Curso mallas de puesta a tierra - ejemplo

CURSO DE DISEÑO DE MALLAS DE PUESTA A TIERRA

PÁGINA 1

Ejemplo de diseño de malla de puesta a tierra de una subestación utilizando Alternative
Transients Program-ATP y ASPIX
Este ejemplo muestra la metodología para el diseño de mallas de puesta a tierra siguiendo los criterios de
seguridad de la norma IEEE 80. El ejemplo muestra el procedimiento para el diseño de la malla de puesta a tierra
de una subestación con niveles de tensión de 115 kV y de 34.5 kV.

1 Herramientas de software
Éste ejemplo de diseño se desarrolla con la ayuda de las siguientes herramientas de software:
 Alternative Transients Program ATP: se puede acceder sin cargo siempre y cuando firme la licencia de uso del
ATP, se puede obtener a través de los grupos de usuarios. La información sobre el licenciamiento y sobre los
grupos de usuarios se ver en el sitio web: http://www.emtp.org/
 Aspix: se puede obtener una versión Trial por 30 días, ésta versión permite realizar simulaciones y ver los
resultados, no permite guardar o generar informes. Se puede solicitar una licencia de prueba sin costo que
normalmente ofrecen por 30 días y sin limitaciones de funcionalidad. El programa se puede descargar del
siguiente sitio web: http://www.spartalightning.com/download
 Aspix Resistivity Analyzer: es una hoja de cálculo que permite procesar las medidas de resistividad tomadas
para obtener un modelo de dos capas. Esta hoja es libre y se puede descargar del sitio web:
http://www.spartalightning.com/download

2 Metodología para el diseño
Para el diseño de la malla de puesta a tierra se sigue una metodología que contempla las siguientes etapas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Medida y procesamiento de las mediciones de resistividad
Cuadrícula de la malla
Cálculo de la resistencia de puesta a tierra de la malla con el diseño inicial
Cálculo de la distribución de corrientes a tierra
Cálculo de las tensiones de toque y de paso
Verificación de las tensiones y de paso
Si las tensiones de toque y de paso calculadas son superiores a los valores tolerables, entonces se requiere
rediseñar la cuadrícula y repetir el proceso desde el punto 2.

3 Información de entrada
Para el diseño de la malla de puesta a tierra se requiere la siguiente información:





Diagrama unifilar del sistema de potencia con los parámetros y datos de los equipos
Niveles de cortocircuito
Datos de los transformadores de potencia
Vista en planta de la subestación y de la malla de puesta a tierra

Elaborado por: José Dariel Arcila
jose.arcila@ieb.com.co


PÁGINA 2

 Mediciones de resistividad del terreno

4 Descripción del caso
Este ejemplo consiste en el diseño de la malla de puesta a tierra de una subestación con niveles de tensión de
115 kV y 34,5 kV, con tres líneas de 115 kV, un transformador de potencia de 25 MVA y tres circuitos de
distribución a 34,5 kV. El diagrama unifilar general se muestra en la Figura 1, la subestación a la cual se le
diseñará la malla de puesta a tierra es la Subestación Carga 1.
Equivalente Cortocircuito
Icc1 = 7 kA
Icc3 = 9 kA

Subestación
Fuente
230 kV

150 MVA
Ynyn0D11
Z1 = 14% Z0= 14%

115 kV

Línea doble
circuito de 36 km

Subestación
Carga 1

Línea circuito
sencillo de 58 km

115 kV

34,5 kV

115 kV
25 MVA Dyn5
Z1 = 12%
Z0= 12%

34,5 kV

Subestación
Carga 2
25 MVA Dyn5
Z1 = 12%
Z0= 12%

Figura 1. Diagrama unifilar

La subestación está compuesta por tres bahías de línea a 115 kV, una bahía de transformador a 115 kV, un
transformador de 25 MVA, cuatro bahías a 34,5 kV (tres para circuitos de distribución y una para el transformador
de potencia), como se muestra en la Figura 2.



PÁGINA 3

Figura 2. Vista en planta de la subestación

La subestación tendrá una capa de gravilla de 20 cm de espesor y con una resistividad de 2500 m. El tiempo
máximo de despeje de fallas o de duración de la falla es de 500 ms. Los cables de la malla tendrán una
profundidad de enterramiento de 50 cm.

