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Segunda edición

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Transferencia
de calor
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Transferencia
de calor
Segunda edición

José Ángel Manrique Valadez

TP 368 M8 2002
JOSE ANGEL MANRIQUE VALADEZ
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TRANSFERENCIA DE CALOR.

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TRANSFERENCIA DE CALOR
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P.;mera reimpresión: octubre de 2005
Esta obra se lemlinó de imprimir en OClubre de 2005 en
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Callejón de San Amonio Núm, 69, Col. Tránsito, México, D.F.,
sobre papel Bond Editor Alta Opacidad de 75 g.
Elliraje fue de 2 000 ejemplares.


índice de contenido

Prólogo ................................................. ix

1. Introducción 1
1.1. Conducción .... ......... ........ .. .. .. .. .... ... ... . 2
1.2. Convección ... . ... ...... ...... ....... ........ .. ... . 7
1.3. Radiación .. . .. .... ..... .... ..... .. ... .... .. . ... .. .. 10
1.4. Transferencia simultánea de calor. ... ...... ........... . .. 12
1.5. Resumen . .. ....... .. .............. ... ......... .. .. 15
Problemas ......................................... 15
Bibliografía ........................................ 22

2. Conducción unidimensional en estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Placa .................... ... ..... ..... ... . . . .... .. 23
2.2. Cilindro hueco .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Radio crítico . . . .... ......... .. .......... .... ....... 37
2.4. Esfera .... . .... .. ......... .... . .... ............... 40
2.5. Placa con generación uniforme de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6. Cilindro CaD generación uniforme de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7. Superficies extendidas . .. . .. ... ... ... ........ . ........ 54
2.7.1. Ecuación general para una superficie extendida ... . . . .. 55
2.7.2. Superficies extendidas de sección transversal constante .. 56
2.7.3. Aletas circulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7.4. Aletas rectangulares de perfil triangular . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7.5. Eficiencia de las aletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Problemas ..................... .. ...... .... .... . ... 69
Bibliografía ........ .. ....... . . ................ .. ... 77

3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones. . . . . . 79
3.1 . Método analítico .. ............... .... ........... . ... 79
3.2. Diferencias finitas ............ ... . .. .. ............... 86


vi Índice de contenido

3.3. Método de relajación . ... .. ..... . .......... . .......... 90
3.4. Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5. Formulación en diferencias finitas para problemas
unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6. Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.7 . Método analógico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Problemas . . .............. .. ...... :..... . .......... 105
Bibliografía ... .. . . ........ ... ........... ... ....... . 114

4. Conducción de calor en estado transitorio ................... 115
4.1. Análisis de parámetros concentrados . ...... .. .... . ....... 115
4.2. Placa infinita .. .. ........ . .. . ....................... 126
4.3. Cilindro infinito y esfera ... . .. .. ........ .. . .. ....... . . 139
4.4. Sólido semiinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión . . . . . . . . . . . . 150
4.6. Diferencias finitas. Método explícito ...... . ..... . . . ...... 157
4.7. Método gráfico de Schmidt . . .. . ............. . ......... 163
Problemas .................. . ...................... 164 .
Bibliografía .. . . . ............. . . . .... .. .. ... ....... . 169

5. Fundamentos de convección forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección
forzada en régimen laminar ................. . ........ 171
5.2. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción . ........ 187
S3. Transferencia de calor en una placa con convección
. forzada en régimen turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.4 . Transferencia de calor en un ducto circular con régimen laminar
donde la densidad de calor es constante. ...... . . . ....... 193
5.5 Fórmulas empíricas para convección forzada en tubos ...... . . 200
5.6 Fórmulas empíricas para convección forzada sobre tubos. . . . . . 203
Problemas .. ... .... . . ... .. . ... . ..... ... .... . . ... . . . 205
Bibliografía . . . .. .. .. ..... .. .... .. .. . ............ ... 206

6. Convección natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.1 Parámetros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.2. Fórmulas para la transferencia de calor por convección natural
en una placa vertical. ...... . ... .. ............ . ..... . 213
6.3. Fórmulas para convección natural en otras geometrías. ...... . 214
Problemas ..... .. ............ . ........ .. .. . ....... . 217
Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217


Índice de contenido VÜ

7. Transferencia de calor con cambio de fase ................... 219
7.1. Condensación...... ....... .......... .. ... .. ... . . .... 219
7.2. Condensación en fonna de película sobre cilindros hOlizontales 225
7.3. Ebullición .. .... ......... .... ............... ... .... 225
Problemas ..... ..... ............ ... ..... .. ......... 230
Bibliografía . . . .. .. . . ... .. .......................... 230

8. Intercambiadores de calor. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas ............ 232
8.2. El método efectividad-número de unidades de transferencia. . . . 242
8.3. Diseño o selección de un intercambiador de calor ........... 250
Problemas ......... ... ............. .. ......... .. ... 251
Bibliografía ........................................ 252

9. Principios de radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.1. Radiación de un cuerpo negro ... .... ... . ........ .. .. . .. 253
9.2. Intensidad de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.3. Emitancia y absortancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.4. Reflactancia y transmitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.5. El factor de fonna para radiación. ........... . .... ... .... 270
9.6. Intercambio de calor por radiación entre cuerpos negros ..... . 277
9.7. Intercambio de radiación entre cuerpos grises .. .. . .. ... . .. . 280
9.8. Radiación solar .......... .. ......... .. .. . ..... . .... . 284
Problemas . .... ................. . ...... ......... .. . 285
Bibliografía ... ... ... .... ... . ...... . .. .......... . ... 286

Apéndice
Tabla A.l . Propiedades de algunos fluidos en estado saturado . . . . . . 287
Tabla A 2. Propiedades de gases a presión atmosférica . .......... 290
Tabla A3. Propiedades de algunos metales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Tabla A.4. Propiedades de los no metales ..................... 296
Tabla A.5 . Vapor de agua saturado ... .... ..... ... ........ .. . 297
Tabla A6. Vapor de agua saturado ........... .. .. .... ....... 298
Tabla A7. Vapor de agua sobrecalentado ..................... 299
Figura Al. Conductividad térmica del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Figura A2. Número de Prandtl del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Índice analítico ...................................... . .... 305


.,. '

Prólogo
Las técnicas para la solución de problemas de transferencia de calor han experi-
mentado un desarrollo sorprendente durante los últimos años y por ello su
conocimiento es imprescindible en la actuación profesional del ingeniero.
En este texto se presentan en forma elemental los principios básicos de trans-
ferencia de calor, los cuales se complementan con numerosos ejercicios resueltos
que adoptan el Sistema Internacional de unidades en toda la obra. Cada capítulo
termina con una sección de problemas a fin de que el estudiante pueda comprobar
los conocimientos adquiridos.
Los principales temas de la materia pueden estudiarse en un curso semestral
con duración de tres sesiones de una hora por semana. Los temas cubiertos en la
obra están destinados a estudiantes de ingeniería de licenciatura y de pos grado du-
rante los primeros semestres. Desde luego, es recomendable que posean ciertos
conocimientos sobre termodinámica, mecánica de fluidos y ecuaciones diferencia-
les ordinarias y parciales para entender mejor la materia.
El autor ha tenido el privilegio de enseñar el material de este texto a sus estu-
diantes de ingeniería del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey durante varios años, y su paciencia, sugerencias y comentarios han
contribuido de manera especial y significativa a la presentación del material, por
lo que espera que la obra refleje sus inquietudes y estimule aún más su interés por
la disciplina.
Muchas personas han sido muy generosas con sus comentarios, sugerencias y
estímulo, por lo que el autor desea hacer patente su agradecimiento a todas ellas .
También quiere dejar constancia de su agradecimiento a Karla Lucía Salinas,
... quien con todo esmero participó en la realización del manuscrito de la obra .
Finalmente, también desea reconocer la importante cooperación y apoyo recibidos
de los editores de Oxford University Press.

