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Notas de C´alculo Diferencial
Juliho Castillo
E-mail address: jdcastillo@up.edu.mx
´Indice general
Cap´ıtulo 1. L´ımites y continuidad 5
1. Reglas para calcular l´ımites 5
Cap´ıtulo 2. Diferenciaci´on 9
1. La Derivada como L´ımite 9
2. La derivada como funci´on 13
3. T´ecnicas de Derivaci´on 16
4. Derivaci´on implicita 18
5. Derivaci´on logar´ıtmica 20
Cap´ıtulo 3. Aplicaciones 25
1. Crecimiento exponencial 25
2. Linealizaci´on 27
3. Optimizaci´on 28
4. Teorema del Valor Medio 31
5. Graficaci´on 35
6. Teorema de L’Hospital 37
7. Proyecto final: Polinomios de Taylor 38
Bibliograf´ıa 41
3
Cap´ıtulo 1
L´ımites y continuidad
1. Reglas para calcular l´ımites
Resumen.
Proposici´on 1.1 (Reglas para calcular l´ımites). Si c es una constante
y L = l´ımx→a f y M = l´ımx→a g existen, entonces:
1. l´ımx→a(f ± g) = L ± M,
2. l´ımx→a(cf) = cL,
3. l´ımx→a(fg) = LM,
4. Si M = 0, l´ımx→a(f
g
) = L
M
.
Observaci´on. Nos referiremos a las dos primeras reglas como lineali-
dad.
Proposici´on 1.2 (L´ımites de potencias y raices). Si l´ımx→a f(x) = L,
entonces
1. l´ımx→a fn
(x) = Ln
,
2. Si n es impar o n es par y L ≥ 0, l´ımx→a
n
f(x) = n
√
L,
Proposici´on 1.3. 1. l´ımx→a c = c, donde c es una constante y
2. l´ımx→a x = a.
Problema 1.1 (†). Demuestre que si p(x) es un polinomio, siempre
se cumple que
l´ım
x→a
p(x) = p(a).
Sugerencia. Primero muestre la afirmaci´on para monomios, usando se
todas las reglas enunciadas anteriormente. Finalmente use la linealidad
para extenderlo a cualquier polinomio.
Observaci´on. Si f, g son funciones en alg´un intervalo abierto y f(x) =
g(x) cuando x = a, entonces
l´ım
x→a
f = l´ım
x→g
.
Ejemplo 1.1. Sea f(x) = x + 1 y g(x) = x2−1
x−1
. Entonces f(x) = g(x)
si x = 1. Como
l´ım
x→1
f = 2,
5
6 1. L´IMITES Y CONTINUIDAD
entonces
l´ım
x→1
x2
− 1
x − 1
= 2.
Proposici´on 1.4 (Teorema del emparedado). Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),
para x ≈ a, pero x = a, y
l´ım
x→a
f = l´ım
x→a
h = L,
entonces
l´ım
x→a
g = L.
Ejemplo 1.2. Como −1 ≤ sin(1
x
) ≤ 1, para todo x ∈ R − {0} , y x2
≥
0, para toda x ∈ R, entonces −x2
≤ x2
sin(1
x
) ≤ x2
, para x ∈ R − {0} .
Como
l´ım
x→0
−x2
= l´ım
x→0
x2
= 0,
por el teorema del emparedado,
l´ım
x→0
x2
sin
1
x
= 0,
aunque la funci´on no esta definida en x = 0.
Figura 1. −x2
≤ x2
sin(1/x) ≤ x2
Consulta la hoja de trabajo de este ejemplo en GeoGebraTube.
Ejercicios. Los ejercicios de esta secci´on se pueden encontrar en
[1, sec. 2.3] y [2, sec. 1.3].
§ 1.1. En los siguientes ejercicios, halla los l´ımites.
1. l´ımx→2
x2
+ x − 6
x − 2
2. l´ımx→−3
t2
− 9
2t2 + 7t + 3
1. REGLAS PARA CALCULAR L´IMITES 7
3. l´ımh→0
(4 + h)2
− 16
h
4. l´ımx→−2
−2x − 4
x3 + 2x2
5. l´ımu→1
u4
− 1
u3 − 1
6. l´ımx→9
√
x − 3
x − 9
7. l´ımx→1
x − 1
√
x + 3 − 2
8. l´ımx→−2
x + 2
x3 + 8
9. l´ımh→0
(2 + h)3
− 8
h
10. l´ımx→−4
1
4
+ 1
x
4 + x
11. l´ımt→0
1
t
−
1
t2 + t
12. l´ımx→16
4 −
√
x
16x − x2
13. l´ımh→0
(3 + h)−1
− 3−1
h
14. l´ımt→0
1
t
√
1 + t
−
1
t
15. l´ımx→−4
√
x2 + 9 − 5
x + 4
§ 1.2 (‡). Encuentre los siguientes l´ımites usando el teorema 1.4. Gra-
fique.
1. l´ımx→0 x6
cos(20πx)
2. l´ımx→0
√
x3 + x2 sin π
x
3. l´ımx→0 x4
cos 2
x
4. l´ımx→0+
√
xesin π
x
5. l´ımx→0 x3
sin(1
x
)
§ 1.3. Evalue el siguiente l´ımite
l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
,
en los siguientes casos:
1. f(x) = x2
, x = 1
2. f(x) = 3x − 4, x = 2
3. f(x) = 1
x
, x = −2
8 1. L´IMITES Y CONTINUIDAD
4. f(x) =
√
x, x = 7
5. f(x) =
√
3x + 1, x = 0
§ 1.4. Dado el primer l´ımite, hallar el segundo.
1. l´ımx→4
f(x)−5
x−2
= 1, l´ımx→4 f(x)
2. l´ımx→2
f(x)−5
x−2
= 3, l´ımx→2 f(x)
3. l´ımx→2
f(x)−5
x−2
= 4, l´ımx→2 f(x)
4. l´ımx→0
f(x)
x2 = 1, l´ımx→−2 f(x)
5. l´ımx→0
f(x)
x2 = 1, l´ımx→−2
f(x)
x
Cap´ıtulo 2
Diferenciaci´on
1. La Derivada como L´ımite
Resumen.
Definici´on 1.1. Sea f : D ⊂ R → R una funci´on y a ∈ D. Suponga-
mos que
m = l´ım
x→a
f(x) − f(a)
x − a
existe. Entonces, decimos que la recta con pendiente m que pasa por
el punto (a, f(a)) es la recta tangente a f en x = a.
De manera alternativa,
m = l´ım
h→0
f(a + h) − f(a)
h
.
Ejemplo 1.1. Si f(x) = x2
y a = 1, entonces
l´ım
h→0
(1 + h)2
− (1)2
h
= l´ım
h→0
(2 + h) = 2.
La recta tangente a f en a = 1, decir, que pasa por el punto
(1, f(1)) = (1, 1) esta dada por la ecuaci´on
2 =
y − 1
x − 1
,
es decir, y = 2x − 1.
Figura 1. Recta tangente a x2
en a = 1. Consulta la
hoja de trabajo.
9
10 2. DIFERENCIACI´ON
Definici´on 1.2. Si s : I ⊂ R → R es la funci´on distancia en un
intervalo de tiempo I, entonces la velocidad en el instante t se define
como
v(t) = l´ım
h→0
a(t + h) − a(t)
h
,
si acaso este l´ımite existe.
Ejercicio muestra 2.1. La altura a de un objeto en ca´ıda libre, con
altura inicial a0 y velocidad inicial v0, esta dada por
a(t) = h0 + v0t + 4.9t2
,
medido en unidades del sistema mks.
Supongamos que la altura inicial es 450mts y se deja con velocidad
nula. Encuentre la velocidad del objeto al tocar el suelo.
Soluci´on. Primero, planteamos la ecuaci´on a(t) = 0 para encontrar el
tiempo en que el objeto tiene altura 0, es decir, toca el suelo. Resolve-
mos la ecuaci´on
450 − 4.9t2
= 0,
usando la f´ormula general o bien un sistema algebr´aico de computa,
como WxMaxima, en cuyo, el c´odigo que tenemos que usar es el si-
guiente:
(%i1)
solve([450-4.9*t^2], [t]);
rat : replaced − 4.9by − 49/10 = −4.9
( %o1) [t = −
6 5
3
2
7
, t =
6 5
3
2
7
]
(%i2)
float(%), numer;
( %o2) [t = −9.583148474999101, t = 9.583148474999101]
La soluci´on que nos interesa es t ≈ 9.58 y calculamos la velocidad
en este momento
v(9.58) = l´ım
h→0
([450 − 4.9(9.58 + h)2
] − [450 − 4.9(9.58)2
])
h
,
la cual podemos calcular usando WxMaximade la siguiente manera:
(%i1)
a(t):=450-4.9*t^2;
( %o1) a (t) := 450 − 4.9 t2
1. LA DERIVADA COMO L´IMITE 11
(%i2)
limit((a(9.58+h)-a(9.58))/h, h, 0);
( %o2) − 93.88400000000002
Definici´on 1.3. La derivada de una funci´on f : D ⊂ R → R en a ∈ D
se define como
(1) f (a) = l´ım
h→0
f(a + h) − f(a)
h
,
o de manera alternativa
(2) f (a) = l´ım
x→a
f(x) − f(a)
x − a
,
si es que este l´ımite existe.
Ejercicio muestra 2.2. Calcular f (a) para f(x) = x2
− 8x + 9.
Soluci´on. Por definici´on,
f (a) = l´ım
h→0
[(a + h)2
− 8(a + h) + 9] − [a2
− 8a + 9]
h
,
y podemos usar WxMaximade la siguiente manera:
(%i1)
f(x):=x^2-8*x+9;
( %o1) f (x) := x2
− 8 x + 9
(%i2)
limit((f(a+h)-f(a))/h, h, 0);
( %o2) 2 a − 8
Observaci´on. En alguna ocasiones ocupamos diferentes notaciones
para la derivada, por ejemplo, para f(x)
f (a) =
df
dx
|x=a,
o simplemente f (x) = df
dx
, si nos referimos a la derivada como funci´on.
Ejercicios. Para los ejercicios de esta secci´on, puede consultar [2,
sec. 1.6, 2.1].
§ 2.1. En los siguiente incisos, encuentra una ecuaci´on para la recta
tangente a la curva en el punto (x, f(x)). Despu´es, usando GeoGebra,
grafica la curva y la recta tangente.
1. y = 4 − x2
; x = −1
2. y = 2
√
2; x = 1
3. y = x3
, (−2, −8)
12 2. DIFERENCIACI´ON
4. f(x) = x + 9
x
, x = 3
5. k(x) = 1
2+x
, x = 2
6. s = t3
− t2
, t = −1
7. y = (x + 1)3
, x = −2
8. f(x) = 8√
x−2
, x = 6
9. g(z) = 1 +
√
4 − z, z = 3
§ 2.2. 1. Se deja caer un objeto desde lo alto de una torre de
100m. Su altura sobre el suelo despu´es de t segundos es 100 −
4.9t2
m. ¿Con qu´e rapidez cae a los 2 segundos de haber sido
soltado?
2. t segundos despu´es del despegue, la altura de un cohete es de
3t2
pies. ¿Conque rapidez asciende despu´es de 10 segundos?
3. ¿Cu´al es la raz´on de cambio de un circulo (A = πr2
) con res-
pecto de su radio, cuando el radio es r = 3?
4. ¿Cu´al es la raz´on de cambio del volumen de una esfera (V =
4
3
πr2
) con respecto al radio, cuando el radio es r = 2?
§ 2.3. Usando la definici´on, calcula las derivadas de las funciones de
los siguientes ejercicios, y despu´es halla los valores de las derivadas
que se piden.
1. f(x) = 4 − x2
; f (x)(−3), f (0), f (1),
2. F(x) = (x − 1)2
+ 1; F (−1), F (0), F (2),
3. g(t) =
1
t2
; g (−1), g (2), g (
√
3),
4. k(z) =
1 − z
2z
; k (−1), k (1), k (
√
2),
5. p(θ) =
√
3θ; p (1), p (3), p (2/3),
6. r(s) =
√
2s + 1; r (0), r (1), r (1/2).
7. ds
dt
|t=−1 si s = 1 − 3t2
8. dy
dx
|√
3 si y = 1 − 1
x
9. dr
dθ
|θ=0 si r = 2√
4−θ
10. dw
dz
|z=4 si w = z +
√
z
§ 2.4. Algunas veces, es mejor usar la definici´on (2) de derivada. Usan-
do ambas definiciones, calcule las siguiente derivadas en el punto a
dado y compare los procedimientos.
1. f(x) = 1
x+2
, a = −1,
2. f(x) = 1
(x−1)2 , a = 2
3. g(t) = t
t−1
, a = 3
4. k(s) = 1 +
√
s, a = 9
2. LA DERIVADA COMO FUNCI´ON 13
2. La derivada como funci´on
Resumen. En la secci´on anterior, vimos la definici´on de derivada
en un punto. Dijimos que f : D ⊂ R → R tiene derivada f (a) en
a ∈ D si el l´ımite
f (a) = l´ım
h→0
f(a + h) − f(a)
h
exist´ıa. Consideremos A ⊂ D de puntos donde tal l´ımite existe y po-
demos definir la funci´on derivada de f : D → R como
f : A → R, f (x) = l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
.
En este caso, decimos que f es diferenciable en A.
