Guía de aprendizaje 2. Números Enteros

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ ANTONIO GALÁN
MATEMATICAS GRADO: SEPTIMO
TEMA: OPERACIÓN CON LOS ENTEROS.
DOCENTES J.M.: SANDRA LUCIA PABON, ORLANDO MANRRIQUE
Multiplicación de números enteros
Dados dos números enteros a y, puedes multiplicarlos y obtener como resultado un
numero c llamado producto. Ejemplo:
a. b = c producto
Factores
El signo del producto depende de los signos de los factores.
1- Completa la tabla.
a b c a. b b.c b.a a(b + c) a.(b.c)
-2 3 -1 -3 -4
-4 -8 20 12
1 9 -63 -63
2- Escribe las expresiones en símbolos matemáticos.
a. El triple de-5: ___
b. El doble de -8 menos el triple de 1: ___
c. El doble de 7: ___
d. Cuatro veces -2 sumado con cinco veces 3: ___
3- Completa las afirmaciones.
a. 8 es factor de – 72 porque – 72 = 8 x ___
b. 12 es factor de – 36 porque – 36 = 12 x ____
c. -5 es factor de 35 porque 35 = - 5 x ___
d. 7 es factor de 56 porque 56 = 7 x ___
x +5 -7
+2 +10 -14
-6 -30 +42

2. 4-
 Completa el racimo de signos, teniendo en
cuenta que en cada circulo va el signo
correspondiente al producto de los dos
signos de los círculos que se encuentran en
la parte inmediatamente superior.
 plantea otra solución para el racimo
propuesto.
5- Resuelve los problemas.
a. Cinco patinadores integran el equipo juvenil y cada uno tiene dos pares
de patines; si cada patín tiene cuatro ruedas, ¿Cuántas ruedas hay en
total?
b. Al multiplicar dos números enteros obtienes – 72. Si un factor es -8, ¿Cuál
es el otro factor?
c. ¿Qué número multiplicado por -10 da como resultado 150?
d. Un submarino desciende 2 m cada minuto; ¿con que numero entero
representas la profundidad a la cual se encuentra el submarino después
de 15 minutos? ¿después de media hora? ¿después de una hora?
e. Marcela leyó una noche 234 palabras por minuto, durante 14 minutos y
otra noche leyó 221 palabras por minuto, durante 25 minutos- ¿Cuántas
palabras leyó en total? ¿qué noche leyó más palabras?

3. 6- Soluciona el crucinúmero.
Cada clave corresponde al producto de las cifras del número que se
encuentra en la fila o en la columna. Algunos ya están resueltos como
ayuda.
Horizontal
1 30= -5 x -1 x 2 x 3
5 -40
7 8
9 81
12 30
16 42
20 -40
23 -3 =-1 x 1 x 3
26 5
28 36
32 3
¿puede tener este crucinúmero otra solución? ¿por qué?
Propiedades de la multiplicación
la multiplicación de enteros cumple las siguientes propiedades:
clausurativa: para todo a, b ∈ z , existe c ∈ Z tal que: a x b = c
asociativa: para todo a, b, c ∈ Z a x (b x c) = ( a x b) x c
modulativa: para todo a ∈ Z a x 1 = 1 x a = a
conmutativa: para todo a, b ∈ Z a x b = b x a
anulativa: para todo a ∈ Z a x 0 = 0 x a = 0
distributiva: para todo a, b , c ∈ Z a x (b + c ) = a x b + a x c a x (b – c)= a x b – a x c
6 x (3 – 5) = ( 6 x 3 ) – (6 x 5)
6 x (-2) = 18 – 30
-12 = -12
Verticales
1 -60
2 -40
3 9
5 -60
14 -30=5 x 6 x – 1
18 - 28
19 60
20 -16 = 8 x 1 x -2
21 25
28 27

4. 1. Relaciona con líneas cada nombre de las propiedades de la multiplicación con el
enunciado correspondiente.
CLAUSURATIVA * el producto de dos números enteros no depende del orden de los factores.
DISTRIVUTIVA * permite agrupar de varias maneras los factores sin alterar el producto
ASOCIATIVA * el producto se distribuye respecto a la suma y a la sustracción
MODULATIVA *el modulo para la multiplicación es el número 1.
CONMUTATIVA * el producto de dos números enteros cualesquiera es el único numero entero.
ANULATIVA * el producto de cualquier numero entero con cero es cero.
2. escribe tres multiplicaciones diferentes que tengan como producto a cada uno
de los números dados.
a. 18 =
18 =
18 =
b. -24 =
-24 =
-24 =
c. -8 =
-8 =
-8 =
3. frente a cada igualdad escribe la propiedad que representa.
a. – 3 (2 + 7) = (-3 x 2) + (-3 x 7)___________________
b. [4 𝑥 0] 𝑥(-9) = 4 x [ 𝑜𝑥 (−9)] = 0 __________________
c. 8 x -3 = -3 x 8 _________________
d. (-5) x 2 = 2 x (-5) ________________

