resistencia de materiales

1. Universidad Nacional de San Agustín
1703189 RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Ing. Juan Mario Paniagua Vargas
2022-A

2. Capítulo 7
ELEMENTOS SOMETIDOS A
TORSION

3. Muchos elementos de maquinas, estructuras, están sometidas a una
fuerza de torsión.
INTRODUCCION
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4. Al tipo de carga que tiende a torcer una barra alrededor de su eje
longitudinal, se le llama momento torsionante, torque o simplemente
Par (𝑴𝒕)
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5. Los elementos de sección circular son los mas comúnmente asociados con
este tipo de carga, y se presentan en muchas aplicaciones practicas,
especialmente en el campo de diseño de maquinas.
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6. Por el hecho de transmitir potencia de un motor a una polea produce
en el eje que conecta a ambos un movimiento de rotación llamado
torsión.
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7. Las cargas de torsión se originan por medio de poleas, engranes,
catarinas, ruedas dentadas, etc. Que mueven o son movidas mediante eje
o flechas.
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8. El par de torsión es un momento que tiende a torcer un elemento sobre su
eje longitudinal. Su efecto es de gran importancia en el diseño de ejes o
arboles de transmisión utilizados en vehículos y maquinas.
DEFORMACION POR TORSION DE
UN EJE CIRCULAR
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9. Cuando un par de torsión externo se aplica sobre
un eje, en este se genera un par de torsión
interno correspondiente.
DEDUCCION DE LAS FORMULAS
DE TORSION
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10. En la figura 7.2 se muestra un eje circular
macizo, aplicar un momento torsional T a los
extremos del eje tal como se muestra.
𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟕. 𝟐
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11. Deformacion tangencial (𝜹) igual DE
La longitud de esta deformación es el arco de
circulo de radio (𝝆) y el Angulo 𝜽
𝜹 = 𝑫𝑬 = 𝝆.𝜽 …… ……(𝟕.𝟏)
En estas condiciones la distorsión es:
𝜸 = =
𝜹 𝝆.𝜽
𝑳 𝑳
…… ……… …(𝟕.𝟐)
𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟕. 𝟑
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12. El esfuerzo cortante según la ley de Hooke es:
𝑟 = 𝑮. 𝜸 = 𝑮.
𝝆. 𝜽
𝑳
… … …… … . (𝟕. 𝟑)
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13. Un elemento diferencial de área estará sometido
a una fuerza resistente:
𝒅𝑭 = 𝑟. 𝒅𝑨 … … … … … … (𝟕. 𝟒)
Para que se cumplan las condiciones de
equilibrio estático, apliquemos la condición.
Σ𝑴 = 𝟎
𝑻 = ∫𝝆 . 𝒅𝑭 = ∫𝝆 𝑟. 𝒅𝑨 … … … … (𝟕. 𝟓)
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14. Reemplazando la ecuación 7.3 en 6.5 queda:
𝑳
𝑮. 𝜽
𝑻 = ∫𝝆𝟐 . 𝒅𝑨 … … … … … . (𝟕. 𝟔)
Haciendo Σ 𝝆 𝟐 . 𝒅𝑨 = 𝑱, es el momento polar
de inercia de la seccion recta.
𝑻 =
𝑮. 𝜽
𝑳
. 𝑱 … … … … … . . (𝟕. 𝟕)
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15. 𝒔
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16. El esfuerzo cortante varia linealmente a lo largo de
cada línea radial de la sección transversal del eje.
En la figura 7.5 se muestran los valores del
momento polar de inercia para secciones
circulares.
𝑟 =
𝑻. 𝝆
𝑱
…… ………. . (𝟕.𝟗)
𝑟𝒎𝒂𝒙 =
𝑻. 𝒓
𝑱
… ………… .. (𝟕.𝟏𝟎)
𝑬𝒋𝒆 𝑴𝒂𝒄𝒊𝒛𝒐, 𝑬𝒋𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐,
𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒍𝒆𝒏𝒂
𝑟 = 𝑬𝒔𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝑻 = 𝑷𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒓𝒔𝒊𝒐𝒏
EJE SOLIDO
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17. 𝑱 =
𝝅.
𝒓𝟒
=
𝝅. 𝒅𝟒
… … … … … (𝟔. 𝟏𝟏)
𝟐 𝟑𝟐
Reemplazando (6.11) en (6.10)
𝑟𝒎𝒂𝒙 = =
𝟐. 𝑻 𝟏𝟔. 𝑻
𝝅. 𝒓𝟑 𝝅. 𝒅𝟑
… … … (𝟔. 𝟏𝟐)
𝑬𝒋𝒆 𝑴𝒂𝒄𝒊𝒛𝒐, 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒍𝒆𝒏𝒂
𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟕.𝟓: 𝑬𝒋𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐
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18. El esfuerzo cortante varia de la misma manera a lo largo de un plano
axial. El momento polar de inercia (𝑱) puede determinarse con la
ecuacion (𝟕.𝟏𝟑)
𝑱 = 𝑹𝟒 − 𝒓𝟒
𝝅
𝟐 𝟑𝟐
𝝅
= 𝑫𝟒 − 𝒅𝟒 … … … (𝟕. 𝟏𝟑)
𝑟𝒎𝒂𝒙
𝟐. 𝑻. 𝑹
=
𝝅(𝑹𝟒 − 𝒓𝟒)
=
𝟏𝟔. 𝑻. 𝑫
𝝅(𝑫𝟒 − 𝒅𝟒)
… … … . (𝟕. 𝟏𝟒)
𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒉𝒖𝒆𝒄𝒂, 𝒆𝒋𝒆 𝒉𝒖𝒆𝒄𝒐
𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝟕. 𝟔: 𝑬𝒋𝒆 𝒕𝒖𝒃𝒖𝒍𝒂𝒓
EJE TUBULAR
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19. Quizá la aplicación mas importante de los elementos sometidos a torsión
es la de transmitir la potencia desde un sistema que la “produce” como
puede ser un motor eléctrico, una turbina, un motor de combustión interna
etc, a un sistema que la “consume” como puede ser un generador eléctrico,
un compresor, un ventilador, etc.
TRANSMISION DE POTENCIA
MEDIANTE EJES
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20. De acuerdo a la mecánica clásica:
𝑾 = 𝑭. 𝒅
𝑾 = 𝑴𝑻. 𝜽
Derivando respecto al tiempo:
𝒅𝑾 𝒅𝜽
𝒅𝒕
= 𝑴𝑻.
𝒅𝒕
𝑷𝒐 = 𝑴𝑻. 𝒘
= 𝑻. 𝒘 … … (𝟕. 𝟏𝟓)
𝑷𝒐
= 𝑴𝑻
TRANSMISION DE POTENCIA
MEDIANTE EJES

