Fascículo Matematica 1ro Secundaria.docx

“I.E. Ciro Alegría Bazán” – Matemática 1er Grado 2012
5 Prof. Zósimo Zanabria Olarte
1. IDEA DE CONJUNTO.-
En matemática Conjunto, es un concepto primitivo que no tiene definición, pero utilizando nuestra intuición
podemos tener idea de un Conjunto; como una colección, agrupación, reunión de objetos reales o imaginarios
con alguna característica en común, llamados “Elementos”. Ejemplos:
 …………………………………………. A=……………………………………..
 …………………………………………. B=……………………………………..
 …………………………………………. C=……………………………………..
 …………………………………………. D=……………………………………..
2. RELACION DE PERTENENCIA ()
Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, entonces diremos que “pertenece” a dicho conjunto y
lo denotaremos con el símbolo “” y en el caso de no pertenecer denotaremos por “”.
Ojo: La pertenencia solo se da entre elemento y conjunto.

Elemento -------- Conjunto

En el siguiente ejemplo escribe  y/o  según convenga:
3. CARDINAL DE UN CONJUNTO.-
Es el número de elementos diferentes que posee un conjunto. Ejemplo:
A=1, 1, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 1, 3, 5, 7
D =a, b, b, b, a, a, b, a, b, a, d, e, f, g, g, a, b, a ………………………………………….…………………
A=2, 4,5,1,3,5, 6
5…………....A
4,5……….A
1,3,5.……....A
2………....A
5……….4,5
6……..1,3,5
1,5.….1,3,5
2,4,5….....A
Ahora te
toca hacerlo
n(A) = #(A) = Card(A) =……..
Se lee: cardinal de “A” es……….
A
Notación:
Notación: Los conjuntos
generalmente se denotan por letras
mayúsculas como: “A”, “B”, “C”, etc.
y sus elementos por letras
minúsculas u otros símbolos,
separados por comas y encerrados
entre llaves.
B=a, b, a, b,, c, {d}
…………....B
a, b………B
a, b, c.……..B
b………....B
b………a, b
{c}………….B
d.…………..B
………....B

4. DETERMINACION DE UN CONJUNTO.-
Determinar un conjunto es saber con precisión que elementos pertenecen al conjunto y que elementos no
pertenecen. Existen dos formas y son:
Veamos algunos ejemplos:
B=a, e, i, o, u B=………….…………………………….…………..
D=6, 8, 10, 12, 14, 16 D=…………….…………………………..………….
E=12, 13, 14, 15, 16, 17, 18  E=…….………………………..………..…………..
Q=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 Q=……….…………………...…………..………….
P=  P=…………………………….…….…….…………..
A={ } A={……………………………….…….……………...}
C={ } C={…………………………….….………………….…}
Historia de la Matemática:
UN SÍMBOLO PARA LA RAÍZ CUADRADA.
Este signo proviene de «radix» (en latín raíz) y fue utilizado por
Leonardo de Pisa en 1220. El signo actual para la raíz cuadrada
puede ser una deformación de la letra «r».
UN SIMBOLO PARA LA RAÍZ CÚBICA
Tres signos radicales de estilo moderno van unidos, este símbolo
fue creado en 1525 por Christoff Rudolff, matemático alemán. El
signo actual, en su origen era francés.
01. Dado: A = {x ; y ; {m ; n}; {p} }
Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
I. y  A
II. {m; n}  A
III. {x ; y}  A
IV. p  A
V. {x}  A
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
02. Dado: B = {a ; b ; {a ; b} ; {} ; c }
Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
a  A………..( ) {c}  A…….( )
{}  A………( )   A………( )
{a; b}  A…...( ) {b}  A…….( )
03. En el conjunto Q={2,2,3,4,3,1,1,5,3,2}
¿Cuánto es la suma de sus elementos?
1. POR EXTENSION (Forma Tabular): Es
cuando se nombra todos y cada uno de
los elementos explícitamente.
2. POR COMPRENSION (Forma
Constructiva).- Es cuando se nombra
una propiedad común que caracteriza a
todos los elementos del conjunto.
Generalmente se emplea: x/x (x tal x)
Extensión Comprensión
EJERCICIOS DE APLICACION
QUE
BUENA

a) 10 b) 20 c) 15 d) 25 e) NA
04. Hallar la suma de elementos de cada
conjunto:
A = {x/x  N; 6 < x < 12}
B = {x + 4/ x  N; 5 < x < 10}
C = {x2 + 1/ x  N; 3 < x < 8}
a) 40; 41 y 50
b) 43; 49 y 100
c) 45, 46 y 130
d) 47; 45 y 129
e) N.A.
05. Hallar la suma de elementos de “A”, si:
A = {x2
+ 2 / x  Z; -4 < x < 3}
a) 18 b) 29 c) 31
d) 45 e) 22
06. Determinar por comprensión los siguientes
conjuntos:
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
D={1,3,5,7,9}
F={2,4,6,8,10,12,14}
H={20,21,22,23,24,25}
J={10}
M={h}
07. Determinar por extensión los siguientes
conjuntos:
M={x/xN; x < 11}
N={x/xN; x ≤ 15}
O={x/xN; 5 < x < 21}
P={x/xN; 2 ≤ x ≤ 9}
Q={x/xN; 5 ≤ x < 11}
R={x/xN; 10 < x ≤ 12}
S={x/xN; x+5=21}
T={x/xN; x2
<11}
E={2x/xN; x<5}
D={2x+2/xN; 0 < x < 7}
K={x2
+3/xN; 1< x < 5}
C={
2𝑛+1
3
/xN; 6 < n < 10}
08. Sean los conjuntos A={2x/xN; x<6},
B={
𝑥+4
2
/xA}, C={
2𝑦+1
3
/yB}. Hallar el cardinal
del conjunto C.
09. Calcular la suma de los elementos del
conjunto A.
A = {x/x  N; 10 < 3x + 2 < 18}
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 23
10. Sea el conjunto A = {(3x + 1) / x  N; 2 < x < 3}
Calcular n(A)
TAREA PARA LA CASA
1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar
verdadero (V) o Falso (F), según
corresponda:
i) 7  A ( ) iii) {10}  A ( )
ii) 9  A ( ) iv) {15}  A ( )
a) VVFF b) VFFV c) VVFF
d) VFFF e) N.A.
2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar
(V) o (F), según corresponda:
i) {7}  A ( ) iv) {9}  A ( )
ii) 9  A ( ) v)   A ( )
iii) 7  A ( ) vi) 10  A ( )
a) VFVFVF b) VFFVVF c) VVVFFF
d) VVFFFV e) N.A.
3. Hallar la suma de elementos del conjunto:
A = {3a2
+ 5 / a  N; 1 < a < 6}
a) 172 b) 182 c) 148
d) 156 e) 192
4. Dado el conjunto: A = {7; 9; 11; 13; 15; 17}
Determinarlo por comprensión:
a) A = {x/x  N; 6 < x < 18}
b) A = {x/x = 2n; n  N; 3 < n < 8}
c) A = {x/x = n +1; n  N; 6 < n < 17}
d) A = {x/x = 2n + 1; n  N; 2 < n < 9}
e) A = {x/x = n + 5; n  N; 1 < n < 13}
FACIL

5. Calcular la suma de los elementos del
conjunto:
A = {x/x  N; 7 < 2x + 1 < 15}
a) 12 b) 15 c) 17
d) 18 e) 20
6. Hallar “n(A) + n(B)”, si se tiene:
A = {2x/x  N; x < 9} ; B =









A
x
;
3
4
x
N
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
7. Colocar el valor de verdad a cada
proposición si:
A = {8; 3; {2}; {1, 3}}
 3  A ( )  8  A ( )
 2  A ( )  3  {1, 3} ( )
 {3}  A ( )  4  A ( )
8. Determine por extensión el conjunto:
A = {x-1/ x  N, 4 x < 9}
a) {0, 1} b) {0, 1, 2} c) {-1, 0}
d) {-1, 0, 1} e) {0,2}
9. Determine por extensión el siguiente
conjunto:
T = {x/x =
x
12
x3

; x  N}
a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3}
d) {0, 3, 4} e) {0,4}
10. Dado:
Escribe (V) o (F) en las siguientes
proposiciones:
2  A…….( ) {3}  B…( )
12B…….( ) 3,4  C…( )
4  B…….( ) 1  C……( )
10  A…...( ) 6  A y C.( )
6  A……..( ) 3,4  D….( )
9  B y D...( ) 2  C…….( )
11. Del anterior gráfico escribe los elementos de
cada conjunto.
12. Dado el conjunto A = {; 3 ; {2}; 2 ; {1}}
Colocar el valor de verdad a cada afirmación.
*   A ( ) * {1}  A ( )
* {3}  A ( ) *   A ( )
* {2}  A ( ) * {} A ( )
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS.-
A. Inclusión o Subconjunto:
“La chacra de Don Florencio”
Dado dos conjunto A y B; Se dice que el conjunto A esta incluido en el conjunto B cuando todo elemento
“A” pertenece a “B”. Simbólicamente se denota así: ABxAxB. La inclusión sólo se da de conjunto
a conjunto.
Observamos que dentro de la
chacra de papas también
crece maíz. Esto significa que
dos surcos de maíz esta
incluido en la chacra de papa.
A
B
C
D
1
11
7
5
8
9
13
12
6 3
2
4
10

Ejemplo:
 Si: A=papa, ulluku
B=maíz, papa, lenteja, ulluku
 …………..……………………………………...
………………..…………………………………
B. Igualdad de Conjuntos:
Dado los conjuntos A y B, se dice que son iguales cuando todos los elementos del conjunto “A” pertenecen
al conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen también al conjunto “A”, es decir
tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por “A=B”. Simbólicamente se representa así:
A=BA  B  B  A
Ejemplos:
 Si:
A=x/x es una letra de la palabra “loca vaca” A=……………….……..
B=x/x es una letra de la palabra “vocal” B=…………….…….…..
 Si:
C=x/x es una vocal de la palabra “uya” C=……………….……..
D=x/x es una vocal de la palabra “qallu” D=……………………...
 Si:
M=xN/ 2  x < 5, x es par M=…………………....
N= xN/ x es múltiplo de 2, > 0 y <6 N=……………………..
C. Conjuntos disjuntos.-
Dos conjuntos son disjuntos, o se excluyen mutuamente cuando no tienen ningún elemento en común.
Ejemplos:
 Si:
A=x/x es consonante de la palabra “paloma” A=……..……
B=x/x es consonante de la palabra “yutu” B=……..…….
 ………………………………………..…………………...………
………………………………………..……………………...……
AB
…………………………
Graficando
 …………..
A B
…………………………
…………………………
…………………………
Se lee
¿Qué Observamos?
………………………..……
……………………………..
.……………………….……
Entonces Luego
Entonces Luego  …………..
Entonces Luego  …………..
Luego  ……….

