CONJUNTOS, VALOR ABSOLUTO, NUMEROS REALES, DESIGUALDADES.

1. Estudiantes:
Maricarmen González C.I 21.396.673 PNFDL 0302
Angelis González C.I 27.210.718 PNFDL 0302
Rafael Goyo C.I 14.648.594 PNFDL 0302
Valery García C.I 30.266.340 PNFDL 0302
Prof. María E. Ramírez
Matemáticas Trayecto Inicial

2. Definición de Conjunto
En la representación matemática, los
elementos que forman el conjunto se
colocan entre llaves separados por una
coma. por ejemplo, si el conjunto A está
formado por los siguientes números, 1, 3,
5, 7, 9 y 11 anotamos:
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
Determinación de Conjuntos
Para determinar un conjunto usamos dos procedimientos; por extensión y por comprensión.
Un conjunto está determinado por extensión cuando se nombra a cada uno de los elementos, por ejemplo:
El conjunto P esta formado por los elementos 1, 2, a, b y c, que se anota de cualquiera de la siguiente manera
P = {1, 2, a, b, c}
Un conjunto está determinado por comprensión cuando se enuncia una propiedad que es común a cada uno de los
elementos del conjunto; por ejemplo:
a) El conjunto formado por los nombres de los días de la semana. A = {días de la semana}
b) El conjunto formado por los nombres de los sentidos corporales. B = {sentidos corporales}
Un conjunto es una agrupación, colección o reunión de
objetos de cualquier naturaleza o de números. Cada uno
de los objetos o números que forman el conjunto se llama
elemento.
Para facilitar las explicaciones, a los conjuntos los
anotamos con letras mayúsculas y a los elementos con
números, letras minúsculas, figuras, etc.

3. Continuación…
La segunda forma de anotar los conjuntos determinados por comprensión se llama notación simbólica y es la
que más se usa en matemática.
En esta notación, dentro de un paréntesis se escribe una equis, que llamamos elemento genérico y que no
representa a ningún elemento en particular, seguido de una línea vertical, que se lee “tal que” o “tales que”,
detrás de la cual escribimos en forma matemática las características del conjunto, por ejemplo:
A = { x | x > 8 } Se lee “A es el conjunto formado por los elementos equis, tales que, equis es mayor que ocho”.
Conjuntos Numéricos
N → Es el conjunto formado por los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4....}
N* → Es el conjunto formado por los números naturales exceptuando el cero.
Z → Es el conjunto formado por los números enteros.
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} y también Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ...}

4. Operaciones con Conjuntos
 Intersección de conjuntos
Se llama intersección de dos conjuntos A y B, al
conjunto C, formado por los elementos comunes a A y a
B (zona rayada de la figura).
Que se lee “C el conjunto formado por la intersección
de A con B”.
En notación simbólica se anota:
A ∩ B = { X | X ∈ A y X ∈ B }
Que se lee "La intersección del conjunto A con el
conjunto B es igual al conjunto formado por los
elementos X, tales que, pertenezcan a A y a B".
Ejemplo:
Dados:
A = {a, b, c, d, e, f, g} y B = {d, e, f, g, h, i};
se tiene que A ∩ B = {d, e, f, g}
La intersección de conjuntos se anota con el símbolo
∩. Si el conjunto C es la intersección de los conjuntos
A y B anotamos.
C = A ∩ B

5. Unión de Conjuntos
Se llama unión de dos conjuntos A y B, a otro
conjunto C, formado por los elementos que
pertenecen a A, con los que pertenecen a B y con los
que pertenecen a ambos (zona rayada de la figura).
En notación simbólica se anota:
A U B = { X | X ∈ A o X ∈ B }
Que se lee “La unión del conjunto A con el conjunto
B es igual al conjunto formado por los elementos X,
tales que X pertenece a A o a B o a ambos”.
Ejemplo:
Dados:
A={ 1, 3, 5, 7, 9 }; B={ 10, 11, 12 };
Se tiene que A U B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
La unión de los conjuntos se anota con el símbolo
U.
Si el conjunto C es la unión de los conjuntos A y
B anotamos:
C = A U B
Que se lee "C es el conjunto formado por la
unión de A con B".

