Transformada fourier almira

∈ −
∞
→ ∞
∈
→ ∞
Σ∫
| − | ∈ { }
Σ
Σ
Transformada de Fourier*
1. De las series de Fouriera la Transformadade Fourier: primeras
consideraciones
Las series de Fourier son u´tiles para el estudio de senãles perio´dicas pero, desafortunadamente,
este tipo de senãles no son tan frecuentes en la praćtica como las no-perio´dicas. Esta situacioń requiere
el desarrollo de una teor´ıa matema´tica ma´s ambiciosa y a ello vamos a dedicar alguń tiempo.
Sea x(t) una senãl aperio´dica1
definida en todo el intervalo real y denotemos por xT (t) (T > 0)
la senãl 2T -perio´dica que se obtiene a partir de x(t) haciendo xT (t) = x(t) para t ( T, T ] y
extendiendo perio´dicamente con periodo 2T . Si suponemos que x(t) es suficientemente suave (e.g.,
es C1(R)), entonces tendremos la identidad
1
x(t) = xT (t) =
Σ∫ T
x(s)e −(πi/T )ks
ds
Σ
e(πi/T)kt, para t ∈ (−T, T] (1)
k=−∞ −T
Evidentemente, si hacemos T en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la
igualdad l´ımite sera´ va´lida para todo t R y su valor sera´ igual al de la senãl de partida x(t).
Ahora, estudiemos que´ le sucede al segundo miembro si hacemos T . Tomando ∆f =
1/(2T ) y fk = k∆f , podemos reescribir (1) como
x(t) = ∆f
k=−∞
T
x(s)e−
−T
2πifks
ds
Σ
e2πifk t
, para t ∈ (−T, T ]
Ahora bien, fk+1 fk = ∆f = 1/2T ( k Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos fk
como nodos equiespaciados de una particio´ n de Riem ann para la integral l´ımite
∫ ∞ .∫ ∞
x(s)e−2πif s
ds
Σ
e2πif t
df
Es decir, podem os concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la senãl
aperio´dica x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorem a integral de Fourier):
x(t) =
∫ ∞
.∫ ∞
x(s)e−2πifsds
Σ
e2πiftdf
*
Este documento esta´ basado ampliamente en el libro de texto del autor: J.M. Almira, “Matem a´ticas para la recu-
peracio´ n de senãles”, Grupo Editorial Universitario, 2005.
1
Es decir: no perio´dica.
2T
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞
∞

^
∫
{ } −∞
ξ, s R implica x(ξ) x
^
para para ξ R.
2π
2π −∞ −∞
Haciendo el cambio de variable ξ = 2πf , podem os reescribir la anterior fo´rm ula como
x(t) =
1
∫ ∞
.∫ ∞
x(s)e−iξsds
Σ
eiξtdξ
Definicio´ n 1 La senãl
2π −∞ −∞
F(x)(ξ) := x(ξ) :=
∞
x(s)e−iξsds
−∞
toma el nombre de transformada de Fourier de la senãl (aperio´ dica) x(t) ∈ L1(R).
Definicio´ n 2 La senãl
F−1
(y)(t) :=
1
∫ ∞
y(ξ)eiξsdξ
toma el nombre de transformada de Fourier inversa de la senãl (aperio´dica) y(ξ).
Nota 1 Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como
x(t) =
1
∫ ∞
.∫ ∞
x(s)e−iξsds
Σ
eiξtdξ
=
1
∫ ∞
F(x)(ξ)eiξtdξ = F−1
(F(x))(t)
y, de manera ana´ loga,
2π −∞
F(F−1
(y))(ξ) = y(ξ).
Una cosa es clara: bajo ciertas hipo´tesis (que luego especificaremos), conocer la transformada
de Fourier de una senãl equivale a conocer dicha senãl, ya que al aplicar la transformada inversa
recuperam os toda la informacioń. De igual forma, si conocem os los coeficientes de Fourier ck ∞
k=
de cierta senãl (perio´ dica) x(t), de la que sabemos que es suficientemente suave, entonces conocemos
la senãl, pues para rescatarla completamente bastara´ sumar la correspondiente serie de Fourier. As´ı,
el papel del espectro de la senãl, que en el caso perio´dico lo juegan los coeficientes de Fourier, en el
caso aperio´dico lo juega la transform ada de Fourier.
Para evitar problemas con la definicio´ n de transform ada de Fourier, supondrem os que la senãl x(t)
es absolutamente integrable en R. Es decir, supondremos que
∫ ∞
En tal caso, su transformada x(ξ) existe y esta´ uniformemente acotada en R, pues |e−iξs| = 1 para
∈ |^ | ≤|| ||L1(R) ∈
−∞
||x||L1(R) =
−∞
|x(t)|dt < ∞.||x||L1(R) =
−∞
|x(t)|dt < ∞.

∫
F
F
∫
δ
^ ^
∫
1.1. Teoremas ba´sicos sobre la transformada de Fourier
La palabra ”transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar
un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier sera´ u´til (como vere-
mos) para simplificar el estudio de la solucioń de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo
el problema de la solucioń de una ED en un problema de solucioń de ecuaciones algebraicas. La moti-
vacioń para dicho estudio esta´ en el hecho de que la transformada de Fourier posee buenas propiedades
algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una senãl, o al trasladar la senãl, etc. En este
apartado estudiam os las propiedades ma´s sencillas de la transformada de Fourier.
A continuacio´ n exponemos una lista de las propiedades elementales de (x)(ξ) = xˆ(ξ) (Algunas
de las demostraciones son muy sencillas y las dejamos como ejercicio).
Nota 2 Mantenemos ambas notaciones, (x) y xˆ para la transformada de Fourier, porque a veces
una de ellas es ma´s co´moda o ma´s clarificadora que la otra. Por otra parte, esto ayuda a que el
estudiante se familiarize con ambas notaciones y, por tanto, le permitira´ leer faćilmente diferentes
textos sobre el tema (ya que por ahora no hay acuerdo una´ nime para la notacio´ n en esta materia).
Linealidad La transformada de Fourier es un operador lineal. Ma´s precisamente, si x1, x2 ∈
L1(R), y a, b ∈ R, entonces ax^1 + bx2(ξ) = ax1(ξ) + bx2(ξ).
Traslacio´ n en el tiempo. Dado a ∈ R, se tiene que
F[x(t − a)](ξ) = e−iaξF[x(t)](ξ) y F[eiaξx(t)](ξ) = F[x(t)](ξ − a)
Demostracio´ n. En realidad, esta propiedad es trivial: basta hacer un cambio de variable, como
se observa a continuacio´ n:
F[x(t − a)](ξ) =
∞
e−iξtx(t − a)dt
−∞
=
∞
e−iξ(s+a)x(s)ds (donde s = t − a)
−∞
= e−iaξF[x(t)](ξ).
La otra fo´rm ula se demuestra de forma ana´loga. Q
Cambios de escala. Si δ > 0 y xδ(t) = δ−1x(t/δ), entonces
F[xδ](ξ) = F[x](δξ) y F[x(δt)](δξ) =F(x)δ(ξ).
Demostracio´ n. De nuevo un simple cambio de variable sirve para nuestros objetivos:
F[x ](ξ) = δ−1
∫ ∞
e−iξtx(t/δ)dt
−∞
= δ−1
∞
e−iξδsx(s)δds (donde s =
t
)
−∞ δ
= F[x](δξ)
La demostracio´ n de la segunda fo´rmula es ana´loga. Q

∫
Σ
∫
.
| |
(t)=
−∞
Derivacio´ n. Si x es continua y derivable a trozos, con xj(t) ∈ L1(R), entonces
F(xj)(ξ) = iξF(x)(ξ).
Adem a´s, si tx(t) es integrable entonces
F(tx(t))(ξ) = iF(x)j(ξ).
Demostracio´ n. En este caso vamos a utilizar la fo´rm ula de integracio´ n por partes, para el ca´lcu-
lo de xˆj:
xˆj(ξ) =
∞
e−iξtxj(t)dt
−∞
= e−iξt
x(t)
t=∞
t=−∞
+ iξ
∞
e−iξtx(t)dt
−∞
= iξxˆ(ξ)
Antes de continuar desarrollando la teor´ıa, vamos a calcular algunas transformadas de Fourier:
Ejemplo 1 Consideremos la sen˜al escalo´ n
ua
Su transformada de Fourier es
1 si t < a
0 en otro caso
F(ua)(ξ) =
∫ ∞
u
∫ a
(s)e−iξsds
e−iξs
Σs=a
e−iaξ − eiaξ
= e−2πiξs
ds =
−a −iξ
=
s=−a −iξ
=
cos(−aξ) + isin(−aξ) − cos(aξ) − isin(aξ)
−iξ
sin(aξ)
= 2
ξ
a

^
∫
∫ ∫
0
0
2
Σ
Σ
x^(ξ) =
= − e u
eiξu
du + e t
e iξt
dt
= 2
.
1 −
1
ξ2x^(ξ)
Σ
; pues ya hemos visto que
∫ ∞
e−t cos(ξt)dt =
1
x^(ξ).
Teorema 1 Si x(t) = exp(−t2 ), entonces x^(ξ) =
√
π exp(−ξ2/4).
−∞
, de manera que aparezca como exponente un cuadrado perfecto.
e
−∞
−t
−
Ejemplo 2 Sea x(t) = exp(−|t|). Entonces
x(ξ) =
∞
e−|t|
e−iξt
dt
−∞
0
= ete−iξtdt +
−∞
∞
e−t
e−iξt
dt0
∫ 0
−
∫ ∞
− −
=
∫ ∞
e−t(eiξt + eiξt)dt =
∫ ∞
2e−t cos(ξt)dt
= 2
.
− cos(ξt)e−t
Σ∞
+ ξ
∫ ∞
e−t sin(ξt)dt
Σ
= 2
Σ
1 + ξ
.
e−t sin(ξt)
Σ∞
− ξ
∫ ∞
e−t cos(ξt)dt
ΣΣ
De modo que
y, por tanto,
2 0 2
x^(ξ) = 2
.
1 −
1
ξ2x^(ξ)
Σ
= 2 − ξ2x^(ξ)
2
x^(ξ) =
ξ2 + 1
Hay otros ejemplos cuyo ca´lculo no es tan sencillo como en los casos anteriores. Esto, unido a su
importancia para las aplicaciones, los traslada a la categor´ıa de teoremas:
Demostracio´ n. El primer paso para el ca´lculo de x^(ξ) =
∫ ∞
e−t2
e−iξtdt consiste en agrupar en un
resulta que
.
t +
iξ 2
2
ξ2
= t2 + iξt ,
4
y, por tanto,
−
.
t2 +iξt
Σ ξ2
= −
4
−
.
t +
iξ 2
2
∫ ∞
2
∫ ∞
ξ2
0 0
0
0
0
so´lo te´rmino el producto e−t2
e−iξt
As´ı, si tenemos en cuenta que
−∞ 0
.

∫
−
i 2ξ
e− 4 −(t+ 2 )iξ 2
ξ2 ∞
= e 4
−∞
e−(t+ 2 ) dt,
−∞
e−iξtdt = dt

i 2ξ
∫
∫
ξ
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
i 2ξ
e 2
e t
dt − e 2
γ
lo que reduce nuestro problem a al ca´lculo de la integral
∫ ∞
−(t+ )
Para ello, vamos a demostrar el siguiente resultado tećnico:
Lema 1
∞
e−t
2
dt =
√
π.
−∞
Demostracio´ n. Denotemos por I la integral que queremos calcular: I = ∞
−∞ e−t2
dt. Entonces
I2 =
.∫ ∞
e−t
2
dt
Σ .∫ ∞
e−s
2
ds
Σ
=
∫ ∞ ∫ ∞
e−(t
2+s2 )
dtds.
Si hacemos el cambio de variable a coordenadas polares,
t = ρ cos θ
s = ρ sin θ
,
cuyo Jacobiano es igual a ρ, podemos entonces hacer uso del teorema de integracio´ n por cambio de
variables, para obtener que
I2 =
∫ 2π ∫ ∞
ρe−ρ
2
dρdθ =
.∫ 2π
dθ
Σ .∫ ∞
ρe−ρ
2
dρ
Σ
0 0 0 0
= 2π
∫ ∞
ρe−ρ
2
dρ = 2π
−1
e−ρ
2
Σ∞
= 2π
1
= π.
0
Por tanto, I =
√
π. Q
2 0 2
Tomamos ahora en consideracio´ n la fo´rmula integral de Cauchy, aplicada a la funcioń entera
f(z) = exp(−z2 ). Como se trata de una funcio´ n sin singularidades, la integral
∫
exp(−z2 )dz se
anula sobre cualquier curva cerrada γ. Consideramos, pues, la curva γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4, cuyo
grafo es el borde del rectańgulo [−R, R] × [0, ξ/2] y que esta´ orientada positivamente (de modo que
γ1 va desde −R hasta R, γ2 va desde R hasta R+ iξ , γ2 va desde R+ iξ hasta −R + iξ y γ2 va desde
−R + i 2 hasta −R). Entonces
2 2 2
0 = e−z
2
dz =
γ γ1
e−z
2
dz +
γ2
e−z
2
dz +
γ3
e−z
2
dz +
γ4
e−z
2
dz
∫ R
− 2
∫ R
−(t+ )
Como esta igualdad se satisface paa todo R > 0, se concluye que
−∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−R
−R −R
−∞
−R
.
dt.
= dt.