D. Conjuntos Comparables.- Dos conjuntos son comparables, cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro.
Ejemplos:
 Dado: M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
N={2,4,6,8}
¿Son comparables?
 Dado: P={e,l,r,o,m,a,n,o}
Q={e,l,a,r,o,m,a,t,i,c,o}
¿Son conjuntos comparables?
E. Conjuntos Coordinables o Equipotentes.- Dos conjuntos son coordinables o equipotentes cuando hay una
correspondencia biunívoca, es decir uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto
con los del segundo conjunto, y como resultado de esto los cardinales de estos conjuntos son iguales.
Ejemplo:
 Dado los conjuntos:
A = {Manuel Scorza, Leoncio Prado, Ciro Alegría, Simón Bolívar}
B = {Muquecc, Ayaccocha, Ccacca Siri, Huanaspampa}
¿Es posible establecer una correspondencia biunívoca?
SOLUCION. Graficando:
 Sean los conjuntos:
D = {Lima, La paz, Buenos Aires, Caracas}
E = {Bolivia, Chile, Perú, Argentina}
¿Existe una correspondencia biunívoca?
SOLUCION:
6. CLASIFICACION DE CONJUNTOS.-Se clasifican según la cantidad de elementos diferentes que poseen y
son:
Solución:…………………
……………………………
……………………………
………………………
……………………
Graficando
.
.
Solución:…………………
……………………………
……………………………
………………………
……………………
Graficando
Luego…………………
……………………...…
……………………...…
………………………...
Luego……………….…
……………………....…
……………………....…
…………………………
………………………....
Conjunto Finito.- Cuando tiene un limitado
número de elementos diferentes. Ejemplos:
A=………………………………….
C=………………………………….
D=………………………….………
Conjunto Infinito.- Es cuando los elementos de
un conjunto no tienen límite. Ejemplos:
D=………………………………….
B=………………………………….
E=………………………………….

7. CONJUNTOS ESPECIALES
4. Conjunto potencia o conjunto de partes P(A): El conjunto potencia de A, es aquel conjunto cuyos
elementos son todos los subconjuntos posibles que tiene el conjunto A y se denota por P(A). Veamos:
Dado:
A={2, 4, 6} P(A)= {………………………………………………………………………………..…………….}
P(A)=
 Determinar el conjunto de partes de: B=1, 3, 5, 7
Solución:
P(B) = {……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………}
P(B) =
U
A
B C
D
Los subconjuntos de A son:
1. Conjunto Vacío o Nulo ().- Carece de
elementos. Se le representa por: { } y se denota
por el símbolo . Ejemplos:
1) A=x/x N; 3<x<4; es vacio porque…………………
………………………………………………………………………………….
2) B=los cabellos de un calvo es vacio
porque………………………………………………………………………
3) C=xN/3+x=2; es vacío porque:……………………..
………………………………………………………………………………….
4) …..………………………………..……………………………………………
………………………………………………………………………………….
Ojo:
• El conjunto nulo es único.
• El conjunto nulo es considerado como
subconjunto de todos los conjuntos.
2. Conjunto Unitario.- Conjunto que tiene un solo
elemento. Llamado también singleton. Ejemplos:
1) A=  es unitario porque…………………………………….
………………………………………………………………………………….
2) B=x/x N; x+5=9 es unitario porque…………….
………………………………………………………………………………….
3) Q=xN/1<x<3 es unitario porque…………………..
…………………………………………………………………………………..
4) ……………………………………….............................................
…………………………………………………………………………………..
3. Conjunto Universal.- Es aquel conjunto
referencial que contiene a todos los conjuntos
considerados, se denota generalmente por “U” y
se le representa por regiones planas
rectangulares. Así:
Ejemplo:
U={….……………………}
A={……………………}
4. Conjunto de conjuntos.- Llamado también
familia de conjuntos; es aquel donde todos sus
elementos son conjuntos. Ejemplos:
D={ , {a,b,c}, {5,6}, {7}, {} }
 Dado: B={{1;2}; {3;5;7}; 4; m; } ¿Es familia de
conjuntos? ¿Por qué?
……………………………………………………………………………………..
……………………………………...................................................
……………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………..

8. REPRESENTACION GRAFICA DE LOS CONJUNTOS:
1. Diagrama de Venn-Euler.- Es la representación geométrica que Consiste en representar el conjunto
universal mediante un rectángulo y los otros conjuntos a través de círculos, triángulos o cualquier otra
figura plana. Ejemplo:
Dado: U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
A=2,3,4,6,7,8
B=2,3,4,5,6,9
C=4,5,6,7,10
Representar gráficamente
2. Diagrama de Lewis Carroll.- Su uso es generalmente para representar conjuntos disjuntos. Ejemplo:
 A una fiesta asistieron personas entre Jóvenes y Señoritas de los cuales hay personas que bailan
y no bailan. Graficando por diagrama de Carroll tenemos:
Jóvenes
Señoritas
3. Diagrama Lineal
Su uso es generalmente para representar la relación de inclusión de conjuntos, leyendo de abajo hacia
arriba. Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 3, 5, 7}
D = {7}
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
01. Si B es un conjunto definido:
B={; 3; 7; 8; {8}; {5; 7}; {1; 3; 8}}
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
correctas?
B………………....( ) {}B……….….….( )
{5,7}B…………..( ) {7,7,7,7}B……( )
{{5,7},{8}}B…( ) {{5,7},{8}}B….( )
{3,7}B………….( ) {3,7,8}B…..……( )
A) 1 B) 2 C) 8 D) 5 E) 7
02. Dado los conjuntos unitarios:
A={3a+1; 7} B={3; b+c} y C={2;bc}, donde b>c.
Calcular: a-2b+3c
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 6
03. Sea A={5x-1/xN; 2<x≤6}. Indicar verdadero o
falso según corresponda.
n(A)=5………………………..………....( )
A tiene 16 subconjuntos….…( )
A B
U
C
OBSERVACION
En general, el número de
subconjuntos se halla con la
siguiente relación: 2n
; donde
“n” es el número de
elementos del conjunto.
n[P(A)]=2n
 B=2, 4, 6, 8  n[P(B)]=…………………………………......................
 C=a, b, c  n[P(C)]=………………………………………..………..............
 D=1, 1, 1, 3, 3, 5,  n[P(D)]=…..………………………………………..
Ojo: El diagrama de Venn es
muy práctico para comprender
intuitivamente las relaciones
entre conjuntos.
A = { }
B = { }
C = { }
D = { }
Son conjuntos…………………………………………..……….
Luego
Uyyyy
Que
Fácil

A tiene 31 subconjuntos…….( )
  P(A)……………………………….…( )
{14; 19}  P(A)……………..…….…( )
A) VVVFV B) VFVFV C) FVVFF
D) FVFVV E) FVVVV
04. Si los conjuntos A={2m, 12, n+2} y B={20, 5p, q}.
son unitarios Calcular la suma de: m+n+p+q
A) 36 B) 40 C) 48 D) 46 E) 60
05. Si: A={x2
/xN; 7<x<8} y B={a+2; 10; b}. Si B es
conjunto unitario, halle:
2a + b + n(A)
A) 36 B) 26 C) 46 D) 56 E) 10
06. Hallar todos los subconjuntos posibles de
M={x/xN; 7<x≤11}
07. Dado: Q={x/xN; 0<x≤5}. Hallar n[P(Q)].
08. Hallar el conjunto potencia de:
C={2, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 4, 2}
09. Determinar todos los subconjuntos posibles de:
F={1,1,2,3,4,3,3,2,4,5,1,4,}
10. Traducir a diagrama lineal el siguiente esquema:
11. Sea: A={2y+10; 40} y B={60; 3x-20}. Si los
conjuntos A y B son iguales. Hallar x+y.
A) 50 B) 65 C) 45 D) 35 E) 55
12. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, si: el
conjunto A tiene 32 subconjuntos?
13. Si: el conjunto B tiene 64 subconjuntos ¿Cuántos
elementos tiene el conjunto?
14. Hallar el cardinal del conjunto “M” si:
M={3x+2/xN; 5≤x≤9}
15. Determinar el cardinal del conjunto “C” si:
C={x/x=2n+1; nN; 2<n<10}
16. Hallar la suma de los elementos del conjunto
B={(3x+1)/xN; 5<x<10}
A) 39 B) 102 C) 84 D) 94 E) 54
TAREA DOMICILIARIA
1. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. ¿Cuántas
proposiciones son falsas?
i) {b}  M iv) {{b}, p}  M
ii) b  M v) {{b}, {m}}  M
iii) {{m}}  M vi) m  M
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”:
A = {7- a; b + 4; 5}
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que
posee 5 elementos?
a) 30 b) 31 c) 32
d) 33 e) 34
4. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, hallar “a2
+ b2
”
A = {a + b; 12} ; B = {4; a - b}
a) 79 b) 80 c) 81
d) 82 e) 83
5. Dado: A = {x/x  N; 5 < x < 12} .
Indicar (V) o (F) según corresponda:
i) {7; 8; 11}  A iii) {8; 10}  A ( )
ii) 5  A ( ) iv) n(A) = 6 ( )
a) VFVF b) VFVV c) VFFV
d) FVVF e) FFVV
6. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los
siguientes conjuntos?
A = {c, o, l, e, g, i, o} B = {a, l, e, g, r, i, a}}
a) 64 y 32 b) 128 y 64 c) 64 y 64
d) 32 y 64 e) 128 y 32
7. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 12}.
Indicar (V) o (F), según corresponda, si P(A)
representa el conjunto potencia de A.
i) {B}  P(A) ( )
A
B
C
D
U

ii) {10; 12}  P(A) ( )
iii) 10  P(A) ( )
iv)   P(A) ( )
v)   P(A) ( )
a) VVFVF b) FVVFV c) FVFVV
d) VFFVV e) VVFVV
8. Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios,
¿Cuántos elementos tiene el conjunto?
a) 2 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.A.
9. Dado el conjunto A = {{3; 8}; {5; 7}; 8}; ¿Cuántas
de las siguientes proposiciones son correctas?
i) {5; 7}  A ( ) iv) {}  A ( )
ii) {5; 7}  A ( ) v) 3  A ( )
iii) {7}  A ( ) vi) {8}  A ( )
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 1
10.Dado el conjunto A = {k, a, r, i, n, a}
¿Cuántos subconjuntos de “A” tienen dos o más
elementos?
a) 25 b) 27 c) 32
d) 31 e) 26
11. ¿Cuál de los siguientes conjuntos son unitarios?
A = {x/x  N; 7 < x < 9}
B = {x/x  Q; 7 < x < 8}
C = {x + 1 / x  Z; -2 < x < 2}
D = {x/x es la capital del Perú}
a) Sólo A b) Sólo B c) A y B
d) Sólo D e) A y D
12.Si los conjuntos “A” y “B” son iguales, hallar:
m + p (“m” y “p”  N)
A = {10; m2
- 3} ; B = {13; p2
- 15}
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
13.Dado el conjunto A = {2; {5}; 3; 2; {5}}
corresponda:
i) “A” tiene 8 subconjuntos
ii) “A” tiene 31 subconjuntos propios
iii) “A” tiene 4 subconjuntos unitarios
iv)   P(A)
a) VVFV b) FVVV c) FFVV
d) VFFV e) VFVV
14.Dado el conjunto A = {3; {8}; {5; 7}; {3}}
Si P(A) representa el conjunto potencia de “A”
¿Cuántas proposiciones son falsas?
i) {8}  P(A) iv)   P(A)
ii) {{5; 7}}  P(A) v) { }  P(A)
iii) n [P(A)] = 32
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15.Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, calcular
2a+2b+2ab
A = { a + b ; 12}
B = {2; a - b }
a) 91 b) 92 c) 93
d) 94 e) 95
16.¿Cuáles de los conjuntos dados son vacíos?
A = {x/x  Q; 3 < x < 4}
B = {x/x  N; 3 < x < 4 }
C = {x/x  N; (x + 3) (x + 7) = 0}
a) Sólo B b) Sólo C c) A y B
d) B, C y D e) B y D
9. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Unión o Reunión (U): Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama unión de éstos a otro conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. Se denota así:
A  B = {x/x  A  x  B} Ejemplos:
1. Dados: A=5, 7, 9, 13
B=6, 7, 8, 9.
Hallar y graficar AUB.
Solución:
AUB=………….………….……..…….
2. Dados: M=1, 3, 5, 7
N=2, 4, 6.
Hallar y graficar MUN.
Solución:
MUN=……………..….………..…….
3. Dados: P=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Q=1, 4, 7.
Hallar y graficar PUQ.
Solución:
PUQ=P=…………………….………...

