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Resistencia de materiales trabajo doble integracion
- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL RESISTENCIA DE MATERIALES I METODO DE DOBLE INTEGRACION Y EJERICIOS DE APLICACIÓN DOCENTE: ING. Jannyna Beatriz Bernilla Gonzales GRUPO N°: 9 INTEGRANTES: 1. DEL ÁGUILA TAPIA LUIGUI JHERZON 2. CHUMACERO VARGAS AARON ADONAI
- 2. INTRODUCCIÓN Las piezas flexadas sufren desplazamientos o deflexiones, cuyo control es tan importante para garantizar el buen comportamiento estructural como la verificación de la resistencia. Cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepción de las mismas por parte de los usuarios genera en éstos una sensación de alto riesgo debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematuros u originar efectos vibratorios inadecuados. Grietas y fisuras en edificio sometido a vibraciones producto de maquina industria, el daño es las juntas de mortero.
- 3. El conocimiento de las deformaciones resulta también sumamente importante desde el punto de vista constructivo. En efecto, si se conoce por ejemplo, la flecha máxima que tendrá una viga de hormigón armado sometida a las cargas permanentes, cuando se la construye puede contraflecharse el encofrado de manera tal de compensar esa deformación, de modo que la pieza quede para ese estado de cargas sin deformación aparente. El análisis de las deflexiones resulta imprescindible para la resolución estática de piezas flexadas hiperestáticas. Todo esto ha motivado la existencia de numerosos métodos de cálculo de deformaciones, algunos aplicables a cualquier tipo de estructuras y otros solamente a estructuras lineales. A continuación analizaremos algunos de estos métodos. Agrietamiento en puro debido a deflexión en viga
- 4. OBJETIVOS Reconocer, interpretar y explicar el método de integración doble para evaluar la deflexión de las vigas ante las cargas que se le aplican. OBJETIVO GENERAL: OBJETIVOS ESPECÍFICOS: : Reconocer la importancia del cálculo de deflexiones para el análisis estructural. Establecer correctamente las ecuaciones diferenciales para el desarrollo de problemas.
- 5. Deformación en vigas La viga ante la acción de cargas externas, ubicadas en uno de los planos principales de inercia y actuantes por la normal con su eje, hace que el eje de la viga se deforme en forma de curva en el plano de cargas. El eje deformado de la viga recibe el nombre de línea elástica o curva elástica. a. Deflexión o flecha (𝑦𝐴): Es el desplazamiento vertical de un punto de la viga, desde su posición inicial hasta su nueva ubicación en la línea elástica. b. Pendiente o ángulo de giro (𝜃𝐴): Es el ángulo que gira cada sección transversal alrededor del eje neutro en relación a su posición inicial y se determina por la tangente trazada al punto indicado en la curva elástica respecto a la línea horizontal de su posición inicial.
- 6. Método de Doble Integración Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.
