso.
33

34. Figure 10: Trayectoria de una partícula.
(a) x0
(t) = c, x(0) = 0
(b) x0
(t) = a t + b; x(0) = (1; 0; 1).
(c) x0
(t) = !( sen !t; cos !t; 0); x(0) = (1; 0; 0).
3. Si no está actuando fuerza alguna sobre una partícula de masa m y su
posición y velocidad iniciales son x0 y v0, respectivamente, describa la
trayectoria de la partícula.
4. Prescindiendo de los efectos de la atmósfera y suponiendo un suelo perfec-
tamente nivelado, estime la velocidad inicial mínima requerida para hacer
que una pelota de golf recorra 250 yardas.
5. ¿Cuál sería la respuesta al problema 4 si el punto de salida de la pelota
está a 25 pies por encima del nivel de la pista?
6. Puede mostrarse que cada una de las soluciones x de la ecuación diferencial
x00
= !2
x
donde ! es una constante, tiene una regla de correspondencia de la forma
x(t) = a cos(!t + ), t 2 ( 1; 1). Veri…que que toda función que tiene
una regla de correspondencia de esa forma es una solución. Determine la
solución que satisface:
(a) x(0) = x0, x0
(0) = 0;
34

35. (b) x(0) = 0, x0
(0) = v0;
(c) x(0) = x0, x0
(0) = v0.
7. ¿Cuál es la forma general de la solución de la ecuación diferencial vectorial
m x00
= k x; k > 0; m > 0?
8. La ecuación diferencial del problema 7 es la ecuación de movimiento de
una partícula P de masa m sobre la que actúa una fuerza central que está
siempre dirigida hacia 0 y cuya magnitud es proporcional a la distancia
de la partícula a 0.
(a) Describa el movimiento de la partícula si
i. x(0) = 0, x0
(0) = 0
ii. x(0) = x0, x0
(0) = 0
iii. x(0) = 0, x0
(0) = v0
(b) Demuestre que la suma de dos soluciones de la ecuación de movimiento
es una solución. Describa el movimiento de la partícula cuando
x(0) = x0 y x0
(0) = v0.
(c) Determine cuáles deben ser la posición y velocidad iniciales de la
partícula para que se mueva a lo largo de una circunferencia de radio
r alrededor del origen.
3.10 Longitud de arco
Sea C una curva descrita por la transformación f de un intervalo cerrado [a; b] en
Rn
. Consideremos una partición P = ftij i = 0; : : : ; kg de [a; b] donde a = t0 <
t1 < < tk = b. Toda partición P de [a; b] de…ne una poligonal constituida
por los segmentos rectilíneos de f(t0) a f(t1), de f(t1) a f(t2),: : :, de f(tk 1)
a f(tk). (Esto se ilustra en la …gura 11 para el caso P = ft0; t1; t2; t3; t4; t5g).
Denotamos la longitud de esta poligonal por LP ; esto es,
LP =
k
X
i=1
jf(ti) f(ti 1)j :
Nuestra idea intuitiva de la longitud de C, nos dice que es posible aproximar
la longitud de C midiendo la longitudes de poligonales LP . Además, como la
distancia más corta entre dos puntos se da a lo largo de la línea recta que los
une, la longitud LP es menor que la longitud de C, por lo que si añadimos más
puntos a la partición P, la longitud de la nueva poligonal debe ser una mejor
aproximación a la longitud de C. Esto sugiere la de…nición siguiente. En esta
de…nición denotamos por P al conjunto de todas las particiones del intervalo
[a; b].
35

36. Figure 11: Longitud de arco.
De…nición 16 La curva C descrita por una transformación f de [a; b] se dice
que es recti…cable si fLP j P 2 Pg tiene una cota superior. Si C es recti…cable,
la longitud L de C es el supremo de fLP j P 2 Pg; es decir,
L = sup fLP j P 2 Pg :
Esta de…nición de la longitud de C utiliza la idea intuitiva de la longitud de
curva antes mencionada. Como L es una cota superior de fLP j P 2 Pg, L es
mayor o igual que la longitud LP de cualquier poligonal obtenida tomando una
partición P de [a; b]. Por otra parte, para cualquier " > 0 existe una partición
P de [a; b] tal que L " < LP L; de otra forma L no sería el supremo (o cota
superior mínima) de fLP j P 2 Pg.
Demostramos a continuación que si obtenemos una nueva partición P2 de
[a; b] añadiendo algunos puntos a la partición P1 de [a; b], entonces LP1
LP2
.
A P2 le llamamos re…namiento de P1.
Lema 15 Si P2 es un re…namiento de P1, entonces LP1
LP2
.
Prueba. Este lema es una simple consecuencia de la desigualdad del triángulo.
Sea j el primer punto de P2 que no está en P1. Entonces, para algún i, ti 1 <
j < ti y
jf(ti) f(ti 1)j = jf(ti) f( j) + f( j) f(ti 1)j
jf(ti) f( j)j + jf( j) f(ti 1)j :
36

37. Utilizando un número …nito de pasos podemos añadir todos los puntos de P2 a
P1 y obtener LP1 LP2 .
Si tuviésemos que utilizar la de…nición 16 para calcular la longitud de una
curva, la tarea no sería nada fácil. Sin embargo, para la mayoría de las curvas de
interés podemos encontrar la longitud calculando una integral. Consideremos
la curva C descrita por la transformación f de [a; b] como la trayectoria de una
partícula, donde f(t) es la posición de la partícula en el instante t. Supongamos
que f es diferenciable en [a; b]. Entonces f0
(t) es la velocidad de la partícula en
el instante t y jf0
(t)j es la rapidez de la partícula en el instante t. Supongamos
que tomamos una partición P de [a; b] tal que la velocidad cambia muy poco
sobre cada arco de f(ti 1) a f(ti); digamos que es aproximadamente f0
(ti ) en
este arco de f(ti 1) a f(ti). Entonces, usando la noción elemental de que la
distancia es igual a la rapidez multiplicada por el tiempo, la longitud de la
curva C es aproximadamente
SP =
k
X
i=1
jf0
(ti )j (ti ti 1) :
Reconocemos a SP como una suma de Riemann, por lo que es una aproximación
de la integral
R
jf0
j. Es decir,
Z b
a
jf0
j = lim
jP j!0
SP
donde jPj denota la norma de la partición P:
jPj = max fti ti 1j i = 1; : : : ; kg ;
y este límite signi…ca:
Para cualquier " > 0 existe una > 0 tal que jPj < implica
SP
Z b
a
jf0
j < ":
Así, es lógico esperar que la longitud de C sea
R b
a
jf0
j.
En el razonamiento anterior fue necesaria la suposición de que la velocidad
cambiase muy poco en el arco de curva. Esto signi…ca que necesitamos que f0
sea continua en [a; b]. La discusión anterior justi…ca el siguiente teorema.
Teorema 16 Si f tiene una derivada continua en [a; b], entonces la curva C
descrita por f es recti…cable y
L =
Z b
a
jf0
j :
Ejemplo 15 Sea C la hélice cilíndrica (4, página 14) descrita por f = (cos; sen; 1
2 I).
Determine la longitud L del arco de C de (1; 0; 0) a 1; 0; 2 :
37

38. Solución. Como f(0) = (1; 0; 0) y f( ) = ( 1; 0; 2 ),
L =
Z
0
jf0
j =
Z
0
q
sen2 + cos2 +1
4 =
Z
0
p
5
2 =
p
5
2 :
Ejemplo 16 Determine la longitud de la curva C descrita por f(t) = (cos t; sen t),
t 2 [0; 4 ].
Solución. La curva C es la circunferencia unitaria C(0; 1) recorrida dos veces
por la transformación f de [0; 4 ]. Usando el teorema 16 obtenemos
L =
Z 4
0
p
sen2 + cos2dt =
Z 4
0
dt = 4 :
3.10.1 Ejercicios
1. Determine la longitud del arco de la parábola descrita por f(t) = (t2
; 2t),
t 2 [0; 1].
2. Determine la longitud de la grá…ca de y = ln(1 x2
) entre x = 0 y x = 1
2 .
3. Determine la longitud del arco de la cicloide descrita por f = a(I sen; 1
cos), donde a > 0.
4. Encuentre la longitud de la curva descrita por f(t) = (t; t; 2t2
), t 2 [ 3; 3].
5. Determine la longitud del arco de la hélice cónica descrita por f( ) =
( cos ; sen ; ), 2 [0; 1].
6. Determine la longitud de la curva descrita por la transformación f(') =
a ' sen '; 1 cos '; 4 sen
'
2
del intervalo [0; 2 ].
7. Considere la curva C descrita por
x = t
y = a cosh
t
a
z = a senh
t
a
:
Demuestre que la distancia a lo largo de C desde el punto (0; a; 0) hasta
un punto P0 sobre C es proporcional a la distancia de P0 al plano XY .
8. Considere la elipse descrita por
x = a sen '
y = b cos '; ' 2 [0; 2 ]; a 0; b 0:
38