2. Intersección ():La intersección de dos conjuntos “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, que está formado por todos los elementos comunes a “A” y
“B”. Simbólicamente se denota así:
A  B = {x/x  A  x  B} Ejemplos:
3. Diferencia: (A-B); (B-A) La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos que pertenecen a A
pero no a B ó elementos que pertenecen a B pero no a A. Simbólicamente se representa así:
A-B={x/xA  xB} B-A={ x/xB  xA } Ejemplos:
4. Diferencia simétrica (): Dado dos conjuntos A y B, se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al
conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. simbólicamente se denota así:
A  B = {x/x  (A - B)  (B - A)} o también A  B = {x/x(AB)  x(AB)} Ejemplos:
…………………………. …………………………. ………………………….
1. Dados: A=5, 7, 9, 13
B=6, 7, 8, 9
Hallar y graficar AB.
Solución:
AB=………………..…..…….
2. Dados: P=a, e, i, o, u
Q=b, c, d, f
Hallar y graficar PQ.
Solución:
PQ=……………………..….
3. Dados: M=m, a, r, y
N=m, a, r, y, l, u, z
Hallar y graficar MN.
Solución:
MN=………………….…=…….…..
…………………………. …………………………. ………………………….
1. Dados: A={4, 5, 6, 7, 8}
B={6, 7, 8, 9, 10}
Hallar y graficar: A-B y B-A.
Solución
A-B={……………………………..}
B-A={……………………………..}
2. Dados: M={1,1,2,3,5,5,3,2,5}
N={6, 8, 6, 7}
Hallar: M-N y N-M
Solución:
M-N={………………..}…………………
N-M={…………………}………………..
3. Dados: P=a, m, o, r
Q=m, a, r,
Hallar y graficar P-Q Y Q-P
Solución:
P-Q={…………………….}
Q-P={ } =…………….
…………………………….…….
A-B B-A M-N N-M P-Q Q-P
…………………………….……. …………………………….…….
1. Dados: A=1, 2, 3, 6
B=2, 4, 6, 7, 8
Hallar y graficar AB.
Solución:
AB=………………..…..…….
2. Dados: P=6, 8, 10
Q=5, 7, 9, 11
Hallar y graficar PQ.
Solución:
PQ={………………….…}……….…...
3. Dados: M= r, o, m, a, n, a 
N=a, m, o, r
Hallar y graficar MN.
Solución:
MN=………………….…=…….…..

5. Complemento (Ac
): Complemento del conjunto A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen
al conjunto U pero no al conjunto A. Simbólicamente se representa así:
C(A)=Ac
= A =A´=
A
U
C ={x/x  U y x  A} = {x  (U - A)}
Veamos algunos ejemplos y sus representaciones graficas sobre complemento:
10. RESOLVIENDO PROBLEMAS CON CONJUNTOS Para resolver problemas con conjuntos es importante
identificar el significado de las diferentes zonas que se presentan en el diagrama o representación grafica;
por lo tanto aquí tenemos algunas interpretaciones que pueden ayudarte.
1. Dados los conjuntos:
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {2; 4; 6; 8}
C = {1; 3; 4; 5; 6}
corresponda:
a) A  C = {1; 3; 5; 6} ( )
b) B – A = {6; 8} ( )
c) B  C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ( )
d) A – C = {2; 5} ( )
e) B  C = {4; 6; 8} ( )
a) FVFVV b) FVVFF c) FVVVF
d) FVFFF e) FVVVV
2. Determine por extensión los siguientes conjuntos y
dar como respuesta la suma de los elementos del
conjunto B.
Si: B=2m/mC;
C=1+n2
/nN, 1n3
A) 20 B) 34 C) 30 D) 24 E) 40
3. Dados los conjuntos:
A
U
1 = solo A
2 = A y B
3 = sólo B
4 = ni A ni B
1,2 = A
2,3 = B
1,2,3 = A o B
A B
A B
C
1 = solo A
3 = sólo B
7 = sólo C
8 = ni A ni B ni C
2 = sólo A y B
4 = sólo B y C
6 = sólo A y C
5 = A, B y C
2,5 = A y B
4,5 = B y C
5,6 = A y C
…………………………. …………………………. ………………………….
1. Dados: B=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
C=1, 3, 5, 7, 9, 11
Hallar y graficar C´
Solución:
C´ =………..………………………..……...
2. Dados: U=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
A=3, 7, 9, 11, 13
Hallar y graficar Ac
Solución:
Ac
=………..………………………..……...
Complemento de C respecto a B Complemento de A respecto a Universal

A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 3; 5; 6}
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
corresponda:
a) A’ = {6; 7; 8} ( )
b) B’ = {7; 8} ( )
c) A’  B = {6; 7} ( )
d) B’ – A = {4; 7; 8} ( )
e) A’  U = {6; 7; 8} ( )
a) VFVVF b) VFFFV c) VFFFF
d) VFFVF e) VFVFV
4. En el cumple años del Director asistieron 179
personas, se notó que 28 personas fumaban pero
no bebían y 43 personas bebían pero no fumaban.
Si el número de personas que no fumaban ni bebían
era el triple de las que fumaban y bebían. ¿Cuántas
personas fumaban y bebían?
A)27 B)35 C)22 D)37 E)40
5. En un salón donde hay 43 personas, 5 son mujeres
que estudian Matemática, 28 son hombres y el
número de hombres que no estudian Matemática es
el doble del número de mujeres que no estudian
Matemática. ¿Cuántas personas estudian
Matemática?
A)12 B)13 C)14 D)15 E)16
6. El siguiente diagrama adjunto representar por
diagrama lineal.
7. Se sabe que los alumnos de un salón de clase; 40
estudian matemática, 36 estudian comunicación y
10 estudian matemática y comunicación; según
este.
a) ¿Cuántos estudian solo matemática?
b) ¿Cuántos estudian solo comunicación?
c) ¿Cuántos alumnos tiene el salón de Clase?
A) 20, 15, 50 B) 30, 26, 66
C) 25, 35, 55 D) 30, 10, 26
8. De 65 alumnos de CAB; 30 prefieren fútbol, 40
prefieren Voleibol, 5 prefieren otras disciplinas.
¿Cuántos alumnos prefieren ambas disciplinas?.
A) 15 B) 12 C) 11 D)10
9. De un grupo de 100 turista europeos se sabe que:
- 36 visitarán Argentina
- 20 visitarán Brasil
- 25 visitarán Colombia
- 12 visitarán Argentina y Colombia
- 9 visitarán Brasil y Colombia
- 10 visitarán Argentina y Brasil
- 6 visitarán los tres países mencionados
a) ¿Cuántos no visitarán a estos países?
b) ¿Cuántos visitarán Brasil o Argentina pero no
Colombia?
a) 44 y 4 b) 26 y 31 c) 38 y 31
d) 44 y 31 e) 44 y 17
10. Si: n(A) = 12, n(B) = 18 y n(A  B) = 7
Hallar: n(A  B)
a) 12 b) 16 c) 20
d) 31 e) 15
11. Un conjunto A tiene 42 elementos y otro conjunto
B tiene 24 elementos, si: AUB tiene 52 elementos
¿Cuántos elementos tiene AB?
A) 12 B)13 C)14 D)15
12. En una batalla intervienen 120 soldados, de los
cuales 45 fueron heridos en la cabeza, 41 en el
brazo, 17 en la cabeza y brazo, 21 solo en la
cabeza, 14 en el brazo y en la pierna, 4 en las tres
partes, 45 salieron ilesos. ¿Cuántos fueron
heridos en la pierna?
A) 6 B) 18 C) 20 D) 27
13. Dado: A=2,4,6,8,……,48,50,
B=3,6,9,12,……..,45,48 Indica el número de
elementos de “AB”
A) 23 B) 33 C) 27 D) 36
14. Si: U = {x/x  N; 0 < x < 10}
A = {x/x  N; 4 < x < 9}
B = {x/x  N; 3 < x < 8}
Hallar: A’ – B’
a) {1} b) {2} c) {3}
d) {4} e) {5}
15. En un salón se encuentran 52 alumnos de los
cuales 30 son hombres, 12 mujeres no tienen 18
años. Si 30 personas tienen 18 años ¿Cuántos
hombres tienen 18 años
A) 10 B) 12 C) 22 D) 20
16. Si: A={7,8,5,4,3} B={5,4,9,11} y C={4,9,7,15}
Halle: n[(AUB)C].
A)5 B)1 C)2 D)3 E)4
TAREA PARA LA CASA
A
E
C
B
D

1. De 50 alumnos de la I.E. Ciro Alegría Bazán de
Muquecc 30 alumnos practican fútbol y 25
voleibol. Si 15 alumnos no practican ninguno de los
deportes. ¿Cuántos practican solamente el
fútbol?.
A) 5 B) 20 C) 10 D) 8
2. En una encuesta a 150 universitarios, se sabe que
60 son mujeres; 55 personas estudiaban
ingeniería; 30 mujeres no estudian ingeniería
¿Cuántos varones no estudian ingeniería?
A) 50 B) 55 C) 65 D) 75
3. Dado el conjunto A=3, 6, 8, 9, indica si son
verdaderos (V) o falsos (F) las siguientes
proposiciones.
I) 1A II) 6A III) 8A
IV) 3, 6A V) 3A
A) VVVFF B) VVVVF C) VVFFF
D) VFFFV C) FVFF
4. En una escuela estudian 67 alumnos. De estos 47
hablan quechua, 35 hablan el castellano y 23
hablan ambas idiomas. ¿Cuántos alumnos no hablan
castellano ni quechua?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10
5. Dado el conjunto M=x/x es una letra de la
palabra matemática, ¿Cuántos subconjuntos tiene
M?
A) 64 B) 128 C) 256
D) 1024 E) 2048
6. De los 31 días del mes de Julio, José salió con
María 18 días, con Rosa salió 20 días. ¿Cuántos
días salió con las dos?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7
7. En una encuesta realizada a 35 personas de una
comunidad sobre las preferencias de consumo de
papa y ulluco, se tiene el siguiente resultado.
 19 personas no prefieren papa.
 3 personas no prefieren ulluco.
 6 personas no prefieren algunos de estos
productos.
¿Cuántas personas prefieren consumir papa y
ullucu?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
8. Dado A=0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ¿Cuántos
subconjuntos tiene P(A)?
9. De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres,
73 estudian historia, 12 mujeres no estudian
historia. ¿Cuántos hombres no estudian
historia?
A)13 B)10 C)15 D)25 E)12
10. De 50 personas se sabe que:
 5 mujeres tienen ojos negros
 16 mujeres no tienen ojos negros
 14 mujeres no tienen ojos azules
 10 hombres no tienen ojos azules o negros.
¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules?
11. Si: A = {a, b, m, t}
B = {x/x es una vocal de la palabra martes}
Hallar: B – A
a) {a, e} b) {a, i} c) {a, o}
d) {a, u} e) {a}
12. Si:A = {a, b, e, d}
B = {x/x es una vocal}
Hallar: A  B
a) {a, e} b) {a, i} c) {a, o}
d) {a, u} e) {a}
11. REGIONES SOMBREADAS Las regiones sombreadas en teoría de conjuntos son los espacios o zonas
achuradas de acuerdo a condiciones de un problema, haciendo uso el diagrama de ven.
Para interpretar es conveniente numerar cada zona establecida, luego guiándonos por esta numeración
hallamos la región que corresponde a un conjunto dado. Veamos:
01. Dado el siguiente gráfico:
02. La región sombreada corresponde a:
A
B
C
A) [(AB)-C]B B) (A-C)B
C) (B-C)A D) (ABC)(C-B)
E) [(AB)-C][C-B]
A B
C
A) (AB)C B) (A-B)(B-A)
C) (AB)C D) (AB)C
E) [(AB)-(AB)]C

