Recomendados
Más contenido relacionado
La actualidad más candente
La actualidad más candente (20)
Destacado
Destacado (20)
Similar a Matrices y sus clases
Similar a Matrices y sus clases (20)
Último
Último (20)
Matrices y sus clases
- 1. Matrices, clases de matrices y matrices especiales MARÍA PAULA CABRERA BELTRÁN
- 2. MATRICES Definición Ejemplo UNA MATRIZ ES UN CONJUNTO ORDENADO EN UNA ESTRUCTURA DE FILA Y COLUMNAS PERMITIENDO ALMACENAR INFORMACIÓN ORDENADA. LOS ELEMENTOS DE ESTE CONJUNTO PUEDEN SER OBJETOS DE VARIOS TIPOS. LAS MATRICES SE ESCRIBEN CON LETRAS MAYÚSCULAS Y SUS ELEMENTOS SE ENCIERRAN ENTRE PARÉNTISIS O CORCHETES. DE FORMA GENERAL SE ESCRIBE: 𝑨 = 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟏𝟑 … 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑 … 𝒂 𝟑𝟏 𝑎 𝑛1 𝒂 𝟑𝟐 𝑎 𝑛2 𝒂 𝟑𝟑 … 𝑎 𝑛3 … 𝒂 𝟏𝒎 𝒂 𝟐𝒎 𝒂 𝟑𝒎 𝑎 𝑚 𝐴 = 1 −7 6 8 2𝑥2 𝐵 = 1 5 −4 −1 −3 6 2 3 −9 3𝑥3 𝐶 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 ℎ 4𝑥2
- 4. Clase de matriz Definición Ejemplo FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1xn. 𝐴1𝑥3 = (5 9 −5) COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden mx1. 𝐴3𝑥1 = 2 1 −3 RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden mxn, 𝑚 ≠ 𝑛. 𝐴3𝑥4 = −3 2 0 1 −4 2 1 7 8 6 −9 2 TRASPUESTA Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene combinando ordenadamente las filas por las columnas. Si es 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 mxn’ su transpuesta es 𝐴𝑡 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 . 𝐴 = 1 9 3 4 −5 −7 , 𝐴𝑡 = 1 4 9 −5 3 −7 OPUESTA La matriz opuesta es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesta. La opuesta de A es –A. 𝐴 = −2 −1 4 6 9 −7 −𝐴 = 2 1 −4 −6 −9 7
- 5. Clase de matriz Definición Ejemplo CUADRADA Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m =n, diciéndose que la matriz es de orden n. DIAGONAL PRINCIPAL: Son los elementos 𝑎11, 𝑎22, … , 𝑎 𝑛𝑛. DIAGONAL SECUNDARIA: Son los elementos 𝑎𝑖𝑗 con i + j=n+1. 𝐴3𝑥3 = 1 9 −6 2 0 1 −2 4 5 DIAGONAL 𝐴 = 5 1 1 2 7 1 −3 9 5 −6 0 3 4 3 11 8 DIAGONAL PRINCIPAL 𝐴 = 5 1 1 2 7 1 −3 9 5 −6 0 3 4 3 11 8 DIAGONAL SECUNDARIA IDEMPOTENTE Una matriz A es idempotente si: 𝐴2 = 𝐴 𝑙 = 𝑙2 𝑙 𝑛 = 𝑙 𝐴 = 0 1 0 1
- 6. A * Clase de matriz Definición Ejemplo DIAGONAL Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. A= 7 0 0 0 −3 0 0 0 9 ESCALAR Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. A= 3 0 0 0 3 0 0 0 3 NORMAL Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas y ortogonales son necesariamente normales. 𝐴 = 0 1 0 1 𝐴 ∗ 𝐴𝑡 = 𝐴𝑡 ∗ 𝐴 INVOLUTIVA Es una matriz cuadrada (Tiene igual número de filas que de columnas) Tal que su cuadrado es igual a la matriz identidad. Es decir A es involuntaria si A x A = I 𝐴2 = 𝐼
