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Tema 4: Series de Fourier


     Las series de Fourier surgen al intentar representar una funci´n peri´dica f (x) en t´rminos
                                                                      o     o               e
de funciones seno y coseno, que son las funciones peri´dicas m´s simples y conocidas. La raz´n
                                                           o        a                             o
se debe a la facilidad con que se resuelven ciertos problemas cuando se transforman estas
funciones peri´dicas en series de Fourier.
                o
     Recordemos que una funci´n f : R −→ R es peri´dica de per´odo L (o L-peri´dica) cuando
                                 o                        o           ı               o
existe L > 0 tal que f (x + L) = f (x), ∀x ∈ R. En ese caso se tiene autom´ticamente que
                                                                                    a
f (x + nL) = f (x) para cualesquiera x ∈ R y n ∈ Z. Es obvio que si L es un per´       ıodo de f (x),
entonces tambi´n lo son −L, ±2L, ±3L, .... Se denomina per´odo fundamental de una funci´n
                 e                                                 ı                              o
peri´dica al per´
     o            ıodo L > 0 tal que f (x) no es T -peri´dica para ning´n valor 0 < T < L. Cuando
                                                        o               u
no haya posibilidad de confusi´n, nos referiremos al per´
                                  o                           ıodo fundamental simplemente como
per´ıodo de la funci´n.
                     o
     La pregunta que nos planteamos es si, dada una funci´n f (x) peri´dica de per´
                                                                 o            o            ıodo 2L,
podemos obtener f (x) como una combinaci´n de senos y cosenos de la forma:
                                               o
                                    +∞
                                                     nπx          nπx
                             a0 +         (an cos        + bn sen     )
                                    n=1
                                                      L            L
    A la serie anterior se le denomina serie de Fourier de f (x) y a los coeficientes ak y bk ,
coeficientes de Fourier.
    La cuesti´n anterior deriva en otras dos: en primer lugar, determinar los coeficientes ak y
              o
bk y posteriormente, establecer si la serie converge a la propia funci´n f (x).
                                                                        o
    Suponiendo que se da la convergencia e integrando t´rmino a t´rmino, puede deducirse la
                                                            e          e
expresi´n de los coeficientes de Fourier:
       o
                L
           1
    a0 =          f (x)dx
          2L −L
          1 L               nπx
    an =         f (x) cos        dx y
          L −L               L
          1 L               nπx
    bn =         f (x) sen        dx, ∀n ≥ 1.
          L −L               L
    Puesto que la funci´n f (x) tiene per´
                          o                ıodo 2L, las integrales anteriores pueden hacerse sobre
cualquier intervalo de longitud 2L, por ejemplo [0, 2L].
    En el caso particular en el que f (x) sea una funci´n de per´
                                                       o        ıodo 2π e integrable en el intervalo
[−π, π], la serie de Fourier de f (x) adquiere la forma:
                                          +∞
                                a0 +            (an cos(nx) + bn sen(nx))
                                          n=1
                   π                           π                            π
             1                     1                                  1
   con a0 =          f (x)dx, an =             f (x) cos(nx)dx y bn =            f (x) sen(nx)dx, ∀n ≥ 1.
            2π    −π               π        −π                        π     −π




                                                       1

                                                                       0        si − π < x < 0
Ejemplo 1 Hallar la serie de Fourier de la funci´n f (x) =
                                                o
                                                                          2      si 0 < x < π
                                                                      

   Consideramos la funcion anterior extendida peri´dicamente a todo R con per´
                                                       o                       ıodo 2L = 2π.
              L                     π
          1                  1
   a0 =         f (x)dx =             2dx = 1.
        2L −L               2π 0
   Para n ≥ 1:
         1 L               nπx           1 π                  2
   an =        f (x) cos           dx =        2 cos(nx)dx =    sen(nx)]π = 0.
                                                                        0
         L −L               L            π 0                 πn
         1 L              nπx            1 π                 −2
   bn =        f (x) sen           dx =        2 sen(nx)dx =    cos(nx)]π =
                                                                        0
        L −L                L            π 0                 πn
       4
      
              si n = 1, 3, 5, ...
   =     πn
      
        0      si n = 2, 4, 6, ...
      
   Por lo tanto, la serie de Fourier de f (x) es:

                                  4                  1          1
                         1+            sen(x) +        sen(3x) + sen(5x) + ...
                                  π                  3          5

Teorema 1 Teorema de convergencia de Dirichlet.
    Sea f (x) peri´dica de per´odo 2L tal que ella y su derivada est´n definidas y son continuas
                  o           ı                                     a
salvo a lo sumo en n´mero finito de discontinuidades de salto.
                      u

  a) Si f (x) es continua en un punto x0 , entonces la serie de Fourier de f (x) converge en ese
     punto a f (x0 ).

                                      +∞
                                                     nπx0          nπx0
                            a0 +           (an cos        + bn sen      ) = f (x0 )
                                   n=1
                                                      L             L

  b) Si f (x) tiene una discontinuidad de salto en x0 , entonces la serie de Fourier de f (x)
     converge en ese punto al punto medio del salto, es decir:

                            +∞
                                               nπx0          nπx0    f (x− ) + f (x+ )
                                                                         0         0
                     a0 +         (an cos           + bn sen      )=
                            n=1
                                                L             L              2

      donde f (x− ) = l´ − f (x) y f (x+ ) = l´ + f (x).
                0      ım              0      ım
                      x→x0                           x→x0


    El teorema anterior nos dice, en particular, que si f (x) verifica esas condiciones podemos
redefinir el valor de f (x) en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto, o
             f (x− ) + f (x+ )
sea, f (x) =                   y entonces la suma de su serie de Fourier coincide con f (x) en cada
                     2
x ∈ R.
Funciones pares e impares.
    Recordemos que una funci´n f (x) es par si f (x) = f (−x) e impar si f (x) = −f (−x). El
                                  o
producto de dos funciones pares es una funci´n par, al igual que el producto de dos funciones
                                                o
impares. Por otra parte, el producto de una funci´n par y otra impar es una funci´n impar.
                                                    o                                  o
    Adem´s:a
a                          a
      Si f (x) es par, entonces         f (x)dx = 2                f (x)dx.
                                  −a                       0
                                        a
      Si f (x) es impar, entonces            f (x)dx = 0.
                                        −a

    Debido a las propiedades anteriores, los desarrollos en series de Fourier de la funciones pares
e impares tienen una expresi´n muy caracter´
                              o                ıstica, como veremos a continuaci´n.o
Caso par:
    Dada una funci´n par f (x) de per´
                    o                 ıodo 2L e integrable en el intervalo [−L, L], entonces su
serie de Fourier es una serie de cosenos, es decir:
                                                  +∞
                                                                      nπx
                                         a0 +           (an cos
                                                  n=1
                                                                       L
    con coeficientes:
          1 L                 2 L              nπx
    a0 =       f (x)dx, an =         f (x) cos       dx, ∀n ≥ 1.
          L 0                 L 0               L
Caso impar:
    Dada una funci´n impar f (x) de per´odo 2L e integrable en el intervalo [−L, L], entonces
                    o                       ı
su serie de Fourier es una serie de senos, es decir:
                                               +∞
                                                                   nπx
                                                     bn sen
                                               n=1
                                                                    L
   con coeficientes:
         2 L             nπx
   bn =        f (x) sen       dx, ∀n ≥ 1.
         L 0              L
   En ocasiones es necesario expresar una funci´n como una serie de Fourier de senos o como
                                                o
una serie de Fourier de cosenos. Esto se hace definiendo la funci´n de manera adecuada fuera
                                                                o
de dicho intervalo para que sea par o impar.

Ejemplo 2 Hallar la serie de Fourier de f (x) = x en [−π, π].
    Observemos en primer lugar que f (x) es una funci´n impar (f (−x) = −x = −f (x)) de
                                                            o
per´
   ıodo 2L = 2π, por lo que su serie de Fourier es una serie de senos.
    Calculamos los coeficientes:
    ∀n ≥ 1:
         2 L               nπx         2 π
    bn =       f (x) sen         dx =           x sen(nx)dx = [por partes : u = x; dv = sen(nx)dx] =
         L 0                L          π 0
                  π                                                          π                      π
2 −x cos(nx)            1 π                   2 −x               1               2 −x
                     +       cos(nx)dx =              cos(nx) + 2 sen(nx) =             cos(nx) + 0 =
π       n        0    n 0                    π n               n            0   π n                0
        2 π
        · =       2
        π n              para n = 1, 3, 5, ...
                   n
       
                                                            2
    =                                              = (−1)n+1 .
        2 −π
                    −2                                     n
        ·
                 =       para n = 2, 4, 6, ...
          π n         n
    Por lo tanto, la serie de Fourier de f (x) es:
                                             +∞
                                                        2
                                                 (−1)n+1 sen(nx).
                                             n=1
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Lecciones 10 Esc. Sabática. El espiritismo desenmascarado docx
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Series de fourier

  • 1. Tema 4: Series de Fourier Las series de Fourier surgen al intentar representar una funci´n peri´dica f (x) en t´rminos o o e de funciones seno y coseno, que son las funciones peri´dicas m´s simples y conocidas. La raz´n o a o se debe a la facilidad con que se resuelven ciertos problemas cuando se transforman estas funciones peri´dicas en series de Fourier. o Recordemos que una funci´n f : R −→ R es peri´dica de per´odo L (o L-peri´dica) cuando o o ı o existe L > 0 tal que f (x + L) = f (x), ∀x ∈ R. En ese caso se tiene autom´ticamente que a f (x + nL) = f (x) para cualesquiera x ∈ R y n ∈ Z. Es obvio que si L es un per´ ıodo de f (x), entonces tambi´n lo son −L, ±2L, ±3L, .... Se denomina per´odo fundamental de una funci´n e ı o peri´dica al per´ o ıodo L > 0 tal que f (x) no es T -peri´dica para ning´n valor 0 < T < L. Cuando o u no haya posibilidad de confusi´n, nos referiremos al per´ o ıodo fundamental simplemente como per´ıodo de la funci´n. o La pregunta que nos planteamos es si, dada una funci´n f (x) peri´dica de per´ o o ıodo 2L, podemos obtener f (x) como una combinaci´n de senos y cosenos de la forma: o +∞ nπx nπx a0 + (an cos + bn sen ) n=1 L L A la serie anterior se le denomina serie de Fourier de f (x) y a los coeficientes ak y bk , coeficientes de Fourier. La cuesti´n anterior deriva en otras dos: en primer lugar, determinar los coeficientes ak y o bk y posteriormente, establecer si la serie converge a la propia funci´n f (x). o Suponiendo que se da la convergencia e integrando t´rmino a t´rmino, puede deducirse la e e expresi´n de los coeficientes de Fourier: o L 1 a0 = f (x)dx 2L −L 1 L nπx an = f (x) cos dx y L −L L 1 L nπx bn = f (x) sen dx, ∀n ≥ 1. L −L L Puesto que la funci´n f (x) tiene per´ o ıodo 2L, las integrales anteriores pueden hacerse sobre cualquier intervalo de longitud 2L, por ejemplo [0, 2L]. En el caso particular en el que f (x) sea una funci´n de per´ o ıodo 2π e integrable en el intervalo [−π, π], la serie de Fourier de f (x) adquiere la forma: +∞ a0 + (an cos(nx) + bn sen(nx)) n=1 π π π 1 1 1 con a0 = f (x)dx, an = f (x) cos(nx)dx y bn = f (x) sen(nx)dx, ∀n ≥ 1. 2π −π π −π π −π 1
  • 2.  0 si − π < x < 0 Ejemplo 1 Hallar la serie de Fourier de la funci´n f (x) = o 2 si 0 < x < π  Consideramos la funcion anterior extendida peri´dicamente a todo R con per´ o ıodo 2L = 2π. L π 1 1 a0 = f (x)dx = 2dx = 1. 2L −L 2π 0 Para n ≥ 1: 1 L nπx 1 π 2 an = f (x) cos dx = 2 cos(nx)dx = sen(nx)]π = 0. 0 L −L L π 0 πn 1 L nπx 1 π −2 bn = f (x) sen dx = 2 sen(nx)dx = cos(nx)]π = 0 L −L L π 0 πn  4   si n = 1, 3, 5, ... = πn  0 si n = 2, 4, 6, ...  Por lo tanto, la serie de Fourier de f (x) es: 4 1 1 1+ sen(x) + sen(3x) + sen(5x) + ... π 3 5 Teorema 1 Teorema de convergencia de Dirichlet. Sea f (x) peri´dica de per´odo 2L tal que ella y su derivada est´n definidas y son continuas o ı a salvo a lo sumo en n´mero finito de discontinuidades de salto. u a) Si f (x) es continua en un punto x0 , entonces la serie de Fourier de f (x) converge en ese punto a f (x0 ). +∞ nπx0 nπx0 a0 + (an cos + bn sen ) = f (x0 ) n=1 L L b) Si f (x) tiene una discontinuidad de salto en x0 , entonces la serie de Fourier de f (x) converge en ese punto al punto medio del salto, es decir: +∞ nπx0 nπx0 f (x− ) + f (x+ ) 0 0 a0 + (an cos + bn sen )= n=1 L L 2 donde f (x− ) = l´ − f (x) y f (x+ ) = l´ + f (x). 0 ım 0 ım x→x0 x→x0 El teorema anterior nos dice, en particular, que si f (x) verifica esas condiciones podemos redefinir el valor de f (x) en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto, o f (x− ) + f (x+ ) sea, f (x) = y entonces la suma de su serie de Fourier coincide con f (x) en cada 2 x ∈ R. Funciones pares e impares. Recordemos que una funci´n f (x) es par si f (x) = f (−x) e impar si f (x) = −f (−x). El o producto de dos funciones pares es una funci´n par, al igual que el producto de dos funciones o impares. Por otra parte, el producto de una funci´n par y otra impar es una funci´n impar. o o Adem´s:a
  • 3. a a Si f (x) es par, entonces f (x)dx = 2 f (x)dx. −a 0 a Si f (x) es impar, entonces f (x)dx = 0. −a Debido a las propiedades anteriores, los desarrollos en series de Fourier de la funciones pares e impares tienen una expresi´n muy caracter´ o ıstica, como veremos a continuaci´n.o Caso par: Dada una funci´n par f (x) de per´ o ıodo 2L e integrable en el intervalo [−L, L], entonces su serie de Fourier es una serie de cosenos, es decir: +∞ nπx a0 + (an cos n=1 L con coeficientes: 1 L 2 L nπx a0 = f (x)dx, an = f (x) cos dx, ∀n ≥ 1. L 0 L 0 L Caso impar: Dada una funci´n impar f (x) de per´odo 2L e integrable en el intervalo [−L, L], entonces o ı su serie de Fourier es una serie de senos, es decir: +∞ nπx bn sen n=1 L con coeficientes: 2 L nπx bn = f (x) sen dx, ∀n ≥ 1. L 0 L En ocasiones es necesario expresar una funci´n como una serie de Fourier de senos o como o una serie de Fourier de cosenos. Esto se hace definiendo la funci´n de manera adecuada fuera o de dicho intervalo para que sea par o impar. Ejemplo 2 Hallar la serie de Fourier de f (x) = x en [−π, π]. Observemos en primer lugar que f (x) es una funci´n impar (f (−x) = −x = −f (x)) de o per´ ıodo 2L = 2π, por lo que su serie de Fourier es una serie de senos. Calculamos los coeficientes: ∀n ≥ 1: 2 L nπx 2 π bn = f (x) sen dx = x sen(nx)dx = [por partes : u = x; dv = sen(nx)dx] = L 0 L π 0 π π π 2 −x cos(nx) 1 π 2 −x 1 2 −x + cos(nx)dx = cos(nx) + 2 sen(nx) = cos(nx) + 0 = π  n 0 n 0 π n n 0 π n 0  2 π  · = 2  π n para n = 1, 3, 5, ... n  2 = = (−1)n+1 .  2 −π  −2 n  ·  = para n = 2, 4, 6, ... π n n Por lo tanto, la serie de Fourier de f (x) es: +∞ 2 (−1)n+1 sen(nx). n=1 n