Aplicación de integrales en: -Momentos y centros de masa -Presión y fuerza de fluidos

1. APLICACIÓN DE INTEGRALES
MICHAEL STEVEN RODRIGUEZ HERNANDEZ
JUAN DANIEL DUEÑAS CASTIBLANCO
FUNDACION UNIVERSITARIA DE SAN GIL
INGENIERIA DE SISTEMAS
CALCULO INTEGRAL
YOPAL CASANARE
2017

2. APLICACIÓN DE INTEGRALES
PRESENTADO POR.
MICHAEL STEVEN RODRIGUEZ HERNANDEZ
JUAN DANIEL DUEÑAS CASTIBLANCO
PRESENTADO A.
QUEVIN YOHAN BARRERA
FUNDACION UNIVERSITARIA DE SAN GIL
INGENIERIA DE SISTEMAS
CALCULO INTEGRAL
YOPAL CASANARE
2017

3. TABRA DE CONTENIDO
PAG.
INTRODUCCION 4
1 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA 5
2 PRESION Y FUERZA DE FLUIDOS 8
2.1 Tipos de presiones 9
2.1.1LA PRESIÓN MEDIA 9
2.1.2LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA 9
2.1.3LA PRESIÓN HIDRODINÁMICA 9
2.2 Determinación del trabajo 9
2.3 Determinación de fuerza hidrostática. 12
3 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFIA 15

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INTRODUCCION
En el siguiente trabajo denotaremos como se utiliza la integral para hallar momentos y centros de
masa; de igual forma para hallar presión y fuerza de fluido, para ello recordaremos los que es una
integral definida. La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las
áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus
puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral
definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por
la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

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1 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
El objetivo de estas líneas es explicar brevemente otra de las numerosas aplicaciones que
posee el Cálculo Integral. En este caso, consideramos una placa plana y delgada con forma
cualquiera, y nos proponemos hallar su centro de masa. Informalmente, entendemos por centro
de masa de una placa, el punto donde la misma se equilibra horizontalmente.1
Primero analicemos el caso simple en el que dos partículas de masas m1 y m2 están sujetas
a los extremos de una varilla que supondremos tener masa nula y apoyada en un fulcro
Las masas se encuentran a distancias d1 y d2 respectivamente del apoyo. La varilla
quedará en equilibrio, según lo estableció Arquímedes a través de la “Ley de la Palanca”, cuando
m1d1 = m2d2.
Pensemos que ubicamos la varilla en el eje x, m1 en x1 y m2 en x2 (0 < x1 < x2) y el centro
1
Colaboradores fceia, momentos y centros de masa, [En linea]; [Fecha de consulta 20 de octubre de
2017], Disponible en
<http://www.fceia.unr.edu.ar/~montelar/Otros/Momentos%20y%20centros%20de%20masa.pdf>

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de masa en xM. Es decir, se verifica que d1 = xM − x1 y d2 = x2 – xM Según la mencionada ley
de Arquímedes tenemos que m1(xM − x1) = m2(x2 − xM),
de donde se desprende que:
Generalizando la situación anterior, si consideramos n partículas con masas m1, m2, · · · , mn
colocadas en los puntos de coordenadas x1, x2, · · · , xn del eje x, se puede demostrar que el
centro de masa del sistema está ubicado en:
Cada termino mjxj se lo llama momento de la masa mj con respecto al origen, y a
momento del sistema con respecto al origen. La ecuación en indica entonces
que el centro de masa xM se determina sumando los momentos de las masas y dividiendo
esta cantidad por la masa total.
Observemos que si reescribimos la ecuación en como mxM = M, donde
y la misma nos dice que si la masa total m se considerara concentrada
en el centro de masa, su momento es igual al momento M del sistema.
Consideremos ahora n partículas con masas m1, m2, · · ·, mn colocadas en los puntos de
coordenadas (x1, y1), (x2, y2), · · ·, (xn, yn) del plano xy. Por analogía al caso unidimensional,
el momento del sistema respecto al eje x se define como