∫
i 2ξ
∫
√∞
e−(t+ 2 )
−∞
dt =
∞
e−t2
−∞
dt = π

^
el siguiente teorema:
∫
∈
−∞
)(e^ ^
(i.e.,
∞
−∞ |x(t)|dt < ∞). Entonces x^(ξ) es continua en todo ξ ∈ R.
∞
h
y, por tanto,
√ − ξ2
,
que es lo que quer´ıamos demostrar. Q
x^(ξ) = πe 4
Ya hemos mencionado anteriormente que si la senãl es absolutamente integrable en R entonces su
transform ada de Fourier es acotada. En realidad, el siguiente resultado, ma´s fuerte, se satisface:
Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue) Si x ∈ L1(R) entonces
l´ım
ξ→±∞
F(x)(ξ) = 0.
Otro resultado importante (y, en principio, inesperado) consiste en que podemos garantizar la con-
tinuidad de x(ξ), para ξ ∈ R, incluso para senãles x(t) discontinuas. Ma´s precisamente, se satisface
Teore∫ma 3 Supongamos que x : R → C; t → x(t) es continua a trozos y absolutamente integrable
Demostracioń. Para demostrar el teorema, vamos a hacer uso de un resultado tećnico de ana´lisis real
que no cabe demostrar en un curso del nivel que nos proponemos, pero s´ıpodremos utilizar. Se trata
de una versioń del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue adaptada al contexto en que
nos encontramos:
Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue) Supongamos que tenemos una familia de funciones
xh : R → C (h ∈ R), continuas a trozos tales que existe una cierta funcioń g verificando que
|xh(t)| ≤ |g(t)| para todo t, h ∈ R
y ∞ g(x)dx < . Si adema´s sabemos que existe el l´ımite puntual
−∞
x(t) = l´ımfh(t); t R,
h→0
entonces
l´ım
∫ ∞
x (t)dt =
∫ ∞
(l´ım x (t))dt =
∫ ∞
x(t)dt.
h→0 −∞ −∞ h→0 −∞
Nota: Para la demostracioń de este resultado, ver [?].
Ahora podemos demostrar la continuidad de x(ξ). Para ello, fijado ξ ∈ R hacemos los siguientes
ca´lculos:
x(ξ + h) − x(ξ) =
∫ ∞
x(t
^
−i(ξ+h)t
− e−iξt)dt
=
∫ ∞
x(t)e−iξt(e−iht − 1)dt =
∫ ∞
x (t)dt,
−∞ −∞
h
h

−∞ 0
∫
izt
|x(t)e |dt ≤ |x(t)|es1t
dt +
donde xh(t) = x(t)e−iξt(e−iht − 1). Es claro que, para ξ, h, t ∈ R se tiene que
|xh(t)| = |x(t)||e−iξt||(e−iht − 1)| ≤ 2|x(t)|
Como g(t) = 2|x(t)|es absolutamente integrable, y existe el l´ımite puntual
l´ım xh(t) = x(t)e−iξt l´ım(e−iht − 1) = 0, t ∈ R;
h→0 h→0
se concluye que podemos utilizar el teorema de la convergencia dominada, de modo que
l´ım(x^(ξ + h) − x^(ξ)) = l´ım
∫ ∞
x (t)dt =
∫ ∞
(l´ım x (t))dt = 0,
h→0
que es lo que quer´ıamos probar. Q
h→0 −∞ −∞ h→0
Corolario 1 En las condiciones del teorema anterior, si x(ξ) es absolutamente integrable, entonces
x(t) ∈ C(R).
^
Es ma´s, si utilizam os una versio´ n ma´s fuerte del Teorema de la convergencia dominada (ver [?]),
se puede demostrar el siguiente (importante) resultado:
Teorema 5 (Riemann-Lebesgue + Continuidad de xˆ(ξ)) Sean L1(R) y C0(R) dotados de sus nor-
mas usuales "x(t)"L1(R) =
∫ ∞
|x(t)|dt y "x(t)"C (R) = supt∈R |x(t)|. Entonces F : L1(R) →
C0(R) es un operador acotado. Lo mismo sucede con el operador transformada de Fourier inversa,
F−1
: L1(R) → C0(R)
Otra propiedad importante de la transformada de Fourier es el siguiente resultado:
Teorema 6 Supongamos que las funciones x(t)es1t
y x(t)es2t
son continuas a trozos y absolutamente
integrables en toda la recta real, y s1 < s2. Entonces la funcio´ n
F (z) =
∞
x(t)e−iztdt
−∞
existe y es holomorfa en la banda
D = {z ∈ C : Imz ∈ (s1, s2)}.
Demostracio´ n. Sea z = w + is ∈ D. Entonces, para t ≥ 0, se tiene que
|x(t)e−izt| = |x(t)|est ≤ |x(t)|es2t
Adem a´s, para t ≤ 0, se tiene que
|x(t)e−izt| = |x(t)|est ≤ |x(t)|es1t
.
Por tanto,
∫ ∞
−
∫ 0 ∫ ∞
−∞ −∞ 0−∞ −∞ 0
|x(t)|es2t
dt <∞.
h h

∫
D D
| | ≥ | |
| − | ≤ ∈ ≥
∈
| − | ∈
∫ ∫
∫
∈ D
∫
∫−∞ ∞
∫
Esto demuestra la existencia de F (z) para z ∈ D. Por otra parte, fijados z∗ ∈ D, y {zn} → z∗
({zn}n∈N ⊂ D), se tiene que
|F (zn) − F(z∗)| ≤
∞
|e−iznt
−e−iz
∗
t
||x(t)|dt.
−∞
Ahora bien, sabemos que l´ımn→∞ e−iznt
e−iz∗t
= 0 (puntutalmente en t R) y, por tanto, necesi-
tamos (para utilizar el Teorema de Convergencia Dominada) encontrar una funcioń y(t) L1(R) tal
que e−izn t
e−iz∗ t
x(t) y(t) para todo t R y todo n 0. Es faćil comprobar que la funcioń y(t)
definida por y(t) = 2es2t
x(t) si t 0, y(t) = 2es1t
x(t) si t < 0 satisface dichos requisitos. Por
tanto, F es continua en . Tomamos ahora γ una curva cerrada en . Entonces, utilizando el teorema
de Fubini, vemos que
∞
F(z)dz = ( x(t)e−iztdt)dz
γ γ −∞
=
∫ ∞
(
∫ x(t)e−iztdz)dt (por Fubini)
=
∞
0dt (por el Teor. Integral deCauchy)
−∞
= 0
y, por tanto , podemos usar el Teorema de Morera para afirmar que F H( ), que es lo que
quer´ıamos demostrar. Q
Corolario 2 Si xˆ(ξ) tiene soporte compacto entonces x(t) es la restriccio´ n a R de una funcio´ n entera
x(z).
1.2. Convolucioń y Transformada de Fourier
Dadas dos senãles x(t), y(t) absolutamente integrables en R, recordamos que su convolucioń
esta´ dada por la fo´rmula
(x ∗y)(t) =
∞
x(s)y(t − s)ds.
−∞
En realidad, la convolucio´ n esta´ bien definida desde el momento en que una de las senãles sea acotada
(en R) y la otra sea absolutamente integrable.
Proposicio´ n 1 La convolucio´ n de senãles es una operacio´ n conmutativa.
Demostracio´ n. Basta hacer el cambio de variables t − s = u, de modo que:
x^∗ y(t) =
∫ ∞
x(s)y(t − s)ds = −
∫ −∞
x(t − u)y(u)du
=
∞
x(t − u)y(u)du = y˜∗ x(t). Q
−∞
−∞
γ

∗
∫
−∞
∗
∫
=
∫ ∞
.
.
.
∫∞
x(s)y(t − s)ds
.
.
. dt
∞
−∞
∞
−∞
Proposicioń 2 Si x(t) e y(t) son senãles continuas a trozos y absolutamente integrables en R, en-
tonces su convolucioń, x^y(t) es tambień una senãl absolutamente integrable. Es ma´s, se verifica la
desigualdad
"x^∗ y"L1 (R ≤ "x"L1 (R)"y"L1 (R)
Demostracio´ n. Como las senãles son absolutamente integrables, podemos utilizar el Teorem a de
Fubini, para cambiar el orden de integracioń en los siguientes ca´lculos:
"x^∗ y"L1 (R) =
∫ ∞
.
.x^∗ y(t)
.
. dt
∫−∞
.
∫−∞
.
=
∫ ∞
.∫ ∞
|x(s)|ds
Σ
|y(t − s)|dt (por F ubini)
−∞ −∞
∞
como quer´ıamos demostrar. Q
= "x"L1(R) |y(t − s)|dt = "x"L1(R)""y"L1(R),
−∞
Teorema 7 Supongamos que x, y ∈ L1(R). Entonces
x^∗ y(ξ) = xˆ(ξ)yˆ(ξ)
Demostracio´ n. Ya sabem os que x^y(t) es absolutamente integrable, de modo que podemos utilizar
el teorema de Fubini otra vez en nuestros ca´lculos:
x^∗ y(ξ) =
∫ ∞
x ∗ y(t)e−iξtdt
=
∫ ∞
.∫ ∞
x(s)y(t − s)ds
Σ
e−iξtdt
=
∫ ∞ ∫ ∞
x(s)e−iξsy(t − s)e−iξ(t−s)dsdt
=
∫ ∞
.∫ ∞
x(s)e−iξsds
Σ
y(t − s)e−iξ(t−s)dt
= xˆ(ξ)
∞
y(t − s)e−iξ(t−s)dt
−∞
= xˆ(ξ)yˆ(ξ),
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞
≤ |x(s)||y(t − s)|dsdt

Evidentem ente el teorema de convolucio´n anterior es u´til en teor´ıa de sen˜ales, puesto que los
filtros son norm almente operadores de convolucio´ n y, usando el resultado anterior, podemos convertir

^
ε
2π
2π
ξ → ±∞
ε → 0, se aproxime uniformemente a la funcion 1
una operacioń relativamente complicada (la convolucioń de senãles en el dominio del tiempo) en
otra muy sencilla (el producto de senãles en el dominio de la frecuencia). Esto lleva a pensar que
quiza´s cierto tipo de problemas que se plantean de forma natural en el dominio del tiempo se puedan
trasladar (v´ıa la transformada de Fourier) al dominio de la frecuencia, donde (supuestamente) serań
ma´s faćiles de resolver. En tal caso, una vez obtenida la solucioń en el dominio de la frecuencia,
sera´ necesario lleva´rsela al domino del tiempo v´ıa una transformacioń que debera´ funcionar como el
operador inverso de la transformada de Fourier. Con esto, queda motivado el contenido de la siguiente
seccioń.
1.3. El teorema integral de Fourier
En las secciones anteriores llegam os mediante una serie de argumentos heur´ısticos a la expresio´ n
x(t) =
1
∫ ∞
F(x)(ξ)eiξtdξ.
Ahora vamos a estudiar en detalle bajo que´ condiciones sobre la senãl x(t) se satisface dicha fo´rmula.
De la misma forma que no fue sencillo el estudio de la convergencia de las series de Fourier, la
respuesta a la pregunta que nos formulamos ahora no es trivial en absoluto. Para empezar, pudiera
suceder que F(x) = x^ ∈/ L1(R) y, por tanto, la expresio´ n
∫ ∞
F(x)(ξ)eiξtdξ no sea convergente. Un
ejemplo de que esto es perfectamente posible lo da la identid
−
a
∞
d (que ya demostramos en su momento)
sin(aξ)
F(ua)(ξ) = 2
ξ
.
por otra parte, auń en el caso de que x ∈ L1(R) es posible que para comprobar la fo´rmula
1
∫ ∞ .∫ ∞ Σ
x(t) = x(s)e−iξsds eiξtdξ
no baste con substituir por el valor de x(s) y realizar el ca´lculo de la integral doble, pues podr´ıa suced-
er que no podamos hacer ciertas operaciones como, por ejemplo, intercambiar el orden de integracioń
(debido a que no hay convergencia absoluta para la integral doble).
Pero podemos intentar lo siguiente:
Primero multiplicamos el integrando x(ξ) por una funcioń Φ (ξ) que decrezca muy ra´pido para
pero que, si hacemos
^ ε
´ . De esta
forma, para ε > 0 fijo, podemos hacer las cuentas (intercam biar el orden de integracioń, etc)
pues la correspondiente integral doble es absolutamente convergente.
A continuacioń intentamos llegar a nuestro resultado tomando ε → 0.
Existen varias elecciones de Φε(ξ) que funcionan (y, por tanto, existen varias versiones del Teore-
ma Integral de Fourier2
). Una posibilidad es tomar Φ (ξ) = e−ε2ξ2/2
y, de hecho, el correspondiente
teorema es muy usado para el estudio de procesos estoca´sticos. Nosotros vamos a elegir Φε(ξ) de
2
En realidad, esto es parecido a la existencia de varios me´todos de sumacio´ n para las series de Fourier.
−∞
−∞ −∞
−∞ −∞