Ejercicio muestra 2.3. Indicar en que puntos,
f : R → R, f(x) = c,
es diferenciable, donde c ∈ R esta fijo y encontrar la funci´on derivada
de f en los puntos en los que es diferenciable.
Soluci´on. Observamos que
l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
c − c
h
= l´ım
h→0
0
h
= c.
Entonces el l´ımite existe para toda x ∈ R, por lo cual f es diferenciable
en toda R y la funci´on derivada de f es
f : R → R.f (x) = 0.
Ejercicio muestra 2.4. Indicar en que puntos,
f : R → R, f(x) = cx,
es diferenciable, donde c ∈ R esta fijo y encontrar la funci´on derivada
de f en los puntos en los que es diferenciable.
Soluci´on. Observamos que
l´ım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
c(x + h) − cx
h
= l´ım
h→0
ch
h
= c.
Entonces el l´ımite existe para toda x ∈ R, por lo cual f es diferenciable
en toda R y la funci´on derivada de f es
f : R → R.f (x) = c.
Ejercicio muestra 2.5. Encontrar los puntos donde f : R → R, f(x) =
|x| es diferenciable, y hallar su derivada en tales puntos.
14 2. DIFERENCIACI´ON
Figura 2. Valor Absoluto
Soluci´on. Observemos que si x < 0, entonces f(x) = −x y por tanto
f (x) = −1. De manera similar, si x > 0, entonces f (x) = 1. El
problema lo encontramos cuando x = 0. Como
l´ım
h→0−
|x + h| − |x|
h
= −1
y
l´ım
h→0+
|x + h| − |x|
h
= 1,
el l´ımite (por ambos lados) no existe y por tanto f no es diferenciable
en x = 0.
Entonces f(x) = |x| es diferenciable en R−{0} ,; si x < 0, entonces
f (x) = −1 y si x > 0, entonces f (x) = 1.
La figura 2 es la gr´afica de esta funci´on. Observa que en x = 0 hay
un pico.
Proposici´on 2.1. Si f : D → R es diferenciable en A ⊂ D, entonces
es continua en A.
Observaci´on. Observe que el inverso no es cierto: f(x) = |x| es una
funci´on continua en todo R, pero no es diferenciable en x = 0.
Observaci´on. Si f es diferenciable en x, entonces f es la funci´on que
asigna a x la pendiente de la recta tangente a f en el punto (x, f(x)).
Consulta las hojas de trabajo “Funciones derivadas y rectas tangentes”
y “Una funci´on que no es diferenciable”.
Ejercicios. Los ejercicios de esta secci´on se pueden encontrar en
[1, sec. 2.8]
§ 2.5. Correlacione la gr´afica de cada funci´on dada en las gr´aficas (a)-
(d) con las graficas I.IV de sus derivadas en la figura 3. Explique las
razones de su elecci´on.
2. LA DERIVADA COMO FUNCI´ON 15
Figura 3. Ejercicio 2.5
§ 2.6. Trace un bosquejo de las funciones derivadas de las funciones
graficadas en la figura 4.
§ 2.7. Encuentre la derivada de la funci´on dada aplicando la definici´on
de derivada. D´e los dominio de la funci´on y de su derivada.
1. f(x) = 1
2
x − 1
3
2. f(t) = 5t − 9t2
3. f(x) = x3
− 3x + 5
4. g(x) =
√
1 + 2x
16 2. DIFERENCIACI´ON
5. G(t) = 4t
t+1
6. f(x) = x4
3. T´ecnicas de Derivaci´on
Reglas para derivar. En esta secci´on, aprenderemos a usar al-
guna reglas de derivaci´on, que nos ayudar´an a encontrar de manera
algebr´aica una gran familia de derivadas. Posteriormente, usando la
definici´on de l´ımite, demostraremos cada una de estas.
Proposici´on 3.1. Si f, g : D → R son diferenciables en x ∈ D y
α ∈ R una constante, entonces
1. (αf) (x) = αf (x)
2. (f + g) (x) = f (x) + g (x)
3. (fg) (x) = f(x)g (x) + f (x)g(x)
Observaci´on. Las dos primeras reglas se pueden combinar en la si-
guiente:
(αf + g) (x) = αf (x) + g (x),
y a esta propiedad se conoce como linealidad.
La ´ultima se conoce como regla de Leibniz.
Ejemplo 3.1. Supongamos que queremos encontrar la derivada de
h(x) = f(x)
g(x)
, g(x) = 0 Entonces f(x) = h(x)g(x). Por la regla de Leib-
niz,
f (x) = h(x)g (x) + h (x)g(x).
Despejando h (x) obtenemos:
h (x) =
f (x) − h(x)g (x)
g(x)
.
Sustituyendo h(x) = f(x)
g(x)
y simplificando obtenemos:
h (x) =
f (x)g(x) − f(x)g (x)
g2(x)
.
Corolario 3.2.
d
dx
f(x)
g(x)
=
f (x)g(x) − f(x)g (x)
g2(x)
.
Proposici´on 3.3 (Regla de la cadena). Si f : D → R es diferenciable
en x ∈ D y g : f(D) → R lo es en y = f(x), entonces
(g ◦ f) (x) = g (y)f (x).
3. T´ECNICAS DE DERIVACI´ON 17
Derivadas de Funciones Elementales.
Proposici´on 3.4. 1. d
dx
xα
= αxα−1
2. d
dx
αx
= αx
ln(a)
Ejemplo 3.2. Por definici´on, ln : (0, +∞) → R es la funci´on inversa
de exp : R → (0, +∞), es decir
eln(x)
= ln(ex
) = x.
En particular, ln(e) = 1. Por lo tanto
d
dx
ex
= ex
.
Ejemplo 3.3. Para simplificar la notaci´on, digamos que f(y) = loga(y).
Por definici´on, tenemos que f(y) es la funci´on inversa de ay
. Entonces
x = f(ay
), y usando regla de la cadena, obtenemos que
1 = f (ay
) (ay
ln(a)) .
Despejando, obtenemos que
f (ay
) =
1
ay ln(a)
.
Sustituyendo f(y) = loga(y) y x = ay
, tenemos que
(loga) (x) =
1
x ln(a)
.
En particular,
ln (x) =
1
x
.
Proposici´on 3.5 (Funciones trigonom´etricas). 1. d
dx
cos(x) = − sin(x)
2. d
dx
sin(x) = cos(x)
Ejemplo 3.4. Como tan(x) = sin(x)
cos(x)
, cos(x) = 0, usando la regla del
cociente, obtenemos que
tan (x) =
sin (x) cos(x) − sin(x) cos (x)
cos2(x)
.
Ahora, usando las derivadas de funciones trigonom´etricas, obtene-
mos
tan (x) =
cos(x) cos(x) − sin(x)(− sin)(x)
cos2(x)
.
Finalmente, simplificamos usando la identidad trigonom´etricas
cos2
(x) + sin2
(x) = 1,
18 2. DIFERENCIACI´ON
y la funci´ıon sec(x) = 1
cos(x)
, para obtener
tan (x) = sec2
(x).
4. Derivaci´on implicita
Ejemplos. Denotaremos por y la derivada dy
dx
.
Ejercicio muestra 2.6. Si
x2
+ y2
= r2
,
donde r es una constante, encontrar y .
Soluci´on. Por regla de la cadena, (y2
) = 2yy . Esto porque
dy2
dx
=
dy2
dy
dy
dx
.
Si derivamos el lado izquierdo de la ecuaci´ıon, respecto de x, usando
linealidad, obtenemos 2x + 2yy , mientras que si derivamos el derecho,
ya que r2
es contante, obtenemos cero e igualando, tenemos que
2x + 2yy = 0.
Despu´es de despejar obtenemos que
y = −
x
y
.
Podemos comprobar nuestros resultados en WxMaxima, de la siguien-
te manera.
1. Introducimos la ecuaci´on y le asignamos el nombre eqn.
(%i1) eqn:x^2+y^2=r^2;
( %o1) y2
+ x2
= r2
2. Declaramos a y en funci´on de x.
(%i2) depends(y,x);
( %o2) [y (x)]
3. Derivamos de manera implicita.
(%i3) der_eqn:diff(eqn,x);
( %o3) 2 y
d
d x
y + 2 x = 0
4. Despejamos y = dy
dx
.
(%i4) solve(der_eqn, ’diff(y,x));
( %o4) [
d
d x
y = −
x
y
]
4. DERIVACI´ON IMPLICITA 19
Observaci´on. Observe que
x2
+ y2
= r2
es la ecuaci´on de un c´ırculo con centro en el origen con radio r > 0. Use
GeoGebrapara graficar esta ecuaci´on para un radio dado, por ejemplo,
r = 5.
1. Compare las pendientes de las rectas tangente en (x, y) y (−x, −y) .
¿Que relaci´on sobre est´as dos rectas podemos deducir?
2. Compare las pendiente de la recta tangente en (x, y) y la recta
que pasa por el origen y este punto. ¿Que relaci´on sobre est´as
dos rectas podemos deducir?
Ejercicio muestra 2.7. Si
x3
+ y3
= 6xy,
encontrar y .
Soluci´on. Por regla de la cadena
d
dx
y3
=
dy3
dy
dy
dx
,
es decir, (y3
) = (3y2
) (y ) .
Adem´as, por la regla de Leibniz,
(xy) = x y + xy = y + xy .
Entonces, derivando ambos lados de la ecuaci´on, y usando lineali-
dad, tenemos que
3x2
+ 3y2
y = 6 (y + xy ) .
Despejando y , obtenemos
y =
2y − x2
y2 − 2x
.
Ejercicio muestra 2.8. Encuentree y en t´erminos de x, si y =
arcsin(x), con imagen −π
2
≤ y ≤ π
2
.
Soluci´on. En este caso x = sin(y). Por regla de la cadena obtenemos
que
d
dx
sin(y) =
d
dy
sin(y)
dy
dx
= cos(y)y .
Sin embargo,tambien sabemos que
d
dx
sin(y) =
dx
dx
= 1.
20 2. DIFERENCIACI´ON
Por lo cual 1 = cos(y)y , y entonces y = 1/ cos(y). Pero tambi´en
sabemos que, por la manera en que escogemos el rango de y, cos(y) > 0,
y por tanto
cos(y) = 1 − sin2
(y) =
√
1 − x2.
Es decir
y =
1
√
1 − x2
.
Ejercicios. Para resolver los siguientes ejercicios, puede consultar
los ejemplos de [1, sec. 3.5].
§ 2.8. Encuentre y . Grafique y y y usando GeoGebra. Compruebe sus
resultados usando WxMaxima.
1. sin(x + y) = y2
cos(x),
2. x4
+ y2
= 16,
3. y = arc cos(x),
4. y = arctan(x).
5. Derivaci´on logar´ıtmica
Resumen. Recordemos que y = ex
si y solo si x = ln(y), por
lo cual ln(y) solamente est´a definido para y > 0. Dos propiedades
fundamentales del logar´ıtmo son las siguientes:
1. ln(ab) = ln(a) + ln(b),
2. ln(ab
) = b ln(a).
De esto se deduce, usando leyes de los exponentes, que ln a
b
=
ln(a) − ln(b).
Por regla de la cadena,
d
dx
ln(y) =
d
dy
ln(y)
dy
dx
,
es decir,
(ln(y)) =
y
y
.
De esto se deduce que
(3) y = y
d
dx
ln(y) .
Esta forma de derivar, conocida como derivaci´on logar´ıtmica, es
especialmente ´util si necesitamos derivar funciones que involucren mul-
tiplicaci´on, divisi´on, exponenciaci´on y radicales.
Ejercicio muestra 2.9. Si y =
x + 1
√
x − 2
, encontrar y .
5. DERIVACI´ON LOGAR´ITMICA 21
Soluci´on. Primero, escribimos y = (x + 1)(x − 2)−1/2
. Entonces
ln(y) = ln(x + 1) −
1
2
ln(x − 2),
de donde
d
dx
ln(y) =
1
1 + x
−
1
2
1
x − 2
.
Simplificando la ´ultima expresi´on obtenemos
d
dx
ln(y) =
x − 3
2(x + 1)(x − 2)
,
de donde obtenemos
y =
x + 1
(x − 2)1/2
x − 3
2(x + 1)(x − 2)
,
y simplificando obtenemos,
y =
x − 3
2(x − 2)3/2
.
De hecho, podemos obtener la f´ormula para la derivada del cociente
usando la f´ormila (3). En efecto,
ln
f
g
= ln(fg−1
) = ln(f) − ln(g).
Derivando obtenemos
d
dx
ln
f
g
=
f
f
−
g
g
.
Entonces
f
g
=
f
g
f
f
−
g
g
=
f g − g f
g2
.
Otro ejemplo del uso de la derivada es el siguiente. Supongamos
que y = xα
, con x = 0. Entonces ln(y) = α ln(x), y por tanto
d
dx
ln(y) =
α
x
.
Entonces y = (xα
) (αx−1
) = αxα−1
.
Por ´ultimo, derivaremos y = ln |x| . Observe que solamente necesita-
mos deducir el caso cuando x < 0, es decir |x| = −x. En esta situaci´on
y = ln(−x)y por regla de la cadena, sustituyendo u = −x, y = ln(u)
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
u
u =
u
u
.
22 2. DIFERENCIACI´ON
Pero u = −1, y por tanto
d
dx
ln(−x) =
−1
−x
=
1
x
. Entonces, siempre
que x = 0,
d
dx
ln |x| =
1
x.
Ejercicios.
