Cálculo de conductores aéreos

Cálculo Mecánico de Conductores para líneas - 1 -
Aéreas e hilos de guardia.
Cátedra: Transmisión y Distribución de la Energía
Cálculo mecánico de conductores para líneas aéreas e hilos de
guardia.
1. Generalidades.
A continuación se calculan los esfuerzos a que se encuentra sometido un conductor metálico
flexible de longitud L, suspendido de sus extremos y soportando la acción conjunta de sobrecargas
y variaciones de temperatura. Dichos cálculos se realizan a los efectos de:
a) Asegurar que para las condiciones más desfavorables, el esfuerzo de tracción se mantenga
por debajo de un valor especificado que depende del material y del coeficiente de seguridad
adoptado.
b) Determinar la altura de los soportes tal que se mantengan las mínimas distancias
especificadas en norma.
c) Determinar el esfuerzo ejercido por los conductores sobre sus soportes.
En la primera etapa del estudio, se considera la temperatura constante.
2. Cálculo exacto para un vano con soportes nivelados.
Un conductor flexible suspendido de sus extremos y que no resiste momentos flectores, dibuja una
curva que se denomina “catenaria”. La misma es utilizada para determinar las expresiones del
cálculo exacto.
Se suponen conductor suspendido de dos soportes de igual altura (Figura 1). Del conductor en
estudio se corta un tramo OP que se designa 1 (m), representándose dicho tramo en un sistema
de coordenadas de acuerdo a lo indicado en Figura 2.
Se denomina flecha a la distancia vertical entre la recta que une ambos soportes sontén del cable y
el punto más próximo al terreno.
Vértice es el punto más bajo del cable tendido o sea, aquel que se encuentra más próximo al
terreno.
El sistema de fuerzas a que se encuentra sometido el conductor están en un plano y en ese plano
se ubica la resultante W (kg1/m) de las distintas fuerzas que se consideran, como ser:
Peso propio del conductor P (kg/m)
Acción del viento Pv (kg/m)
Manguito de hielo Ph (kg/m)
Las fuerzas H (Kg) y T (Kg) son las acciones de las partes de conductor suprimido y equilibran la
acción exterior W1 (kg). Por considerar que el conductor no resiste momentos flectores, las fuerzas
H, T y W1 son concurrentes, estando dada la condición de equilibrio para las igualdades siguientes:
T H



cos 
 
0
 

0
U.T.N. Facultad Regional Rosario – Departamento de Ing. Eléctrica








0
0
Tsen wl
F
F
x
y


wl
H
T

tg   
T
wl
H
sen

dy
 
(1)
wl
H
dx
H
2
H
dy
dl    
l dl


dy   
2
H
H
y x   0
wl
H
W




H

 2
dx  
H
   


cos

tg


 
(2)
2 2 dl dx dy
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
y  f (x) l  f (x)
De (1): dy
wl
dx 
Reemplazando en (2):
H
 
2
2
2 2
2
2
l
w
l
dy dy
wl
(3) 2
2
2
2
l C
w
y
l
H
w



 


Se plantean condiciones de borde: x  0  l  0
  C
W
Si en la Figura 2 el eje x pasa a la distancia H/W del punto 0, resulta:
H
  C  C  0
W
H
W
De (1): dx
H
dy 
Reemplazando en (2):
dx
W
H
l
W
l dx
H
dl dx
2
2
2 2
2
2
 



 



 
  l C
W
l H
W
x
l
W
dl
H
W


 
 
2
2
2
ln

Como la curva es simétrica respecto del eje y:
2
H




ln (4) 2




x 
l C
W
l
H
H
H
0  ln     ln
H
H








ln ln
ln
H
H
W











  





  




W
W

e e H
wx



wx
y Ecuación de la catenaria
2
W
W


W
l Longitud del tramo de conductor considerado
cos  
0
Tsen wl
H
W


 

   
Se plantean condiciones de borde: x  0  l  0
W
W
C C
W
H
W
 
 
  (5)   (6)
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
l
W
e l H
W
l
W
W
x
H
H
 
W
e l H
H
W
W
H
l
W
l H
H
W
H
l
W
l H
W
x
W
W
l
W
l
W
x
x
H
x
H
      
 



 



   

Sumando miembro a miembro (5) + (6):
2
2
2
l
W
H
W
H
ch
x
H
x
H
 















H
 (7) 
H
ch
W
Restando miembro a miembro (5) – (6):
l
W
e e
H
W
x
H
sh
x
H
x
H












H
 x (8) 
H
sh
W
  

 
0
T H


Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro:
 2
2
H




2 2 2 2 l 2
wy
2




T H W l W 
W


 

  
W
T  wy  H ch x (9) 
Esfuerzo sobre el conductor
H
Cálculo de la flecha de acuerdo a lo indicado en la Figura 3.a y b.
H
a H

 
W
H
 
wa
H
 
H
wa
W
 
wa
T T T H ch S a S   
wf H
W
2 4
           
2! 4!
 
1 (10)
2
2
2





H
ch
W
f
W
H
ch
W
f
W
f y a
La longitud total del conductor:
(11)
2
2
2
2 2
2
H
sh
H
W
L
a
H
sh
W
L la

La tensión en el soporte:
  (12)
2 2H
H
f
H
wa
H
ch

 1
2
T wf H (13) S  
3. Cálculo aproximado con soportes nivelados.
Desarrollando las funciones hiperbólicas en series infinitas se tiene:
           
3! 5!
1
3 5
 
ch
 
 

sh
Para los valores que se presentan en la práctica estas series son muy convergentes por lo que es
suficientemente preciso para el cálculo, considerar los dos primeros términos de la serie,
pudiéndose simplificar las funciones vistas anteriormente.
Mediante un ejemplo se determina el nivel de error que se comete al despreciar a partir del tercer
término.