39. Demuestre que la circunferencia de tal elipse es
4a
Z =2
0
p
1 e2 sen2 'd'
donde e = 1
b2
a2
1=2
es la excentricidad de la elipse. Esta es una
integral elíptica de segunda clase. Utilizando MATHEMATICA determine
la circunferencia de la elipse con semieje mayor a y e = 0; 1
4 ; 1
2 ; 3
4 y 0:99.
9. La grá…ca polar de r = 1+cos es una cardioide. Las ecuaciones paramétri-
cas de la cardioide son,
x = (1 + cos ) cos
y = (1 + cos ) sen ; 2 [0; 2 ]:
Determine la longitud de la cardioide.
10. Si el movimiento de una partícula está descrito por
f(t) = (cos !t; sen !t); ! > 0;
dibuje la trayectoria y encuentre la distancia recorrida por la partícula
desde el instante t = 0 hasta t =
2
!
.
3.11 Tangente unitaria, normal principal y vectores binor-
males
Supongamos que la función f de…nida en [a; b] tiene una derivada continua dis-
tinta de cero en [a; b]. Entonces, la curva C descrita por la transformación f de
[a; b] se llama curva lisa. Como f tiene una derivada distinta de cero en [a; b], la
curva C tiene un vector tangente f0
(t) en cada punto f(t). Obtenemos el vector
tangente unitario T(t) en el punto f(t) dividiendo el vector tangente f0
(t) por
su longitud jf0
(t)j, es decir,
T(t) =
f0
(t)
jf0(t)j
: (12)
Como la función f tiene una derivada continua en [a; b], la curva C descrita
por f es recti…cable. La longitud l(t) del arco de C correspondiente a la trans-
formación f de [a; t] es
l(t) =
Z t
a
jf0
j ; t 2 [a; b]: (13)
El número l(t) es la distancia a lo largo de la curva C del punto f(a) al punto
f(t). De acuerdo al teorema 12, la función l de…nida por la ecuación 13 tiene
una derivada
l0
= jf0
j : (14)
39

40. Luego, usando la ecuación 12, tenemos
f0
= l0
T: (15)
Si consideramos la curva lisa C descrita por f como la trayectoria de una
partícula, entonces la ecuación 15 nos dice que la dirección del vector velocidad
f0
(t) es la del vector tangente unitario T(t) y la magnitud del vector velocidad—
la rapidez— es l0
(t): la razón de cambio de la distancia a lo largo de la curva.
Si x(t) = f(t) es la ecuación de una curva en R3
y si hacemos s = l(t)
entonces la ecuación 14 puede escribirse en la forma
ds
dt
=
s
dx
dt
2
+
dy
dt
2
+
dz
dt
2
(16)
o, en términos de diferenciales
ds2
= dx2
+ dy2
+ dz2
:
Con esta notación, la ecuación 15 se convierte en
dx
dt
=
ds
dt
T: (17)
Supongamos ahora que f0
es diferenciable en [a; b]; es decir, que f00
existe
en [a; b]. Entonces, según el problema 3, página 27, l00
y T0
existen en [a; b] y
diferenciando la ecuación 15 obtenemos
f00
= l00
T + l0
T0
: (18)
Como jTj = 1 en [a; b], sabemos, por el ejemplo 12, página 24, que T0
(t) es
ortogonal al vector tangente T(t) para todo t 2 [a; b].
Cualquier recta que pase por el punto f(t) de una curva C y sea ortogonal a la
tangente a la curva en ese punto se llama normal a la curva. Como consecuencia
de la importancia del vector normal T0
(t), la recta que pasa por f(t) en la
dirección de T0
(t) (si T0
(t) 6= 0) se llama normal principal a la curva C en f(t).
Si T0
(t) 6= 0, entonces de…nimos el vector unitario normal principal N(t) como:
N(t) =
T0
(t)
jT0(t)j
: (19)
Así, podemos escribir la ecuación 18 en la forma
f00
= l00
T + l0
jT0
j N; (20)
o, lo que es equivalente,
d2
x
dt2
=
d2
s
dt2
T +
ds
dt
jT0
j N
donde x = f(t) y s = l(t).
Si C es la trayectoria de una partícula que se mueve en R3
, entonces f00
(t) es la
aceleración de la partícula en el tiempo t. La ecuación 20 nos dice que el vector
aceleración se encuentra en el plano determinado por los vectores tangente y
normal principal.
40