∫
∫
.∫
∫
∫
convergencia de la integral impropia en el sentido estricto sino que interpretamos que denota su valor
principal,
−M
2π
−M −∞
e−iξseiξtdξ
Σ
ds
2π −∞ i(t−s)
ξ=−M
= 1
x(s) sin(M (t−s))
ds + 1
x(s) sin(M (t−s))
ds
π 0 u
M
∫
forma un poco ma´s dra´stica. Tomamos: Φε(ξ) = χ[− 1
,1
](ξ), lo que es equivalente a interpretar la
integral ∞ e
−∞
iξt
x^(ξ)dξ
ε ε
como su valor principal. Es decir, para nuestro teorema, no suponemos la
v.p
.∫ ∞
x(ξ)eiξtdξ
Σ
= l´ım
∫
x(ξ)eiξtdξ.
−∞
^
r→∞ −M
^
De esta forma, llegamos a demostrar el siguiente (importante) resultado:
Teorema 8 (Teorema Integral de Fourier) Supongamos que x(t) es continua a trozos, absoluta-
mente integrable en R, en cada punto admite ambas derivadas laterales, y que en los puntos de
discontinuidad esta´ definida como
Entonces
x(t) = (x(t+) + x(t−))/2.
x(t) = l´ım 1
∫ M
eiξtx(ξ)dξ = 1 v.p
.∫ ∞ eiξtx(ξ)dξ
Σ
(t ∈ R)
M→∞ 2π −M
^
2π −∞
^
1
∫ M
x^(ξ)eiξtdξ = 1
∫ M
.∫ ∞
x(s)e−iξsds
Σ
eiξtdξ
= 1
∫ ∞
x(s)
.
eiξ(t−s)
Σξ=M
Σ
ds
= 1 ∞
2π∫ t
−∞
x(s)2 sin(M (t−s))
ds
t−s ∫ ∞
Si hacemos el cambio de variable u = s − t, entonces
1 M
x iξt 1
∫ 0 sin(M u) 1
∫ ∞ sin(Mu)
.
2π −M
^(ξ)e dξ =
π
x(u + t)
−∞
du +
u π 0
x(u + t) du
u
Vamos a demostrar que
1
∫ ∞
x(t + u)
sin(M u)
du =
x(t+)
π 0 u 2
y
1
∫ 0
x(u + t)
sin(M u)
du = x(t−)
.
π −∞ u 2
En realidad, basta que hagamos una de estas pruebas (la otra es ana´loga). Lo primero que hacem os es
descomponer la integral 1 ∞
x(t + u)sin(Mu) du en dos trozos, como sigue
1 ∫ ∞
Demostracio´ n. Utilizamos el teorem a de Fubini para ver que
2π
= 1
2π
∞
−∞
x(s) M
−M
π −∞ t−s π t t−s
π −∞ t−s π t t−s
Demostracio´ n. Utilizamos el teorem a de Fubini para ver que

x(t + u) sin(M
u)
du =
1 ∫
π x(t +
u)
sin(M u) du +
1
∫
∞
x(t +
u)
sin(M
u)
d
u
π 0 u π 0 u π π u

∫
u
∫ Σ ∫
u
0 si u < π
Por tanto, l´ımM→∞ 1
∫ ∞ x(t+u)
sin(M u)du = 0 y so´lo tenemos que estudiar el l´ımite
0 s 2
Nota 3 Veamos que
∫ ∞ sin(s)
ds = π . Como sin(s) es continua en [0, ∞), la integral impropia sera´ con-
vergente si y solo si lo es laintegral
s ds para alguna eleccio´ n de a > 0. Para demostrar esto
Ahora bien,
.
.sin s
.
. ≤ 1
y
∫ ∞ 1
ds < ∞. Esto demuestra que nuestra integral impropia existe.
Teniendo en cuenta que sin u
es una funcioń continua concluimos que la integral impropia
∫ ∞ sin(s)
ds
∫
−
∫
(la eleccioń de la constante π no es, de todas formas, significativa). La funcioń
. 1 x(t+u)
si u ≥ π
es continua a trozos y absolutamente integrable en R, de modo que podemos utilizar el Teorema de
Riemann Lebesgue para garantizar que
l´ım
M →∞
∞
y(t)sin(M t)dt = 0
−∞
M π u
l´ım 1
∫ π
x(t + u) sin(M u) du.
M →∞ π 0 u
Ahora bien, sabemos que h(u) = x(t+u)−x(t
+
)
es continua a trozos y, por tanto, tambień como conse-
cuencia del Teorema de Riemann-Lebesgue, se tiene que
l´ım
1
∫ π
x(t + u)
sin(M u)
du
M →∞ π 0 u
= l´ım 1
.∫ π
x(t + u) − x(t+) sin(M u)du +x(t+)
∫ π
sin(M u) du
Σ
M→∞ π 0 u 0 u
= l´ım
x(t+) π sin(M u)
du
M →∞ π 0 u
Si hacemos el cambio de variable s = M u, obtenemos que du
= ds y, por tanto,
l´ım
∫ π
sin(M u) du = l´ım
u
∫ πM
sin(s)
s
ds =
∫ ∞
sin(s)
ds
M→∞ 0 u M→∞ 0 s 0 s
La demostracio´ n del teorema se concluye si tenemos en cuenta que
∫ ∞ sin(s)
ds = π , hecho que
0 s 2 ∫ ∞ sin(s)
s
u´ltimo, hacemos integracio´ n por partes.
∞
sin(s)
ds =
a s
cos s s=∞
+
s s=a
∞
sin(s)
ds
a s2
se podra´ representar como
u
∫ ∞
sin(s)
ds = l´ım
0 s
Rn
sin(s)
ds
y(t) = π
separamos en forma de nota. Q
separamos en forma de nota. Q
s2 s2 a s2
a

(n + 1 )π, de modoque
2
2
∈ ^ ^ ∈
^
sencilla razo´ n de que la integral ∞
x(t)eiξtdξ podr´ıa ser divergente si x(t) ∈/ L1(R). Auń as´ı, ser´ıa
En principio, la transform ad∫a de Fourier de una senãl x(t) ∈ L2(R) podr´ıa no existir, por la
∫
∫
para alguna eleccio´ n de la sucesio´ n {Rn}∞
n=0. Para hacer efectivos los ca´lculos, tomamos Rn =
2
∫ ∞
sin udu = l´ım
π
sin((n +1/2)t)
dt
0 u n→∞ 0 t
= l´ım
π
2 sin( 1 t) sin((n + 1/2)t)
dt
n→∞ 0 t
2 sin(1t)
= l´ım
∫ π
2 sin( 1 t)
Dn(t)dt
n→∞ 0
π
= l´ım
t
2 sin(1t) π2
= ,
2 t→0+ t 2
(donde se ha utilizado el Teorema de Dirichlet ??). Esto finaliza la prueba. Q
1.4. Transformada de Fourierde funciones de L2
(R)
deseable disponer de una extensio
−
ń
∞
de la transformada de Fourier a todo L2(R): despues de todo,
L2(R) es el substituto natural (en el mundo analo´gico) de l2(Z) y, ya que la serie de Fourier ten´ıa tan
buenas propiedades en relacioń con el espacio l2(Z), quiza´s consigamos algo parecido para la
transformada de Fourier.
La extensioń a que nos referimos se puede hacer en gran medida gracias al siguiente resultado
tećnico:
Lema 2 Si x(t), y(t) L1(R) son tales que tambień x(t), y(t) L1(R), entonces tanto x(t), y(t)como x(t), y(t) pertenecen a L2(R) y adem a´s
^ ^
1(x, y)L2 (R) =
2π
(x^, y^)L2 (R)
En particular, si x(t) = y(t), entonces se tiene la siguiente “fo´rmula de Parseval”:
1
||x||L2 (R) =
2π
||x^||L2 (R)
Demostracio´ n. Que x(t), x(t) ∈ L1(R) implica x(t), x^(t) ∈ L2(R) es sencillo de probar. Vamos a
2

∫
∫
^ ^
lo es (al ser convergente) y
del lema an
^
terior que la sucesioń x ∞ 2 ´
∞
(ξ) es de Cauchy en L (R), ya que
la sucesion x (t)
||^ − ||
^
^
^
^
^
^ ^
2π −∞ −∞
=
1
∫ ∞
x(t)
.∫ ∞
y^(ξ)eiξtdξ
Σ
dt
2π −∞ −∞
2π −∞ −∞
=
1
∫ ∞
y^(ξ)
.∫ ∞
x(t)e−iξtdt
Σ
dξ
n→∞ n→∞
extiende de forma uńica a un operador F : L2(R) → L2(R) (F(x(t)) = x^(ξ)). Adema´ s,
calcular el producto (x, y)L2(R) utilizando el teorema integral de Fourier:
(x, y)L2(R) =
∞
x(t)y(t)dt
−∞
Esto termina la prueba. Q
1 ∞
=
2π −∞
1
y^(ξ)x^(ξ)dξ =
2π
(x^, y^)L2 (R)
Ahora, si x(t) ∈ L2(R), entonces es posible encontrar una sucesioń de senãles {xn(t)}∞
n=0 tales
que xn(t), xn(ξ) ∈ L1(R) para todo n ≥ 0 y l´ımn→∞ ||x − xn||L2(R) = 0 (ver [?]). Se sigue entonces
{^n }n=0 { n }n=0
||xn(ξ) − xm(ξ)||L2(R) = 2π||xn(t) − xm(t)||L2(R)
se satisface para todo n, m ≥ 0. Se sigue que existe una senãl z(ξ) ∈ L2(R) tal que
.
l´ım xn(ξ) z(ξ) L2(R) = 0
n→∞
Veamos que z(ξ) no depende de la sucesio´ n de aproxim antes {xn(t)}∞
n=0 : si {yn(t)}∞
n=0 fuese otra
sucesioń de senãles con yn(t), yn(ξ) ∈ L1(R) y l´ımn→∞ ||x − yn||L2 (R) = 0, entonces se tendr´ıa que
l´ım ||x^n(ξ) − y^n(ξ)||L2 (R) = 2π l´ım ||xn(t) − yn(t)||L2 (R) = 0
y, por tanto, tambień l´ımn→∞ ||yn(ξ) − z(ξ)||L2 (R) = 0. Esto prueba que z(ξ) so´lo depende de la senãl
x(t) ∈ L2(R).
Definicio´ n 3 Llamamos transformada de Fourier3
de la senãl x(t) ∈ L2(R) a la uńica senãl x(ξ) tal
que es l´ımite en el sentido de L2(R) de una sucesioń de transformadas {xn(ξ)}∞
n=0, donde {xn(t)}∞
n=0 ⊂
L2(R) satisface xn(t),xn(ξ) ∈ L1(R) para todo n ≥ 0 y l´ımn→∞||x − xn||L2(R) = 0.
De esta forma hemos demostrado el siguiente (importante) resultado:
Teorema 9 (Plancherel) La transformada de Fourier, definida originalmente en L2(R) ∩ L1(R), se
1
(x, y)L2(R) =
2π
(x, y)L2(R)
se satisfacen para toda eleccio´ n de x,y ∈ L2(R).
1
||x||L2 (R) =
2π
||x^||L2 (R)
Nota 4 El resto de propiedades algebraicas de la transformada de Fourier tambień se conservan
para la extensioń que hemos definido en esta seccio´ n.
[?].
3
Algunos autores llaman transform ada de Plancherel a la extensio´ n de F a L2 (R) y la denotan por P. Ver, por ejemplo,
=
1
∫ ∞
.∫ ∞
y^(ξ)x(t)e−iξtdt
Σ
dξ
y ,

Σ
−∞
∫ ∞ ∫ ∞ ∫
∞
∞
T
∞ ∞
∈
∈
F
∈ F ∈
F ∈ ∈ ∞
T dt =
T
T dt =
T
T dt
Σ
Σ Σ
1.5. Fo´rmula de Poisson
Sea x ∈ L1(R) y sea ϕ(t) = ∞
n= x(t + nT ). Es evidente que ϕ(t) = ϕ(t + T) para todo
t ∈ R y, adema´s,
T
|ϕ(t)|dt ≤
n
Σ
=−∞
T
|x(t + nT)|dt =
n
Σ
=−∞
(n+1)T
nT
|x(t)|dt = "x"L1 < ∞
por tanto, podem os intentar calcular los coeficientes de Fourier de ϕ como funcio´ n T-perio´ dica.
1
∫ T
2π ikt 1 Σ ∫ T
2π ikt 1 Σ ∫ (n+1)T 2π ikt
=
1
∫ ∞
x(t)e−
2πikt
dt =
1
x^(
2πk
)
T −∞ T T
Se sigue que el desarrollo en serie de Fourier de ϕ es
∞
1
ϕ(t) ∼
2πk 2πikt
x^( )e T
T T
k=−∞
y, por tanto, cuando se pueda garantizar la convergencia de dicho desarrollo, se tendra´ la conocida
fo´rm ula de Poisson ∞ ∞
1
x(t + nT ) =
2πn 2πint
x^( )e T (2)
n=−∞
T T
n=−∞
Un caso especial es el que se logra de hacer t = 0 en la expresio´ n anterior:
n
Σ
=−∞
1
x(nT ) =
T
n
Σ
=−∞
2πn
x^(
T
).
Es muy importante, para nuestros objetivos futuros (relacionados con la teor´ıa del muestreo de senãles
analo´gicas), observar que se satisface la siguiente propiedad:
Proposicio´ n 3 Si x = φ ∈ S, entonces se satisface la Fo´rmula de Poisson (2).
2. Transformada de Fourier de Senãles Generalizadas
Uno de los problemas que tiene el concepto de transformada de Fourier es que para calcular (x)
es necesario asumir que x L1(R) o, mediante el argumento explicado en la seccioóń anterior, tam-
bien podemos ampliar dicho ca´lculo al caso en que x(t) es una senãl de energ´ıa finita, x L2(R).
¿Podemos definir la transformada de Fourier de senãles en espacios menos restrictivos?. Por ejem-
plo, ¿es posible definir (x) cuando x Lp(R), p (1, )? (Una idea podr´ıa ser considerar los
elementos de Lp(R) como funciones generalizadas).
Si tenemos en cuenta que para toda funcioń φ S se tiene que (φ) S (algo que dejamos
como ejercicio para el lector), entonces podemos definir la transformada de Fourier de una senãl
generalizada x ∈ G del siguiente modo:
0 0
T 0
n=−∞
0
n=−∞
nT
T
− − −
(3)
ck(ϕ) = ϕ(t)e x(t + nT )e x(t)e

^^
^
2π
^^
∫
∫
2π 2π
−∞
2π −∞
=
1
∫ ∞
x(t)φ
^^(t)dt
Definicio´ n 4 Sea x ∈ G una funcio´ n generalizada arbitraria. Definimos su transformada de Fourier
(generalizada) F(x) mediante la fo´rmula siguiente:
F(x){φ} = x{F(φ)}
Tambień usamos la notacio´ n x = F(x).
Nota 5 En la definicio´ n anterior se esta´ utilizando la caracterizacio´ n de las funciones generalizadas
como distribuciones temperadas (i.e., funcionales continuos h : S → C). Ver Teorema ??.
El concepto que acabamos de introducir permite hacer un uso muy extenso de las transformadas de
Fourier ya que en principio no hay grandes restricciones para las funciones generalizadas. En particu-
lar, esto se hara´ notar en el estudio del teorema del muestreo cla´sico. Ahora, para que la transformada
de Fourier que acabamos de introducir sea u´til es imprescindible comprobar que las propiedades
ba´sicas de la transformada de Fourier cla´sica se conservan.
Teorema 10 (Teorema de inversio´ n de Fourier para sen˜ ales generalizadas) Sea x(t) ∈ G una fun-
cioń generalizada. Entonces para toda senãl φ ∈ S se tiene que
1
2π
x{φ(t)} = x{φ(−t)},
y, por tanto, podemos afirmar que x(t) = 1 x(−t).
Demostracio´ n. Sean x ∈ G y φ ∈ S. Entonces
=
∞
x(t)φ(−t)dt
−∞
= x{φ(−t)}
Q
Nota 6 Obse´rvese con que´ facilidad hemos podido demostrar el teorema de inversioń para senãles
generalizadas, a pesar de lo dificil que fue su prueba para las senãles ordinarias. Ahora bien: dicha
simplicidad es enganõsa puesto que nuestra prueba descansa sobre el hecho de que se conoce el
teorema de inversioń de Fourier para las funciones φ que estań en la clase de Schwartz, que son
senãles ordinarias.
Ejemplo 3 Vamos a calcular la transformada de Fourier de la funcioń delta de Dirac δ. Por defini-
cioń, F(δ){φ} = δ{F(φ)} = F(φ)(0) y, por tanto,
F(δ){φ} = φˆ(0) =
∞
φ(s) · 1ds = 1{φ}.
−∞
1
x^^{φ(t)} =
1
∫ ∞
x^(t)φ^(t)dt

−
δ(F −
w
∫
∫
Σ .
ΣΣ
^
∞
∞
∞
T
n
Σ
para toda senãl φ ∈ S. Por tanto, hemos demostrado que F(δ) = 1. Adema´ s, utilizando el teorema de
inversio´ n de Fourier, y el hecho de que δ es par, podemos afirmar que (1)(t) =
ˆˆ t) = 2πδ( t) =
2πδ(t). Adema´ s, si consideramos las traslaciones de la senãl delta de Dirac, δw(t) = δ(t w),
entonces obtenemos que
δ^{φ} =
∫ ∞
δ(t − w)φˆ(t)dt
−∞
=
∞
δ(s)φˆ(s + w)dt
−∞
= φˆ(w)
es decir, δ(^· − w)(t) = exp(−wit).
=
∞
e−iwtφ(t)dt
−∞
= (e−iwt){φ},
Ejemplo 4 El ejemplo anterior sirve (entre otras cosas) para calcular la transformada de Fourier de
una exponencial compleja, x(t) = exp(iwt). Para ello basta aplicar el Teorema 10, pues
x ^
(t) = δ(· − w)(t) = 2πδ(−t − w) = 2πδ(t + w).
Ejemplo 5 Otro ejemplo importante es el ca´lculo de la transformada de Fourier del tren de impulsos
III{φ}T = n
∞
=−∞ φ(nT ). Claramente, IIIT {φ} = ∞
n=−∞ δ(· − nT ) {φ}. Por tanto,
∞
IÎIT {φ} =
=
=
n
Σ
=−∞
n
Σ
=−∞
n
Σ
=−∞
δ(^· − nT ){φ}
exp(−inT t){φ}
φ^(nT )
2π
=
T
n=−∞
2π
φ(
2π
n) (gracias a la Fo´rmula de Poisson (3)).
T
=
Es decir, IÎIT = 2π III2π .
T
III2π {φ}.
T T
Teniendo en cuenta la conocida fo´rm ula de derivacio´ n de Leibnitz,
(fg)(n) =
Σ
k=0
.
n
Σ
f(k)
g(n−k)
,
k

n
≤ ∈
∈ ∈ ≤
^ ^ ^ · · · ∈
∫
˜
−∞
^ ^^
^
˜
∫
^
^
ˆ ^ ^
2π −∞
1
2π
∞
−∞
2π −∞
=
1
∫ ∞
α^(t)(φ ∗ ϕ˜^)(t)dt
2π 2π
se puede demostrar que si la senãl α satisface
α(k) ∈ CSG para todo k ∈ N, (4)
entonces, para toda senãl φ ∈ S se tiene que αφ ∈ S. Vea´moslo. Para ello, calculam os las derivadas
(αφ)(n) =
Σ
k=0
.
n
Σ
α(k)
φ(n−k)
.
Como α(k) CSG y φ(n−k) S para todo k n, se tiene que las funciones α(k)φ(n−k) pertenecen a
S para todo k n y, por tanto, tambień se tiene que (αφ)(n) S.
Obviam ente, si la senãl α satisface la condicioń (4), podemos definir para toda senãl generalizada
x ∈ G, el producto generalizado
(α · x){φ} = x{φ · α}.
Obviam ente, si la senãl α satisface la condicioń (4), podem os definir para toda senãl generalizada
x ∈ G, el producto generalizado
(α · x){φ} = x{φ · α}.
Por otra parte, la convolucioń de senãles generalizadas se puede definir de la siguiente forma: Supong-
amos que las senãles β, βj, βjj, pertenecen a S. Entonces, para toda senãl x G se define el
producto de convolucioń
donde β˜(t) := β(−t).
(β ∗ x){φ} :=
∞
x(t)(φ ∗ β)(t)dt,
−∞
Vamos a probar que entonces se satisface la siguiente importante propiedad:
Teorema 11 (Producto y Convolucio´ n) Sean α(t) verificando (4) y x ∈ G. Entonces
1
α · x =
2π
α ∗ x.
Demostracio´ n. Para empezar, si tenemos en cuenta que α verifica (4), entonces β = α satisface las
condiciones necesarias para definir el producto de convolucio´ n β ∗ x, puesto que β = α = 2πα.
Sea ϕ ∈ S. Entonces, para toda senãl φ ∈ S se tiene que
(^ϕα){φ} =
∫ ∞
(ϕα)(t)φ(t)dt
=
∞
α(t)(φ(t)ϕ(t))dt
−∞
=
1
∫ ∞
α(t)(
^
φ
∫
∗ ϕ^˜)(t)dt
=
1
∫ ∞
(α^ ∗ ϕ^)(t)φ(t)dt =
1
(α^ ∗ ϕ^){φ}
k
=
= α^(t)(φ ∗ ϕ^˜)(t)dt
−∞
−∞

LAFA. Laboratorio de Ana´lisis de Fourier Aplicado
ϕ
lo que demuestra que (^ϕα) = 1 (α ∗ ϕ^) siempre que ϕ ∈ S. En particular, hemos dado una prueba
−∞
ˆ
∫
^
^
2π −∞
^
^
∗
^ ^ ^
α ∗ x^{φ} esta´ bien definido.
1
2π
∞
−∞
−∞
=
1
∫ ∞
α^(t)(φ ∗ x˜^)(t)dt
=
1
∫ ∞
(α^ ∗ x^)(t)φ(t)dt =
1
(α^ ∗ x^){φ}
expl´ıcita de que para toda senãl
2π
∈
^
S se tiene que ϕ ∗ α˜ ∈ S y, por tanto, el producto de convolucio´ n
^
Terminamos la demostracioń calculando α · x{φ} expl´ıcitamente:
(^α · x){φ} =
∫ ∞
x(t)α(t)φ(t)dt
=
∞
α(t)(φ(t)x(t))dt
−∞
=
1
∫ ∞
α(t)(
^
φ
∫
∗ x^˜)(t)dt
2π −∞ 2π
Q
3. Transformada de Fourier y sistemas LTI: diferentes tipos de
filtros
Ya sabemos que una clase amplia de filtros se pueden representar a trave´s de la convolucioń
contra la respuesta del sistema LTI al impulso unidad (i.e., Lx = x h, donde h = Lδ). Si tomamos
la transformada de Fourier a ambos lados de la igualdad, obtenemos que el sistema LTI se puede
representar en el dominio de la frecuencia como
y = F(Lx) = F(x)F(h) = x · h
Generalmente, se emplea la notacioń siguiente: X(w) = x(w) representa la entrada del sistema e
Y (w) = y(w) representa la salida del sistema (ambas en el dominio de la frecuencia). En tal caso, la
senãl H(w) = h(w) caracteriza completamente el sistema (en el dominio de la frecuencia). La senãl
H(w) recibe el nombre de funcioń de transferencia del sistema. Evidentemente, la fo´rm ula
Y (w) = X(w)H(w),
que describe completamente el sistema en el dominio de la frecuencia, es ma´s sencilla (en principio)
que la correspondiente fo´rmula en el dominio del tiempo. Esto, adema´s, posee importantes aplica-
ciones para el disenõ de filtros: veamos por que´.
=
=
2π
α^(t)(φ ∗ x^˜)(t)dt

∫
∫
∫
≥ ∈
.
0 otro caso
Considerem os la senãl exponencial truncada:
iwt
.
eiwt |t| ≤ T
y sea L un filtro con respuesta al impulso unidad dada por (Lδ)(t) = h(t). Entonces se tiene que
(LxT )(t) = (xT ∗ h)(t) =
∞
x
−∞
(t − s)h(s)ds
T +t
=
T −t
eiw(t−s)
h(s)ds
= eiwt
T +t
T −t
e−iwsh(s)ds
Si ahora tomamos l´ımite T → ∞ en ambos miembros de la igualdad, entonces obtenemos que
L(eiwt)(t) = h(w)eiwt.
Es decir: eiwt es un autovector del operador L y su autovalor asociado es precisamente H(w) = h(w).
Esto nos lleva a considerar el siguiente concepto:
Definicioń 5 Sea H(w) = A(w)e−iΦ(w) la funcioń de transferencia del filtro L, donde se supone
que A(w) 0 y Φ(w) R para todo w. Entonces llamamos espectro de amplitud del sistema a la
funcio´ n A(w) y espectro de fase a la funcioń Φ(w). Decimos que el sistema no produce distorsio´ n
en las amplitudes si la funcioń A(w) = A0 > 0 es constante. Decimos que el filtro produce un
desplazamiento en la fase si la funcioń Φ(w) es lineal, Φ(w) = wt0. En tal caso, decimos que el
filtro es ideal, ya que no produce distorsioń en la fase.
Una propiedad sencilla de los espectros de fase y de amplitud de un filtro, es la siguiente:
Teorema 12 Supongamos que h(t) = (Lδ)(t), la respuesta al impulso unidad es una senãl real.
Entonces el espectro de amplitudes del sistema es una funcioń par y el espectro de frecuencias del
sistema es una funcio´ n impar.
Demostracio´ n. Como H(w) = A(w)e−iΦ(w) = h(w), tenemos que
H(w) =
∫ ∞
e−iwsh(s)ds =
∫ ∞
eiwsh(s)ds = H(−w).
Por tanto,
A(w)e−iΦ(w) = A(w)eiΦ(w) = H(w) = H(−w) = A(−w)e−iΦ(−w),
lo que nos lleva a las igualdades
A(w) = A(−w) (i.e., A es par)
Φ(−w) = −Φ(w) (i.e., Φ es impar),
que es lo que quer´ıamos probar. Q
A continuacioń, vamos a describir la construccio´ n de algunos tipos (importantes) de filtros ideales:
−∞ −∞
xT (t) =e χ[−T,T ](t) =
T

| |
| | ≥
∫
0
∫
∫
0
| | ≥
| |
0 otro caso
.
3.0.1. Filtros ideales paso bajo
En el caso de un filtro ideal paso-bajo queremos eliminar la influencia de todas las frecuencias w
que sobrepasen en amplitud una frecuencia dada (i.e., con w w0 para cierto valor fijo w0 > 0),
y no distorsionar la influencia de las frecuencias w que satisfacen w < w0. Como el filtro es ideal,
tendremos que Φ(w) = wt0 para cierto t0 fijo. Ambas exigencias nos llevan derechos a la expresioń
.
e−iwt0
|w| ≤ w0
Como H(w) = h(w), podem os usar el teorem a de inversio´ n de la transformada de Fourier para
obtener que la respuesta al impulso unidad del correspondiente sistema LTI viene dada por
hw0 (t) =
1 ∞
2π −∞
Hw (w)eiwtdw =
1 w0
2π −w0
eiw(t−t0)
dw
=
sin(w0(t − t0))
π(t − t0)
y, por tanto, nuestro filtro esta´ dado por
Lw0 (x)(t) =
∞
x(s)
sin(w0(t − s − t0))
dsπ(t − s −t )
−∞ 0
3.0.2. Filtros ideales paso todo
En el caso de un filtro ideal paso-todo, no deseamos ninguń tipo de distorsioń sobre el espectro de
amplitudes o el espectro de fases. Esto significa que podr´ıamos tomar como filtro paso todo el sistema
L obtenido como l´ımite del sistema Lw0 calculado en el apartado anterior, para w0 → ∞,
(Lx)(t) = l´ım
∫ ∞
x(s)
sin(w0(t − s − t0))
dsw0→∞ −∞ π(t − s − t0)
=
∫ ∞
x(s)δ(t − t − s)ds = x(t − t )
0
−∞
Esto demuestra que los uńicos filtros ideales paso-todo que existen son las traslaciones en el tiempo.
3.0.3. Filtros ideales paso alto
Denotemos por Sw0 un filtro ideal que elimine todas las componentes de frecuencia de la senãl
para frecuencias que satisfacen w < w0 para cierto w0 fijo, pero deje intactas las componentes de
frecuencia w w0 (diremos entonces que Sw0 es un filtro ideal paso alto) y sea Lw0 el filtro paso
bajo descrito anteriormente. Entonces Sw0 + Lw0 es forzosamente un filtro paso todo y, por tanto,
(Sw0 x)(t) = x(t − t0) − (Lw0 x)(t) para cierta eleccioń de t0.
Hw0 (w) =

− −
| − |
.
{| − | | |} ≤
0
0
^
∫
∈ | | ∈
wc,w0
2π
wc,w0
∫
3.0.4. Filtros ideales de banda estrecha
En muchas aplicaciones queremos eliminar todas las componences de frecuencia de una senãl
excepto aquellas que estań muy cerca de una componente de frecuencia prefijada, wc = 0. Para ello,
fijamos un valor pequenõ w0 << wc y entendemos como frecuencias cercanas a wc aquellas para las
que w wc < w0. Como el espectro de amplitudes es par (estamos tratando con senãles reales),
el comportamiento cerca de wc esta´ sujeto a la relacioń A( w) = A(w). Como de todas formas
queremos que el filtro sea ideal, la correspondiente funcioń de transferencia debe ser forzosamente de
la forma
Hwc,w0 (w)=
e−iwt0
si máx w wc , w + wc w0
0 otro caso
La respuesta al impulso unidad es, por tanto:
h (w) =
1
∫ ∞
H (w)eiwtdw
1 −wc+w0
= eiw(t−t0)
dw +
1
∫ wc+w0
eiw(t−t0)
dw
2π −wc−w0
1
2π wc−w0
=
π(t − t )
{sin((wc + w0)(t − t0)) − sin((wc − w0)(t − t0))}
1
=
π(t − t )
sin(wc(t − t0))cos(wc(t − t0)).
Nota: Como se habra´ observado, los filtros ideales tienen el problema de ser sistemas no causales y,
por tanto, ser f´ısicamente irrealizables. En la praćtica aparece, por tanto, el siguiente importante
problema: buscar aproximaciones razonablemente buenas a los diferentes tipos de filtros ideales (i.e.,
a las funciones de transferencia de dichos filtros) mediante el uso de funciones de transferencia que
se correspondan con filtros causales. Este problema no es en absoluto sencillo de resolver (ni existe,
por el momento, una solucioń o´ptima del mismo) y, debido a la naturaleza elemental de estas notas,
no abordamos su solucio´ n aqu´ı.
4. Transformada de Laplace
4.1. Algunas limitaciones de la Transformada de Fourier
Como ya hemos comentado anteriormente, una de las limitaciones ma´s significativas de la Trans-
formada de Fourier
F(x)(ξ) := x(ξ) :=
∞
x(s)e−iξsds
−∞
es que para garantizar su existencia (cuando consideramos senãles que son funciones en el sentido
ordinario del te´rmino), necesitamos exigir que la senãl x(t) sea absolutamente integrable, ya que, al
ser ξ R, se tiene que e−iξs = 1 para toda eleccioń de s R. Si suponemos que nuestra senãl es
causal (i.e., x(t) = 0 para t < 0) y permitimos que ξ tome valores complejos, la situacioń cambia,
puesto que
|e−zt
| = |e−(tRez+iImz)
| = |e−tRez
|
−∞

⊂
b
Σ
Σ
es una funcioń absolutamente integrable en (0, ∞) si Rez > 0 y, por tanto,
L(x)(z) := F(x)(−iz) =
∫ ∞
x(s)e−zsds
converge incluso para funciones no acotadas x(t).
Definicio´ n 6 Dada la senãl x(t), su transformada de Laplace4
es la funcio´ n de variable compleja
L(x)(z) =
∫ ∞
e−zsx(s)ds; z ∈ Ω,
donde Ω C es el conjunto de puntos del plano complejo para los que la integral del segundo
miembro de la fo´rmula anterior es convergente.
En algunos textos se llama transformada de Laplace unilateral a la transformada que acabamos de
definir y se define la transformada de Laplace tomando la integral en toda la recta real. Para nosotros,
la transformada
L (x)(z) =
∫ ∞
e−zsx(s)ds
−∞
recibe el nombre de transformada de Laplace bilateral.
4.2. Propiedades elementales de la transformada de Laplace
Antes de describir las propiedades ma´s importantes de la transformada de Laplace, veamos al-
gunos ejemplos.
Ejemplo 6 Tomamos x(t) = u(t), la funcioń escaloń unidad. Entonces
L(x)(z) =
∫ ∞
e−zsds = l´ım e−zs s=L
=
1
, para z > 0.
0 L→∞ −z =0 z
Si z < 0, entonces la integral impropia anterior es divergente y, por tanto, no existe transformada
de Laplace en dichos valores.
Ejemplo 7 Tomamos x(t) = exp(at) (a ∈ R). Entonces
L(x)(z) =
∫ ∞
e−zseasds =
l´ım
e(a−z)s s=L
=
1
, para z > 0.
0 L→∞ a − z =0 z − a
4
P. S. Laplace (1749-1827). Matema´tico france´s. En palabras del profesor Solomon Bochner (ver [?]), podemos afirmar
que Laplace domino´ la matema´tica, astronom´ıa, f´ısica y teor´ıa de probabilidades de su e´poca, y contribuyo´ a todas ellas.
De origen social modesto, comenzo´ como protegido de D’Alembert. Sus resultados ma´s importantes fueron: una hipo´tesis
cosmolo´gica, la revisioń de la fo´rmula de Newton para la propagacioń del sonido; una memoria con Lavoisier sobre
aspectos cuantitativos de la qu´ımica y la introduccioń de las integrales de Laplace como funciones generatrices en la
teor´ıa de la probabilidad.
0
0
0

2i
0
2
0
−
∫ ∞ ∫
∫
(e zT
)k e zu
x(u)du
−
Σ
∫
Ejemplo 8 Tomamos x(t) = sin(at). Entonces podemos utilizar que sin(at) = exp(iat)−exp(iat)
L(x)(z) =
∫ ∞
e−zs sin(as)ds
=
∫ ∞
e−zs exp(ias) − exp(ias)
ds
0
exp(iat)
2i
exp(iat)
= L(
1
=
2i
)(z) − L(
.
1
−
1
Σ
)(z)
2i
2i z ia
a
z + ia
=
z2 + a2 (para z > 0).
Ejemplo 9 Tomamos x(t) = cos(at). Entonces podemos utilizar que sin(at) = exp(iat)+exp(iat)
L(x)(z) =
∫ ∞
e−zs cos(as)ds
=
∫ ∞
e−zs exp(ias) + exp(ias)
ds
0
exp(iat)
2i
exp(iat)
= L(
2
)(z) + L( )(z)2
=
1
.
1
+
1
Σ
2 z ia z + ia
z
=
z2 + a2 (para z > 0).
Ejemplo 10 Consideremos ahora la transformada de Laplace de una funcioń x(t) cont´ınua a trozos
y T-perio´ dica. Entonces:
L(x)(z) =
∞
e−zs
0
x(s)ds =
Σ
k=0
(k+1)T
kT
e−zs
x(s)ds
=
k=0
T
e−z(u+kT)x(u)du (donde s = u + kT )
0
.
Σ∞
−
Σ ∫ T
−
1 T
= e−zux(u)du.
1 − e−zT
0
Podemos probar faćilm ente la siguiente proposicioń.
Proposicio´ n 4 Sea x(t) una senãl causal continua a trozos con valores reales o complejos. Si existen
constantes a y K tales que
|x(t)| ≤ K exp(at), para todo t ≥ 0
entonces L(x)(z) esta´ bien definida para todo z ∈ C tal que Re(z) > a.
0
k=0 0
∞
=

0
. .
∈
L
L
Demostracio´ n. Basta observar que
|L(x)(z)| ≤
∫ ∞ .
e−zsx(s)
.
ds
=
∫ ∞
e−Re(z)s
|x(s)| ≤ K
∫ ∞
e(a−Re)(z)s
ds
0 0
K
=
Re(z) − a
para todo z C tal que Re(z) > a. Q
La transformada de Laplace posee numerosas propiedades algebraicas, como la transformada de
Fourier, y es precisamente en base a dichas propiedades, y a que e´sta se puede aplicar a funciones no
absolutamente integrables, que dicha transformada resulta de gran utilidad para las aplicaciones.
A continuacioń escribimos una lista de las propiedades ma´s importantes de . Algunas propiedades
las demostramos, pero otras las dejamos como ejercicio.
Linealidad. La transformada de Laplace es un operador lineal. Es decir, si L(xi)(z) existe para
valores z ∈ Ωi (i = 1, 2), y a, b ∈ R, entonces L(ax1 + bx2)(z) existe para z ∈ Ω1 ∩ Ω2, y
L(ax1 + bx2)(z) = aL(x1)(z) + bL(x2)(z).
Transformada de Laplace y desplazamientos Se satisface la fo´rmula:
L(exp(−bt)x(t))(z) = L(x)(z +b).
Adem a´s, si u(t) denota la funcioń salto unidad, entonces
L(u(t − t0)x(t − t0))(z) = e−zt0
L(x)(z).
Transformada de Laplace de la derivada. Supongamos que x(t) es derivable y admite trans-
formada de Laplace. Entonces se satisface la igualdad:
L(xj)(z) = zL(x)(z) − x(0)
Demostracio´ n. Basta utilizar el me´todo de integracioń por partes para el ca´lculo de (xj). De
hecho,
L(xj)(z) =
∫ ∞
e−zsxj(s)ds = x(s) −e−zs Σs=∞
+ z
∫ ∞
e−zsx(s)ds
0
= zL(x)(z) − x(0). Q
z s=0 0
La propiedad de la derivada se puede generalizar de la siguiente forma:
Teorema 13 Supongamos que x(t) es de clase al menos C(n). Entonces se satisface la fo´rmula sigu-
iente:
L(x(n))(z) = znL(x)(z) − zn−1x(0) − zn−2xj(0) − · · · − x(n−1)(0)

. n−1 n−2 n−3 j (n−2)
Σ
n n (n)
L
∫
− znL(x)(z) − zn−1x(0) − zn−2xj(0) − · · · − x(n−1)(0)
Σ= .z z L(x)(z) − z x(0) − z x (0) − · · · − x (0)
z→∞ z→∞
z→0 0
t→∞
Demostracio´ n. La prueba se hace por induccio´ n sobre n. Para n = 1 se trata de la fo´rmula que
acabamos de probar. Supongamos que el resultado es cierto para n −1. Entonces
L(x(n))(z) = x(n−1)(0) − zL(x(n−1))(z)
= zn
L(x)(z) −z
n−1
x(0) − z
n−2
xj(0)−··· −x
(n−1)(0),
|z=0
Multiplicacioń por tn. Se satisface la siguiente fo´rm ula:
L(t x(t)(z) = (−1) (L(f )(z))
Propiedad del valor inicial. Supongamos que xj(t) tiene transformada de Laplace, entonces
se satisface la fo´rm ula:
l´ım z (x)(z) = x(0+)
z→∞
Demostracio´ n. Consideram os la transformada de Laplace de la senãl xj(t). Sabem os que
L(xj(t)) = x(0+) − zL(x)(z)
Ahora bien, es claro que
l´ım L(xj(t)) = l´ım
∫ ∞
e−zsxj(s)ds = 0,
pues e−zs converge a cero para z → ∞. Se sigue que x(0+) = l´ımz→∞ zL(x)(z). Q
Propiedad del valor final. Supongamos que xj(t) tiene transformada de Laplace, entonces se
satisface la fo´rmula:
l´ım zL(x)(z) = l´ım x(t)
z→0
Demostracio´ n. En este caso utilizamos la fo´rmula
t→∞
L(xj(t))(z) = x(0+) − zL(x)(z)
tomando l´ımite para z → 0. Como l´ımz→0 e−zs = 1, tenemos que
l´ım(x(0+ ) − zL(x)(z)) = l´ım L(xj(t))(z)
z→0 z→0
= l´ım
∞
e−zsxj(s)ds
=
∫ ∞
xj(s)ds = l´ım x(t) − x(0+),
de donde se sigue la fo´rmula que quer´ıam os demostrar. Q
Es evidente que podemos ayudarnos de las propiedades dela transformada de Laplace que acabamos
de demostrar para realizar el ca´lculo de nuevas transformadas de Laplace. En realidad, podr´ıam os de-
cir que el ca´lculo de transformadas integrales tiene una metodolog´ıa similar a la que se emplea en un
primer curso de ca´lculo para hallar integrales indefinidas. De hecho, lo usual en este punto es dedicar
alguń tiempo al manejo de la transformada de Laplace a trave´s del uso de las propiedades anteriores,
proponieńdo al alumno una lista de funciones cuya transform ada debe calcular.
0
0
0
0