5. 4. completa el cuadro de tal forma que el producto de cada fila y de cada columna
sea – 60.
-3
3
5 -3
5. calcula cada producto de dos formas diferentes:
a. 5 x 4 x (-3)
b. 11 x 7 x (-8)
c. – 2 x 10 x (-3) x (-1)
6. aplica la propiedad distributiva para hallar el resultado.
a. – 3 (1 – 2)
b. 12 x (8 – 5)
c. -9 x (12 – 7)
d. 7 x [15 + (−8)]
e. – 4 x (- 15 + 9)
7. encuentra en factor común y resuelve cada ejercicio:
a. (5 x (- 3)) + ((-3) x 1)
b. (2 x (-6)) – (8 x (-6)) + (7 x (-6))
c. (-7 x 8) – ( 5x 8)
d. (9 x (-2)) – (3 x (-2)) + ((-2) x 2)

6. 8. resuelve los problemas.
a. El tanque de almacenamiento de agua de un edificio contiene 2050 litros. En
un día de razonamiento se consumen, en promedio, 84 litros por hora. Al
cabo de 6 horas, ¿Cuántos litros se han gastado y cuantos quedan?
b. El producto de dos números es – 108. Si uno de los factores es – 36, ¿Cuál es
el otro factor?
c. ¿Cuál es producto de los números enteros entre – 2 y 3?
9. forma un hexágono con los seis triángulos, de tal manera que los lados de los
triángulos con multiplicaciones que ilustren la misma propiedad de la
multiplicación queden uno al lado del otro.
4 x (8 + 2)

7. Potenciación en los números enteros
La potenciación es otra operación entre números enteros, que consiste en multiplicar
números iguales.
Los términos de la potenciación son:
Base es el factor que se multiplica.
Exponente es el número de veces que se multiplica el factor.
El resultado de la operación es la potencia.
1 escribe cada número como producto de factores iguales.
a. 1 = _________________
b. 25 = ________________
c. -1000 = _____________
d. 27 = ________________
e. -32 = _______________
f. 4 = _________________
2 Escribe en cuadro el numero entero correspondientes.
a. ? 3 = 64
b. ? 7 = -1
c. -2? = 16
d. 5 ? =125
e. 40 = ?
f. (-10)3 = ?

8. 3 representa gráficamente cada potencia.
a. 32
b. 42
c. 51
d. 13
4 completa la tabla.
Potencia
Indicada
(-8)3 92
Base 2 5 -4 -3
Exponente 5 3 4 7
potencia 25 -125 1 -1
5 calcula las potencias y completa la conclusión en cada caso.
a. 62 = ________
b. 33 = ________
c. 105 = ________
d. 24 = _________
Las potencias pares o _______ de un numero entero positivo son ____.
e. (-5)2 = _________
f. (-1)4 = _________
g. (-4)4 = _________
h. (-3)2 = _________
las potencias pares de números enteros __________son ___________.
i. (-2)5 = _________
j. (-6)3 = _________
k. (-1)7 = _________
l. (-3)3 = _________
Las potencias __________de números enteros ________son________.

9. 6 completa la tabla.
n n x 2 n2
2 x n2
n x 3 n3
3 x n3
n2
x n3
n2
+ n3
1
-4
5
-8
-1
2
-2
7 lee con atención y resuelve los problemas:
a. en un archivador hay 12 carpetas, cada una con 12 documentos. Cada
uno contiene 12 instrucciones. ¿cuantas instrucciones hay
archivadas?
b. en un conjunto residencial se construyeron 9 torres, cada una de tres
pisos y en cada piso 3 apartamentos con 3 alcobas cada uno. ¿cuantas
alcobas hay en total en el conjunto? expresa la respuesta como una
potencia.
c. Una estación de bombeo surte de agua cada 2 horas para llenar8
depósitos, cada uno con 2m3 de capacidad. ¿Cuántos m3 de agua se
han bombeado al cabo de 2 horas? ¿Cuántos al cabo de 4 horas?
expresa las respuestas en forma de potencias.