§ 2.9. Encuentre y usando derivaci´on logar´ıtmica.
1. y =
x3/4
√
x2 + 1
(3x + 2)5
,
2. y = x
√
(x)
,
3. y = ln(e−x
+ xe−x
),
4. y =
x
1 − ln(x − 1)
5. y = xx
,
6. y = xsin(x)
,
7. xy
= yx
.
Problema 2.1. Use la definici´on de derivada para demostrar que
l´ım
x→0
ln(1 + x)
x
= 1.
5. DERIVACI´ON LOGAR´ITMICA 23
Figura 4. Ejercicio 2.6
24 2. DIFERENCIACI´ON
Figura 5. Ejercicios de repaso para el examen. Consul-
te [1, Ejercicios de Repaso, pag. 265].
Cap´ıtulo 3
Aplicaciones
1. Crecimiento exponencial
Resumen. Si la raz´on de cambio (instantanea) de una funci´on
x : R → R diferenciable es proporcional a la propia funci´on, esto lo
podemos expresar con la siguiente ecuaci´on diferencial:
(4)
dx
dt
= kx.
La funci´on x : R → R
x(t) = Cekt
,
donde C ∈ R es una constante, satisface esta ecuaci´on y por el teore-
ma de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, si
fijamos la condici´on inicial x(0) = x0 ∈ R, esta es la ´unica soluci´on.
De hecho, esa f´acil comprobar que en este caso, C = x0.
Observaci´on. En las aplicaciones, regularmente escogemos condicio-
nes iniciales positivas, es decir, x0 > 0. En esta situaci´on, tenemos los
siguientes casos
1. Si k = 0, entonces x(t) = x0ekt
permanece constante y no es de
nuestro inter´es;
2. Si k > 0, entonces x(t) = x0ekt
es estrictamente creciente y
decimos que k es una constante de crecimiento.
3. Si k < 0, entonces x(t) = x0ekt
es estrictamente decreciente y
decimos que k es una constante de deca´ımiento.
Ejercicio muestra 3.1. Si P(t) es la poblaci´on humana, medida en
millones de personas, a partir de 1950, entonces tenemos los siguientes
datos:
a˜no t P(t) ≈
1950 0 2 518
1960 10 2 755
¿Cu´al ser´a la poblaci´on mundial en 2010?
25
26 3. APLICACIONES
Soluci´on. Usando nuestro modelo, obtenemos las siguiente ecuaciones
x0ek(0)
= 2518
x0ek(10)
= 2982.
De la primera, es claro que la poblaci´on inicial es x0 = 2518, mientras
que sustituyendo y despejando en la segunda obtenemos:
k =
1
10
ln
2982
2518
≈ 0.0169.
Entonces, obtenemos:
P(t) = 2518e.0169t
,
y sustituyendo como el a˜no 2010, corresponde a t = 60, obtenemos
P(60) = 2518e.0169(60)
≈ 6941.
La poblaci´on mundial en 210 fue aproximadamente 6854 millones
de habitantes, es decir, el error relativo de nuestra aproximaci´on es
Errrel =
6941 − 6854
6854
≈ 1.26 %.
Ejercicios.
§ 3.1. Una poblaci´on de protozoarios se desarrollan en una raz´on de
crecimiento relativo contante de 0.7944 por miembro cada d´ıa. En el
d´ıa cero, la poblaci´on consiste de dos miembros. Hallar el tama˜no de
la poblaci´on despu´es de seis d´ıas.
§ 3.2. Un habitante com´un del intestino humano es la bacteria esche-
richia coli. Una celula de esta bacter´ıa en un caldo nutriente se divide
en dos c´elulas cada 20 minutos. La poblaci´on inicial de un cultivo es
de 60 celulas.
1. Hallar la raz´on de crecimiento relativo.
2. Encontrar una expresi´on para el n´umero d´elulas despu´es de t
horas.
3. Establecer la raz´on de crecimiento despu´es de 8 horas.
4. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanzar´a 20,000 celulas.
§ 3.3. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 d´elulas y crece en
una cantidad proporcional a su tama˜no. Despu´es de 1 hora la poblaci´on
se ha incrementando a 420.
1. Establecer una expresi´on para n´umero de bacterias despu´es de
3 horas.
2. Calcular el n´umero de bacterias despu´es de 3 horas.
3. Encuentre la tasa de crecimiento despu´es de 3 horas.
2. LINEALIZACI´ON 27
Figura 1. Linealizaci´on de (x) alrededor a = 4.
4. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanza 10,000?
§ 3.4. Un cultivo de bacterias crece con una rapidez de crecimiento
relativo constante. Despu´es de 2 horas existen 600 bacterias y despu´es
de 8 horas la cuenta es de 75,000.
1. Hallar la poblaci´on inicial.
2. establecer la expresi´on para la poblaci´on despu´es de t horas.
3. Calculae el n´umero de c´alulas despu´es de 5 horas.
4. establecer la rapidez de crecimiento despu´es de 5 horas.
5. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanzar´a 200,000?
2. Linealizaci´on
Resumen. Supongamos que f : R → R es diferenciable en a ∈ R,
es decir, existe la derivada f (a). Como ya hemos visto, esta derivada
en la pendiente de la recta tangente, que es la mejor aproximaci´on lineal
de f en a. La ecuaci´on de la recta tangente se puede obtener a partir
de la siguiente ecuaci´on:
y − f(a)
x − a
= f (a),
que es la ecuaci´on de una recta que pasa por el punto (a, f(a)) con
pendiente f (a).
Definici´on 2.1. Sea f : R → R una funci´on diferenciable. Definimos
la linealizaci´on de f alrededor de (o con pivote en) a ∈ R como
Lf,a(x) = f(a) + f (a)(x − a).
La linealizaci´on Lf,a(x) se puede usar para hacer calcular de manera
bastante precisa de valor de f(x) para x ≈ a.
Ejemplo 2.1. Existen varios algoritmos para calcular la raiz de un
n´umero real. Sin embargo, podemos calcular raices de n´umeros reales
de manera muy precisa, usando la linealizaci´on.
28 3. APLICACIONES
Por ejemplo, calculemos
√
4.1. Primero determinamos la funci´on a
linealizar, en este caso, f(x) =
√
x. La derivada de f es
f (x) =
1
2
√
x
.
Despu´es, escogemos como pivote el punto a = 4. En este caso f(4) =
2 y f (4) = 1
4
. De donde obtenemos
L(x) = f(4) + f (4)(x − 4) = 2 +
1
4
(x − 4).
Entonces
√
4.1 ≈ L(4.1) = 2 + .25(4.1 − 4) = 2.025.
Si usaramos una calculador, obtendriamos
√
4.1 = 2.02484567313.
El error absoluto entre este valor y el que obtuvimos de la aproximaci´on
es
Err = |2.025 − 02484567313| ≈ 1.54 × 10−4
.
Ejercicios.
§ 3.5. Use una aproximaci´on lineal para calcular los siguientes valores.
Posteriormente, use una calculadora para encontrar su valor y deter-
mine el error absoluto.
1. (2.001)5
2. e−0.015
3. (8.06)2/3
4. 1
1002
5. tan(44o
)
6.
√
99.8
3. Optimizaci´on
Resumen.
Definici´on 3.1. Sea f : D ⊂ R → R. Decimos que:
1. f alcanza su valor m´aximo o m´aximo global en c ∈ D si f(c) ≥
f(x), para toda x ∈ D;
2. f alcanza su valor m´ınimo o m´ınimo global en c ∈ D si f(c) ≤
f(x), para toda x ∈ D.
Teorema 3.1 (Teorema del Valor Extremo). Si f : [a, b] → R es
continua, entonces f alcanza su m´aximo y su m´ınimo.
3. OPTIMIZACI´ON 29
Aunque el cr´ıterio anterior nos es ´util al optimizar en intervalos
compactos, es decir, de la forma [a, b], en un caso general no siempre
esto es cierto. Sin embargo, tenemos la siguiente noci´on de m´aximo
(m´ınimo) en intervalos abiertos.
Definici´on 3.2. Sea f : D ⊂ R → R. Decimos que:
1. f tiene un m´aximo local en c ∈ D si existe un radio > 0
suficientemente peque˜no, de manera que f(c) ≥ f(x), para toda
x ∈ (c − , c + ) ⊂ D;
2. f tiene un m´ınimo local en c ∈ D si existe un radio > 0
suficientemente peque˜no, de manera que f(c) ≤ f(x), para toda
x ∈ (c − , c + ) ⊂ D.
Observaci´on. La condici´on de que exista si existe un radio > 0
suficientemente peque˜no, y que x ∈ (c− , c+ ) ⊂ D se puede entender
como que x ∈ D este suficientemente cerca de c ∈ D. De manera
informal, podemos decir que f alcanza un m´aximo local en c si f(c) ≥
f(x) para x suficientemente cercanos a c. Lo mismo se puede decir
para un m´ınimo local. Note que todo m´aximo (m´ınimo) global es, en
particular, un m´aximo (m´ınimo resp.) local.
Teorema 3.2 (Teorema de Fermat). Si f : D ⊂ R → R alcanza un
m´aximo o m´ınimo local en c ∈ D y f (c) existe, entonces necesaria-
mente f (c) = 0.
Observaci´on. Debemos tener cuidado al usar el teorema de Fermat.
Por ejemplo f = |x| alcanza su m´ınimo en cero, pero en este punto la
derivada no existe. En cambio, f(x) = x3
tiene derivada igual a cero
en x = 0, pero este punto no es m´aximo ni m´ınimo de la funci´on.
Como podemos apreciar, los puntos m´as interesantes para nuestro
estudio son aquellos donde la derivada no existe o si existe, es igual a
cero.
Definici´on 3.3. Sea f : D ⊂ R → R y c ∈ D. Decimos que c es un
punto cr´ıtico si f (c) no existe o si existe, f (c) = 0.
Con los resultados anteriores, podemos describir un criterio para
optimizar funciones continuas en compactos.
Proposici´on 3.3. Supongamos que
1. f : [a, b] → R es continua,
2. f : (a, b) → R es diferenciable.
Si f alcanza su m´aximo (o m´ınimo) global en c, entonces
1. c = a o c = b, o
30 3. APLICACIONES
Figura 2. f(x) = x3
− 3x2
+ 1
2. f (c) = 0 un punto cr´ıtico.
En decir, para encontrar donde f alcanza sus valores extremos,
basta probar en los extremos del intervalo o en los puntos cr´ıticos, que
se encuentran en su interior.
Ejercicio muestra 3.2. Encuntre el m´aximo y el m´ınimo global de la
funci´on f(x) = x3
− 3x2
+ 1 si −1
2
≤ x ≤ 4.
Soluci´on. Como f es continua en [−1
2
, 4] y diferenciable en su interior
(−1
2
, 4) (¿porqu´e?), podemos aplicar el criterio de la proposici´on 3.3.
Primero evaluamos en los extremos.
f(−1
2
) = 1
8
f(4) = 17
Derivamos f y obtenemos los puntos cr´ıticos, resolviendo la ecua-
ci´on
f (x) = 3x2
− 6x = 3x(x − 2) = 0.
Los puntos cr´ıticos son x = 0 y x = 2. Sus respectivos valores son
f(0) = 1 y f(2) = −3.
Finalmente, basta comparar los diferente valores obtenidos para
concluir que el m´aximo global es 17 y se alcanza en x = 4, mientras
que el m´ınimo global es −3 y se alcanza en x = 2.
Ejercicios.
§ 3.6. Encuentre los m´aximos y m´ınimos absolutos en el intervalo in-
dicado. Grafique.
1. f(x) = 2x3
− 3x2
− 12x + 1, [−2, 3]
2. f(x) = x
x2−x+1
, [0, 3]
3. f(x) = t
√
4 − t2, [−1, 2]
4. φ(t) = 2 cos(t) + sin(2t), [0, π
2
]
5. f(x) = xe−x2/8
, [−1, 4]
6. f(x) = ln(x2
+ x + 1), [−1, 1]
7. f(x) = x − 2 arctan(x), [0, 4]
4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 31
4. Teorema del Valor Medio
Introducci´on. ¿Como calculamos la velocidad de un objeto? Su-
pongamos que en un intervalo de tiempo I := [t0, tf ], el desplazamiento
de ´este esta dado por s : I → R, es decir, solamente se mueve a lo largo
de una l´ınea recta. Si queremos calcular la velocidad promedio en I,
usamos la siguiente f´ormula:
¯v =
s(tf ) − s(t0)
tf − t0
.
Sin embargo, puede ser que la velocidad var´ıe instantaneamente y
en tal caso, necesitariamos considerar la velocidad instantanea en un
tiempo t ∈ I dada por:
v (t) =
ds
dt
.
El siguiente teorema, uno de los m´as importantes del c´alculo, nos
dice que en alg´un instante t∗
∈ I, la velocidad intantanea ser´a igual a
la velocidad promedio en dicho intervalo I.
Teorema 4.1 (Teorema del Valor Medio). Sea f : [a, b] → R una fun-
ci´on continua, que adem´as es diferenciable en (a, b). Entonces, existe
c ∈ (a, b) tal que
f(b) − f(a)
b − a
= f (c).
Este teorema nos permitir´a estudiar el comportamiento de las fun-
ciones en ciertos intervalos, a partir del comportamiento de sus de-
rivadas en el mismo. A continuaci´on, presentamos algunos resultados
importantes que se pueden obtener a patir de este teorema.
Crecimiento y primera derivada.
Proposici´on 4.2. Sea f : (a, b) → R una funci´on diferenciable. En-
tonces f es constante en (a, b) si y solo si f (c) = 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostraci´on. Sabemos que si una funci´on es constante, enton-
ces su derivada es cero. Ahora supongamos que f (c) = 0 para todo
c ∈ (a, b). Comparemos el valor de las funciones en dos puntos diferen-
tes x, y ∈ I tales que x ≤ y.
Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] y como
f (c) para todo c ∈ (a, b), en particular, para todo c ∈ (x, y) ⊂ (a, b),
tenemos que para alg´un c ∈ (x, y) ⊂ (a, b):
f(y) − f(x)
y − x
= f (c) = 0.
32 3. APLICACIONES
Multiplicando por ambos lados por y − x, tenemos que
f(y) − f(x) = 0,
y por tanto, para todo x, y ∈ (a, b),
f(x) = f(y),
es decir, la funci´on f es contante en este intervalo.
Definici´on 4.1. Decimos que una funci´on f.D ∈ R → R es creciente
(resp. decreciente) en su dominio D si
x < y ⇒ f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)).
Proposici´on 4.3. Si f : (a, b) → R una funci´on diferenciable, enton-
ces f es creciente en (a, b) si y solo si f (c) > 0 para todo c ∈ (a, b)
Demostraci´on. Primero supongamos que f es creciente y sea x ∈
(a, b). Si h > 0, entonces f(x + h) > f(x), porque x + h > x y por lo
tanto
f(x + h) − f(x)
h
> 0.
Si tomamos el l´ımite cuando h → 0, entonces
f (x) = l´ım
h→0+
f(x + h) − f(x)
h
> 0,
y por lo tanto f (x) > 0 para toda x ∈ (a, b).
Ahora, supongamos que para toda x ∈ (a, b) : f (x) > 0. Escojamos
dos puntos, x, y ∈ (a, b), tales que x < y. Aplicando el teorema del valor
medio en el intervalo [x, y] tenemos que para alg´un c ∈ (x, y)
f(y) − f(x)
y − x
= f (c) > 0,
y multiplicando por y − x > 0 de ambos lados, obtenemos
f(y) − f(x) > 0,
es decir, si x < y entonces f(x) < f(y).
De manera similar, se puede demostrar que
Proposici´on 4.4. Si f : (a, b) → R una funci´on diferenciable, enton-
ces f es decreciente en (a, b) si y solo si f (c) < 0 para todo c ∈ (a, b).
4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 33
Figura 3. Funci´on concava hacia arriba
Concavidad y segunda derivada. Consideremos la funci´on f :
D → R en la figura 3 y supongamos que es diferenciable en cada
punto; su gr´afica es concava hacia arriba. ¿C´omo podemos definir esto
de manera analitica? Note que para cualquier punto a ∈ D, la l´ınea
tangente esta siempre por debajo de la gr´afica. La funci´on que describe
esta recta es
La(x) = f(a) + f (a)(x − a),
y entonces esta condici´on de concavidad se expresar´ıa como que para
cada punto x0 ∈ D
f(a) + f (a)(x − a) ≤ f(x), x ∈ D.
Entonces, tenemos la siguiente definici´on.
Definici´on 4.2. Una funci´on f : D → R diferenciable es concava hacia
arriba si para todo x, x0 ∈ D, tenemos que
(5) f(x) − f(x0) ≤ f (x0)(x − x0).
En particular, si a < b, es decir, 0 < b − a, entonces usando la
ecuaci´on 6 para x0 = a, obtenemos que
f(b) − f(a)
b − a
≥ f (a).
De manera similar, entonces usando la ecuaci´on 6 para x0 = b,
f(b) − f(a)
b − a
≤ f (b).
Por tanto,
f (a) ≤
f(b) − f(a)
b − a
≤ f (b),
34 3. APLICACIONES
es decir, la derivada es creciente si la funci´on es concava hacia arriba.
Lo cu´al se puede observar en la figura 3.
Ahora bien, si la derivada es creciente, ¿la funci´on necesariamente
es concava hacia arriba? S´ı, y veamos porque.
Si la derivada es creciente y c ≤ a, entonces f (c) ≤ f (a). Suponga-
mos que x > a, y que la derivada es creciente. Entonces, por el teorema
del valor medio, existe un c ∈ R, x > c > a, tal que
f(x) − f(a) = f (c)(x − a) ≥ f (a)(x − a),
que no es m´as que la condici´on 6 para el caso x > a. El caso x < a se
obtiene de manera similar.
Podemos resumir nuestros resultados en la siguiente
Proposici´on 4.5. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es
concava hacia arriba si y solo si f es una funci´on creciente.
Por el teorema 4.3, obtenemos el siguiente
Corolario 4.6. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es con-
cava hacia arriba si y solo si f (x) > 0 para todo x ∈ (a, b).
De manera similar, podemos definir la concavidad hacia abajo.
Definici´on 4.3. Una funci´on f : D → R diferenciable es concava hacia
abajo si para todo x, x0 ∈ D, tenemos que
(6) f(x) − f(x0) ≥ f (x0)(x − x0).
y obtenemos resultados similares,
Proposici´on 4.7. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es
concava hacia abajo si y solo si f es una funci´on decreciente.
Corolario 4.8. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es con-
cava hacia abajo si y solo si f (x) < 0 para todo x ∈ (a, b).
En particular, obtenemos una manera de caraterizar los m´aximos y
m´ınimos locales de manera pr´atica.
Teorema 4.9 (Criterio de la Segunda Derivada). Sea f : (a, b) → R
con segunda derivada. Entonces:
1. c ∈ (a, b) es m´aximo local si y solo si f (c) = 0 y f (c) < 0.
2. c ∈ (a, b) es m´ınimo local si y solo si f (c) = 0 y f (c) > 0.
Para finalizar, tenemos la siguiente definici´on
Definici´on 4.4. Sea f : (a, b) → R con segunda derivada. Entonces
decimos que c ∈ (a, b) es punto de inflexi´on si
f (c) = 0,
es decir la funci´on f cambia de concavidad en c.
5. GRAFICACI´ON 35
Figura 4. Puntos de inflexi´on
Figura 5. Puntos de silla
5. Graficaci´on
M´etodo para graficar. Supongamos que f : (a, b) es una funci´on
con segunda derivada. Podemos proceder de la siguiente manera para
encontrar su gr´afica.
1. Encontrar las raices, es decir, los puntos c tales que f(c) = 0;
2. Encontrar los puntos cr´ıticos, es decir, los puntos c tales que
f (c) = 0;
a) Si f (c) > 0, entonces c es m´ınimo local,
b) Si f (c) < 0, entonces c es m´aximo local,
3. Encontrar los puntos de inflexi´on, es decir, los puntos c tales
que f (c) = 0.
Los puntos de inflexi´on pueden ser como en la figura 4. Si f cambia
de negativa a positiva, la gr´afica localmente como la de la izquierda,
mientras que en el otro caso, luce como en la de la derecha.
Falta por caracterizar los puntos cr´ıticos c donde f (c) = 0, es decir,
que tambi´en son puntos de inflexi´on. Estos puntos se les conoce como
puntos de silla y alrededor de estos, la gr´afica se ve como alguna de las
de la figura 5.
Ejercicio muestra 3.3. Grafique la funci´on f : [−1, 1] → R, f(x) =
x3
− x.
Soluci´on. Primero, resolvemos la ecuaci´on
x3
− x = 0,
36 3. APLICACIONES
Figura 6. Gr´afica del ejericicio 3.3
y tenemos que las raices de f son x = −1, 0, 1.
Despu´es derivamos f:
f (x) = 3x2
− 1,
y resolvermos la ecuaci´on f (c) = 0.
Entonces, los puntos cr´ıticos de la funci´on son x = ± 1√
3
. Utilizamos
el criterio 4.9 para decidir si son m´aximo o m´ınimos locales, o incluso,
puntos de silla.
La segunda derivada de f es
f (x) = 6x.
Como f ( 1√
3
) = 6 1√
3
> 0, entonces
c =
1
√
3
es un m´ınimo local.
De manera similar, concluimos que
c = −
1
√
3
es un m´aximo local.
Finalmente, resolvemos f (c) = 0, pero la ´unica soluci´on es c = 0
y por tanto, este es el ´unico punto de inflexi´on. Como antes de c = 0,
f < 0, mientras que despu´es f >, concluimos que en este punto, la
gr´afica se ve localmente como la gr´afica de la derecha en la figura 4.
Podemos utilizar GeoGebra para graficar y comparar con nuestros
resultados. La gr´afica esta dada en la figura 6.
6. TEOREMA DE L’HOSPITAL 37
Ejercicios.
§ 3.7. Esboce la gr´afica de cada una de las siguientes funciones, uti-
lizando el m´etodo anterior. Grafique usando GeoGebra y compare sus
resultados.
1. x3
− 7x + 6,
2. 6x3
− x2
− 5x + 2,
3. x4
− 3x3
+ 3x2
− 3x + 2.
6. Teorema de L’Hospital
El siguiente teorema nos ser´a util para encontrar l´ımites de formas
indeterminadas, tales como
0
0
,
±∞
±∞
.
Teorema 6.1 (L’Hospital). Sea f, g : (c − , c + ) → R funciones
diferenciables, tales que
g (x) = 0 si x ∈ (c − , c + ), x = c,
l´ımx→c f(x) = l´ımx→c g(x) = 0.
Entonces,
l´ım
x→c
f(x)
g(x)
= l´ım
x→c
f (x)
g (x)
,
si es que el l´ımite del lado derecho existe.
La misma conclusi´on vale si cambiamos la hip´otesis (2) por
l´ım
x→c
f(x) = l´ım
x→c
g(x) = ±∞.
Ejercicio muestra 3.4. Encuentre
l´ım
x→1
ln(x)
x − 1
.
Soluci´on. Las funciones f(x) = ln(x) y g(x) = x−1 son diferenciables
en sus respectivos dominios y de hecho,
f (x) =
1
x
, g (x) = 1.
Como g (x) = 1 = 0 en R, se cumple la primera hip´otesis del Teorea
de L’Hospital. Adem´as,
l´ım
x→1
ln(x) = l´ım
x→1
(x − 1) = 0.
Ahora bien,
l´ım
x→1
f (x) = l´ım
x→1
1
x
= 1,
38 3. APLICACIONES
mientras que
l´ım
x→1
g (x) = l´ım
x→1
1 = 1.
Por tanto
l´ım
x→1
ln(x)
x − 1
= l´ım
x→1
1/x
1
= 1.
Ejercicios.
§ 3.8. Encuentre los siguientes l´ımites
1.
l´ım
x→∞
ex
x3
,
2.
l´ım
x→∞
ln(x)
3
√
x
,
3.
l´ım
x→0
tan(x) − x
x3
,
4.
l´ım
π−
sin(x)
1 − cos(x)
,
5.
l´ım
x→0+
x ln(x),
6.
l´ım
x→ π
2
−
(sec(x) − tan(x)) ,
7.
l´ım
x→0+
xx
.
7. Proyecto final: Polinomios de Taylor
La aproximaci´on de la recta tangente L(x) es la mejor aproximaci´on
de primer grado (lineal) a f(x), cerca de x = a, porque f(x) y L(x)
tienen la misma relaci´on de cambio (derivada) en a. Para tener una
mejor aproximaci´on que la lineal, intente una aproximaci´on de segundo
grado (cuadr´atica)
P(x) = A + Bx + Cx2
.
En otras palabras, aproxime una curva mediante una parabola en lugar
de una recta. Para tener la seguridad de que la aproximaci´on es buena,
estipule lo siguiente:.
(i) P(a) = f(a)
(ii) P (a) = f (a)
(iii) P (a) = f (a)
7. PROYECTO FINAL: POLINOMIOS DE TAYLOR 39
(a) Encuentre la aproximaci´on cuadr´atica
P(x) = A + Bx + Cx2
para la funci´on f(x) = cos(x), que satisfaga las condiciones (I)-
(III), con a = 0. Grafique P, f, y L. ¿Que tanto se aproximan P y
L a f en el intervalo (−1, 1)? Calcule el error absoluto y el relativo.
(b) Determine los valores de x para los cuales la aproximaci´on cuadr´ati-
ca P(x) del inciso anterior tiene un margen de error menos que 0.1.
Sugerencia: Grafique y = P(x), y = cos(x) − 0.1 y y = cos(x) + 0.1
en una misma pantalla.
(c) Para aproximaci´on una funci´on f por una cuadr´atica P cerca de
un n´umero a, lo mejor es escribir
P(x) = A + B(x − a) + C(x − a)2
.
Mostrar que la funci´on cuadr´atica que satisface (I)-(III) es
P(x) = f(a) + f (a)(x − a) +
1
2
f (a)(x − a)2
.
(d) Encuentre la aproximaci´on cuadr´atica a f(x) =
√
x + 3 alrededor
de a = 1. Grafique f y sus aproximaciones lienal y cuadr´atica, en
una pantalla com´un. Coment´e acerca del resultado.
(e) De manera similar, podemos aproximar una funci´on f alrededor
de a con un polinomio de grado n usando el n-´esimo polinomio de
Taylor:
Tn(x) = f(a)+f(1)
(a)(x−a)+...+
f(k)
(a)
k!
(x−a)k
+...+
f(n)
(a)
n!
(x−a)n
,
donde k! = 1 · 2 · · · k, si k > 0 y f(k)
(a) denota la k-´esima derivada
evaluada en a.