- 7. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELÁSTICA Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura: 1 𝜌 = 𝑀(𝑋) 𝐸. 𝐼 Donde “𝜌" es el radio de curvatura, “E” el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (“x”).
- 8. Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión 1 𝜌 = 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 (1 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 )2) 3 2 Donde, dada la relación ‘y = f(x)’: Corresponde a la primera derivada de la función 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Corresponde a la segunda derivada de la función 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2
- 10. Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales. 1 𝜌 = 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑀(𝑋) 𝐸. 𝐼 Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada(dy/dx) ; obtenemos entonces que:
- 11. Recordando la ecuación diferencial de la elástica: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑀(𝑋) 𝐸. 𝐼 El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos: 𝐸. 𝐼. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 𝑥 𝑀(𝑥). 𝑑𝑥 + 𝑐1
- 12. 𝐸. 𝐼. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 𝑥 𝑀(𝑥). 𝑑𝑥 + 𝑐1 Donde ‘ 𝑐1 ’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = tan 𝜃 = 𝜃 Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación: Ecuación diferencial de la pendiente de la viga
- 13. Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos: 𝐸. 𝐼. 𝑦(𝑥) = 0 𝑥 0 𝑥 𝑀 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑐1 . 𝑑𝑥 + 𝑐2 Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga. El término ‘𝑐2 ’ es una constante de integración que, al igual que ‘ 𝑐1 ’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información. Ecuación diferencial de la deflexión de la viga
- 14. Condiciones de frontera Al llevar a cabo estas integraciones aparecen las constantes de integración (C1 y C2) que deben determinarse a partir de las llamadas condiciones de frontera, que vienen siendo valores de las deformaciones que dependen de las condiciones de apoyo de la viga, y de condiciones de continuidad de la viga
- 15. 𝒚𝟏(𝒙𝑨) = 𝒚𝟐(𝒙𝑨) 𝜽𝟏(𝒙𝑨) = 𝜽𝟐(𝒙𝑨) Ecuaciones de continuidad 𝒚𝟏(𝒙𝑨) = 𝒚𝟐(𝒙𝑨)
- 18. Realizamos el DCL F L A 𝑅𝐴𝑦 𝑀𝐴 + 𝐴 0 = 0 → 𝑀𝐴 = −𝐹𝐿 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 =F FL (-) Diagrama de momento flector 𝑀𝑧 𝑥 = −𝐹𝐿 + 𝐹𝑥 𝑀𝑧 𝑥 𝑀𝑧 𝑥 = 𝐹(𝑥 − 𝐿)
- 19. 𝜽´ 𝒙 = 𝑴 𝑬𝑰 → 𝜽 𝒙 = 𝑴(𝒙) 𝑬𝑰 𝒅𝒙 + 𝒌𝟏 𝒚´(𝒙) = 𝜽(𝒙) …Giro …Flecha Reemplazando: 𝜽 𝒙 = 𝑭 𝒙 − 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝑲𝟏 y 𝒙 = 𝑭 𝒙−𝑳 𝟑 𝟔 + 𝑲𝟏𝒙 + 𝑲𝟐
- 20. CONDICIONES DE FRONTERA 𝒙 = 𝟎 → 𝒚𝟏 = 𝟎 Si: 𝒙 = 𝟎 → 𝜽𝟏 = 𝟎 Si: 𝜽 𝒙 = 𝑭 𝒙 − 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝑲𝟏 𝜽 𝟎 = 𝑭 𝟎 − 𝑳 𝟐 𝟐 + 𝑲𝟏 𝑲𝟏 = − 𝑭𝑳𝟐 𝟐𝑬𝑰 y 𝒙 = 𝑭 𝒙−𝑳 𝟑 𝟔 + 𝑲𝟏𝒙 + 𝑲𝟐 y 𝟎 = 𝑭 𝟎−𝑳 𝟑 𝟔 + 𝑲𝟏(𝟎) + 𝑲𝟐 𝑲𝟐 = − 𝑭𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰
- 21. Reemplazando el K1 y K2 en las ecuaciones tenemos: 𝜽 𝒙 = 𝑭 𝟐𝑬𝑰 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝑳) 𝒚 𝒙 = 𝑭 𝟐𝑬𝑰 (𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐𝑳) Hallando la flecha máxima : 𝒙 = 𝑳 𝒚 𝑳 = 𝑭 𝟐𝑬𝑰 (𝑳𝟑 − 𝟑𝑳𝟑 ) 𝒚 𝑳 = − 𝑭𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝐲(𝒙) 𝐲𝐦𝐚𝐱
- 22. Calcular la rotación en A y la deflexión en B. Considerar: 𝐸 = 2𝑥106𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝐼 = 44537 𝑐𝑚4 SOLUCIÓN Realizamos el DCL en la viga ABC y calculamos las reacciones A y B + 𝐴 0 = 0 → 𝐶𝑦 6 = 15(2) 𝐶𝑦 = 5 𝑡𝑛 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = 15 − 𝐶𝑦 𝐴𝑦 = 10 𝑡𝑛
- 23. Calculamos las Ecuaciones Diferenciales de la curva elástica: Tramo AB : 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑚 𝑀(𝑥) − 10𝑥 = 0 𝑀(𝑥) = 10𝑥 Tramo BC : 2𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚 𝑀(𝑥) + 15 𝑥 − 2 − 10 𝑥 = 0 𝑀(𝑥) = 30 − 5𝑥 −𝑉 𝑥 + 10𝑡𝑛 = 0 𝑉(𝑥) = 10 −𝑉 𝑥 − 15𝑡𝑛 + 10𝑡𝑛 = 0 𝑉(𝑥) = −5
- 24. Calculamos las Ecuaciones para las Rotaciones y Deflexiones Tramo AB : 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑚 𝜃1 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 10𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 (5𝑥2 + 𝐶1) 𝑦1 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 (5𝑥2 + 𝐶1) 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 ( 5𝑥3 3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2) Tramo BC : 2𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑚 𝜃2 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 (30 − 5𝑥 )𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 (30𝑥 − 5 2 𝑥2 + 𝐶3) 𝑦1 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 (30𝑥 − 5 2 𝑥2 + 𝐶3) 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼 (15𝑥2 5𝑥3 6 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4)
- 25. Condiciones de frontera 𝒙 = 𝟎 → 𝒚𝟏 = 𝟎 Si: 5 0 3 3 + 𝐶1 0 + 𝐶2 = 0 𝐶2 = 0 … . (1) 𝒙 = 𝟔 → 𝒚𝟐 = 𝟎 Si: 15 6 2 − 5 6 3 6 + 𝐶3 6 + 𝐶4 = 0 6𝐶3 + 𝐶4 = −360 … . (2) Condiciones de continuidad 𝒙 = 𝟐𝒎 → 𝜽𝟏 = 𝜽𝟐 Si: 𝜃1 = 1 𝐸𝐼 (5𝑥2 + 𝐶1) 𝜃2 = 1 𝐸𝐼 (30𝑥 − 5 2 𝑥2 + 𝐶3) 5 2 2 + 𝐶1 0 = 30 2 − 5 2 2 2 + 𝐶3 𝐶1 − 𝐶3 = 30 … . . (3)
- 26. 𝒙 = 𝟐𝒎 → 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 Si: 𝑦1 = 1 𝐸𝐼 ( 5𝑥3 3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2) 𝑦2 = 1 𝐸𝐼 (15𝑥2 5𝑥3 6 + 𝐶3𝑥 + 𝐶4) 5 2 3 3 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = 15 2 2 + 𝐶3 2 + 𝐶4 2𝐶1 + 𝐶2 − 2𝐶3 − 𝐶4 = 40 … . (4) Resolviendo el sistema de ecuaciones 𝐶2 = 0 6𝐶3 + 𝐶4 = −360 𝐶1 − 𝐶3 = 30 2𝐶1 + 𝐶2 − 2𝐶3 − 𝐶4 = 40 𝐶1 =-33.33 𝐶2 = 𝟎 𝐶3 =-63.33 𝐶4 = 𝟐𝟎
- 27. Calculando rotación en A: 𝜃1 = 1 𝐸𝐼 5𝑥2 + 𝐶1 = 1 𝐸𝐼 (5𝑥2 − 33.33) 𝑬 = 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝑰 = 𝟒𝟒𝟓𝟑𝟕 𝒄𝒎𝟒 𝜃𝐴 𝑥=0 = 1 𝐸𝐼 (5(0)2−33.33) 𝜃𝐴 = −3.7x10−3rad Calculando la deflación en B: 𝑦1 = 1 𝐸𝐼 5𝑥3 3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 = 1 𝐸𝐼 ( 5𝑥3 2 − 33.33𝑥) 𝑬 = 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟔 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝑰 = 𝟒𝟒𝟓𝟑𝟕 𝒄𝒎𝟒 𝑦𝐵 𝑥=2 = 1 𝐸𝐼 ( 5 2 3 2 − 33.33(2)) 𝑦𝐵 = −0.0060m = −0.60cm
