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GUIA TALLER DE NÚMEROS RACIONALES

                     (FRACCIONARIOS, DECIMALES, ECUACIONES)

                        ESTANDARES –PENSAMIENTO NUMERICO
                                    PENSAMIENTO

Construir el concepto de número racional y usar la relación de orden, las operaciones y
propiedades de los números racionales.

Comparar y relacionar la representación decimal y la representación fraccionaria de los números
racionales.

Resolver problemas cuyos datos involucran números racionales.

                                          COMPETENCIAS
INTERPRETATIVA:
Representa números racionales sobre la recta numérica.
Adiciona y sustrae números racionales
              strae
Identifica y utiliza las propiedades de la adición y multiplicación de racionales
Aplica los algoritmos de la multiplicación y la división de números racionales.
Simplifica expresiones, aplicando las propiedades de la potenciación de racionales.
Representa en forma decimal, números racionales
Comprende y aplica las propiedades de las operaciones con números racionales en la solución de
ecuaciones.

ARGUMENTATIVA:
Justifica la veracidad o falsedad de un enunciando y los procedimientos que efectúa para
representar o hallar fracciones equivalentes a números racionales.
Decide el valor de verdad de proposiciones que incluyen adiciones y sustracciones de números
racionales.
Justifica con procedimientos, la resolución de un problema que involucra operaciones entre
                                                        problema
números racionales.
Justifica las conjeturas que realiza sobre multiplicación y división de números decimales.
Decide que propiedades utilizar para solucionar una ecuación.

PROPOSITIVA:
Expresa enunciados dados utilizando números racionales.
Plantea algoritmos para la resolución de problemas con operaciones entre racionales.
Formula y resuelve problemas con operaciones de racionales.
Generaliza, a partir de ejemplos, el procedimiento para multiplicar o dividir números decimales
                                                                              n
por 10, 100 o 1000.
Plantea y resuelve ecuaciones.

                                 NUMERO FRACCIONARIO

Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro. Suele escribirse en la
forma ó ½ ó 1 / 2. En una fracción tal como a/b el número a que es dividido se llama
numerador y el número b que divide, divisor o denominador.
Cuando una fracción se escribe en la forma 2 / 3 el numerador queda arriba y el denominador
abajo.

                                          Fracciones




Una fracción es una parte de un total

 El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se
                                      ha cortado la pizza.

Numerador / Denominador

Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.
Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total.

                                          Numerador
                                        Denominador
¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D"
de dividir)


Representación de fracciones: Además de representar fracciones gráficamente, también podemos
hacerlo en una recta. Cada fracción viene representada por un único punto en la recta numérica.
A cada fracción le podemos asociar un único punto en la recta. Para hacerlo se traza una recta y
se fija en ella un punto correspondiente al cero y un segmento unidad. Según las fracciones sean
propias o impropias, se representan de diferente manera.

Representación de fracciones propias
1.° Si la fracción es propia, su valor estará entre 0 y 1.
2.° Para representar, por ejemplo, 2 /3 , dividimos el segmento comprendido entre 0 y 1 en
tantas partes iguales como indique el denominador de la fracción, 3, y tomamos tantas como
señale el numerador, 2.

Imagen:
Representación de 2/3

Representación de fracciones impropias
1.° Si la fracción es impropia, para representarla la expresamos como suma de un número
natural más una fracción propia.
 Así, por ejemplo, si queremos representar 9/4 : 9 en 4 = 2 + 1/4 .
Por tanto, la fracción está comprendida entre los valores 2 y 3.
2.°Dividimos el segmento comprendido entre 2 y 3 en 4 partes y tomamos 1.

Imagen:
                                                                      Representación de 9/4
FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes cuando representan a un mismo número.
Si dos fracciones son equivalentes se verifica que el producto cruzado es igual, es decir, dadas
dos fracciones       son equivalentes si y sólo si                     .
Las   siguientes   fracciones   son       equivalentes

Si a una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador por el mismo
número se obtiene una fracción equivalente.
Por amplificación: Ejemplo: 2/3. Multiplicamos numerador y denominador por 7. El resultado es:
14/21. Ya tenemos dos fracciones equivalentes.

                                           2    14
                                           ---- ----
                                           3    21
¿Cómo comprobamos que son equivalentes?. Podemos multiplicar en cruz y el resultado tiene
que coincidir. Comprobación anterior: 2 x 21 = 42 = 3 x 14

Otra forma de comprobarlo si tienes a mano una calculadora... es viendo si tienen el mismo valor
decimal..

                                 2       14
                               ---- = ---- = 0,66666666666
                                  3       21
Estas fracciones son en realidad lo mismo:
                                              1           2        4
                                                  =            =
                                              2           4        8
Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:

Y en un dibujo se ve así:
                                 1                    2                4
                                     /2                   /4               /8


                                            =                      =

Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:




La regla a recordar es:
                      ¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción
                      también lo tienes que hacer a la parte de abajo!
SIMPLIFICAR (REDUCIR) FRACCIONES

Dada una fracción cualquiera, simplificarla consiste en hallar la fracción equivalente a la dada
cuyo numerador y denominador sean lo menor posible.
Para simplificar(reducir) una fracción hallamos el máximo común divisor (M.C.D.) del numerador
y del denominador, al dividir ambos por el M.C.D. se obtiene la fracción equivalente simplificada.

Simplifica la fracción
Calculamos el m.c.d(24,30)=6 y dividimos tanto el numerador como el denominador por 6


Ejemplo por simplificación: Ejemplo 5/10. El numerador se puede dividir entre 5, 1 y 0. Y el
denominador se puede dividir entre 0, 1, 2, 5 y 10. Como tenemos que escoger un divisor mayor
que la unidad, escogemos el 5.

La nueva fracción es: 1/2. Por tanto ya tenemos dos fracciones equivalentes. Y de 18/36
tenemos que es igual a ½.

         5       1
        ---- = ----
         10      2
Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción (la
hemos hecho la más simple posible).




