Hola Soy Leidy

1. 1
ARITMÉTICA
II. TEORÍA DE
CONJUNTOS
1. INTRODUCCIÓN
Sin duda alguna, la teoría de conjuntos, es
uno de los grandes aportes al desarrollo de la
matemática. No obstante que el concepto de
conjunto nació junto con el concepto de
agrupación en los albores de la humanidad,
fue sistematizado por primera vez por George
Cantor (1845 – 1918), desde entonces a
pasado a formar el punto de partida del
estudio formal de la matemática y las
creencias que se sirven de ella.
2. CONCEPTO
Se entiende por conjunto a toda agrupación
de objetos reales o imaginarios, que tienen
una o más características comunes, estos
objetos reales o imaginarios son llamados
elementos del conjunto de manera que un
conjunto esta bien definido si es posible
conocer todos sus elementos.
3. NOTACIÓN
Generalmente se denota a los conjuntos con
letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus
elementos separados por comas y
encerrados por signos de colección (llaves,
corchetes), etc. Ejm:
 
si
,
la
,
sol
,
fa
,
mi
,
re
,
do
A
 
Chile
....
,
Argentina
,
Bolivia
,
Perú
,
Ecuador
P
 
u
o
i
e
a
B ,
,
,
,

Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n):
Nos indica el número de elementos diferentes
que tiene el conjunto considerado. Ejm:
    3
A
n
17
;
12
;
8
A 


    4
B
n
17
;
11
;
11
;
11
;
11
;
6
;
6
;
6
;
9
;
9
B 


4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Los conjuntos se pueden determinar de dos
maneras:
Por Extensión o Forma Tabular:
Cuando se indican a todos y a cada uno de
los elementos del conjunto.
Ejemplo:
 
u
;
o
;
i
;
e
;
a
V 
 
5
;
4
;
3
;
2
;
1
P
* OBSERVACIÓN: El orden en el cual son
listados los elementos del conjunto no afecta
el hecho de que pertenezcan a él.
   
5
,
17
,
3
,
10
17
,
10
,
5
,
3
D 

Por comprensión o Forma Constructiva:
Cuando se define al conjunto enunciando las
propiedades comunes que caracterizan a los
elementos de dicho conjunto.
Ejemplo:
 
vocal
una
es
x
/
x
A
 Se lee: x tal que x es una vocal
 
6
x
x
/
x
B 




Se lee: x tal que x pertenece a los números
naturales menores que 6
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) Relación de Pertenencia ()
Un elemento pertenece () a un conjunto si
forma parte o es un agregado de dicho
conjunto. La relación de pertenencia vincula
cada elemento con el conjunto.
* s es un elemento del conjunto E
 s pertenece a E  s  E
* t es un elemento del conjunto A
 t pertenece a A  t  A
* o no es elemento del conjunto E
 o no pertenece a E  o  E
* m no es elemento del conjunto A  m no
pertenece a A  m  A
b) Relación de Inclusión (  ):
Se dice que A está incluido en el conjunto B
(A  B), cuando todo elemento de A
pertenece a B.
Gráficamente:
Ejemplo:
Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
B = {1; 2; 3}
Se observa :
B  A: Conjunto B incluido en conjunto A.
c) Igualdad de Conjuntos:
Dos conjuntos A y B son iguales ,si A y B
tienen los mismo elementos.
Ejemplo:
Si: A = {1,3,5,7,9} y
B = {x/x  N  x impar <10}
 A = B
6. CLASES DE CONJUNTO
a) Conjunto Vacío
Es aquel conjunto que no posee elementos;
también se le llama conjunto nulo.
Notación:  o { }.
Ejemplo:
B = {x/x  N  5<x<6}  B = {  } y
n(B) = 0
b) Conjunto Unitario
Es cuando tiene un solo elemento; también
se le llama conjunto Singlentón
Ejemplo:
A = {x/x  N  8  x  10}
B = {satélites de la tierra}
c) Conjunto Finito
Es cuando se pueden enumerar o contar sus
elementos en su totalidad.
Ejemplo:
A = {x/x N  x  99}
B = {los países de América del Sur}
d) Conjunto Infinito
Es cuando sus elementos no se pueden
determinar en su totalidad.
Ejemplo:
A = {x/x  N  x  5}
B = {las estrellas del universo}
e) Conjunto Universal
Es el conjunto que dentro del cual están
todos los demás conjuntos, teniendo una
referencia se representa por el símbolo U.
f) Conjunto Potencia
Esta formado por todos los subconjuntos que
es posible formar de un conjunto dado. Se
simboliza por “P”.
Notación: P(A), se lee potencia del conjunto
A.
A = {a, b, c}
P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c};}
Para hallar el número de subconjuntos, se
aplica la formula: 2n
, de donde “n” es el
número de elementos del conjunto.
Número de subconjuntos = 2n
= 23
= 8
SÍMBOLO SIGNIFICADO
 “Pertenece a”
 “No Pertenece a”
A B A B
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
E
A
*g
*s
*i
*m
*a
*t
*a *i
*o

2. 2
ARITMÉTICA
7. OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS
a) Unión o Reunión ()
Dado los conjuntos A y B se llama conjunto
unión al conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A o B o en
ambos.
Notación: A  B.
S
S
Se lee: “A unión B”
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = 2; 4, 7, 9
B = 1, 7, 4, 12, 18
El conjunto A  B = 1, 2, 4, 7, 9, 12,18
Gráficamente:
b) Intersección ()
Dados los conjuntos A y B se llaman
conjunto intersección , al conjunto formado
por todos los elementos que pertenecen a A
y B, es decir que sean comunes a ambos
conjuntos.
Notación: A  B
A  B = {x/x  A  x  B}
Se lee: “A intersección B”
Ejemplo:
A = {2, 4, 6, 9, 12}
B = {3, 6, 9, 4, 20, 23}
 Conjunto A  B = {4, 6, 9}
Gráficamente:
c) Diferencia ( – )
Dados los conjuntos A y B se llama conjunto
diferencia (A – B) al conjunto formado
únicamente por los elementos que
pertenecen a A pero no a B.
Notación: A – B
A – B = {x/x  A  x  B}
Se lee: “A diferencia B”
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {23, 19, 26, 25, 30}
 B = {1,9,26,23,20,18}
El conjunto A – B = {19, 25, 30}
* Observación: A – B  B – A
d) Diferencia Simétrica ( )
Dado los conjuntos A y B , se llama conjunto
diferencia simétrica a aquel conjunto que
tiene como elementos a aquellos que
pertenecen al conjunto (A  B) pero no al
conjunto (A  B).
Notación: A  B
A  B = {x/x  (A  B )   (A  B)}
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {2, 13, 19, 28, 30}
B = {1,13, 19, 20, 29, 32}
El conjunto:
A  B = {1,2,20, 28, 29, 30, 32}
Gráficamente:
Complemento de un Conjunto (A’ )
Siendo A un subconjunto cualquiera del
conjunto universal U. El complemento de A
Con respecto a U se define como el conjunto
de elementos de U que no pertenece a A.
Notación: A`  Se lee: el complemento
de A.
A’ = {x/x  U  x  A}
Ejemplo:
A = {4, 8, 10}
U = {x/x  N  2 < x < 12}
 El conjunto:A’ = {3,5,6,7,9,11}
Gráficamente:
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Si el conjunto “A” es unitario. Halla
“a.b”
A= {a + b ; 12 ; 3b-2a+1}
Solución:
Todos los elementos = 12
a + b = 12  3b – 2a + 1 = 12
3b – 2a = 11
Resolviendo:
a = 5
b = 7
Rpta : a . b = 35
2.- Cuántos subconjuntos tiene:
A = {x2 + 1/ x  Z ; -3  x < 5}
Solución:
x  {-3 , -2; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}
(x2 + 1)  {10; 5; 2; 1; 2; 5; 10; 17}
 A = {10; 5; 2; 1 ; 17}
Rpta : N° Sub-conj =2n(A) = 25 = 32
3.- De un total de 51 personas 30 gustan del
cine y 18 sólo del cine, 22 del teatro. ¿A
cuántos no les gusta ni el cine ni el teatro?
Solución:
PRÁCTICA DIRIGIDANº 02
1).- Si los conjunto A y B son unitarios. Halla
“b - a”
A = { 2a + b; 13 } B = { b + 2; 3a - b }
a) 1 b) 2 c) 3
A  B = x / x  A  x  B
A B
U
.2
.9
.4
.7
.1
.12
.18
U
A B
.2
.12
.4
.6
.3
.23
.20
.9
U
A B
.2
.28
.30
.13
.19
.1
.29
.32
.30
A B
U
.4
.8
.10
.11
.3
.5
.6 .7
.9
A
U
A
B
.25
.30
.26
.1
.18
.20
.23
.19
. 9
C(30) T(22)
10
12
18
11
Total(51)