41. Ejemplo 17 Determine que los componentes tangencial y normal (normal prin-
cipal) de f00
(t) en el punto f(t) de la hélice descrita por f = (cos; sen; 1
2 I).
Solución 1. De acuerdo con la ecuación 20, el componente tangencial de f00
(t)
es l00
(t). Como
f(t) = cos t; sen t; 1
2 t ;
tenemos
f0
(t) = sen t; cos t; 1
2 ;
l0
(t) = jf0
(t)j = 1
2
p
5;
y
l00
(t) = 0:
De donde el componente tangencial de f00
(t) es cero, y el componente normal es
jf00
(t)j = j( cos t; sen t; 0)j = 1:
Solución 2.
T(t) =
f0
(t)
jf0(t)j
=
2
p
5
sen t; cos t; 1
2
N(t) =
T0
(t)
jT0(t)j
= ( cos t; sen t; 0)
y
f00
(t) = ( cos t; sen t; 0) :
De donde,
CompT(t) f00
(t) = f00
(t) T(t) = 0
y
CompN(t) f00
(t) = f00
(t) N(t) = 1:
En nuestra discusión sobre las curvas hemos de…nido una curva como una
función vectorial continua que tiene un intervalo como dominio. No hemos hecho
ninguna restricción respecto a la dimensión del espacio en el que se encuentra el
rango de la función. Consecuentemente, la teoría desarrollada hasta este punto
se aplica a una curva en un espacio de dimensión cualquiera. Sin embargo, los
ejemplos discutidos nos muestran claramente que nuestro interés principal está
en las curvas en R2
o R3
.
Si C es una curva en R2
y T = (a; b) es un vector tangente unitario a C en
alguno de sus puntos, es fácil ver que el vector unitario normal principal N en
este punto debe ser o T?
= ( b; a) o T?
= (b; a).
Restringimos ahora nuestra atención a las curvas en R3
. El plano que pasa
por f(t) determinado por los vectores T(t) y N(t) se llama plano osculador1
de
1 El nombre proviene de la palabra latina osculum que signi…ca beso.
41

42. C en f(t). El vector B(t) = T(t) N(t) se llama vector binormal y es un vector
unitario normal al plano osculador. En cada punto f(t) de C los vectores T(t),
N(t) y B(t) forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales.
Por ejemplo, en cada punto f(t) de la hélice descrita por f = cos; sen; 1
2 I
(ejemplo 17) tenemos
T(t) =
2
p
5
sen t; cos t; 1
2
N(t) = ( cos t; sen t; 0)
B(t) =
1
p
5
(sen t; cos t; 2) :
Y una ecuación del plano osculador es
x sen t y cos t + 2z = t:
Ejemplo 18 Demuestre que si una curva C se encuentra en el plano P en R3
entonces el plano osculador en cualquier punto de C es P.
Solución. Sea P = fPj P n = cg y supongamos que C está descrita por la
función f. Como C P, para cada t 2 Df , f(t) n = c. Diferenciando una vez
tenemos f0
(t) n = 0 y de aquí, T(t) n = 0. Diferenciando de nuevo tenemos
T0
(t) n = 0 y, por tanto, N(t) n = 0. Esto demuestra que n es ortogonal a
T(t) y N(t). Además, f(t) pertenece a P y al plano osculador de C en f(t). Por
lo tanto, estos planos deben coincidir.
3.11.1 Ejercicios
1. Determine T y N para cada una de las siguientes curvas:
(a) La parábola: x = p t2
, y y = 2p t:
(b) La elipse: f( ) = (a cos ; b sen ), 2 [0; 2 ]; a > 0; b > 0:
(c) La rama de la hipérbola: x = a cosh t, y y = b senh t:
(d) La hélice cónica: f( ) = ( cos ; sen ; a ) :
2. Sea C la curva descrita por la transformación f de [a; b]. Puede suceder
que en un punto f(t0) de C donde f0
(t0) = 0, exista limt!t0 T(t). En este
caso de…nimos
T(t0) = lim
t!t0
T(t)
y a T(t0) se le llama vector unitario tangente a C en f(t0). Determine la
recta tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos indicados:
(a) f(t) = t3
; t3
para t = 0
(b) f(t) = 3t2
; 2 + 8t2
; 5t2
para t = 0
(c) f(t) = t2
; t3
; t4
para t = 0 y t = 1:
42

