Series de fourier, Transformadas Integrales

1. Tema 4: Series de Fourier
Las series de Fourier surgen al intentar representar una funci´n peri´dica f (x) en t´rminos
o o e
de funciones seno y coseno, que son las funciones peri´dicas m´s simples y conocidas. La raz´n
o a o
se debe a la facilidad con que se resuelven ciertos problemas cuando se transforman estas
funciones peri´dicas en series de Fourier.
o
Recordemos que una funci´n f : R −→ R es peri´dica de per´odo L (o L-peri´dica) cuando
o o ı o
existe L > 0 tal que f (x + L) = f (x), ∀x ∈ R. En ese caso se tiene autom´ticamente que
a
f (x + nL) = f (x) para cualesquiera x ∈ R y n ∈ Z. Es obvio que si L es un per´ ıodo de f (x),
entonces tambi´n lo son −L, ±2L, ±3L, .... Se denomina per´odo fundamental de una funci´n
e ı o
peri´dica al per´
o ıodo L > 0 tal que f (x) no es T -peri´dica para ning´n valor 0 < T < L. Cuando
o u
no haya posibilidad de confusi´n, nos referiremos al per´
o ıodo fundamental simplemente como
per´ıodo de la funci´n.
o
La pregunta que nos planteamos es si, dada una funci´n f (x) peri´dica de per´
o o ıodo 2L,
podemos obtener f (x) como una combinaci´n de senos y cosenos de la forma:
o
+∞
nπx nπx
a0 + (an cos + bn sen )
n=1
L L
A la serie anterior se le denomina serie de Fourier de f (x) y a los coeficientes ak y bk ,
coeficientes de Fourier.
La cuesti´n anterior deriva en otras dos: en primer lugar, determinar los coeficientes ak y
o
bk y posteriormente, establecer si la serie converge a la propia funci´n f (x).
o
Suponiendo que se da la convergencia e integrando t´rmino a t´rmino, puede deducirse la
e e
expresi´n de los coeficientes de Fourier:
o
L
1
a0 = f (x)dx
2L −L
1 L nπx
an = f (x) cos dx y
L −L L
1 L nπx
bn = f (x) sen dx, ∀n ≥ 1.
L −L L
Puesto que la funci´n f (x) tiene per´
o ıodo 2L, las integrales anteriores pueden hacerse sobre
cualquier intervalo de longitud 2L, por ejemplo [0, 2L].
En el caso particular en el que f (x) sea una funci´n de per´
o ıodo 2π e integrable en el intervalo
[−π, π], la serie de Fourier de f (x) adquiere la forma:
+∞
a0 + (an cos(nx) + bn sen(nx))
n=1
π π π
1 1 1
con a0 = f (x)dx, an = f (x) cos(nx)dx y bn = f (x) sen(nx)dx, ∀n ≥ 1.
2π −π π −π π −π
1

2. 
 0 si − π < x < 0
Ejemplo 1 Hallar la serie de Fourier de la funci´n f (x) =
o
2 si 0 < x < π

Consideramos la funcion anterior extendida peri´dicamente a todo R con per´
o ıodo 2L = 2π.
L π
1 1
a0 = f (x)dx = 2dx = 1.
2L −L 2π 0
Para n ≥ 1:
1 L nπx 1 π 2
an = f (x) cos dx = 2 cos(nx)dx = sen(nx)]π = 0.
0
L −L L π 0 πn
1 L nπx 1 π −2
bn = f (x) sen dx = 2 sen(nx)dx = cos(nx)]π =
0
L −L L π 0 πn
 4

 si n = 1, 3, 5, ...
= πn

0 si n = 2, 4, 6, ...

Por lo tanto, la serie de Fourier de f (x) es:
4 1 1
1+ sen(x) + sen(3x) + sen(5x) + ...
π 3 5
Teorema 1 Teorema de convergencia de Dirichlet.
Sea f (x) peri´dica de per´odo 2L tal que ella y su derivada est´n definidas y son continuas
o ı a
salvo a lo sumo en n´mero finito de discontinuidades de salto.
u
a) Si f (x) es continua en un punto x0 , entonces la serie de Fourier de f (x) converge en ese
punto a f (x0 ).
+∞
nπx0 nπx0
a0 + (an cos + bn sen ) = f (x0 )
n=1
L L
b) Si f (x) tiene una discontinuidad de salto en x0 , entonces la serie de Fourier de f (x)
converge en ese punto al punto medio del salto, es decir:
+∞
nπx0 nπx0 f (x− ) + f (x+ )
0 0
a0 + (an cos + bn sen )=
n=1
L L 2
donde f (x− ) = l´ − f (x) y f (x+ ) = l´ + f (x).
0 ım 0 ım
x→x0 x→x0
El teorema anterior nos dice, en particular, que si f (x) verifica esas condiciones podemos
redefinir el valor de f (x) en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto, o
f (x− ) + f (x+ )
sea, f (x) = y entonces la suma de su serie de Fourier coincide con f (x) en cada
2
x ∈ R.
Funciones pares e impares.
Recordemos que una funci´n f (x) es par si f (x) = f (−x) e impar si f (x) = −f (−x). El
o
producto de dos funciones pares es una funci´n par, al igual que el producto de dos funciones
o
impares. Por otra parte, el producto de una funci´n par y otra impar es una funci´n impar.
o o
Adem´s:a

3. a a
Si f (x) es par, entonces f (x)dx = 2 f (x)dx.
−a 0
a
Si f (x) es impar, entonces f (x)dx = 0.
−a
Debido a las propiedades anteriores, los desarrollos en series de Fourier de la funciones pares
e impares tienen una expresi´n muy caracter´
o ıstica, como veremos a continuaci´n.o
Caso par:
Dada una funci´n par f (x) de per´
o ıodo 2L e integrable en el intervalo [−L, L], entonces su
serie de Fourier es una serie de cosenos, es decir:
+∞
nπx
a0 + (an cos
n=1
L
con coeficientes:
1 L 2 L nπx
a0 = f (x)dx, an = f (x) cos dx, ∀n ≥ 1.
L 0 L 0 L
Caso impar:
Dada una funci´n impar f (x) de per´odo 2L e integrable en el intervalo [−L, L], entonces
o ı
su serie de Fourier es una serie de senos, es decir:
+∞
nπx
bn sen
n=1
L
con coeficientes:
2 L nπx
bn = f (x) sen dx, ∀n ≥ 1.
L 0 L
En ocasiones es necesario expresar una funci´n como una serie de Fourier de senos o como
o
una serie de Fourier de cosenos. Esto se hace definiendo la funci´n de manera adecuada fuera
o
de dicho intervalo para que sea par o impar.
Ejemplo 2 Hallar la serie de Fourier de f (x) = x en [−π, π].
Observemos en primer lugar que f (x) es una funci´n impar (f (−x) = −x = −f (x)) de
o
per´
ıodo 2L = 2π, por lo que su serie de Fourier es una serie de senos.
Calculamos los coeficientes:
∀n ≥ 1:
2 L nπx 2 π
bn = f (x) sen dx = x sen(nx)dx = [por partes : u = x; dv = sen(nx)dx] =
L 0 L π 0
π π π
2 −x cos(nx) 1 π 2 −x 1 2 −x
+ cos(nx)dx = cos(nx) + 2 sen(nx) = cos(nx) + 0 =
π  n 0 n 0 π n n 0 π n 0
 2 π
 · = 2
 π n para n = 1, 3, 5, ...
n

2
= = (−1)n+1 .
 2 −π
 −2 n
 ·
 = para n = 2, 4, 6, ...
π n n
Por lo tanto, la serie de Fourier de f (x) es:
+∞
2
(−1)n+1 sen(nx).
n=1
n