                                      TALLER DE PRACTICO

Simplifica las siguientes fracciones
36/18           98/32                49/7      81/18        27/35      1128 /188

Desarrollar las siguientes fracciones y determinar cinco (5) fracciones equivalentes
2/3       5/3       4/12      5/4       15/6        ½          ¾        5/2       7/4


                                       OPERACIONES
                                  Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
1. Se reducen los denominadores a común denominador:
 a. Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
 b. Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el
cociente obtenido por el numerador correspondiente.
2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

                          ejemplo

                           ejemplo
Ejemplos




                           MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene: Se multiplican los numeradores, este
producto es el nuevo numerador y Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo
denominador.
Después se simplifica


                              ejemplo
DIVISIÓN DE FRACCIONES

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos y Por denominador el producto de los medios.
                                                                               medios



                        ejemplo

Ejemplos




Propiedades de la suma y multiplicación


•      La suma en Q es conmutativa, esto es:
•      La suma en Q es asociativa, esto es:



•      La multiplicación en Q es asociativa, esto es:




•     La multiplicación se distribuye en la suma, esto es
Existencia de neutros e inversos

•       Para cualquier número racional: se cumple que            entonces   es el neutro
aditivo de los racionales y se le denota por 0.
•        Para cualquier número racional:    se cumple que                entonces   es el neutro
multiplicativo de los racionales y se le denota por 1.

•        Cada número racional:     tiene un inverso aditivo    tal que

•        Cada número racional:    con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo     tal que



                           Ejercicios de operaciones con fracciones
                                         operaciones

Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.
1 ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?


2¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos
 ¿Qué



Un padre reparte entre sus hijos 1800 €uros. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3
y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?




Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua. 4 botes de
1/3 de litro de zumo. 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa
el resultado con un número mixto.




                                         TALLER RESUELTO
      (Revisa los procedimientos y despeja tus dudas con el docente; para mejor entendimiento
                             realízalos utilizando la propiedad asociativa)

A. Calcula las siguientes operaciones con fracciones:
                                          fracciones

1.-
2.-


3.-

4.-

B. Efectúa las divisiones de fracciones:


1.-

                                    TALLER DE APRENDIZAJE
Efectúa las divisiones de fracciones:

1.-


Realiza las operaciones con fracciones:


1.

                               POTENCIAS DE FRACCIONES
Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al
exponente.




                              Potencias de exponente negativo

                                             Ej.



                                             Ej.

                        Propiedades de las potencias de fracciones


                         Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

                                            Ej.

                         División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

                                           Ej.
Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.


                                           Ej.

                     Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases


                                           Ej.

                      Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.


                                            Ej.


                     Ejercicios de potencias de fracciones resueltos.

Revisa el procedimiento de las siguientes operaciones con potencias de fracciones:

1.-


2 .-


3.-


4.-


5.-


6.-


7.-


8.-


9.-


10.-
11.-



12.-


13.-


                                             ESTUDIA

Halla las operaciones de fracciones con potencias:




                            Operaciones combinadas de fracciones
                                          Prioridades
1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2º.Calcular las potencias y raíces
3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4º.Efectuar los productos y cocientes.
5º.Realizar las sumas y restas.

                EJERCICIOS DE OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES




Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.


Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos
en el último.



Realizamos el producto y lo simplificamos.


Realizamos las operaciones del paréntesis.


Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
EJERCICIOS RESUELTOS

Opera:




Resuelve las operaciones combinadas:




Efectúa operaciones combinadas




Realiza las operaciones combinadas con potencias:
Comparación de fracciones
                            Fracciones con igual denominador

De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.


                              Fracciones con igual numerador
De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.


                         Ejercicios de comparar fracciones resueltos
Escribe el signo > o <, donde corresponda.




Compara las siguientes fracciones:




Ordenar de menor o mayor las siguientes fracciones:



                      =


                            TALLER DE APRENDIZAJE Y PRÁCTICA

Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en
electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se
emplea en limpieza. ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
Realiza la siguiente operación




Ingresa a esta pagina y practica un poco

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/fracciones_e/frac
ciones_ej_p.html


PARA RECORDAR
                                 OPERACIONES CON FRACCIONES




Una vez que controlamos las operaciones elementales con fracciones, suma, resta, producto y
cociente el siguiente paso es realizar operaciones conjuntas. Para ello hay que tener en cuenta la
preferencia operando. Recuerda primero en orden de importancia están los corchetes y
paréntesis, luego los productos y cocientes y finalmente sumas y restas.


                                    NUMEROS DECIMALES

Los números fraccionarios decimales pueden expresarse en otra forma llamada número decimal.
A su vez, los números decimales podrán también expresarse como fracciones. Las fracciones
impropias están formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. En cambio, las
fracciones propias sólo tendrán parte fraccionaria ya que su parte entera es igual a cero.
Representación decimal de los números racionales
                          l

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo
puede ser de tres tipos:


•      Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

•      Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:




•      Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:




En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de
restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en
dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la
siguiente manera:

Número periódico
• Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma
(como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras


decimales. Ejemplo:
• Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como
numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y
como    denominador,     tantos    "9"   como      cifras  tiene   el    periodo.    Ejemplo:


•   Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es
         ales
el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos
como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el p
                                                                            periodo y otros
tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número
entonces                    y                , por lo que el número buscado será



                             OPERACIONES CON DECIMALES

                                 ADICION Y SUSTRACCIÓN

Para sumar o restar números decimales, podemos hacerlo en forma de fracción y en forma
decimal.
Para sumar o restar en forma decimal se colocan los números de modo que las comas estén
encolumnadas. Luego se suman o restan como si fueran números naturales, poniendo la coma
en el resultado en su columna correspondiente.
                              correspondi




5,3 +7,04 = 12,34
13,279 + 18,96 = 32,239
0,0021 + 3,0109 + 8,7 =3,0130 + 8,7 = 11,713
24,5 - 1,29 = 23,21
345,6 - 23,91 = 321,69

                                      PARA PRACTICAR
Calcula las siguientes sumas de números decimales.

