MATEMÁTICAS LSM

1.  OBSERVO
LA PIRÁMIDE NUTRICIONAL.
El mejor rendimiento en los estudios depende de los alimentos que ingerimos, es decir, está
asociado a una alimentación saludable.
En la pirámide del gráfico, la base representa el conjunto de alimentos que debemos consumir
en mayor cantidad, y la parte
superior, lo que debemos consumir
en menor cantidad.
A diario debemos comer los
alimentos mostrados en la pirámide
en la proporción indicada.
Los conjuntos de alimentos que
intervienen en esta pirámide son 6
correspondiendo el primero a los
cereales, las leguminosas, el arroz, el
pan y los vegetales con almidón. El
segundo conjunto está compuesto
por las verduras; el tercero por frutas;
el cuarto por lácteos; el quinto por
carnes y el sexto por dulces, grasas y
aceites.
Responde:
_ ¿Es un conjunto la pirámide alimentaria?,¿cómo son sus elementos?,¿cómo están
agrupados?
_ ¿A qué conjunto de alimentos pertenecen las lentejas y los frijoles?
_ ¿Qué elementos incluye el conjunto de los lácteos?
_ De acuerdo con la pirámide alimentaria, ¿cómo calificarías tu alimentación: buena, regular o
mala? ¿Qué alimentos deberías consumir más? ¿Y cuáles en menor cantidad?
DESEMPEÑOS PRECISADOS
1. Representa conjuntos y los relaciona con sus
elementos haciendo uso de los Diagramas de
Venn-Euler
2. Analiza las propiedades utilizadas para las
operaciones entre conjuntos.
3. Resuelve problemas donde intervienen las
operaciones entre conjuntos.
GUÍA DE APRENDIZAJE N° 2
REPRESENTAMOS CONJUNTOS DEL ENTORNO
M A T E M Á T I C A
ENFOQUE TRANSVERSAL: Enfoque Inclusivo o
atención a la diversidad
ALUMNO (A): ………………………………………….
………………………………………………… N°………………….
FECHA: ……. /……… /……. AÑO: 1ro. de Sec.
PROFESOR: Homero Sosaya Amaya
PROFESOR: Homero Sosaya Amaya
ENFOQUE: Inclusivo o atención a la diversidad.
Colegio “Libertador San Martín”
“Año de la universalización de la salud”

2. 2
 JUZGO:
1. CONJUNTO. - Es toda agrupación de objetos con una propiedad común, sean ellos de cualquier
naturaleza.
Ejemplos:
- Los números impares
- Las jugadoras de vóley
- El Director del colegio
2. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS. - Consiste en indicar en forma precisa los elementos que
conforman un conjunto.
Se consideran dos formas;
a). Determinación por extensión. -
Consiste en enumerar uno a uno los elementos que lo constituyen.
Ejemplo: A = 3; 6; 9; 12; 15
b). Determinación por comprensión. -
Consiste en señalar la característica común de los elementos.
Ejemplo: B = x/x es un número par menor que 18
 ACTÚO
1) Determina por extensión o comprensión los siguientes conjuntos
Por comprensión Por extensión
A =  x  IN / x ≥ 8
C = 1; 4; 9; 16; 25; 36
P =  x / x  IN ; x + 7 = 12 
B = 4; 5; 6; 7; 8; 9
S= x  IN / x es par; 8 ≤ x < 14
T= 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; …….
H = b  IN / b es múltiplo de 4; 9  b < 15
Q= 3;5;7;9;11;13;15
Recordar que:
 Los conjuntos se representan con letras
mayúsculas: A, B, C, ……; y los elementos con letras
minúsculas: a, b, c, …x, y, z.
 Existe el conjunto U, llamado universal que incluye a
los demás conjuntos.

