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- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO DISTRIBUCIÓN Y LOGÍSTICA EXPRESIÓNES ALGEBRAICA Alumno: Keiber Alejandro Vargas C.I 25.163.515 FEBRERO, 2023
- 2. CONJUNTO Se denomina conjunto a la agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común. Un conjunto es representado por una letra mayúscula, encerrándose sus elementos, separados por comas, entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, integrado por las vocales, se representaría así: A= {a, e, i, o, u} OPERACIONES CON CONJUNTO UNIÓN DE CONJUNTOS Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o de B, es decir: Ejemplo: Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s} Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. Luego,
- 3. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: Ejemplo: Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y C = {a, t, u, v}. Encuentre: Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se tiene que: Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo anterior, se denominan Conjuntos disjuntos
- 4. DIFERENCIA DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto: Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces: A – B = {a} y B – A = {d, e}. Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
- 5. Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa: Ejemplos: a) Sean U = {m, a, r, t, e} y A = {a, e} Su complemento de A es: A' = {m, t, r} b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = {e, i, a} Determinado por extensión tenemos U = {a, r, i, t, m, e, c} A = {e, i, a} Su complemento es: A' = {r, t, m, c}
- 6. En forma gráfica: PROBLEMAS CON OPERACIONES CON CONJUNTOS Mediante diagramas de Venn y las definiciones y aplicación de las distintas operaciones con conjuntos se pueden resolver problemas, que nos preparan en el campo de la lógica formal. Ejemplo: A una fiesta llegaron 150 personas, de las cuales 75 cantan, 85 bailan, 20 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan? Solución: La pregunta lleva implícita una conectiva lógica y, que es parte importante de la definición formal de la operación intersección. Por lo tanto, podemos representar el problema de la siguiente manera:
- 7. NUMEROS REALES Los números reales son todos aquellos que pueden representarse en una recta numérica, Por lo tanto, números como -5, – 6/2, 0, 1, 2 ó 3.5 son considerados reales porque se pueden plasmar en una representación numérica sucesiva, en una recta imaginaria. La letra R mayúscula es el símbolo que representa el conjunto de números reales. los números reales se pueden clasificar de la forma siguiente. En un primer apartado podríamos incluir al conjunto de los números naturales, representados por una N mayúscula y que son el 1, 2, 3, 4, etc., así como los números primos y los compuestos, pues ambos son igualmente naturales.
- 8. Por otra parte, tenemos los números enteros representados por una Z mayúscula y que a su vez se dividen en números enteros positivos, números enteros negativos y el 0. De esta manera, tanto los números naturales como los enteros están englobados dentro del conjunto de los números racionales representados por la letra Q mayúscula. En cuanto a los números irracionales, que se representan normalmente con las letras ll, son aquellos que cumplen dos características: no se pueden representar en forma de fracción y tienen números decimales infinitivos en forma periódica, por ejemplo, el número pi o el número áureo (estos números son igualmente números reales, ya que se pueden plasmar en una recta imaginaria) DESIGUALDADES La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual Signos de desigualdad matemática Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes: Desigual a: ≠ Menor que: < Menor o igual que: ≤ Mayor que: > Mayor o igual que: ≥ Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
- 9. Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”. PROPIEDADES Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades: Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2) /3 > 9/3 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x- 2 +3 > 9+3 Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de sentido: Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9 Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3 VALOR El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2 r r = 5 cm. L(5) = 2 · · 5 = 10 cm S(l) = l2 l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2 V(a) = a3
- 10. a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3 Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 Q(x) = x4 − 2x3 + x2 + x − 1 ; x = 1 Q(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0 R(x) = x10 − 1024 : x = −2 R(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0 VALOR ABOSLUTO La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo. Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad significa que la distancia entre y es menor que Así, y El conjunto solución es
- 11. Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales y si entonces y Ejemplo. Resolver la inecuación Solución. Sabiendo que: Por lo que el conjunto solución es el intervalo