5 Mediciones de resistividad
Las mediciones fueron tomadas utilizando el método de Wenner para una separación de electrodos de hasta 8
metros y utilizando el método de Schulumberger Palmer para separación de electrodos de tensión de hasta 32
metros. Las mediciones de resistividad se muestran en la Tabla 1.



PÁGINA 4

Tabla 1. Mediciones de resistividad
Método Wenner

Método Schlumberger-Palmer

a (m)

a (m)

c(m)

a (m)

c(m)

16

4

32

4

2

4

8

193.1

168.5

139.6

101.7

210.7

167.7

185.3

185

211.4

66.9

222.3

129.5

117.9

164.4

123.4

245.2

175.6

84

147.2

93.2

Para el procesamiento de las mediciones de resistividad y obtención del modelo de dos capas se utiliza el
analizador de resistividades de Aspix. Éste procesador es una hoja de Excel que genera una curva de resistividad
con probabilidad del 70% de no ser superada. A partir de ésta curva, el analizador de resistividad busca los
parámetros de resistividad de la capa superior, resistividad de la capa inferior y profundidad de la capa superior
que mejor se adapten a las mediciones obtenidas. Ésta herramienta muestra una gráfica donde se pueden
apreciar las resistividades medidas y las calculadas por el analizador, permitiendo comparar que tanto se acerca el
modelo a las mediciones. La Tabla 2 muestra el procesamiento de las mediciones de resistividad de la Tabla 1.
Tabla 2. Procesamiento de las mediciones de resistividad del terreno
Resistivity Analyzer
Version 1.0
http://www.spartalightning.com/

Resistivity Analyzer
Equally Spaced - Wenner Method

Unequally Spaced - Schlumberger-Palmer
Method

a (m)

a (m) c(m) a (m) c(m) a (m) c(m) a (m) c(m)

Profile
2

4

8

16

4

32

193.1 168.5 139.6

101.7

P2 (Ohm_m)

167.7 185.3

211.4

66.9

P3 (Ohm_m)

222.3 129.5 117.9

164.4

123.4

P4 (Ohm_m)

245.2 175.6

147.2

93.2

185
84

200

P5 (Ohm_m)
P6 (Ohm_m)
P7 (Ohm_m)
P8 (Ohm_m)
P9 (Ohm_m)
P10 (Ohm_m)

150

100

50

Average

207.1 164.7 131.6

Std Dev

33.82 24.47

45.334

62.518

Resistivity_70%

223.6 177.4 150.4

177.134

145.573

Resistivity 2LModel 223.3 176.7 146.8

165.02

162.309

156.175

42.3

123.55
0
0

5

Estimated 2 layer soil parameters Upper Limit Lower Limit
 1 (Ohm_m)
256.14
10000.00
1.00
 2 (Ohm_m)
136.35
10000.00
1.00
k
H(m)

Resistivity 2LModel

210.7

Resistivity (ohm-m)

P1 (Ohm_m)

Resistivity_70%

250

4

-0.31
1.82

0.99
20.00

-0.99
0.10

10
15
20
25
30
Voltage Electrodes Separation Distance a (m)

I
V
Analyze

a

a
a
Wenner Method

I
V
c
c
a
Schulumberger-Palmer Method

El analizador de resistividad nos entrega los siguientes parámetros para el modelo de las dos capas:
 Resistividad de la capa superior (1) = 256.14 m
 Resistividad de la capa inferior (2) = 136.35 m
 Profundidad de la capa superior (H) = 1.82 m