3. 3
3. CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
4. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) INCLUSIÓN DE CONJUNTOS. -
El conjunto A es parte del conjunto B o que está incluido en B, si todos los elementos de A están
en B.
Es decir: A  B   x  A  x  B
Se lee: “A está incluido en B”
“A está contenido en B”
“A es subconjunto de B”
Ejemplo:
En los conjuntos A=m, n, 3, 7  y B= a, m, b, n, 3, 7
Podemos observar que los elementos del conjunto A pertenecen también al conjunto B.
* Propiedades de la inclusión
1. Todo conjunto es subconjunto de si mismo
2. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto
3. Si un conjunto está incluido en otro, y este en un tercero, entonces el primer conjunto está
incluido en el tercer conjunto.
a) Conjunto nulo o vacío (  o ).- Es aquel que carece de elementos.
Ejemplo: M = x/x es un número primo divisible por 4 
b) Conjunto unitario. - Es aquel que tiene un solo elemento
Ejemplo: T = x  IN / 5 < x < 7
c) Conjunto finito. - Cuando tiene un número determinado de elementos.
Ejemplo: C = 2; 3; 6; 8; 10; 13
d) Conjunto infinito. - Cuando el número de sus elementos es una cantidad
ilimitada
Ejemplo: F = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,……... G = x / x es una vocal
e) Conjuntos iguales. - Si ambos conjuntos tienen los mismos elementos.
Es decir: A = B  A  B  B  A
Ejemplo: A= 4; 5; 7 y B=5; 7; 4
f) Conjuntos disjuntos. - Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento
en común...
Ejemplo: P = 2, 4, 6, 8, 10, 12 y Q =1, 3, 27, 32, 1005

4. 4
4.
5. Si A  B, y “B” tiene uno o más elementos que no pertenecen a “A”, se dice que “A” es parte
propia o subconjunto propio de “B”.
Ejemplo:
A = m, n, p
B = m, n, p, q, r
“A es un subconjunto propio de B”
b) FAMILIA DE CONJUNTOS. -
También se le llama conjunto de conjuntos y se trata de
un conjunto, cuyos elementos son también conjuntos.
Ejemplo:
S = 6,8 ; 2;4; 9 ;  , es una familia de conjuntos.
c) CONJUNTOS COMPARABLES.- Dos conjuntos A y B son
comparables si y sólo si A  B o B  A; es decir, cuando uno de
los conjuntos está incluido en el otro. Si A  B o B  A, estos
conjuntos son no comparables.
Ejemplo:
 Si : A= 6, 5, 7  y B= 6, 5, 7, 8, 9
El conjunto “A” es comparable con “B” porque A  B
 Si : M = 4, 8,10 y N= a, b, c, d
Los conjuntos no son comparables, porque M  N y N  M
d) CONJUNTO POTENCIA (P(A)). - Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto
dado.
Si un conjunto tiene “n” elementos, el número de subconjuntos de dicho conjunto se calcula con:
P(A) = 2 n subconjuntos
Ejemplo: Si A = 1; 2; 3 , su conjunto potencia es :
P (A) =  1; 2 ; 3 ; 1;2; 1;3 ; 2;3 ; 1;2;3 ;  
Es decir: P (A) = 2 n = 2 3 = 8 subconjuntos.
1). A  A 2).   A 3). Si A  B y B  C  A  C
B
q
. r
A
m
.
.
n.
p.
Recordar que:
 A  B ; significa “A
no está incluido en
“B”.
 a  B, significa “el
elemento “a”
pertenece al conjunto
“B”.
 n (A) es el cardinal
del conjunto A, o sea
el número de
elementos que tiene
A.
Ejemplo:
Si A= a,b,c,d
 n (A) = 4

5.  ACTÚO
5
1) Halla los elementos de los siguientes conjuntos
a) A= 2x+1 / x  IN  4 < x ≤ 7 b) B =  3x  IN / x  IN  9 < x ≤ 18 
2) Dados los conjuntos: C= 3; x + 1  ; D =  5 ; 3 Si C y D son iguales, halla X 3.
3) Si A = {2;3;4;5} y B = {3; n+2}, además se tiene que A ∩ B = {3; 5}, halla el valor de n.
4) a) Si n [P (S)] = 64, halla n (S) b) Halla el número de elementos de
Q, si n [ P(Q)]= 16 subconjuntos
5) Dados los conjuntos: P =  x / x  IN; x + 8 = 10   Q = x / x  IN; 3 < x < 9.
Halla n (Q) – n (P)
6) Se tienen los siguientes conjuntos:
A= {x ϵ ℕ/ 2 < x <5}, B = {xϵ ℕ/ 4 < x <5} C = {2x ϵ ℕ/ x < 4} U = {x ϵ ℕ/ x ≤ 9}
Escribe V si es verdadero o F si es falso según corresponda.
a) 4 es un elemento de B ………………..( ) e) B es un subconjunto de A ………………. ( )
b) 4 es un elemento de C ………………. ( ) f) A está incluido en C ……………………… ( )
c) 0 es un elemento de C ………………...( ) g) B está incluido en C …………………….. . ( )
d) C está incluido en ∪ ………………….. ( ) h) 3 es elemento de los cuatro conjuntos … ( )
7) Dado el conjunto A = {∝; β; {∝}; {π}}, analiza cada una de las siguientes afirmaciones, subraya las falsas y
justifica tu respuesta.
a) {β} ∈ A b) π ∈ A c) {β} ⊂ A d) {{∝}; {π}} ⊂ A
e) {π} ⊂ A f) {∝; {∝}} ⊂ A g) {π} ∈ A h) β ⊂ A

6. 6
8) Expresa la cantidad de subconjuntos que tiene cada conjunto:
a) M = {a; b; c} b) P = { x∈ ℕ/ 6 < x < 9}
c) T = {p; q} d) S = { x∈ ℕ/ x < 1}
9) En una reunión de científicos se encuentran 36 en total, distribuidos
como se indica en la figura: físicos (F) son solo 6; 15, químicos (Q); 14,
biólogos (B); 6, físicos y químicos; 4, físicos y biólogos; 3, químicos y
biólogos y solo uno es físico – químico - biólogo. Si el resto solo
Matemático (M), ¿Cuántos matemáticos hay? ¿Cuántos científicos son
únicamente químicos?
Escribe el número de elementos que corresponde a cada espacio.
 Actividad de extensión 1:
1) Si el conjunto A =  s+6; 10  es unitario, halla el valor de: s2
- 4
a) 12 b) 4 c) 10 d). 8
2) Determina por extensión: B =  x 2
- 1 / x  IN; 2 ≤ x < 7  y dar como respuesta la suma
de sus elementos.
a) 75 b) 85 c) 60 d) 16
3) Sean los conjuntos M =  m 2 - 1 / m  IN; 0 < m < 7 
N =  2m + 1 / m  IN; 3 ≤ m ≤ 10 
3
Hallar: n (M) + n (N)
a) 14 b) 12 c) 16 d) 18
4) Hallar el número de elementos del conjunto potencia de A, si:
A = { x3
– 1 / x  IN; 2x + 3 < x + 9 
a) 8 b) 16 c) 64 d) 32
5) ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son falsas?
a)    c) = 0 e)  = 0
b) =  d)     f).    
a) 5 b). 4 c) 3 d). 6 e) 2
F Q
M
B

7. 7
6) Encuentra el número de elementos del conjunto potencia de S, si
S = {x3
– 1/ x ∈ ℕ; 2x + 3 < x +9
a) 16 b) 8 c) 32 d) N.A.
 JUZGO
5. OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN DE CONJUNTOS (A B)
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a
A o pertenecen a B o a ambos.
En forma simbólica se denota.
A B =  x / x  A v x  B
Representación gráfica:
U U U
A  B A  B A B = B
(A y B no disjuntos) (A y B disjuntos) (A y B comparables)
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS ()
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos comunes a A y B, es
decir, que pertenecen a A y pertenecen a B.
A B =  x / x  A  x  B
A B A B
B
A

8. 8
Representación gráfica:
 U U
A  B A  B = 
(A y B no disjuntos) (A y B disjuntos) (A y B comparables)
DIFERENCIA DE CONJUNTOS. - Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al
conjunto A y no pertenecen al conjunto B. Se representa con A – B
A – B = {x ∈ U/ x ∈ A y x ∈ B}
A
B
A
B
B
Si A  B  A B = A
A
Propiedades importantes
 A B = B A (Propiedad conmutativa)
 (A B)  C = A (BC) (Propiedad asociativa)
 A B = A ( Propiedad de idempotencia)
 A  = 
 A U = A
 A  B = B U A ( Propiedad conmutativa)
 (A  B) C = A ( B U C) ( Propiedad asociativa)
 A A = A (Propiedad de idempotencia)
 A   = A
 A U = U

