Definición de Conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades, definición de valor absoluto y desigualdades con valor absoluto

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria.
Universidad Politécnica Territorial ´´Andrés Eloy Blanco´´
Barquisimeto-Lara
Estudiante:
Leydi Timaure
C.I: 31.259.445
Barquisimeto, Febrero Del 2023

2. ¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten características y
propiedades similares. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos, como números,
canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto
de planetas del sistema solar.
Un conjunto puede a su vez convertirse en un elemento. Por ejemplo: un ramo de flores sería
esencialmente una flor como primer elemento, pero el conjunto de flores se puede considerar
un ramo y, por lo tanto, se convierte en un nuevo elemento.
Para representar gráficamente un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos
que lo componen, separados por comas. Por ejemplo: "S" se define como el conjunto de días
de la semana, por lo que S= [lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo].
Operaciones con conjuntos
-Unión de conjuntos:
La unión de dos conjuntos A y B se puede definir como un nuevo conjunto formado por los
conjuntos que acabamos de mencionar con símbolo ∪ y expresado de la siguiente manera:
A ∪ B
Se lee:
A unido con B o A unión B, tal que la unión entre estos conjuntos deba cumplir la siguiente
condición matemática:
A ∪ B = { x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Donde U es el conjunto universal para x tal que x pertenece a al conjunto A o x pertenece al
conjunto B. En consecuencia, también podemos representarlo proposicionalmente así:
X ∈ (A ∪ B) = (x ∈ A V x ∈ B)
Si queremos indicar que x no pertenece a la unión de los conjuntos de A y B, aplicaremos la
ley de transposición de la bicondicional p ↔ q = ∼p↔∼q
∼[x ∈ (A ∪ B)≡ ∼[(x ∈ A ∨ x ∈ B]
Dónde:
-Lado izquierdo: ∼ [x ∈ (A ∪ B)] = [x ∉ (A ∪ B)]
-Lado derecho: ∼ [x ∈ A ∨ x ∈ B]= ∼ (x ∈ A ∧ ∼ (x ∈ B) = x ∉ A ∧ x ∉ B
Igualando, obtenemos:

3. X ∉ (A ∪ B) = x ∉ A ∧ x ∉ B
-Intersección de conjuntos:
La intersección de dos conjuntos A y B está definido como aquel conjunto representado por
los elementos comunes entres A y B, en otras palabras, es el conjunto de los elementos que
pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B simultáneamente. Simbólicamente lo
representamos así:
A ∩ B
Se lee:
A intersección B y debe cumplir la siguiente condición:
A ∩ B= {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Proposicionalmente también podemos escribir así
X ∈ (A ∩ B) ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)
-Diferencia de conjuntos:
La diferencia de dos conjuntos A y B está definido como el conjunto de elementos que
pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B, esta denotado como A – B y
simbólicamente cumple la propiedad ya expuesta:
A – B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Proposicionalmente lo podemos escribir así:
X ∈ (A – B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B
-Complemento de un conjunto:
El complemento de un conjunto A respecto a otro conjunto B que lo contiene, resulta ser lo
que le falta al conjunto A para ser igual a B. Sea los conjuntos A y B tal que A⊆B, definimos
el complemento denotado por C A B de la siguiente manera:
C B A = B – A
Por comprensión, lo podemos escribir así:
C B A = {x ∈ B | x ∈ (B – A) ∧ A ⊆ B}
Proposicionalmente lo podemos escribir así:
X ∈ C B A ⇔ x ∈ (B – A) ∧ A ⊆ B
Cuando indicamos el complemento de un conjunto sin indicar ningún conjunto respectivo,
entonces se hace referencia al conjunto universal. Sea el conjunto A y el conjunto universal
U. definimos el complemento de un conjunto representado por C (A)= A′ = Ac de la siguiente
manera:

4. A′ = U – A
Números Reales
Todos los números reales son números representados como puntos en la recta numérica real.
Este conjunto está formado por la unión de conjuntos de números racionales e irracionales.
Representado por la letra ℜ.
Características de los números reales:
-Infinito
El conjunto de los números reales tiene un número infinito de elementos. Es decir, no hay
final ni para el lado positivo ni para el lado negativo.
-Ordenar
En la línea real, el orden de los dígitos está determinado por su posición dentro de la línea.
El número aumenta a medida que se mueve hacia la derecha y disminuye a medida que se
mueve hacia la izquierda. Si toma dos números reales diferentes llamados a y b, ocurrirá una
de dos posibilidades. , es decir, más pequeño, o b , para que pueda ordenar los números reales.
-Integral
La propiedad de completitud de los números reales significa que no hay espacios en blanco
en este conjunto de números.
Matemáticamente, esto se formula como cada conjunto tiene un límite superior y cada
conjunto tiene un límite más pequeño.
-Expansión decimal
Todos los números reales se pueden representar como números decimales con expansión
decimal finita o infinita. Los números irracionales tienen infinitos decimales no repetibles.
Por ejemplo, el número pi π es aproximadamente 3,14159265358979..., pero los números
racionales tienen extensiones finitas (es decir, terminaciones) como 0,25 e infinitas pero
periódicas (es decir, repetitivas). ) como 3.333...
Se utilizan para medir cantidades continuas como la longitud y el tiempo.

5. Desigualdades
La desigualdad matemática es un teorema de la relación de orden que existe entre dos
expresiones algebraicas conectadas por los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que
<, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de
valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea
para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
Menor que <
Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:

6. 3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.
Valor absoluto
En matemáticas, el valor absoluto de un número dado siempre será igual o mayor que 0,
pero nunca puede ser negativo. En este caso es importante mencionar que el valor absoluto
de los números, por ejemplo 4 y -4, siempre será |4|.
En una recta numérica, el valor absoluto se representa como una distancia dada desde un
punto de origen dado. En otras palabras, si se desplazan siete unidades a la izquierda o a la
derecha desde cero, llegamos al número 7 o -7 en la línea, por lo que el valor absoluto de
estos valores siempre es 7.
Un aspecto importante del valor absoluto es que está representado por dos barras conocidas
como barras de valor absoluto. Es muy importante no confundir estas barras con corchetes
a la hora de trabajar, porque en matemáticas esto podría cambiar todas las reglas e incluso
las definiciones.
Desigualdades con valor absoluto (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
La desigualdad significa que la distancia entre y es menor que
Así, y El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números
reales y si entonces y
Ejemplo.

7. Resolver la inecuación
Solución.
Sabiendo que:
Por lo que el conjunto solución es el intervalo
Desigualdades con valor absoluto (>)
La desigualdad significa que la distancia entre y es mayor que
Así, o El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales y si entonces o
Ejemplo.
Resolver la inecuación
Solución.
Sabiendo que:
Por lo que el conjunto solución es: