Este documento describe conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo: (1) la definición de conjunto, subconjunto y conjunto vacío, (2) métodos para determinar conjuntos, (3) operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y (4) teoremas sobre cardinalidad de conjuntos finitos.

1. CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

3. DETERMINAR UN CONJUNTO Por EXTENCION Cuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno. Ejemplo A={z, w ,x} y D={8,17,25} 2. Por COMPRENCION Cuando los elementos de un conjunto, cumplen con una función determinada, la cual esta expresada. EjemploF = {nє N/ n divide a 7} Lo que quiere decir que F son todos los números divisibles entre tres.

4. SUBCONJUNTOS Son conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere decir que su condición cumple ambos conjuntos. Ejemplo Tes el conjunto formado por todos los Carros Turbo que existen, mientras que C es el conjunto formado por todos los tipos de carros que existen, entonces decimos claramente que T es un SUBCONJUNTO de C y se denota T⊂C, ya que los Carros Turbo pertenecen al subconjunto T pero al mismo tiempo pertenecen al conjunto C porque son carros. Diremos que T es subconjunto Propio de C , si se cumple = (T⊂C) y ( T≠C) Lo que quiere decir que TODOS los elementos de T (carros Turbo) están dentro del conjunto C, pero que no todos los elementos de C (TODOS los carros) esta dentro del conjunto T.

5. CONJUNTO ES VACIO Cuando no posee elementos y se denota ᵩA ᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA no tiene elementos ya que no existe ningún x dentro de el.(debería satisfacer x=x y como es x ≠ x , quiere decir que no hay). CONJUNTO POTENCIA Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo. se denota S(P) o 2S Usando el ejemplo anterior donde el conjunto {C} (son todos los carros),{T}(carros de tipo Turbo), {A} (carros de tipo Aspirados), {I} (carros de tipo Inyeccion) Decimos que: 2S{C} ={{T},{A},{I},{T,A}{T,I}{A,I},{T,A,I}}

6. IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES. Atreves de diferentes teoremas esto es posible demostrarse ya que: A = B A C B ^ B C A A es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. UNION de Conjuntos Considerando J y W dos conjuntos. {G}= {3,6,9} y {P} = {1,5,7} la unión de {G} y{P}, se denota A U B = {xєU / x є J ᵛx є W } Entonces: G UP = {1,3,5,6,7,9} es decir que todos los elementos o están en G o en P.

7. Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B : A U A= A A U U= U A U ᵩA = A A U B = B U A INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B Significa que algunos elementos de A están presentes en B. Propiedades de la INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B: A I A = A , ∀ A A I U = A , donde U es el conjunto universal A I ᵩA = ᵩA A I B = B I A

8. Diferencia de Conjuntos Son todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no en el conjunto B Ejemplo Sean A = { 10,20,30,40,50,60} y B = {10,15,25,30, 45,60} Entonces A-B ={20,40,50} y B-A = {15,25,45} Diferencia Simétrica Se denota como ADB y ADB= (A-B U B-A) Usando el ejemplo anterior podemos decir que la Diferencia Simétrica es ADB= {20,40,50,15,25,45} Propiedades de la Diferencia de Conjuntos Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que: (AUB) - C = (A - C) U (B - C) (A I B) - C = (A - C) I (B - C) (AD B) - C = (A - C) D (B - C) A I ( B - C) = (A I B) - (A I C) (B - C) I A = (B I A) - (C I A)

9. Complemento de un Conjunto El complemento de un conjunto son los elementos que le faltan a el mismo para para llegar a ser igual a U. Se define C(F) = {xÎ U/ xÏ F} Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B. Ejemplo Si U = {1,10,100,1000} y G = {10,100} entonces C(G) = {1,1000} Teorema: Considerando A y B dos conjuntos A - B = AI C(B) C(C(A)) = A AUC(A) = U AI C(A) = f C(U) = f C(f ) = U AÌ B Û C(B) Ì C(A)

10. TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN(para Conjuntos) C(AUB) = C(A) I C(B) C(AIB) = C(A) U C(B) Ejemplo Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}. C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que:C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9} Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}

12. Leyes asociativas

13. Leyes conmutativas

14. Leyes distributivas

15. Leyes de identidad

16. Leyes de dominación

17. Leyes de completacion

19. Operaciones Generalizadas Familia Indizada de Productos Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto h Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I. Las familias de conjuntos pueden ser finitas sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales . Partición Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si: Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X. Ejemplo Si F={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

20. TEORIA DE LA CARDINALIDAD DE CONJUNTOS Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. Ejemplo El conjunto {f,g,m,p,s} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos. Definimos A un conjunto finito, si: El cardinal de A es 0 si A = f El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos Ejemplo Si F = {0,1,3,5,8,9} entonces #A = 6 Los siguientes teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. Teorema: Sean A y B dos conjuntos finitos, se cumple 1. B - A) = #B - #(AI B) 2. #(AUB) = #A + #B - #(AI B) Teorema: Si A;B y C son tres conjuntos finitos se cumple #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).