A B
C
A
B
C
03. La región sombreada en el diagrama
representa a la operación:
04. ¿Qué expresión representa a la parte
sombreada?
05. El circulo A contiene a las letras a, b, c, d, e,
f. El circulo B contiene a las letras b, d, f, g,
h. Las letras del rectángulo C que no están en
A son: h, j, k y las letras de C que no están en
B son: a, j, k. ¿Qué letras están en la figura
sombreada?
06. ¿Qué expresión representa la parte achurada de
la figura?
07. A que operación corresponde la parte achurada
en:
08. La parte achurada del esquema corresponde a:
09. ¿A que operación corresponde la parte achurada?
10. ¿Qué operación representa la región
sombreada?
a) (A  B)  C d) (A  C)  B
b) (B  C)  A e) (A - B)  (B  C)
c) (A  B)  C
1. BREVE INTRODUCCION:
Nº Símbolo Pueblo
2
3
5
10
15
A
B
C D
A) (A-B)(CD) B) (B-A)[(CD)-(CD]
C) A y B correctas D) (B-A)(C-D)(D-C)
E) B y D correctas
A B C
A) (B-A)-C B) (AB)-C
C) (A-B)-C D) (A-B)C´
E) Alternativas C y D.
A B
C
A) a, b, d, f, h B) b, d, f, h
C) a, d, f, h D) j, k, f, h
E) a, b, c, f, h
A B
C
A) (AB)-C B) C(AB)´
C) (AB)-C D) ABC
E) (AB)C´
A) (AB)-C B) C(AB)´
C) (AB)-C D) ABC
E) (AB)C´
A B
C
A) (AB)(B-C) B) (A-B)(C-B)
C) C-(AB) D) (C-B)(AB)
E) Ninguna.
A B C
El hombre en su desarrollo histórico ha creado
diferentes formas para nombrar y denotar los
números, así en cada pueblo y en cada época
los números naturales se representaron con
diferentes símbolos como:

Pero las cosas que le rodeaba al hombre se fueron multiplicando cada vez mas, por lo que tuvo que ingeniarse
para agrupar los elementos para poder contar de manera más simple y fácil. Esta técnica con el tiempo se
desarrollo tomando el nombre de Sistema de Numeración.
2. CONCEPTOS BASICOS:
A. Número y Numeral
B. Cifra o Dígito.- Símbolos que convencionalmente utilizamos en la representación de los números.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3. SISTEMA DE NUMERACIÓN Es un conjunto de reglas y principios que nos permiten leer y escribir
correctamente los números. Tenemos diversos sistemas de numeración, entre los cuales destaca el sistema
de numeración decimal o décuplo.
1. Principios Fundamentales:
A. De orden y lugar.- Toda cifra que conforma un numeral en un sistema de numeración tiene un lugar y un
orden determinado:
 El lugar se lee de izquierda a derecha a partir de 1
 El orden se lee de derecha a izquierda a partir de cero.
B. De La Base.- Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero positivo y mayor que
uno.
La base nos indica de cuanto en cuanto se agrupan los números para escribirlos y nombrarlos
correctamente: Así en base 10 los números se agrupan de diez en diez, en base 2 de dos en dos, en base
3 de tres en tres, en base 4 de cuatro en cuatro, en base 5 de cinco en cinco etc.
Además la base nos indica el tipo de sistema de numeración que se utiliza, como por ejemplo:
Si su base es 2 entonces se llama Sistema de Numeración Binaria y se usa las cifras……………………………….
Si su base es 3 entonces se llama Sistema de Numeración Ternaria y se usa las cifras……………………………
Si su base es 4 entonces se llama Sistema de Numeración Cuaternaria y se usa las cifras………………………
Y así sucesivamente…
Veamos un ejemplo:
i
Veamos un ejemplo en el sistema decimal
Si tenemos 26 pelotas y lo agrupamos de 12 en 12,
luego de 10 en 10, de 8 en 8, de 5 en 5, de 4 en 4, de
3 en 3 y finalmente de 2 en 2.
¿Que Sucede?
Número.- Ente matemático que nos permite
cuantificar los objetos de la naturaleza. Es decir
nos da la idea de cantidad.
Numeral.- Representación grafica de un número
mediante signos o símbolos.
Orden
Lugar
6 3 9 0 4 7
5
1º
4 3 2 1 0
2º 3º 4º 5º 6º
Numeral
S. de numeración Undecimal (agrupando de 11 en 11) S. de numeración decimal (agrupando de 10 en 10)

CONCLUSIONES:
1. De las agrupaciones realizadas podemos concluir que la base indica el tipo de sistema de numeración,
es decir de cuanto en cuanto se están agrupando las unidades simples en dicho sistema de
numeración.
abcdem
2. Además podemos observar que un mismo numeral se puede escribir en diferentes sistemas de
numeración de manera diferente, esto depende de la base del sistema de numeración que se elige.
Igualando y comparando tenemos:
S. de numeración nonario (agrupando de 9 en 9) S. de numeración octanario (agrupando de 8 en 8)
S. de numeración heptanario (agrupando de 7 en 7) S. de numeración senario (agrupando de 6 en 6)
S. de numeración quinario (agrupando de 5 en 5) S. de numeración cuaternario (agrupando de 4 en 4)
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
……
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
……
S. de numeración ternario (agrupando de 3 en 3) S. de numeración binario (agrupando de 2 en 2)
……………………
…….
……………………
……
=
……………………
……
…………………
.
…………………
=
…………………
…………………
…………………

Ejercicios para la casa:
1. Representar 18 unidades en las bases 9, 7, 5, 4, 3.
2. Representar 32 unidades en las bases 12, 10, 8, 6, 4, 2.
3. Representar 48 unidades en las bases 20, 15, 12, 9, 7, 5, 3.
C. De las Cifras.- Las cifras (incluido el cero) son números naturales que se utilizan para escribir una
cantidad en un determinado sistema de numeración, y siempre son menores que la base.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Principales sistemas de numeración y sus cifras correspondientes.
Base Sistema Cifras que se utilizan
2 Binario
3 Ternario
4 Cuaternario
5 Quinario
6 Senario
7 Heptanario
8 Octanario
9 Nonario
10 Decimal
11 Undecimal
12 Duodecimal
Etc. Etc.
En los sistemas de numeración mayores que el de base 10, por convención se utilizan letras o símbolos
para su representación. Veamos:
(10)= (11)=
(12)= (13)=
Ejemplos:
 5(10)3(11) (15) =…………………………..…………=………………….……..…………….
 2(10)3(11) (13) =…………………………..…………=……………………………………….
2. Sistema de Numeración Decimal.- Es el sistema cuyo principio fundamental es que la formación de sus
unidades va de diez en diez. Veamos el siguiente ejemplo:
10 unidades representan: --------------…………………………….……………..
10 decenas representan: ---------------……………………….……………….….
10 centenas representan: --------------..……………………….…..…............
OBSERVACION: Pero en el mundo actual
prácticamente sólo se utiliza el sistema decimal,
el cual ha tenido origen en los 10 dedos de la
mano del hombre. Entonces a continuación
vamos a estudiar algo más de este sistema

Características:
 El sistema de numeración decimal utiliza diez símbolos denominados cifras, que son: 0; 1; 2; 3; 4; 5;
6; 7; 8; 9.
 Con estas diez cifras se pueden formar todos los numerales posibles mediante las combinaciones entre
ellas. Como: 98, 657, 7506, 67053, 270379, 9721104, 69003420, 3782980767, etc
 El mínimo valor que puede tener una cifra es cero (cifra no significativa) y el máximo valor es el 9 (una
unidad menos que la base diez).
Valores de las cifras en el sistema de numeración decimal.- Toda cifra que forma parte de un numeral
en el sistema decimal tiene dos valores:
Ejemplo:
5 6 4 6 8
3. Descomposición Polinómica.- Descomponer polinomicamente un numeral es sumar los valores relativos de
cada una de sus cifras. Significa que cualquier numeral que esta escrito en un sistema de numeración
cualquiera, se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras. Ejemplos:
675845 = ………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………...................................................................................................…………………………………
…………………………………………………………………………………..……………………..………………………………………
94562 = ………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………...................................................................................................…………………………………
…………………………………………………………………………………..……………………..………………………………………
Valor Absoluto o Por su Forma (VA).- Es la
cantidad de unidades simples que presenta la
cifra, es decir el valor que toma una cifra
por la forma, símbolo o figura que tiene.
Valor Relativo (VR).- Es el valor que tiene la
cifra por el orden o posición que ocupa en el
numeral, es decir la cantidad de unidades
simples en cada orden.
Valor absoluto
Valor relativo

2341 = ………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………...................................................................................................…………………………………
…………………………………………………………………………………..……………………..………………………………………
abcdefg = …………………………………………………………………………………………………………….…….………………………………
………………....................................................................................................…………………………………
…………………………………………………………………………………..…………..……………….…………………………………
1011011(2)= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………….........................................................................................…………….………………………………
…………………………………………………………………………………..…………..…………………..………………………………
210211(3) = ……………………………………………………………………………………………………….……………..……………………………
……………….........................................................................................…………….………………………………
…………………………………………………………………………………..…………..……………………..……………………………
340123(5) = ……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………
……………….........................................................................................………………..……………………………
…………………………………………………………………………………..…………..………………………….…………………………
13504(6) = ………………………………………………………………………………………………………..…………….………………………………
………………........................................................................................................…………………………………
……………………………………………………………………………………………..…..…………..………………………………………
356017(9) = ……………………………………………………………………………………………….………………….….………………………………
………………........................................................................................................…………………………………
……………………………………………………………………………………………..…..……………………………………………………
24310(12) = ………………………………………………………………………………………………………………….…….………………………………
………………..........................................................................................................…………………………………
……………………………………………………………………………….…………………..…………...………………………………………
EN GENERAL
abcdefghn =…………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
4. Conversión de Sistemas de Numeración
Primer Caso: De un sistema de base “n” al sistema decimal.- Para convertir solo se aplica la
descomposición polinómica. Ejemplos:
a) Convertir: 2341(5) a sistema de base 10
Solución:
2341(5) = …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
b) Convertir: 101101012 a sistema decimal
NOTA: En cada descomposición polinomica del
numeral podemos observar que, el exponente de la
base de cada término es igual al número de cifras
que quedan a la derecha de la cifra considerada.
23415 significa:
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………

Solución:
101101012 = ……………………………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………………………………………..............…………
…………………………………………………………………………………………………..…………………
…………………………………………………………………………………………………………..…………
c) Convertir: 123234 a sistema decimal
Solución:
123234 = ………………………………………………………………………………………………………………..……
………………………………………………………………………………………………..……………..……
…………………………………………………………………………………………………..…………..……
…………………………………………………………………………………………………………..………
EN GENERAL:
abcdef(n) =
Otro Metodo: (Metodo de Ruffini).- Este metodo es muy practico cuando el numeral tiene
mas de 2 cifras. Veamos con los ejemplos anteriores:
a) Convertir por Ruffini 2341(5) a sistema decimal.
Solución:
b) Convertir por Ruffini 12323(4) a sistema de base 10.
Solución:
Ejercicios para la casa: Convertir a sistema decimal, cada numeral correspondiente.
349= 72348= 842329= mnmn5= 1020324=
1011100102= 11111112= 10000002= 3245123= 11223345=
Segundo Caso: De sistema de base 10 a un sistema de base “n”.- Para convertir un número que esta en
sistema decimal a otra base diferente, se aplica el método de las divisiones sucesivas:
Regla: Se divide sucesivamente el número de base 10, entre la base a la cual vamos a
convertir hasta que el ultimo cociente sea menor que el divisor. Veamos:
a) Convertir 7653 a base 8
Solución:
b) Convertir 55632 a base 6
Solución:
55632 6
Luego
Luego
…………………………………………………
…………………………………………………

Rpta. 45268 =
Ejercicios para la casa: En cada caso convertir al sistema de numeración al que indica.
37 a base 2 246 a base binario 12467 a base ternario
2347568 a base 12 657809 a base 9 7567 a base 2
245 a sistema de base 7 1234 a base 5 103210 a base 4
Tercer Caso: De un sistema de base “n” a otro sistema de base “m”.- Para este caso procedemos de la
siguiente manera.
 Primero el número de base “n” pasamos a base 10 (sistema decimal). Por
descomposición polinómica.
 Luego el número obtenido convertimos a base “m” por divisiones sucesivas. Ejemplos:
a) Convertir 45268 a base 5
Solución:
 1º Convertimos el numeral 45268 a sistema decimal
45268= ……………………………………………………………………………..………………..
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….………
……………………………………………………………………………………………….
 2º Luego este numero hallado convertimos a sistema de base 5
Ejercicios para la casa: En cada caso convertir al sistema de numeración que indica
1237 a sistema de base 3 1221223 a sistema de base 9 111012 a sistema de base 5
400035 a base 9 21078 a sistema de base 6 23104 a sistema de base 8
12405 a sistema de base 3 7089 a sistema de base 6 12314 a sistema de base 2
4. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO
Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se representan por lo general mediante letras
minúsculas del alfabeto colocando en su parte superior una barra. Ejemplos:
7653 8
…………………………………………………… …………………………………………………………………
En el sistema decimal:
ab …………………………………………………………….………………….
abc ……………………….………………………………………….……………
aaa ……………………………………………………….……………………….
En otros sistemas:
abc8  …………………………………………….………………….………….
ab5  ……………………………………………………………..…………….
abac7 …………………………………………………………………………….

IMPORTANTE:
 La primera cifra de la izquierda no debe ser cero.
 Si hay expresiones en paréntesis, representan una cifra.
 Escribir un numeral de cuatro cifras iguales:………………………………………………………………………….……………………………………
 Escribe un numeral de cuatro cifras cuyas cifras extremas sean iguales……………………….…………………………………….
 Escribir un numeral de tres cifras consecutivas crecientes……………………………………..……………………………………………….
 Escribe un numeral de tres cifras diferentes en el sistema quinario………………………………………………………………………
Numero Capicúa.- Es aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales, es decir se leen iguales
por ambos lados.
Ejemplos:
De dos cifras ………………………………………………………………………..…………….
De tres cifras …………………………..…………………………………………………………
De cuatro cifras …………………………...…………………………………………………….
De cinco cifras ……………………………………………………………………………………
De seis cifras …………………………………………………………………………………etc.
Ejercicios de calentamiento
1. Completar la siguiente oración de manera
correcta:
 La base de un sistema de numeración es un
número______________ mayor que _____
2. ¿Cuál es la mayor cifra que se puede utilizar en
un sistema de:
 Base 6? _________________
 Base 13? _________________
 Base M? _________________
 Base (M - 2)? _________________
 Base 7? _________________
 Base 16? _________________
 Base (N + 1)? _________________
 Base (6 - N)? _________________
3. Contesta las siguientes preguntas:
 El número 28(3) está mal escrito porque _______
 El número 387(-4) está mal escrito porque ______
 El número 4(-8)(12) está mal escrito porque _____
abcab
somos
reconocer
anitalavalatina
amolapaloma
4) Indicar verdadero (V) o Falso (F) según
corresponda.
 Existen solo 10 sistemas de numeración.
 En el sistema de base 5, se utilizan 5 cifras
diferentes.
 En el sistema de base 7, no existe la cifra 7.
a) FFV b) FVV c) FVV
d) VVV e) VFF
5) Completar: En el sistema octal, existe………....
cifras diferentes y la mayor es………..
a) 8 y 8 b) 7 y 8 c) 7 y 7
d) 8 y 7 e) 7 y 6
1) ¿Cómo se expresa en base 7 un número
formado por 48 unidades?
a) 65(7) b) 66(7) c) 56(7)
d) 34(7) e) 44(7)
2) ¿Cómo se expresa el menor número de 4 cifras
diferentes de la base 7?
a) 1234(7) b) 1320(7) c) 1203(7)
d) 1023(7) e) 1032(7)
3) Si: N = 2 x 83
+ 4 x 82
+ 3 x 8 + 5, ¿Cómo se
escribe el número “N” en base 8?
a) 2135(8) b) 2243(8) c) 2435(8)
d) 2433(8) e) N.A.

 El número )
1
(
abc está mal escrito porque ______
4. Escribir:
 El mayor número de 3 cifras de base 7: _______
 El mayor número de 4 cifras diferentes de base
8: ____________
 El mayor número de 4 cifras de la base 8: ______
 El menor número de 4 cifras de base 6: _______
 El menor número de 3 cifras de base 4: _______
 El menor número de 5 cifras de la base N: _____
5. Indique que números están mal escritos:
I) )
6
(
34
c II) 483(9) III) 12345(4)
(c > 6)
a) I b) II c) III
d) I y II e) I y III
6. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números,
si están bien escritos?
I) )
8
(
2
ab tiene: _____________
II) (10) (11) 84(13) tiene: _____________
III) )
7
(
c
)
1
a
(
a  tiene: _____________
IV) )
9
(
4
)
1
b
(
68  tiene: _____________
V) 34567(8) tiene: _____________
7. Colocar > ; < ó = según corresponda:
 24(5) …………………… 23(6)
 30(9) …………………… 27
 17(9) …………………… 18(9)
 13(4) …………………… 12(5)
8. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”
en?
I) )
9
(
86
a II) )
4
(
)
2
a
)(
1
a
(
a 

I) )
6
(
3
a II) )
6
(
)
1
a
)(
3
a
(
a 

9. Hallar los valores de “a”, “b”, “c” y “d”, si los
siguientes números están bien escritos. Dar
como respuesta la suma de cifras.
)
5
(
)
c
(
)
d
(
)
b
( 1
c
;
3
d
2
;
1
b
;
1
a
a) 3 b) 4 c) 8
d) 10 e) 12
10. En cada caso hallar el valor de “a” si:
A) )
7
(
6
a = 41
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
B) )
4
(
1
a
1 = 25
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
11. En cada caso hallar el valor de “a” si:
A) )
9
(
)
8
( 3
a
7
a 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
B) )
5
(
)
6
( 4
a
3
a 
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
12. Hallar “x” si:
31(x) + 23(x) = 54(6)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
13. ¿Cuántos números naturales existe entre 237 y
456?
14. Si: 23(n) + 14(n) = 42(n), hallar el valor de “n”
15. Hallar el valor de “a+b”; si: abb(9) = bba(6)
16. Si: a+b+c=18, hallar el resultado de abc+cab+bca.
17. El número 102 se escribe como 204 en base “m”,
hallar “m”.
18. Calcule la suma de todos los números de 3 cifras
diferentes que se pueden formar con las de tres
cifras impares que hay en el sistema de base 6.
a) 1776 b) 1665 c) 999
d) 1998 e) 1554
19. La suma de 102+112+1112+10112 en base 10 es:
20. Convertir 2438 a base 10, y dar como respuesta la
cifra que ocupa el orden de las unidades.
TAREA PARA LA CASA
1. ¿Cuál es la mayor cifra que se puede utilizar en
un sistema de:
 Base (N + 3)? ______________
 Base 14? ______________
2. Contesta las siguientes preguntas:
 El número 2(13)(12) está mal escrito porque
_________________________________
 El número 13(-2)(3) está mal escrito porque
_________________________________
3. Escribir:
 El mayor número de 3 cifras diferentes de la
base 8.

 El mayor número de 3 cifras diferentes de la
base 5.
 El menor número de 3 cifras diferentes de la
base 7.
 El menor número de 4 cifras diferentes de la
base 6.
4. Indicar que números están mal escritos:
I) 348(12) II) 776(7) III) )
1
(
abc
a) I b) II c) III
d) I y II e) II y III
5. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números,
si están bien escritos?
I) )
8
(
34
ab II) )
9
(
xy
7 III) )
11
(
ab
)
ab
(
12
a) 4 ; 3; 3 b) 4 ; 3; 4 c) 4 ; 3 ; 5
d) 4 ; 4; 4 e) 4 ; 4 ; 5
6. Colocar > ; < ó = según corresponda:
 231(6)………………. 130(9)
 396…………………. 1234(5)
7. ¿Cuánto suman los posibles valores de “a” en: ?
(a  0)
I) )
a
10
(
376  II) )
a
12
(
02
a 
a) 2 ; 10 b) 2 ; 15 c) 3 ; 15
d) 3 ; 10 e) 4 ; 15
8. Hallar los valores de “a” y “b”, si los siguientes
números consecutivos están ordenados de
manera ascendente.
Dar como respuesta “(a + b)”
)
9
(
a
2 ; 35(6) ; 30(b)
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
9. Hallar el valor de “a”; si: )
9
(
7
a
3 = 286
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10. Calcular el valor de “a”, si: )
5
(
2
a + 13(4) = 19
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
11. Calcular el valor de “a”, si: )
7
(
)
8
( 4
a
1
a 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Ordenar de mayor a menor los siguientes
números:
34(8) ; 45(6) ; 1101(2)
13. Hallar “x” si: 21(x) + 35(x) = 36
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
14. Si abc5 = 1029, hallar a+b+c
15. Si aba7 =221; hallar a+b
16. Hallar el valor de “n” si: 102(n) =b234(7)
17. Hallar el valor de “a+b”, si: ab9 =ba7
18. Si: a+b+c=14, halle el resultado de efectuar
abc+bca+cab
19. Si: xyz(6) = 339; halle el valor de x+y+z
20. ¿Cuántos números naturales hay desde el 345
hasta 526?
21. La suma de 10120213 + 11110112 en base diez es:
22. El numero 100 en el sistema binario es?
a) 110010 b) 1100110 c) 1100100
d) 110100 e) 1101010
23. ¿Cual de números es mayor?
a) 435 b) 2123 c) 101102
d) 249 e) 1025
El número en su forma natural (como lo indica) se encuentra en la naturaleza como cantidades que varían de lo
simple a lo complejo, y el hombre para poder representar tales cantidades tuvo que utilizar ciertos signos y/o
representaciones simbólicas que hoy en la actualidad conocemos y lo utilizamos.
Concluyendo podemos afirmar que históricamente el numero natural nació conjuntamente con el hombre, con la
necesidad de saber contar las cosas que poseía, así como conocer las dimensiones de su terreno (forma y
tamaño), etc.
# de números que existe entre uno y otro =
(ultimo numero – primer numero) - 1
# de números que hay desde un numero hasta
otro numero = (ultimo numero – primer
numero) + 1

1. Números Naturales (N).- Son los símbolos (dígitos) que utilizamos para contar cantidades existentes en
nuestra realidad. El menor es el cero y el mayor no existe porque todo número natural tiene uno siguiente que
va aumentando más y más al agregarle una unidad.
N =…………………………………………………………………………………….…………………….
2. Representación de Números Naturales
N = {……………………………………………………………………………….}
3. Numero Concreto y Abstracto
4. Operaciones con Números Naturales.-
Las operaciones aritméticas son siete: adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación, radicación y logaritmación. Se clasifican en: Operaciones
de composición o directas y operaciones de descomposición o inversas.
La adición, la multiplicación y la potenciación son operaciones directas porque en
ellas, conociendo ciertos datos, se halla un resultado.
La sustracción, la división, la radicación y la logaritmación son operaciones
inversas porque en ellas, conociendo el resultado de la operación directa correspondiente y uno de sus datos,
se halla el otro dato
A. Adición.- Es una operación de composición o directa que consiste en reunir varias cantidades llamadas
sumandos en una sola llamada suma.
Leyes Formales de la Adición:
……………...…….……………...…….
……………...…….……………...…….
……………...…….……………...…….
Numero
Numero Concreto:
Indica la especie de sus
unidades.
Numero Abstracto:
No indica la especie de
sus unidades.
5 + 9 + 7
a + b + c
=
=
21
d
Ejemplo 5463 + 6751 + 8595 =……………….
1) Ley de Clausura: "La suma de números
naturales es otro natural"
2) Ley Conmutativa: "El orden de los sumandos no
altera la suma"

Sumando Números Pares e Impares:
1. Siendo: 2ab5 + a9b2 = 6a4b ; hallar: a + b
a) 8 b) 10 c) 12 d) 15
2. Si se cumple que: nmn=nm+mn+352; hallar: n + m
a) 12 b) 8 c) 14 d) 16
3. Si: a + b + c = 14, calcular: ab3+c2b+4ac+bca
a) 1988 b) 1999 c) 1977 d) 1966
4. Hallar: a + b + c + d; en: a1a+a2a+a3a+…..+a9a=bcd4
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40
5. Cuando: ab+bc=79 y a+b+c=12; hallar: a2 + b2 + c2
a) 10 b) 40 c) 30 d) 50
6. Calcular la suma de cifras de “E” si: E=mnpq+abcd,
y además: mn+ab=143, cd+pq=172
7. Si: a74b+5ba2+c7a=bba68, entonces (a + b + c), es:
8. Si: a + b + c = 14; hallar: ab+bc+ca+ac+ba+cb
9. En cada caso, hallar la suma:
A = 1 + 2 + 3 + . . . . . + 9 + 10
B = 2 + 4 + 6 + . . . . . + 18 + 20
C = 1 + 3 + 5 + . . . . . + 17 + 19
10.Calcule:  +  Si:
11. Calcule: ++ Si:
12. Calcule la suma de las tres ultimas cifras del
resultado de:
111…1+222…2+333…3+……+999…9
A) 23 B) 20 C) 19
D) 18 E) 14
13 Efectuar: 2+22+222+……+222222
A) 246812 B) 246802 C) 246902
D) 246912 E) 246822
14. Si: MAS+SAM=1110, además M=S+4 Halle: M+S+A
15. Halle: A+H Si: HHA+AHH=1352
 a, b, c…, N 
# Impar + # impar = # par
 a, b  N 
 a,b,cN 
4) Ley Modulativa o Elemento Neutro: Cero es el
elemento neutro de la suma, tal que para todo
número "a", se cumple que:
11 + 0 =
 a,N 
5) Ley Monotomia: Si a ambos miembros de una
igualdad se suma un mismo numero se obtiene
otra igualdad.
Si: 4 + 5 = 9 
Si: a + b = c 
6) Ley Cancelativa: Si en ambos miembros de una
igualdad existe un mismo sumando, esto se
cancela y la igualdad no varía
Si: 4 + 3 + 6 = 7 + 6 
Si: a + b + d = c + d 
# Impar + # par = # impar
2 4
2
+
5 5 9
1
7
2 3
3
+
6 8 5
8 cifras 8 cifras 8 cifras 8 cifras

TAREA PARA LA CASA
1. Sumar convenientemente:
Hallar: a + b + c
2. Hallar "a + b + c + d", si:
3. Si: entonces el valor
de "c" es:
4. ¿A cuánto hay que vender lo que ha costado S/.
9309 para ganar S/. 1315?
5. Si ganara S/. 56 menos al mes podría gastar
S/. 35 en alquiler, S/. 40 en estudio, S/. 18 en
mis antojos, S/. 59 en otros gastos y podría
ahorrar S/. 32 al mes, ¿cuánto gano al mes?
6. En una región se tienen los siguientes
cultivos: 10548 Ha de maíz, 821 Ha de frijol,
472 Ha de habas; 439 Ha de arveja; 127 Ha de
plantas de ornato; 3058 Ha de huertos de
manzana, 2109 Ha de huertos de pera y 502 Ha
de huertos de ciruela. ¿Cuántas hectáreas de
cultivo tiene la región?
7. Si: hallar: a.b.c
8. Hallar: x + y + z, si se cumple que:
9. Si: A+B+C=17 Halle: ABC+BCA+CAB
10. Si todas las figuras representan números
naturales y se sabe que:
Halle el valor de Q= +-
11. Hallar la suma de las dos ultimas cifras de sumar:
8+88+888+………+88888888
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
12. José utiliza una calculadora para efectuar la
operación 3757-2172. Pero por error en lugar de
la cifra 7 pone la cifra 9. Calcule en cuanto se
equivocó en el resultado.
A) 182 B) 176 C) 172
D) 160 E) 150
13. Si: 535a+d4cb=acd80 Calcular 2a+b+c+d.
A) 9 B) 10 C) 12
D) 15 E) 19
14. Halle: A+B+C Si: AB+BC+CA = 154
15. Halle el valor de S+A+N Si: S+AA=SNN
16. Calcule Q+U+E+S+O Si: QUE+QUE=ESOS
B. Sustracción.- Es una operación inversa a la adición que consiste en que dado dos cantidades, minuendo y
sustraendo, se halla una tercera cantidad llamada diferencia. Veamos:
17 - 12 = 5
M - S = D
abc
.
.
.
666
666
666
66
666
6
666
66
6 





15
abcd
278
487
abcd
15 

68
bba
a
7
c
2
ba
5
b
74
a 


4
xyw
z
9
z
......
z
3
z
z
2
z
z
1
z 




90
+ +
75
135
+
abc
cc
ba
ab 


Estos problemas son
tus pasatiempos
diviértete resolviendo
cada una.
En toda sustracción si
sumamos la diferencia
con el sustraendo se
obtiene el minuendo
Complemento Aritmético (C.A.).- El
complemento aritmético de un número
natural, es la cantidad que le falta a dicho
número para ser igual a la unidad del orden
inmediato superior. Ejemplos:
El C.A. de 3 es…………... porque:…………………………..
El C.A. de 40 es:………… porque:………………………….
El C.A. de 536 es:………. Porque:…………………………
Ejemplos

Regla practica para hallar el complemento aritmético de un número
Generalizando la regla práctica tenemos:
Propiedades fundamentales de la sustracción
01. La suma de los términos de una sustracción es
700. Hallar el sustraendo si es la quinta parte del
minuendo.
A) 60 B) 70 C) 81
D) 72 E) 69
02. Hallar a+b+c Si: C.A.(abc) +100 = 243
A) 19 B) 20 C) 10
D) 30 E) 5
03. Si: A+B+C=30, A=CA(95) B=CA(88). Calcular el
valor de “C”.
A) 17 B) 15 C) 13
D) 11 E) 9
04. ¿Cuál es la diferencia en una sustracción cuya
suma de términos sea 8480, sabiendo además que
el sustraendo es la cuarta parte del minuendo?
05. En una sustracción, restando el sustraendo de la
diferencia resulta 66. Si el minuendo es el
cuádruple del sustraendo, hallar el mayor de los
términos.
06. La suma de los tres términos de una sustracción
es 4204. Hallar el minuendo.
07. Un hombre reparte a su esposa e hijos S/.9500;
el mayor recibe S/.2300; el segundo S/.500
menos que el mayor; el tercero tanto como los dos
primeros y la esposa lo restante. ¿Cuánto recibió
la esposa?
08. Si me sacara S/.2 500 en la Tinka tendría ahora
S/.5 634. Si mi hermano tiene S/.936 menos que
yo, y mi prima 893 menos que mi hermano y yo
juntos, ¿cuánto tenemos entre los tres?
09. Si se cumple: calcular la suma
de los valores que puede tomar "a".
10. Calcule: +++ Si:
mn
6
cba
abc 

M – S = D  M = S + D
-
6 9 1 5
8
1
4
6
8
4
2
2) Halle el C.A. de 5846
Solución:
5846………………………………..……….…………
Solución:
847691………………..…………..…..…………
Solución:
630 …..…………………………………….….………
Solución:
5030 ……………….……………………...………
Regla práctica:
C.A. (abcd) = (9 - a)(9 - b)(9 - c)(10 - d)
 La sustracción es una operación inversa a la
adición, significa que si sumamos la diferencia
con el sustraendo obtenemos el minuendo
 Si sumamos los tres elementos de la
sustracción, resulta 2 veces el minuendo.
M + S + D = 2M

TAREA DOMICILIARIA
1. Si vendo un juguete en S/.84, ganando S/.18,
¿cuánto me había costado?
2. ¿En cuánto excede la suma de 756 y 8134 a la
diferencia entre 5 234 y 1 514?
3. Si Pedro tuviera 12 años menos tendría 48 años y
si Juan tuviera 13 años más tendría 23 años,
¿cuánto más joven es Juan que Pedro?
4. "A" tiene 15 años; "B" dos años más que "A"; "C"
cinco años menos que "A" y "B" juntos y "D",
nueve años menos que los tres anteriores juntos.
¿Cuál es la suma de las cuatro edades?
5. Hallar "x", si:
6. Si:
hallar "a + b + e".
7. Un comerciante pide 3 000 kg de mercancías.
Primero le mandan 854 kg, más tarde 123 kg
menos que la primera vez y después 156 kg más
que la primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?
8. ¿Cuál es el C.A. de 57081?
9. Tenía S/.4500; presté S/.872, pagué una deuda y
me quedaron S/.1345. ¿Cuánto debía?
10. Calcule: ++ Si:
RESOLVIENDO PROBLEMAS DE ADICION Y SUSTRACCION EN NUMEROS NATURALES
1. La edad de una madre es 12 años más que la suma de las edades de sus tres hijos. Si el tercero tiene 6 años; el
segundo 2 años más que el tercero y el primero tantos años como segundo y el tercero juntos. ¿Qué edad tiene la
madre?
a) 20 b) 24 c) 30 d) 40
2. Sonia pagó una deuda de 2 560 soles y más tarde pagó 4 342 soles, quedándole tanto como había pagado más 728
soles. ¿Cuánto dinero tenía?
a) 14 532 b) 14 653 c) 14 354 d) 14 457
3. Los hermanos Ángel, Beto, Carlos y Dante han recibido una suma de dinero por pintar una flota de automóviles. Ángel
recibió 1 240 soles, Beto 350 soles menos que Ángel, Carlos 600 soles más que Beto, y Dante tanto como Ángel y Beto
juntos. ¿Cuánto recibieron entre los cuatro?
a) 5 740 b) 5 750 c) 5 875 d) 5 789
4. Cuatro obreros han recibido 10 000 soles por su trabajo en la construcción de una casa. El primero recibió 2380
soles, el segundo 460 soles más que el primero, el tercero 700 soles menos que el segundo y el cuarto recibió el resto
de la suma. ¿Cuánto recibió el cuarto obrero?
a) 2 640 b) 2 647 c) 2 547 d) 2 655
5. En una sustracción el minuendo es 13 y el sustraendo 8. Si el minuendo aumenta en 6, ¿en cuanto aumenta la
diferencia?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
C. Multiplicación.- Es una operación donde, dados dos números a y b llamados factores, le corresponde un
tercer número c llamado producto.
Origen: Veamos el siguiente ejemplo:
Si: M=245+60-70+180-110+250+620 Hallar: M + M + M + M + M + M + M + M + M
La multiplicación tiene su origen en una operación de adición, donde todos sus sumandos son iguales; como
el ejemplo anterior, el cual podemos escribir en forma abreviada para poder resolver de manera fácil y
rápida.
Resolviendo el problema:
-
9
3
7
1
3
7
9
7
5
7
97
x
dcm
mcd 

