Aplicación de integrales.

1. Aplicación de las integrales. 1
Aplicación de integrales en:
Momentos
Centros de masa
Fuerza
Presión de un fluido
Cristian David Hernández
Carlos Andrés Muñoz Montoya
Juan José Bohórquez
Yolmar Felipe Suárez
Neider Germán Garzón Vallejo
Unisangil Yopal
Facultad de ingeniería
Calculo integral

2. Aplicación de las integrales. 2
MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
El objetivo de estas líneas es explicar brevemente otra de las numerosas aplicaciones
que posee el Cálculo Integral. En este caso, consideramos una placa plana y delgada con
forma cualquiera, y nos proponemos hallar su centro de masa. Informalmente, entendemos
por centro de masa de una placa, el punto donde la misma se equilibra horizontalmente.
Primero analicemos el caso simple en el que dos partículas de masas m1 y m2 están sujetas a
los extremos de una varilla que supondremos tener masa nula y apoyada en un fulcro. Las
masas se encuentran a distancias d1 y d2 respectivamente del apoyo. La varilla quedara en
equilibrio, según lo estableció Arquímedes a través de la “Ley de la Palanca”, cuando m1d1 =
m2d2. Pensemos que ubicamos la varilla en el eje x, m1 en x1 y m2 en x2 (0 < x1 < x2) y el
centro de masa en xM. Es decir, se verifica que d1 = xM − x1 y d2 = x2 − xM .
Según la mencionada ley de Arquímedes tenemos que m1(xM − x1) = m2(x2 − xM),
de donde se desprende que xM = m1x1 + m2x2 m1 + m2 . Generalizando la situación
anterior, si consideramos n partículas con masas m1, m2, · · · , mn colocadas en los puntos de
coordenadas x1, x2, · · · , xn del eje x, se puede demostrar que el centro de masa del sistema
esta ubicado en xM = Pn j=1 mjxj Pn j=1 mj . (1) P Cada termino mjxj se lo llama momento
de la masa mj con respecto al origen, y a n j=1 mjxj , momento del sistema con respecto al
origen. La ecuación en (1) indica entonces que el centro de masa xM se determina sumando
los momentos de las masas y dividiendo esta cantidad por la masa total. Observemos que si
reescribimos la ecuación en (1) como mxM = M, donde m = Pn j=1 mj y M = Pn j=1 mjxj , la
misma nos dice que si la masa total m se considerara concentrada en el centro de masa, su
momento es igual al momento M del sistema. 1 Consideremos ahora n partículas con masas
m1, m2, · · · , mn colocadas en los puntos de coordenadas (x1, y1),(x2, y2), · · · ,(xn, yn) del
plano xy. Por analogía al caso unidimensional, el momento del sistema respecto al eje x se

3. Aplicación de las integrales. 3
define como Mx = Xn j=1 mjxj , y el momento del sistema respecto al eje y como My = Xn
j=1 mjyj . También por analogía al caso unidimensional, las coordenadas del centro de masa,
(xM, yM), se expresan en términos de los momentos de la siguiente manera xM = My m , yM
= Mx m , donde nuevamente m = Pn j=1 mj representa la masa total. Consideremos ahora una
varilla delgada de metal, colocada en el eje x desde x = a hasta x = b, con a < b. Cortamos la
varilla en pequeños trozos de masa ∆mk a través de una partición P = {x0, x1, · · · , xn} del
intervalo [a, b]. Para cada k = 0, 1, · · · , n, sea ck un punto cualquiera en el k-esimo su
intervalo [xk−1, xk]. El k-esimo trozo tiene longitud xk − xk−1 = ∆xk. Se aconseja que
realice un esbozo de la varilla indicando todos estos elementos, para mejor comprensión de lo
que sigue. Observemos en primer lugar que el centro de masa de la varilla es
aproximadamente el mismo que el del sistema de puntos de masa que obtendríamos
colocando cada trozo de masa ∆mk en ck. Entonces, por lo visto m´as arriba, el momento de
cada trozo con respecto al origen es aproximadamente igual a ck∆mk, por lo que el momento
del sistema con respecto al origen es aproximadamente igual a Pn k=1 ck∆mk. Por ´ultimo, si
la densidad (masa por unidad de longitud) de la varilla en ck es δ(ck), ∆mk es
aproximadamente igual a δ(ck)∆xk. Obtenemos que el centro de masa de la varilla es: xM ≈
Pn k=1 P ckδ(ck)∆xk n k=1 δ(ck)∆xk . Conforme la norma de la partición considerada tienda
a cero, si la densidad de la varilla es una función integrable de x, obtenemos que xM = R b a
xδ(x)dx R b a δ(x)dx
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4. Aplicación de las integrales. 4
Fuerza.
Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo
largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces
el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido, es
decir:
W = F× x
Sin embargo, cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o
estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple, pues la fuerza
dependerá de la posición que ocupe el objeto sobre el cual actúa. Si conocemos la función
que relaciona a la fuerza con la posición, F = f(x) (dejando para su estudio personal el
planteamiento formal de dividir el intervalo en que actúa la fuerza en segmentos, etc.),
podemos plantear entonces que:
El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo
del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke indica que la fuerza necesaria
para estirar un resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza
necesaria para producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx,
donde k es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del calibre (grosor),
del alambre, de la temperatura, etc.
Ejemplo: Para producir una elongación de 0.01 m en un resorte de hacer se necesita
aplicar una fuerza de 0.1 newton. Determine el trabajo necesario para comprimir el resorte 2
cm.
La determinación de la constante en la ley de Hooke se reduce a:

