1. CONJUNTOS
POR EJEMPLO:
A={ Conjunto de árboles}
B={ Conjunto de casas }
CONJUNTO: Es una agrupación o colección bien definida de
objetos o cosas
A B
CONTENIDOCONTENIDO
2. Para establecer si un objeto pertenece
o no a un conjunto, debe verificarse
que posea la característica o
propiedad declarada por el conjunto.
De aquí
que es importante que esta
característica no sea ambigua.
Los conjuntos usualmente se denotan
con letras mayúsculas del alfabeto
español.
3. Algunas agrupaciones que representan
conjuntos son:
• Los números enteros.
• Los habitantes de la Luna.
• Los animales en extinción.
• Los números primos.
4. Todas estas agrupaciones poseen una característica
que puede ser verificable con precisión.
Para decir que x es un elemento del conjunto A,
escribiremos x A. Para decir que∈ x no está en A,
escribiremos x A.∉
5.
6. 6
Determinación de un conjunto :
Un conjunto se puede determinar:
por extensión y por comprensión
Por extensión :
Nombrando uno a uno los elementos del conjunto
Ejemplo: A = {m , n , p , q}
Por Comprensión :
Enunciando una propiedad o característica común a los
elementos del conjunto.
Ejemplo: A = {x / x es un número par }
X Forma general del elemento
/ Tal que
Características del Elemento
Llamado forma abreviada o sintética de llamar a un elemento
7. LOS DIAGRAMAS DE VENN
EJEMPLO 1: EJEMPLO 2 :
A= a,b,c,d
Los diagramas de Venn nos sirven para encontrar relaciones entre
conjuntos de manera gráfica mediante dibujos o diagramas.
1 2
3 4
5 a c
d e f
b
CONTENIDO
}
B= {}
c }
d }
a b
c
B
C
{
{
{
{
a, b a,b,c,d,e,f
A=
}
{1,2,3,4,5}
A B
d
D
A
D=
B=
C=
8. Tarea
.Realizar 5 ejemplos de conjuntos y
expresarlo por comprensión y
extensión, representar mediante
diagrama de ven.
. A los ejercicios anteriores aplicarles
ejemplos de pertenece y no
pertenece.
10. CONJUNTO FINITO
En este tipo de conjunto podemos contar sus elementos ,
es decir tienen un principio y un fin
POR EJEMPLO:
M= { } 4 Manzanas
F= { } 6 Sillas
CONTENIDOCONTENIDO
11. CONJUNTO INFINITO
POR EJEMPLO:
B={Números pares}
J={Múltiplos de 5 }
Es el que tiene un número ilimitado de elementos, es
decir tiene un principio pero no tiene un fin
2 4 6
8 10 12
14 16
18 20….
5 10 15
20 25
30 35
40…
B J
CONTENIDOCONTENIDO
12. CONJUNTO VACIO
POR EJEMPLO:
D = {Números pares entre 6 y 8}
F = { Meses del año que tienen mas de 31 días }
Es un conjunto que carece de elementos. Se lo representa
con el símbolo Ø o también { }
Ø
CONTENIDOCONTENIDO
13. CONJUNTO UNIVERSAL.
POR EJEMPLO:
Sean los conjuntos
C= { conejos}
D= { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos C y D y es conjunto
de todos los animales
U= { animales }
Es el conjunto que contiene a todos los elementos,
que normalmente se lo denota por la letra U
conejos
monos
U
CONTENIDO
14. CONJUNTO POTENCIA
Es la familia de todos los subconjuntos de un conjunto N se llama
Conjunto Potencia de N. Se le denota como 2
EJEMPLO 1:
CONTENIDOCONTENIDO
M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M
= { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22
= 4 elementos
EJEMPLO 2:
M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M
= { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23
= 8 elementos
15. IGUALDAD DE CONJUNTOS
Son los conjuntos que tienen los mismos elementos sin importar
su orden o repetición
EJEMPLO 1:
H= { }
P= { }
N= { 2,4,6,8,10,12 }
M= { 4,8,2,12,4,10 }
EJEMPLO 2:
CONTENIDOCONTENIDO
19. CONJUNTOS DISJUNTOS
POR EJEMPLO:
D G
D y G son disjuntos pues no tienen ningún elemento en común.
En matemáticas se dice que dos conjuntos son disjuntos sino tienen
elementos en común.
CONTENIDO
20. CONJUNTOS DE CONJUNTOS.
POR EJEMPLO:
A={4,8 }
B={ 4}
C={ A,B}
C={ {4,8} , {4} }
CONTENIDOCONTENIDO
Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles
de un conjunto dado.
21. SUBCONJUNTOS
POR EJEMPLO:
Representación:
A={ Letras del alfabeto}
B= { Letras del alfabeto, vocales}
C= { Letras del alfabeto, consonantes}
Interpretación:
Dentro del conjunto A podemos seleccionar algunos elementos con
características aun más especiales tales como el conjunto B y C , se
dice entonces que tanto como el conjunto B y el conjunto C son
subconjuntos del conjunto A
CONTENIDOCONTENIDO
Es un conjunto de elementos que pertenecen a otro conjunto, es decir
podemos escoger ciertas características de algunos elementos del
conjunto original.