21. El momento torsionante transmitido puede expresarse
como:
𝑻 =
𝑷𝒐
𝟐𝝅. 𝒇
… … … … (𝟕. 𝟏𝟔)
𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑻 = 𝑴𝑻 = 𝑻𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆, 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒕𝒐𝒓𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆
𝑷𝒐 = 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 (𝒘𝒂𝒕𝒕)
𝒘 = 𝒄𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆
𝒇 = 𝑭𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝑪𝒐𝒏 𝒇𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂, 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒋𝒆𝒔 𝒚 𝒕𝒖𝒃𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒔𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒎𝒊𝒕𝒊𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝒅𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂.
TRANSMISION DE POTENCIA
MEDIANTE EJES
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22. Los momentos positivos se representan sobre el eje del diagrama y
los negativos debajo.
DIAGRAMA DE MOMENTO
TORSOR
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23. Un eje o flecha sometido a torsión respecto al eje,
no es suficiente para para determinar los pares de
torsión.
Las ecuaciones son:
Σ 𝑴 = 𝟎
𝑻𝑪 = 𝑻𝑨 + 𝑻𝑩 … … … … (𝟕. 𝟏𝟕)
𝜽𝑨 = 𝜽𝑩 … … … … … … . (𝟕. 𝟏𝟖)
𝑫. 𝑪. 𝑳
𝑻
MIEMBROS ESTATICAMENTE
INDETERMINADOS
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24. Una barra cuadrada retiene la misma apariencia solo si rota 𝟗𝟎𝟎 𝒐
𝟏𝟖𝟎𝒐, siguiendo una linea de razonamiento similar a los ejes de seccion
circular.
TORSION EN BARRAS DE
SECCION NO CIRCULAR
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25. Las ecuaciones que definen respectivamente las distribuciones de
deformación y de esfuerzo en un eje circular elástico, no pueden usarse
para elementos no circulares.
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26. Llamando “L” la longitud de la barra, a y b el lado mas ancho y el mas
angosto, respectivamente, de la sección transversal, y T la magnitud de los
torques aplicados a la barra, se tiene que el esfuerzo cortante máximo ocurre
a lo largo de la línea central de la cara mas ancha y es igual a:
𝑟𝒎𝒂𝒙 =
𝑻
𝟏
𝑪 . 𝒂. 𝒃𝟐
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27. De otro lado, el ángulo de torsión puede expresarse como:
𝜽 = ∅ =
𝑻. 𝑳
𝟐
𝟑
𝑪 . 𝒂. 𝒃 . 𝑮
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28. Los coeficientes 𝑪𝟏 𝒚 𝑪𝟐 dependen solo de la relacion
representan en la Tabla 7.1 Para valores de dicha relacion.
𝒂Τ𝒃 y se
a/
𝒃 𝑪𝟏 𝑪𝟐
1.0 0.208 0.1406
1.2 0.219 0.1661
1.5 0.231 0.1458
2.0 0.246 0.229
2.5 0.258 0.249
3.0 0.267 0.263
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29. En el caso de ejes no circulares huecos con pared delgada, puede obtenerse
una buena aproximación de la distribución de esfuerzos en el eje mediante
un calculo simple.
∎
TORSION DE TUBOS DE SECCION NO
CIRCULAR DE PARED DELGADA
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30. Considérese un eje cilíndrico hueco de sección no circular sometido a
torsión. Aunque el espesor “t” de la pared puede variar dentro de la
sección transversal.
Las únicas fuerzas involucradas son las fuerzas cortantes
𝑭𝑨 𝒚 𝑭𝑩 ejercidas sobre los extremos de la porcion AB se tiene:
Σ 𝑭𝒙 = 𝟎
𝑭𝑨 − 𝑭𝑩 = 𝟎
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31. El esfuerzo cortante 𝑟 en cualquier punto dado
de la pared puede darse en terminus del
torque T.
𝑟 =
𝑻
𝟐𝒕. 𝒂
𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:
𝒕 = 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒔𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒅 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐
𝒂 = 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍
𝑟 = 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒔𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒗𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒅
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32. El ángulo de torsión de un eje hueco de pared delgada puede obtenerse
usando el método de la energía. Suponiendo una deformación elástica, se
puede mostrar que el ángulo de torsión de un eje de pared delgada es:
∎
𝑻. 𝑳 𝒅𝒔
𝜽 = ∅ = . ∫
𝟒. 𝒂𝟐. 𝑮 𝒕
𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒔𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒍𝒐 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒅
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33. 𝒔
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34. 𝒔
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35. 𝒔
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36. 𝒔
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37. 𝒔
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38. 𝒔
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40. 𝒔
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41. ∎

42. 𝒔
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44. 𝒔
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45. 𝒔
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46. Universidad Nacional de San Agustín
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