Encuentre los polinomios de Taylor de f(x) = cos(x) en a = π
correspondientes a k = 1, 2, 3, 4 y grafiquelos en el intervalo [0, 2π]
en una misma pantalla. Encuentre el error absoluto de cada uno en
x = 0.
Bibliograf´ıa
[1] Stewart, J.; C´alculo de una variable, trascendentes tempranas; Cengage Lear-
ning, 6a Edici´on, 2008.
[2] Thomas, G., Finney, R.; C´alculo, una variable; Addison-Wesley, 9a Edici´on,
1998.
[3] Courant, R., Fritz, J.; Introduction to Calculus and Analysis; Interscience Pu-
blisher, 1965.
[4] Rudin, W.; Priciples of Mathematical Analysis; Mc-Graw Hill,3a ed., 1976.
41

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Notas de Cálculo Diferencial

  • 1. Notas de C´alculo Diferencial Juliho Castillo E-mail address: jdcastillo@up.edu.mx
  • 2.
  • 3. ´Indice general Cap´ıtulo 1. L´ımites y continuidad 5 1. Reglas para calcular l´ımites 5 Cap´ıtulo 2. Diferenciaci´on 9 1. La Derivada como L´ımite 9 2. La derivada como funci´on 13 3. T´ecnicas de Derivaci´on 16 4. Derivaci´on implicita 18 5. Derivaci´on logar´ıtmica 20 Cap´ıtulo 3. Aplicaciones 25 1. Crecimiento exponencial 25 2. Linealizaci´on 27 3. Optimizaci´on 28 4. Teorema del Valor Medio 31 5. Graficaci´on 35 6. Teorema de L’Hospital 37 7. Proyecto final: Polinomios de Taylor 38 Bibliograf´ıa 41 3
  • 4.
  • 5. Cap´ıtulo 1 L´ımites y continuidad 1. Reglas para calcular l´ımites Resumen. Proposici´on 1.1 (Reglas para calcular l´ımites). Si c es una constante y L = l´ımx→a f y M = l´ımx→a g existen, entonces: 1. l´ımx→a(f ± g) = L ± M, 2. l´ımx→a(cf) = cL, 3. l´ımx→a(fg) = LM, 4. Si M = 0, l´ımx→a(f g ) = L M . Observaci´on. Nos referiremos a las dos primeras reglas como lineali- dad. Proposici´on 1.2 (L´ımites de potencias y raices). Si l´ımx→a f(x) = L, entonces 1. l´ımx→a fn (x) = Ln , 2. Si n es impar o n es par y L ≥ 0, l´ımx→a n f(x) = n √ L, Proposici´on 1.3. 1. l´ımx→a c = c, donde c es una constante y 2. l´ımx→a x = a. Problema 1.1 (†). Demuestre que si p(x) es un polinomio, siempre se cumple que l´ım x→a p(x) = p(a). Sugerencia. Primero muestre la afirmaci´on para monomios, usando se todas las reglas enunciadas anteriormente. Finalmente use la linealidad para extenderlo a cualquier polinomio. Observaci´on. Si f, g son funciones en alg´un intervalo abierto y f(x) = g(x) cuando x = a, entonces l´ım x→a f = l´ım x→g . Ejemplo 1.1. Sea f(x) = x + 1 y g(x) = x2−1 x−1 . Entonces f(x) = g(x) si x = 1. Como l´ım x→1 f = 2, 5
  • 6. 6 1. L´IMITES Y CONTINUIDAD entonces l´ım x→1 x2 − 1 x − 1 = 2. Proposici´on 1.4 (Teorema del emparedado). Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para x ≈ a, pero x = a, y l´ım x→a f = l´ım x→a h = L, entonces l´ım x→a g = L. Ejemplo 1.2. Como −1 ≤ sin(1 x ) ≤ 1, para todo x ∈ R − {0} , y x2 ≥ 0, para toda x ∈ R, entonces −x2 ≤ x2 sin(1 x ) ≤ x2 , para x ∈ R − {0} . Como l´ım x→0 −x2 = l´ım x→0 x2 = 0, por el teorema del emparedado, l´ım x→0 x2 sin 1 x = 0, aunque la funci´on no esta definida en x = 0. Figura 1. −x2 ≤ x2 sin(1/x) ≤ x2 Consulta la hoja de trabajo de este ejemplo en GeoGebraTube. Ejercicios. Los ejercicios de esta secci´on se pueden encontrar en [1, sec. 2.3] y [2, sec. 1.3]. § 1.1. En los siguientes ejercicios, halla los l´ımites. 1. l´ımx→2 x2 + x − 6 x − 2 2. l´ımx→−3 t2 − 9 2t2 + 7t + 3
  • 7. 1. REGLAS PARA CALCULAR L´IMITES 7 3. l´ımh→0 (4 + h)2 − 16 h 4. l´ımx→−2 −2x − 4 x3 + 2x2 5. l´ımu→1 u4 − 1 u3 − 1 6. l´ımx→9 √ x − 3 x − 9 7. l´ımx→1 x − 1 √ x + 3 − 2 8. l´ımx→−2 x + 2 x3 + 8 9. l´ımh→0 (2 + h)3 − 8 h 10. l´ımx→−4 1 4 + 1 x 4 + x 11. l´ımt→0 1 t − 1 t2 + t 12. l´ımx→16 4 − √ x 16x − x2 13. l´ımh→0 (3 + h)−1 − 3−1 h 14. l´ımt→0 1 t √ 1 + t − 1 t 15. l´ımx→−4 √ x2 + 9 − 5 x + 4 § 1.2 (‡). Encuentre los siguientes l´ımites usando el teorema 1.4. Gra- fique. 1. l´ımx→0 x6 cos(20πx) 2. l´ımx→0 √ x3 + x2 sin π x 3. l´ımx→0 x4 cos 2 x 4. l´ımx→0+ √ xesin π x 5. l´ımx→0 x3 sin(1 x ) § 1.3. Evalue el siguiente l´ımite l´ım h→0 f(x + h) − f(x) h , en los siguientes casos: 1. f(x) = x2 , x = 1 2. f(x) = 3x − 4, x = 2 3. f(x) = 1 x , x = −2
  • 8. 8 1. L´IMITES Y CONTINUIDAD 4. f(x) = √ x, x = 7 5. f(x) = √ 3x + 1, x = 0 § 1.4. Dado el primer l´ımite, hallar el segundo. 1. l´ımx→4 f(x)−5 x−2 = 1, l´ımx→4 f(x) 2. l´ımx→2 f(x)−5 x−2 = 3, l´ımx→2 f(x) 3. l´ımx→2 f(x)−5 x−2 = 4, l´ımx→2 f(x) 4. l´ımx→0 f(x) x2 = 1, l´ımx→−2 f(x) 5. l´ımx→0 f(x) x2 = 1, l´ımx→−2 f(x) x
  • 9. Cap´ıtulo 2 Diferenciaci´on 1. La Derivada como L´ımite Resumen. Definici´on 1.1. Sea f : D ⊂ R → R una funci´on y a ∈ D. Suponga- mos que m = l´ım x→a f(x) − f(a) x − a existe. Entonces, decimos que la recta con pendiente m que pasa por el punto (a, f(a)) es la recta tangente a f en x = a. De manera alternativa, m = l´ım h→0 f(a + h) − f(a) h . Ejemplo 1.1. Si f(x) = x2 y a = 1, entonces l´ım h→0 (1 + h)2 − (1)2 h = l´ım h→0 (2 + h) = 2. La recta tangente a f en a = 1, decir, que pasa por el punto (1, f(1)) = (1, 1) esta dada por la ecuaci´on 2 = y − 1 x − 1 , es decir, y = 2x − 1. Figura 1. Recta tangente a x2 en a = 1. Consulta la hoja de trabajo. 9
  • 10. 10 2. DIFERENCIACI´ON Definici´on 1.2. Si s : I ⊂ R → R es la funci´on distancia en un intervalo de tiempo I, entonces la velocidad en el instante t se define como v(t) = l´ım h→0 a(t + h) − a(t) h , si acaso este l´ımite existe. Ejercicio muestra 2.1. La altura a de un objeto en ca´ıda libre, con altura inicial a0 y velocidad inicial v0, esta dada por a(t) = h0 + v0t + 4.9t2 , medido en unidades del sistema mks. Supongamos que la altura inicial es 450mts y se deja con velocidad nula. Encuentre la velocidad del objeto al tocar el suelo. Soluci´on. Primero, planteamos la ecuaci´on a(t) = 0 para encontrar el tiempo en que el objeto tiene altura 0, es decir, toca el suelo. Resolve- mos la ecuaci´on 450 − 4.9t2 = 0, usando la f´ormula general o bien un sistema algebr´aico de computa, como WxMaxima, en cuyo, el c´odigo que tenemos que usar es el si- guiente: (%i1) solve([450-4.9*t^2], [t]); rat : replaced − 4.9by − 49/10 = −4.9 ( %o1) [t = − 6 5 3 2 7 , t = 6 5 3 2 7 ] (%i2) float(%), numer; ( %o2) [t = −9.583148474999101, t = 9.583148474999101] La soluci´on que nos interesa es t ≈ 9.58 y calculamos la velocidad en este momento v(9.58) = l´ım h→0 ([450 − 4.9(9.58 + h)2 ] − [450 − 4.9(9.58)2 ]) h , la cual podemos calcular usando WxMaximade la siguiente manera: (%i1) a(t):=450-4.9*t^2; ( %o1) a (t) := 450 − 4.9 t2
  • 11. 1. LA DERIVADA COMO L´IMITE 11 (%i2) limit((a(9.58+h)-a(9.58))/h, h, 0); ( %o2) − 93.88400000000002 Definici´on 1.3. La derivada de una funci´on f : D ⊂ R → R en a ∈ D se define como (1) f (a) = l´ım h→0 f(a + h) − f(a) h , o de manera alternativa (2) f (a) = l´ım x→a f(x) − f(a) x − a , si es que este l´ımite existe. Ejercicio muestra 2.2. Calcular f (a) para f(x) = x2 − 8x + 9. Soluci´on. Por definici´on, f (a) = l´ım h→0 [(a + h)2 − 8(a + h) + 9] − [a2 − 8a + 9] h , y podemos usar WxMaximade la siguiente manera: (%i1) f(x):=x^2-8*x+9; ( %o1) f (x) := x2 − 8 x + 9 (%i2) limit((f(a+h)-f(a))/h, h, 0); ( %o2) 2 a − 8 Observaci´on. En alguna ocasiones ocupamos diferentes notaciones para la derivada, por ejemplo, para f(x) f (a) = df dx |x=a, o simplemente f (x) = df dx , si nos referimos a la derivada como funci´on. Ejercicios. Para los ejercicios de esta secci´on, puede consultar [2, sec. 1.6, 2.1]. § 2.1. En los siguiente incisos, encuentra una ecuaci´on para la recta tangente a la curva en el punto (x, f(x)). Despu´es, usando GeoGebra, grafica la curva y la recta tangente. 1. y = 4 − x2 ; x = −1 2. y = 2 √ 2; x = 1 3. y = x3 , (−2, −8)
  • 12. 12 2. DIFERENCIACI´ON 4. f(x) = x + 9 x , x = 3 5. k(x) = 1 2+x , x = 2 6. s = t3 − t2 , t = −1 7. y = (x + 1)3 , x = −2 8. f(x) = 8√ x−2 , x = 6 9. g(z) = 1 + √ 4 − z, z = 3 § 2.2. 1. Se deja caer un objeto desde lo alto de una torre de 100m. Su altura sobre el suelo despu´es de t segundos es 100 − 4.9t2 m. ¿Con qu´e rapidez cae a los 2 segundos de haber sido soltado? 2. t segundos despu´es del despegue, la altura de un cohete es de 3t2 pies. ¿Conque rapidez asciende despu´es de 10 segundos? 3. ¿Cu´al es la raz´on de cambio de un circulo (A = πr2 ) con res- pecto de su radio, cuando el radio es r = 3? 4. ¿Cu´al es la raz´on de cambio del volumen de una esfera (V = 4 3 πr2 ) con respecto al radio, cuando el radio es r = 2? § 2.3. Usando la definici´on, calcula las derivadas de las funciones de los siguientes ejercicios, y despu´es halla los valores de las derivadas que se piden. 1. f(x) = 4 − x2 ; f (x)(−3), f (0), f (1), 2. F(x) = (x − 1)2 + 1; F (−1), F (0), F (2), 3. g(t) = 1 t2 ; g (−1), g (2), g ( √ 3), 4. k(z) = 1 − z 2z ; k (−1), k (1), k ( √ 2), 5. p(θ) = √ 3θ; p (1), p (3), p (2/3), 6. r(s) = √ 2s + 1; r (0), r (1), r (1/2). 7. ds dt |t=−1 si s = 1 − 3t2 8. dy dx |√ 3 si y = 1 − 1 x 9. dr dθ |θ=0 si r = 2√ 4−θ 10. dw dz |z=4 si w = z + √ z § 2.4. Algunas veces, es mejor usar la definici´on (2) de derivada. Usan- do ambas definiciones, calcule las siguiente derivadas en el punto a dado y compare los procedimientos. 1. f(x) = 1 x+2 , a = −1, 2. f(x) = 1 (x−1)2 , a = 2 3. g(t) = t t−1 , a = 3 4. k(s) = 1 + √ s, a = 9
  • 13. 2. LA DERIVADA COMO FUNCI´ON 13 2. La derivada como funci´on Resumen. En la secci´on anterior, vimos la definici´on de derivada en un punto. Dijimos que f : D ⊂ R → R tiene derivada f (a) en a ∈ D si el l´ımite f (a) = l´ım h→0 f(a + h) − f(a) h exist´ıa. Consideremos A ⊂ D de puntos donde tal l´ımite existe y po- demos definir la funci´on derivada de f : D → R como f : A → R, f (x) = l´ım h→0 f(x + h) − f(x) h . En este caso, decimos que f es diferenciable en A. Ejercicio muestra 2.3. Indicar en que puntos, f : R → R, f(x) = c, es diferenciable, donde c ∈ R esta fijo y encontrar la funci´on derivada de f en los puntos en los que es diferenciable. Soluci´on. Observamos que l´ım h→0 f(x + h) − f(x) h = l´ım h→0 c − c h = l´ım h→0 0 h = c. Entonces el l´ımite existe para toda x ∈ R, por lo cual f es diferenciable en toda R y la funci´on derivada de f es f : R → R.f (x) = 0. Ejercicio muestra 2.4. Indicar en que puntos, f : R → R, f(x) = cx, es diferenciable, donde c ∈ R esta fijo y encontrar la funci´on derivada de f en los puntos en los que es diferenciable. Soluci´on. Observamos que l´ım h→0 f(x + h) − f(x) h = l´ım h→0 c(x + h) − cx h = l´ım h→0 ch h = c. Entonces el l´ımite existe para toda x ∈ R, por lo cual f es diferenciable en toda R y la funci´on derivada de f es f : R → R.f (x) = c. Ejercicio muestra 2.5. Encontrar los puntos donde f : R → R, f(x) = |x| es diferenciable, y hallar su derivada en tales puntos.