9. 9
Representación gráfica:
U U U
A - B A – B = A A - B
(A y B no disjuntos) (A y B disjuntos) (A y B comparables)
 DIFERENCIA SIMÉTRICA ( A ∆ B )
La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el resultado de:
A ∆ B = (A – B) U (B – A)
A ∆ B = (A U B) – (A B)
Representación gráfica
U U U
A A A
A ∆ B A ∆ B = A U B A ∆ B = A - B
(A y B no disjuntos) ( A y B disjuntos) ( A y B comparables)
B
B B
A
B
A B A
B

10. 10
 COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (A, C, Ac
)
Se le llama complemento de un conjunto a lo que le falta a dicho conjunto para ser igual al
conjunto universal.
A = U – A = {x / x  U  x A 
U
 ACTÚO
1) Sean los conjuntos: A = 2; 3 ; 7 ; 8  ; B = 9 ; 3; 2 y U = 8 ; 9 ; 4 ; 7 ; 2 ; 3 
Calcula y representa gráficamente
a) A U B b) A B c) A - B d) B – A
e) A ∆ B f) A ` g) B ` h) (A ∆ B) `
A
A

11. 1 5
4
6
7
2
3
A B
C
11
2) Si A = a, b, c, d, e ; B = a, b, d  ; C= c, e, b, Halla el cardinal del conjunto:
[(A B) – C ] U (A B)
3) Dados los conjuntos: A =  x / x  IN ; 5 < x < 15; B = 2 x / x  IN ; 3 < x < 10 
¿Cuántos subconjuntos tiene A B?
4) Dado el siguiente conjunto: A = 1; 2; 2;a; { 2; 1 ; b
Señale cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
a) 2  {2; a  b) 1  2 ; 1 ; b c) {2  A
d) {2, a  A e) {2, a  2; 1; b
5) Si: A = a, a, , ,¿cuántas de las proposiciones siguiente son verdaderas?
I.- a  A a  A IV.   A    A
II. a  A  a  A V. a,    A  a,   A
III.   A    A
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6) Se encuesta a cierto número de personas sobre la
preferencia de tres periódicos A, B y C.
a) ¿Cuántas personas leen solo un
periódico: ………………………………………
b) ¿Cuántas personas leen los dos periódicos
solamente?......................................................
c) ¿Cuántas personas leen los 3 periódicos……?
d) ¿Cuántas personas leen el periódico A?
............................

12. 12
e) ¿Cuántas personas leen solo A?................................
f) ¿Cuántas personas leen A y B, pero no C?.............................
g) ¿Cuántas personas leen A o B, pero no C? …………………….
h) ¿Cuántas personas no leen A o B, pero no C? ………………..
i) ¿Cuántas personas leen como mínimo dos periódicos?....................
j) ¿Cuántos leen como máximo dos periódicos?.........................
k) ¿Cuántas personas leen B, pero no A o C?............................
7) En una fiesta infantil, 35 niños toman gaseosa y 56 toman agua. Si 18 toman ambas bebidas
y 7 no toman ni agua ni gaseosa, ¿cuántos niños asistieron a la fiesta?
8) De un grupo de 100 personas, 54 estudian, 30 trabajan, y 20 no estudian ni trabajan
¿Cuántas personas estudian y trabajan?
9) En una peña criolla laboran 30 personas:13 cantan, 15 bailan, y 9 no cantan ni bailan.
¿Cuántas personas solo cantan o bailan?

13. 13
10) Se preguntó a 100 jóvenes sobre los deportes que practican y se obtuvo el siguiente
resultado: 62 practican fútbol; 52, vóley y 48, básquet. Si 12 practican los tres deportes, 27
practican vóley y fútbol, 22 practican vóley y básquet, y 25 fútbol y básquet, ¿cuántos
practican un solo deporte?
11) A una reunión asistieron 80 personas, de las cuales 38 son hombres, 22 son mujeres
peruanas y en total hay 52 extranjeros.
I.- ¿Cuántos hombres peruanos asistieron?
II.- ¿Cuántas mujeres son extranjeras?
12) Se encuestó a 250 personas entre hombres, mujeres y niños sobre su preferencia por las
gaseosas A, B y C. Se obtuvo los siguientes resultados: 90 en total prefieren la bebida B y
85, la C. De todos los niños 55 prefieren la A y12, la B; de las 100 mujeres, 68 prefieren la B
y de todos los hombres, 15 prefieren la A y 50, la C. Se desea saber:
a) ¿A cuántos hombres se ha encuestado?
b) ¿Cuántas personas prefieren la bebida A?