w kg m a m H kg
9
  
5
150 / 25 2
0,62 * 300
7



wa



W
H
  
H
 
3 3
2 2
w x
w x
2 2
w x
2 2
w x
w x



T  H 
   a x  :
T H S S
   
8
w a
Wa
 
Wa
 
Wa
H
H

4
3
7,6.10
5!
2
6.10
wa
H
wa
4!
2
62.10
2 *1500
2
0,62 / , 300 , 1500
 








 
H
H
mm
Ac
Al
Resulta al considerar los 2 primeros términos:








3
2
6
(14)
2
1
H
x
H
W
l
H
W
y
(15)
2 H
2
l  x 
(16)
2 2
1
2 2
2
H
T H
H



Para
2
(20)
3
(18)
wa
8
(17) (19)
8
2
2
2 2
f
a

L a
H
f
T H wf
H
 
Para los valores que se presentan en la práctica, resulta TS aproximadamente igual a H y la longitud
del conductor muy próxima al vano. Por ello es aceptable para líneas cortas suponer:
T H y L a S  
Ejemplo:
Se supone un conductor de Al/Ac 120/20, a = 240m, H = 1100kg y W = 0,51 kg/m. Calcular por el
método exacto y aproximado la flecha y tensión en el soporte.
a) Método Exacto:
m
H
ch
W
f
m
H
sh
W
L
kg
H
T H ch S
1 3,34
2
240,12
2
2
1101,7
2
 
 
 

b) Método Aproximado:
  
240,12
m
  
Wa
W a
Sf
SH
W x
W x
wx
wx
w x
 
w x
 
   
( )
wa
   
2 1 2 1
a x x vano real
f
m
a
L a
kg
SH
T H S
3,34
3
1101,7
2
2
2 2
 
a m
Error m
L m
240,00
0,12 (0.05%)
240,12



4. Cálculo aproximado con soportes desnivelados.
Un conductor suspendido adopta siempre la forma de una catenaria (o más simplemente una
parábola) que solo depende del esfuerzo H en el vértice y de la fuerza por unidad de longitud W
(despreciando la a cción d el vien to). El h e cho d e te ner so porte s d esnivelados so lo s ig n if ica q u e
e l co n d uctor se u bicará e n una p o r ció n de la cu r va comp le ta q u e co r re sp o n d e a so p o r te s
n ive la d o s (Fig u ra 4 ) .
Ot ro e nfoque a l e squema d e la Fig ura 4 , e s su poner e l conductor te ndido e n tro lo s p u ntos A-0-2
y lu e go su jetarlo d esde e l p unto 1 co rtando a ll í e l conductor. Ret irar e l t ramo A-1 y re empla za r lo
p o r su correspon diente a cción. El t ramo q ue q u eda,1 -0-2, se e n cu e n t ra su sp e n d id o de ig u a l
fo rma q u e a n te s.
Para el caso de vanos desnivelados, se observa que los soportes no tendrán la misma tensión
( s1 s2 T  T ) por tener distinta abscisa.
El problema se reduce a resolver la ubicación de cada soporte respecto al vértice y luego tratar
cada tramo desde el vértice hacia cada lado, con las ecuaciones del vano nivelado.
Pensando en dos vanos nivelados de longitud 2X1 y 2X2, las flechas y las tensiones para cada una
de ellos resultan:
 2

 
(24)
2
(23)
2
(22)
2
8 2
(21)
8 2
2
2
2
2 2
2
1
2
1 1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
H
T H Wf H
H
T H Wf H
H
H
f
H
H
f
   
Conociendo X1 y X2 quedan determinadas las flechas y las tensiones. De la Figura 4 se observa:
 
( )
2
1 2
x x desnivel
H
d f f
 

Sumando ambas ecuaciones:
(25)
a Hd
x  
2 2 Wa
Restando ambas ecuaciones:
(26)
a Hd
x  
2 1 Wa
Reemplazando en las ecuaciones de flecha, se tiene:
2

a Hd
W
 
2 2



a Hd
W
 


Wa
 

Wa
 

Hd
Hd


   


 
d
d

    



  
a d
d
   


a d
 


d
2
2
1
2 2








Wa
H
f
Wa
H
f
Sacando   4
2 a factor común y operando resulta:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
8
1 2
8








Wa
H
f
Wa
H
f
(28)
4
(27) 1
4
1
2
2
2
1  

 


 

f
f f
f
f f
Wa
H
f
8
2
 es la flecha de un conductor con soportes nivelados tendido en un vano a, con la
sobrecarga w y tracción H.
Las ecuaciones que fijaban la posición del vértice o quedan en función de esta flecha.
(32)
4
1
2
1 (31)
2
(30)
4
(29) 1
4
1
1 2
2
2
2
1
 

 


 

 

 


 

f
x
af
x
f
T H fW
f
T H Wf
En caso de vanos muy desnivelados, se debe considerar la posibilidad de que el conductor no sea una
pequeña parte de un gran vano nivelado y con ello las ecuaciones de la parábola introduzcan un error
inaceptable. Puede considerarse que hasta vanos nivelados de 500 m pueden usarse las ecuaciones de la
parábola, dado que los errores de la flecha por ejemplo no superan el 0,6%. Si el vano desnivelado
considerado, es parte de un vano nivelado de más de 500 m es necesario utilizar el método exacto.
Es importante acotar que hasta vanos de 350 m y desnive les inferiores a un 10 % del vano, puede
despreciarse el desnivel y tratar el tramo como si se tratara de un vano con soportes nivelados.
Se puede determinar a que vano nivelado a’ corresponde un vano muy desnivelado a (Figura 5). A
ese vano a’ le corresponde una flecha f’ = f2 resultando:

Wa

  
(33)
Hd
Ha


d
1  

 
dy

W x
2
2 2
2 2
W x
 
H


 
dy

  
Hd
W
W


Hd
a Hd
a Hd
'
2
Wa
a ' 2
x
'
2
1
8 8
2
2
2
2 2
2
Wa

a a
Wa
H
H
r
 


En casos extremos el conductor puede llegar a ubicarse totalmente a un lado del vértice del tendido
equivalente de vano nivelado (Figura 6). En ese caso la ecuación de la flecha se utilizaría como guía
para definir la situación.
2
1 4