∞ L
{ ∈ }
.
≥
x(t) = l´ım
M →∞ 2πi
4.3. Transformada de Laplace inversa
En esta seccioń estamos interesados en el proceso de inversioń de la transformada de Laplace.
Evidentemente, esta transformada perder´ıa su utilidad si no fuese posible calcular su transformada
inversa. Sin embargo, veremos que el proceso de inversioń es mucho ma´s complejo que en el caso de
la transformada de Fourier.
Comenzamos con el siguiente resultado:
Teorema 14 Supongamos que e−atx(t) es continua a trozos y absolutamente integrable en [0, ∞).
Entonces L(x)(z) es una funcioń anal´ıtica en el semiplano Ha = {z ∈ C : Re(z) > a}.
Demostracio´ n. Basta utilizar el Teorema 6. Q
Este resultado es importante por varias razones. Por ejemplo, si tenemos en cuenta que una funcioń
anal´ıtica queda determinada completamente una vez se conoce sobre un conjunto que posea puntos
de acumulacioń interiores a su dominio de definicioń (esto es el conocido principio de identidad que
se da en cualquier curso de introduccioń a las funciones de una variable compleja), entonces resulta
evidente que la transformada de Laplace queda completamente determinada por las expresiones que
se calculen para valores reales de z. En realidad, esto es algo que hemos utilizado para todos los
ca´lculos que se han hecho anteriorm ente.
Ahora estamos en condiciones de definir la transformada inversa de Laplace. Como en el caso de
la transformada de Fourier, la posibilidad de invertir la transformada de Laplace de una senãl x(t),
depende de ciertas propiedades de suavidad de x(t). As´ı pues, el teorema ana´logo al teorema integral
de Fourier es, en este caso, el siguiente resultado:
Teorema 15 (Transformada de Laplace inversa) Supongamos que x(t) es continua, satisface e−atx(t)
L1([0, )), y sus derivadas unilaterales existen para todo valor de t. Sea X(z) = (x)(z) (z > a)
la transformada de Laplace de x(t). Entonces
1
∫ s+iM
para todos los valores t > 0 y s > a.
Nota 7 Obse´rvese que la integral que aparece en el teorema anterior se toma sobre la recta Ls =
z C : Re(z) = s , con s > a arbitrariamente elegido. Al tomar s > a, dicha recta esta´ contenida
en el dominio de holomorf´ıa de X(z) y, por tanto, no depende de la eleccioń del valor s. Esta fo´rmula
recibe tambień el nombre de fo´rmula de inversioń de Mellin-Fourier.
Demostracio´ n. Vamos a basar nuestra prueba en el teorem a integral de Fourier. Cosideramos s > a
fijo, y definimos la funcioń Y (v) = X(s + iv), v ∈ R. Entonces
Y (v) =
∫ ∞
e−(s+iv)tx(t)dt =
∫ ∞
e−ivt
Σ
e−stx(t)
Σ
dt = yˆ(v),
donde
o
y(t) =
o
e−stx(t), t 0
0, t < 0.
s−iM
s−iM
∈
eztX(z)dz
,

L
L
L { }
i=1
{ }× −
n
n
2π
2πi 2πi 2πi
Ahora bien, las hipo´ tesis sobre x(t) pasan a verificarse para la senãl y(t) y, por tanto, podemos aplicar
el teorema integral de Fourier:
y(t) = p.v.
1
∫ ∞
eivtyˆ(v)dv = p.v.
1
∫ ∞
eivtY (v)dv, para todo t ƒ= 0.
2π −∞
Se sigue que, para t > 0,
2π −∞
e−stx(t) = p.v.
1
∫ ∞
eivtX(s + iv)dv
y, por tanto,
2π −∞
x(t) = p.v.
1
∫ ∞
e(s+iv)tX(s + iv)dv
= l´ım
1
∫ s+iM
eztX(z)dz,
M →∞ 2πi s−iM
Ya sabemos en que´ condiciones es posible invertir la tansformada de Laplace. Ahora bien, el
ca´lculo de la transformada inversa de Laplace no es en general sencillo. Dedicamos el resto de es-
ta seccioń al estudio de algunos casos concretos en los que la transformada −1
se puede calcular
expl´ıcitamente. En particular, vamos a suponer que X(z) = (x)(z) es una funcioń con un nu´mero
finito de singularidades y vamos a utilizar el teorema del residuo para el ca´lculo de x(t). Un caso
particular, de especial importancia, es cuando X(z) es una funcioń racional.
Supongamos, pues, que X(z) = (x)(z) es una funcioń anal´ıtica en C z1, . . . , zn y que
Re(zi) < a para i = 1, 2, . . . , n. Sea s > a y sea R > 0 un nu´mero real lo bastante grande como
para garantizar que el semic´ırculo derecho de centro (s, 0) yradio R contiene en su interior todos los
{zi}n
. Denotemos por γR = IR + CR la curva que parametriza el borde de dicho semic´ırculo, ori-
entada contra el sentido de las agujas del reloj (donde IR representa el trozo de dicha parametrizacioń
que cubre el segmento s [ R, R], y CR parametriza el resto del borde). Podemos aplicar entonces
el teorema de los residuos, para afirmar que
1
∫
eztX(z)dz =
Σ
Res(eztX(z); zj).
2πi γR j=1
(Evidentemente, esta identidad se alcanza independientemente de R, para R suficientemente grande).
Por tanto, si reescribimos la integral del miembro de la izquierda de la igualdad como
1
∫
eztX(z)dz =
1
∫
eztX(z)dz +
1
∫
eztX(z)dz
podemos concluir que, si fuese cierto que
l´ım 1
∫
eztX(z)dz = 0 (5)
R→∞ 2πi γR
entonces tendr´ıamos que la fo´rmula
x(t) = l´ım
1
∫ s+iM
eztX(z)dz =
Σ
Res(eztX(z); zj).
M →∞ 2πi s−iM j=1
γR IR CR
−∞
γR IR CR

L
Σ
| |
q(z)
Σ
L
q(z)
q(z)
q(z)
k
proporcionar´ıa un ca´lculo expl´ıcito de la transformada de Laplace inversa para la funcioń X(z).
El siguiente resultado nos muestra ciertas condiciones suficientes para que la fo´rm ula anterior sea
verdadera:
Teorema 16 Sea X(z) = (x)(z) una funcio´ n anal´ıtica en todo C excepto quiza´ s en un nu´mero
finito de puntos y sea γR = IR + CR como antes.Si
l´ım máx |X(z)| = 0,
R→∞ z∈CR
entonces
l´ım
1
∫
eztX(z)dz = 0
y, por tanto,
R→∞ 2πi γR
n
x(t) = L−1
(X)(t) = Res(eztX(z); zj).
j=1
El teorema anterior se puede aplicar para el estudio de la transformada de Laplace inversa de cualquier
funcioń racional, X(z) = p(z)/q(z), con deg p < deg q, pues en tal caso se tiene que X(z) so´lo tiene
como posibles singularidades los ceros de q(z) (que son a lo sumo deg q) y l´ımR→∞ máx|z|>R X(z) =
0.
Un caso particular que se puede estudiar faćilmente es el descrito por el siguiente resultado:
Teorema 17 Supongamos que X(z) = L(x)(z) = p(z) , deg p < deg q y q(z) = a(z − α1)(z −
α2) .. . (z − αm), con αi αj para i ƒ= j. Entonces
m
x(t) = −1(X)(t) =
p(αk )
eαk t
.
qj(αk)
Demostracio´ n. Sabemos que
k=1
m zt
x(t) =
Σ
Res(
e p(z)
; α ).
Por tanto, so´lo necesitamos calcular los residuos Res( e
zt
p(z)
; α
), k = 1, . . . , m. Vamos a suponer
q(z)
que todos los ceros de q(z) son polos de orden uno de p(z)
k
(y, por tanto, polos de orden uno de
Y (z) = ezt p(z) , pues ezt es una funcioń entera para todo t > 0). Ahora bien, sabem os que si lafuncio´ n
X(z) posee un polo de orden m en z = α entonces
Res(X(z); α) = l´ım 1 dm−1
m
m−1 ((z − α) X(z)) .
En nuestro caso, tenemos que
z→αk (m − 1)!dz
j=kj=k

−
−
L
q(z)
≥
− ƒ
−(z α)m−1h(z)
q(z) (z − αi)j
Res(
eztp(z)
q(z)
; αk) = l´ım (z αk)e
z→αk
ztp(z)
q(z)
= l´ım
z→αk
eztp(z)
z − αk
q(z) q(αk).
q(z) − q(αk)
Σ−1
= eαk t
p(αk) l´ım
z→αk z − αk
= eαk t
p(αk
1
)
qj(αk)
, k = 1, 2, . . . , m.
Si p(αk) = 0 entonces la funcioń que estamos considerando tiene una singularidad evitable en
αk y, por tanto, el correscondiente residuo es cero. Por otra parte, el correspondiente sumando que
aparece en el segundo miembro de la fo´rmula que estamos considerando, tambień sera´ igual a cero si
p(z) se anula en αk. Esto finaliza la demostracioń. Q
En realidad, no es dif´ıcil proporcionar un resultado general para el ca´lculo de −1
(p(z)/q(z)) para
funciones racionales con deg p < deg q. A continuacioń vamos a realizar dicho ca´lculo utilizando la
descomposicioń en fracciones simples de dichas funciones racionales y dejamos como ejercicio la
comprobacioń de que las fo´rmulas que se obtienen por ambos me´todos coinciden.
As´ı pues, dada una funcioń racional p(z) , podemos hallar su descomposicio´ n como suma de
fracciones simples5
como sigue:
Comenzamos suponiendo (sin pe´rdida de generalidad), que p y q no tienen ceros en comuń. Si
deg p deg q, utilizam os el algoritm o de divisio´ n eucl´ıdea para polinom ios, dividiendo p por
q. Se sigue que p(z) = q(z)c(z) + r(z) con deg r < deg q, y, por tanto, p(z) = c(z) + r(z) . Esto
reduce todos los casos al caso en que deg p < deg q.
q(z) q(z)
Podemos suponer, pues, sin pe´rdida de generalidad que q es mońico y deg p < deg q. Si q(z) =
(z − α1)m1
(z − α2)m2
. . . (z − αk)mk
, donde se supone que todos los αi son distintos, entonces
podemos encontrar constantes {Ci,j}i≤k,j≤mi ⊂ C tales que
k mi
p(z)
=
Σ Σ Ci,j
.
Demostracio´ n. Podem os hacer lo siguiente: si q(z) = (z α)mh(z), con q(α) = 0 y h(α) = 0,
entonces buscamos una constante C y un polinomio s(z) de grado menor que deg p tales que
p(z) p(z) C s(z)
q(z)
=
(z − α)mh(z)
=
(z − α)m
+
(z − α)m−1h(z)
.
Si conseguimos hacer esto, entonces podremos continuar el algoritmo, aplicando la misma op-
eracioń a s(z) , y terminaremos obteniendo la expresioń que busca´bamos en un nu´mero
finito de pasos.
5
El ca´lculo de la descomposicioń en fracciones simples de una funcioń racional aparece, por primera vez, en la cor-
respondencia entre J. Bernoulli y Leibnitz, alrededor de 1700, pero estas ideas fueron explotadas sistema´ticamente por J.
Bernoulli (1702), Leibnitz (1702), Euler (1768) y Hermite (1873). En particular, se suele llamar me´todo de Hermite al
me´todo de integracio´ n de funciones racionales basado en dicha descomposicioń .
i=1 j=1i=1 j=1

. Σ
q(z)
. Σ Σ . Σ
p(z)
al ca´lculo de L−1 C
para m ≥ 0 y α, C ∈ C arbitrarios.
q(z) (z − αi)j
j!
i
Σ
Σ
Σ
Ahora bien, si la ecuacio´ n anterior se puede resolver para ciertos C y s(z), entonces
p(z) = Ch(z) + s(z)(z − α)
y, por tanto, C = p(α) , y s(z) se obtiene de dividir p(z) − p(α)
por x − α. Esto finaliza la prueba.
h(α)
Q
h(α)
De esta forma, se ha reducido el ca´lculo de la transformada de Laplace inversa para la fraccioń
q(z) (z−α)m
Ahora bien, si tenemos en cuenta que
n n!
se concluye que
L(t
exp(αt)) =
(z − α)n+1 , para |z| > |α|,
L−1
.
C
Σ
=
C
tn exp(αt)
y, por tanto, si
(z − α)m n!
k mi
p(z)
=
Σ Σ Ci,j
.
es la descomposicioń en fracciones simples de p(z) , entonces
L−1
p(z)
q(z)
=
i=1
k
mi
j=1
mi
L−1
Ci,j
(z − αi)j
=
Σ Σ Ci,j
tj exp(α t)
Este resultado es muy importante. En concreto, en la pro´xima seccioń podremos comprobar que
de e´l depende el poder resolver ciertas ecuaciones diferenciales que aparecen frecuentemente en la
praćtica. Por supuesto, una vez sabemos que las descomposiciones en fracciones simples existen, nos
resultara´ imprescindible encontrar alguń mecanismo sencillo para su ca´lculo.
Ahora bien, si multiplicam os p(z) por (z − αi )mi0 , obtenemos que
(z − α
q(z) 0
)mi0
p(z)
i0
q(z)
mi m mi0
=
Σ ΣCi,j(z − αi0 )
i0
+ Ci ,j(z − αi )mi0
−j
i≤k;iƒ=i0 j=1
mi
(z − αi)j
m
0 0
j=1
mi0
=
Σ ΣCi,j(z − αi0 )
i0
+ Ci ,m −t(z − αi )t
i≤k;i i0 j=1 (z − αi)j
t=1
0 i0 0
k
i=1 j=1i=1 j=1
i=1 j=1i=1 j=1