10. 8
a. Efectúa las operaciones
indicadas en cada parte de la
mariposa; luego, colorea del
mismo color las partes cuyo
resultado es el mismo.
Propiedades de la potenciación entre enteros
Dados a, b, ∈ Z y m, n ∈ Z se cumple: ejemplos:
1 an . am = a n + m
2 (an)m = an . m
3 an ÷ am = an – m
4 (a.b)n = an . bn
1 escribe cada producto como una potencia.
a. (-5)4
. -52
=
b. 102
. 102
. 102
=
c. (-2)2
. (-2)5
=
d. (-3)2
. (-3)3
. (-3)m
=
2 expresa cada potencia con un solo exponente.
a. (-5)4
=
b. [(−2)2]2
=
c. [(32
)5]3
=
d. (60
)8
=
(-2)5 . (-2)3 = (-2)5 +3 = (-2)8
(53)4 = 53 . 4 = 512
76 ÷72 =76 -2 = 74
(-3 . 5)2 = (-3)2 . (5)2

11. 3 escribe los cocientes como una sola potencia.
a.
45
43 =
b.
(−15)15
(−15)10 =
c.
168
167 =
d.
(−11)4
(−11)4 =
4 aplica la propiedad distributiva de la potenciación y expresa como producto de
potencias.
a. (-3 . 3)3
=
b. [−7 . (−2)]5
=
c. [1 . (−9)2
. 53]5
=
5 Completa las igualdades.
a. 34
. 32
= 3?
b. (-1 . 8 )10
=?
. 8?
c.
108
105 = 10?
d. (−6)3
.(-6)5
. (-6)?
= -68

12. 6 Simplifica aplicando las propiedades de la potenciación y resuelve.
a.
23.25
24 . 2
=
b.
(−3)4. (−3)2 . (−3)5
(−3)2 . (−3)6 . (−3)
=
c. [
(−2)4
(−2)2]6
=
7
a. escribe el numero 3 tres veces, de tal forma que represente la mayor cantidad
posible.
b. realiza el mismo proceso con el número 1.
división de números enteros
sean a y dos números y b ≠ 0.
a ÷ b ∈ Z solo cuando el dividendo es múltiplo del divisor.
a c b ∈ Z +
si a y b tienen igual signo.
a ÷ b ∈ Z-
si a y b tienen diferente signo.
a ÷ b = 0 𝑠𝑖 𝑎 = 0.
1 Efectúa las divisiones propuestas.
a. 72÷ 9=
b. -88 ÷4 =
c. -9 ÷ - 3 =
d. 45 ÷ -5 =
e. 105 ÷ - 15 =
f. -42 ÷ - 14 =
g. -100 ÷25 =
h. 108 ÷ 9 =
54 ÷ 9 = 6
35 ÷ -7 = -5
-48 ÷ 12 = -4
-66 ÷ -11 = 6

13. 2 Completa la tabla.
Operación
planteada
dividendo divisor cociente Residuo
36 ÷ 4 36 9
-60 12
-59 ÷ (-8) -8 3
-41 -5
13 -4 0
3 Escribe los divisores de cada número.
a. 48=
b. -48=
c. -104=
d. 104=
e. -81=
f. 81=
4 Determina cuales de los números: 415, 283, 2544, 1011, 1890, son divisibles 2, 3, 5,
6 o 9.
5 Encuentra el menor número entero posible que tenga residuo 1 cuando se divide
entre cualquiera de los siguientes números: 2, -5 y 7.
6 Calcula:
a. M.c.d. (84, 660, 960) =
b. M. c. m. (84, 660,960) =
7 Determina si las parejas de números son primos relativos o no; justifica tu
respuesta.
a. 960 y 273
b. 76 y 95
c. 84 y 33
d. 17 y 136

14. 8 Lee y resuelve los problemas.
a. en un parqueadero se estacionaron automóviles y motos; se entregaron en total
54 fichas de parqueo. Si sabemos que el número de motos es la tercera parte del
total de vehículos, ¿Cuántas fichas de parqueo de automóviles y de motos se
entregaron?
b. Al iniciar el mes Messi organiza sus actividades extraclase así: los días con fechas
pares practica el ciclismo, en los días con fechas múltiplos de tres juega futbol y
dedica los días cuya fecha sea divisible por 5 para leer historietas ¿en qué fecha
realiza las tres actividades?
c. La rana rene se encuentra en un estanque de 24 metros de profundidad. Durante
el día sube 5 metros y en la noche resbala 2 metros. ¿en cuántos días saldrá a la
superficie?
Radicación de números enteros
La radicación es otra operación que se puede efectuar con números enteros.
Los términos de la radicación son:
√ 𝑎
𝑛
= b
Índice radical radicando raíz
Si a, b ∈ Z y n ∈ N: √ 𝑎
𝑛
= b si y solo si, bn
= a
Propiedades
Si a, b ∈ Z, √𝑎 . 𝑏
𝑛
= √ 𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
√ 𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
1. A partir de las potencias dadas escribe las raíces correspondientes.
a- -73
= -343→ √−343
3
= −7
b- (-1)5
= -1 →
c- 105
= 100 000→
d- 53
= 125→
e- 32
= 9→
f- (-11)3
= -1331 →