 

f
f f
Valores positivos del paréntesis, indican casos como el estudiado. Si esos valores resultan
negativos, indican que cuando d es mayor que 4f se tiene un vano con vértice virtual.
En los casos en que el paréntesis resulte nulo, indicaría f1 = 0 y por lo tanto el vértice coincidiría con
el soporte inferior.
5. Cálculo aproximado para un vano desnivelado con soportes de igual altura.
El caso de vano desnivelado con soportes de igual altura representado en la Figura 7, se presenta
para trazas en terrenos desnivelados. El punto de la línea más próximo al suelo Q se ubica en el
punto de contacto de la línea y la recta tangente a la misma y paralela al terreno.
A continuación se determina la ubicación del punto Q y el valor de la flecha f0.
x q dx
d
a
tg

  
del método aproximado:
(34)
1
2
1
2
2
Wa
d
d
dy
H
x x
x
H
dx
a
tg
x
H
H
W
dx
dx
H
W
y
q Q
q
x q
 
 





 

 

 



Del cálculo aproximado con soportes desnivelados:
2 2
 
2
1
1
a
Wa
Wa
x x
Wa
x
Q     

(35)
a
2 1
d H

       


d Wa
d W
      
2 2 2 4
2
1
W x
d Wa
Hd
a Hd
d Wa




  
2 4 2 2 8 2
2 2
W x




 
 
d
d
2
1




d
f
d
f
1





10 1 1,4

4 1 1,4
11,4


a d
10


   

x 77.90
2 1  
x xQ  
Se observa que el punto Q se encuentra en la mitad del vano.
Cálculo de f0:
     
   
(36)
Wa
8
2
1
2
1
2 2
2
0
2
1
2 2
1
2
2
2
0 1
H
f
d
H
Wa
Wa
H
x x
H
x x
H
H
H
W
y y
d
f
Q Q
Q
x xQ

   



 








Queda demostrado que la flecha en el punto Q es calculada mediante la misma expresión que para el caso de
vanos con soportes nivelados.
Se observa que pequeños desniveles que no corresponden a vanos equivalentes a’ muy grandes, pueden ser
omitidos como tal y ser considerados como vanos horizontales. En la práctica esta situación es común, dado
que la mayoría de los terrenos son suavemente ondulados.
Ejemplo:
Se supone para un día sin viento, que las flechas de un vano desnivelado (sobre un terreno nivelado) de 300m
son f1 = 1,40m y f2 = 11,40m. Determinar la posición del vértice de la línea respecto a las estructuras de
apoyo y las tensiones que se transmiten a cada estructura. El esquema del ejemplo se indica en la Figura 8.
El conductor utilizado es Al/Ac 240mm2 y de peso W= 0,98Kg/m.
2
2
2
1
4
1
1
 


 

 

 

f
f f
af
f f
2
2
4
1
4
1
 

 


 

 


 
f
f
d f f m
f
f
f
f
d
f 10
4 1
2 1
2
1
2
1
  
 

 


 

 



f 5,20m
11,4

 






m
f
4.5,20
150 1
4
1




  
 

10


   


x 222,10
m
a d
 
150 1
 
2 2 4
f
4.5,20
2 2 2
Wa
Wa
0,98. 300
    
T  H  Wf  2120  0,98.1,40 
2121
kg
1 1
T  H  Wf   
kg
Hd
2.2120.10
2
Wa
H
  siendo Δ1 (m): deformación elástica
Wx
T d
. 1
1  , dado que se puede considerar T = cte. Porque su variación a lo largo del conductor
W .
x
H
1 d
1




 

 
m
wa
a a
kg
f
H
H
f
444,30
0,98.300
300
2
'
2120 0,98.11,40 2131
2120
8.5,20
8 8
2 2
    
6. Influencia de la temperatura.
Durante el análisis considerado, se mantuvo la temperatura constante. Dado que este parámetro es
importante para el cálculo mecánico de un conductor tendido, se estudia su influencia en el cálculo.
Los cambios de temperatura producen sobre un cuerpo variaciones de su longitud (alargamiento o
acortamiento) que modifican el valor de la tensión H, única variable libre de modificar su valor en
función de la longitud ante una variación de la temperatura. Además, la variación de H indica que el
cuerpo sufre una deformación elástica que responde a la ley de Hook. La longitud del conductor
para una determinada tracción H1 en el vértice resulta:
1
1
1 2
H
sh
W
L 
Dicha longitud responde a una cierta temperatura θ1 (ºC) y a un estiramiento de carácter elástico
determinado.
La ley de Hook aplicada a una pieza regular (un conductor) sometida a un esfuerzo constante
resulta:
(37)
1 .
T
.
1
S E
E (kg/mm2): módulo de elasticidad del cable
S (mm2): sección del cable
H
T  H ch
Aplicando la ley de Hook a un elemento diferencial de longitud d1 de acuerdo a como se muestra
en la Figura 9, y considerando para ese elemento las tensiones en sus extremos T y T+dt, resulta:
 
S E
d
.
de longitud d1 resulta despreciable.
Considerando las dos últimas expresiones resulta:
  1 (38)
.
H
ch
S E
d  

ecuación que representa la deformación sufrida por el tramo d1 por acción de la fuerza T.
W x
H
  
W x
W x
W x
H
W x
H
  dx
H
ch
S E
dx
H
ch
H
ch
S E


x H
H
Wx
H
2
     H
1
x H
1
4
4

Wx
4 4

2 2




W x
H
Hx
Wx
   




W x
Wx
d l
dx
H
dl ch
H
sh
W
L
.
.
. .
.
. .
2   
Integrando entre el vértice y el soporte resulta:




Wx
sh
W
SE
dx
H
ch
S E
l
x 2
. 0 2 2
Desarrollando en serie la función sh hasta el término de 5º orden resulta:
(39)
15
3
1
15
3
2
2 4
4
2
3 5




















 



   
H
H
ES
l
H
H
H
W
ES
l
La longitud del conductor a una temperatura θ1 y libre de tensiones (tendido en el suelo) resulta:
1 1 1 1 . 2 '    L L
Una vez determinada la longitud L’1, cualquier cambio de temperatura produce una variación de la
misma mediante la expresión:
' ' 1   (40) 2 1 2 1 L  L   
siendo α (1/ºC) el coeficiente de dilatación lineal. L’2 resulta la nueva longitud natural del conductor
a la temperatura θ2.
Si el conductor a esta temperatura se tiende entre sus soportes, se tracciona alargándose hasta la
nueva longitud L2, la cual se calcula por el método de “tanteos sucesivos” el cual consiste en lo
siguiente:
a) Se adopta un valor de H2.
b) Se calcula con dicho valos la longitud L2.
c) Se calcula el alargamiento elástico Δl2.
d) Se determina la longitud natural 2 2 2 L'  L  2l
e) Se comparan los valores de L’2 calculados en el punto (d) y el obtenido mediante la
expresión (40).
f) Si los valores comparados en el punto (e) resultan iguales, se adopta el valor de H2 como el
correspondiente a la temperatura θ2 procediéndose luego a calcular los restantes
parámetros (f, T, etc.) necesarios para determinar el comportamiento mecánico del
conductor. Si los valores comparados no resultan iguales, se debe realizar nuevamente el
cálculo partiendo del punto (a) con la elección de un nuevo valor de H2. Se debe proceder
de igual forma hasta lograr la igualdad del punto (f).
La forma de resolver el problema supone conocer un estado de tensión dado y su correspondiente
temperatura a fin de determinar el valor correspondiente a otro estado, lo cual ocurre en la práctica
dado que para la condición de máxima tensión, que suele ocurrir a las temperaturas más bajas y/o

sobrecarga de hielo y/o sobrecarga de viento, el conductor no debe sobrepasar la tensión admisible
definida en función de la carga de rotura del conductor y del coeficiente de seguridad adoptado (de
acuerdo a normas corresponde 3).
7. Ecuación de estado.
En caso de resultar aceptables las simplificaciones que conducen a la ecuación de la parábola, el
efecto que produce la variación de temperatura puede considerarse en una única ecuación
denominada “Ecuación de Estado”. Para determinarla se suman las variaciones de longitud que
experimenta el cable por las variaciones de la temperatura y las correspondientes deformaciones
el´sticas por variación de la tensión.
Se supone que la tensión a la que se encuentra sometido el conductor es constante a lo largo de
todo el vano e igual a H por lo que la deformación elástica se calcula aplicando directamente la ley
de Hook. Las ecuaciones correspondientes resultan:
 
 
(41)
(42)
  
  
2 1
T T
  
2 1
L
    (43)
L L
L
E .
S
T T
2 1 2 1
ES
L L L
a L   , la
2 3
1
2 3
2



  
  
W a
W a
W
1
2





a W





 
L
W
1
a W
2











 
L
T
T





       
 


Pero como la longitud del conductor viene determinada para cada estado por
2 3
a W
2
2
24H
variación resultante ΔLθ + ΔLT debe ser igual a la variación de longitud correspondiente a cada
estado, o sea:
(44)
24 24 2
1
2
2












H
a
H
L a
Igualando ambas ecuaciones resulta:
    (45)
24
2
1
2
2
3
2 1 2 1













   
H
H
T T
ES
L  
Dado que L  a y H  T , resulta reemplazando L por a y H por T:
    (46)
24
1
2
1
2
2
2
2 1 2 1













   
T
T
T T
ES
  
Esta ecuación resulta ser de 3º grado para T. Si en lugar de fuerzas se opera con tensión y carga
específica resulta:
(48)
.
(47)
2
2

 
 



m mm
kg
S
W
mm
kg
S
T



 






  
 



2 1 24 


 

2

  

 





 
2
1
2
2

2
2
2 1
2
1
2
2


2
1



   
2
1

   
1 

 
C
T 
3100
kg
v manguitode hielo
1,22.350
  
3100
Wa
1 2
  
344,4
1,22
9 /
W
  
a
E
Resolviendo para σ2 resulta:
  0
24 24 2
1
2
2
2
2
2 1 2 1      


    
a E a E
E
  (49)
24 24
2
2
2
2
1
2
2 1 1
2
2
3
2


     
a E a E
E  



Agrupando resulta:
 
24
24
2
2
2
2
1
2
2 1 1


   
a E
B
a E
A E

  (50) 2
2
2    A  B
Esta ecuación puede resolverse por tanteos sucesivos adoptando valores para σ2 y verificando si
se satisface la igualdad.
Ejemplo:
Al/Ac = 300/50 mm2
E = 7700 kg/mm2
α = 18,9 . 10-6 1/ºC
W = 1,22 kg/m
a = 350 m




 
Estado
0,
5º
1 1
Calcular la flecha a la temperatura θ2 = 30ºC
3 2

1
1 2
2 2
1
3,54.10 / .
344,4
6,03
8.3100
8
kg mmm
S
kg mm
S
T
m
H
f
    
 

 

    
492,45
 
 2,17 492,45
2
1
 
   
7 449 7,25 495
2 2
 
   
7,5 543 7,24 493
2 2
 
   
7,2 485 7,23 491
2 2
1,22 3502
2  
24
2,172
24
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2 1 1
 