5
)
e
d
c
(
.
A
.
C
y
e
4
cd
)
8
ab
8
.(
A
.
C 




M=…………………………………………………………………………………………………………………………………
 M + M + M + M + M + M + M + M + M
Leyes Formales de la Multiplicación:
DESARROLLANDO NUESTRA HABILIDAD OPERATIVA EN MULTIPLICACIÓN
Multiplicación por 5
Para que practiques:
47x5 123x5 4567x5 89347x5 77x5 331x5 6754x5 13467x5
83x5 753x5 5235x5 77323x5 69x5 166x5 1040x5 30507x5
12 sumandos
Para multiplicar por 5, al número se le
agrega un cero a su derecha y el
resultado se divide entre 2. Veamos:
………………………………
………………………………
 a, b, c…, N 
1) Ley de Clausura: "El producto de dos números
naturales es otro numero natural"
(3, 6)N 
2) Ley Conmutativa: "El orden de los factores no
altera el producto"
7, 5, 2N 
 a,b,c  N 
3) Ley Asociativa: "La forma como se agrupa los
factores no altera el producto"
3x2x4=
 a,b,cN 
4) Ley Modulativa o Elemento Neutro: El 1 es el
elemento neutro de la multiplicación, tal que
para todo número "a", se cumple que:
23 x 1 =
 a,N 
7) Ley Monotomia: Si a ambos miembros de una
igualdad se multiplica un mismo numero se
obtiene otra igualdad.
Si: 2x5 = 10 
Si: a x b = c 
6) Ley Cancelativa: Si en ambos miembros de una
igualdad existe un mismo factor, éste se
cancela y la igualdad no varía
Si: 2 x 3 x 5 = 5 x 6 
Si: a x b x d = c x d 
5) Ley de Elemento Absorvente: Cero es elemento
absorvente de la multiplicación, tal que para
todo numero natural se cumple que:
234 x 0 
 a, N 
6) Ley Distributiva con respecto a Suma y Resta:
Si un número multiplica a una suma o resta,
éste se distribuye como factor para cada
elemento de la suma y/o resta.
3(7 + 4) =
3(7 – 4) =
a ( b + c ) =
a ( b – c ) =
Que
Fácil
351 x 5 =

72x25 229x25 3697x25 12346x25 63x25 798x25 2674x25 23657x25
89x25 896x25 462x25 89205x25 70x25 508x25 8037x25 86034x25
Ejemplo 1 Ejemplo 2
3 4 x 11 = 3 7 1 9 2 x 11 =
67x11 456x11 7685x11 10234x11 235647x11 89x11 235x11 8791x11 56788x11 675894x11
Multiplicación por 9, 99, 999, 9999,……
23x99 456x99 2345x99 56432x99 43x999 124x999 2361x999
34286x999 21x9999 233x9999 4325x9999 45671x9999
Multiplicación de 2 números de 2 cifras cada uno
Ejemplo 1: Calcule 32x12 Ejemplo 2: Multiplicar 64x37
12x54 23x24 32x85 98x93 21x32 25x62 21x31 43x53 76x77 34x46 53x67 87x75
01. En cada caso determine el valor de A+B+C
02. Indique la suma de cifras del producto en cada
caso:
03. Cambia las interrogantes por números que
completen correctamente las operaciones
Para multiplicar por 25, al número se
le agrega dos ceros a su derecha y el
resultado se divide entre 4. Ejemplo:
4 2 x
1 3
6
2
1
B
A
6
4
C
C 7 x
2
6
3
4
B
8
5
3
1
A 5
x
7
3
4
0
6
4
2 9
28 x 25 =
Para multiplicar un numero natural por otro numero
natural formado sólo por cifras 9; al otro numero
natural se agrega a su derecha tantos ceros como cifras
nueves hay, y al resultado se le resta el mismo numero.
564 x 99 =
3 2
1 2
1º
2º
3º
6 4
3 7
1º
2º
3º

04. Si: aa x bb=3388. Calcular a+b
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
05. Halle la suma de cifras del resultado de:
7777777 x 9999999999
A) 78 B) 79 C) 80 D) 81 E) 82
06. Al multiplicar 43 x  = 5857. Calcular la
suma de las cifras halladas.
A) 24 B) 36 C) 37 D) 10 E) 50
07. Luzmila efectúa la multiplicación de 126 por
cierto numero obteniendo como producto 5418,
pero su hermano le hace la observación que el ha
tomado un 3 por un 8 en la cifra de las unidades
del multiplicador. ¿Cuál será la suma de cifras del
verdadero producto?
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
08. En un corral donde hay conejos y gallinas pueden
contarse 132 cabezas y 420 patas ¿Cuántos
conejos y gallinas hay en el corral?
A) 10y25 B) 54y78 C) 98y34 D) 13y22 E) 40y60
09. Al multiplicar 43 x  = 6707 Calcular el
producto de las cifras que corresponden a los
recuadros.
A) 2205 B) 1305 C) 735 D) 1764 E) 2646
TAREA PARA LA CASA
01. En cada caso determine el valor de A+B+C
02. Indique la suma de cifras del producto en cada
caso:
03. Cambia las letras por dígitos que completen
correctamente las operaciones. Si una letra se
repite debe cambiarse por el mismo dígito en esa
operación.
04. Compré 14 trajes a s/.30; 22 sombreros a s/.2 y
8 pañuelos a s/.5 cada uno respectivamente.
Vendiendo los trajes por s/.560, cada sombrero a
s/.1 y cada pañuelo a s/.3, ¿gané o perdí, cuánto?
05. A 60 céntimos cada lápiz, ¿cuánto importarán en
7 docenas?
06. Compré 115 burros a s/.70 cada uno, 15 se
murieron y el resto los vendí a s/.80 cada burro,
¿gané o perdí, cuánto?
07. Nataly vende 50 docenas de platos y hace dos
entregas. La primera de 170 y de 180 la segunda.
¿Cuántos platos le falta entregar?
08. En cada operación, cada asterisco representa una
cifra indique: la suma de cifras de los productos
parciales:
D. División.- La división es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de
dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
Significa que dividir un número (dividendo) entre otro (divisor) es hallar un número (cociente) que
multiplicado por el divisor dé el dividendo. Existe dos tipos de división veamos en un ejemplo:
Problema: El profesor de Matemática tiene 60 chocolates y desea:
 Distribuir entre 12 alumnos. ¿A cómo le corresponde a cada uno?
 Y si aumenta un alumno más. ¿Cuántos chocolates corresponde a cada alumno?
?
2
4
?
8
?
7
6
?
?
3
9
?
4
8
4
?
0
3
?
0
3
?
×
3 5 x
A 7
9
9
C
7
5
B 0
3
7 x
4
8
1
3
4 x
6
8
2
5
5
1
4
4 x
7
3
x
3
9
0
2 7
x
3
8
7
B 6
B
B
A
A
4
9
A
B
B
7
A
7
B
1
9
8
7
A
A
1
8
0
0
B
1
A
0
B
B
×
a. 4
8
2
2
K
K
5
6
1
7
T
4
8
4
8
1
K
0
T
T
6
0
4
4
×
b.
Solución 2 Cuando aumenta 1 alumno:
Solución 1 Entre 12 alumnos:

01. En cada caso hallando el cociente y residuo
234632÷346 5643256÷5674
756342874÷6546 100234÷523
6755432÷9432 654356456÷8563
324423÷64 8765493÷85
87659934÷64537
02. En cada caso hallamos la suma de las cifras del
dividendo:
03. En cada enunciado hallar lo que indica
División Exacta.- Es cuando al dividir no sobra ni
falta unidades, es decir, el residuo es cero.
División Inexacta.- Es llamada también
Euclidiana. Es cuando sobra o falta unidades
para formar un grupo mas.
 Cuando sobra se dice que la división es
inexacta por defecto.
 Cuando falta se dice que la división es inexacta
por exceso.
Ejemplos:
Propiedades Importantes de la división exacta.
1. La división es distributiva a la derecha con
respecto a la suma y resta. Ejemplos.
(10+8)÷2=
(20-15)÷5=
8 4
3
3
1 2
0
3
3 0
4
2
Por defecto Por exceso
EN GENERAL
Por defecto Por exceso
Propiedades Importantes de la división inexacta.
1. En toda división inexacta siempre se cumple
que:
residuo………….divisor
Además:
Residuo mínimo es =……………………………….………
Residuo máximo es =……………………………………..
2. En toda división inexacta se cumple que:
residuo por defecto + residuo por exceso = divisor
rd + re = d
2. Si sólo al divisor se multiplica por un número, el
cociente queda dividido por ese mismo número.
3. Si sólo al divisor se divide por un número, el
cociente queda multiplicado por ese mismo
número.
4. Si al dividendo y divisor se multiplica o se divide
por un mismo numero, el cociente no varia.

 En una división el cociente es 35, el divisor es
40 y el residuo es la mitad del divisor.
Encontrar el dividendo.
 En una división el cociente es 21, el divisor es 45
y el residuo es el máximo. Hallar el dividendo.
 En una división el dividendo es 72. Hallar el
divisor sabiendo que el cociente y el resto son
iguales a 4.
 En una división el cociente es 11, el divisor es 13.
Hallar el dividendo sabiendo que el residuo es
igual a la diferencia entre el divisor y el
cociente.
 La suma del dividendo y el divisor de una división
es 28 y su diferencia es 22. Hallar el residuo.
04. María repartió 254 lápices entre sus 54
amiguitos y al final le sobró 27 lápices. ¿Cuántos
lápices repartió María a cada uno de sus amigos?
05. Juanita tenía S/.163 y lo repartió a cierto número
de personas. Si a cada una le repartió S/.9 y le
sobran S/.10, ¿cuántas personas había?
06. Si al dividir "x" entre 109 el cociente es el duplo
del divisor, ¿qué número es "x"?
07. Uno de los factores del producto 840 es 12, ¿cuál
es el otro factor?
08. ¿Por qué número hay que dividir a 15480 para que
el cociente sea 15?
09. Al sumar dividendo y divisor resulta 21 veces el
residuo y al restarlo resulta 11 veces el residuo.
Hallar el cociente.
A)1 B) 2 C)3 D)4 E)5
TAREA PARA LA CASA
01. Hallar el cociente y residuo de:
02. En cada caso halle la suma de las cifras del
dividendo
03. En cada caso hallar lo que pide:
a) D = 83; q = 9; d = 9: R = ?
b) d = 8; q = 11; R = 3; D = ?
c) D = 102; q = 23; R = 10; d = ?
d) d = 1 563; q = 17; R = 16; D = ?
e) D = 8 754; d = 80; R = 34; q = ?
04. Valentina repartió cierto número de manzanas
entre 19 personas y después de dar 6 manzanas a
cada persona sobraron 8 manzanas. ¿Cuántas
manzanas había?
05. Si el cociente exacto es 851 y el divisor 93, ¿cuál
es el dividendo?
06. Se reparten S/.731 entre varias personas, por
partes iguales, y a cada una le toca S/.43.
¿Cuántas eran las personas?
07. En una división el dividendo es 72, hallar el divisor
sabiendo que el cociente y el residuo son iguales a
4.
08. Si 14 libros cuestan S/.84, ¿cuánto costarían 9
libros?
09. Se reparten 84 kg de arroz entre tres familias
compuestas de siete personas cada una. ¿Cuántos
kilogramos recibe cada persona?
E. Potenciación.-
7x7 =
5x5x5 =
7x7x7x7 =
9x9x9x9x9 =
3x3x3x3x3x3x3 =
Concepto.- Es la representación simplificada de una multiplicación, donde todos los factores son iguales. Es
decir la potenciación consiste en multiplicar un numero por si mismo varias veces. Veamos:
9 4
3
3
4
6
3
2
3
9
¿Existe otra manera de expresar
estas multiplicaciones?

