Este documento contiene ejercicios y problemas para la habilitación de octavo

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA DIVINO NIÑO
CAUCASIA ANTIOQUIA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
HABILITACIÓN MATEMÁTICA DE OCTAVO GRADO.
Docente: Javier Martínez González
A continuación se presenta una serie de problemas referentes a los contenidos del área de
matemática del grado octavo contemplada en el parte curricular de la institución educativa y
en los estándares.
Recuerde que este proceso de habilitación se rige con las normas presentes en el sistema de
evaluación institucional.
El taller consta de ejercicios y problemas:
1. Considere el siguiente conjunto de
números
𝐴 = {𝜋, √5, −1.8, −
2
3
,
4
7
, 5, − 11,
− 9, 0.81̅, 2
3
2
, 0. 3̅ , − √5, √9,
√−32
5
}
a. Escriba los números naturales
b. Escriba los números racionales.
c. Escriba los números enteros no negativos
d. Escriba los números enteros
e. Escriba los números irracionales
f. Escriba los números reales
g. Ordene de menor a mayor los elementos
del conjunto A.
2. Decida si es verdadero o falso en cada
una de las siguientes afirmaciones y
EXPLIQUE porqué:
a. −3 ∈ ℕ
b.
−4
8
∈ ℚ
c. 25 ∈ ℤ
d. −4.48 ∈ ℝ
e.
2
9
∈ ℤ
f. 16.333̅ ∈ ℚ
g.
1
0
∈ ℚ
h. √9 ∈ ℕ
i. √7 ∈ ℝ
j. 12 ∈ 𝕀
3. Resuelve
a. 22
2
246
)64(22


b.
12
7
3
2
8
3
3
7
6
7
5
2

c.    134343
32

d.  2
555520 
e.
8
5
2
4
3
3
3
2







f.    222
41636 
g.
5
3
2
3
4
1
8
1
 =
h.
  
48169
437
22



2. i.
50
21
25
8
5
2
2







j.  3
3
5,1
2
1
5,75,2  =
4. Aplica las propiedades de la potenciación
y la radicación para resolver las
siguientes expresiones:
a. 62
252
2
1
22
19
2
1
19
22
8
4
12
9
4
5
10
7
5
1
1
2
1



















































b.
2
1
5
3
1024
32
27
32
17
27
27
5
64
729
5
3

























c. 73
843
481
600
1
15
7
10
1
5
3
2
1
24
5
12
7
5
2



















































5. Ubica en la recta numérica los siguientes
números reales (cada número en una
recta diferente). Para ubicar los
irracionales usa regla y compas.
8
5
, √2, √3, √6, −√2, −
13
16
6. Resuelve las siguientes ecuaciones y
compruébalas:
a.   65
3
1
t
b.
2
3
6
45

x
c. x7,03,17,2 
d.    43323  kk
e.     mmm 12135358 
f.   )200(937452  pp
7. Halla un número tal que su triplo menos
5 sea igual a su doble más 3. ¿Cuál es el
número cuya tercera parte más 12 da 26?
8. La suma de las macetas de dos casas es
365. Una tiene 43 más que la otra.
¿Cuantas macetas tiene la casa que más
tiene?
9. Tres números enteros consecutivos
suman 69. Calcule la mitad de mayor
10. Pablito leyó en un día la cuarta
parte de las páginas de un libro, y al día
siguiente, una tercera parte. Si aún le
quedan 75 páginas por leer, ¿cuántas
páginas tiene el libro?
11. La suma de un número entero y el
doble del siguiente es 74. ¿De qué
número se trata?
12. La suma de un número y el
siguiente de su doble es 67. Calcula dicho
número.
13. El triple de un número menos 11 es
igual a 43. Averigua de qué número se
trata.
14. Juanito se gasta la mitad de su
dinero en la entrada del cine y una cuarta
parte en golosinas. Si le quedan 3 mil
¿cuánto dinero tenía?
15. Si al dinero que tengo le sumamos
su mitad y su cuarta parte, y le añadimos
un euro, tendré entonces 64 €. ¿Cuánto
dinero tengo ahora?
16. La hipotenusa de un triángulo
rectángulo mide 405cm y uno de los
catetos 60cm. Calcular:
a. Los catetos.
b. El área del triángulo.
17. Calcular los lados de un triángulo
rectángulo sabiendo que su hipotenusa
mide cm20
18. Una escalera de 10 m de longitud
está apoyada sobre la pared. El pie de la
escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué
altura alcanza la escalera sobre la pared?
19. Un árbol proyecta a cierta hora del
día una sombra de 37,5m. Si la distancia
desde la copa del árbol hasta el extremo
superior de la sombra que proyecta es de
62,5m, ¿Cuál es la altura del árbol?