- 28. Resolver la viga mostrada y determinar su deflexión máxima. Considerar: 𝐸 = 19𝑥103𝑁/𝑚𝑚2 𝑏 = 300𝑚𝑚 h= 400𝑚𝑚
- 29. Determinamos el grado de indeterminación: 𝐺𝐼 = 𝑅 − 3 = 6 − 3 = 3 Isostatizamos la viga: Calculamos las ecuaciones diferenciales de la curva elástica: Tramo 1 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚 𝑴(𝒙) + 𝟑𝟎𝒙 𝒙 𝟐 + 𝑴𝑨 − 𝑽𝑨𝒙 = 𝟎 𝑴(𝒙) = 𝑽𝑨𝒙 − 𝑴𝑨 − 𝟏𝟓𝒙𝟐 −𝑽 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝑽𝑨 = 𝟎 𝑽 = 𝑽𝑨 − 𝟑𝟎𝐱 𝑽𝑨 + 𝑽𝑪 = 𝟏𝟐𝟎
- 30. Tramo 2 : 4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚 𝑴(𝒙) + (𝟑𝟎𝒙𝟒) 𝒙 − 𝟐 + 𝑴𝑨 − 𝑽𝑨𝒙 = 𝟎 𝑴(𝒙) = 𝑽𝑨𝒙 − 𝑴𝑨 − 𝟏𝟐𝟎(𝒙 − 𝟐) Calculamos las ecuaciones para las rotaciones y deflexiones: Tramo 1 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚 𝜽𝟏 = 𝑴 𝒙 𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟏 𝑬𝑰 (𝑽𝑨𝒙 − 𝑴𝑨 − 𝟏𝟓𝒙𝟐)𝒅𝒙 = 𝟎 𝜽𝟏 = 𝟏 𝑬𝑰 ( 𝑽𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝑴𝑨𝒙 − 𝟏𝟓 𝟑 𝒙𝟑 + 𝑪𝟏) 𝒚𝟏 = 𝑴 𝒙 𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟏 𝑬𝑰 ( 𝑽𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝑴𝑨𝒙 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝑪𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎 𝒚𝟏 = 𝟏 𝑬𝑰 ( 𝑽𝑨 𝟔 𝒙𝟑 − 𝑴𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓 𝟒 𝒙𝟒 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐) − 𝑽 − 𝟑𝟎 𝟒 + 𝑽𝑨 = 𝟎 𝑽 = 𝑽𝑨 − 𝟏𝟐𝟎
- 31. Tramo 2 : 4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚 𝜽𝟐 = 𝑴 𝒙 𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟏 𝑬𝑰 [𝑽𝑨𝒙 − 𝑴𝑨 − 𝟏𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐 ]𝒅𝒙 = 𝟎 𝜽𝟐 = 𝟏 𝑬𝑰 [ 𝑽𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝑴𝑨𝒙 − 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝑪𝟑) 𝒚𝟏 = 𝑴 𝒙 𝑬𝑰 𝒅𝒙 = 𝟏 𝑬𝑰 [ 𝑽𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝑴𝑨𝒙 − 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝑪𝟑]𝒅𝒙 = 𝟎 𝒚𝟐 = 𝟏 𝑬𝑰 [ 𝑽𝑨 𝟔 𝒙𝟑 − 𝑴𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟑 + 𝑪𝟑𝒙 + 𝑪𝟒]
- 32. Condiciones de frontera 𝒙 = 𝟎 → 𝒚𝟏 = 𝟎 Si: 𝑉𝐴 6 0 3 − 𝑀𝐴 2 0 2 − 5 4 0 4 + 𝐶1 0 + 𝐶2 = 0 𝐶2 = 0 … . (1) 𝒙 = 𝟎 → 𝜽𝟏 = 𝟎 𝑉𝐴 2 0 2 − 𝑀𝐴(0) − 5 0 3 + 𝐶1 = 0 𝐶1 = 0 … . (2) 𝒙 = 𝟖 → 𝒚𝟐 = 𝟎 Si: 𝑉𝐴 6 8 3 − 𝑀𝐴 2 8 2 − 20 8 − 2 3 + 𝐶3 8 + 𝐶4 = 0 256 3 𝑉𝐴 − 32𝑀𝐴 + 8𝐶3 + 𝐶4 = 4320 … . (3) 𝑉𝐴 2 8 2 − 𝑀𝐴 8 − 60 8 − 2 2 + 𝐶3 = 0 32𝑉𝐴 − 8𝑀𝐴 + 𝐶3 = 2160 … . (4) 𝒙 = 𝟎 → 𝜽𝟏 = 𝟎
- 33. Condiciones de Continuidad : 𝒙 = 𝟒 → 𝜽𝟏 = 𝜽𝟐 Si: 𝜽𝟏 = 𝟏 𝑬𝑰 ( 𝑽𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝑴𝑨𝒙 − 𝟏𝟓 𝟑 𝒙𝟑 + 𝑪𝟏) 𝜽𝟐 = 𝟏 𝑬𝑰 [ 𝑽𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝑴𝑨𝒙 − 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝑪𝟑) Reemplazando el “x”: −𝟑𝟐𝟎 + 𝑪𝟏 = −𝟐𝟒𝟎 + 𝑪𝟑 𝐶3 = −80 … . (5) 𝒙 = 𝟒 → 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 Si: 𝒚𝟏 = 𝟏 𝑬𝑰 ( 𝑽𝑨 𝟔 𝒙𝟑 − 𝑴𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓 𝟒 𝒙𝟒 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐) 𝒚𝟐 = 𝟏 𝑬𝑰 [ 𝑽𝑨 𝟔 𝒙𝟑 − 𝑴𝑨 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟑 + 𝑪𝟑𝒙 + 𝑪𝟒] Reemplazando el “x”: −𝟑𝟐𝟎 + 𝑪𝟏 𝟒 + 𝑪𝟐 = −𝟏𝟔𝟎 + 𝑪𝟑 𝟒 + 𝑪𝟒 𝐶4 = 160 … . (6)
- 34. Resolviendo el sistema de Ecuaciones: 𝐶2 = 0 … . (1) 𝐶1 = 0 … . (2) 𝐶3 = −80 … . (5) 𝐶4 = 160 … . (6) 256 3 𝑉𝐴 − 32𝑀𝐴 + 8𝐶3 + 𝐶4 = 4320 … . (3) 32𝑉𝐴 − 8𝑀𝐴 + 𝐶3 = 2160 … . (4) 𝟖𝑽𝑨 − 𝟑𝑴𝑨 = 𝟒𝟓𝟎 … (𝟕) 𝟖𝑽𝑨 − 𝟐𝑴𝑨 = 𝟓𝟔𝟎 … (𝟖) De (7) y (8) tenemos : 𝑴𝑨 = 𝟏𝟏𝟎𝑲𝑵. 𝒎 𝑽𝑨 = 𝟗𝟕. 𝟓𝑲𝑵
- 35. Por lo tanto las ecuaciones de la rotación y la deflexión en cada tramo son : Tramo 1 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚 Tramo 2 : 4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚 𝜽𝟏 = 𝟏 𝑬𝑰 (𝟒𝟖. 𝟕𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝒙 − 𝟓𝒙𝟑) 𝒚𝟏 = 𝟏 𝑬𝑰 (𝟏𝟔. 𝟐𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝟓𝒙𝟐 − 𝟓 𝟒 𝒙𝟒) 𝜽𝟐 = 𝟏 𝑬𝑰 [𝟒𝟖. 𝟕𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝒙 − 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟐 − 𝟖𝟎) 𝒚𝟐 = 𝟏 𝑬𝑰 [𝟏𝟔. 𝟐𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐 𝟑 − 𝟖𝟎𝒙 + 𝟏𝟔𝟎]
- 36. Calculamos reacciones y graficamos DFC y DMF + 𝑀𝐴 0 = 110 −𝟏𝟐𝟎 𝟐 + 𝑽𝑪 𝟖 + 𝑴𝑪 = 𝟏𝟏𝟎 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 120 𝑉 𝑐 = 22.5𝐾𝑁 𝑀𝑐 = 50𝐾𝑁. 𝑚
- 37. 𝑴(𝒙) = 𝟗𝟕. 𝟓𝒙 − 𝟏𝟏𝟎 − 𝟏𝟓𝒙𝟐 𝑽𝒙 = 𝟗𝟕. 𝟓 − 𝟑𝟎𝐱 𝑴(𝒙) = 𝟗𝟕. 𝟓𝒙 − 𝟏𝟏𝟎 − 𝟏𝟐𝟎(𝒙 − 𝟐) 𝑽𝒙 = 𝟗𝟕. 𝟓 − 𝟏𝟐𝟎 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚 4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚 𝑽𝟎 = 𝟗𝟕. 𝟓 𝑽𝟒 = −𝟐𝟐. 𝟓 𝑴𝟎 = −𝟏𝟏𝟎 𝑴𝟒 = 𝟒𝟎 𝑴𝟒 = 𝟒𝟎 𝑴𝟖 = −𝟓𝟎 𝑽 = −𝟐𝟐. 𝟓
- 38. 𝑺𝒊: 𝜽𝟏 = 𝟎 → 𝒚𝟏 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 0 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚 4 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚 𝟒𝟖. 𝟕𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝒙 − 𝟓𝒙𝟑 = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝟎 Calculamos deflexión máxima : Tramo 1 : Tramo 2 : 𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟓𝟓𝒎 𝒙𝟑 = 𝟔. 𝟐𝟎𝒎 𝑺𝒊: 𝜽𝟐 = 𝟎 → 𝒚𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 𝟒𝟖. 𝟕𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝒙 − 𝟔𝟎 − 𝟐 𝟐 − 𝟖𝟎 = 𝟎 𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟓𝟓
- 39. El único valor que cumple seria para x=3.55 m (𝒚𝒎𝒂𝒙)𝒙=𝟑.𝟓𝟓 = 𝟏 𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟔 [ 𝟏 𝟏𝟐 𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟒 𝟑 (𝟏𝟔. 𝟐𝟓(𝒙)𝟑 −𝟓𝟓(𝒙)𝟐 − 𝟓 𝟒 (𝒙)𝟒 ) 𝒚𝒎𝒂𝒙 = 𝟏 𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟔 [ 𝟏 𝟏𝟐 𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟒 𝟑 (𝟏𝟔. 𝟐𝟓(𝟑. 𝟓𝟓)𝟑−𝟓𝟓(𝟑. 𝟓𝟓)𝟐− 𝟓 𝟒 (𝟑. 𝟓𝟓)𝟒) 𝒚𝒎𝒂𝒙 = −𝟓. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎 = −𝟓. 𝟒𝟐𝒎𝒎
- 40. CONCLUSIÓN El desplazamiento o pendiente de un punto especifico sobre una viga o maro puede determinarse usando el método de doble integración sin embargo este método se formula a partir de la ecuaciones ya mencionadas. Este método se limita por tanto a problemas que implican deflexiones pequeñas causadas solo por flexión.