PRESENTACION: CONJUNTOS

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDA POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
CONJUNTOS
NOMBRE Y APELLIDO:
Gabriel Rodríguez 27.831.350
SECCION:
0402

2. CONJUNTOS
Los conjuntos numéricos son las categorías en las que se clasifican los números, en
función de sus diferentes características. Por ejemplo, si tienen o no una parte decimal, o si
poseen un signo negativo delante.
Los conjuntos numéricos son, en
otras palabras, los tipos de números
que las personas tenemos a nuestra
disposición para realizar operaciones,
tanto cotidianas como a un nivel más
sofisticado (por parte de ingenieros o
científicos, por ejemplo).
Estos conjuntos son creación de la mente humana, y forman parte de una abstracción. Es
decir, no existen materialmente hablando.
Operaciones entre conjuntos
Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la igualdad, podemos crear
unos nuevos a través de las operaciones entre conjuntos. Aquí aprenderás de que se trata.
Unión de conjuntos
Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos
como se muestra en la siguiente figura:
Podemos crear otro conjunto conformado con
los elementos que pertenezcan a M o a N. A este nuevo
conjunto le llamamos unión de M y N, y lo notamos de la
siguiente manera:
M ∪ N. En la imagen de abajo puedes observar el
resultado de unir los conjuntos M y N.
Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos M y N, debes
preguntarte cuáles están en el conjunto M “o” en el conjunto N. El resultado de la
operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal , que
cumplan la condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso: M ∪ N = { a,c,b,g,e,1}

3. Intersección de conjuntos
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos anteriormente. Podemos
determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos M
y N tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de M y N, y lo
notamos de la siguiente manera: M ∩ N
Para determinar qué elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos M y U te
puedes preguntar qué elementos están en M “y” en N Todos los elementos del
conjunto ∪ que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto . En la figura de la
arriba puedes ver la intersección de nuestros conjuntos M y N: M ∩ N = {b}
Diferencia de conjuntos
Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.
En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el
otro. Por ejemplo, si realizas la operación M menos N, debes seleccionar los elementos
de M que no están en N. Representamos la diferencia M menos N así: MN. Observa que
en este caso MN = {a,c}.

4. Diferencia simétrica de conjuntos
En esta ocasión se deben escoger los elementos de M que no están en N, y los elementos
de N que no están en M. Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre M y N en
la figura de abajo. Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo Δ. En el
caso de nuestros conjuntos M y N tenemos: M Δ N = {a,c,g,l,e} .
Complemento de un conjunto
Decimos que el complemento de M es el conjunto conformado por todos los elementos del
conjunto universal ∪ , que no pertenecen al conjunto M . Es común usar los símbolos
Mc
,𝑀
̅ o M´ para representar el complemento del conjunto M. En este caso tenemos Mc
={j.f,g,l,e,i,h} y Nc
= {i,h,j,f,a,c}

5. NUMEROS REALES
En matemáticas, el conjunto de los números
reales (denotado por R o por ℝ) incluye tanto los números
racionales (positivos, negativos y el cero) como
los números irracionales; Y en otro enfoque, a
los trascendentes y a los algebraicos. Los irracionales y
los trascendentes no se pueden expresar mediante
una fracción de dos enteros con denominador no nulo;
tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales
como √5, π, o el número real log(2), cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el
siglo XVIII.
DESIGUALDADES
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o
igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su
naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor
número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es
mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas
posibles en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que implicaría
que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el caso de “a≠b”,
leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b”
implica que a es mayor o igual a b.

6. Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática “a≠b” no es
excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por ejemplo, “a≠b” y “a>b”
pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado, tampoco son excluyentes entre sí las
expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.
Ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos
miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a
la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se
cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
Tipología de desigualdades
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su nivel de aceptación.
Ninguna de ellas no incluye la desigualdad general (≠). Son las siguientes:
 Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad entre elementos.
De este modo, entenderemos como desigualdades de este tipo el “mayor que” (>) o
“menor que” (<).
 Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no se especifica si
uno de los elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto, estamos hablando de
“menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual que” (≥).
Propiedades
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2) /3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2
+3 > 9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que cambia de
sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia
de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9

7.  Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de
sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
Notación encadenada
Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas aquellas expresiones de
desigualdad en las que se relacionan más de dos elementos. Sería este caso si, por ejemplo,
relacionamos a, b y c de modo que cada uno es menor al otro.
Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y, a su vez, “b es menor
que c”. De modo que podemos deducir que “a es menor que c”, esta propiedad la
conocemos por el nombre de propiedad transitiva.
Diferencia entre desigualdad e inecuación
Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la desigualdad
matemática que es usualmente confundido con ella: las inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser incongruente o,
simplemente, denotar que no existe solución posible al enunciado. Por lo tanto, una
inecuación puede ser una desigualdad, pero, por otro lado, una desigualdad no tiene por qué
ser una inecuación.
Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una inecuación
porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita contener una incógnita y si es así puede
ser, a la vez, una inecuación. Para operar con ellas debes entender sus propiedades ante la
suma, resta, multiplicación y división de sus elementos.
VALOR ABSOLUTO
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de
las matemáticas para nombrar al valor que tiene un
número más allá de su signo. Esto quiere decir que el
valor absoluto, que también se conoce como módulo, es
la magnitud numérica de la cifra sin importar si su
signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo)
como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo
y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe
entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
El valor absoluto de un número es su magnitud más allá del signo.

8. Características del valor absoluto
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que
0 y nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto
de los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor
absoluto: |8|.
También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el número
y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma distancia
del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.
La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor absoluto de su
diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor
absoluto de |3|.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a >
- b .
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta .

9. x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a <
- b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

10. Ejercicios
Unión de conjuntos:
1) Los conjuntos A = {3,4,5,8,9} y B = {5,7,8,9,10}
La unión de ambos conjuntos es: A U b = {3,4,5,7,8,9,10}
Intersección de conjuntos:
1) Los conjuntos X = {7,8,9,10,11,12} y Y = {5,6,9,11,13,14}
La intersección de ambos conjuntos es: X Ո Y = {9,11}
Diferencia de conjuntos:
1) En los conjuntos C = {u,v,x,y,z} y D = {s,t,v,z,p,q}
Entonces: CD = {u,x,y}
Diferencia simétrica de conjuntos:
1) Si A = {1,3,4,5,6,7,20,30} y B = {2,6,20,40,50}
La diferencia simétrica es:
A Δ B= {1,2,3,4,5,6,7,20,30,40,50} – {6,20} = {1,2,3,4,5,6,7,30,40,50}
Conjuntos complementarios:
1) Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y A = {3,4,6,7,}
Entonces AC
= {1,2,5,8,9,10}.

11. Números reales:
1) Clasifica los siguientes números indicando a cuales de los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ y ℝ
5, -7, 0.23,
5
4
, √18/2, √−3, √−5
3
, -
𝜋
2
, 4.7
̂, √−4
NATURALES ℕ = 5, √18/2 =3
ENTEROS ℤ = 5, -7, √18/2
RACIONALES ℚ = 5, -7, 0.23,
5
4
, √18/2, 4.7
̂
REALES ℝ : Son todos excepto √−4 que es un numero complejo ℂ
Desigualdades:
1) Resuelve y grafica la desigualdad 3x – 5 > 1.
Solución
 Empezamos escribiendo el problema original:
3x – 5 > 1
 Para despejar la variable, sumamos 5 a ambos lados de la desigualdad:
3x – 5 + 5 > 1+ 5
 Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
3x > 6
 Para resolver, dividimos ambos lados por 3:
3
3
x >
6
3
X > 2
 Graficamos la desigualdad con un punto abierto, ya que el 2 no está incluido en la
solución. La solución es todos los números hacia la derecha del 2:

12. 2) Resuelve y grafica la desigualdad 5x − 10 < 15.
Solución
Paso 1: Aquí, no tenemos nada para simplificar, por lo que empezamos con:
5x−10<155x−10<15
Paso 2: Para despejar la variable, sumamos 10 de ambos lados y simplificamos:
5x – 10 + 10 < 15 + 10
5x < 25
Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 5:
5
5
x <
25
5
X < 5
Paso 4: Para graficar, notamos que las soluciones a la desigualdad son todos los números
reales hacia la izquierda de 5. El 5 no está incluido, por lo que usamos un punto vacío para
indicar esto:
Valor Absoluto
1) |x + y| = (x + y)2
Desarrollando
|x + y|2
= x2
+ y2
+ 2xy
Se sabe |x|2
= x2
: |y|2
= y2
Reemplazando tenemos
|x + y|2
= x2
+ y2
+ 2xy
De otro lado
xy ≤ |xy|
multiplicando por 2:
2xy ≤ 2 |xy|
Ahora sumando a ambos miembros: |x|2
+ |y|2
tenemos: |x|2
+ |y|2
+ 2xy ≤ |x|2
+ |x|2
+ 2|𝑥||𝑦|
⏟
|𝑥𝑦|

13. Desigualdades con valor absoluto
1) |x|< 3
Los números que están entre 0 y 3 verifican la inecuación. Los que están
entre −3 y 0, también. Por eso, escribimos
-3 < x < 3
La solución de esta inecuación es
X ∈] − 𝟑, 𝟑[
2) |x – 3| = 2
Teniendo en cuenta la definición que vimos,
|x – 3| = {
𝑥 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 − 3 ≥ 0
−(𝑥 − 3), 𝑠𝑖 𝑥 − 3 < 0
Es decir,
|x – 3| = {
𝑥 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
3 − 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3
Por tanto, la ecuación del ejemplo ( |x − 3| = 2), se divide en dos ecuaciones:
{
𝑥 − 3 = 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
3 − 𝑥 = 2, 𝑠𝑖 𝑥 < 3
La solución de la primera ecuación es x = 5. Es una solución válida porque
cumple la condición x ≥ 3
La solución de la segunda ecuación es x = 1. Es una solución válida porque
cumple la condición x < 3
Por tanto, las soluciones de la ecuación |x−3| = 2 son
X = 5 y x = 1

14. BIBLIOGRAFIA
 https://economipedia.com/definiciones/conjuntos-numericos.html
 https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/operaciones-entre-
conjuntos/1/
 https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
 https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-
matematica/#:~:text=Las%20desigualdades%20matem%C3%A1ticas%
20est%C3%A1n%20formadas,dos%20es%20superior%20a%20nueve%
E2%80%9D.
 https://definicion.de/valor-absoluto/
 https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/ab
solute-value-inequalities