3. 3
ARITMÉTICA
d) 0 e) 4
2).- Si los conjuntos:
A = {2x + 3y ; 10} B = {29 ; x + y}
Son iguales. Calcula (y-x)
a) 10 b) 8 c) 7
d) 11 e) 4
3).-Dado el conjunto: A = {1; 2;{ 3 }; 4; { 5} }
Indica cuántos son verdaderos:
1  A ( ) 2  A ( )
{4}  A ( ) {3}  A ( )
2;4 A ( ) {4}  A ( )
{5} A ( )   A ( )
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4).- Dado el conjunto A = {2; 3; 4; 5}
¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
I. xA / (2x + 1), es número primo.
II. xA ; 3x < 18
III. xA / x , es número entero.
IV. xA ; 4x, no es múltiplo de 4.
a) I, II y III b) II y III c) III y IV
d) I y II e) II y IV
5).- Dado el Conjunto:
E = {9; 99; 999; 9999; 99999}
Determinarlo por comprensión:
a) {10x – 1 / x  N  N  x < 6}
b) {10x
+ 9 / x  N  x <6}
c) {10x
– 1 / x  N  0 < x < 6}
d) {10x
– 1 / x Z  x < 6}
e) T.A.
6).-Halla el conjunto “C” por extensión y
determina cuántos subconjuntos tiene:
C={x2
+1/xN; -3  x  4}
a) 20 b) 30 c) 32 d)
64 e) 16
7).- Si los conjuntos P y Q son iguales:
P={a2
+2a; b3
-b}
Q={15 ; 2a }
Halla “a.b”, siendo a y b naturales.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
8).- Dado el conjunto:
A = {x2
+ 1/xZ  -3  x  4}; determínalo por
extensión y luego indica verdadero (V) o
falso (F) a cada una de las siguientes
premisas:
I. n(A) = 5..............................................( )
II. “A” tiene 16 subconjuntos.................( )
III.“A” tiene 31 subconjuntos propios....( )
a) VVV b) FFV c) VFF
d) VVF e) VFV
9).- Si el siguiente conjunto C,
C = {a+b, 8, 2a – 2b+4}; es unitario
Halla a3
+b4
a) 145 b) 397 c) 80
d) 108 e) 206
10).- Si los conjuntos: A = {x-y ; 12}
B = {x-2y ; -3}
Son iguales, además: C = {a+2 ; 3b+7}, es
unitario.
Calcula : x2
+ y2
+ 2a - 6b
a) 546 b)581 c)662
d) 559 e)613
11).- ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el
conjunto?
M = { 2; 3; {2}; 3; 2; {2}; {3} }
a) 127 b) 63 c) 15
d) 7 e) 31
12).- Si “A” es unitario, halla “x2
+ y”.
A = { x + y; 20; x – y + 10 }
a) 230 b) 130 c) 235 d)
144 e) 152
13).- Dados los conjuntos unitarios :
A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc}
Donde: b > c
Calcula : a –2b + 3c
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 6
14).- Dados los conjuntos unitarios:
P={x+y ;8} Q={y+z ; 10}
S={x+z ;12}
Calcula: (x+y+z)
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
15).- Si : A = {1; 3; 5; 7; 9; 12}
B = {3; 9; 8; 10; 11}
Entonces indique si las siguientes
proposiciones son verdaderas (V) o
falsas(F).
I. 8  (A  B)
II. 12  (A  B)
III. n(AB) = 11
IV. (AB) - (AB) = {1; 5; 7; 8;10; 11}
a) FVFF b) FFFF c) VVVV
d) VVFF e) FVVV
16).- Si los conjuntos A y B son iguales:
A = {n2
+1; -6} B = {2-m; 10}
Halla “m+n”
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
17).- Si los conjuntos:
A = {2x + 3y ; 10} B = {29 ; x + y}
Son iguales. Calcula : (y-x)
a) 10 b) 8 c) 7
d) 11 e) 4
18).- Si los conjuntos:
G = {2a ;6} B = {4 ; 4b}
Son unitarios. ¿cuántos elementos tiene:
A = {3a – 1; 7b; 2a + 1; ab; a + b}?
a) 1 b) 4 c) 7 d) 3 e) 5
19).- Si el conjunto: R = {2p-r ; 18 ; p+r}
Es unitario, halla: (p/ r)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1,5 e) 2,5
20).- Si a y b son números enteros y
{a2
+9, b+2} = {-9, 10}
Halla el menor valor de “a+b”
a) 10 b) 11 c) -12
d) 12 e) –10
21).- Si A = {1, 2, 3, 4 }, B = {2, 4, 6},
C = {2,4,3};
E = {(A – B)  (A – C) –(B – C)  (B – A)}
Dar el número de elementos de E.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
22).- Dados los conjuntos A={xN / 2 < x <
6}, B = {x2
+ 1 / x  N  1 < x < 4} y
C = {x - 2 / x  N  4 < x < 6}.
¿Cuántos elementos tiene la
operación:(BA)–(AC)?
a) 3 b) 2 c) 1
d) 4 e) 6

4. 4
ARITMÉTICA
23).- Halla el cardinal del conjunto A,
sabiendo que tiene 2048 subconjuntos.
a) 10 b) 11 c) 8
d) 9 e) 12
24).- Si: n (A U B) = 30
n (A–B)=12 y
n (B–A) = 8
Halla: 5[n(A) ] – 4[n(B)]
a) 38 b) 60 c) 48
d) 70 e) 100
25).- Si: A y B son dos conjuntos finitos tales
que:
n (A)=163 ;
n(B)=158 ;
n (AB) = 83
Halla: n (A  B)
a) 238 b) 321 c) 404
d) 400 e) 200
26).- Si: A y B son conjuntos tales que:
n(A U B) = 33;
n(A - B) =7;
n(B - A) = 15
Halla: n (A) + n (B)
a) 38 b) 45 c) 40
d) 44 e) 48
27).- Indica el número de elementos del
conjunto










 17
x
,
N
2
1
x
3
/
1
x
A
a) 3 b) 5 c)10
d) 4 e) 16
CLAVES DE RESPUESTAS
1) a 2) b 3) e 4) a
5) c 6) c 7) d 8) e
9) e 10)d 11)c 12)a
13)b 14)b 15)b 16)b
17)b 18)b 19)b 20)c
21)c 22)a 23)b 24)a
25)a 26)d 27)d