 


   
a E
B
a E
A E
7,26 497
2
 

Se adopta 7,23 T 7,23 x 344,4 2490 kg 2 2     
m
x
x
f 7,5
8 2490
8. Fenómenos naturales que inciden en el cálculo de líneas aéreas.
El desarrollo de las técnicas de A.T. ha hecho posible la transmisión de energía eléctrica a larga
distancia, para lo cual se ha debido investigar y resolver problemas eléctricos y mecánicos. Entre
estos últimos, son de destacar por su importancia los correspondientes al establecimiento de las
condiciones meteorológicas que fijan la hipótesis de cálculo de las líneas aéreas de transmisión.
Los diversos elementos de una línea deben ser calculados para poder resistir los esfuerzos
mecánicos que le sean aplicados bajo influencias de agentes exteriores. Los fenómenos de
carácter meteorológico que deben considerarse, son:
1) Presión del viento: ejerce su acción sobre los cables, cadenas de aisladores y estructuras.
2) Formación de manguito de hielo: el depósito de hielo o nieve sobre los conductores crea un
aumento de tensión mecánica sobre los conductores. La descarga brusca de este manguito
cuando comienza la fusión del hielo, provoca un movimiento vertical del conductor que
puede hacer peligrar la continuidad del servicio.
El conocimiento correcto de las condiciones meteorológicas está íntimamente ligado al costo de la
línea de transmisión y a la seguridad del servicio. La expansión del sistema eléctrico de la
República Argentina y su desarrollo obliga a atravesar con líneas de A.T. y M.A.T. zonas muy
adversas climáticamente. A partir de 1962, se fijaron cinco zonas climáticas que abarcan todo el
territorio nacional, con excepción de las Islas Malvinas y la Antártica Argentina (Figura 10). Dichas
condiciones fueron adoptadas en el país, con ligeras variantes en algunos casos, por todas las
empresas dedicadas a proyectos y construcción de líneas de transmisión.
8.1.Carga del viento sobre los conductores.
La presión que ejerce el viento sobre una superficie interpuesta a su paso, es muy compleja
determinar no obstante mediante estudios realizados, se han determinado coeficientes utilizados en
la fórmula de aplicación. La acción del viento sobre los conductores se supone horizontal y
perpendicular al conductor.
Las cargas sobre los conductores es función del vano y no de la velocidad del viento. Este criterio
utilizado por VDE introduce el concepto de Factor de Vano que conduce a la reducción de la carga
en vanos mayores de 200m. Se propone utilizar la siguiente expresión:














Q sen
V
 

m
kg
a

80
6, 0 : factor de vano (se toma igual a 1 para am < 200m)
h
0,8 m s
P k
m
V
80
. . . 0,6
16
.
2
 
Resultando:
α: coeficiente que considera la desigualdad de velocidad del viento, a lo largo del vano.
Corresponde: α = 0,85 si V < 30 m/s(110 km/h)
α = 0,75 si V > 30 m/s (110 km/h)
k: coeficiente aerodinámico que depende de la forma de la superficie expuesta a la acción del
viento. Vale: k = 1,1 para conductores cilíndricos
k = 0,7 para elementos cilíndricos de estructuras
k = 1,4 para elementos planos de estructuras
V: velocidad del viento (m/s)
Q: proyección de la superficie expuesta al viento por metro de conductor, según plano
perpendicular a su dirección y que para el caso de conductores cilíndricos es la superficie del plano
diametral vertical (m2/m)
β: ángulo determinado por la dirección del viento y el eje del conductor








m a
am: vano medio en metros (vano de viento)
Para la determinación de la carga del viento sobre un conductor mediante la expresión consderada,
se adopta la velocidad que corresponde a la altura de su punto de sujeción en la cadena de
aisladores o en la estructura (caso de hilo de guardia). Si los conductores no se encuentran a un
mismo nivel, se adoptará la velocidad del viento que corresponde al nivel del centro de gravedad
del conjunto.
La velocidad de viento adoptada para el cálculo, tiene validez hasta una altura de 20m. Alturas de
20 a 30m. se adoptarán valores incrementados en un 5%, mientras que para alturas superiores a
30m., se calcula la velocidad mediante la expresión:
( / )
100
V V h  
siendo:
V: velocidad de viento hasta la altura de 20m.
h: altura del punto considerado sobre el terreno (m)
En la Figura 11 se compara la variación de velocidad del viento con la altura adoptada en nuestro
país, respecto a otras normas.
8.2.Formación del manguito de hielo.
En zonas con temperaturas inferiores a 0ºC suele depositarse sobre el conductor un manguito de
hielo de espesor variable y prácticamente constante a lo largo del vano. La sobrecarga del hielo
produce además un incremento en la superficie de incidencia del viento.
El peso de este manguito de hielo se puede determinar mediante la expresión:

P 0,18 d (kg/m) h 
1 ,
 
1 1

2 ,
 
. .
. .
2
1



   
2
1
. .
. .


2
2
2
1
  
  
c 1 2
m


    
  
siendo:
d: diámetro del conductor en mm.
9. Vano crítico.
Un conductor tiene una solicitación mecánica mayor cuanto menor sea la temperatura y mayores
sean las sobrecargas del viento y/o hielo, debiendo quedar tensionado en el soporte con una
tensión inferior a la especificada como máxima admisible en las condiciones más desfavorables.
En algunos países las normas fijan las condiciones más desfavorables para cada zona geográfica,
calculándose el tendido de forma que para ese estado la tensión del conductor no supere el
máximo admisible. En nuestro país, las normas consideran dos estados por cada zona geográfica
en los que puede darse la máxima solicitación mecánica del conductor y establecen que para la
condición más desfavorable de los dos, el coeficiente de seguridad debe ser superior a un
determinado valor. En este caso, al fijarse dos estados debe determinarse cual de ellos produce la
máxima solicitación mecánica.
En la ecuación de estado puede observarse que fijado el tipo de conductor, la única variable es la
longitud del vano dado que los otros parámetros están fijados por las normas o son características
del conductor. Supongamos dos estados diferentes definidos por los subíndices 1 y 2 en los que se
puede producir la máxima solicitación mecánica.
2 2

Estado
Estado
Interesa determinar si existe una longitud de vano para la cual la tensión del conductor en los
soportes resulta igual para ambos estados.
 
24
24.
. .
2
2
2
2
1
2
2 1 1
2
2
3
2


     
a E a E
E  



Dividiendo por 2
2  resulta:
  2
2
2
2
2
2
1
2
2 2 1 1
24.
24.
.


    
a E a E
 E    
Suponiendo existir un vano al que denominaremos vano crítico (ac), para el cual las tensiones de
los dos estados son iguales al máximo admisible, se cumple que:
 
   2 
1
2
2 2
2
2 1
2
2
2
2
2 1
24
24 24
 

  


    
  
m
c
m
c
m
c
m m
a
a E a E
E
a a
 
(51)
24
2
1
2
2
2 1
 



 c m a

Observando la ecuación, se deduce que la existencia del vano crítico está ligado a la existencia de
un subradical positivo para lo cual un estado debe tener menor temperatura y el otro estado mayor
sobrecarga o viceversa. O sea que si θ1 < θ2 debe ser 1 2   .
El vano crítico permite determinar cual de los dos estados produce mayor solicitación mecánica al
conductor, según sea el vano en estudio mayor o menor que el vano crítico.
 