14. 14
 Actividad de extensión 2:
1) A un congreso de ciencias asisten 240 profesionales, de los cuales 140 son ingenieros y 80 son físicos. Si 40 no
son ingenieros ni físicos, ¿cuántos son ingenieros y además físicos?
2) Se preguntó a 17 niños sobre la mascota de su preferencia. Se tiene que 10 respondieron que prefieren perros, 9
prefieren gatos y 4 ambas mascotas. ¿Cuántos no prefieren gatos ni peros?
3) Se hizo una encuesta a estudiantes sobre su comida preferida: 45 dijeron que es el ceviche; 39, el ají de gallina;
26 indicaron que ambos platos y 23, que ninguno de estos platos. ¿Cuántos estudiantes fueron consultados?
4) De los 100 estudiantes que practican en un taller, se sabe que 40 solo prefieren fútbol, 10 prefieren fútbol y
básquet y 30 refieren otro deporte que no sea fútbol ni básquet.
a. ¿Cuántos estudiantes prefieren solo básquet?
b. ¿Cuántos estudiantes prefieren solo un deporte?
c. ¿Cuántos estudiantes no prefieren fútbol?
d. ¿Cuántos estudiantes no prefieren básquet?

15. 15
5) En una encuesta realizada a 120 mujeres sobre la marca de perfume que usan: 40 usa solo la marca “A”, 60
solamente usa la marca “B” y 12 no usa ninguna de estas marcas. ¿Cuántas usan ambas marcas?
6) De 30 personas que viajan rumbo a Europa, 16 dijeron que visitarán Francia, 16 Inglaterra y 11 Suiza; 5 de los
encuestados visitarán Francia y Suiza y 3 de ellos visitarán también Inglaterra. ¿Cuántos visitarán solo Inglaterra?
7) En una institución educativa, 19 gustan de Matemática, 17 gustan de Música, 11 gustan de Historia; 12 de
Matemática y Música; 7 de Historia y Matemática; 5 de Música e Historia y 2 gustan de los tres cursos mencionados
¿Cuántos gustan de Historia y no Matemática?
8) Se encuesta a 200 personas sobre su preferencia por algunas revistas del medio A,B y C; y estos son los datos:
20 leen las tres revistas 30 leen la revista A y B
40 leen las revistas A y C 50 leen las revistas B y C
100 leen la revista C 120 leen la revista B
80 leen la revista A
¿Cuántas personas leen solo una revista?

16. 9. Lee y responde las preguntas indicadas
Noción de conjunto.
Para estudiar la teoría de conjuntos, hay que partir de establecer qué es un conjunto. Al
mencionar esta palabra vienen a la mente ideas como el conjunto de los números reales (R), un
conjunto de personas, un conjunto musical o el conjunto de las letras del alfabeto, y es que, en
efecto, todos estos son conjuntos.
Aunque se plantea que no es posible definir formalmente el concepto de conjunto, este puede
describirse como una agrupación o colección de objetos, lo que lleva inevitablemente a
establecer qué es un objeto.
Un objeto o elemento, en la teoría de conjuntos es cualquier cosa, puede ser algo físico, como
una PC, puede ser también una abstracción como un programa y puede ser incluso un
conjunto. Es importante notar que entre los objetos que forman un conjunto no tiene que haber
ninguna característica en común, excepto el propio hecho de pertenecer al conjunto. Así se
encuentran conjuntos homogéneos como el de las impresoras o el de los componentes del
hardware , pero existen conjuntos tan heterogéneos como se quiera, por ejemplo un conjunto
formado por un una mesa, una persona y una PC.
Hay que aclarar que un conjunto no es una agrupación física de objetos, sino una abstracción
que puede corresponderse con agrupaciones físicas, pero también con agrupaciones que sólo
existen como idea, tal es el caso del conjunto de trabajos presentados en los eventos de un
club, cada una ocurrió en un momento y lugar distinto.
a) Puedes dar una definición personal de conjunto?
b) ¿Por qué un conjunto puede considerarse como una abstracción?