12,435 + 142,36 + 8,7 =
32,46 + 7,182 + 146,8 =
243,18 + 16,5 + 153,216 =
325,9 + 8,75 + 37,296 =

Un circuito A y un circuito B tienen la forma y las dimensiones que
indica la figura. ¿Cuál es la longitud en kilómetros de cada circuito?

Calcula las siguientes restas de números decimales.
4,3 - 2,84 =                                        123,7 - 98,49 =
52,61 - 13,72=                                      214,8 - 96,72 =
49,8 - 31,96 =                                      416,7 - 392,18 =
MULTIPLICACIÓN DE DECIMALES

Para multiplicar dos números decimales, se realiza la multiplicación de ambos como si fueran
números naturales. Luego se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras como
decimales tengan en conjunto los dos factores.




5,09 · 7,12 = 36,2408
4,2 · 9,17 = 38,514

              MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD
                                     SEGUIDA DE CEROS
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000,... se
                                                     seguida                1.000,
desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.
Ejemplos:

3,2 x 10 = 32                       3,2 x 100 = 320                   3,2 x 1.000 = 3.200

                                   PARA PRACTICAR Y APRENDER
Calcula
3,25x 10=                             3,25 x 100 =                 3,25 x 1.000 =
3,25 x 10.000 =                       3,25 x 100.000 =             3,25 x 1.000.000 =
4,1 x 10 =                            4,1 x 100 =                  4,1 x 1.000 =
4,1 x 10.000 =                        4,1 x 100.000 =              4,1 x 1.000.000 =
x 100 = 0,3 x 100 =

Primero, escribe cada fracción decimal en forma de número decimal. Después, resuelve.
                                                                   Despu




Realiza el siguiente producto:

Averigua cuáles de las siguientes expresiones son ciertas.
Calcula las siguientes multiplicaciones de números decimales.
32,43 x 2,4 =                        4,131 x 3,2 =                   431,4 x 3,5 =
25,49 x 31,3 =                       289,1 x 2,13 =                  49,63 x 2,14 =
(4,213 + 21,36) x 4,21               (32,46 - 18,213) x 21,5


                                   DIVISION DE DECIMALES
Las divisiones en las que participan números decimales pueden ser de varios tipos. Cada uno de
estos casos se resuelve de forma diferente:




                  DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD
                                      SEGUIDA DE CEROS
Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la
coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.
Ejemplos:
24,2 : 10 = 2,42                24,2 : 100 = 0,242                 24,2 : 1.000 = 0,0242

                DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURAL
Para dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si fuesen
números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.
Ejemplos:
DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMAL
Para dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del divisor y a la
derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después se
hace la división como si fuesen números naturales.
Ejemplo:




                           DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES
Para dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del
dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor; si es necesario, se
añaden ceros.
Luego se realiza la división como la división de naturales, teniendo presente que en el momento
en que se baje la primera cifra decimal del dividendo se colocará la coma en el cociente.

Ejemplo:




                                       PARA PRACTICAR

Calcula las siguientes divisiones:

81,2 : 10 =                      81,2 : 100 =                        81,2 : 1.000 =
81,2 : 10.000 =                  81,2 : 1 00.000 =                   81,2 : 1.000.000 =
5,3 : 10 =                       5,3 : 100 =                         5,3 : 1.000 =
5,3 : 10.000 =                   5,3 : 100.000 =                     5,3 : 1.000.000 =
24,2 : 10 = 2,42                 24,2 : 100 = 0,242                  24,2 : 1.000 = 0,0242
(4,32 + 71,6 + 18,1) : 10        (3,71 + 81,6 + 18,214 ) : 100       (731,25 - 49,138) : 4
(321,2 - 216,48) : 1.000         (482,14 - 18,186) : 10.000          5.490 : 1,22
4,326 : 3 = 32,156 : 4 =         267,05 : 5 = 39,120 : 6 =           412,16 : 7 = 52,632 : 8 =
(4,32 + 18,2 + 36,49) : 3        585 : 1,3                           7.749 : 1,23
2.875 : 2,3                      12.936 : 2,31                       25.442 : 2,23
1.176 :1,2                       (427,18 + 381,23 + 191,59) : 2,5
(1.214,28 + 672,14 + 113,58) : 1,25
12,25 : 0,7                      29,095 : 2,3                        799,46 : 1,42
958,5 : 21,3                     20,88 : 2,4                         4,340 : 3,5


                         PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES

Un agricultor ha recolectado 1.500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido el trigo a 22,35
ptas. el kilo y la cebada a 19,75 ptas. el kilo. Calcula:
Trigo →
Cebada →
a) El total recibido por la venta del trigo y la cebada.
b) La diferencia entre lo que ha recibido por la venta del trigo y lo que ha recibido por la venta
de la cebada.

Un coche A consume 7,5 litros de gasolina por cada 100 kilómetros y otro coche B consume 8,2
litros de gasolina por cada 100 kilómetros. Calcula:
Coche A→
Coche B→

a) La gasolina que consume cada coche en un kilómetro.
b) El importe de la gasolina que consume cada coche en un trayecto de 540 kilómetros, si e l litro
de gasolina cuesta 98 ptas.

Un litro de aceite pesa 0,92 kg. Calcula:
a) El peso de 8 bidones de aceite de 10 litros cada uno.
b) Los litros de aceite que contiene un bidón que pesa 23 kg.

En un colegio se han hecho grupos para participar en unas competiciones de salto de
longitud y salto de altura. Éstos son los tres grupos clasificados.




Calcula.

a) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de longitud.
•      Grupo A→
•      Grupo B→
•      Grupo C→
b) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de altura.

•      Grupo A→
•      Grupo B→
•      Grupo C→

En el siguiente cuadro aparece la equivalencia de algunas
monedas extranjeras con la peseta. Calcula:
a)      El valor en pesetas que son 120 dólares.
b)      El valor en pesetas que son 25 francos franceses y 10 libras
esterlinas.

Un camión transporta 3 bloques de mármol de 1,3 toneladas cada
uno y 2 vigas de hierro de 0,5 toneladas cada una. Calcula:
a) El total de toneladas que transporta el camión.
b) El total de kilos que transporta el camión, si 1 tonelada es igual a 1.000 kilos.