43. 3. Cada una de las siguientes es una regla de correspondencia descrita por
el movimiento de una partícula donde t es el tiempo. En t = 0 y t = 1
determine la velocidad, la rapidez y las componentes normal y tangencial
de la aceleración.
(a) f(t) = (10 sen 2 t; 10 cos 2 t)
(b) f(t) = (10 cos 2 t; 10 sen 2 t)
(c) f(t) = cos t2
; sen t2
(d) f(t) = e t
cos 2 t; sen 2 t
4. Si C es una curva en R3
descrita por f demuestre que
B =
f0
f00
jf0 f00j
N = B T =
(f0
f00
) f0
j(f0 f00) f0j
:
5. Si una curva está descrita por f(t) = t; t2
; t3
, determine T(t), N(t), B(t)
y el plano osculador cuando t = 0 y t = 1.
6. Determine T(t), N(t), B(t) y el plano osculador para las curvas descritas
a continuación:
(a) f(t) = (t cos t; t sen t; t)
(b) f(t) = (t sen t; 1 cos t; t)
7. Si C es una curva en R3
y B0
(t) existe, demuestre que B0
(t) es paralela a
N(t).
3.12 Curvatura y torsión
Se supone en toda esta sección que C es una curva lisa descrita por una transfor-
mación f de [a; b]. El objetivo de esta sección es de…nir una medida del pandeo
de la curva C en un punto. Sean f(t0) y f(t1) dos puntos en C.
Entonces, T(t0) y T(t1) son los vectores unitarios tangentes a C en los puntos
f(t0) y f(t1) respectivamente (ver la …gura 12). La cantidad jT(t1) T(t0)j es
una medida de cuánto ha cambiado la dirección de la curva entre f(t0) y f(t1).
En realidad
jT(t1) T(t0)j
2
= jT(t1)j
2
2T(t0) T(t1) + jT(t0)j
2
= 2 (1 cos ) = 2 sen
2
2
;
donde es el ángulo entre T(t0) y T(t1) (ver …gura 13). Observe que 2 sen 2
2
2
para pequeño.
43

44. Figure 12: Curvatura.
Figure 13: Curvatura.
44

45. Como la longitud del arco de C desde f(t0) hasta f(t1) es jl(t1) l(t0)j, el
cambio promedio de dirección por unidad de distancia sobre este arco es
jT(t1) T(t0)j
jl(t1) l(t0)j
: (21)
Para obtener la razón instantánea del cambio de dirección con respecto a la
distancia a lo largo de la curva en el punto f(t0), hacemos que t1 se aproxime a
t0. Si f00
(t) existe, entonces el límite de la ecuación 21 cuando t1 se aproxime a
t0 también existirá. Este límite es
jT0
(t0)j
l0(t0)
y se llama curvatura (t0) de C en
f(t0). Así, la curvatura (t0) de C en f(t0) se de…ne como
(t0) =
jT0
(t0)j
l0(t0)
=
jT0
(t0)j
jf0(t0)j
: (22)
Ejemplo 19 Determine la curvatura de la circunferencia
C(0; r) = f(r cos t; r sen t)j t 2 [0; 2 ]g :
Solución. C(0; r) está descrita por la función f, donde
f(t) = (r cos t; r sen t) :
Entonces
f0
(t) = ( r sen t; r cos t)
y
f00
(t) = ( r cos t; r sen t) :
Por tanto,
jf0
(t)j = r; T(t) =
1
r
f0
(t); T0
(t) =
1
r
f00
(t);
y como
jT0
(t)j =
1
r
f00
(t) =
1
r
jf00
(t)j
=
1
r
p
r2 cos2 t + r2 sen2 t
=
1
r
r = 1;
la curvatura es
(t) =
jT0
(t)j
jf0(t)j
=
1
r
:
De…nimos el radio de curvatura (t) de una curva C en el punto f(t) como
el recíproco de la curvatura en ese punto:
(t) =
1
(t)
: (23)
45

46. En vista del resultado del ejemplo 19, el radio de curvatura (t) de C en f(t) es
el radio de una circunferencia que tiene curvatura (t). El punto f(t)+ (t) N(t)
se llama centro de curvatura de la curva C correspondiente al punto f(t), y la
circunferencia de radio (t) y centro el centro de curvatura se denomina círculo
de curvatura o círculo osculador de C correspondiente a f(t).
Como =
jT0
j
l0
, la ecuación 20 , página 40, puede escribirse como sigue:
f00
= l00
T + l02
N; (24)
o, lo que es equivalente,
d2
x
dt2
=
d2
s
dt2
T +
1 ds
dt
2
N
donde x = f(t) y s = l(t).
Ejemplo 20 Encuentre la curvatura de la cúbica alabeada C descrita por f(t) =
(t; t2
; t3
) en el punto (1; 1; 1).
Solución. El punto (1; 1; 1) corresponde a t = 1. Usaremos la ecuación 24 para
calcular (1).
f0
(t) = 1; 2t; 3t2
; f0
(1) = (1; 2; 3); l0
(1) =
p
14
f00
(t) = (0; 2; 6t) ; f00
(1) = (0; 2; 6) ;
T(1) =
f0
(1)
jf0(1)j
=
1
p
14
(1; 2; 3):
Entonces, usando la ecuación 24
l00
(1) = f00
(1) T(1) = (0; 2; 6) 1
p
14
(1; 2; 3) =
22
p
14
y
(1)l02
(1)N(1) = f00
(1) l00
(1)T(1)
= (0; 2; 6) 22
14 (1; 2; 3)
= 1
7 ( 11; 8; 9):
Por tanto,
(1) = 1
98 j( 11; 8; 9)j = 1
98
p
266:
Ejemplo 21 Si C es la grá…ca de una función g, demuestre que
=
jg00
j
h
1 + (g0)
2
i3=2
:
46

