La ecuación de la parábola

1. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

2. DEFINICIÓN:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

3. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Los elementos son:
Directriz y Foco: Siendo la recta fija y el punto fijo mencionados
en la definición.
Eje: Es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la
directriz.
Vértice: Es el punto de intersección entre la parábola y el eje.
Cuerda: Segmento que une dos puntos diferentes de la
parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto: Cuerda focal perpendicular a su eje.
Radio focal: Llamado también radio vector, es el segmento que
une el punto foco con cualquier punto de la parábola.
Tangente: Recta externa que pasa por un punto de la Parábola.

4. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON
CENTRO EN EL ORIGEN
La ecuación de la parábola cuando su vértice esta en el origen
es decir en (0, 0), tiene cuatro posibilidades de ecuación con sus
propias características.
La primera posibilidad y en la que se basan las demás, puede
ser cuando el vértice esta en el origen (0, 0), su foco sobre el eje
x en (p, 0), y, la directriz la recta que pasa por el punto (- p, 0),
según indica su definición.

5. Según lo anterior, entonces 𝑃𝐷 = 𝑃𝐹, y la distancia de cada una es:
𝑃𝐷 = 𝑥 − − 𝑝
2
+ 𝑦 − 𝑦 2; osea
𝑃𝐷 = 𝑥 + 𝑝 2; y
𝑃𝐹 = 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦 − 0 2: osea
𝑃𝐹 = 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦2,
De acuerdo a 𝑃𝐷 = 𝑃𝐹 se tiene:
𝑥 + 𝑝 2 = 𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦2
Resolviendo esta igualdad, se obtiene:
𝑦2
= 4𝑝𝑥

6. Según se indico, existe cuatro posibilidades y estas son:
Primera
Posibilidad
Segunda
Posibilidad
Tercera
Posibilidad
Cuarta
posibilidad
Ecuación de la
Parábola
𝑦2
= 4 𝑝𝑥 𝑦2
= − 4 𝑝𝑥 𝑥2
= 4 𝑝𝑦 𝑥2
= − 4 𝑝𝑦
Ecuación de la
Directriz
𝑥 + 𝑝 = 0 𝑥 − 𝑝 = 0 𝑦 + 𝑝 = 0 𝑦 − 𝑝 = 0
Figura
Coordenadas
del foco
𝑝, 0 −𝑝, 0 0, 𝑝 0, −𝑝
El lado recto de la ecuación de la Parábola es igual a 4 p

7. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON
CENTRO FUERA DEL ORIGEN
La ecuación de la parábola cuando su vértice esta fuera del
origen, es decir, distinto al punto (0, 0) y en (h, k), tiene cuatro
posibilidades de ecuación, dependiendo de este punto y la
orientación de apertura respecto de los ejes x e y.

8. Las cuatro posibilidades de la ecuación de la Parábola con vértice fuera del origen es:
Primera Posibilidad Segunda Posibilidad Tercera Posibilidad Cuarta Posibilidad
Se abre hacia la
derecha en el eje x
Se abre hacia la
izquierda en el eje x
Se abre hacia arriba
en el eje y
Se abre hacia abajo en el
eje y
Ecuación de la
Parábola
𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝 𝑥 − ℎ 𝑦 − 𝑘 2
= −4𝑝 𝑥 − ℎ 𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝 𝑥 − ℎ 𝑦 − 𝑘 2
= −4𝑝 𝑥 − ℎ
Ecuación de la
Directriz
x – h + p = 0 x – h - p = 0 y – k + p = 0 y – k – p = 0
Figura
Coordenadas del
foco
(h + p, k) (h – p, k) (h, k + p) (h. k – p)
El lado recto es igual a 4p

9. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Es decir:
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0
o
𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0

10. AUTORES:
Mgtr. Víctor Vallejo
Lcda. Mercedes López
Eco. Edgar Torres
Lcda Elizabeth Marín

11. GRACIAS