2
1
a E 
a E
    
2
2

 
a E

2
2

  
A B
E

2
1


8
2
2










a 4

x 
a x

   
2
1

8 a








x
E
B
A
  
   

 

2 1
2 2 1
1
2
2
2
2 1
2
2
2
2
1
2
2 2 1 1
24
24 24
 
  


 


    


Suponiendo que el estado 1 es el de menor temperatura y menos sobrecarga, resulta
  1 2 1 2   y   :
1) Si a = ac, A B A B m       0   1 2   
2) Si a > ac, el término A aumenta mientras que B no varía    0 2 1  
1 2    o sea que el estado más desfavorable es el 2, el de mayor sobrecarga
3) Si a < ac, el término A disminuye mientras que B no varía    0 2 1  
1 2    o sea que el estado más desfavorable es el 1, el de menor temperatura.
Finalmente se concluye que si el vano en estudio tiene mayor longitud que el vano crítico, el estado
más desfavorable es el de mayor sobrecarga; en cambio si el vano en estudio es menor, el estado
más desfavorable es el de menor temperatura.
10. Verificación de alturas libres.
A continuación se deduce la expresión que nos permite calcular la distancia entre un punto
cualquiera de la línea y un obstáculo ubicado debajo de ella. Dicha situación es de uso frecuente
dado que están normalizadas las distancias mínimas entre conductores de líneas eléctricas y
distintos tipos de obstáculos.
Para la obtención de la expresión, se observa la Figura 12.

1
a
f f f f m m    
Para
 


8
2
2
1
1
x
a  x  f 




   

 

2
1
2
2
2 2
1
2
1 1 4
8
4
1
8 8
a x
a
f








 
2
1
1 1 4
a
f f m


2
x
1
e h h f e h h f s s m
       4 1






0 1 0 a


 


x1: distancia del obstáculo al vértice.
kg m
980,5.10 /


  
mm
8
W
S
a
f
m
276,1
3,55.10 . 280
3,55.10 / .
f  
m
8.6,30
x
5,22
2 2
1






1 4 5,22 1 4
a
m
f f
kg m mm
m
60
280





 











h h e f m
m
      
3,20 3 4,26 10,46
4,26
0 1




2
2

a
      
2
1

Ejemplo:
Determinar la altura de los soportes hs para que la distancia de la línea al obstáculo no sea inferior a
3m. (Figura 12).
a = 280m., ACSR 240mm2, σ45ºC = 6,30 kg/mm2
x1 = 60m., h0 = 3,20m.
 
s
Dis tan cia mínima al suelo 10,46 5,52 4,94
m
1
3 2
3 2
2
3
2
  







 





11. Vano ideal de regulación.
La separación real entre estructuras se determina en base a las características del terreno, previa
determinación del vano económico. Por ello entre dos estructuras de retención, los vanos tienen
longitudes desiguales y por lo tanto las variaciones de temperatura y demás condiciones
meteorológicas, producen tensiones distintas en cada una de las estructuras dada la diferencia de
longitudes de vanos. Dichas diferencias deben ser absorbidas por las respectivas suspensiones, de
allí la pérdida de verticalidad de las mismas. Para que esto no ocurra, se realiza el cálculo de
tensiones para un vano denominado “vano ideal de regulación”.
Se admite que la tensión en todos los vanos varía con la temperatura de igual forma que lo haría el
vano ideal de regulación, no obstante las pequeñas diferencias se compensan mediante suaves
desviaciones de las cadenas de aisladores o bien mediante la flexión de los soportes. Estos efectos
modifican la longitud del conductor. De esta forma la tensión del conductor es la misma en todo el
tramo comprendido entre dos retenciones.
A continuación se determina que longitud debe tener el vano ideal de regulación a fin de que sean
mínimas las diferencias de tensión a compensar entre cada vano. De la ecuación de estado se
tiene:
   












2
1
2
2
3
2 1 2 1 2 1 24 

    
a
E
L L a
O sea que la variación de longitud que experimenta el cable por variación de temperatura y por
deformación elástica es igual a la variación de longitudes dada por la ecuación de la parábola.

1
2
1
2
2
2






a
    (52)
    
    
24
2
1
2
2
2 1 2 1
 

 
 


 



E
Si se considera el tramo de n vanos (Figura 13), y considerando un vano genérico ai la variación de
longitud por variación de la temperatura estará dada por:
a
   

 



 
2
2
3

a
     i i
L L a
      
 

i i i
2 1 2 1 2 1 24 



 

2
1
2
1
2
2

E
La variación total de la longitud del tramo resulta igual a la suma de la variación de longitud de cada
vano:
1 1


       





2

3 2
L L a
     i i i i a
  


2 1 2 1 2 1 24










    


2
1

2
1
2
2


E
Considerando las dos últimas igualdades que vinculan la variación por temperatura y la
deformación elástica con la ecuación de la parábola, resulta:
a
1 1
   






2
2
3

    
i
a
    


2 1 2 1 24










2
1

2
1
2
2


i
E
Comparando esta ecuación con la número 52, se observa que para un vano ar dado por:
n

1
n


3
i
i
r
a
a
a
1
la variación de longitud que experimenta ese vano ar al cual denominamos “vano ideal de
regulación” es igual a la variación total de longitud del conductor entre retenciones . O sea que la
variación de tensión en cada uno de los vanos que conforman el tramo, al variar al temperatura,
será igual a la variación de tensión que se produce en el vano ideal de regulación ar, resultando:
n