La yarda es una unidad de longitud inglesa que equivale a 0,914 metros. Calcula:
a) La longitud en metros de un trayecto A que mide 100 yardas y la longitud en
metros de un trayecto B que mide 180 yardas.
Trayecto A→
Trayecto B→
b) La longitud en yardas de un trayecto C que mide 18,28 metros y la longitud en yardas de un
trayecto D que mide 45,7 metros.
Trayecto C→
Trayecto D→
c) La diferencia en milímetros que hay entre un metro y una yarda.

Calcula.
En el siguiente cuadro aparece el número de calorías que tiene aproximadamente 1 gramo de
algunos alimentos.



a) El número de calorías que tienen una barra de pan de 125 gramos, una manzana de 175
gramos y un filete de 150 gramos.
Barra de pan →
Manzana→
Filete→
b) El número de calorías que tienen 125 gramos de queso blanco, un filete de
180 gramos y 250 gramos de espárragos.
Queso blanco→
Filete→
Espárragos→
c)El peso en gramos de una manzana que tiene 41,6 calorías, de un filete que tiene 525 calorías
y de una barra de pan que tiene 1.402,5 calorías.
Manzana →
Filete →
Barra de pan →

                                    PIENSA Y CALCULA
¿Qué número multiplicado por 6,025 da como resultado un número cuatro unidades menor que
el número 40,15?
Sugerencia 6,025 · x = 40,15 –




                             ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en
las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados
mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o
constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras
operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores
que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son
constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la
satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que
                                                                 valor
cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

 Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad.

                     RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Dada la ecuación:


1- Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la
ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que: Si
sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la
 umamos
igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado
restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
           9);                                                        o

La ecuación quedará así:


Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer
miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes
numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

2- Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro:

Y simplificamos el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:
3- Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.
Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo
(en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).
Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej:
n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo).
Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está
multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):


Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la
que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado
diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:



RESUMIENDO:
Para resolver estas ecuaciones debemos seguir los siguientes pasos:

1º Se resuelven los paréntesis y corchetes.
2º Se efectúan las operaciones indicadas.
3º Se reúnen en un miembro todos los términos que contengan la variable y en otro miembro
todas las cantidades numéricas.
           antidades
4º Se reducen los términos semejantes en ambos miembros.
5º Se despeja la incógnita o variable.
6º Se comprueba la ecuación reemplazando el resultado en la variable.


             RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO: PROBLEMA

Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de
las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este
problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:


Se podría leer así: El número de canicas que tengo más tres que me dan es igual al doble de
mis canicas quitándome dos. El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente
cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:


Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos
                            términos
independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia
de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:


Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos
igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que
podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación
por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos
miembros por -1 obtendremos:
               1


Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando
pasa sumado.
Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los
divide pasa multiplicando.
Vamos a resolver la ecuación

Primero pasamos los términos en x a un miembro y los términos independientes a otro, luego
operamos en cada uno de los miembro y despejamos x
Ejemplo 1.




Vamos a resolver la ecuación

El primer paso será quitar los paréntesis, realizando los productos correspondientes, luego
pasamos los términos en x a un miembro y los términos independientes a otro, posteriormente
operamos en cada uno de los miembro y despejamos x

Ejemplo 2.



Ejemplo 3.




Ejemplo 4




Ejemplo 5




Al tener denominadores lo primero que haremos será eliminarlos, multiplicando los dos miembros
de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Así queda una ecuación con
paréntesis, los eliminamos realizando los productos correspondientes, luego pasamos los
términos en x a un miembro y los términos independientes a otro, posteriormente operamos en
cada uno de los miembro y despejamos x.
                      El perímetro del triangulo isósceles, en la figura mide 43/6m. los lados
                      congruentes miden 10/3 m cada uno. ¿Cuál es la longitud del tercer lado? Si
                      hallamos x a la longitud desconocida, podemos modelar el problema con la
                                 ଵ଴   ଵ଴       ସଷ
                      expresión: + + X = que es una igualdad en la que aparece un
                                  ଷ    ଷ        ଺
                      término desconocido. Estas igualdades se denominan ecuaciones.
ଵ଴      ଵ଴           ସଷ             ଶ଴          ସଷ             ସଷ   ଶ଴
:ሺ     +     ሻ+X   ൌ                     ൅   ܺൌ          X=         െ
  ଷ        ଷ           ଺              ଷ           ଺              ଺    ଷ
       ଵଶଽିଵଶ଴                    ଽ                          ଷ
ܺൌ                          X=        ‫ ܽ݀ ݋݂݈݀݊ܽܿ݅݅݌݉݅ݏ ݕ‬ൌ
          ଵ଼                     ଵ଼                          ଺



Plantear ecuaciones es una estrategia que se usa para hallar la solución de un problema.
Ejemplo:
5x = 7x + 15
         2
Se pasa el término independiente al primer miembro
5x - 15 = 7x
             2
Se pasa el divisor 2 al primer miembro            (5x - 15). 2 = 7x
Se aplica propiedad distributiva                   10x - 30 = 7x
Se agrupan los números que contienen x en el primer miembro y el término independiente se
pasa al segundo miembro
10x - 7x = 30
3x = 30
x = 30 : 3
x = 10

                                         PIENSA Y RESUELVE
Observa el ejemplo resuelto y calcula de ese modo los restantes.
                    4,21 - x = 2,8    x = 4,21 - 2,8 = 1,41
8,42 - x = 5,6 x =                                          9,7 - x = 4,21 x =
12,5 - x = 7,46 x =                                         28,7 - x = 14,92 x =
49,8 - x = 12,63 x =                                        58,6 - x = 21,42 x =
x + 4 = 28                                                  y - 6,5 = 31
8z = 40 + 3z                                                10x = - 5x + 60
- 15y + 3 = - 36 - 18y                                      2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12
4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5                               15x - 40 - 5x - 20 = 0
16 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2)       x + 5 = 35
x + x + 9 = 25                                              2x + x + x + 4x - 9 = 5x -3
5x + 15 = 14 + 6 + 7 + x                                    3x + x = 4x + x - 2
2x + x +4x = 10x - 3
    ଵ ଷ
X + ଶ=ସ
2X + 2 – 6 +8 = 25                                                   7x + 1 + 3 -8 = 24
 3                                                                        3
 X – 5 + 8 -6 = 42                                                   5x +2 – 8+ 7 = 85
 5                                                                      4

Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los restantes, utilizando los conocimientos
adquiridos en temas anteriores.
Resuelve los siguientes problemas planteando la ecuación respectiva.
• El último año un tendero perdió 17 clientes que se mudaron. Si ahora tiene 73 clientes,
  ¿cuántos tenia originalmente?
• Mauricio piensa un número, le agrega 18 y obtiene 63.?Qué número pensó?
• La suma de 3 números es 263; el primer sumando es 39, el tercero es la suma de adicionar 41
  al primer sumando. ¿Cuál es el segundo sumando?
• Ocho veces un numero mas el opuesto de 18 es 324; ¿Cuál es el número?
• Si el producto de un número con -12 se le adiciona -10, el resultado es 38. ¿cuál es el
  número?
•
•




http://sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_con_decimales.pdf
www.indexnet.santillana.es
http://www.escolar.com/menumate.htm


D. Efectúa las operaciones con fracciones:

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Guia de fracciones y decimales

  • 1. GUIA TALLER DE NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONARIOS, DECIMALES, ECUACIONES) ESTANDARES –PENSAMIENTO NUMERICO PENSAMIENTO Construir el concepto de número racional y usar la relación de orden, las operaciones y propiedades de los números racionales. Comparar y relacionar la representación decimal y la representación fraccionaria de los números racionales. Resolver problemas cuyos datos involucran números racionales. COMPETENCIAS INTERPRETATIVA: Representa números racionales sobre la recta numérica. Adiciona y sustrae números racionales strae Identifica y utiliza las propiedades de la adición y multiplicación de racionales Aplica los algoritmos de la multiplicación y la división de números racionales. Simplifica expresiones, aplicando las propiedades de la potenciación de racionales. Representa en forma decimal, números racionales Comprende y aplica las propiedades de las operaciones con números racionales en la solución de ecuaciones. ARGUMENTATIVA: Justifica la veracidad o falsedad de un enunciando y los procedimientos que efectúa para representar o hallar fracciones equivalentes a números racionales. Decide el valor de verdad de proposiciones que incluyen adiciones y sustracciones de números racionales. Justifica con procedimientos, la resolución de un problema que involucra operaciones entre problema números racionales. Justifica las conjeturas que realiza sobre multiplicación y división de números decimales. Decide que propiedades utilizar para solucionar una ecuación. PROPOSITIVA: Expresa enunciados dados utilizando números racionales. Plantea algoritmos para la resolución de problemas con operaciones entre racionales. Formula y resuelve problemas con operaciones de racionales. Generaliza, a partir de ejemplos, el procedimiento para multiplicar o dividir números decimales n por 10, 100 o 1000. Plantea y resuelve ecuaciones. NUMERO FRACCIONARIO Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro. Suele escribirse en la forma ó ½ ó 1 / 2. En una fracción tal como a/b el número a que es dividido se llama numerador y el número b que divide, divisor o denominador.
  • 2. Cuando una fracción se escribe en la forma 2 / 3 el numerador queda arriba y el denominador abajo. Fracciones Una fracción es una parte de un total El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza. Numerador / Denominador Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes. Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total. Numerador Denominador ¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D" de dividir) Representación de fracciones: Además de representar fracciones gráficamente, también podemos hacerlo en una recta. Cada fracción viene representada por un único punto en la recta numérica. A cada fracción le podemos asociar un único punto en la recta. Para hacerlo se traza una recta y se fija en ella un punto correspondiente al cero y un segmento unidad. Según las fracciones sean propias o impropias, se representan de diferente manera. Representación de fracciones propias 1.° Si la fracción es propia, su valor estará entre 0 y 1. 2.° Para representar, por ejemplo, 2 /3 , dividimos el segmento comprendido entre 0 y 1 en tantas partes iguales como indique el denominador de la fracción, 3, y tomamos tantas como señale el numerador, 2. Imagen: Representación de 2/3 Representación de fracciones impropias 1.° Si la fracción es impropia, para representarla la expresamos como suma de un número natural más una fracción propia. Así, por ejemplo, si queremos representar 9/4 : 9 en 4 = 2 + 1/4 . Por tanto, la fracción está comprendida entre los valores 2 y 3. 2.°Dividimos el segmento comprendido entre 2 y 3 en 4 partes y tomamos 1. Imagen: Representación de 9/4
  • 3. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes cuando representan a un mismo número. Si dos fracciones son equivalentes se verifica que el producto cruzado es igual, es decir, dadas dos fracciones son equivalentes si y sólo si . Las siguientes fracciones son equivalentes Si a una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador por el mismo número se obtiene una fracción equivalente. Por amplificación: Ejemplo: 2/3. Multiplicamos numerador y denominador por 7. El resultado es: 14/21. Ya tenemos dos fracciones equivalentes. 2 14 ---- ---- 3 21 ¿Cómo comprobamos que son equivalentes?. Podemos multiplicar en cruz y el resultado tiene que coincidir. Comprobación anterior: 2 x 21 = 42 = 3 x 14 Otra forma de comprobarlo si tienes a mano una calculadora... es viendo si tienen el mismo valor decimal.. 2 14 ---- = ---- = 0,66666666666 3 21 Estas fracciones son en realidad lo mismo: 1 2 4 = = 2 4 8 Por eso, estas fracciones son en realidad la misma: Y en un dibujo se ve así: 1 2 4 /2 /4 /8 = = Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo: La regla a recordar es: ¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!