6.  Diferencia de Conjuntos
Se llama diferencia de dos conjuntos A y B, en este
orden, a otro conjunto C, formado por los elementos
que pertenecen A pero que no pertenecen a B (zona
rayada de la figura).
Que se lee “ C es el conjunto formado por la diferencia
entre los conjuntos A y B ”
En notación simbólica se anota:
A – B = { X | X ∈ A y X ∉ B }
Que se lee “La diferencia del conjunto A con el
conjunto B es igual al conjunto formado por los
elementos X, tales que, X pertenece a A pero no
pertenece a B”
Ejemplo: Encuentra A - B para los conjuntos a
continuación:
B= {1, 2, 4, 6}
A = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}
A - B = {7, 8, 9}
La diferencia de dos conjuntos se anota con el
signo - de restar.
Si el conjunto C es la diferencia entre los
conjuntos A y B, en este orden, anotamos.
C = A - B

7. Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se
representa con la letra ℜ.
 Números Naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los
números naturales. Estos son los números con los que
estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el
infinito. El conjunto de los números naturales se
designa con la letra mayúscula N.
Todos los números están representados por los diez
símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el
nombre de dígitos.
 Números Enteros
El conjunto de los números enteros comprende los
números naturales y sus números simétricos. Esto
incluye los enteros positivos, el cero y los enteros
negativos. Los números negativos se denotan con un
signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y
se representa como:
𝑍 = {… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1,2,3,4,5 … }
Números Reales

8.  Números Racionales
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de
medir cantidades continuas y las divisiones inexactas.
Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el
volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las
fracciones. El conjunto de números racionales se
designa con la letra Q:
𝑸 =
𝒑
𝒒
𝒑, 𝒒 ∈ 𝒁, 𝒒 ≠ 𝟎
 Números Irracionales
Los números irracionales comprenden los números que
no pueden expresarse como la división de enteros en el
que el denominador es distinto de cero.
Se representa por la letra mayúscula I. Aquellas
magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o
como fracción que son inconmensurables son también
irracionales.
Por ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro
el número π = 3,141592… Las raíces que no pueden
expresarse exactamente por ningún número entero ni
fraccionario, son números irracionales:
√𝟐,√𝟑, √𝟓,√𝟕, ….

9. Desigualdades
 Cuando tenemos dos números o expresiones relacionadas por el signo = decimos que es una igualdad.
 Cuando tenemos dos números o expresiones relacionadas con cualquiera de los símbolos > , < ; ≥ , ≤ ; decimos que
es una desigualdad.
 Igual que en las igualdades, a la expresión que está a la izquierda, la llamamos primer miembro de la desigualdad y
a la expresión que está a la derecha segundo miembro.

10. Propiedades de las Desigualdades
 Si a los dos miembros de una desigualdad se les
suma o resta un número, la desigualdad conserva
su sentido.
 Ejemplos:
7 > 5
7+2 > 5+2
9 > 7
7 > 5
7-2 > 5-2
5 > 3
5 < 10
5+2 < 10+2
7 < 12
5 < 10
5-3 < 10-3
2 < 7
Podemos observar que en todos los casos el sentido
de la desigualdad después de la suma o resta no ha
variado.
 Si a los dos miembros de una desigualdad se les
multiplica o divide por un número positivo el
sentido de la desigualdad no varia, pero si se les
multiplica o divide por un numero negativo
desigualdad cambia de sentido.
 Ejemplos:
-2 < 5
-2(+2) < 5(+2)
-4 < 10
-2(-2) > 5(-2)
-4 > -10
𝟏𝟎 < 𝟐𝟎
𝟏𝟎
𝟐
<
𝟐𝟎
𝟐
5 < 10
𝟏𝟎
−𝟐
<
𝟐𝟎
−𝟐
-5 < -10

11. Valor Absoluto
 Cuando dibujamos en una recta numérica los números enteros decimos que hay la misma distancia entre
cada dos puntos consecutivos.
 Si tomamos como referencia el cero, veremos que hay la misma distancia del cero al +2
que del cero al 2 y del cero al +3 que del cero al 3. Y en general del cero al número a
que del cero al número -a. A esta distancia común para un número y su simétrico con
relación al cero se le llama valor absoluto y se anota con dos barras verticales ‫׀‬ x ‫׀‬
 Para indicar el valor absoluto de a anotamos |a| que se lee "valor absoluto de a" y
equivale a la distancia desde el cero hasta a o del cero hasta -a y estas distancias son
iguales al número a positivo.

12. Propiedades del Valor Absoluto
A. Cuando |x| = 0 entonces x = 0
B. Siempre se cumple que |x| = |-x|
C. |x + y| ≤ |x| + |y|
El valor absoluto de la suma de dos números reales es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los
sumandos.
D. |x · y| = |x| · |y|
El valor absoluto del producto de dos números reales es igual al producto de los valores absolutos de los
factores.
E.
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
El valor absoluto del cociente de dos números reales es igual al cociente de los valores absolutos del dividendo y
del divisor.
Propiedades del Valor Absoluto

13. Desigualdades con Valor Absoluto (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
La desigualdad |x| < 3 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -3 y x < 3 el conjunto solución es {x‫׀‬ -3 < x < 3, x ϵ R }
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si ‫׀‬a‫׀‬ < b,
entonces a < b y a > - b.
EJEMPLO
‫׀‬6x -11‫׀‬ < 5
Solución: sabiendo que:
‫׀‬x‫׀‬ < k → - k < x < k
-5 < 6x -11 < 5
-5 + 11 < 6x < 5 + 11
6 < 6x < 16
𝟔
𝟔
<
𝟏𝟔
𝟔
1< x <
𝟖
𝟑
Por lo que el conjunto solución es el
intervalo:
1,
9
3

14. Desigualdades con Valor Absoluto (>)
La desigualdad ‫׀‬x‫׀‬ > 3 significa que la distancia entre x y 0 es mayor
que 4.
Así, x < -3 o x > 3. El conjunto solución es { x‫׀‬ x < -3 o x > 3, x ϵ R}
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es
negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si ‫׀‬a‫׀‬ > b,
entonces a > b o a < -b.
EJEMPLO
‫׀‬5x + 2‫׀‬ > 7
Solución: Sabiendo que: ‫׀‬x‫׀‬ > k → k
< x o x < -k
7< 5x + 2 ; 5x + 2 < -7
7 – 2 < 5x ; 5x < -7 – 2
5 < 5x ; 5x < -9
𝟓
𝟓
< 𝒙 ; 𝒙
−𝟗
𝟓
1 < x ; x < -
𝟗
𝟓
Por lo que el conjunto solución es:
−∞, −
𝟗
𝟓
∪ 𝟏, ∞

15. Referencias Bibliográficas
• Navarro, E. 1987 Curso Propedéutico de Matemáticas, Caracas Venezuela, Disza C.A.
• Salamanca, E. (04 de Noviembre de 2023) Guía 1 de Matemáticas Números Reales, Liceo Pablo
Neruda Temuco-Colombia, https://www.liceopablonerudatemuco.cl/wp-
content/uploads/2020/04/MATEM%C3%81TICA-Gu%C3%ADa-1-N%C3%BAmeros-Reales-2020-
2%C2%BA-Medio.pdf
• Universidad Nacional Autónoma de México (04 de Noviembre) Desigualdades de Valor Absoluto,
http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/tsm/Applets
_Geogebra/inecvalabs.html