1. Exponente 1: Cualquier número elevado al
exponente 1, es igual al mismo número.
a1
=

 (35)1
= 71
=
 (125) = 9 =
2. Exponente 0: Cualquier número excepto el
cero elevado al exponente 0, es igual a 1.
n0
=
 (345)0
= 90
=
 (69)0
= 00
=
4. División de Potencias de Bases Iguales: Se
escribe la misma base y se restan los
exponentes.
𝑎𝑚
𝑎𝑛 = .

56
54
=
 27
: 24
=

935
933 =

712
710 =

(69)3433
(69)3433 =

2𝑚+𝑛
2𝑚+𝑛
=

𝑥23
𝑥20 =
Cuadrado de un Número de dos cifras:
Ejemplo:
( 4 8 )2
=
Practica:
(34)2
= (68)2
=
(16)2
= (92)2
=
Cuadrado de un Número que Termina en Cifra 5:
Ejemplo:
( 3 5 )2
= ( N 5 )2
=
Practica:
(45)2
= (65)2
=
(105)2
= (15)2
=
53
= 125 an
= =P
Propiedades de potenciación en N:
Calculando rápidamente algunas potencias:
43
=………………………………………………….………………….
25
=…………………………………………….……………………….
64
=…………………………………………….……………………….
73
=…………………………………………….……………………….
94
=……………………………………………….…………………….
35
=…………………………………………………………………….
(10)9
=……………………………….…………..……………………
(20)5
=………………………………………………..………………
(10)13
=…………………………………………………..………….
(100)8
=………………………………………………………..………….
Ejemplos
3. Multiplicación de Potencias de Bases Iguales:
Se escribe la misma base y se suman los
exponentes.
am
x an
= .

 25
x 24
=
 (10)6
x (10)5
=
 32
x 33
=
 9 x 92
=
 23
x24
x22
=
 42
x 4 x 43
x 4=
 m2
m3
m5
m2
=
Fácil

Exacta:(R=0): Es cuando el residuo es cero, y para
ello el radicando debe ser un cuadrado perfecto:
Inexacta:(R0): Es cuando el residuo es diferente
de cero
43
+34
(2+1)2
+3x23
+42
32
x4+5-2x3 24
x5+7-2+33
x6
3x42
-(2+4)2
+5(7-4)2
4(92
-72)+(54
-128)x23
(34
x10+126
)0
+23
x32
+(15x925
)0
Si: P=12
+22
+32
+42
+52
Hallar: 2P+P
Si: M={5+(20-15)-4}2
Hallar M2
5(33
-24
)÷(32
+2)-3x70
+(22
+23
)2
32
x33
+(59
÷57
)x5+2x22
x23
+(389
x345
)0
(3x32
x33
-2x22
x23
)+(12)126
÷(12)124
(23)2
+(32)2
+(35)2
+(235)2
-(125)2
Si: Q=(63)2
+ (36)2
+(265)2
Hallar: Qx2
F. Radicación.-
PROBLEMA: Busquemos un numero que multiplicado tres veces resulte 343.
Solución:
El número es:………………… Porque: ………….x………….x………..… =
El problema dado podemos escribir de manera abreviada así:
Concepto.- Es la operación inversa a la potenciación, donde dado dos números llamados índice y radicando,
consiste en encontrar un tercer número llamado raíz, tal que elevado a un exponente igual al índice resulte
el radicando. Veamos algunos ejemplos prácticos:
√49 = √169 =
√100 = √8
3
=
√16
4
= √32
5
=
√125
3
= √81
4
=
√216
3
= √1024
5
=
√24336 = √219024 =
Raíz Cuadrada Entera.- Se llama así cuando su índice es 2 y puede ser exacta e inexacta:
porque
= Generalizando porque
=
En General En General

Regla para extraer la raíz cuadrada de números mayores:
Ejemplo: Hallar 63504 Solución:
Si aun hay mas periodos para resolver se sigue los mismos procedimientos antes mencionados.
En cada caso hallar la raíz cuadrada correspondiente:
4624 5776 8464 15876 106276 178084 63153
743044 972196 467856 5503716 46676224 293872 367546
G. Operaciones combinadas de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación
de Números Naturales.
¿Cuál es el orden de jerarquía para resolver operaciones combinadas en N?
1º ………………………………………………....…………………………………………………
2º ………………………………………………....…………………………………………………
3º ………………………………………………....…………………………………………………
4º ………………………………………………....…………………………………………………
5º ………………………………………………....…………………………………………………
1º Separamos el radicando en periodos de dos cifras, comenzando
desde la derecha.
2º Extraemos la raíz cuadrada del primer periodo de la izquierda
(puede ser de una o dos cifras).
3º *Elevamos al cuadrado la raíz hallada y restamos dicho valor al
primer periodo.
*Escribimos a continuación del resto el segundo periodo, luego
separamos la cifra de las unidades.
4º Determinamos el duplo de la raíz. Luego dividimos por ese valor el
número que queda a la izquierda de las unidades separadas.
5º Escribimos el valor de duplo de la raíz seguido del cociente
hallado y multiplicamos el número formado por dicho cociente.
6º Restamos el producto obtenido al numero formado por el resto
mas el segundo periodo. Así el cociente obtenido es la segunda
cifra de la raíz.

a) (23
+2)2
+ (22
x25+33
+9) b) (64)3
-62
x3:9+83
:4+52
x3+11x2
c) (12)3
-{[(23
-5)4
-(53
-62
)2
+15]-(83
:24
x7)} d) {[150:(43
-14)]:3} + (32
-23
) x 7
6º ………………………………………………....…………………………………………………
Para que practiques en casa
e) 5(33
- 24
) ÷ 32
+ 2) - 3x70
f) 5 + {7 x 8 - [52
x 2 – 8 x 5] + (32
- 1)}
g) 2 x 102
x 3 x 24
: 2 – 3 - (52
x 2 – 7 x 3)
h) 81 + {72
-(43
÷2+100
) + (7x8-32
) + 4}
i) 42
x 40
÷ 23
÷ 4 + [53
x 2-10x5x3]
j) (2+1)2
x (9-1)2
+ (12+3) ÷ 5
k) 42
x 25 - 2(52
-20)2
+ 23
x (62
-24
)2
l) Si: F={(22
+2)2
-(22
+2)÷22
}2
Hallar: F÷35
m) 23
+{[(23
-5)4
-(53
-62
)2
+52
)]}0
+4x9
n) Si: Q=(6400)2
÷6400-3÷3+(6)0
Hallar: Q÷40.
1. INTRODUCCION:
Desde hace mucho tiempo, el hombre se ha visto ante la necesidad de tener que repartir cantidades de cosas
entre personas, dándole a cada una el mismo número de unidades.

Pero a través de la práctica el hombre descubrió que este problema a veces sí tenía solución y a veces no.
Este hecho originó el estudio de la relación entre los números en los que este problema sí tenía solución y los
números en los que no tenían solución. Así comenzó el estudio de la divisibilidad.
2. DIVISIBILIDAD
Parte de la aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por
otro, por tanto estas condiciones se llamará “criterios de divisibilidad”
¿Y cuándo un número es divisible por otro? ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Responda:
¿Entre qué números se puede dividir exactamente 24?
Respuesta:……………………………………………………………………….Entonces…………………………………………………………………………………………
¿Entre qué números es divisible 16?
Respuesta:……………………………………………………………………….Entonces…………………………………………………………………………………………
3. DIVISOR Y MULTIPLO DE UN NÚMERO.- En el ejemplo anterior ya sabemos que:
En General si:
IMPORTANTE:
Ejemplo 1: ¿Puedes dividir 3417? Ejemplo 2: ¿Puedes dividir 167?
………………………………………….
Entonces ………………………………………….
Entonces
A B
Ejemplo
 …………………………………………………….son divisores
de……………………………………………………………..
 y…………………………………………..….. es múltiplo
de…………….………………………………………………..
Entonces diremos que:
A B
k
0
Entonces
“B” es…………………… de………
“A” es…………………… de……..
Divisor: Se dice que B es divisor de A,
cuando lo divide en forma entera y exacta
Múltiplo: Un numero A es múltiplo de B,
cuando A contiene a B un numero exacto de
veces. Se simboliza por…………………………………….
Los términos múltiplo y divisor son
correlativos, es decir donde hay un múltiplo
siempre hay un divisor y donde hay un
divisor hay un múltiplo.
27 3
16 Es divisible entre
2
4
8
16
1

Practiquemos:
Ejercicio 1: Escribe los divisores de cada uno de los siguientes números:
5  ……………………………………………………………………………………………………………………..
20 ……………………………………………………………………………………………………………………….
36 ……………………………………………………………………………………………………………………….
45 ……………………………………………………………………………………………………………………….
60 ……………………………………………………………………………………………………………………….
80 ……………………………………………………………………………………………………………………….
100 ……………………………………………………………………………………………………………………..
121 ………………………………………………………………………………………………………………………
Ejercicio 2: En el cuadro correspondiente complete, escribiendo los múltiplos de cada uno de los siguientes
números:
Múltiplos de 0
Múltiplos de 1
Múltiplos de 2
Múltiplos de 3
Múltiplos de 4
Múltiplos de 5
Múltiplos de 6
Múltiplos de 7
Múltiplos de 8
Múltiplos de 9
Múltiplos de 10
Múltiplos de 20
Múltiplos de 32
……………..Etc.
CONCLUSIONES: De los ejercicios realizados concluimos que:
 El 1 es divisor de todo número.
 Todo número es múltiplo de si mismo y de la unidad.
 El cero es múltiplo de cualquier número natural.
 Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos ese número por los
números naturales.
 Todo número tiene infinitos múltiplos pero finitos divisores.
Números No Divisibles: Sabemos que un numero A es divisible por otro numero B cuando la división es entera
y exacta (residuo cero). Pero que pasa si dicha división tiene residuo, entonces diremos que A es múltiplo
de B más el residuo. Ejemplos:
GENERALIZANDO
Es importante que recuerdes la notación
simbólica de múltiplo, pues este término se
utilizara con más frecuencia.
o
3
27  Se lee:……………………..………………………………..
Fácil: Para calcular los divisores de
un número, simplemente lo
dividimos entre los números
naturales menores que él, y
anotamos los que den división
exacta, es decir, resto cero.
44 7
…………………………….
…………………………….
…………………………….
26
44
8
…………………………….
…………………………….
…………………………….
A B
…………………………….
…………………………….
…………………………….

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