5. Aplicación de las integrales. 5
Nos interesa abordar con Ustedes el trabajo relacionado con la compresión o
expansión de un gas en un cilindro con un pistón. Esto se relaciona, por ejemplo, con el
trabajo que se realiza en los motores térmicos de combustión interna (motores de gasolina,
motores diesel), o sea con el trabajo que realizan los gases calientes, productos de la
combustión, sobre el émbolo del pistón que mueve al cigüeñal y, mediante los mecanismos
de transmisión, mueven en definitiva las ruedas de un vehículo u otras partes mecánicas que
nos dan un trabajo e una aplicación en la tecnología. Esto será visto en termodinámica, por lo
que consideraremos un caso sencillo en este momento.
Supongamos que tenemos un gas ideal en un cilindro como el que se muestra en la
siguiente figura y que es comprimido utilizando una presión P, manteniendo la temperatura
constante:
Consideremos un desplazamiento muy pequeño del pistón,
muy pequeño e igual a dl, para la ecuación del trabajo ya vista tendremos que:

6. Aplicación de las integrales. 6
Ejemplo. Asumiendo comportamiento ideal, determine el trabajo necesario para
comprimir 3 kg de nitrógeno de 3 a 1.5 l.
Ya se verá en termodinámica que el signo negativo que se obtiene indica que el
trabajo se realiza sobre el sistema.
Fuerza y presión de un fluido.
Cuando en un fluido contenido por un recipiente se encuentra un cuerpo sumergido,
este experimenta una fuerza, perpendicular a cualquiera de sus superficies, ejercida por el
fluido. En la siguiente figura se muestra una placa rectangular que se encuentra en el fondo de
un recipiente con agua.

7. Aplicación de las integrales. 7
Considerar que el fluido y la placa rectangular se encuentran en reposo. Además, h es
la distancia entre la parte superior de la placa y el nivel del fluido y el fluido tiene una
densidad p (kilogramos por metros cúbicos). El área de la superficie superior de la placa es A
(metros cuadrados). La fuerza F que ejerce el fluido sobre la superficie superior de la placa es
donde m es la masa del fluido que está por arriba de dicha superficie y g es la aceleración
debido a la gravedad. La masa m y el volumen V del fluido que está por arriba de la placa,
respectivamente son:
Obtenemos
En el Sistema Internacional (SI) la unidad que se emplea para medir presión se llama pascal
cuya abreviatura es Pa y su equivalencia es
Ejemplo; Una placa rectangular de 1 m de ancho y 2 m de largo se encuentra sumergida
horizontalmente en el fondo de un contenedor que almacena agua. El lado de la parte superior

8. Aplicación de las integrales. 8
de la placa se encuentra a 2.8 metros del nivel del agua. Encontrar la fuerza y presión del
fluido sobre dicho lado. La densidad del agua es
La fuerza que ejerce el fluido sobre la superficie superior de la placa es
En este problema los datos son
Por lo que la fuerza F del fluido sobre el lado de la parte superior de la placa es
Se ha explicado el cálculo de la fuerza ejercida por un fluido sobre una superficie con
profundidad constante. Es preciso aquí, efectuar cálculos directos. A continuación, se explica
la manera de calcular la fuerza ejercida por un fluido sobre una superficie con profundidad
variable. Por ejemplo, la fuerza ejercida por un fluido sobre un lado vertical de un objeto o
sobre una pared vertical del recipiente que lo contiene.

9. Aplicación de las integrales. 9
De la expresión para calcular la fuerza de un fluido sobre una superficie se
puede apreciar lo siguiente: si toda la superficie de un objeto sumergido en un fluido se
encuentra a la misma profundidad sobre el nivel del fluido, la fuerza del fluido sobre todos los
puntos de dicha superficie es la misma. Es evidente que se trata de una superficie horizontal y
tanto la fuerza como la presión del fluido se pueden calcular con facilidad. De la misma
manera se pueden calcular la fuerza y presión de un fluido sobre el piso superficie horizontal
del recipiente que lo contiene.
Considerar un poliedro sumergido en el interior de un contenedor lleno de agua, tal y como se
muestra en la siguiente figura.

10. Aplicación de las integrales. 10
Para calcular la fuerza total de un fluido sobre una de las superficies verticales del poliedro
mostrado, el procedimiento es diferente. Es necesario utilizar los métodos del cálculo. En
particular se deben aplicar algunas ideas del cálculo integral.
Ejemplo 2; Calcular la fuerza total del fluido (fuerza hidrostática) sobre una de las superficies
verticales de un hexaedro regular (cubo), que se encuentra en el fondo de un tanque con agua,
como se muestra en la figura. El nivel del agua es de 5 m y el lado de las caras del cubo mide
3 m. La densidad del agua es

11. Aplicación de las integrales. 11
Un conjunto de n franjas cubre la pared vertical del cubo por lo que la fuerza total F del
fluido sobre esta superficie vertical es, aproximadamente:
En esta última expresión, si el número n de franjas sobre la superficie vertical crece tanto
como se quiera, la estimación de la fuerza F será más certera. Por otra parte, si el número n de
franjas tiende a infinito:
Considerando lo presentado en el capítulo 1:

12. Aplicación de las integrales. 12
donde los límites de integración a & b son 2 y 5, respectivamente. El proceso de la
evaluación de la integral y la sustitución de los valores es
Este valor representa la fuerza hidrostática total sobre una de las paredes verticales del
hexaedro regular.
Ejemplo 3; Las paredes verticales del contenedor que se muestra en la siguiente figura tienen
la forma de un semicírculo con un radio de 1 m de longitud.
En el contenedor se encuentra aceite de motor (densidad: 890 kg/m3) cuya altura es de 80
cm. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el líquido sobre una de las paredes verticales del
contenedor?

13. Aplicación de las integrales. 13

14. Aplicación de las integrales. 14