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y el momento del sistema respecto al eje y como
También por analogía al caso unidimensional, las coordenadas del centro de masa, (xM, yM),
se expresan en términos de los momentos de la siguiente manera
donde nuevamente representa la masa total.
Consideremos ahora una varilla delgada de metal, colocada en el eje x desde x = a hasta
x = b, con a < b. Cortamos la varilla en pequeños trozos de masa ∆mk a trav´es de una partici´on
P = {x0, x1, · · · , xn} del intervalo [a, b]. Para cada k = 0, 1, · · · , n, sea ck un punto cualquiera
en el k-´esimo subintervalo [xk−1, xk]. El k-´esimo trozo tiene longitud xk − xk−1 = ∆xk. Se
aconseja que realice un esbozo de la varilla indicando todos estos elementos, para
mejor comprensi´on de lo que sigue.
Observemos en primer lugar que el centro de masa de la varilla es aproximadamente el
mismo que el del sistema de puntos de masa que obtendr´ıamos colocando cada trozo de masa

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∆mk en ck. Entonces, por lo visto m´as arriba, el momento de cada trozo con respecto al origen
es aproximadamente igual a ck∆mk, por lo que el momento del sistema con respecto al origen
es aproximadamente igual a Pn
k=1 ck∆mk. Por ´ultimo, si la densidad (masa por unidad de
longitud) de la varilla en ck es δ(ck), ∆mk es aproximadamente igual a δ(ck)∆xk. Obtenemos que
el centro de masa de la varilla es:
Conforme la norma de la partición considerada tienda a cero, si la densidad de la varilla es
una función integrable de x, obtenemos que
2 PRESION Y FUERZA DE FLUIDOS
La presión en un fluido es la presión termodinámica que interviene en la ecuación constitutiva y
en la ecuación de movimiento del fluido, en algunos casos especiales esta presión coincide con la
presión media o incluso con la presión hidrostática. Todas las presiones representan una medida
de la energía potencial por unidad de volumen en un fluido. Para definir con mayor propiedad el
concepto de presión en un fluido se distinguen habitualmente varias formas de medir la presión2
2 FUENTE. OMAR ESTRADA, PRESION Y FUERZA DE FLUIDOS , [En linea]; [Fecha de consulta 20 de
octubre de 2017], Disponible en < https://es.slideshare.net/davidoestrada/integral-definida-aplicada-a-presion-
hidrostatica>

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2.1 Tipos de presiones
2.1.1 LA PRESIÓN MEDIA: o promedio de las presiones según diferentes direcciones en un
fluido, cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión
hidrostática.
2.1.2 LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA: es la parte de la presión debida al peso de un fluido en
reposo. En un fluido en reposo la única presión existente es la presión hidrostática, Se
define por la fórmula Ph=γh donde Ph es la presión hidrostática, γ=ρg es el peso
específico y h profundidad bajo la superficie del fluido.
2.1.3 LA PRESIÓN HIDRODINÁMICA: es la presión termodinámica dependiente de la
dirección considerada alrededor de un punto que dependerá además del peso del fluido, el
estado de movimiento del mismo.
2.2 Determinación del trabajo
Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una
línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo
realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido, es decir:
W = F× x
Sin embargo, cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un
resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple, pues la fuerza dependerá de la
posición que ocupe el objeto sobre el cual actúa. Si conocemos la función que relaciona a la

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fuerza con la posición, F = f(x) (dejando para su estudio personal el planteamiento formal de
dividir el intervalo en que actúa la fuerza en segmentos, etc.), podemos plantear entonces que:
El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo
realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke indica que la fuerza necesaria para estirar un
resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para
producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx, donde k es la constante
de proporcionalidad, que depende del material, del calibre (grosor), del alambre, de la
temperatura, etc.3
Ejemplo: Para producir una elongación de 0.01 m en un resorte de hacer se necesita aplicar una
fuerza de 0.1 newton. Determine el trabajo necesario para comprimir el resorte 2 cm.
La determinación de la constante en la ley de Hooke se reduce a:
Nos interesa abordar con Ustedes el trabajo relacionado con la compresión o expansión de un gas
en un cilindro con un pistón. Esto se relaciona, por ejemplo, con el trabajo que se realiza en los
motores térmicos de combustión interna (motores de gasolina, motores diesel), o sea con el
3 Colaboradores navarrof, PRESION Y FUERZA DE FLUIDOS, [En linea]; [Fecha de consulta 20 de octubre de
2017], Disponible en < http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasII/M2UT4/aplicaciones_integral.htm>