47. Solución. Supongamos que la curva C está descrita por la función f = (I; g).
Derivando, tenemos f0
= (1; g0
) y f00
= (0; g00
). Entonces, Utilizando la ecuación
24
l00
= f00
T = (0; g00
)
(1; g0
)
(1 + g02)
1=2
=
g0
g00
(1 + g02)
1=2
y
l02
N = f00
l00
T = (0; g00
)
g0
g00
(1 + g02)
1=2
(1; g0
)
(1 + g02)
1=2
=
( g0
g00
; g00
)
1 + g02
:
Por tanto,
=
1
(1 + g02)
2 j( g0
g00
; g00
)j =
jg00
j
(1 + g02)
3=2
:
Supongamos ahora que C es una curva en R3
descrita por f y que el vector
binormal B(t) es diferenciable en todos los puntos f(t). En f(t) el vector
B0
(t)
l0(t)
describe la razón de cambio del vector binormal respecto a la distancia a lo largo
de la curva. Como este vector
B0
(t)
l0(t)
es paralelo a N(t) (ver ejercicio 7, página
43), es igual a un número real por N(t). El inverso aditivo de este número
se llama torsión de C en f(t) y se denota por (t). Es decir, la torsión está
de…nida por la relación
B0
= l0
N: (25)
Como la binormal de una curva plana es constante (ver ejemplo 18, página
42), la torsión de una curva tal es cero. Si una curva no es una curva plana,
entonces la torsión da una medida del torcimiento de la curva respecto al plano
osculador.
Por ejemplo, en el caso de la hélice descrita por f = cos; sen; 1
2 I , tenemos
N = ( cos; sen; 0), B = 1
p
5
(sen; cos; 2), B0
= 1
p
5
(cos; sen; 0) y l0
= 1
2
p
5.
Sustituyendo en la ecuación 25, obtenemos
1
p
5
(cos; sen; 0) =
1
2
p
5 ( cos; sen; 0)
de donde = 2
5 .
Nota: En la mayoría de los casos, la fórmula del ejercicio 8 da un método
más conveniente para obtener .
47

48. 3.12.1 Ejercicios
1. Deduzca la fórmula siguiente para la curvatura de la curva descrita por f:
=
q
jf0j
2
jf00j
2
(f0 f00)
2
jf0j
3 :
Sugerencia: utilice la ecuación 24.
2. Si C es una curva en R3
descrita por f, deduzca la siguiente fórmula para
la curvatura
=
jf0
f00
j
jf0j
3 :
3. Determine la curvatura para cada una de las siguientes curvas:
(a) La recta: x = P0 + t a
(b) La elipse: f( ) = (a cos ; b sen ), 2 [0; 2 ]; a > 0; b > 0
(c) La hélice cilíndrica: f(t) = (cos t; sen t; t)
(d) La hélice cónica: f( ) = ( cos ; sen ; )
4. Sea g la función real con segunda derivada en [ ; ] y sea C la grá…ca polar
de r = g( ). Deduzca la siguiente fórmula para la curvatura de C:
=
g2
+ 2g02
gg00
(g2 + g02)
3=2
:
5. Determine la curvatura de las curvas que tienen las siguientes ecuaciones
polares:
(a) La espiral de Arquímedes: r = a :
(b) La cardioide: r = 1 + cos :
6. Demuestre que
(a) T0
= l0
N
(b) N0
= l0
T + l0
B:
Nota: Las dos fórmulas de este problema junto con la fórmula 25 se
conocen como las fórmulas de Frenet, por el matemático francés F.
Frenet. Juegan un papel importante en la geometría de las curvas en
el espacio.
7. Si C es una curva en R3
descrita por f, utilice la ecuación 24 y el ejercicio
6 para demostrar que
f000
= l000 2
l03
T + 3 l0
l00
+ 0
l02
N + l03
B
48

