2. Ingeniería Civil
Pregrado
En esta sesión de clase aprenderás
Calcula las integrales triples por medio de las integrales iteradas,
mostrando orden y claridad en el manejo de la información
Aplica las integrales triples para calcular el volumen de un sólido,
mostrando una actitud colaborativa.
3. Ingeniería Civil
Pregrado Ingeniería Civil
Evaluación de integrales triples mediante
integrales iteradas
Si la región 𝐷 está acotada por arriba por la gráfica de 𝑧 =
𝑔2 𝑥, 𝑦 y acotada por abajo por la gráfica de 𝑧 = 𝑔1 𝑥, 𝑦 ,
entonces la integral triple puede expresarse como una integral
doble de la integral parcial 𝑔1 𝑥,𝑦
𝑔2 𝑥,𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 ; esto es:
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
𝑅
𝑔1 𝑥,𝑦
𝑔2 𝑥,𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝐴 … (1)
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Pregrado Ingeniería Civil
donde 𝑅 es la proyección ortogonal de 𝐷 sobre el plano 𝑥𝑦.
• En particular, si 𝑅 es una región del tipo 𝐼 definida por:
𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, ℎ1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ ℎ2 𝑥
entonces, como se ilustra en la figura, la integral triple de 𝑓 sobre
𝐷 puede escribirse como una integral iterada:
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Para evaluar la integral iterada empezamos evaluando la integral
definida parcial
en la cual 𝑥, 𝑦 se mantienen fijas.
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Pregrado Ingeniería Civil
• Si 𝑅 es una región de tipo 𝐼𝐼 definida por:
𝑅 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2/𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎ1 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ ℎ2 𝑦
entonces (1) se convierte en
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Observaciones
• En una integral doble hay sólo dos posibles ordenes de
integración: 𝑑𝑦𝑑𝑥 y 𝑑𝑥𝑑𝑦. Las integrales (2) y (3) ilustran dos de
seis posibles ordenes de integración:
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• Las dos ultimas diferenciales nos indican el plano de coordenadas
en la cual se localiza la región 𝑅. Por ejemplo, la integral iterada
correspondiente al orden de integración 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 tendría la forma
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La interpretación geométrica de está integral y la región 𝑅 de
integración en el plano 𝑦𝑧 se muestra en la siguiente figura.
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Resuelva los siguientes problemas
1. Determine el volumen del sólido en el primer octante acotado
por las gráficas de 𝑧 = 1 − 𝑦2
, 𝑦 = 2𝑥 y 𝑥 = 3.
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3. Considere el sólido dado en la figura. Plantee, pero no evalúe, las
integrales que producen el volumen 𝑉 del sólido utilizando los
órdenes de integración indicadas.
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4. Considere el sólido dado en la figura. Plantee, pero no evalúe, las
integrales que producen el volumen 𝑉 del sólido utilizando los
órdenes de integración indicadas.
a) 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧
b) 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
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5. Dibuje la región 𝐷 cuyo volumen 𝑉 está dado por la integral
iterada.
a) 0
4
0
3
0
2−
2𝑧
3 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦
b) 0
3
0
9−𝑦2
4
25−𝑥2−𝑦2
𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
26. Ingeniería Civil
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¡Ojo! Recuerda que debes
resolver los ejercicios de la
hoja de trabajo de la sesión
8 que esta en blackboard en
la carpeta de nombre
actividades de evaluación;
esto te ayudará a enriquecer
los temas vistos en clase.