35


PÁGINA 5

6 Diseño Inicial
6.1 Cuadrícula de la malla
El diseño de la malla de puesta a tierra debe ser tal que garantice las condiciones de seguridad de las personas
ante las fallas y que además requiera la mínima cantidad de materiales y de obra. Un método de diseño consiste
en trazar inicialmente una malla de puesta a tierra de tal forma que se facilite la conexión a tierra de los
diferentes equipos de la subestación. Éste primer trazado de la malla de puesta a tierra debe tener en cuenta lo
siguiente:
 Cada equipo requiere como mínimo la conexión a tierra de su estructura.
 Si el cerramiento de la subestación es mediante una malla metálica, debe considerarse un cable de la malla de
puesta a tierra para controlar las tensiones de toque. Normalmente puede ser un cable a un metro de
distancia de la malla de cerramiento, enterrado a 50 cm de profundidad. Este cable debe interconectarse con
la malla interna cada 20-50 m dependiendo de la resistividad.
 Cable haciendo un rectángulo alrededor de los transformadores a 0.5 ó 1 m por fuera de la fundación.
 Cable haciendo un rectángulo por fuera de las columnas de los pórticos a una distancia de 1 m.
 Trazar retículas mínimas para facilitar las conexiones a tierra de los equipos y de sus estructuras.
Para el caso del ejemplo, el cerramiento exterior es con muro, por lo cual no es necesario un cable enterrado
perimetral. En la Figura 3 se muestra la malla de la subestación trazada utilizando los criterios expuestos.



PÁGINA 6

Figura 3. Cuadrícula de la malla de puesta a tierra

A continuación se realiza el análisis de ésta malla de puesta a tierra para saber si éste primer diseño cumple con
los requerimientos de seguridad o si es necesario mejorarlo.

6.2 Resistencia de puesta a tierra
Una vez se conocen los datos de resistividad del terreno y la geometría de la malla, se puede calcular el valor de la
resistencia de puesta a tierra. Inicialmente, no se conoce el valor de la corriente máxima que circulará por la
malla de puesta a tierra. Esta corriente será calculada más adelante y no se requiere conocer su valor para el
cálculo de la resistencia de la malla. Dado que el programa requiere algún dato de corriente, podemos
seleccionar un valor de 1000 A. La Tabla 3 muestra los parámetros que se utilizarán para la simulación.



PÁGINA 7

Tabla 3. Parámetros de la simulación

Parámetro

Parámetro en Aspix

Valor

Resistividad de la capa superior del terreno en Ohm_m

Upper layer resistivity (Ohm_m)

256.14

Resistividad de la capa inferior del terreno en Ohm_m

Lower layer resistivity (Ohm_m)

136.35

Espesor de la capa superior del terreno en metros

Upper layer thickness (m)

1.82

Resistividad de la capa de material superficial (grava).

Crushed rock resistivity (Ohm_m)

2500

Espesor de la capa de material superficial en metros

Thickness Crushed rock surfacing (m)

0.2

Duración de la falla a tierra para el cálculo de las tensiones de
toque y de paso tolerables

Fault duration (s)

0.5

Corriente a través de la malla de puesta a tierra en amperios

Maximum grid current (A)

1000

Estos parámetros se ingresan al programa Aspix mediante la opción “Simulation Settings” del menú “Simulation”.
La Figura 4 muestra los parámetros cargados en el programa.

Figura 4. Ajustes de la simulación en Aspix

El siguiente paso consiste en ingresar al programa los datos físicos de la malla de puesta a tierra. Para esto, se
agregan cada uno de los cables y cada una de las varillas que conforman la malla de puesta a tierra. En éste
ejemplo, la malla de puesta a tierra está conformada solamente por conductores horizontales, los cuales se
adicionan haciendo Click Derecho sobre “Horizontal Conductors” y luego Click sobre “New Conductor”. La Figura
5 muestra los datos que se deben ingresar por cada conductor.



PÁGINA 8

Figura 5. Datos de los conductores horizontales

Una vez se ingresan los datos de los conductores, se puede hacer una verificación visual con la vista en planta y
con la vista en 3D de la malla de puesta a tierra. La vista en planta se muestra con la opción “Grid Plan View” del
menú “View” y aparecerá como ilustra en la Figura 6.

Figura 6. Malla de puesta a tierra – Diseño inicial



PÁGINA 9

Se ejecuta la simulación usando la opción “Run”del menú “Simulation”. Una vez se ejecuta la simulación
podemos ver los resultados mediante la opción “Simulations Results” del menú “Results”. Los resultados se
muestran en una ventana con una tabla como se muestra en la Figura 7.

Figura 7. Resultados de la simulación

De la tabla de resultados, hasta el momento, solamente tenemos el valor de resistencia de puesta a tierra
(2.267 ). Aun no se ha calculado el valor de la corriente por la malla requerido para el cálculo de las tensiones
de toque y de paso.

6.3 Distribución de corrientes a tierra
Para el cálculo de las tensiones de toque y de paso, se requiere conocer la máxima corriente que circulará a través
de la malla de puesta a tierra. Una primera aproximación es asumir ésta corriente como el valor máximo de la
corriente de falla a tierra que se presente en la subestación, teniendo en cuenta todos los niveles de tensión. Ésta
aproximación puede funcionar en algunos casos, sin embargo, puede conducir a la realización de diseños bastante
conservativos y costosos.
Para realizar un diseño menos conservativo, se puede calcular el valor de la máxima corriente que realmente
circulará a través de la malla de puesta a tierra de la subestación. La corriente de falla a tierra circula tanto por la
malla de puesta a tierra como por los cables de guarda de las líneas de transmisión y de los circuitos de
distribución. Para conocer cómo se reparte la corriente de falla a tierra existen diferentes metodologías, en éste
ejemplo, se realizarán simulaciones detalladas de fallas a tierra utilizando el programa ATP.
En el caso que se está analizando es importante tener en cuenta la corriente de la falla a tierra que se deriva a
través de los cables de guarda de las torres de las líneas a 115 kV, por lo cual se deben modelar en forma
detallada los tramos de línea más cercanos a la subestación con sus puestas a tierra. La Tabla 4 muestra los datos
de los conductores de fases y de guarda, y su disposición física en la torre.



PÁGINA 10

Tabla 4. Parámetros de las líneas a 115 kV

Se asumió un vano promedio de 300 m y una resistencia de puesta a tierra de las torres de 30 , se modelaron en
forma detallada los 20 tramos de línea más cercanos a la subestación (6 km en total), la parte restante se modeló
como un solo tramo. La Figura 8 muestra la red simulada en el programa ATP.
Subestación Fuente

Subestación Carga 1

Subestación Carga 2

Puesta a tierra de
las torres

Malla subestación 1

Figura 8. Red simulada en el ATP

Se simularon fallas monofásicas y bifásicas a tierra, en los niveles de 115 kV y 34,5 kV. El caso en el cual se
obtiene la mayor corriente a través de la malla de puesta a tierra corresponde a una falla bifásica a tierra en lado
de 34,5 kV en un punto muy cercano a la subestación, asumiendo que los circuitos a 34,5 kV no tienen cable de
guarda. La Figura 9 muestra cómo se distribuyen las corrientes por las diferentes puestas a tierra para ésta falla.



PÁGINA 11

115 kV
Cables de guarda

34.5 kV

2720 A
875 A


Puesta a tierra
en el punto de
falla

Puesta a tierra de las torres de la línea
doble circuito a 115 kV

2720 A

1121 A
815 A
Cable de guarda

Puesta a tierra de las torres de la línea de un circuito a 115 kV

Figura 9. Distribución de corrientes a tierra para el caso más crítico

Las corrientes no se pueden sumar en forma aritmética debido a que existe un ángulo de desviación entre ellas
ocasionado principalmente por la componente inductiva de los cables de guarda, éste desfase se puede ver en la
Figura 10.
4000
[A]
3000

Corriente a tierra en la
falla y corriente por el
neutro del transformador

2000
1000

Corriente que circula por
la malla de la subestación

0

Corriente que circula por
los cables de guarda

-1000
-2000
-3000
-4000
0.00

0.02

0.04

(f ile Ejemplo_Aspix.pl4; x-v ar t) c:MALL -NEUT
c:FALL -

c:

0.06
-MALL

c:CG1

0.08
-MALL

c:CG2

[s]

0.10

-MALL

Figura 10. Corrientes a tierra

El valor máximo de corriente por la malla de puesta a tierra es de 1121 A, y es el valor que se utilizará para
calcular las tensiones de toque y de paso.


PÁGINA 12

El efecto de la componente de corriente continua de la corriente de cortocircuito es despreciable debido a que la
relación X/R del sistema en la subestación analizada es menor que 10 y que el análisis de la malla se hace para un
tiempo de 500 ms.