1
n


3
i
i
r
a
a
a
1
En forma aproximada, se admite que: ar = vano medio + 2/3 (vano máximo – vano medio)
siendo el vano medio: la media aritmética de los vanos componentes del tramo
vano máximo: el vano de mayor longitud del tramo
12. Vano económico.
La elección de la sección de aluminio necesaria para una línea aérea se determina por el estudio
económico del transporte de energía. La sección de los cables (en relación con la tensión del
servicio), es el único dato de partida de que se dispone para el diseño de la línea, además de las

condiciones del terreno y de las condiciones climáticas.
La tensión mecánica de los cables se determina considerando la seguridad del servicio y la
rentabilidad de la línea (para evaluar la rentabilidad de las construcciones se necesita una escala
de costos o cantidades referidas a una potencia). La elección del alma de acero dispuesto y la
distancia de los soportes, dependen de la forma constructiva de la línea aérea y de las
consideraciones relativas a los costos. Las magnitudes relacionadas (tensión mecánica, sección de
acero, distancia entre soportes) influyen sobre la carga de los soportes, flecha de los cables,
distancia entre conductores y altura de los soportes. Para cada uno de los valores relacionados
existe un valor con el que los costos son mínimos.
Al aumentar la tensión mecánica de los cables, se reduce la flecha de los mismos y
consecuentemente la altura necesaria del soporte. Si se aumenta el vano, se encarecen los
soportes, pero por otra parte se reduce el número de los mismos con el consiguiente disminución
de los costos.
En la Figura 14 se representa la curva que muestra la variación de costos de estructuras en función
del vano, observándose que los costos mínimos son los que resultan para vanos entre 350m y
400m (línea doble 220 kv); incrementándose el costo del conductor con el vano. La tensión de
servicio tiene en este caso una importancia secundaria.
Los costos de los aisladores, puestas a tierra, terreno, daños en el campo y costo de montaje,
dependen del número de soportes, disminuyendo el mismo a medida que aumenta el vano.
Las ventajas de los elevados esfuerzos mecánicos en los conductores (a mayor vano corresponden
costos menores) disminuyen por aumentar la proporción de soportes de ángulos y de retención.
Esto debe considerarse según las condiciones propias del lugar.
En algunas ocasiones se emplean tensiones elevadas en los cables que permiten conseguir una
pequeña reducción de los costos, pero en lo que a seguridad de servicio se refiere han de
considerarse con cierta prevención.
Los trabajos de proyección comprenden la determinación de la forma del soporte, es decir la
ubicación de los conductores en uno, dos p tres planos. La disposición en un plano presenta el
menor momento normal y el mayor momento de torsión.
Representando en una gráfica pesos vs. longitud de vano, se obtienen curvas que responden a
cada uno de los componentes de utilización para un tendido de línea. Superponiendo cada una de
las curvas se obtiene una resultante cuyo valor mínimo representa el costo mínimo de la línea y
consecuentemente se obtiene el vano que le corresponde. Lo dicho se representa en la Figura 14.
13. Método gráfico para cálculo mecánico.
Otro de los métodos utilizados para el cálculo mecánico es el método gráfico con la utilización de
los ábacos de Blondel. Mediante los mismos se resuelve gráficamente la ecuación de estado.
A continuación se analiza dicho método, demostrando la validez de los ábacos confeccionados a
partir de la ecuación de cambio de estado número 49.
 
2
2
1

2
1
2

24 24
2
2
   
2 1 1

2
2
3
2


     
a E a E
E  

Dividiendo por 2
2  resulta:

2
2
2
2
1
2
a E a E


  2
 E    
24 24
2
2
1
    
2 2 1 1

Multiplicando ambos miembros por
1 y agrupando, resulta:
E
A
a

E
a


2
1


2

2

2








2 2 
a a

  

a 64
f
2
2
a


  
24 8
8
2
2
a
f

2 2


a
24
f



8
2
E
     

 

 
 




 
 2
1
2
1
1
2
2
2
2 2
24 24
1
Esta última expresión establece que el pasaje de un estado 1   1 1 1 , ,   a otro estado 2
  2 2 2 , ,   , se realiza de tal modo que la función representada por uno de los dos términos de
esta relación permanece constante, siendo la que corresponde a los datos dados. Tomando en
cuenta esa expresión, se puede escribir:
(53)
24
0
24
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2








E
a
A
E
a
A
 




 
  




 
Además se sabe que:
f
f
8 
8
Reemplazando en (53), resulta:
(54)
3 8
2
2 2
2
2
2
2
2
2 4
2
2
2
2
2
E f
a
A
E f
a
A




 

  
Las expresiones (53) y (54) pueden escribirse en forma general:







  
 



 
E f
a
A
E
a
A







3 8
2
2
Observando el sistema de ecuaciones indicado, puede establecerse que:
a) Con la primera puede variarse a y θ – A dejando la tensión σ = cte.
b) Con la segunda ecuación, puede variarse a y θ – A dejando la flecha f constante.
El ábaco de Blondel se construye para una determinada carga  . No obstante ell, pueden
presentarse diferentes valores de  , por lo que Blondel en sus ábacos introduce el Coeficiente de
sobrecarga “m”, el que está dado por:

0
m    m
2 2 2

  
24
8
2







m a
f


0
 

 0: peso propio del conductor
 : peso total del conductor
Introduciendo el concepto de coeficiente de sobrecarga, resulta:
(55)
3 8
2
2
2

  
E f
a
A
E
a m
A




 

En la Figura 15 se representa en un sistema de ejes coordenados el sistema de ecuaciones (55),
conformando el ábaco de Blondel.
Sobre el eje de las abscisas se toma la longitud del vano, mientras que sobre el eje ordenado se
toma θ – A. Luego se determinan las familias de curvas de σ y f constantes, siendo las mismas
distintas según la naturaleza del conductor pues en el cálculo se adopta un α, un  y un E
determinados, pero para un tipo de conductor dado las fórmulas de Blondel son generales.
En la utilización del ábaco de Blondel, se considera diferencia de temperatura y no valores
absolutos para pasar de un estado a otro. Vale decir que el eje de ordenadas sirve de referencia
para estudiar los efectos de las variaciones de temperatura.
Los gráficos 16.a y 16.b, son los utilizados en la práctica para cables de cobre y aluminio
respectivamente.
13.1. Aplicación de los gráficos.
1) Caso en que el conductor está sometido solo a la acción de su propio peso
a. Si se da como dato la σi, entrando con ai que es dato, se llega a la curva de valor conocido
σi y se halla la flecha fi (se indica en la Figura 15).
Inversamente, si se conoce fi entrando con a puede hallarse σi.
b. Considerando una dada tensión σi, puede encontrarse las flechas f correspondiente a
distintos vanos (se indica en Figura 15).
c. Lo mismo puede efectuarse para una dada flecha fn ya que puede determinarse para
distintos vanos las tensiones respectivas (se indica en la Figura 15).
2) Caso en que el conductor está sometido a su propio peso y se pasa de una temperatura a
otra
Basta en este caso desplazarse sobre la vertical a una altura igual a la diferencia de las dos
temperaturas, hacia arriba si la misma es positiva, o hacia abajo si por el contrario es negativa. Se
encuentra procediendo de ese modo un nuevo punto al que le corresponde una determinada
tensión y flecha.
3) Caso en que el conductor está sometido a la acción de una sobrecarga
El efecto de la sobrecarga se tiene en cuenta mediante el coeficiente de sobrecarga m, el cual es
representativo del aumento de peso del conductor.

2
0


    
 a
0
  

1 0
2
0


1
f


0 
m 
De las expresiones (55), puede suponerse que se trata de un aumento del vano que pasa de a a
ser a.m, vale decir que al trabajar con el ábaco de Blondel y considerarse un estado 1 sin
sobrecarga, esta última expresión será válida haciendo m = 1, quedando:
1
1
2
1
2
24



E
a
A
siendo la flecha:
1
2
8
f 
Con sobrecarga, sería para el estado 1:
(56)
8
24
1
2
1
1
2
1
2
1
2




a m
f
E
a m
A

El valor m1.a se denomina “vano ficticio”
El valor f1 se denomina “flecha ficticia”
De acuerdo a lo expuesto, en el ábaco de Blondel bastaría desplazarse horizontalmente hasta el
valor m1.a y determinar los valores σ1 y f’1 (Figura 17).
El valor encontrado para σ1 es el correcto, mientras que el de la flecha cuyo valor real está dado por
a expresión (56), resulta obtenido a través de un vano que es m veces superior a su valor real por
una expresión que resulta:
1
1
1
0
2
1
2
1
'
8
'
m
f
a m
f   

4) Si se considera simultáneamente el efecto de temperatura y sobrecarga, bastará realizar
sucesivamente las dos operaciones señaladas anteriormente.
13.2. Ejemplo.
Dada las condiciones de un tendido de un conductor de M.T., determinar las condiciones de trabajo
en las 3 hipótesis que se establecen a continuación empleando el ábaco de Blondel respectivo.
Material utilizado: Cu
S = 25 mm2 σr = 45 kg/mm2
D = 6,3 mm α = 16.10-6 1/ºC
a = 50 m E = 10000 kg/mm2

Estado de partida:
kg mm kg mm m
 
 
6 / 0,0089 / .
15º 0
    v
0,0126 / .
50.0,0063
 
25
1,73
0,0154

  

0,0089
1
' 1,07
1
f 0,618
1   
18.0,0063
kg mmm v   
  0,00453  0,0089 
0,01 kg / mmm
.
1,123
0,01
 
0,0089
2
0
2
0
2
0
 
v C V

Hipótesis:
1) θ1 = 15ºC; Pv1 = 50 kg/m2
2) θ2 = -25ºC; Pv2 = 18 kg/m2
3) θ3 = 45ºC; Pv3 = 0
Determinar:
1) f0; 2) σ1, f1; 3) σ2, f2; 4) σ3, f3
Cálculos:
1) Con el vano a = 50m y σ0 = 6 kg/mm2, se entra en el ábaco obteniendo en el punto de
intersección A el valor de f0 = 0,47m (Figura 18).
2) 2
0
2
1 1
    2 2 2

1
2
0,0126 0,0089 0,0154 / .
1
kg mmm
kg mmm v
  

m
a ' a . m 50.1,73 86,5
m
1
0
1
  
Desde el punto A nos desplazamos horizontalmente hasta el nuevo valor a’, encontrando el punto B
(Figura 19). Para dicho punto corresponde σ1 = 8 kg/mm2, f’1 = 1,07 m.
m
f
m
1,73
1
3) 2 0,00453 / .
25
2
   
m
' 50.1,123 56,15
2
2 2 2
2
 
a
Desde el punto B nos desplazamos horizontalmente hasta la vertical correspondiente al vano ficticio
encontrado, una vez allí y teniendo en cuenta que en este estado existe una temperatura de -25ºC,
la diferencia respecto al estado anterior es de 40ºC que se toman hacia abajo y encontramos el
punto C (Figura 20).
2
2  11,8 kg / mm

0,30
f f 0,267 m
' 0,30 2 2    
1,123
4) Volvemos al punto A dado que no existe sobrecarga, pero se debe tener en cuenta que la
temperatura se ha incrementado a 45ºC, por lo que la diferencia es de 30ºC que se tiene
que tomar hacia arriba obteniendo el punto D, para el cual:
kg mm
3,9 /
 
f m
0,72
3
2
3

El procedimiento del punto (4) se muestra en la Figura 20.
14. Bibliografías:
1) Viqueira Landa
2) Luis M. Checa – “íneas de transporte de energía”
3) A. Mauduit – “Installations Eléctriques” tomos I – II – III
4) Especificaciones Técnicas – Normas IRAM – VDE
5) Revistas electrotecnia

Figura 16.a

Cálculo de conductores aéreos

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (7)

Similar a Cálculo de conductores aéreos

Similar a Cálculo de conductores aéreos (20)

Más de William Ronald Campean Calderon

Más de William Ronald Campean Calderon (20)

Último

Último (15)

Cálculo de conductores aéreos