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trabajo que realizan los gases calientes, productos de la combustión, sobre el émbolo del pistón
que mueve al cigüeñal y, mediante los mecanismos de transmisión, mueven en definitiva las
ruedas de un vehículo u otras partes mecánicas que nos dan un trabajo e una aplicación en la
tecnología. Esto será visto en termodinámica, por lo que consideraremos un caso sencillo en este
momento.
Supongamos que tenemos un gas ideal en un cilindro como el que se muestra en la
siguiente figura y que es comprimido utilizando una presión P, manteniendo la
temperatura constante:
Consideremos un desplazamiento muy pequeño del pistón, l, que en el límite será muy pequeño
e igual a dl, para la ecuación del trabajo ya vista tendremos que:

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Ejemplo. Asumiendo comportamiento ideal, determine el trabajo necesario para comprimir 3 kg
de nitrógeno de 3 a 1.5 l.
Ya se verá en termodinámica que el signo negativo que se obtiene indica que el trabajo se realiza
sobre el sistema.
2.3 Determinación de fuerza hidrostática.
Otra aplicación de la integral definida de aplicación en problemas de la Tecnología de
Alimentos, consiste en determinar la fuerza ejercida por la presión de un líquido sobre una placa
sumergida en él o sobre un lado del recipiente que lo contiene.

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La presión de un líquido es la fuerza por unidad cuadrada de área ejercida por el peso del líquido.
Así, si  es la densidad del líquido, entonces la presión ejercida por el líquido en un punto
a h unidades debajo de la superficie del líquido es P unidades, donde P = × h.
El principio de Pascal establece que la presión a una profundidad h es la misma en todas las
direcciones. Por tanto, si se sumerge una placa plana en un fluido de densidad ρ, la presión sobre
un lado de la placa es ρ×h en cualquier punto. Resulta irrelevante si la placa se sumerge
horizontal, vertical o de cualquier otro modo.
Consideremos una placa de forma irregular (por facilidad en el dibujo le dimos forma
trapezoidal), sumergida en un líquido de densidad , y cuyo ancho es función de la profundidad,
dado por w(x). La orientación del eje x por conveniencia la consideramos con el origen en la
superficie del líquido
Consideremos un elemento muy pequeño y transversal de la placa. En el límite, cuando x sea
infinitamente pequeño, su área será w(x)×dx, y podemos aproximar la presión ejercida por el
líquido sobre ese elemento por el de uno similar pero orientado horizontalmente, ya que dx es

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infinitamente pequeño, que será ρ×x y por tanto la fuerza ejercida en ese diferencial de área por
el líquido será dF = PdA = ρx w(x)dx. Evidentemente, integrando entre la profundidad del
extremo superior de la placa y la profundidad del extremo inferior de la placa tendremos la
fuerza total que se ejerce sobre la misma:
Ejemplo.
Un recipiente de forma trapezoidal de 100 cm de profundidad, está lleno de un líquido viscoso
cuya densidad es de 1.13 g/cm3. En la superficie el ancho del recipiente es de 100 cm y en el
fondo es de 50 cm. Si la superficie del líquido se encuentra a 10 cm del borde del recipiente,
determine la fuerza total ejercida por el líquido sobre una pared del recipiente.
La anchura es una función lineal de la profundidad, con w(0) = 100 y w(100) = 50.

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La pendiente es:
3 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFIA
 http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasII/M2UT4/aplicaciones_integral.htm
 http://www.hiru.eus/matematicas/la-integral-definida
 https://es.slideshare.net/davidoestrada/integral-definida-aplicada-a-presion-hidrostatica
 http://www.fceia.unr.edu.ar/~montelar/Otros/Momentos%20y%20centros%20de%20mas
a.pdf