- 8. Tipo de matrices especiales Definición Ejemplo NULA Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 𝐴 𝑚𝑥𝑛 = (0) 𝐴3𝑥3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. 𝐴 = 𝐴𝑡 ; 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎 𝑥 𝐴3𝑥3 = 1 5 0 5 6 0 0 0 9 ANTISIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta. 𝐴 = −𝐴𝑡; 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎 𝑥 Necesariamente 𝑎𝑖 = 0 𝐴3𝑥3 = 0 −2 −9 2 0 3 9 −3 0 IDENTIDAD También se denomina matriz unidad. Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos excepto los de su diagonal principal que son 1. A= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 5 3 3 2 2
- 9. Tipo de matrices especiales Definición Ejemplo DIAGONAL Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. A= 5 0 0 0 −2 0 0 0 9 ORTOGONAL Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: 𝐴−1 = 𝐴𝑡 . La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de un matriz ortogonal vale +1 ó -1 𝐴 ∗ 𝐴𝑡 = I A = 1 2 1 2 − 1 2 − 1 2 NILPOTENTE Decimos que una matriz cuadrada A es nilpotente de orden r si y sólo si se verifica que 𝐴 𝑟 = 0,(r es el menor entero positivo) A es nilpotente de orden 3, 𝐴3 = 0 A= 0 1 3 0 0 −2 0 0 0
- 10. Tipo de matrices especiales Definición Ejemplo ADJUNTA La matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto. Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: El signo es +; si i+j es par. El signo es -; Si i+j es impar. 1 2 1 2 5 4 3 6 2 → −2 2 1 6 2 𝐴 = 2 0 1 3 0 0 5 1 1 𝐴∗ = − 0 0 1 1 − 3 0 5 1 3 0 5 1 0 1 1 1 2 1 5 1 − 2 0 5 1 0 1 0 0 − 2 1 3 0 2 0 3 0 𝐴∗ = 0 −3 3 1 −3 −2 0 3 0 CONJUGADA Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz A por sus conjugadas. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambia su signo. A = 2 + 𝑖 3 −1 + 4𝑖 4 − 𝑖 5 −2 − 2𝑖 1 3 − 𝑖 1 + 3𝑖 𝐴 = 2 − 𝑖 3 −1 − 4𝑖 4 + 𝑖 5 −2 + 2𝑖 1 3 + 𝑖 1 − 3𝑖
- 11. Tipo de matrices especiales Definición Ejemplo TRIANGULAR MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Sea la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚𝑥𝑛 si: 𝑎𝑖𝑗 = 0; ∀𝑖 > 𝑗 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Sea la matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚𝑥𝑛 si: 𝑎𝑖𝑗 = 0; ∀𝑖 < 𝑗 𝐴 = 1 3 5 0 4 −1 0 0 9 T. Superior A= 1 0 0 5 4 0 2 8 7 T. Inferior
- 13. matrices Clases de matrices Matrices especiales UNA MATRIZ ES UN CONJUNTO ORDENADO EN UNA ESTRUCTURA DE FILA Y COLUMNAS PERMITIENDO ALMACENAR INFORMACIÓN ORDENADA. LOS ELEMENTOS DE ESTE CONJUNTO PUEDEN SER OBJETOS DE VARIOS TIPOS. LAS MATRICES SE ESCRIBEN CON LETRAS MAYÚSCULAS Y SUS ELEMENTOS SE ENCIERRAN ENTRE PARÉNTISIS O CORCHETES. DE FORMA GENERAL SE ESCRIBE: 𝑨 = 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟏𝟑 … 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑 … 𝒂 𝟑𝟏 𝑎 𝑛1 𝒂 𝟑𝟐 𝑎 𝑛2 𝒂 𝟑𝟑 … 𝑎 𝑛3 … 𝒂 𝟏𝒎 𝒂 𝟐𝒎 𝒂 𝟑𝒎 𝑎 𝑚 MATRIZ FILA MATRIZ RECTANGULAR MATRIZ COLUMNA MATRIZ TRASPUESTA MATRIZ OPUESTA MATRIZ IDEMPOTENTE MATRIZ CUADRADA MATRIZ DIAGONAL MATRIZ ESCALAR MATRIZ NORMAL MATRIZ INVOLUTIVA MATRIZ SIMETRICA MATRIZ ANTISIMETRICA MATRIZ CONJUGADA MATRIZ IDENTIDAD MATRIZ DIAGONAL MATRIZ TRIANGULAR: SUPERIOR INFERIOR MATRIZ ADJUNTA MATRIZ HERMÍTICA MATRIZ NULA MATRIZ ORTOGONAL MATRIZ NILPOTENTE MATRIZ UNIPOTENTE