23. 7
6
55
6
A B
El conjunto “A unión B” que se representa asi
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.
∪A B
}{∪ = ∈ ∨ ∈A B x / x A x B
Ejemplo:
9
87
3
1
4
2
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {5, 6, 7, 8, 9}
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
24. 7
6
55
6
A B
El conjunto “A intersección B” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A y pertenecen a B.
∩A B
}{A B x / x A x B∩ = ∈ ∧ ∈
Ejemplo:
9
87
3
1
4
2
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {5, 6, 7, 8, 9}
A B = { 5, 6, 7}
25. 7
6
55
6
A B
El conjunto “A menos B” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B.
A B−
}{A B x / x A x B− = ∈ ∧ ∉
Ejemplo:
9
87
3
1
4
2
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {5, 6, 7, 8, 9}
A – B = {1, 2, 3, 4}
26. 7
6
55
6
A B
El conjunto “B menos A” que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a B y no pertenecen a A.
B A−
}{B A x / x B x A− = ∈ ∧ ∉
Ejemplo:
9
87
3
1
4
2
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {5, 6, 7, 8, 9}
B – A = {8, 9}
27. 7
6
55
6
A B
El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se
representa es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).
A B∆
}{A B x / x (A B) x (B A)∆ = ∈ − ∨ ∈ −
Ejemplo:
9
87
3
1
4
2
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {5, 6, 7, 8, 9}
A B = {1, 2, 3, 4} U {8, 9}
28. También es correcto afirmar que:
A B (A B) (B A)∆ = − ∪ −
A B (A B) (A B)∆ = ∪ − ∩
A B
A-B B-A
A B
29. Dado un conjunto universal U y un conjunto
A,se llama complemento de A al conjunto
formado por todos los elementos del
universo que no pertenecen al conjunto A.
Notación: A’ o AC
Ejemplo:
U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A ={1,3, 5, 7, 9}y
Simbólicamente: }{A ' x / x U x A= ∈ ∧ ∉
A’ = U - A
32. Dados los conjuntos:
A = { 4, 7, 10, ... ,34}
B = { 2, 4, 6,...,26}
C = { 7,11,15,...,31}
a) Expresar B y C por extensión
b) Calcular: A B , C – A
33. a) A = {4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34}
B = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26}
C = {7,11,15,19,23,27,31}
A B = { 4,10,16,22 }
C – A = { 11,15,23,27 }
Sabemos que A B esta formado por los
elementos comunes de A y B, entonces:
Sabemos que C - A esta formado por los
elementos de C que no pertenecen a A,
entonces:
b) Calcular: A B , C – A
34. Resolver:
A = {x / x es un número mayor que 4 y menor que 8}
B = {x / x es un número positivo menor que 7}
Calcular la unión entre A y B
Calcular la intersección entre A y B
Representar mediante diagrama de ven, y pintar las
parte afectadas por las operaciones.
35. Dados los conjuntos:
P = {x Z / 2x2
+5x-3=0 }
M = { x/4 N / 4≤ x < 21 }
T = { x R / (x2
- 9)(x - 4)=0 }
a) Calcular: M - ( T – P )
b) Calcular: (M T )
c) Calcular: (M U T) – P
∈
∈
∈
36.
37. P = { x Z / 2x2
+5x-3=0 }
Analicemos cada conjunto:
2x2
+ 5x – 3 = 0
2x – 1
+ 3x
(2x-1)(x+3)=0
2x-1=0 ⇒ x = 1/2
x+3=0 ⇒ x = -3
Observa que x Z ,
entonces: P = { -3 }
M = { x/4 N / 4≤ x < 21 }
Como x/4 N entonces los valores de x son :
4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 pero los elementos de M se
obtienen dividiendo x entre 4,por lo tanto :
M = {1, 2, 3, 4, 5 }
∈
∈
∈
∈
38. T = { x R / (x2
- 9)(x - 4)=0 }
Cada factor lo igualamos a cero y calculamos
los valores de x
x – 4 = 0 x = 4
x2
– 9 = 0 x2
= 9 x = 3 o x =-3
Por lo tanto: T = { -3,3,4 }
a) Calcular: M - ( T – P )
T – P = { -3,3,4 } - { -3 } T – P = {3, 4 }
M - (T –P)= {1, 2, 3, 4, 5 } - {3, 4 }
M - (T –P)= {1, 2, 5 }
∈
39. M T = {3, 4}
b) Calcular: ( M T )
M T = {1, 2, 3, 4, 5 } { -3,3,4 }
c) Calcular: (M U T) – P
M U T = {1, 2, 3, 4, 5 } U { -3, 3, 4 }
M U T = { -3, 1, 2, 3, 4, 5 }
(M U T) – P = { -3, 1, 2, 3, 4, 5 } - { -3 }
(M U T) – P = {1, 2, 3, 4, 5 }
43. A B
A
B
C
Observa como se
obtiene la región
sombreada
Toda la zona de amarillo es
AUB
La zona de verde es A B
Entonces restando se obtiene la zona
que se ve en la figura : (A U B) - (A B)
C
Finalmente le agregamos C y se obtiene:
[ (A U B) - (A B) ] U C ( A B ) U C=