  • 14. 14 2. DIFERENCIACI´ON Figura 2. Valor Absoluto Soluci´on. Observemos que si x < 0, entonces f(x) = −x y por tanto f (x) = −1. De manera similar, si x > 0, entonces f (x) = 1. El problema lo encontramos cuando x = 0. Como l´ım h→0− |x + h| − |x| h = −1 y l´ım h→0+ |x + h| − |x| h = 1, el l´ımite (por ambos lados) no existe y por tanto f no es diferenciable en x = 0. Entonces f(x) = |x| es diferenciable en R−{0} ,; si x < 0, entonces f (x) = −1 y si x > 0, entonces f (x) = 1. La figura 2 es la gr´afica de esta funci´on. Observa que en x = 0 hay un pico. Proposici´on 2.1. Si f : D → R es diferenciable en A ⊂ D, entonces es continua en A. Observaci´on. Observe que el inverso no es cierto: f(x) = |x| es una funci´on continua en todo R, pero no es diferenciable en x = 0. Observaci´on. Si f es diferenciable en x, entonces f es la funci´on que asigna a x la pendiente de la recta tangente a f en el punto (x, f(x)). Consulta las hojas de trabajo “Funciones derivadas y rectas tangentes” y “Una funci´on que no es diferenciable”. Ejercicios. Los ejercicios de esta secci´on se pueden encontrar en [1, sec. 2.8] § 2.5. Correlacione la gr´afica de cada funci´on dada en las gr´aficas (a)- (d) con las graficas I.IV de sus derivadas en la figura 3. Explique las razones de su elecci´on.
  • 15. 2. LA DERIVADA COMO FUNCI´ON 15 Figura 3. Ejercicio 2.5 § 2.6. Trace un bosquejo de las funciones derivadas de las funciones graficadas en la figura 4. § 2.7. Encuentre la derivada de la funci´on dada aplicando la definici´on de derivada. D´e los dominio de la funci´on y de su derivada. 1. f(x) = 1 2 x − 1 3 2. f(t) = 5t − 9t2 3. f(x) = x3 − 3x + 5 4. g(x) = √ 1 + 2x
  • 16. 16 2. DIFERENCIACI´ON 5. G(t) = 4t t+1 6. f(x) = x4 3. T´ecnicas de Derivaci´on Reglas para derivar. En esta secci´on, aprenderemos a usar al- guna reglas de derivaci´on, que nos ayudar´an a encontrar de manera algebr´aica una gran familia de derivadas. Posteriormente, usando la definici´on de l´ımite, demostraremos cada una de estas. Proposici´on 3.1. Si f, g : D → R son diferenciables en x ∈ D y α ∈ R una constante, entonces 1. (αf) (x) = αf (x) 2. (f + g) (x) = f (x) + g (x) 3. (fg) (x) = f(x)g (x) + f (x)g(x) Observaci´on. Las dos primeras reglas se pueden combinar en la si- guiente: (αf + g) (x) = αf (x) + g (x), y a esta propiedad se conoce como linealidad. La ´ultima se conoce como regla de Leibniz. Ejemplo 3.1. Supongamos que queremos encontrar la derivada de h(x) = f(x) g(x) , g(x) = 0 Entonces f(x) = h(x)g(x). Por la regla de Leib- niz, f (x) = h(x)g (x) + h (x)g(x). Despejando h (x) obtenemos: h (x) = f (x) − h(x)g (x) g(x) . Sustituyendo h(x) = f(x) g(x) y simplificando obtenemos: h (x) = f (x)g(x) − f(x)g (x) g2(x) . Corolario 3.2. d dx f(x) g(x) = f (x)g(x) − f(x)g (x) g2(x) . Proposici´on 3.3 (Regla de la cadena). Si f : D → R es diferenciable en x ∈ D y g : f(D) → R lo es en y = f(x), entonces (g ◦ f) (x) = g (y)f (x).
  • 17. 3. T´ECNICAS DE DERIVACI´ON 17 Derivadas de Funciones Elementales. Proposici´on 3.4. 1. d dx xα = αxα−1 2. d dx αx = αx ln(a) Ejemplo 3.2. Por definici´on, ln : (0, +∞) → R es la funci´on inversa de exp : R → (0, +∞), es decir eln(x) = ln(ex ) = x. En particular, ln(e) = 1. Por lo tanto d dx ex = ex . Ejemplo 3.3. Para simplificar la notaci´on, digamos que f(y) = loga(y). Por definici´on, tenemos que f(y) es la funci´on inversa de ay . Entonces x = f(ay ), y usando regla de la cadena, obtenemos que 1 = f (ay ) (ay ln(a)) . Despejando, obtenemos que f (ay ) = 1 ay ln(a) . Sustituyendo f(y) = loga(y) y x = ay , tenemos que (loga) (x) = 1 x ln(a) . En particular, ln (x) = 1 x . Proposici´on 3.5 (Funciones trigonom´etricas). 1. d dx cos(x) = − sin(x) 2. d dx sin(x) = cos(x) Ejemplo 3.4. Como tan(x) = sin(x) cos(x) , cos(x) = 0, usando la regla del cociente, obtenemos que tan (x) = sin (x) cos(x) − sin(x) cos (x) cos2(x) . Ahora, usando las derivadas de funciones trigonom´etricas, obtene- mos tan (x) = cos(x) cos(x) − sin(x)(− sin)(x) cos2(x) . Finalmente, simplificamos usando la identidad trigonom´etricas cos2 (x) + sin2 (x) = 1,
  • 18. 18 2. DIFERENCIACI´ON y la funci´ıon sec(x) = 1 cos(x) , para obtener tan (x) = sec2 (x). 4. Derivaci´on implicita Ejemplos. Denotaremos por y la derivada dy dx . Ejercicio muestra 2.6. Si x2 + y2 = r2 , donde r es una constante, encontrar y . Soluci´on. Por regla de la cadena, (y2 ) = 2yy . Esto porque dy2 dx = dy2 dy dy dx . Si derivamos el lado izquierdo de la ecuaci´ıon, respecto de x, usando linealidad, obtenemos 2x + 2yy , mientras que si derivamos el derecho, ya que r2 es contante, obtenemos cero e igualando, tenemos que 2x + 2yy = 0. Despu´es de despejar obtenemos que y = − x y . Podemos comprobar nuestros resultados en WxMaxima, de la siguien- te manera. 1. Introducimos la ecuaci´on y le asignamos el nombre eqn. (%i1) eqn:x^2+y^2=r^2; ( %o1) y2 + x2 = r2 2. Declaramos a y en funci´on de x. (%i2) depends(y,x); ( %o2) [y (x)] 3. Derivamos de manera implicita. (%i3) der_eqn:diff(eqn,x); ( %o3) 2 y d d x y + 2 x = 0 4. Despejamos y = dy dx . (%i4) solve(der_eqn, ’diff(y,x)); ( %o4) [ d d x y = − x y ]
  • 19. 4. DERIVACI´ON IMPLICITA 19 Observaci´on. Observe que x2 + y2 = r2 es la ecuaci´on de un c´ırculo con centro en el origen con radio r > 0. Use GeoGebrapara graficar esta ecuaci´on para un radio dado, por ejemplo, r = 5. 1. Compare las pendientes de las rectas tangente en (x, y) y (−x, −y) . ¿Que relaci´on sobre est´as dos rectas podemos deducir? 2. Compare las pendiente de la recta tangente en (x, y) y la recta que pasa por el origen y este punto. ¿Que relaci´on sobre est´as dos rectas podemos deducir? Ejercicio muestra 2.7. Si x3 + y3 = 6xy, encontrar y . Soluci´on. Por regla de la cadena d dx y3 = dy3 dy dy dx , es decir, (y3 ) = (3y2 ) (y ) . Adem´as, por la regla de Leibniz, (xy) = x y + xy = y + xy . Entonces, derivando ambos lados de la ecuaci´on, y usando lineali- dad, tenemos que 3x2 + 3y2 y = 6 (y + xy ) . Despejando y , obtenemos y = 2y − x2 y2 − 2x . Ejercicio muestra 2.8. Encuentree y en t´erminos de x, si y = arcsin(x), con imagen −π 2 ≤ y ≤ π 2 . Soluci´on. En este caso x = sin(y). Por regla de la cadena obtenemos que d dx sin(y) = d dy sin(y) dy dx = cos(y)y . Sin embargo,tambien sabemos que d dx sin(y) = dx dx = 1.
  • 20. 20 2. DIFERENCIACI´ON Por lo cual 1 = cos(y)y , y entonces y = 1/ cos(y). Pero tambi´en sabemos que, por la manera en que escogemos el rango de y, cos(y) > 0, y por tanto cos(y) = 1 − sin2 (y) = √ 1 − x2. Es decir y = 1 √ 1 − x2 . Ejercicios. Para resolver los siguientes ejercicios, puede consultar los ejemplos de [1, sec. 3.5]. § 2.8. Encuentre y . Grafique y y y usando GeoGebra. Compruebe sus resultados usando WxMaxima. 1. sin(x + y) = y2 cos(x), 2. x4 + y2 = 16, 3. y = arc cos(x), 4. y = arctan(x). 5. Derivaci´on logar´ıtmica Resumen. Recordemos que y = ex si y solo si x = ln(y), por lo cual ln(y) solamente est´a definido para y > 0. Dos propiedades fundamentales del logar´ıtmo son las siguientes: 1. ln(ab) = ln(a) + ln(b), 2. ln(ab ) = b ln(a). De esto se deduce, usando leyes de los exponentes, que ln a b = ln(a) − ln(b). Por regla de la cadena, d dx ln(y) = d dy ln(y) dy dx , es decir, (ln(y)) = y y . De esto se deduce que (3) y = y d dx ln(y) . Esta forma de derivar, conocida como derivaci´on logar´ıtmica, es especialmente ´util si necesitamos derivar funciones que involucren mul- tiplicaci´on, divisi´on, exponenciaci´on y radicales. Ejercicio muestra 2.9. Si y = x + 1 √ x − 2 , encontrar y .
  • 21. 5. DERIVACI´ON LOGAR´ITMICA 21 Soluci´on. Primero, escribimos y = (x + 1)(x − 2)−1/2 . Entonces ln(y) = ln(x + 1) − 1 2 ln(x − 2), de donde d dx ln(y) = 1 1 + x − 1 2 1 x − 2 . Simplificando la ´ultima expresi´on obtenemos d dx ln(y) = x − 3 2(x + 1)(x − 2) , de donde obtenemos y = x + 1 (x − 2)1/2 x − 3 2(x + 1)(x − 2) , y simplificando obtenemos, y = x − 3 2(x − 2)3/2 . De hecho, podemos obtener la f´ormula para la derivada del cociente usando la f´ormila (3). En efecto, ln f g = ln(fg−1 ) = ln(f) − ln(g). Derivando obtenemos d dx ln f g = f f − g g . Entonces f g = f g f f − g g = f g − g f g2 . Otro ejemplo del uso de la derivada es el siguiente. Supongamos que y = xα , con x = 0. Entonces ln(y) = α ln(x), y por tanto d dx ln(y) = α x . Entonces y = (xα ) (αx−1 ) = αxα−1 . Por ´ultimo, derivaremos y = ln |x| . Observe que solamente necesita- mos deducir el caso cuando x < 0, es decir |x| = −x. En esta situaci´on y = ln(−x)y por regla de la cadena, sustituyendo u = −x, y = ln(u) dy dx = dy du du dx = 1 u u = u u .
  • 22. 22 2. DIFERENCIACI´ON Pero u = −1, y por tanto d dx ln(−x) = −1 −x = 1 x . Entonces, siempre que x = 0, d dx ln |x| = 1 x. Ejercicios. § 2.9. Encuentre y usando derivaci´on logar´ıtmica. 1. y = x3/4 √ x2 + 1 (3x + 2)5 , 2. y = x √ (x) , 3. y = ln(e−x + xe−x ), 4. y = x 1 − ln(x − 1) 5. y = xx , 6. y = xsin(x) , 7. xy = yx . Problema 2.1. Use la definici´on de derivada para demostrar que l´ım x→0 ln(1 + x) x = 1.
  • 23. 5. DERIVACI´ON LOGAR´ITMICA 23 Figura 4. Ejercicio 2.6
  • 24. 24 2. DIFERENCIACI´ON Figura 5. Ejercicios de repaso para el examen. Consul- te [1, Ejercicios de Repaso, pag. 265].
  • 25. Cap´ıtulo 3 Aplicaciones 1. Crecimiento exponencial Resumen. Si la raz´on de cambio (instantanea) de una funci´on x : R → R diferenciable es proporcional a la propia funci´on, esto lo podemos expresar con la siguiente ecuaci´on diferencial: (4) dx dt = kx. La funci´on x : R → R x(t) = Cekt , donde C ∈ R es una constante, satisface esta ecuaci´on y por el teore- ma de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, si fijamos la condici´on inicial x(0) = x0 ∈ R, esta es la ´unica soluci´on. De hecho, esa f´acil comprobar que en este caso, C = x0. Observaci´on. En las aplicaciones, regularmente escogemos condicio- nes iniciales positivas, es decir, x0 > 0. En esta situaci´on, tenemos los siguientes casos 1. Si k = 0, entonces x(t) = x0ekt permanece constante y no es de nuestro inter´es; 2. Si k > 0, entonces x(t) = x0ekt es estrictamente creciente y decimos que k es una constante de crecimiento. 3. Si k < 0, entonces x(t) = x0ekt es estrictamente decreciente y decimos que k es una constante de deca´ımiento. Ejercicio muestra 3.1. Si P(t) es la poblaci´on humana, medida en millones de personas, a partir de 1950, entonces tenemos los siguientes datos: a˜no t P(t) ≈ 1950 0 2 518 1960 10 2 755 ¿Cu´al ser´a la poblaci´on mundial en 2010? 25
  • 26. 26 3. APLICACIONES Soluci´on. Usando nuestro modelo, obtenemos las siguiente ecuaciones x0ek(0) = 2518 x0ek(10) = 2982. De la primera, es claro que la poblaci´on inicial es x0 = 2518, mientras que sustituyendo y despejando en la segunda obtenemos: k = 1 10 ln 2982 2518 ≈ 0.0169. Entonces, obtenemos: P(t) = 2518e.0169t , y sustituyendo como el a˜no 2010, corresponde a t = 60, obtenemos P(60) = 2518e.0169(60) ≈ 6941. La poblaci´on mundial en 210 fue aproximadamente 6854 millones de habitantes, es decir, el error relativo de nuestra aproximaci´on es Errrel = 6941 − 6854 6854 ≈ 1.26 %. Ejercicios. § 3.1. Una poblaci´on de protozoarios se desarrollan en una raz´on de crecimiento relativo contante de 0.7944 por miembro cada d´ıa. En el d´ıa cero, la poblaci´on consiste de dos miembros. Hallar el tama˜no de la poblaci´on despu´es de seis d´ıas. § 3.2. Un habitante com´un del intestino humano es la bacteria esche- richia coli. Una celula de esta bacter´ıa en un caldo nutriente se divide en dos c´elulas cada 20 minutos. La poblaci´on inicial de un cultivo es de 60 celulas. 1. Hallar la raz´on de crecimiento relativo. 2. Encontrar una expresi´on para el n´umero d´elulas despu´es de t horas. 3. Establecer la raz´on de crecimiento despu´es de 8 horas. 4. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanzar´a 20,000 celulas. § 3.3. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 d´elulas y crece en una cantidad proporcional a su tama˜no. Despu´es de 1 hora la poblaci´on se ha incrementando a 420. 1. Establecer una expresi´on para n´umero de bacterias despu´es de 3 horas. 2. Calcular el n´umero de bacterias despu´es de 3 horas. 3. Encuentre la tasa de crecimiento despu´es de 3 horas.
  • 27. 2. LINEALIZACI´ON 27 Figura 1. Linealizaci´on de (x) alrededor a = 4. 4. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanza 10,000? § 3.4. Un cultivo de bacterias crece con una rapidez de crecimiento relativo constante. Despu´es de 2 horas existen 600 bacterias y despu´es de 8 horas la cuenta es de 75,000. 1. Hallar la poblaci´on inicial. 2. establecer la expresi´on para la poblaci´on despu´es de t horas. 3. Calculae el n´umero de c´alulas despu´es de 5 horas. 4. establecer la rapidez de crecimiento despu´es de 5 horas. 5. ¿Cu´ando la poblaci´on alcanzar´a 200,000? 2. Linealizaci´on Resumen. Supongamos que f : R → R es diferenciable en a ∈ R, es decir, existe la derivada f (a). Como ya hemos visto, esta derivada en la pendiente de la recta tangente, que es la mejor aproximaci´on lineal de f en a. La ecuaci´on de la recta tangente se puede obtener a partir de la siguiente ecuaci´on: y − f(a) x − a = f (a), que es la ecuaci´on de una recta que pasa por el punto (a, f(a)) con pendiente f (a). Definici´on 2.1. Sea f : R → R una funci´on diferenciable. Definimos la linealizaci´on de f alrededor de (o con pivote en) a ∈ R como Lf,a(x) = f(a) + f (a)(x − a). La linealizaci´on Lf,a(x) se puede usar para hacer calcular de manera bastante precisa de valor de f(x) para x ≈ a. Ejemplo 2.1. Existen varios algoritmos para calcular la raiz de un n´umero real. Sin embargo, podemos calcular raices de n´umeros reales de manera muy precisa, usando la linealizaci´on.
  • 28. 28 3. APLICACIONES Por ejemplo, calculemos √ 4.1. Primero determinamos la funci´on a linealizar, en este caso, f(x) = √ x. La derivada de f es f (x) = 1 2 √ x . Despu´es, escogemos como pivote el punto a = 4. En este caso f(4) = 2 y f (4) = 1 4 . De donde obtenemos L(x) = f(4) + f (4)(x − 4) = 2 + 1 4 (x − 4). Entonces √ 4.1 ≈ L(4.1) = 2 + .25(4.1 − 4) = 2.025. Si usaramos una calculador, obtendriamos √ 4.1 = 2.02484567313. El error absoluto entre este valor y el que obtuvimos de la aproximaci´on es Err = |2.025 − 02484567313| ≈ 1.54 × 10−4 . Ejercicios. § 3.5. Use una aproximaci´on lineal para calcular los siguientes valores. Posteriormente, use una calculadora para encontrar su valor y deter- mine el error absoluto. 1. (2.001)5 2. e−0.015 3. (8.06)2/3 4. 1 1002 5. tan(44o ) 6. √ 99.8 3. Optimizaci´on Resumen. Definici´on 3.1. Sea f : D ⊂ R → R. Decimos que: 1. f alcanza su valor m´aximo o m´aximo global en c ∈ D si f(c) ≥ f(x), para toda x ∈ D; 2. f alcanza su valor m´ınimo o m´ınimo global en c ∈ D si f(c) ≤ f(x), para toda x ∈ D. Teorema 3.1 (Teorema del Valor Extremo). Si f : [a, b] → R es continua, entonces f alcanza su m´aximo y su m´ınimo.
  • 29. 3. OPTIMIZACI´ON 29 Aunque el cr´ıterio anterior nos es ´util al optimizar en intervalos compactos, es decir, de la forma [a, b], en un caso general no siempre esto es cierto. Sin embargo, tenemos la siguiente noci´on de m´aximo (m´ınimo) en intervalos abiertos. Definici´on 3.2. Sea f : D ⊂ R → R. Decimos que: 1. f tiene un m´aximo local en c ∈ D si existe un radio > 0 suficientemente peque˜no, de manera que f(c) ≥ f(x), para toda x ∈ (c − , c + ) ⊂ D; 2. f tiene un m´ınimo local en c ∈ D si existe un radio > 0 suficientemente peque˜no, de manera que f(c) ≤ f(x), para toda x ∈ (c − , c + ) ⊂ D. Observaci´on. La condici´on de que exista si existe un radio > 0 suficientemente peque˜no, y que x ∈ (c− , c+ ) ⊂ D se puede entender como que x ∈ D este suficientemente cerca de c ∈ D. De manera informal, podemos decir que f alcanza un m´aximo local en c si f(c) ≥ f(x) para x suficientemente cercanos a c. Lo mismo se puede decir para un m´ınimo local. Note que todo m´aximo (m´ınimo) global es, en particular, un m´aximo (m´ınimo resp.) local. Teorema 3.2 (Teorema de Fermat). Si f : D ⊂ R → R alcanza un m´aximo o m´ınimo local en c ∈ D y f (c) existe, entonces necesaria- mente f (c) = 0. Observaci´on. Debemos tener cuidado al usar el teorema de Fermat. Por ejemplo f = |x| alcanza su m´ınimo en cero, pero en este punto la derivada no existe. En cambio, f(x) = x3 tiene derivada igual a cero en x = 0, pero este punto no es m´aximo ni m´ınimo de la funci´on. Como podemos apreciar, los puntos m´as interesantes para nuestro estudio son aquellos donde la derivada no existe o si existe, es igual a cero. Definici´on 3.3. Sea f : D ⊂ R → R y c ∈ D. Decimos que c es un punto cr´ıtico si f (c) no existe o si existe, f (c) = 0. Con los resultados anteriores, podemos describir un criterio para optimizar funciones continuas en compactos. Proposici´on 3.3. Supongamos que 1. f : [a, b] → R es continua, 2. f : (a, b) → R es diferenciable. Si f alcanza su m´aximo (o m´ınimo) global en c, entonces 1. c = a o c = b, o
  • 30. 30 3. APLICACIONES Figura 2. f(x) = x3 − 3x2 + 1 2. f (c) = 0 un punto cr´ıtico. En decir, para encontrar donde f alcanza sus valores extremos, basta probar en los extremos del intervalo o en los puntos cr´ıticos, que se encuentran en su interior. Ejercicio muestra 3.2. Encuntre el m´aximo y el m´ınimo global de la funci´on f(x) = x3 − 3x2 + 1 si −1 2 ≤ x ≤ 4. Soluci´on. Como f es continua en [−1 2 , 4] y diferenciable en su interior (−1 2 , 4) (¿porqu´e?), podemos aplicar el criterio de la proposici´on 3.3. Primero evaluamos en los extremos. f(−1 2 ) = 1 8 f(4) = 17 Derivamos f y obtenemos los puntos cr´ıticos, resolviendo la ecua- ci´on f (x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) = 0. Los puntos cr´ıticos son x = 0 y x = 2. Sus respectivos valores son f(0) = 1 y f(2) = −3. Finalmente, basta comparar los diferente valores obtenidos para concluir que el m´aximo global es 17 y se alcanza en x = 4, mientras que el m´ınimo global es −3 y se alcanza en x = 2. Ejercicios. § 3.6. Encuentre los m´aximos y m´ınimos absolutos en el intervalo in- dicado. Grafique. 1. f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 1, [−2, 3] 2. f(x) = x x2−x+1 , [0, 3] 3. f(x) = t √ 4 − t2, [−1, 2] 4. φ(t) = 2 cos(t) + sin(2t), [0, π 2 ] 5. f(x) = xe−x2/8 , [−1, 4] 6. f(x) = ln(x2 + x + 1), [−1, 1] 7. f(x) = x − 2 arctan(x), [0, 4]
  • 31. 4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 31 4. Teorema del Valor Medio Introducci´on. ¿Como calculamos la velocidad de un objeto? Su- pongamos que en un intervalo de tiempo I := [t0, tf ], el desplazamiento de ´este esta dado por s : I → R, es decir, solamente se mueve a lo largo de una l´ınea recta. Si queremos calcular la velocidad promedio en I, usamos la siguiente f´ormula: ¯v = s(tf ) − s(t0) tf − t0 . Sin embargo, puede ser que la velocidad var´ıe instantaneamente y en tal caso, necesitariamos considerar la velocidad instantanea en un tiempo t ∈ I dada por: v (t) = ds dt . El siguiente teorema, uno de los m´as importantes del c´alculo, nos dice que en alg´un instante t∗ ∈ I, la velocidad intantanea ser´a igual a la velocidad promedio en dicho intervalo I. Teorema 4.1 (Teorema del Valor Medio). Sea f : [a, b] → R una fun- ci´on continua, que adem´as es diferenciable en (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que f(b) − f(a) b − a = f (c). Este teorema nos permitir´a estudiar el comportamiento de las fun- ciones en ciertos intervalos, a partir del comportamiento de sus de- rivadas en el mismo. A continuaci´on, presentamos algunos resultados importantes que se pueden obtener a patir de este teorema. Crecimiento y primera derivada. Proposici´on 4.2. Sea f : (a, b) → R una funci´on diferenciable. En- tonces f es constante en (a, b) si y solo si f (c) = 0 para todo c ∈ (a, b) Demostraci´on. Sabemos que si una funci´on es constante, enton- ces su derivada es cero. Ahora supongamos que f (c) = 0 para todo c ∈ (a, b). Comparemos el valor de las funciones en dos puntos diferen- tes x, y ∈ I tales que x ≤ y. Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] y como f (c) para todo c ∈ (a, b), en particular, para todo c ∈ (x, y) ⊂ (a, b), tenemos que para alg´un c ∈ (x, y) ⊂ (a, b): f(y) − f(x) y − x = f (c) = 0.
  • 32. 32 3. APLICACIONES Multiplicando por ambos lados por y − x, tenemos que f(y) − f(x) = 0, y por tanto, para todo x, y ∈ (a, b), f(x) = f(y), es decir, la funci´on f es contante en este intervalo. Definici´on 4.1. Decimos que una funci´on f.D ∈ R → R es creciente (resp. decreciente) en su dominio D si x < y ⇒ f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)). Proposici´on 4.3. Si f : (a, b) → R una funci´on diferenciable, enton- ces f es creciente en (a, b) si y solo si f (c) > 0 para todo c ∈ (a, b) Demostraci´on. Primero supongamos que f es creciente y sea x ∈ (a, b). Si h > 0, entonces f(x + h) > f(x), porque x + h > x y por lo tanto f(x + h) − f(x) h > 0. Si tomamos el l´ımite cuando h → 0, entonces f (x) = l´ım h→0+ f(x + h) − f(x) h > 0, y por lo tanto f (x) > 0 para toda x ∈ (a, b). Ahora, supongamos que para toda x ∈ (a, b) : f (x) > 0. Escojamos dos puntos, x, y ∈ (a, b), tales que x < y. Aplicando el teorema del valor medio en el intervalo [x, y] tenemos que para alg´un c ∈ (x, y) f(y) − f(x) y − x = f (c) > 0, y multiplicando por y − x > 0 de ambos lados, obtenemos f(y) − f(x) > 0, es decir, si x < y entonces f(x) < f(y). De manera similar, se puede demostrar que Proposici´on 4.4. Si f : (a, b) → R una funci´on diferenciable, enton- ces f es decreciente en (a, b) si y solo si f (c) < 0 para todo c ∈ (a, b).
  • 33. 4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO 33 Figura 3. Funci´on concava hacia arriba Concavidad y segunda derivada. Consideremos la funci´on f : D → R en la figura 3 y supongamos que es diferenciable en cada punto; su gr´afica es concava hacia arriba. ¿C´omo podemos definir esto de manera analitica? Note que para cualquier punto a ∈ D, la l´ınea tangente esta siempre por debajo de la gr´afica. La funci´on que describe esta recta es La(x) = f(a) + f (a)(x − a), y entonces esta condici´on de concavidad se expresar´ıa como que para cada punto x0 ∈ D f(a) + f (a)(x − a) ≤ f(x), x ∈ D. Entonces, tenemos la siguiente definici´on. Definici´on 4.2. Una funci´on f : D → R diferenciable es concava hacia arriba si para todo x, x0 ∈ D, tenemos que (5) f(x) − f(x0) ≤ f (x0)(x − x0). En particular, si a < b, es decir, 0 < b − a, entonces usando la ecuaci´on 6 para x0 = a, obtenemos que f(b) − f(a) b − a ≥ f (a). De manera similar, entonces usando la ecuaci´on 6 para x0 = b, f(b) − f(a) b − a ≤ f (b). Por tanto, f (a) ≤ f(b) − f(a) b − a ≤ f (b),
  • 34. 34 3. APLICACIONES es decir, la derivada es creciente si la funci´on es concava hacia arriba. Lo cu´al se puede observar en la figura 3. Ahora bien, si la derivada es creciente, ¿la funci´on necesariamente es concava hacia arriba? S´ı, y veamos porque. Si la derivada es creciente y c ≤ a, entonces f (c) ≤ f (a). Suponga- mos que x > a, y que la derivada es creciente. Entonces, por el teorema del valor medio, existe un c ∈ R, x > c > a, tal que f(x) − f(a) = f (c)(x − a) ≥ f (a)(x − a), que no es m´as que la condici´on 6 para el caso x > a. El caso x < a se obtiene de manera similar. Podemos resumir nuestros resultados en la siguiente Proposici´on 4.5. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es concava hacia arriba si y solo si f es una funci´on creciente. Por el teorema 4.3, obtenemos el siguiente Corolario 4.6. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es con- cava hacia arriba si y solo si f (x) > 0 para todo x ∈ (a, b). De manera similar, podemos definir la concavidad hacia abajo. Definici´on 4.3. Una funci´on f : D → R diferenciable es concava hacia abajo si para todo x, x0 ∈ D, tenemos que (6) f(x) − f(x0) ≥ f (x0)(x − x0). y obtenemos resultados similares, Proposici´on 4.7. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es concava hacia abajo si y solo si f es una funci´on decreciente. Corolario 4.8. Si f : (a, b) → R es diferenciable, entonces f es con- cava hacia abajo si y solo si f (x) < 0 para todo x ∈ (a, b). En particular, obtenemos una manera de caraterizar los m´aximos y m´ınimos locales de manera pr´atica. Teorema 4.9 (Criterio de la Segunda Derivada). Sea f : (a, b) → R con segunda derivada. Entonces: 1. c ∈ (a, b) es m´aximo local si y solo si f (c) = 0 y f (c) < 0. 2. c ∈ (a, b) es m´ınimo local si y solo si f (c) = 0 y f (c) > 0. Para finalizar, tenemos la siguiente definici´on Definici´on 4.4. Sea f : (a, b) → R con segunda derivada. Entonces decimos que c ∈ (a, b) es punto de inflexi´on si f (c) = 0, es decir la funci´on f cambia de concavidad en c.
  • 35. 5. GRAFICACI´ON 35 Figura 4. Puntos de inflexi´on Figura 5. Puntos de silla 5. Graficaci´on M´etodo para graficar. Supongamos que f : (a, b) es una funci´on con segunda derivada. Podemos proceder de la siguiente manera para encontrar su gr´afica. 1. Encontrar las raices, es decir, los puntos c tales que f(c) = 0; 2. Encontrar los puntos cr´ıticos, es decir, los puntos c tales que f (c) = 0; a) Si f (c) > 0, entonces c es m´ınimo local, b) Si f (c) < 0, entonces c es m´aximo local, 3. Encontrar los puntos de inflexi´on, es decir, los puntos c tales que f (c) = 0. Los puntos de inflexi´on pueden ser como en la figura 4. Si f cambia de negativa a positiva, la gr´afica localmente como la de la izquierda, mientras que en el otro caso, luce como en la de la derecha. Falta por caracterizar los puntos cr´ıticos c donde f (c) = 0, es decir, que tambi´en son puntos de inflexi´on. Estos puntos se les conoce como puntos de silla y alrededor de estos, la gr´afica se ve como alguna de las de la figura 5. Ejercicio muestra 3.3. Grafique la funci´on f : [−1, 1] → R, f(x) = x3 − x. Soluci´on. Primero, resolvemos la ecuaci´on x3 − x = 0,
  • 36. 36 3. APLICACIONES Figura 6. Gr´afica del ejericicio 3.3 y tenemos que las raices de f son x = −1, 0, 1. Despu´es derivamos f: f (x) = 3x2 − 1, y resolvermos la ecuaci´on f (c) = 0. Entonces, los puntos cr´ıticos de la funci´on son x = ± 1√ 3 . Utilizamos el criterio 4.9 para decidir si son m´aximo o m´ınimos locales, o incluso, puntos de silla. La segunda derivada de f es f (x) = 6x. Como f ( 1√ 3 ) = 6 1√ 3 > 0, entonces c = 1 √ 3 es un m´ınimo local. De manera similar, concluimos que c = − 1 √ 3 es un m´aximo local. Finalmente, resolvemos f (c) = 0, pero la ´unica soluci´on es c = 0 y por tanto, este es el ´unico punto de inflexi´on. Como antes de c = 0, f < 0, mientras que despu´es f >, concluimos que en este punto, la gr´afica se ve localmente como la gr´afica de la derecha en la figura 4. Podemos utilizar GeoGebra para graficar y comparar con nuestros resultados. La gr´afica esta dada en la figura 6.
  • 37. 6. TEOREMA DE L’HOSPITAL 37 Ejercicios. § 3.7. Esboce la gr´afica de cada una de las siguientes funciones, uti- lizando el m´etodo anterior. Grafique usando GeoGebra y compare sus resultados. 1. x3 − 7x + 6, 2. 6x3 − x2 − 5x + 2, 3. x4 − 3x3 + 3x2 − 3x + 2. 6. Teorema de L’Hospital El siguiente teorema nos ser´a util para encontrar l´ımites de formas indeterminadas, tales como 0 0 , ±∞ ±∞ . Teorema 6.1 (L’Hospital). Sea f, g : (c − , c + ) → R funciones diferenciables, tales que g (x) = 0 si x ∈ (c − , c + ), x = c, l´ımx→c f(x) = l´ımx→c g(x) = 0. Entonces, l´ım x→c f(x) g(x) = l´ım x→c f (x) g (x) , si es que el l´ımite del lado derecho existe. La misma conclusi´on vale si cambiamos la hip´otesis (2) por l´ım x→c f(x) = l´ım x→c g(x) = ±∞. Ejercicio muestra 3.4. Encuentre l´ım x→1 ln(x) x − 1 . Soluci´on. Las funciones f(x) = ln(x) y g(x) = x−1 son diferenciables en sus respectivos dominios y de hecho, f (x) = 1 x , g (x) = 1. Como g (x) = 1 = 0 en R, se cumple la primera hip´otesis del Teorea de L’Hospital. Adem´as, l´ım x→1 ln(x) = l´ım x→1 (x − 1) = 0. Ahora bien, l´ım x→1 f (x) = l´ım x→1 1 x = 1,
  • 38. 38 3. APLICACIONES mientras que l´ım x→1 g (x) = l´ım x→1 1 = 1. Por tanto l´ım x→1 ln(x) x − 1 = l´ım x→1 1/x 1 = 1. Ejercicios. § 3.8. Encuentre los siguientes l´ımites 1. l´ım x→∞ ex x3 , 2. l´ım x→∞ ln(x) 3 √ x , 3. l´ım x→0 tan(x) − x x3 , 4. l´ım π− sin(x) 1 − cos(x) , 5. l´ım x→0+ x ln(x), 6. l´ım x→ π 2 − (sec(x) − tan(x)) , 7. l´ım x→0+ xx . 7. Proyecto final: Polinomios de Taylor La aproximaci´on de la recta tangente L(x) es la mejor aproximaci´on de primer grado (lineal) a f(x), cerca de x = a, porque f(x) y L(x) tienen la misma relaci´on de cambio (derivada) en a. Para tener una mejor aproximaci´on que la lineal, intente una aproximaci´on de segundo grado (cuadr´atica) P(x) = A + Bx + Cx2 . En otras palabras, aproxime una curva mediante una parabola en lugar de una recta. Para tener la seguridad de que la aproximaci´on es buena, estipule lo siguiente:. (i) P(a) = f(a) (ii) P (a) = f (a) (iii) P (a) = f (a)
  • 39. 7. PROYECTO FINAL: POLINOMIOS DE TAYLOR 39 (a) Encuentre la aproximaci´on cuadr´atica P(x) = A + Bx + Cx2 para la funci´on f(x) = cos(x), que satisfaga las condiciones (I)- (III), con a = 0. Grafique P, f, y L. ¿Que tanto se aproximan P y L a f en el intervalo (−1, 1)? Calcule el error absoluto y el relativo. (b) Determine los valores de x para los cuales la aproximaci´on cuadr´ati- ca P(x) del inciso anterior tiene un margen de error menos que 0.1. Sugerencia: Grafique y = P(x), y = cos(x) − 0.1 y y = cos(x) + 0.1 en una misma pantalla. (c) Para aproximaci´on una funci´on f por una cuadr´atica P cerca de un n´umero a, lo mejor es escribir P(x) = A + B(x − a) + C(x − a)2 . Mostrar que la funci´on cuadr´atica que satisface (I)-(III) es P(x) = f(a) + f (a)(x − a) + 1 2 f (a)(x − a)2 . (d) Encuentre la aproximaci´on cuadr´atica a f(x) = √ x + 3 alrededor de a = 1. Grafique f y sus aproximaciones lienal y cuadr´atica, en una pantalla com´un. Coment´e acerca del resultado. (e) De manera similar, podemos aproximar una funci´on f alrededor de a con un polinomio de grado n usando el n-´esimo polinomio de Taylor: Tn(x) = f(a)+f(1) (a)(x−a)+...+ f(k) (a) k! (x−a)k +...+ f(n) (a) n! (x−a)n , donde k! = 1 · 2 · · · k, si k > 0 y f(k) (a) denota la k-´esima derivada evaluada en a. Encuentre los polinomios de Taylor de f(x) = cos(x) en a = π correspondientes a k = 1, 2, 3, 4 y grafiquelos en el intervalo [0, 2π] en una misma pantalla. Encuentre el error absoluto de cada uno en x = 0.
  • 40.
  • 41. Bibliograf´ıa [1] Stewart, J.; C´alculo de una variable, trascendentes tempranas; Cengage Lear- ning, 6a Edici´on, 2008. [2] Thomas, G., Finney, R.; C´alculo, una variable; Addison-Wesley, 9a Edici´on, 1998. [3] Courant, R., Fritz, J.; Introduction to Calculus and Analysis; Interscience Pu- blisher, 1965. [4] Rudin, W.; Priciples of Mathematical Analysis; Mc-Graw Hill,3a ed., 1976. 41