49. 8. Si C es una curva en R3
descrita por f, utilice la ecuación 24 y el ejercicio
7 para demostrar que
=
(f0
f00
) f000
jf0 f00j
2 :
9. Determine la torsión de la cúbica alabeada descrita por f(t) = t; t2
; t3
.
10. Determine la torsión de la hélice cónica descrita por
f(t) = (t cos t; t sen t; t)
en el punto (0; 0; 0).
11. Determine la torsión de la curva descrita por
f(t) = (t sen t; 1 cos t; t)
en los puntos correspondientes a t = 0, t =
2
, t = .
3.13 Aplicaciones a la mecánica
Supongamos que x = f(t) describe la trayectoria de una partícula en R3
. En la
dinámica es común usar el punto para denotar la derivada; además, es práctica
general utilizar la letra s en lugar de la letra l para denotar la función longitud
de arco. Entonces, la velocidad v = _
x (de la ecuación 15, página 40) viene dada
por
v = _
sT (26)
y para la aceleración a = _
v = •
x (de la ecuación 24, página 46), tenemos la
siguiente fórmula
a = •
sT + _
s2
N: (27)
En la ecuación 26 vemos que la magnitud de la velocidad — la rapidez— es _
s,
la razón de cambio de la longitud de arco a lo largo de la trayectoria, y que
la dirección de la velocidad es la del vector tangente unitario T. La ecuación
27 nos dice que la aceleración se encuentra en un plano determinado por los
vectores T y N. Si representamos por aT = a T, a la componente tangencial
de la aceleración, y por aN = a N, a la componente normal de la aceleración,
de la ecuación 27, tenemos
aT = a
v
j _
vj
= •
s (28)
y
aN =
q
jaj
2
a2
T = _
s2
: (29)
Otra expresión para la componente normal de la aceleración puede obtenerse de
la ecuación 27 como sigue: como
a T = aN (N T)
49

50. y
jN Tj = 1;
entonces
aN = ja Tj =
ja vj
jvj
: (30)
Ejemplo 22 Si la trayectoria de una partícula está dada por
x = t2
; cos t; sen t ;
determine la velocidad, la aceleración y las componentes tangencial y normal de
la aceleración.
Solución.
v = _
x = (2t; sen t; cos t)
a = _
v = (2; cos t; sen t)
aT =
a v
jvj
=
4t + sen t cos t sen t cos t
(4t2 + sen2 t + cos2 t)
1=2
=
4t
p
1 + 4t2
aN =
q
jaj
2
a2
T
= 4 + cos2
t + sen2
t
16t2
1 + 4t2
1=2
=
r
4t2 + 5
4t2 + 1
:
Si una partícula tiene masa m, el vector m_
x = mv se llama momento (lineal)
de la partícula. La segunda ley de movimiento de Newton establece: que la razón
de cambio del momento es igual a la fuerza, es decir,
D(mv) = F: (31)
En la mecánica no relativista, m es una constante por lo que esta ecuación de
movimiento toma la forma
m (Dv) = F
o
m a = F: (32)
En algunas aplicaciones es conveniente representar la trayectoria de una
partícula en forma polar. Consideramos primero el caso especial en que la
50

51. trayectoria se encuentra en el plano XY y extendemos luego los resultados a
trayectorias cualesquiera en R3
. Sean r y las coordenadas polares del vector
de posición x. Entonces
x = r(cos ; sen ; 0)
y
v = _
r (cos ; sen ; 0) + r_ ( sen ; cos ; 0) :
Si hacemos u = (cos ; sen ; 0), entonces
x = ru
y
v = _
ru + r _
u
donde _
u = _ ( sen ; cos ; 0) es ortogonal a u (ver …gura 14). A _
r le llamamos
componente radial de la velocidad y a r j _
uj componente tranversal de la velocidad.
El número j _
uj = _ es la razón de cambio del ángulo polar; este número mide la
razón angular de giro alrededor del eje Z. De…nimos la velocidad angular como
el vector ! = _k. Como
u _
u = (cos ; sen ; 0) _ ( sen ; cos ; 0) = _k;
podemos escribir ! = u _
u. La velocidad angular es, por tanto, un vector cuya
magnitud es la razón de cambio del ángulo polar y cuya dirección es la del eje
de rotación y es tal que u, _
u y ! forman un sistema levógiro.
Extendemos ahora los anteriores conceptos a cualquier trayectoria C en R3
.
Sea x el vector de posición de la partícula y sean
r = jxj y u =
x
jxj
;
r es la distancia de la partícula al origen y u es un vector unitario en la dirección
del vector de posición x (ver …gura 15). Entonces
x = r u (33)
y a esto se le llama representación polar de C.
En la representación polar la velocidad puede escribirse
v = _
ru + r _
u: (34)
Como u es de longitud constante, u y _
u son ortogonales. Llamamos a _
r compo-
nente radial de la velocidad y a r j _
uj componente transversal de la velocidad; y
de…nimos la velocidad angular ! por
! = u _
u: (35)
La velocidad angular ! es un vector en la dirección del eje instantáneo de
rotación alrededor del origen y su magnitud j _
uj es una medida de la razón
angular del giro alrededor de este eje.
51