José A. Manrique


Transferencia
de calor

,.


1. Introducción
Participar en la construcción
y mejoramiento de la Patria:
he ahí la tarea más noble de
un ciudadano.
CARLOS PRIETO

La alimentación, la salud y la generación de potencia han sido una preocupación
vital de la humanidad a lo largo de la historia. El progreso en estas áreas ha lleva-
do al desarrollo conjunto de la transferencia de calor como una ciencia, por lo que
su estudio es de capital importancia para el ingeniero.
Esta disciplina de transporte tiene aplicaciones de suma relevancia en casi
cualquier campo de la ingeniería. Así, se utiliza prácticamente en todos los proce-
sos de la industria del vidrio; interviene en el diseño de los hornos, los regenera-
dores de calor, el enfriamiento de los moldes, el templado de los cristales, el flo-
tado de los vidrios, etc. En el área del acondicionamiento del aire ambiental es
imprescindible para evaluar con precisión las cargas térmicas de enfriamiento y
calefacción que tiene un edificio. También forma parte del diseño de ciertos com-
ponentes de un sistema de refrigeración, como el evaporador, el condensador y las
líneas de transmisión de agua helada, entre otros.
En el ámbito de los combustibles fósiles se requiere un análisis de la transfe-
rencia de calor en presencia de reacciones químicas para mejorar la eficiencia de
la combustión en hornos y calderas.
La investigación de la energía solar en los últimos años ha aportado conoci-
mientos muy promisorios para el acondicionamiento del aire para edificios me-
diante sistemas de absorción. Cabe mencionar que en varios países el aire acondi-
cionado precisa una fracción significativa de la producción primaria de energía,
por lo que el uso de la energía solar en este campo podría tener repercusiones sig-
nificativas. El diseño de esos sistemas supone un amplio conocimiento de la trans-
ferencia de calor.
Casi todos los alimentos en el curso de su preservación y preparación requie-
ren tratamientos en los que la transferencia de calor juega también un papel impor-
tante. Debido a las condiciones adversas en algunas regiones agrícolas del mundo
se pierden considerables cantidades de grano por falta de secado inmediato después
de la cosecha; por ello, el uso de la energía solar u otros mecanismos de secado

1


2 1. Introducción

apropiados podrían ser ventajosos. El congelamiento, la deshidratación y la coc-
ción de alimentos exigen asimismo un conocimiento cabal de esta materia.
En el diseño actual de edificios se requiere cada vez más un análisis de la
transferencia de calor a fin de promover el ahorro de energía.
A medida que surgen ideas novedosas y cada vez más refinadas en la tecnolo-
gía moderna, la teoría de la transferencia de calor debe resolver problemas nuevos y
cada vez más complejos. Así, desempeña igualmente un papel de gran relevancia
en el enfriamiento de equipo eléctrico y electrónico; por ejemplo, en motores y ge-
neradores eléctricos, transformadores, transistores y conductores, entre otros.
Con la termodinámica se predice el intercambio de calor en un sistema al rea-
lizar un proceso, pero no puede preverse el tipo de mecanismo por el cual se lle-
va a cabo tal transferencia. Así, al aplicar la primera y la segunda leyes de la ter-
modinámica en un intercambiador de calor se obtiene información relacionada con
el flujo de calor que debe transferirse del fluido caliente al frío. No obstante, la ter-
modinámica no suministra datos con respecto al diámetro, longitud, material o
arreglo geométrico de los tubos que deben emplearse. Estas características de di-
seño se obtienen mediante un análisis detallado de la transferencia de calor.
De manera análoga, el estudio termodinámico de un motor de combustión in-
terna brinda información relativa a sus requisitos de enfriamiento. Sin embargo, la
transferencia de calor contempla la posibilidad de enfriarlo con aire o con agua,
así como las dimensiones físicas que deben tener los conductos por donde circula
el agua en caso de emplearla como refrigerante, o bien, las dimensiones de las ale-
tas de enfriamiento para lograr la refrigeración con aire.
De lo anterior se desprende que la termodinámica y la transferencia de calor son
dos ciencias afines que se complementan. La primera predice los requisitos de trans-
ferencia de calor de un sistema; la segunda, cómo se lleva a cabo tal transferencia.
A fin de que el lector tenga un panorama general de las distintas formas bási-
cas de transferencia de calor, en este capítulo se describen en forma sucinta y cua-
litativa sus tres mecanismos básicos:
• conducción
o convección

• radiación
En los capítulos siguientes nos ocuparemos detenidamente de cada uno de estos me-
canismos.

1.1. Conducción
El fenómeno de transferencia de calor por conducción constituye un proceso de
propagación de energía en un medio sólido, líquido o gaseoso mediante la comu-
nicación molecular directa cuando existe un gradiente de temperatura.


1.1. Conducción 3

En el caso de líquidos y gases, tal transferencia es importante siempre que se
tomen las precauciones debidas para eliminar las corrientes naturales del flujo que
pueden presentarse como consecuencia de las diferencias de densidad que presen-
tan ambos fluidos. De aquí que la transferencia de calor por conducción sea de
particular importancia en sólidos sujetos a una variación de temperaturas.
Al haber un gradiente de temperatura en el medio, la segunda ley de la termo-
dinámica establece que la transferencia de calor se lleva a cabo de la región de ma-
yor temperatura a la de menor, como s~ muestra en la figura 1.1.
En tales circunstancias, se dice que el flujo de calor por unidad de área es pro-
porcional al gradiente de temperatura. Es decir,

q" = -k dT ( 1.1 )
dX
donde q" denota el flujo de calor por unidad de área o densidad de calor en la di-
rección x, y k es la conductividad térmica del material. Sus unidades son W/mK
(watt por metro kelvin) en el Sistema Internacional (SI) de unidades. También se
emplean de manera indistinta las unidades W/m°C. A la ecuación 1.1 se le agrega
un signo negativo para que cumpla la segunda ley de la termodinámica, es decir, que
el calor debe fluir de mayor a menor temperatura. Esta ecuación se conoce como
la ley de Fourier y --cabe destacar- define la conductividad térmica k. Aun cuan-
do esta propiedad de transporte varía con la temperatura, en numerosas aplicacio-
nes puede suponerse constante. En la tabla 1.1 se presentan algunos valores de la
conductividad térmica, y en la figura 1.2, la variación con respecto a la tempera-
tura de la conductividad térmica de algunos sólidos, líquidos y gases.

T

Perfil de temperatura

x

Figura 1.1. Temperatura como función de la distancia.

* Cuando la transferencia de calor se Ueve a cabo en más de una dirección, la ley de Fourier puede escribirse como
q"=-k"ílT
donde q" es el vector correspondiente a la densidad de calor y "ílT el gradiente de temperatura con dirección opuesta.