3. 20. Halla el grado de cada término y el
grado absoluto de cada polinomio:
a. 253 2
 xx
b. 7367 23
 xxx
c.
462
93 xxxx 
d. 7367 2233
 xyyxyx
e. 25 24
 xyxyx
f.
226354
365 yxyxyx 
21. Elige una variable en cada
polinomio y ordénalo en forma
ascendente o descendente con respecto a
ella. Determina el grado absoluto de cada
polinomio y el grado relativo a x y a según
el caso.
a.
22443
524 yxyxyx 
b.
6774325
xyyxyxyx 
c.
526344325
3
1
2
5
5
4
2
3
2
1
baabbababa 
d. babbababa 85428634

e.
82
2
5
8 32
 xyxyyx
f. 271020 23
 xxx
22. Elimina los signos de agrupación y
reduce los términos semejantes:
a.
     abbaabaa  22
b.
    xyyxyxx 234 222

c.    2222
237 xxyyxxyx 
d.
    aaaaa 21 
23. Simplifica las siguientes
expresiones:
a.
  nmnmm 221
8
3
1
2
5
2
3
4
3







b.      xyyx 2563623 
c. yyxx  18,03,1825,1202,4036,19
d.   3453654 2222
 xyxyx
e.   223842 222
 mmmmm
24. Halla la suma de
a.
322233
7
3
4
3
10
1
3
5
2
2
3
1
yxyyxyxyx 
b.
22
4
1
2
1
3
1
2
1
yxyxyx 
c. 5056301085 222
 xxxxxx
d. 2222
3
1
6
1
9
1
3
1
3
2
4
3
babbabba 
25. Restar:
a. mnnm 322
 De mnnm 65 22

b.
54325
256 yxyyxx  De 181983 5234
 yyxxy
c.
9
3
2
10
1
4 223
 baabba
De
8
6
1
5
3 22
 baab
d.
322
5
1
8
3
2
1
nmnnm 
De 9
1
12
3
2
1
10
4 223
 mnnmn
e.
32
4
1 2
 ba
de
5
4
3
2
7
4 2
 baba
26. Multiplicar y después
simplifica la expresión en caso de que sea
posible
a.
4224
nnmm  por
22
nm 
b.
223
43 abbaa  por
322
102 babba 
c.
4224
3
1
9
2
yyxx 
por
43
7
3
yx
d.
22
4
1
3
1
2
1
yxyx 
por
yx
2
3
3
2

e. yyyy 2435 234
 por 13 24
 yy
f.
42234
432 nnmnmm  por
3223
35 mnmmnn 
27. Realiza las divisiones
correspondientes
a.
ab
ba
2
4 23

b.
ba
cba
2
34
5


c. 3
32
4
20
xy
ymx
d. 6
7
3
9
d
d
e.
a
a

 2
5
f. 43
43
ba
cba

4. g.
ab
ba

 2
h. 32
322
6
54
zxy
zyx

i. 32
32
8
8
xa
xa


j.
y
xy
2
2

k.
yx
yx
4
54
6
5

l. 7
46
5
16
n
nm

m. 85
837
20
108
cb
cba


n. 65
32
3
2
nm
nm


o.
cba
cba nm
43
6
5

p.
a
aba 2
r.
a
baaba
2
653 3223


s.
a
abbaa
3
963 223

t.
m
mnnmm
2
2086 223


w. 2
34
7
1428
x
xx 
u. 2
23
10
10520
x
xxx 
v.
5
510 yx 
w. 2
23
4
16328
y
yyy


y. 1
2
6
810


x
xx
z. 2
23
5
1015



x
xx
28. Dividir x4 + x3 – 3x2 + 1 entre x2
– 3
29. Dividir x4 – x2 – 2x + 2 entre x2
– x – 1
30. Dividir x5 – x4 + 6x2 – 5x + 3 entre
x2 – 2x + 3
31. Resuelve las siguientes divisiones
por división sintética. Encuentra el
cociente y el residuo.
a. 𝑥3
+ 8𝑥2
+ 6𝑥 + 1 ÷ 𝑥 + 5
b. 𝑥3
– 45𝑥 – 2 ÷ 𝑥 + 7
c. 𝑥2
+ 2𝑥 – 3 ÷ 𝑥 + 3
d. 𝑥 2
– 20 + 𝑥 ÷ 𝑥 + 5
e. 𝑚2
– 11𝑚 + 30 ÷ 𝑚 – 6
f. 3𝑥2
+ 2𝑥 – 8 ÷ 𝑥 + 2
32. Usa el teorema del residuo para
hallar el residuo de cada una de las
siguientes divisiones
a. 𝑥3
+ 4𝑥2
− 𝑥 − 10 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 2
b. 2𝑥4
− 5𝑥3
+ 7𝑥2
− 9𝑥 + 3 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 − 1
c. 𝑥5
+ 𝑥4
− 5𝑥3
− 7𝑥 + 8 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 3
d. 4𝑥3
− 8𝑥2
+ 11𝑥 − 4
33. Realiza los siguientes productos
notables
a. (𝑥 + 7𝑦)2
b. (3 + 4𝑥)(3 − 4𝑥)
c. (5𝑥2
− 3𝑥)(5𝑥2
+ 3𝑥)
d. (2𝑝 − 2𝑞)2
e. (𝑘 + 𝑟)(𝑘 − 𝑟)
f. (5𝑎 + 2𝑎3)6
g. (𝑚 − 8𝑛)2
h. (𝑚 + 3)(𝑚 + 8)
i. (𝑘 −
1
5
) (𝑘 −
2
3
)
j. (9𝑎𝑏 − 8𝑐𝑑)3
k. (𝑥 + 1)(𝑥 + 12)
34. Usa el teorema del binomio para
hallar el término central del desarrollo
(√ 𝑥
3
−
1
𝑥2
)
8
35. Calcular expresión que representa
el volumen de un cubo cuya arista mide
2𝑥 − 3.