6.4 Tensiones de toque y de paso
Para calcular las tensiones de toque y de paso debemos cambiar el valor supuesto de 1000 A de corriente a través
de la malla por el valor calculado de 1121 A. Éste valor se cambia mediante la opción “Simulation Settings” del
menú “Settings”, se debe cambiar el parámetro “Maximum Grid Current (A)” (ver Figura 4). Además, se deben
adicionar las regiones o áreas en las cuales se calcularán las tensiones de toque y de paso. Estas regiones se
seleccionan teniendo en cuenta los siguientes criterios:
 La malla de puesta a tierra debe controlar tensiones de paso tanto en el interior como en el exterior de la
subestación, sin embargo, no es necesario calcular ésta tensión de paso en áreas demasiado grandes porque
las tensiones de paso son máximas en el perímetro de la malla de puesta a tierra, es decir, que si las
controlamos en el perímetro, quedan controladas en cualquier otro sitio. Por lo anterior, un buen criterio es
calcular las tensiones de paso en una región que cubra el área total de la malla de puesta a tierra.
 Las tensiones de toque se deben controlar en todos los sitios donde las personas puedan tocar objetos
metálicos conectados con la malla de puesta a tierra (estructuras metálicas, transformadores, tableros, postes
metálicos, etc.). Normalmente, estos objetos metálicos se encuentran dentro del perímetro de la malla y el
criterio utilizado para el trazado de la malla es que su perímetro cubra un metro por fuera del área de los
equipos. Por esto, un criterio válido es calcular las tensiones de toque en una región que cubra toda el área
de la malla de puesta a tierra.
Las áreas en las cuales se calcularán las tensiones de toque y de paso se adicionan haciendo Click Derecho sobre
“Chart Areas” y luego Click sobre “New Chart Area”. El programa mostrará la ventana que se muestra en la Figura
11.

Figura 11. Datos de áreas para tensiones de toque y de paso

Las áreas que se pueden definir en el programa Aspix son de forma rectangular y se definen por las coordenadas
del punto inicial (x, y), por el número de puntos en la dirección “X” y en la dirección “Y” que se van a calcular, y



PÁGINA 13

por la distancia entre puntos o resolución. Para el caso que se está analizando, se pueden definir las cinco áreas
que se muestran en la Figura 12.

Área 5

Área 4
Área 3
Área 2

Área 1

Figura 12. Áreas para la simulación

Con las áreas para la simulación definidas se corre el programa con la opción “Run” del menú “Simulation” y
luego, con la opción “Simulations Results” del menú “Results”, se puede ver la tabla de resultados que muestra
en la Figura 13. La tabla de resultados muestra un resumen de la simulación, se pueden ver los valores de
resistencia de puesta a tierra y los valores máximos de tensiones de toque y de paso calculados en las áreas
definidas. Además, se muestran las tensiones de toque y de paso tolerables para personas de 50 kg y de 70 kg de
peso de acuerdo con la norma IEEE 80. En éste ejemplo, se tomará como criterio de seguridad que no se superen
las tensiones de toque y de paso tolerables para personas de 50 kg.
El programa Aspix también permite ver las gráficas de tensiones de toque y de paso en todas las áreas
configuradas. Éstas gráficas pueden ser en dos dimensiones o en tres dimensiones y se pueden ver usando las
opciones “Touch Voltage 3D Chart”, “Step Voltage 3D Chart”, “Touch Voltage 2D Chart” y “Step Voltage 2D
Chart” del menú “Results”. Éstas gráficas se muestran en la Figura 14, la Figura 15, la Figura 16 y la Figura 17.



Figura 13. Resultados de la simulación

Figura 14. Tensiones de toque – Vista 3D


PÁGINA 14


Figura 15. Tensiones de toque – vista 2D

Figura 16. Tensiones de paso – vista 3D

PÁGINA 15


PÁGINA 16

Figura 17. Tensiones de paso – vista 2d

Como puede observarse en los resultados de la Figura 13, la tensión de toque tolerable para una persona de 50 kg
es de 677.8 V, valor que es superado por la tensión de toque calculada en la malla que alcanza los 914.2 V. La
tensión de paso tolerable es de 2219.1 V y es superior la tensión de paso calculada de 406.5 V. En resumen, con
éste diseño inicial se superan las tensiones de toque tolerables, es decir, que el diseño no cumple con los criterios
de seguridad y por lo tanto debe ser modificado.