q(z)
L L L
Ci ,m (z − αi )
i0 ; para k = 0, 1, . . ., mi
0
az2 + bz + c
1
az2 + bz + c
y, por tanto,
1 dk
.
m p(z)
Σ
0 i0 k! dzk 0
q(z) 0
|z=αi0
De esta forma podremos calcular todas las constantes Ci,j, una vez conocidos los polos de p(z) .
4.4. Transformada de Laplace y EDO’s
Comenzamos esta seccioń desarrollando los ca´lculos para abordar la solucioń del problema de
valores iniciales dado por
ayjj(t) + byj(t) + cy(t) = 0, para t > 0,
y(0) = y0, yj(0) = y1
(donde a, b, c y0, e y1 son constantes dadas de antemano y buscamos la funcio´ n y = y(t) que verifica
la ecuacioń anterior para todo t > 0), mediante el uso de la transformada de Laplace. Posteriorm ente,
explicam os el me´todo para atacar problemas lineales con coeficientes constantes, en el caso general.
Como todo el mundo sabe, este tipo de ecuaciones diferenciales aparecen en muchos contextos y
son, por tanto muy u´tiles.
Si aplicamos la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuacio´ n anterior, y tenem os en
cuenta las relaciones
L(yj) = zL(y)(z) −y(0)
L(yjj) = z2L(y)(z) − zyj(0) − y(0)
obtenemos que
0 = L(ayjj + byj + cy)(z)
= a(z2L(y)(z) − zyj(0) − y(0)) + b(zL(y)(z) − y(0)) + cL(y)(z)
= (az2 + bz + c)L(y)(z) − (az + b)y0 − ay1
y, por tanto,
az + b a
L(y)(z) = y0
az2 + bz + c
+ y1
az2 + bz + c
Ahora bien, es un operador lineal y, por tanto, si tuviese un operador inverso, −1
, e´ste ser´ıa
lineal. Vamos a suponer momentańeamente que tal es el caso. Entonces la expresioń anterior la po-
dr´ıamos reescribir como:
y(z) = y L−1
.
az + b
Σ
+ y L−1
.
a
Σ
en realidad, si definimos las funciones F (z) = az+b y G(z) = a , necesitamos encontrar
las funciones L−1
(F ) y L−1
(G) de modo que
az2+bz+c az2+bz+c
L−1
(F )(0) = 1, L−1
(F )j(0) = 0
.
−k =

− −
−
∈ − − − ∈ ƒ
.
y
L−1
(G)(0) = 1, L−1
(G)j(0) = 0.
Para realizar los ca´lculos que faltan, es necesario distinguir varios casos, que dependen de co´mo
son los ceros de q(z) = az2 + bz + c:
Caso 1: Los ceros de q(z) son simples. Esto significa que q(z) = a(z α)(z β) y, portanto,
F(z) (y tambień G(z)) se puede descom poner en fracciones simples como sigue:
F (z) =
A
z − α
B
+
z − β
para ciertas constantes A, B ∈ C. Se sigue que
L−1
(F )(t) = Aeαt + Beβt.
Caso 2: q(z) tiene un cero doble. Esto implica que q(z) = a(z α)2 para cierto nu´mero real
α y, por tanto, F (z) (y tambień G(z)) se descompone ahora como
A B
F (z) =
z − α
+
(z − α)2
para ciertas constantes A, B. Se sigue que
L−1
(F )(t) = Aeαt + Bteαt.
Caso 3: Los ceros de q(z) son complejos conjugados. En este caso, podemos encontrar α +
iβ C tal que q(z) = a(z (α + iβ))(z (α iβ)); α, β R y β = 0 y, por tanto, F (z) (tambień G(z))
se descom pone como
Aβ
F(z) =
(z − α)2 + β2
+
B(z − α)
(z − α)2 + β2
Ahora la transformada de Laplace inversa queda como:
L−1
(F )(t) = Aeαt sin βt + Beαt cos βt.
4.4.1. El caso general
Consideremos ahora la EDO
y(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + · · · + a0y(t) = ϕ(t), para t > 0,
y(0) = y0, yj(0) = y1, . . . , y(n−1)(0) = yn−1
Queremos utilizar la transformada de Laplace para su solucioń. Para ello, empezamos aplicando
el operador L a ambos lados de la ecuacioń. Se obtiene que
L(ϕ)(z) = znL(y)(z) − zn−1y(0) − zn−2yj(0) − · · · − y(n−1)(0)+
+an−1[zn−1L(y)(z) − zn−2y(0) − zn−3yj(0) − · · · − y(n−2)(0)]+
+ . . . . . . . . . +
+a1[L(y)(z) − y(0)]+
+a0L(y)(z)

Q
Z
F F ∈
∈
Agrupando los te´rminos convenientem ente, resulta que
L(y)(z)[zn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0] =
L(ϕ)(z) + y(0)[zn + an−1zn−2 + · · · + a2z + a1]+
+yj(0)[zn + an−2zn−1 + · · · + a3z + a2]
+ . . . . . . . . . . . . · · · +
+y(n−2)(0)[z + an−1]
+y(n−1)
(0)
Tomando q(z) = zn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0, la ecuacioń anterior queda como
L(y)(z) =
L(ϕ)(z)
+ y(0)
q(z)
j
zn + an−1zn−2 + · · · +a2z + a1
q(z)
zn + an−2zn−1 + · · · + a3z + a2
+y (0)
q(z)
+ . . . . . . . . . . . . · · · +
+y(n−2)
(0)
z + an−1
q(z)
+y(n−1)
(0)
1
q(z)
Esto reduce el problem a del ca´lculo de la solucio´ n de la EDO lineal con condiciones iniciales dada
anteriorm ente, al ca´lculo de la transformada de Laplace inversa del segundo miembro de la fo´rmula
anterior. Es decir: debem os ser capaces de calcular L−1
(P(z) ) para cierta funcioń racional P
. Ahora
Q(z) Q
bien, esto es posible gracias al uso de la descomposicio´ n en fracciones simples de P
(ver la seccio´ n
anterior).
Es evidente que podemos interpretar la EDO lineal con coeficientes constantes como un tipo
especial de sistema LTI. De hecho, este tipo de sistemas aparecen en diferentes contextos, como son
el ana´lisis de circuitos o el estudio de sistemas con muelles. De esta forma podemos interpretar la
transformada de Laplace como un instrumento matema´tico u´til para la teor´ıa de senãles y sistemas
analo´gicos. En la pro´xima seccioń vamos a introducir la transformada , que, como veremos, es u´til
para el estudio de senãles y sistemas digitales.
Nota 8 Para tratar el problema de la solucioń de EDO’s lineales generales es tambień posible hacer
uso de la transformada de Fourier generalizada (es decir: la transformada de Fourier de funciones
generalizadas) pues, como ya se ha visto en una seccioń anterior, dicha transformada verifica tambień
buenas propiedades formales con respecto al producto, la convolucioń, y la derivacioń. Si estamos
interesados en estudiar la ecuacioń
any(n)(t) + · · · + a0y(t) = bmx(m)(t) + · · · + b0x(t),
donde x, y G (x nos la dan y buscamos y), entonces aplicando la transformada de Fourier a ambos
lados de la igualdad y teniendo en cuenta que (y(k))(ξ) = (iξ)k (y)(ξ), para todo k N, tenemosque
la identidad anterior se transforma en la siguiente
(an(iξ)n + · · · + a0) F(y)(ξ) = (bm(iξ)m + · · · + b0) F(x)(ξ).
+

Q(ξ)
Q(ξ)
{ } −∞
{ | | }
Σ
1 −z z − 1
Es decir, el problema pasa a ser la solucioń (en sentido generalizado) de la ecuacio´ n algebraica
Y (ξ) =
P(ξ)
Q(ξ)
X(ξ)
para ciertos polinomios algebriacos P (z), Q(z). Esto se puede interpretar, en el dominio del tiempo,
como
y(t) = F−1
(Y )(t) =
.
F−1
.
P(ξ)
Σ
∗ x
Σ
(t).
Es decir, el cociente P(ξ) representa la respuesta del sistema al impulso unidad en el dominio de la
frecuencia y nuestro problema es calcular su transformada de Fourier inversa, algo que tiene sentido
gracias a que estamos trabajando con funciones generalizadas.
5. Transformada Z
5.1. Definicioń de la transformada Z. Primeras propiedades
Dada una senãl discreta {x(n)}∞
n=−∞ , definimos su transform ada Z como
∞
Z({x(n)}∞
n=−∞ ) =
n
Σ
=−∞
x(n)z−n,
donde se supone que z pertenece a la regioń de convergencia de la serie de Laurent que aparece en el
segundo miembro de la igualdad anterior. (Obse´rvese que dichas regiones de convergencia son
siempre anillos z : r < z < R , donde los radios de interior y exterior del anillo dependen del
comportamiento asinto´ tico de la sucesioń x(n) ∞
n= ).
La correspondencia que acabamos de establecer (una sucesioń es llevada a una cierta funcio´ n
analo´gica), no es biyectiva. Es sencillo obtener sucesiones distintas tales que, si se suma la serie que
define la transformada Z de ambas secuencias, entonces resulte que para ambas se obtiene la misma
expresioń algebraica. Por ejemplo, tomamos x = {u(n)}∞
n=−∞, y = {−u(n−1)}
∞
n=−∞ y obtenemos:
∞
Z(x) =
Σ
z−n =
1
=
z
(para |z−1| < 1)
n=0
−1
1 − z−1
∞
z − 1
Z(y) = −
n
Σ
=−∞
∞
z−n = − zn
n=1
= −z
Σ
zn = z
1
=
z
(para |z| < 1)
As´ı pues, ambas transformadas producen la mism a funcio´ n, z
, excepto por el detalle (que nunca
´ ´
z−1
debemos menospreciar) de que dicha funcion esta definida en dominios distintos, ya que las regiones
de convergencia de las correspondientes series, son diferentes. As´ı, podemos definir con mayor pre-
cisio´ n la transformada Z de una sucesioń como sigue:
n=0n=0

∞
Σ
−∞
Σ
| |
{ ∈ | − | } | |
∫
0
Σ
−∞
Z ƒ ∅
∈
∩ ƒ ∅ Z Z ∈
2πi
n
Definicio´ n 7 Dada la sucesio´ n de nu´meros x ={x(n)}∞
n=−∞ (reales o complejos), definimos su trans-
formada Z como el par (Z(x), R(x)), donde
Z(x) =
n
Σ
=−∞
x(n)z−n
y R(x) es la regio´ n de convergencia de la serie de Laurent ∞
n=−∞ x(n)z−n .
El siguiente resultado se satisface:
Teorema 18 No hay dos senãles distintas x, y tales que
(Z(x), R(x)) = (Z(y), R(y)).
Demostracio´ n. En realidad, el teorema anterior es una sencilla consecuencia del siguiente teorem a
debido a Laurent6
:
Teorema 19 (Laurent) 7
Supongamos que f (z) es una funcioń de variable compleja derivable en un
anillo R = z C : R1 < z z0 < R2 . Entonces f (z0 + h) = ∞
n= cnhn para R1 < h < R2,
donde la convergencia de la serie es uniforme sobre compactos del anillo R1 < h < R2, y las
constantes cn estań dadas por
c =
1
2πi Cr
f(z)
(z − z )n+1
dz, n ∈ Z,
donde Cr es la curva parametrizada por Cr(t) = z0 + exp(2πit), t ∈ [0, 1], r ∈ (R1, R2).
Si tomamos z0 = 0 entonces la expresioń que aparece en el teorema anterior, se transforma en f
(z) = ∞
n= cnzn, y las regiones de convergencia pasan a ser coronas con centro el origen de
coordenadas.
Para x una senãl arbitraria, si la regioń de convergencia R(x) es un anillo no vac´ıo, entonces la
funcioń (x)(z) es holomorfa en dicho anillo. Supongamos ahora que R(x) = . Entonces el
teorema de Laurent garantiza que, si Cr es una circunferencia interior al anillo R(x), entonces
x(n) =
1
∫
f (z)zn−1dz, n ∈ Z,
y por tanto, si R(x) R(y) = , y (x)(z) coincide con (x)(z) para z Cr, una circunceferencia
interior a ambas regiones, se obtiene que x(n) = y(n) para todo n Z. Q
El teorema de Laurent proporciona la clave para el proceso de inversio´ n asociado a la transformada
Z. Ma´s precisamente, si conocemos tanto la funcio´ n X(z) = Z(x)(z) y su correspondiente regio´ n
6
P. A. Laurent (1813-1854). Ingeniero france´s. En 1842 envio´ una memoria para participar en un premio de
matema´ticas a la Academia de Ciencias de Par´ıs, pero el manuscrito llego´ fuera de tiempo y, a pesar de que Cauchy
emitio´ un informe positivo, e´ste no fue evaluado. Los desarrollos en serie de Laurent son muy importantes en la teor´ıa de
funciones de variable compleja.
7
La demostracio´ n de este resultado se puede consultar en [?, p. 196, Th. 11.1]
Cr