15. 2. halla la raíz de cada caso.
a. √25 =
b. √1
3
=
c. √−27
3
=
d. √10000
4
=
e. √16807
5
=
3. calcula las raíces, si es posible.
a. √144 =
b. √81
4
=
c.√10 000
4
=
d.√−64
6
=
e.√−625
4
=
f. √−49 =
4. teniendo en cuenta el ejercicio anterior responde:
- ¿a qué subconjunto de enteros positivos corresponden los índices de las raíces
anteriores?
- ¿Qué raíces no fue posible calcular?
- ¿A qué subconjunto de los números enteros pertenecen los radicandos de estas raíces?
- ¿las raíces calculadas tienen una única respuesta? Verifica.
- De acuerdo con las observaciones anteriores Scribe dos conclusiones sobre la
radicación.
5. escribe en cada cuadro el número que hace verdadera la igualdad. Aplica las propiedades
de la radicación.
- √3?5
= 3
- √9 = 9
1
?
- √−8 . 27
3
= √−8
?
. √?
3
- √
625
10000
4
=
√?
4
√10000
4 =
- √−2105
=?2

16. 6- encentra el valor de cada expresión.
- √(−2)2. (−2)
3
=
- √
(−3)12
(−3)8
=
- √36 + 64=
- √25 − 16 =
- √√16 =
- √36 + √64=
7- utiliza la descomposición de factores primo para calcular cada raíz.
- √144
- √216
3
- √81
- √768
4
- √3375
3
- √256
8- resuelve las preguntas:
- La suma de los cuadrados de dos números es 149. Si e número mayor es 10, ¿Cuál es el
número menor?
- El área de un terreno cuadrado es 255m2
. ¿Cuál es la medida de cada lado del terreno?

17. Polinomios aritméticos. Ecuaciones
Para resolver un polinomio aritmético es necesario tener claro el orden en que se deben
resolver las operaciones.
Reglas para el orden de las operaciones: ejemplo:
1 primero se resuelve todo lo que este dentro de paréntesis.
2 se multiplica y divide de izquierda a derecha.
3 se suma y resta de izquierda a derecha.
Los signos de agrupación se destruyen en orden.
1. Efectúa las operaciones en el orden en que se presentan.
a- 2 + 3 – 5 – 9 =
b- 12 – 49 + 24 – 6 + 22 =
c- -5 + 23 -20 – 42 + 35 – 43=
d- - 7 – 3 + 16 – 17 + 28 =
e- 16 – 15 + 45 – 18 =
2. Resuelve los polinomios aritméticos.
a. 2 + (3 – 5 – 9) =
b. (2 + 3) – (5 – 9) =
c. 12- (49 + 24) – (6 + 22) =
d. -7 - {3 + [− 16 − (17 + 28) + 15]} =
e. (2 + 3). (- 5 – 9) =
f. [2. (−3 + 1]. [4 + 5 . (−5 + 5)]
3. Escribe cada expresión en símbolos matemáticos.
a. El opuesto de 32:
b. La suma del opuesto de 3 con la expresión obtenida en a.:
c. Dos veces la raíz cuadrada de 144:
d. La raíz cubica de 64:
e. La división entre las expresiones obtenidas en c. y en d.:
4. Resuelve las ecuaciones
a. X + 4 = 15
b. X – 4 =15
c. Y + 8 =-13
d. -32+ x = 25
e. Y – (-21) – 42
f. Z + (-18) = 6
3 – [2 + (4 − 5) − 3]
3 – [2 + (−1) − 3]
3- (-2)
5
Escriba aquí la ecuación.

18. g. Z – 30 = -17
h. (-25)-(-y) = 1
5. Encuentra el valor de la variable.
a. 2x = 8
b. – 3 x =72
c. – 5 y = - 85
d.
𝑥
7
= 12
e.
𝑦
4
= −21
f.
3𝑥
2
= 9
g. 8𝑦 − 9 = 15
h. -3y =21
6. Lee los problemas, plantea la ecuación correspondiente y resuélvela.
a. Para asistir a la salida ecológica, marina necesita $12 500. Si tiene
ahorrado $7300, ¿Cuánto dinero le falta?
b. Ernesto tiene 111 estampillas que corresponden a triple de las
estampillas que tiene Julián. ¿Cuántas estampillas tiene Julián?
c. ¿de qué número se restó 25 para obtener -17?
d. La diferencia entre el doble de la edad de Camila y los 7 años de su
hermano es 5. ¿Cuántos años tiene Camila?
e. Sial triple de los puntos obtenidos por el equipo visitante le agregamos
los 4 puntos del equipo local, obtenemos 6. ¿cuántos puntos obtuvo el
equipo visitante?