4 l. Introducción

Tabla 1.1. Conductividad térmica de algunos materiales o sustancias a 300 K.
Material k, W/moC
Poliestireno rígido 0.027
Fibra de vidrio 0.036
Aire 0.0263
Agua 0.613
Ladrillo común 0.72
Refractario 1.0
Acero AISI 302 15.1
Acero AISI 1010 63.9
Aluminio puro 237
Cobre puro 401
Fuente: F. P. Incropera y D. P. DeWitt, Introduction lO Heal Transfer, 3a. ed., Jolm Wiley, 1996.

Cuando los materiales tienen una alta conductividad térmica se denominan con-
ductores; los que la tienen baja se llaman aislantes. Cabe agregar que las conduc-
tividades térmica y eléctrica de los metales puros están relacionadas entre sí. Sin
embargo, a temperaturas muy bajas los metales se toman superconductores de la
electricidad, pero no del calor. En los datos de la tabla 1.1 puede observarse que
los aislantes tienen una conductividad térmica entre 0.03 y 0.04 W/moC; en tanto,
la del cobre es del orden de 400 W /moC. En esa tabla también se aprecia que el
aire tiene una conductividad térmica muy baja, como la de los aislantes. No obs-
tante, es difícil tener conducción solamente por él, ya que hay gradientes de den-
sidad y, por tanto, movimiento en presencia de un campo gravitacional cuando el
aire está expuesto a una diferencia de temperaturas. Para que se comporte como
un verdadero aislante debe encontrarse estático aun en presencia de un gradiente
de temperaturas. Hay algunas aplicaciones de aislantes donde el aire prácticamen-
te está estático y se comporta como aislante; por ejemplo, el aire atrapado en un
aislante de fibra de vidrio o en las pequeñas burbujas del material plástico que se
utiliza para los empaques.
Con la ecuación 1.1 puede determinarse la transferencia de calor por conduc-
ción en un sistema siempre que se conozcan la conductividad térmica y el gradien-
te de temperatura. En la circunstancia de que el flujo de calor sea constante puede
determinarse mediante una integración directa de la ley de Fourier. Así, si se con-
sidera una pared de espesor L cuyas superficies están expuestas a dos temperatu-
ras constantes TI y Tb como se muestra en la figura 1.3, y se supone además que
la conducti vidad térmica k es constante,


1.1. COMucción s

Temperatura, cC
o 100 200 300 400 500 600
1000 I I I I I I I

1000
500

Plata
Cobre
200
Oro
Magnesio Aluminio
100
Cinc
100
50
SOd,! líquido
' "Estaño Hierro (puro)
20 Plomo Hierro fOrjad, (C < 0.5%)

Acero Inoxidable tioo 430

--
1- 10

'6.
ID
~ Mercurio ~
1O
5 E
<E
::J U02 (denso) ~
f-
en oí
u
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2 'E
'E ZrOz (denso) ~
:ffi 1J
ro
1J
1J
ro .:;
1J
.:;
1
n
:::J
ti
:::J
0 .5 1J
e
1J Agua (lIqUida) Ladrillo de alto contenido O
e de alúmina a 3000 cF Ü
O
Ü
0.2 . ' 2800 cF
Ladrillo de alto contenido de alumlna a
I Asbesto (26 Ib)Pie2)

--
0.1 Querosina o petróleo
Aceite lubricante SAE 10 Ide rOca ,g~~~
. ra -
,.-
0.1
r 0.05

~
~-I3 g~
0.02
_

--~
~ -¡:- -- Aire (gas)

rgon (gas)-

~
0.01

0.005
-
Crr:eb( 9"1
::-' :;;;:'
~

-
Vapor (H 2 0 vapor)

0.01

0.002
O 200 400 600 800 1000 1200
Temperatura, cF

Figura 1.2. Conductividad térmica de algunos materiales. (Fuente: M. N. Ozisik, Basic
Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1977.)


6 l. Introducción

k = constante
"
¡I T,

A

L

Figura 1.3. Pared de espesor L con conducción de calor en estado estable.

En la tabla 1.2 se muestran algunos factores de conversión para la conductividad
térmica expresada en otras unidades.

Tabla 1.2. Factores de conversión para la conductividad térmica k.
1 cal/s cmoC 1 BTU/h 1 BTU/h 1 W/cmK
pieoF pie2 °F/pu1g
1 cal/s cmoC 241.9 2903 4.186
1 BTU/h pieoF 4.134 x 10-3 1 12 0.0173
1 BTU/h pie2 °F/pu1g 3.445 x 10-4 0.08333 1 1.442 x 10-3
1 W/cmK 0.2389 57.793 693.5 1
Fuente: W. M. Rohsenow y J. P. Hartnett, Handbook of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1973.

Ejemplo 1.1. Considérese una pared plana con una conductividad térmica k constante. En la
figura E.1.1 se observa la distribución de temperatura en cierto instante. Indi-
que si la pared opera en condiciones de estado estable, si está enfriándose o ca-
lentándose.
k = constante

Temperatura como
función de la distancia

-L-

Figura E.l.1.


1.2. Convección 7

Solución
Con base en el diagrama, el calor que entra en la superficie del lado izquierdo es

-kAfJTj fJxt=o
el calor que sale por la superficie del lado derecho es

-kAfJTj fJxt=L

°
Con el análisis de los gradientes de temperatura en x = y en x = L se observa
que entra más calor que el que sale. Si recurrimos ahora a la primera ley de la
termodinámica, qneto ' = dU/dT > 0, por lo que se deduce que la pared está ca-
lentándose.

1.2. Convección
El fenómeno de transferencia de calor por convección es un proceso de transpor-
te de energía que se lleva a cabo como consecuencia del movimiento de un fluido
(líquido o gas) en la vecindad de una superficie, y está íntimamente relacionado
con su movimiento. Para explicar esto, considérese una placa cuya superficie se
mantiene a una temperatura Ts (fig. 1.4) Y que disipa el calor hacia un fluido cuya
temperatura es T=. La experiencia indica que el siste1na disipa más calor cuando
se le hace pasar aire proveniente de un ventilador que cuando sólo está expues-
to al aire ambiente; de ello se desprende que la velocidad del fluido tiene un efec-
to importante sobre la transferencia de calor a lo largo de la superficie. De mane-
ra similar, la experiencia indica que el flujo de calor e~ diferente si la placa se
enfría en agua o en aceite en vez de aire. De aquí que las propiedades del fluido
deben tener también una influencia importante en la transferencia de calor.
Puesto que la velocidad relativa del fluido con respecto a la placa es, en gene-
ral, igual a cero en la interfase sólido-fluido (y = 0),* el calor se transfiere total-
mente por conducción sólo en este plano del fluido. Sin embargo, <tun cuando el" .
calor disipado por la placa puede calcularse con la ecuación 1.1, el gradiente de - -
temperatura en el fluido depende de las características, a menudo compléjas1 del
flujo de éste. Por tanto, es más conveniente estimar el flujo de calor disipado por
el sistema en términos de la diferencia total de temperaturas entre su superficie y el
fluido . Es decir,

( 1.2)

• Esta suposición es válid a excepto para gases muy diluidos, donde la trayectoria media libre de las moléculas
es comparable con las dimensiones del sistema (flujo deslizante) o mucho mayor (flujo Knudsen).