5. 36. Una empresa de construcción
desea comprar un terreno así:
Encuentre la expresión que representa el área
del terreno
37. Hallar el área y el perímetro de
cada rectángulo
38. Calcula los siguientes cocientes
notables
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
39. En la siguiente figura se observa
una cancha de futbol cuya área está
representada por la expresión 7𝑥2
− 11𝑥 −
6.
Encuentre las expresiones de cada dimensión y
el perímetro.
40. Se desea sembrar dos tipos de
flores en un terreno que tiene la
siguiente forma y medidas como se
observa en la figura:
En la parte sombreada se sembraran tulipanes
y, rosas en la parte blanca. ¿Cual es la
expresión que representa el área de la zona
donde se sembraran tulipanes?
41. ¿Cuál es la expresión que
representa el área sombreada de la
siguiente figura, la cual la constituyen
dos círculos concéntricos cuyos radios
son 𝑟 = 3𝑧 y 𝑅 = 4𝑥?

6. 42. De un cubo de arista 5x se extrajo
un cubito de arista 3, como muestra la
figura. ¿Cuál es la expresión factorizada
del volumen del solido restante?
43. Factorice las siguientes diferencias
de cuadrado.
a. 4𝑎2
𝑏2
− 9𝑎6
𝑏8
b. 49𝑐10
−
1
100
c. 𝑥 − 𝑦
d. 𝑧2
− 81𝑤6
44. Se desea hacer una caja con una
lámina de papel cuadrada de lado 4m.
Para su realización de deben recortar
pequeños cuadros de lado 5n de cada
una de las esquina. Haga una gráfica de
la situación, ¿Cuál es la expresión
factorizada del área de la figura después
de recortar estos cuadros?
45. Factorice las siguientes
expresiones usando factor común
monomio.
a. 39𝑎3
𝑏4
𝑐5
− 26𝑎4
𝑏5
𝑐6
+ 13𝑎5
𝑏6
𝑐7
b. 96 − 48𝑚𝑛2
+ 144𝑛3
46. Factorice las siguientes
expresiones usando factor común
polinomio.
a. 42(𝑎2
+ 1) − 13𝑏(𝑎2
+ 1)
b. (2𝑥 + 3 )( 3 − 𝑟 ) − (𝑥 − 5 )( 3 − 𝑟 )
47. Factorice las siguientes
expresiones usando factor común por
agrupación de términos
a. 2𝑎𝑚 − 2𝑎𝑛 + 2𝑎 − 𝑚 + 𝑛 − 1
b. 3𝑚2
+ 6𝑚𝑛 − 4𝑚 − 8𝑛
48. Determinar si los siguientes
trinomios son TCP. En caso de que si lo
sean factorice:
a. 𝑦2
+ 14𝑦 + 49
b. 81𝑥2
− 32𝑥𝑦 + 4𝑦2
c. 169 + 𝑥2
− 26𝑥
d. 𝑐2
− 30𝑐 + 225
e.
49
16
𝑥2
− 28𝑎𝑥 + 64𝑎2
49. Resuelve la siguiente situación.
a. El área de un círculo está
representada por la expresión 𝜋(9𝑥2
−
66𝑥 + 121). ¿Cuál es la expresión que
representa el radio? ¿cuál es la
expresión del perímetro de dicho
círculo?
b. La expresión que representa el área
de un cuadrado está dada por
4𝑥4
+ 12𝑥2
+ 9.Encuentre la expresión
que determina la medida del lado del
cuadrado y su perímetro.
50. Factorizar cada trinomio si es
posible.
a. 4𝑦2
+ 15𝑦 + 36
b. 15𝑥4
− 23𝑥2
+ 4
c. 3𝑥2
+ 15𝑥 + 1
d. 3𝑚6
− 8𝑚3
+ 4
e. 3𝑐8
− 14𝑐4
+ 4
51. Resuelve la siguiente situación.
Si el área de un rectángulo es 15𝑥6
−
8𝑥3
− 12. Hallar sus dimensiones y el
perímetro.
52. Factorizar cada trinomio si es
posible.
a. 𝑦2
+ 5𝑦 + 6
b. 𝑥2
− 3𝑥 + 40
c. 54 + 𝑥2
+ 15𝑥
d. 𝑚6
− 37𝑚 + 210
e. 𝑐8
− 14𝑐4
+ 24
53. Resuelve la siguiente situación:
Si el área de un rectángulo es 𝑥6
− 24𝑥3
+
143. Hallar sus dimensiones y el
perímetro
54. Resuelve cada una de las
siguientes operaciones con fracciones
algebraicas y simplifica si es posible.
a.

7. b.
c.
d.
e.
f.