7 Diseño modificado
7.1 Cuadrícula de la malla
Las modificaciones al diseño inicial deben ir orientadas a la disminución de las tensiones de toque, para lo cual
existen diferentes alternativas tales como:
 Disminuir la elevación de tensión de la malla de puesta a tierra durante la falla (GPR), para lo cual las
alternativas son: reducir la resistencia de puesta a tierra, disminuir el nivel de cortocircuito y disminuir la
porción de corriente que circula a través de la malla.
 Reducir el tamaño de las cuadrículas de la malla instalando conductores en el interior de las cuadrículas del
diseño inicial.
La primera opción que se va a probar para disminuir la tensión de toque es la disminución del tamaño de las
cuadrículas de la malla. Para esto, se deben ubicar los puntos que presentaron las mayores tensiones de toque en
el diseño inicial. En la Figura 18 se pueden observar las regiones donde se presentaron las mayores tensiones de
toque, la modificación al diseño consiste en adicionar cables en las cuadrículas que contienen éstas regiones, la
Figura 19 muestra el diseño modificado.


PÁGINA 17

Figura 18. Puntos críticos para las tensiones de toque

Figura 19. Malla de puesta a tierra – Diseño modificado

7.2 Resistencia de puesta a tierra
Se ejecuta el programa y se obtiene una resistencia de puesta a tierra de 2.09 , como se muestra en la Figura 20.



PÁGINA 18

Figura 20. Resultados – Diseño Modificado

7.3 Distribución de corrientes a tierra
En el programa ATP, se modifica el valor de la resistencia de puesta a tierra correspondiente a la subestación 1
(ver Figura 8) y se ejecuta la simulación. La Figura 21 muestra cómo se distribuyen las corrientes por las
diferentes puestas a tierra para el caso más crítico.
115 kV
Cables de guarda

34.5 kV

2732 A
856 A


Puesta a tierra de las torres de la línea
doble circuito a 115 kV

1188 A
793 A
Cable de guarda

Puesta a tierra de las torres de la línea de un circuito a 115 kV

Figura 21. Distribución de corrientes a tierra – Diseño modificado

Puesta a tierra
en el punto de
falla
2732 A


PÁGINA 19

El valor máximo de corriente por la malla de puesta a tierra es de 1188 A, y es el valor que se utilizará para
calcular las tensiones de toque y de paso.

7.4 Tensiones de toque y de paso
Para calcular las tensiones de toque y de paso debemos cambiar el valor de 1121 A de corriente a través de la
malla por el valor de 1188 A que se obtuvo para el diseño modificado. Éste valor se cambia mediante la opción
“Simulation Settings” del menú “Settings”, se debe cambiar el parámetro “Maximum Grid Current (A)” (ver Figura
4). Las áreas para el cálculo de las tensiones de toque y de paso se mantienen iguales a las utilizadas para la
simulación con el diseño inicial.
Se corre el programa con la opción “Run” del menú “Simulation” y luego, con la opción “Simulations Results” del
menú “Results” se puede ver la tabla de resultados que muestra en la Figura 22.

Figura 22. Resultados – Diseño modificado

La Figura 23, la Figura 24, la Figura 25 y la Figura 26, muestran las gráficas en dos dimensiones y en tres
dimensiones de tensiones de toque y de paso calculadas en la malla.
Como puede observarse en los resultados de la Figura 22 la tensión de toque tolerable para una persona de 50 kg
es de 677.8 V, valor que es superior a la tensión de toque calculada en la malla que alcanza los 657.1 V. La
tensión de paso tolerable es de 2219.1 V y es superior a la tensión de paso calculada de 396.1 V. Éste diseño
modificado controla las tensiones de toque y de paso, haciéndolas inferiores a los valores tolerables, es decir, que
cumple con los criterios de seguridad y puede adoptarse como el diseño definitivo.



Figura 23. Tensiones de toque – Diseño modificado – Vista 3D

Figura 24. Tensiones de toque – Diseño modificado - vista 2D


PÁGINA 20


Figura 25. Tensiones de paso – Diseño modificado - vista 3D

Figura 26. Tensiones de paso – Diseño modificado - vista 2d

PÁGINA 21

Curso mallas de puesta a tierra - ejemplo

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Curso mallas de puesta a tierra - ejemplo

Similar a Curso mallas de puesta a tierra - ejemplo (20)

Más de Jose Dariel Arcila

Más de Jose Dariel Arcila (9)

Último

Último (12)

Curso mallas de puesta a tierra - ejemplo