8 l. Introducción

Perfil de
velocidad
~erl;lde
temperatura

I

K L )1

Figura 1.4. Placa expuesta a enfriamiento convectivo.

donde h es el coeficiente local de transferencia de calor o coeficiente de película.
Sus unidades en el SI son W/m2K (watt por metro cuadrado kelvin). También se
emplean de manera indistinta las unidades W/m 2 °C. La ecuación 1.2 se conoce co-
mo la ley de Newton de enfriamiento. Cabe precisar que esta expresión, más que
una ley fenomenológica, define el coeficiente local de transferencia de calor 11.
Como su nombre lo indica, varía a lo largo de toda la superficie.
En la figura 1.5 se muestra la variación del coeficiente local de transferencia
de calor a lo largo del eje x .

Perfil de
velocidad

~Perl"de
~mperatura

I
I( L --------------~)I

h

hl----------~~-------------------

x
Figura 1.5. Variación del coeficiente local de transferencia de calor a lo largo de la
coordenada x.


1.2. Convección 9

Más importante que el coeficiente local es el coeficiente promedio -ambos- de
transferencia de calor, o simplemente coeficiente de transferencia de calor. Si se com-
binan las ecuaciones 1.1 y 1.2, tal coeficiente puede determinarse con la expresión

_
h =
r
o
_k
aT
ay
)
-o
y-
dx
(1 .3)
(r, - Too )
Así, con esta definición nueva,

(l A)

donde A es el área de transferencia de calor por convección.
El fenómeno de transferencia de calor por convección suele clasificarse en dos
categorías:. convección forzada y convección libre o natural. En la primera se ha-
ce pasar el fluido por el sistema mediante la acción de algún agente externo, diga-
mos un ventilador, una bomba o agentes meteorológicos. Por su pru;te, en el segun-
do caso el movimiento del fluido es resultado de los gradientes en densidad que
experimenta éste, al estar en contacto con una superficie a mayor temperatura y en
presencia de un campo gravitacional (o centrífugo).
Un caso típico de convección forzada es el radiador en el sistema de enfda-
miento del motor de un automóvil u otro intercambiador de calor. De igual mane-
ra, ejemplos clásicos de convección libre son el calentamiento de agua en un reci-
piente antes de sufrir ebullición o el enfriamiento de equipo eléctrico (algunos
transformadores, transistores, etcétera).
El coeficiente de transferencia de calor en algunas geometrías sencillas puede
determinarse con la ecuación 1.3 , la cual presupone que se conoce el perfil de la
temperatura en el fluido, que puede obtenerse analíticamente mediante la aplica-
ción de las ecuaciones de cambio, esto es, continuidad, movimiento y energía. En
el caso de geometrías más complejas, el coeficiente de transferencia de calor pue-
de evaluarse mediante correlaciones empídcas o recurriendo a la expedmentación.
El coeficiente de transferencia de calor (de aquí en adelante se le designará
con la letra h, a menos que se especifique lo contrario) para la convección forza-
da depende de vados parámetros; por ejemplo,

h = h(L, k, uoo , 11, p, cp ' ... ) (l .5)

y, para el caso de convección natural,

h = h[L, k, p, g, f3 (Ts - Too), 11, cp ' ... ] (1.6)

donde L es una dimensión característica del sistema; por ejemplo, L es la longitud
en la placa de la figura lA, k la conductividad térmica del fluido, Uoo la velocidad


10 l. Introducción

con la que se aproxima el fluido al sistema, J.L la viscosidad del fluido , p la densidad
del fluido, cp el calor específico a presión constante del fluido , f3 el coeficiente de
expansión volumétrica del fluido y g la aceleración de la gravedad u otra acelera-
ción externa. Todas estas variables pueden reducirse a dos grandes parámetros: la
geometría del sistema y las propiedades físicas y características del flujo de fluido.
De lo anterior se desprende que incluso cuando la apariencia de la ecuación
1.4 es muy sencilla, el proceso de transferencia de calor por convección es muy
complejo. En la tabla 1.3 se muestran algunos valores del orden de magnitud del
coeficiente de transferencia de calor h, y en la 1.4 algunos factores de conversión
para las unidades empleadas con más frecuencia.

Tabla 1.3. Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor h.
Proceso h, W/m2 K
Convección libre
Gases 2-25
Líquidos 50-1000
Convección forzada
Gases 25-250
Líquidos 50-20000

,~.¡ Convección con cambio de fase
Ebullición o condensación 2500-100 000

Fuenle: F. P. IncTopera y D. P. DeWitt, lntroduc tion lo Heat Transfer, 3a. ed. , John Wiley, 1996.

Tabla 1.4. Factores de conversión para el coeficiente de transferencia de calor h.
caUs cm2 0C 1 BTU/h pie2°F 1 kcaUh m2 0C 1 W/cm2 K
1 caUs cm2 °C 7376 36000 4.186
1 BTU/h pie 2 °F 1.356 x 10-4 1 4.8826 5.6785 x 10-4
1 kcaUh m2 °C 2.778 x 10-5 0.20489 1 1.163 x 10-4
1 W/cm 2 K 0.2391 1761 8600 1

Fuente: W. M. Rohsenow y J. P. Hartnett, Handbook of Heal Transf er, McGraw-Hill, Nueva York, 1973.

1.3. Radiación
Tanto los mecanismos de transferencia de calor por conducción como por convec-
ción requieren un medio para propagar la energía. Sin embargo, el calor puede


1.3. Radiación 11

también propagarse en el vaCÍo absoluto mediante radiación. A una temperatura
dada todos los cuerpos emiten radiación en diferentes longitudes de onda, pero la
magnitud de ésta depende de la temperatura absoluta y de las características su-
perficiales de dichos cuerpos.
Por otra parte, sólo se considera radicación térmica la que se ubica en el ran- .
go de longitudes de onda entre 0.1 y 100 micrones, aproximadamente. Dentro de
ese intervalo del espectro electromagnético se ubican el rango ultravioleta, el in-
frarrojo y el visible. Este último comprende nada más entre 0.38 y 0.78 micrones.
Un radiador perfecto o cuerpo negro es el que emite la máxima cantidad de
energía radiante desde su supeIficie a una razón proporcional a su temperatura ab-
soluta elevada a la cuarta potencia, es decir,

( 1.7)

Esta ecuación se conoce como ley de Stefan-Boltzmann, donde (Y es una constan-
te que adquiere un valor igual a 5.67 x 10-8 W/m2K4 en el SI y que recibe el nombre
de constante de Stefan-Boltzmann. De la ecuación 1.7 se deduce que la superfi-
cie de todo cuerpo negro emite radiación si se encuentra a una temperatura diferen-
te del cero absoluto, independientemente de las condiciones de los alrededores.
Por otra parte, un cuerpo real no satisface las características de un cuerpo ne-
gro, ya que emite una menor cantidad de radiación. ASÍ, el flujo de calor por uni-
dad de área que emite una superficie real está dado por la expresión

(1.8)

donde E es una propiedad de la superficie y se denomina emisividad; numérica-
mente es igual al cociente de la emisión de radiación del cuerpo en estudio con
respecto a la de uno negro. Esta propiedad superficial adquiere valores entre cero
y la unidad,-y constituye una medida para evaluar cuán efectivamente emite radia-
ción un cuerpo real con respecto a uno negro.
El calor por radiación neto intercambiado por un cuerpo negro a una tempera-
tura absoluta T¡, como se muestra en el esquema de la figura 1.6, hacia una envol-
vente a una temperatura T2 que lo rodea por completo y que se comporta también
como cuerpo negro puede evaluarse con la expresión

q= (YA¡ (Ti - Ti) (1.9)

Por otra parte, la radiación emitida por un cuerpo real a una temperatura absoluta
TI hacia una envolvente de área A 2 » A I Ya temperatura T b puede calcularse aho-
ra con la expresión
(1.1 O)


12 l. Introducción

.1
Figura 1.6. Intercambio de calor por radiación entre dos cuerpos negros.

Esta ecuación se conoce como ley de Prevost.
Si se consideran ahora dos cuerpos reales a temperaturas absolutas TI T2 , y
respectivamente, como se muestra en la figura 1.7, el flujo neto de energía radian-
te entre ellos puede calcularse con

(1.11 )

donde F es una función que no sólo depende de las características superficiales de
ambos cuerpos, sino también del arreglo geométrico que guardan entre sí. En otras
palabras, la función F depende de las emisividades de ambos cuerpos y de la frac-
ción de energía radiante emitida por el cuerpo 1 que intercepta el cuerpo 2.

1.4. Transferencia simultánea de calor
.' Hasta ahora hemos visto en forma independiente los tres principales mecanismos
;i
de transferencia de calor; no obstante, en la mayoría de las aplicaciones de interés
para los ingenieros se presentan en forma simultánea, aunque también puede su-
ceder que uno o más de ellos sean prácticamente insignificantes con relación a los
demás. A continuación se describen distintas situaciones que muestran lo anterior.
Considérese el intercambiador de calor de doble tubo que se observa en la fi-
gura 1.8. En este caso el calor se transfiere por convección del fluido caliente a la

Figura 1.7. Transferencia de calor por radiación entre dos cuerpos.


1.4. Transferencia simultánea de calor 13

Fluido caliente
I

Ir
Fluido frío

Figura 1.8. Esquema de un intercambiador de calor de doble tubo.

superficie interior del tubo; luego pasa por conducción a través de su pared y por
último se transfiere por convección de la pared del tubo al fluido frío.
En el cilindro de un motor de combustión interna como el del esquema de la
figura 1.9, el calor se transfiere de forma simultánea por radiación y convección
de los gases de combustión al cilindro, atraviesa sus paredes por conducción y al
final llega al agua de enfriamiento por convección.
Si por último pensamos en un con vector para la calefacción donde el fluido
caliente es vapor húmedo, la transferencia de calor desde el con vector al ambien-
te ocurre, en esencia, por convección libre.

o
--
Figura 1.9. Esquema de un cilindro de un motor de combustión interna.

Ejemplo 1.2. Considérese un recipiente aislado térmicamente que contiene una pequeña can-
tidad de agua. Si la superficie libre de líquido queda expuesta al aire libre du-
rante la noche (fig. E.1.2.) Y la temperatura ambiente es de 40 oC, calcule la
temperatura de equilibrio que alcanza el agua en el recipiente. Supóngase que
el coeficiente de transferencia de calor en la superficie del agua es de 5 W/m2 K,
que la temperatura efectiva del firmamento es del rango de O K Y que tanto el
agua como el firmamento se comportan como cuerpos negros.


14 l. Introducción

Solución
Mediante un balance de energía, el calor por convección que se transfiere del aire
ambiente al agua debe ser igual en magnitud al calor por radiación emitido por
ésta hacia el firmamento en condiciones de equilibrio. Es decir,

h( T= - ~gua ) = 0"( ~:ua - Tr:!m )

Agua

Figura E.l.2.

Sustituyendo valores,

5( 313 - ~gua) = 5.67 X 10- ~:ua
8

1565 - 5~gua = 5.67 X 10-8 ~:ua
Al resolver la expresión se obtiene

~gua = 260 K = -13 oC
Si bien esta solución sólo representa una primera aproximación al problema, los
resultados anteriores indican que es posible congelar agua en condiciones de
tiempo cálido si se expone al firmamento despejado.

Ejemplo 1.3. Calcule el flujo neto de calor por unidad de área y por radiación entre dos pla-
cas paralelas e infinitamente grandes, con un espacio muy pequeño entre ellas.
Ambas se comportan corno cuerpos negros y se mantienen a 1000 K Y 500 K,
respectivamente.

Solución
Según la ecuación 1.9,

q" = 0"( Ti - Ti) =5.67 X 10-8 (1000 4 - 500
4
)

q" = 53 156 W/m2


1.5. Resumen 15

1.5. Resumen
El fenómeno de transferencia de calor por conducción es un proceso de propaga-
ción de energía en un medio por difusión o comunicación molecular directa como
consecuencia de un gradiente de temperatura.
La ley de Fourier establece que el flujo de calor por unidad de área es propor-
cional al gradiente de temperatura, es decir,

q" = -k dT
dX
La transferencia de calor por convección es un proceso de transpOlte de energía
que resulta del movimiento de un fluido .
La ley de Newton del enfriamiento establece que el flujo de calor por unidad
de área es proporcional a la diferencia total de temperaturas entre la de la superfi-
cie del sistema y la del fluido, esto es,

Todos los cuerpos emiten radiación en forma de energía electromagnética con dife-
rentes longitudes de onda de acuerdo con su temperatura y sus características super-
ficiales. Un emisor de radiación perfecto, o cuerpo negro, es el que emite energía
radiante de su superficie a una razón proporcional a su temperatura absoluta ele-
vada a la cualta potencia, o sea,

q" = ar 4

Esta relación se conoce como ley de Stefan-Boltvnann, donde (J es la constante de
Stefan-Boltzmann, la cual adquiere un valor de 5.67 x 10-8 W/m2 K4 en el SI.

Problemas
1. Considérese una pared de espesor L cuyas superficies se mantienen a tempe-
raturas TI y Tb respectivamente. Si el material de la pared tiene una conduc-
tividad térmica k constante y el área perpendicular al flujo de calor es A, calcu-
le el flujo de calor mediante la integración directa de la ley de Fourier.
2. Cuando la transferencia de calor se lleva a cabo en más de una dirección, la
ley de Fourier puede escribirse como

q" = -k'ílT


16 l . Introducción

Con los vectores unitarios i, j Y k, escriba la ley de Fourier en coordenadas
cartesianas.

Respuesta: q 11 =- k( -I+-J+- k)
aT. aT. aT
ax ay ax
3. Imagine una esfera de 1 cm de diámetro a una temperatura de 1000 K Y ence-
rrada en otra esfera de 10 cm de diámetro a una temperatura de 400 K. Calcu-
le el flujo neto de calor por radiación que va de la esfera pequeña a la grande.
Supóngase que ambas esferas se comportan como cuerpos negros.
Respuesta: 17.36 W

4. Un tubo desnudo que transporta,.vapor húmedo a una presión absoluta de
10 bar se encuentra en una habitación cuya temperatura ambiente es de 20 oc.
Si el coeficiente de transferencia de calor entre el tubo y el ambiente es de
10 W/m2 K, calcule las pérdidas de calor por metro de longitud. El diámetro
exterior del tubo es igual a 10 cm.
Respuesta: 502.37 W/m

5. Considérese un cuerpo negro de masa m, calor específico e y área A a una tem-
peratura uniforme To, que se deja caer en un recipiente muy grande cuyas pa-
redes se encuentran a una temperatura de O K. Si el recipiente está al vacío,
determine la temperatura del cuerpo como función del tiempo. Establezca cla-
ramente las suposiciones necesarias.

Respuesta: T =
3 )1/3
Tome
( me + 30'ATot
3

6. El coeficiente de transferencia de calor en convección libre depende, entre
otras propiedades, del coeficiente de expansión volumétrica del fluido, defi-
nido como

Demuestre que el coeficiente de expansión volumétrica de un gas ideal es di-
rectamente proporcional al recíproco de la temperatura.
7. ¿Por qué los metales cambian de color mientras cambia su temperatura?
8. Piense en una placa de espesor L cuyas superficies están sujetas a las tempera-
turas T¡ y T2 , respectivamente. Si la conductividad térmica del material varía


Problemas 17
con la temperatura de acuerdo con la relación k = küO + aT), donde kü Y a son
constantes, determine el flujo de calor por unidad de área a través de la placa.
9. Un cono truncado de aluminio mide 2 cm de diámetro en su parte más peque-
ña, 3 cm en su parte más ancha y 10 cm de altura. Si la superficie lateral se
encuentra aislada, la temperatura en el diámetro menor es igual a 300 oC y la
del mayor a 100 oc. Calcule el calor que se transfiere por conducción a tra-
vés del cono. Supóngase que la conductividad térmica del aluminio es igual a
215 W/mK.
10. Indique los principales mecanismos de transferencia de calor en una aleta de
enfriamiento como las empleadas en un motor de combustión interna.
11. Imagine un tubo de cobre desnudo de 70 mm de diámetro exterior que trans-
porta vapor. Su superficie se encuentra a 200 oC y tiene una emisividad igual a
0.8 . El aire y las paredes del CUalto en donde se encuentra el tubo están a 25 oc.
Se estima que el coeftciente de transferencia de calor por convección natural
es igual a 15 W/m2K. Calcule el calor disipado por unidad de longitud.
12. Un flujo de aire circula por la superficie de una pared. Para el instante que se
muestra abajo (fig. P.l.12) indique las respuestas:
a) ¿Es T ambiente <, > o = T2 ? Explique su respuesta.
b) ¿Qué condición de frontera emplearía para la transferencia de calor en
x = O?

h

Tambienle

L
I
O
I )1 X

Figura P.l.12.

13. Considérese una esfera de 1 cm de diámetro que se mantiene a 60 oc. Se en-
cuentra en un cuarto cuyas paredes se hallan a 35 oc. El aire que rodea la esfe-
ra está a 40 oC y el coeficiente de transferencia de calor es igual a 11 W/m2o C.
Calcule las pérdidas de calor que experimenta la esfera si su emisividad es
igual a 0.85.


18 1. Introducción

14. El techo horizontal de una casa está cubierto con un asfalto cuya emisividad
es igual a 0.94. En una noche de cielo nublado puede decirse que la tempera-
tura efectiva del firmamento es igual a -10 oC y la del aire ambiente a 5 oc. El
coeficiente de transferencia de calor entre el techo y el aire ambiente es igual
a 4 W/m 20 C. Detennine la temperatura de la superficie del techo en condicio-
nes de estado estable. Supóngase que la superficie del techo que da hacia el
interior de la casa se encuentra perfectamente aislada.
15. Imagine una placa negra muy delgada de 20 x 20 cm de área sobre la que se
hace pasar aire a una temperatura de O oC y una velocidad de 2 mis, lo cual da
por resultado un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m 20 C. La pla-
ca está aislada por uno de sus dos lados y se halla en un cuarto cuyas paredes
se mantienen a 30 oC. Supóngase que la emisividad de la placa es igual a 1.0;
calcule su temperatura.
16. El elemento térmico en un calefactor eléctrico consiste en una tira metálica de
un espesor muy delgado, de 6 mm de ancho y 3 m de largo. La emisividad del
material es igual a 1.0 y opera a una temperatura de 800 K. El coeficiente de
transferencia de calor alrededor de la tira puede estimarse en 10 W/m 20 C. Si
la temperatura del ambiente y los alrededores es de 25 oC, calcule el calor di-
sipado por el elemento ténnico.
17. Clasifique los materiales siguientes de acuerdo con su capacidad para condu-
cir el calor: aluminio, cobre, acero inoxidable, poliestireno, acero al carbón,
ladrillo común.
18. Considérese un horno hemisférico de 5 m de diámetro (fig. P.1.18). El domo
se comporta como cuerpo negro, mientras que la base tiene una emisividad
igual a 0.7. La base y el domo se encuentran a 400 y 1000 K, respectivamen-
te. Determine el flujo neto de calor por radiación entre ambos elementos.

I +E- - 5 m--~)I
Figura P.I .1S.

19. A juzgar por las unidades de W/moC, ¿podría definirse la conductividad tér-
mica de un material como el flujo de calor a través del material, por unidad de
espesor y por unidad de diferencia de temperaturas? Justifique plenamente su
respuesta.
20. Imagine dos paredes de una casa habitación idénticas en todo, excepto que una
es de madera (k = 0.12 W/mK) y tiene un espesor de 10 cm, en tanto que la


Problemas 19

otra es de ladrillo (k = 0.72 W/mK) y tiene un espesor de 25 cm. ¿Mediante
cuál pared perderá más calor la casa?
21. Piense en una pared que opera en estado estable y sin generación de calor en
su interior. En la figura P.1.21 se muestra la distribución de temperatura como
función de la distancia. Indique si la conductividad térmica del material es
constante, si aumenta o disminuye con la temperatura. Explique su respuesta.

lE- L -~

Figura P.l .21.

22. Algunas secciones de una tubena que transporta combustóleo están soportadas
por barras de acero (k = 61 W/m°C) de 0.005 m2 de sección transversal (fig.
P.1.22) . En general, la distribución de temperatura a lo largo de las barras es de
la forma :

T(x) = 100 - 150x + lOx2

donde T está en grados Celsius y x en metros. Calcule el calor que pierde la
tubena a través de cada barra.
Respuesta: 45.75 W

Tubería

x

Suelo =====-======~
Figura P.1.22.


20 l. Introducción

23. Imagine un calefactor de gas. Indique los mecanismos por los que disipa calor.
24. Se utiliza un termómetro de mercurio para medir la temperatura del aire en un
recipiente metálico muy grande. Se registra una temperatura de 20 oC (fig.
P.1.24). Se sabe que las paredes del recipiente se encuentran a 5 oC, el coefi-
ciente de transferencia de calor entre el termómetro y el aire es de 8.3 W/m2 oC
y la emisividad del termómetro es igual a 0.9. Calcule la temperatura efectiva
del aire en el recipiente.

Respuesta: Tambiente = 28.6 oC

Tambren!e

T. -5 0C 11
~aredes - UTI = 20 oC

Figura P.l.24.

25. Una superficie de 0.5 m2 , con emisividad de 0.8 y a una temperatura de 150 oC,
se coloca en una cámara al vacío muy grande, cuyas paredes se encuentran a
25 oc. Calcule el calor neto entre la superficie y las paredes de la cámara.
26. Un gabinete de aluminio anodizado se enfría mediante convección natural y
1: radiación. El área de la superficie del gabinete mide 0.368 m 2 , la temperatura
I ! del aire y alrededores que lo rodean es de 25 oC y el coeficiente de transferen-
j! cia de calor por convección se estima en 6.8 W/m2 K. La temperatura en la su-
f i
I
perficie del gabinete es igual a 125 oc.
a) Obtenga el flujo de calor disipado por el gabinete suponiendo que se com-
pOlta como cuerpo negro.
b) Si el gabinete se enfría forzando aire con un coeficiente de transferencia de
l '
calor por convección igual a 150 W /m2K, calcule la temperatura de la su-
perficie si la disipación de energía se mantiene constante. ¿Es importante la
radiación en este último caso?
27. Un lado de una lámina muy delgada se expone al Sol y el otro está aislado tér-
micamente. La lámina absorbe la energía solar a razón de 500 W/m2 . El aire
ambiente que la rodea se encuentra a 27 oC, mientras que la temperatura efec-
tiva del firmamento es de 7 oc. El coeficiente de transferencia de calor por con-
vección es igual a 20 W/m2 °C, y la emisividad de la superficie expuesta al Sol
es de 0.9. Calcule la temperatura de equilibrio de la lámina.
28. El operador de máquinas en un taller se queja de que el sistema de calefacción
no mantiene la temperatura del aire a un valor mínimo de 20 oC, como debiera.


Problemas 21

Para fundamentar su queja, demuestra que un termómetro de mercurio muy
preciso suspendido en el aire ambiente registra sólo 17 oc. Cuando coloca el
termómetro contra las paredes registra 5 oc. El techo y las paredes del taller
son de lámina acanalada. Se sabe además que la emisividad del termómetro es
igual a 0.8.
¿Está en 10 conecto el operador? Justifique su respuesta estableciendo con
claridad sus suposiciones.
29. Imagine la pared de un horno construida con ladrillo refractario (k = 1.2
W/mK) de 20 cm de espesor. La superficie exterior del horno se encuentra a
300 oC y tiene una emisividad de 0.9. El coeficiente de transferencia de calor
por convección natural es igual a 8 W/m 2 K. La temperatura del aire ambien-
te, así como la de los alrededores, es igual a 25 oc. Calcule la temperatura de
la superficie interior.

Respuesta: T = 1516.4 oC
"
,~

30. Ciertas pruebas experimentales en el álabe de una turbina de gas indican que
éste toma 95 kW/m2 de calor cuando su superficie está a 800 oC, la tempera-
tura del aire que 10 rodea es de 1150 oC y la velocidad es de 160 mis. La super-
ficie del álabe se mantiene a temperatura constante durante los experimentos
mediante enfriamiento interno. Calcule el flujo de calor que tomará al álabe si
su temperatura se reduce a 700 oC, y no se alteran en 10 absoluto las condicio-
nes del aire que se hace pasar a través de él. Supóngase que las propiedades del
aire también permanecen constantes.

Respuesta: q" = 122.14 kW
31. Una bana cilíndrica de 3 cm de diámetro contiene un calentador eléctrico de
resistencia. Al pasar agua sobre el calentador a una temperatura de 25 O Yuna
C
velocidad de 1 mis, disipa 6.3 kW/m. En estas condiciones la temperatura en
su superficie es de 90 oc. Cuando se hace circular aire a una temperatura de
25 OC Y una velocidad de 10 mis , el calentador sólo disipa 570 W/m. Calcule
y compare los coeficientes de transferencia de calor en ambas situaciones.
32. Se desea enfriar el agua de refrigeración de un motor de combustión interna
de 150 kW de potencia al freno de 90 a 80 oC en un radiador que está por eva-
luarse. El flujo de masa de agua que circula por el motor es de 3.6 kg/s. El ra-
diador que se propone colocar al motor para enfriarlo tiene un área total de
transferencia de calor igual a 0.8 m2 . Puede suponerse que la temperatura pro-
medio del aire ambiente que se haría circular con el abanico a través del ra-
diador se encuentra a 40 oC, y el calor específico del agua es de 4186 J/kg0c.
Indique si es posible o no enfriar el agua del motor con el radiador propuesto.


..........
· "l .

22 l. Introducción

Bibliografía
Incropera, F. P. Y D. P. DeWitt, Tntroduction to Heat Transfer, 3a. ed., John Wiley, 1996.
Ozisik, M. N., Basic Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1977.
Rohsenow, W. M. y J. P. Hartnett, Handbook of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York,
1973.


2. Conducción unidimensional
e es ad estable
La senda de la virtud es
muy estrecha y el camino
del vicio, ancho y espacioso.
CERVANTES

La conducción unidimensional en estado estable encuentra múltiples aplicaciones
en sistemas de interés para el ingeniero: paredes de hornos, aislamiento de ductos
para transportar vapor, aislamiento de conductores eléctricos, aletas de enfria-
miento, etcétera. En ciertas aplicaciones, los efectos de la transferencia de calor en
más de una dirección son tan pequeños que pueden despreciarse sin sacrificar la
exactitud de los resultados.
En este capítulo se describen algunas de esas aplicaciones; por supuesto, no se
pretende cubrir de manera exhaustiva todas las aplicaciones de la conducción unidi-
mensional en estado estable. Nuestro propósito sólo consiste en ilustrar el método o
la técnica de análisis para resolver los diferentes problemas que se le presentan al in-
geniero.

2.1. Placa
Considérese una placa plana de espesor L cuya conductividad térmica k es cons-
tante. Supóngase que sus dos superficies se mantienen a temperaturas TI y T2 , res-
pectivamente, como se muestra en la figura 2.1.
Si se analiza un volumen de control de espesor Llx dentro del material, la pri-
mera ley de la termodinámica establece que el calor que entra en el sistema por
conducción es igual al que sale de él. Analíticamente,

q" A Ix- q" A Ix+ tu = O (2.1 )

Al notar que el área A perpendicular al flujo de calor es constante en la placa, la
expresión anterior puede dividirse entre ALlx, esto es,

q "1 x+tu - q"1 = O
x (2.2)
Llx

23


24 2. Conducción wlidimensional en estado estable

TI

q"Alx q"Alx+dX

o L x

Figura 2.1. Placa plana y volumen de control.

En el límite, cuando & -7 O se obtiene, por el teorema del valor medio,
d "
.-!L = O (2.3)
dx
Al integrar esta expresión con respecto a x se obtiene

q" = el (2.4)

donde el es una constante de integración. Esta expresión ratifica analíticamente
que el flujo de calor por unidad de área en la placa es constante. Sustituyendo la
ley de Fourier en la ecuación 2.4 se tiene

o
dT =_ el (2.5)
dx k
Sise supone que la conductividad térmica del material es constante, una integra-
ción de la ecuación anteIior da como resultado
el
T= __ x+e2 (2.6)
k
por lo que se concluye que el perfil de temperatura a través de la placa es lineal. Lo
anteIior es cierto siempre que --como se supuso con anteIiOlidad- la conductivi-


2.1. Placa 25

dad térmica del material sea constante. Las constantes de integración C l y C2 pueden
evaluarse mediante dos condiciones de frontera que correspondan a la situación físi-
ca del problema y que pueden determinarse recurriendo a las temperaturas en ambas
superficies de la placa, es decir,

T= TI en x = O

y

T= T2 en x =L
Sustituyendo estas condiciones de frontera en la distribución de temperatura (ecua-
ción 2.6) se obtiene

y

Por consiguiente,

(2.7)

El esquema de la figura 2.2 muestra la variación de la temperatura en la placa co-
mo función de la distancia. Cabe observar de nuevo que esta distribución es lineal
sólo cuando la conductividad térmica del material es constante.

T

T,

~ L- __________ ~ ____

o L x

Figura 2.2. Distribución de temperatura en una placa con conductividad térmica constante.


26 2. Conducción unidimensional en estado estable

A menudo conviene normalizar o adimensionar los resultados de la transfe-
rencia de calor para que sean generales e independientes de las dimensiones físi-
cas del sistema. La normalización reduce el número de parámetros, por lo que la
gráfica e interpretación de éstos es aún más sencilla. En ciertas circunstancias, una
mera normalización podrá sugerir las aproximaciones necesarias para simplificar
un problema concreto. La ecuación 2.7 puede normalizarse definiendo una tempe-
ratura y una distancia adimensionales como

T* = T- Ti
T¡ -T2
y

x * =-
x
L
Al introducir estas variables adimensionales en la distribución de temperatura de
la ecuación 2.7 se tiene

T* =1 - x* (2. 8)

obteniéndose así una línea única cuya pendiente es de 135° para todas las placas.
Una vez que se calcula la distribución de temperatura en la placa, el flujo de
calor que se transfiere a través de ella puede evaluarse con facilidad, una vez más,
mediante la ley de Fourier. Ya que ésta es constante,
dT
q=-kA-=AC¡
dx
Por tanto,

(2.9)

Esta ecuación indica que el flujo de calor es proporcional al área, a la conductivi-
dad térmica del material y a la diferencia de temperaturas. Por otra parte, el flujo
de calor es inversamente proporcional al espesor de la placaJ
La forma de la ecuación 2.9 sugiere una analogía eléctrica con la ley de Ohm
de circuitos eléctricos: si el flujo de calor se visualiza como una corriente y la di-

'" Si la conductividad térmica del material varía con la temperatura de acuerdo con una relación de la forma
k = "00 + an , donde "o y a son constantes, el flujo de calor a través de la placa puede calcularse con la ecua-
ción 2.9, siempre que la conductividad térmica se calcule a la temperatura promedio (TI + T 2 )/2. La demos-
tración se deja al lector como ejercicio.


2.1. Placa 27

ferencia de temperaturas como una diferencia de potenciales eléctricos, el equiva-
lente de la resistencia eléctrica es una resistencia térmica definida como

R¡=~ (2. 10)
kA
El uso de esta ecuación permite evaluar sin mayor problema el flujo de calor en
paredes de distintos materiales en contacto íntimo, como se ilustra en la figura 2.3
con sólo dos.
En estas condiciones,

(2. 11)

La expresión 2.11 indica que el flujo de calor a través de la pared compuesta por
dos materiales es igual a la diferencia total de temperaturas entre la suma de las dos
resistencias térmicas en serie.
La analogía eléctrica antes descrita también puede emplearse con eficacia pa-
ra resolver problemas más complejos relacionados con resistencias en serie y en
paralelo. En la figura 2.4 se muestra un problema típico y su correspondiente cir-
cuito térmico. Cabe notar, sin embargo, que las conductividades térmicas de los
materiales en paralelo no deben ser sustancialmente distintas, de lo contrario ha-
bría una transferencia de calor bidimensional.
Hasta ahora se ha supuesto que se conocen las temperaturas en las superficies
exteriores de la pared. No obstante, por lo general se encuentran en medios líqui-
dos o gaseosos a diferentes temperaturas, y la transferencia de calor con los fluidos

Ti

LA LB

Figura 2.30 Pared compuesta por dos materiales y su correspondiente circuito térmico.


28 2. Conducción unidimensional en estado estable

La
B
ka Aa

T1
- 2
Tl--,//,-Il ... T
A O ~Lf~:~
kAAA Le koAo
e
kcAc

Figura 2.4. Pared compuesta por distlntos materiales.

se lleva a cabo por convección. El uso de la resistencia térmica puede extenderse
también a la ley de Newton de enfriamiento. Al analizar esta ley se deduce que la
1
"
resistencia térmica para convección, o resistencia de película, está dada por la ex-
presión

R =_1 (2.1 2)
I hA
Si se considera ahora la misma pared construida con dos materiales, pero en con-
tacto con dos fluidos como se muestra en el esquema de la figura 2.5, la transfe-
rencia de calor puede evaluarse con la expresión 2.13.

(2.13)

A La

Figura 2.5. Pared compuesta por dos materiales expuesta a convección por ambos lados.


2.1. Placa 29

En esta expresión se observan las diferentes resistencias térmicas implicadas. En ca-
so de que uno de los fluidos sea, digamos, agua y el otro aire, la resistencia de pe-
lícula más grande se encuentra en el lado del aire. En estas circunstancias, la
transferencia de calor puede incrementarse o la resistencia disminuirse mediante
aletas de enfriamiento o superficies extendidas en el lado del aire a fin de aumen-
tar el área.
Otro caso que puede interesar a los ingenieros es cuando la pared que se anali-
zó está constituida por un material aislante. Entonces se define el valor R del aislan-
te como la resistencia térmica del material por unidad de área, es decir, R = L/k,
donde L es el espesor y k la conductividad térmica. Obsérvese que al duplicar el
espesor L también se duplica el valor R del aislante. En Estados Unidos de Améri-
ca los valores de R se expresan sin unidades; por ejemplo, R-20, R-30. Estos valores
se obtienen dividiendo el espesor del material dado en pies entre su conductividad
térmica en BTU/h pieop, de tal forma que las urüdades de R están en h pie2o p/
BTU. Así, 6 pulgadas de aislante de fibra de vidrio (k =0.025 BTUIh pie°F) tienen un
valor igual a R-20, esto es, R = 0.5/0.026 = 20 h pie2°PIBTU (en el SI 1 m2°C/W =
5.678 h pie2°PIBTU).
Este concepto de resistencia por unidad de área R también se emplea cuando
la pared se compone de materiales heterogéneos, como los bloques de concreto.
De este modo se dice que un bloque de concreto con dos cavidades tiene una re-
sistencia térmica por unidad de área R igual a 0.37 m2°C/W. La resistencia R = l/h
a la convección para una pared expuesta a un viento de 24 km/h es igual a 0.03
m2°C/W. Algunos valores de la resistencia térmica R se indican en J 997 ASHRAE
Fundamentals Handbook (American Society of Heating, Refrigerating and Air-
Conditioning Engineers, Inc., 1977).

Ejemplo 2.1. Imagine una pared constituida por los elementos siguientes:

Concepto
Resistencia exterior a la convección (viento a 24 km/h) 0.03
Bloque de concreto de 20 cm de espesor 0.37
90 mm de aislante de fibra mineral 2.3
13 mm de yeso 0.08
Resistencia interior a la convección (aire estático) 0.12

El aire ambiente que rodea la pared se encuentra a 40 oC en el exterior y 22 en
el interior. Si la pared mide 5 m de largo por 2.5 m de altura, calcule el calor
transferido.


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