Z
{ }
˜
Z
Z
Z
Z
Z
a
z
{ | | }
Q(z)
z
2πi
de convergencia Ω = R(x), no so´lo es cierto que existe una uńica senãl x = x(n) para la que
X(z) = (x)(z) y Ω = R(x) sino que, de hecho, los valores x(n) se pueden rescatar de X(z) (y Ω)
simplemente teniendo en cuenta las expresiones
x(n) =
1
∫
f (z)zn−1dz, n ∈ Z.
As´ı, podemos afirmar que la fo´rmula anterior define la transformada inversa. El problema es que
no siempre resulta sencillo evaluar las integrales que aparecen en el segundo miembro de la expresioń
anterior. As´ı pues, nos preguntamos si en ciertos casos especiales (y que tambień sean importantes
para las aplicaciones) es sencillo evaluar la transformada inversa.
Terminamos esta seccio´ n con las siguientes observaciones:
Se sigue del teorema de Laurent que toda funcio´ n X(z) holom orfa en un anillo R, es la trans-
formada Z de alguna senãl {x(n)}∞
n=−∞ .
La funcioń X(z) es la transformada Z de una senãl causal x = {x(n)} si y so´lo si la funcioń
X(z) = X(1/z) es holomorfa en un disco de la forma D(0, r) = z : z < r para cierto r >
0. Adema´s, esto es equivalente a decir que la regioń de convergencia de (x)(z) es el
complementario de un disco D para cierto r > 0.
5.2. Propiedades elementales de la Transformada Z. Inversioń de la transfor-
mada Z
En esta seccioń, vamos a establecer las propiedades elementales de la transformada y, a con-
tinuacioń, vamos a explicar el proceso de inversioń para la transformada para funciones racionales
X(z) = P(z) (Posteriormente, verem os que dichos casos son u´tiles en la praćtica).
La transformada Z satisface las siguientes propiedades:
Linealidad. La transformada Z es lineal. Es decir, si x,y son dos senãles discretas y a, b ∈ C,
entonces Z(ax + by) = aZ(x) + bZ(y). Adema´s, R(ax + by) = R(x) ∩ R(y).
Desplazamiento en el tiempo. Sea m ∈ Z fijo. Entonces
Z({x(n − m)}∞
n=−∞)(z) = z−mZ({x(n)}∞
n=−∞ )(z).
Adem a´s, la regioń de convergencia no var´ıa, excepto quiza´s por la posible inclusioń o exclusioń
de 0 o de ∞.
Cambios de escala en la frecuencia. Dado a ∈ C, se tiene que
Z({anx(n)}∞
n=−∞ )(z) = Z({x(n)}∞
n=−∞ )( z ).
Adem a´s, la regioń de convergencia pasa de ser R(x) a ser |a|R(x).
Reflexio´ n en el tiempo. Se tiene que Z({x(−n)})(z) = Z({x(n)})( 1 ). Adema´s, la regio´ n de
convergencia de y = {x(−n)} es: R(x) = {z ∈ C : 1 ∈ R(x)}.
Cr

Z Z
.
Σ
Σ .
Σ
.
Σ
.
Σ
Z
Q(z)
Σ m!z
−
−
{ | | | |}
Q(z) (z − αi)j
n=−∞
1 − αz−1
z − α
Convolucioń. Dadas x ∈ l1(Z) y y ∈ l∞(Z), se tiene que
Z(x^∗ y)(z) = Z(x)(z)Z(y)(z)
Todas estas propiedades son sencillas de demostrar y se dejan como simples ejercicios. So´lo hare-
mos alguń comentario respecto de la convolucioń. As´ı pues, recordemos que si x ∈ l1(Z) y y ∈ l∞(Z)
son dos senãles discretas, su convolucio´ n esta´ dada por x ∗ y = {cn}∞
n=−∞, donde
∞
cn =
k
Σ
=−∞
x(k)y(n − k), para todo n ∈ Z.
Ahora bien, es sencillo comprobar que, si multiplicamos las series de potencias (x) y (y),
obtenemos que
Z(x)(z)Z(y)(z) =
∞
n=−∞
x(n)z−n
∞
n=−∞
y(n)z−n
Σ
=
n=−∞
=
n=−∞
=
n=−∞
∞
k=−∞
∞
k=−∞
cnz−n
x(x)y(n − k)z−kz−(n−k)
Σ
x(x)y(n − k)
Σ
z−n
= Z(x ∗ y)(z),
lo que demuestra la propiedad de convolucio´ n.
Dada una funcioń racional X(z) = P(z) , queremos ahora calcular la senãl x(t) tal que X(z) =
(x(t)). Para ello, consideramos (como es habitual) la descom posicioń en fracciones simples de
X(z), k mi
X(z) = h(z) +
P (z)
=
Σ Σ Ci,j
,
donde h(z) es el polinomio que resulta de dividir P (z) por Q(z), y de esta forma hemos reducido
nuevamente nuestro problema al de conocer la transformada inversa de las fracciones simples Ci,j
,(z−αi )j
i = 1, ..., k, j = 1, . . . , mi.
Ahora bien, dichas transformadas se pueden calcular de forma sencilla, si se tiene en cuenta que
∞
Z({αnu(n)}∞
) =
Σ
αnz−n =
1
=
z
con regio´ n de convergencia R = z : z > α . Para verlo, basta derivar m veces ambos lados de la
expresioń anterior respecto de α, obtenieńdo que:
∞
n(n 1) .. .(n m + 1)αn−mz−n =
(z − α)m+1
i=1 j=1i=1 j=1
n=0n=0
∞
∞
∞
n=0

∞
Z
∗
Z
Z
y, por tanto,
Z−1
.
z
Σ
=
.
n
Σ
αn−mu(n).
(z − a)m+1 m
Ahora bien, si tenemos en cuenta la propiedad de desplazamiento en el tiempo, se ve que
Z−1
.
1
Σ
= Z−1
.
z−1
z
Σ
=
.
n − 1
Σ
αn−1−mu(n − 1).
(z − a)m+1 (z − a)m+1 m
5.3. Tranformada Zy filtros digitales
Dado un filtro digital L, sabemos que e´ste queda completamente determinado por su respuesta
al impulso unidad (tambień llamada respuesta impulsional del sistema) L(δ) = {h(n)}∞
n=−∞. Evi-
dentemente, como la transformada Z es invertible, dicha respuesta impulsional queda completamente
determinada a su vez por su transformada Z. Esto nos lleva a la siguiente definicio´ n:
Definicio´ n 8 Llamamos funcio´ n de transferencia del filtro digital L a la funcio´ n de variable com-
pleja:
H(z) = Z({h(n}∞
n=−∞ ) =
n
Σ
=−∞
h(n)z−n.
Nota 9 Obse´ rvese, adem a´ s, que H(z) se puede interpretar como un autovalor de L de la siguiente
forma: Tomamos x = {zn}∞
n=−∞ para z ∈ C fijo. Entonces
∞
L(x)(n) = (x ∗ h)(n) =
∞
k
Σ
=−∞
h(k)x(n − k)
= h(k)z−kzn
k=−∞
y, por tanto,
= H(z)x(n), para todo n ∈ Z,
L(x) = H(z)x.
Es decir: H(z) es un autovalor con autovector x.
El nombre ”funcioń de transferencia”(del sistema) proviene de la siguiente interpretacioń: Sabemos
que y = L(x) = x h, donde h es la respuesta impulsional del sistema. Si aplicamos a ambos lados
de la fo´rmula anterior la transformada , entonces (teniendo en cuenta la propiedad de convolucioń)
se tiene que
Y (z) = H(z)X(z),
donde Y(z) = (y) representa la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia, X(z) =
(x) es la entrada del sistema (tambień en el dominio de la frecuencia) y H(z) es la funcioń de
transferencia.
Evidentem ente, de la misma forma que {h(n)} lleva toda la informacioń del sistema y, por tanto,
podemos caracterizar algunas propiedades del sistem a en te´rminos de {h(n)}, lo mismo sucedera´ con

k=0 k=0
∈
Σ
Σ
Z Z
{ }
−∞
las funciones de transferencia H(z). Veamos, por ejemplo, co´mo se caracterizan en te´rminos de H(z)
las propiedades de causalidad y de estabilidad (BIBO) del sistema L. Esto queda resuelto mediante
las siguientes proposiciones:
Proposicioń 5 Un sistema L que es LTI es adema´s estable BIBO si y so´lo si la regioń de convergencia
de su funcioń de transferencia contiene la circunferencia unidad.
Proposicioń 6 Un sistema L que es LTI es adema´s causal si y so´lo si la regioń de convergencia de
su funcio´ n de transferencia es el exterior de una circunferencia.
5.3.1. Ecuaciones en diferencias
Es bien sabido que los filtros digitales ma´s comu´ nmente usados vienen descritos por ecuaciones
en diferencias,
d h
Σ
aky(n − k) =
Σ
bkx(n − k), n ∈ Z,
donde x = {x(n)}∞
n=−∞ representa la entrada del sistema, y = {y(n)}∞
n=−∞ representa la salida
del sistema y {ak}d
, {bk}h
son ciertas constantes que determinan completamente el sistema. Esta-
mos suponiendo que para cierto n0 Z se tiene que si x(n) = 0 para todo n < n0 entonces y(n) = 0
tambień para todo n < n0 (i.e., suponem os las causalidad del sistem a). De esta forma garantizamos
que la sucesio´ n {y(n)}∞
n=−∞ esta´ un´ıvocamente determinada por la sucesio´ n {x(n)}∞
n=−∞ .
Si aplicamos la transform ada Z a ambos lados de la ecuacio´ n anterior, obtendrem os entonces que
d h
Σ
akz−kY (z) =
Σ
bkz−kX(z)
y, por tanto,
k=0 k=0
es una funcioń racional.
H(z) =
h
k=0
d
k=0
bk z−k
ak z−k
Como las funciones racionales quedan completamente determinadas por sus ceros y sus polos,
sera´ entonces deseable disponer de descripciones de las propiedades del sistema en te´rminos de dicha
informacioń.
Podemos ahora calcular y(n) ∞
n= (i.e., la solucioń de la ecuacioń en diferencias, o, lo que es
igual: la salida del sistema) de alguna de las dos formas siguientes:
Calculamos X(z) = (x) y luego calculamos −1
(X(z)H(z)). Este procedimiento se puede
llevar a cabo faćilmente, siempre que X(z) sea una funcio´ n racional.
Calculam os {h(n)}∞
n=−∞ = Z−1
(H(z)) y luego calculamos la convolucio´ n
{y(n)}∞
n=−∞ = {(h ∗ x)(n)}∞
n=−∞.
k=0 k=0k=0 k=0

Z
Z
− −
∞
.
4
1+2z 1 z+2
1 1
z − 1
3
No´tese que para calcular −1
(H(z)) necesitamos fijar de antemano la regioń de convergencia
para H(z). Esto significa que necesitamos saber si el sistema es o no causal. Evidentemente,
bajo nuestras hipo´tesis, el sistema es causal y por tanto supondremos que la regioń de con-
vergencia de H(z) es el exterior de una circunferencia de centro el origen de coordenadas.
Recue´rdese que para dicho caso ya realizamos el ca´lculo de la transformada inversa de las
fracciones simples asociadas a cualquier funcioń racional H.
Vemos a continuacio´ n un ejemplo resuelto de ambas formas:
Ejemplo 11 Consideramos la ecuacioń en diferencias
y(n) + 2y(n − 1) = x(n), n ∈ Z.
z n
Sabemos que en este caso, H(z) = 1
− = y, por tanto, h(n) = (−2) u(n). Vamos a realizar
los ca´lculos para las entradas x1(n) = u(n) y x2(n) = u(n) u(n 3). En el primero de los casos
es claro que
X (z) = Z(x ) =
Σ
z−k =
z
y, por tanto, Y (z) = X (z)H(z) = z
2
. La correspondiente descomposicioń en fracciones
1 1
simples es
(z−1)(z+2)
Y (z) = z/3 2z/3
+
y, por tanto, z − 1 z + 2
y(n) =
1
3
+
2
(−2)n
Σ
u(n).
Para calcular la salida de x2 = {u(n) − u(n − 3)}∞
n=−∞, observamos que
x2(n) = δ(n) + δ(n − 1) + δ(n − 2)
y, por tanto,
y(n) = (x2 ∗ h)(n) = (−2)nu(n) + (−2)n−1u(n − 1) + (−2)n−2u(n − 2)
Es decir: y(0) = 0, y(1) = −1 y y(n) = 3 (−2)n para n ≥ 2.
Si {α1, α2, . . . , αd} son los polos de H(z) y suponemos que |αi| ≤ |αi+1|, i = 1, 2, ..., d − 1,
entonces existe i, s ∈ N tales que
|αi0 | < 1 = |αi0+1| = · · · = |αi0+s| < |αi0+s+1|
y, por tanto, asociadas a H(z) podemos considerar varias regiones de convergencia. Si la regio´ n de
convergencia es
R1 = {z ∈ C : |z| > |αd|}
entonces el sistema sera´ causal. Si H(z) no tiene polos en la circunferencia unidad, entonces podemos
considerar como regioń de convergencia la corona mayor que contenga la circunferencia unidad y
k=0k=0

{ ∈ | | | |}
carezca de polos y obtendremos que el correspondiente sistema es estable. Finalmente, si tomamos
como regioń de convergencia a
R2 = {z ∈ C : |z| < |α1|}
entonces el sistema sera´ anticausal. Evidentem ente, varias de estas cosas pueden suceder simultańea-
mente. En particular, se verifica el siguiente resultado:
Proposicio´ n 7 El sistema descrito por la funcio´ n de transferencia racional H(z) sera´ estable y
causal simultańeamente si y so´lo si se satisface que: (i) Todos los polos de H(z) estań en el interior
del disco unidad, y (ii) tomamos como regioń de convergencia de H(z) a R1 = z C : z > αd ,
donde αd es uno de los polos de H(z) con valor absoluto ma´ximo.
Referencias
[1] C. Gasquet and P. Witomski, Fourier Analysis and Applications. Filtering, Numerical Compu-
tation, Wavelets Texts in Applied Mathematics 30 Springer 1999.
[2] C. Lanczos, Discourse on Fourier Series, Olyver and Boyd, Edinburg, 1966.

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