52. Figure 14: Trayectoria de una partícula.
Figure 15: Representación polar de C.
52

53. Figure 16: Momento L de la fuerza.
Usando la ecuación 34 tenemos
! = u _
u =
1
r
u v =
x v
jxj
2 : (36)
Se sigue de la identidad a (b c) = (a c)b (a b)c, que
! u = (u _
u) u = [(u _
u) u (u u) _
u] = _
u:
Usando esta expresión para _
u en la ecuación 34 obtenemos
v = _
ru + ! x: (37)
Así, por ejemplo, si la partícula se mueve con velocidad angular ! sobre la
super…cie de una esfera con centro en el origen, entonces _
r = 0 y
v = ! x:
Si F es una fuerza que actúa en un punto x, el momento L de la fuerza
respecto a x0 se de…ne por
L = (x x0) F: (38)
Este vector es perpendicular al plano determinado por F y x x0 (ver …gura
16) y la magnitud de L es
jLj = jFj j(x x0)j sen ; (0 < ):
53

54. Es decir, la magnitud de L es la magnitud de la fuerza por el brazo de palanca
(la distancia de x0 a la recta de aplicación de la fuerza) y es una medida de la
efectividad de F para producir una rotación alrededor de x0. El eje de rotación
es una recta que pasa por x0 y es paralela a L y, si el punto inicial de L está
en x0 entonces la rotación parece, vista desde la punta de L, como contraria al
movimiento de las manecillas del reloj.
Sea P una partícula de masa m y sea x el vector de posición de P. El vector
m jxj
2
! = x (mv) se llama momento angular o momento de la cantidad de
movimiento de P respecto al origen. Como
D [x (m v)] = v (m v) + x (m a) = x (m a);
la segunda ley de Newton implica
D [x (m v)] = x F = L; (39)
que en palabras signi…ca: la razón de cambio del momento angular es igual al
momento de la fuerza.
Ejemplo 23 Una partícula de masa m se mueve sobre una circunferencia de
radio r0 con velocidad angular constante !0. Determine la fuerza que actúa
sobre la partícula y el momento angular de la partícula.
Solución. Coloquemos el origen de nuestro sistema de coordenadas en el centro
de la circunferencia y orientemos el plano XY de modo que:
1. la circunferencia se encuentre en este plano;
2. el movimiento alrededor de la circunferencia visto desde la dirección pos-
itiva del eje Z parece contrario al movimiento de las manecillas del reloj;
y
3. la partícula cruza el eje X en el instante t = 0.
Entonces
u = (cos !0t; sen !0t; 0)
y
x = r0u:
De donde
a = r0•
u = r0!2
0u
y
F = m a = m r0!2
0u:
El momento angular es
m jxj
2
! = m r0!2
0k:
Note también que
_
s = jvj = jr0 _
uj = r0!0:
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55. Expresado en términos de rapidez tenemos
F =
m jvj
2
r2
0
x;
jFj =
m jvj
2
r0
;
! = !0k =
jvj
r0
k;
y el momento angular es
m jxj
2
! = m r0 jvj k:
3.13.1 Ejercicios
1. La función de posición x de la partícula de masa m está dada por
(a) x(t) = 10 cos
2
T
t; sen
2
T
t; 0
(b) x(t) = 10t cos
2
T
t; sen
2
T
t; 0
(c) x(t) = a sen
2
T
t; y(t) = a cos
2
T
t; z(t) = b sen
2
T
t:
Determine en los instantes t = 0;
T
2
; T, la velocidad, la aceleración,
las componentes normal y tangencial de la aceleración, la velocidad
angular, y el momento angular de la partícula.
2. Demuestre que el momento respecto a x0 de una fuerza F aplicada en x
no cambia si F se desliza a lo largo de su recta de acción (la recta que
pasa por x paralela a F).
3. Un sistema de dos fuerzas F1 y F2 aplicadas en x1 y x2 respectivamente
se llama par si F1 + F2 = 0. Demuestre que la suma C de los momentos
de F1 y F2 no depende del punto respecto del cual se calcule el momento;
C se llama momento polar del par. Además, pruebe que
(a) C = (x1 x2) F1:
(b) La magnitud de C es la magnitud de F1 multiplicada por la distancia
entre las rectas de acción de F1 y F2.
4. Una fuerza central respecto a 0 es una que siempre se dirige hacia 0 o en
la dirección opuesta a 0. Demuestre que
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56. (a) El momento angular respecto a 0 de una partícula sobre la que actúa
una fuerza central respecto a 0 es una constante (segunda ley de
Kepler del movimiento planetario).
(b) La partícula se mueve en un plano que pasa por 0.
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