  • 4. SIMPLIFICAR (REDUCIR) FRACCIONES Dada una fracción cualquiera, simplificarla consiste en hallar la fracción equivalente a la dada cuyo numerador y denominador sean lo menor posible. Para simplificar(reducir) una fracción hallamos el máximo común divisor (M.C.D.) del numerador y del denominador, al dividir ambos por el M.C.D. se obtiene la fracción equivalente simplificada. Simplifica la fracción Calculamos el m.c.d(24,30)=6 y dividimos tanto el numerador como el denominador por 6 Ejemplo por simplificación: Ejemplo 5/10. El numerador se puede dividir entre 5, 1 y 0. Y el denominador se puede dividir entre 0, 1, 2, 5 y 10. Como tenemos que escoger un divisor mayor que la unidad, escogemos el 5. La nueva fracción es: 1/2. Por tanto ya tenemos dos fracciones equivalentes. Y de 18/36 tenemos que es igual a ½. 5 1 ---- = ---- 10 2 Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción (la hemos hecho la más simple posible). TALLER DE PRACTICO Simplifica las siguientes fracciones 36/18 98/32 49/7 81/18 27/35 1128 /188 Desarrollar las siguientes fracciones y determinar cinco (5) fracciones equivalentes 2/3 5/3 4/12 5/4 15/6 ½ ¾ 5/2 7/4 OPERACIONES Suma y resta de fracciones Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
  • 5. Con distinto denominador 1. Se reducen los denominadores a común denominador: a. Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores. b. Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente. 2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. ejemplo ejemplo Ejemplos MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene: Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador y Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador. Después se simplifica ejemplo
  • 6. DIVISIÓN DE FRACCIONES El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene: Por numerador el producto de los extremos y Por denominador el producto de los medios. medios ejemplo Ejemplos Propiedades de la suma y multiplicación • La suma en Q es conmutativa, esto es: • La suma en Q es asociativa, esto es: • La multiplicación en Q es asociativa, esto es: • La multiplicación se distribuye en la suma, esto es Existencia de neutros e inversos • Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
  • 7. Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por 1. • Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que • Cada número racional: con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo tal que Ejercicios de operaciones con fracciones operaciones Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2. 1 ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana? 2¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos ¿Qué Un padre reparte entre sus hijos 1800 €uros. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero? Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua. 4 botes de 1/3 de litro de zumo. 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto. TALLER RESUELTO (Revisa los procedimientos y despeja tus dudas con el docente; para mejor entendimiento realízalos utilizando la propiedad asociativa) A. Calcula las siguientes operaciones con fracciones: fracciones 1.-
  • 8. 2.- 3.- 4.- B. Efectúa las divisiones de fracciones: 1.- TALLER DE APRENDIZAJE Efectúa las divisiones de fracciones: 1.- Realiza las operaciones con fracciones: 1. POTENCIAS DE FRACCIONES Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. Potencias de exponente negativo Ej. Ej. Propiedades de las potencias de fracciones Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Ej. División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. Ej.
  • 9. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Ej. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases Ej. Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. Ej. Ejercicios de potencias de fracciones resueltos. Revisa el procedimiento de las siguientes operaciones con potencias de fracciones: 1.- 2 .- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.-
  • 10. 11.- 12.- 13.- ESTUDIA Halla las operaciones de fracciones con potencias: Operaciones combinadas de fracciones Prioridades 1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales. 2º.Calcular las potencias y raíces 3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 4º.Efectuar los productos y cocientes. 5º.Realizar las sumas y restas. EJERCICIOS DE OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis. Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último. Realizamos el producto y lo simplificamos. Realizamos las operaciones del paréntesis. Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
  • 11. EJERCICIOS RESUELTOS Opera: Resuelve las operaciones combinadas: Efectúa operaciones combinadas Realiza las operaciones combinadas con potencias:
  • 12. Comparación de fracciones Fracciones con igual denominador De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador. Fracciones con igual numerador De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador. Ejercicios de comparar fracciones resueltos Escribe el signo > o <, donde corresponda. Compara las siguientes fracciones: Ordenar de menor o mayor las siguientes fracciones: = TALLER DE APRENDIZAJE Y PRÁCTICA Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
  • 13. Realiza la siguiente operación Ingresa a esta pagina y practica un poco http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/fracciones_e/frac ciones_ej_p.html PARA RECORDAR OPERACIONES CON FRACCIONES Una vez que controlamos las operaciones elementales con fracciones, suma, resta, producto y cociente el siguiente paso es realizar operaciones conjuntas. Para ello hay que tener en cuenta la preferencia operando. Recuerda primero en orden de importancia están los corchetes y paréntesis, luego los productos y cocientes y finalmente sumas y restas. NUMEROS DECIMALES Los números fraccionarios decimales pueden expresarse en otra forma llamada número decimal. A su vez, los números decimales podrán también expresarse como fracciones. Las fracciones impropias están formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. En cambio, las fracciones propias sólo tendrán parte fraccionaria ya que su parte entera es igual a cero.
  • 14. Representación decimal de los números racionales l Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos: • Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo: • Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: • Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo: En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo: Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera: Número periódico • Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo: • Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: • Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es ales el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos
  • 15. como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el p periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que el número buscado será OPERACIONES CON DECIMALES ADICION Y SUSTRACCIÓN Para sumar o restar números decimales, podemos hacerlo en forma de fracción y en forma decimal. Para sumar o restar en forma decimal se colocan los números de modo que las comas estén encolumnadas. Luego se suman o restan como si fueran números naturales, poniendo la coma en el resultado en su columna correspondiente. correspondi 5,3 +7,04 = 12,34 13,279 + 18,96 = 32,239 0,0021 + 3,0109 + 8,7 =3,0130 + 8,7 = 11,713 24,5 - 1,29 = 23,21 345,6 - 23,91 = 321,69 PARA PRACTICAR Calcula las siguientes sumas de números decimales. 12,435 + 142,36 + 8,7 = 32,46 + 7,182 + 146,8 = 243,18 + 16,5 + 153,216 = 325,9 + 8,75 + 37,296 = Un circuito A y un circuito B tienen la forma y las dimensiones que indica la figura. ¿Cuál es la longitud en kilómetros de cada circuito? Calcula las siguientes restas de números decimales. 4,3 - 2,84 = 123,7 - 98,49 = 52,61 - 13,72= 214,8 - 96,72 = 49,8 - 31,96 = 416,7 - 392,18 =
  • 16. MULTIPLICACIÓN DE DECIMALES Para multiplicar dos números decimales, se realiza la multiplicación de ambos como si fueran números naturales. Luego se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales tengan en conjunto los dos factores. 5,09 · 7,12 = 36,2408 4,2 · 9,17 = 38,514 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000,... se seguida 1.000, desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Ejemplos: 3,2 x 10 = 32 3,2 x 100 = 320 3,2 x 1.000 = 3.200 PARA PRACTICAR Y APRENDER Calcula 3,25x 10= 3,25 x 100 = 3,25 x 1.000 = 3,25 x 10.000 = 3,25 x 100.000 = 3,25 x 1.000.000 = 4,1 x 10 = 4,1 x 100 = 4,1 x 1.000 = 4,1 x 10.000 = 4,1 x 100.000 = 4,1 x 1.000.000 = x 100 = 0,3 x 100 = Primero, escribe cada fracción decimal en forma de número decimal. Después, resuelve. Despu Realiza el siguiente producto: Averigua cuáles de las siguientes expresiones son ciertas.
  • 17. Calcula las siguientes multiplicaciones de números decimales. 32,43 x 2,4 = 4,131 x 3,2 = 431,4 x 3,5 = 25,49 x 31,3 = 289,1 x 2,13 = 49,63 x 2,14 = (4,213 + 21,36) x 4,21 (32,46 - 18,213) x 21,5 DIVISION DE DECIMALES Las divisiones en las que participan números decimales pueden ser de varios tipos. Cada uno de estos casos se resuelve de forma diferente: DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Ejemplos: 24,2 : 10 = 2,42 24,2 : 100 = 0,242 24,2 : 1.000 = 0,0242 DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURAL Para dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si fuesen números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal. Ejemplos:
  • 18. DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMAL Para dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después se hace la división como si fuesen números naturales. Ejemplo: DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES Para dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor; si es necesario, se añaden ceros. Luego se realiza la división como la división de naturales, teniendo presente que en el momento en que se baje la primera cifra decimal del dividendo se colocará la coma en el cociente. Ejemplo: PARA PRACTICAR Calcula las siguientes divisiones: 81,2 : 10 = 81,2 : 100 = 81,2 : 1.000 = 81,2 : 10.000 = 81,2 : 1 00.000 = 81,2 : 1.000.000 = 5,3 : 10 = 5,3 : 100 = 5,3 : 1.000 = 5,3 : 10.000 = 5,3 : 100.000 = 5,3 : 1.000.000 = 24,2 : 10 = 2,42 24,2 : 100 = 0,242 24,2 : 1.000 = 0,0242 (4,32 + 71,6 + 18,1) : 10 (3,71 + 81,6 + 18,214 ) : 100 (731,25 - 49,138) : 4 (321,2 - 216,48) : 1.000 (482,14 - 18,186) : 10.000 5.490 : 1,22 4,326 : 3 = 32,156 : 4 = 267,05 : 5 = 39,120 : 6 = 412,16 : 7 = 52,632 : 8 = (4,32 + 18,2 + 36,49) : 3 585 : 1,3 7.749 : 1,23 2.875 : 2,3 12.936 : 2,31 25.442 : 2,23 1.176 :1,2 (427,18 + 381,23 + 191,59) : 2,5 (1.214,28 + 672,14 + 113,58) : 1,25 12,25 : 0,7 29,095 : 2,3 799,46 : 1,42 958,5 : 21,3 20,88 : 2,4 4,340 : 3,5 PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES Un agricultor ha recolectado 1.500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido el trigo a 22,35 ptas. el kilo y la cebada a 19,75 ptas. el kilo. Calcula: Trigo → Cebada →
  • 19. a) El total recibido por la venta del trigo y la cebada. b) La diferencia entre lo que ha recibido por la venta del trigo y lo que ha recibido por la venta de la cebada. Un coche A consume 7,5 litros de gasolina por cada 100 kilómetros y otro coche B consume 8,2 litros de gasolina por cada 100 kilómetros. Calcula: Coche A→ Coche B→ a) La gasolina que consume cada coche en un kilómetro. b) El importe de la gasolina que consume cada coche en un trayecto de 540 kilómetros, si e l litro de gasolina cuesta 98 ptas. Un litro de aceite pesa 0,92 kg. Calcula: a) El peso de 8 bidones de aceite de 10 litros cada uno. b) Los litros de aceite que contiene un bidón que pesa 23 kg. En un colegio se han hecho grupos para participar en unas competiciones de salto de longitud y salto de altura. Éstos son los tres grupos clasificados. Calcula. a) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de longitud. • Grupo A→ • Grupo B→ • Grupo C→ b) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de altura. • Grupo A→ • Grupo B→ • Grupo C→ En el siguiente cuadro aparece la equivalencia de algunas monedas extranjeras con la peseta. Calcula: a) El valor en pesetas que son 120 dólares. b) El valor en pesetas que son 25 francos franceses y 10 libras esterlinas. Un camión transporta 3 bloques de mármol de 1,3 toneladas cada uno y 2 vigas de hierro de 0,5 toneladas cada una. Calcula: a) El total de toneladas que transporta el camión. b) El total de kilos que transporta el camión, si 1 tonelada es igual a 1.000 kilos. La yarda es una unidad de longitud inglesa que equivale a 0,914 metros. Calcula:
  • 20. a) La longitud en metros de un trayecto A que mide 100 yardas y la longitud en metros de un trayecto B que mide 180 yardas. Trayecto A→ Trayecto B→ b) La longitud en yardas de un trayecto C que mide 18,28 metros y la longitud en yardas de un trayecto D que mide 45,7 metros. Trayecto C→ Trayecto D→ c) La diferencia en milímetros que hay entre un metro y una yarda. Calcula. En el siguiente cuadro aparece el número de calorías que tiene aproximadamente 1 gramo de algunos alimentos. a) El número de calorías que tienen una barra de pan de 125 gramos, una manzana de 175 gramos y un filete de 150 gramos. Barra de pan → Manzana→ Filete→ b) El número de calorías que tienen 125 gramos de queso blanco, un filete de 180 gramos y 250 gramos de espárragos. Queso blanco→ Filete→ Espárragos→ c)El peso en gramos de una manzana que tiene 41,6 calorías, de un filete que tiene 525 calorías y de una barra de pan que tiene 1.402,5 calorías. Manzana → Filete → Barra de pan → PIENSA Y CALCULA ¿Qué número multiplicado por 6,025 da como resultado un número cuatro unidades menor que el número 40,15? Sugerencia 6,025 · x = 40,15 – ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
  • 21. La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que valor cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es: Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Dada la ecuación: 1- Transposición: Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que: Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la umamos igualdad no varía. En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6) 9); o La ecuación quedará así: Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha). 2- Simplificación: El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. Realizamos la simplificación del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuación simplificada será: 3- Despejar: Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad. Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo). Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo). Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo): Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
  • 22. Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado. En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737) Por tanto, simplificando, la solución es: RESUMIENDO: Para resolver estas ecuaciones debemos seguir los siguientes pasos: 1º Se resuelven los paréntesis y corchetes. 2º Se efectúan las operaciones indicadas. 3º Se reúnen en un miembro todos los términos que contengan la variable y en otro miembro todas las cantidades numéricas. antidades 4º Se reducen los términos semejantes en ambos miembros. 5º Se despeja la incógnita o variable. 6º Se comprueba la ecuación reemplazando el resultado en la variable. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO: PROBLEMA Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica: Se podría leer así: El número de canicas que tengo más tres que me dan es igual al doble de mis canicas quitándome dos. El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos: Que, simplificado, resulta: Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos: 1 Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado. Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divide pasa multiplicando.
  • 23. Vamos a resolver la ecuación Primero pasamos los términos en x a un miembro y los términos independientes a otro, luego operamos en cada uno de los miembro y despejamos x Ejemplo 1. Vamos a resolver la ecuación El primer paso será quitar los paréntesis, realizando los productos correspondientes, luego pasamos los términos en x a un miembro y los términos independientes a otro, posteriormente operamos en cada uno de los miembro y despejamos x Ejemplo 2. Ejemplo 3. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Al tener denominadores lo primero que haremos será eliminarlos, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Así queda una ecuación con paréntesis, los eliminamos realizando los productos correspondientes, luego pasamos los términos en x a un miembro y los términos independientes a otro, posteriormente operamos en cada uno de los miembro y despejamos x. El perímetro del triangulo isósceles, en la figura mide 43/6m. los lados congruentes miden 10/3 m cada uno. ¿Cuál es la longitud del tercer lado? Si hallamos x a la longitud desconocida, podemos modelar el problema con la ଵ଴ ଵ଴ ସଷ expresión: + + X = que es una igualdad en la que aparece un ଷ ଷ ଺ término desconocido. Estas igualdades se denominan ecuaciones.
  • 24. ଵ଴ ଵ଴ ସଷ ଶ଴ ସଷ ସଷ ଶ଴ :ሺ + ሻ+X ൌ ൅ ܺൌ X= െ ଷ ଷ ଺ ଷ ଺ ଺ ଷ ଵଶଽିଵଶ଴ ଽ ଷ ܺൌ X= ‫ ܽ݀ ݋݂݈݀݊ܽܿ݅݅݌݉݅ݏ ݕ‬ൌ ଵ଼ ଵ଼ ଺ Plantear ecuaciones es una estrategia que se usa para hallar la solución de un problema. Ejemplo: 5x = 7x + 15 2 Se pasa el término independiente al primer miembro 5x - 15 = 7x 2 Se pasa el divisor 2 al primer miembro (5x - 15). 2 = 7x Se aplica propiedad distributiva 10x - 30 = 7x Se agrupan los números que contienen x en el primer miembro y el término independiente se pasa al segundo miembro 10x - 7x = 30 3x = 30 x = 30 : 3 x = 10 PIENSA Y RESUELVE Observa el ejemplo resuelto y calcula de ese modo los restantes. 4,21 - x = 2,8 x = 4,21 - 2,8 = 1,41 8,42 - x = 5,6 x = 9,7 - x = 4,21 x = 12,5 - x = 7,46 x = 28,7 - x = 14,92 x = 49,8 - x = 12,63 x = 58,6 - x = 21,42 x = x + 4 = 28 y - 6,5 = 31 8z = 40 + 3z 10x = - 5x + 60 - 15y + 3 = - 36 - 18y 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5 15x - 40 - 5x - 20 = 0 16 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2) x + 5 = 35 x + x + 9 = 25 2x + x + x + 4x - 9 = 5x -3 5x + 15 = 14 + 6 + 7 + x 3x + x = 4x + x - 2 2x + x +4x = 10x - 3 ଵ ଷ X + ଶ=ସ 2X + 2 – 6 +8 = 25 7x + 1 + 3 -8 = 24 3 3 X – 5 + 8 -6 = 42 5x +2 – 8+ 7 = 85 5 4 Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los restantes, utilizando los conocimientos adquiridos en temas anteriores.
  • 25. Resuelve los siguientes problemas planteando la ecuación respectiva. • El último año un tendero perdió 17 clientes que se mudaron. Si ahora tiene 73 clientes, ¿cuántos tenia originalmente? • Mauricio piensa un número, le agrega 18 y obtiene 63.?Qué número pensó? • La suma de 3 números es 263; el primer sumando es 39, el tercero es la suma de adicionar 41 al primer sumando. ¿Cuál es el segundo sumando? • Ocho veces un numero mas el opuesto de 18 es 324; ¿Cuál es el número? • Si el producto de un número con -12 se le adiciona -10, el resultado es 38. ¿cuál es el número? • • http://sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_con_decimales.pdf www.indexnet.santillana.es http://www.escolar.com/menumate.htm D. Efectúa las operaciones con fracciones: