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Series de Fourier




"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",   1
Genaro González
La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:

                                     π − t ∞ sen(nt )
                            f (t ) =       =∑           =
                                       2    n =1 n
                                      sen(2t ) sen(3t )
                            sen(t ) +          +        + ...
                                          2       3
                              ¿Es cierto?

                              Observemos que en t = 0
                              hay problemas → π/2 = 0 ¡¡

  La clave está en el concepto de función periódica.       2
Funciones Periódicas
Una función periódica f(t) cumple que para todo
valor de t:
                      f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante
T que cumple lo anterior se le llama el periodo
fundamental (o simplemente periodo) de la
función.
Observa que:
     f(t) = f(t + nT), donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,...

                                                   3
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
                                   f(t) = cos ( 3 ) + cos (
                                                t                       t
                                                                        4    )?
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
 f(t + T) = cos (   t +T
                      3    ) + cos (   t +T
                                         4    ) = f(t) = cos ( 3 ) + cos (
                                                               t             t
                                                                             4   )

Como cos(t + 2kπ) = cos(t) para cualquier entero k,
entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere
que:
                  T/3 = 2k1π y T/4 = 2k2π.
Es decir:
                       T = 6k1π = 8k2π
con k1 y k2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es
decir, T = 24π.                                                                      4
Gráfica de la función              f(t) = cos ( 3 ) + cos (
                                                  t             t
                                                                4   )
       3
                T          f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
       2

       1
f(t)




       0

       -1

       -2
                     24π
       -3
            0       50         100           150       200
                                        t

                                                                        5
¿Es la suma de dos funciones
periódicas una función periódica?
Depende. Consideremos la función:

            f(t) = cos(ω1t) + cos(ω2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos
enteros m, n tales que:
                        ω1T = 2π m y ω2T = 2π n.
Es decir, que cumplan:
                                      ω1 m
T = m/ (2π ω1) = n/ (2π ω2)             =
                                      ω2 n     6
Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((π+3)t)
tenemos que              ω     3     1
                                         =
                                ω2           3+ π
¿Es periódica?
                        f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
       2



       1
f(t)




       0



   -1



   -2
           0   5   10           15               20   25   30
                                             t                  7
Para que exista periodicidad ω1/ ω2 debe ser
un número racional (n/m).

Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:

1)   f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2)   f(t) = sen2(2πt)
3)   f(t) = sen(t) + sen(t + π/2)
4)   f(t) = sen(ω1t) + cos(ω2t)
5) f(t) = sen(√2 t)                            8
Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo
T < min(T1,T2)?

                    T1 = 5




                    T2 = 5




                     T = 2,5




                                                      9
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de
igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan
pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
                               1                                      1
                                                                 0≤t ≤
          sen(2 Nπt ), 0 ≤ t ≤ N                  0,                  N
f1 (t ) =                              f 2 (t ) = 
                        1                                         1
           0,             < t <1                  sen(2 Nπt ),    < t <1
                       N                                        N
extendida periódicamente con T = 1:      extendida periódicamente con T = 1:
 f1 (t ) = f1 (t + 1), − ∞ < t < +∞      f 2 (t ) = f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞

                               sen(2 Nπt )                 , 0 ≤ t <1
         f1 (t ) + f 2 (t ) = 
                               f1 (t + 1) + f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞
                          2π   2π   1
                       T=    =    =
                          ω 2 Nπ N                                       10
¿Puede una función f(t) cumplir la condición
 f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo
 fundamental?

           1             si t es un entero
 f1 (t ) = 
           0         si t no es un entero
                        1       si t y t + T son enteros
f1 (t ) = f1 (t + T ) = 
                        0   si t y t + T no son enteros
⇒ T =1
                                                        11
1           si t es racional pero no un entero
f 2 (t ) = 
           0              si t es irracional o es un entero
                          1   si t y t + T son racionales pero no enteros
f 2 (t ) = f 2 (t + T ) = 
                          0          si t y t + T son irracionales o enteros
⇒ T =1



                           1 si t es racional
     f1 (t ) + f 2 (t ) = 
                           0 si t es irracional

                       T=?                                               12
Volvamos al resultado π − t = sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ...
de Euler:               2                  2             3
                             S (t ) = e it + e i 2t + e i 3t + ...
                             
 ¿Cómo lo alcanzó?            it
                             e S (t ) = e i 2t + e i 3t + ...
                             
 Utilizando la fórmula de                            e it      1 1 sen t
 Euler para cada término:                 S (t ) =          = − +i
                                                   1 − e it    2 2 1 − cos t
S (t ) = e + e + e + ... =
          it    i 2t     i 3t


cos t + cos(2t ) + cos(3t ) + ... + i { sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ...}

                     1
                 −
Integrando           2             sen(2t ) sen(3t )          1
término a término:         sen t +         +         + ... = − t + C
                                      2        3              2
Particularizamos t            π         1 1 1              π         π
para encontrar C:          t = → 1 − + − + ... = − + C ; C =
                               2     5 
                                        3  7              4        2
                                           π                             13
                                           4
π −t           sen(2t ) sen(3t )
      = sen t +         +         + ...
   2               2        3
π +t               sen(−2t ) sen(−3t )
     = sen(− t ) +           +           + ...
  2                    2          3
t π                 sen(2t ) sen(3t )
  + = − sen(t ) −           −         − ...
2 2                    2        3

       Fourier series java applet
       (http://www.falstad.com/fourier/)         14
(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.

(2) La serie es una función impar.
No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de
periodos enteros.

(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.
Pero no fuera del intervalo...

(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.

(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...
Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o
sospechada ni por Euler, ni por Fourier...             15
Leonhard Euler
Jean         1707-1783
d'Alembert
1717-1783




Daniel
             Lagrange
Bernouilli
1700-1782




                        16
Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.
Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible
tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de una
función. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una 17   función.
Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.
18
En realidad la forma de solucionar el problema por parte
de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta.
Se basó en la superposición de ondas y tomó como
solución:

un(x,t) = sin(nx) cos(nt)

donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos
o nodos.


                      ∞
         u( x ,t ) = ∑ an sen( nx ) cos( nt )
                     n =1

    Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...
                                                             19
Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)


∂ u( x ,t ) ∂ u( x ,t )
  2                  2
               =              ; c.i . y c.c.
      ∂t 2
                      ∂x 2

X ' ' ( x ) + λX ( x ) = 0 , x ∈ ( 0 ,1 ), X ( 0 ) = X ( 1 ) = 0
T ' ' ( t ) + λT ( t ) = 0 , t > 0.

Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:

                                 ∞
      f ( x ) = u( x ,0 ) = ∑ an sen( nx )
                                 n =1

con una adecuada elección de los coeficientes an...
                                                             20
Joseph Fourier
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente
artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse
en forma de serie trigonométrica
semejante al ejemplo de Euler.     Jean Baptiste Joseph Fourier
                                                1768-1830




Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
era uno de los muchos que opinaba que algo así
era simplemente imposible...                                21
Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.
Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).




                                                                             22
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la
ecuación del calor o de difusión:


               ∂ u 1 ∂u
                 2
                    =
               ∂x 2
                      k ∂t

Describe cómo el calor o una gota de tinta se
difunden en un medio.

Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables
trasatlánticos, edad de la Tierra,...
                                                     23
∂ 2u( x ,t ) 1 ∂u( x ,t )                   u( x ,t ) = X ( x )T ( t )
             =
   ∂x  2
               k ∂t                         X ( x )T ' ( t ) = X ' ' ( x )T ( t )
u( 0 ,t ) = u( π,t ) = 0; t ≤ 0
                                            con X ( 0 ) = X ( π ) = 0
u( x ,0 ) = f ( x ); 0 ≤ x ≤ π

  Dividiendo entre X(x)T(t):
T' ( t ) X ' ' ( x )
        =            =A          , A = cte.
T( t )    X( x )
T ' ( t ) = AT ( t ); T ( t ) = C0 e At
X ' ' ( x ) = AX ( x ); X ( x ) = C1 cos( − A x ) + C2 sen( − A x )

    C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...
                                                                   − n 2t
                                                u n ( x ,t ) = e            sen( nx )   24
− n 2t
La combinación lineal de soluciones   u n ( x ,t ) = e            sen( nx )
será también solución:

                              ∞
               u( x , t ) = ∑ a n u n ( x , t )
                              n =1


  Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los
  coeficientes an.




                                                                              25
Serie trigonométrica de Fourier
 Algunas funciones periódicas f(t) de periodo
 T pueden expresarse por la siguiente serie,
 llamada serie trigonométrica de Fourier

f (t ) = 1 a0 + a1 cos(ω0t ) + a2 cos(2ω0t ) + a3 cos(3ω0t ) + ...
         2

         ... + b1sen(ω0t ) + b2 sen(2ω0t ) + b3 sen(3ω0t ) + ...

 Donde ω0 = 2π/T se denomina frecuencia
 fundamental.
                     ∞
  f (t ) = a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
           1
           2
                                                              26
                    n =1
π −t           sen(2t ) sen(3t )
       = sen t +         +         + ...
    2               2        3
              ∞
f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
         2
              n =1


     a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...

     b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...
                                              27
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
 Dada una función periódica f(t), ¿cómo se
 obtiene su serie de Fourier?
               ∞
  f(t) = 1 a0 + ∑ [an cos (nω0t) + bn sen(nω0t)]
         2
              n =1

 Necesitamos calcular los coeficientes
 a0,a1,a2,...,b1,b2,...

 Lo haremos gracias a la ortogonalidad de
 las funciones seno y coseno.
                                                   28
Ortogonalidad

Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)}
son ortogonales en el intervalo a < t < b si
dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de
dicho conjunto cumplen:

    b
                         0    para m ≠ n
    ∫
    a
        f m(t)f n(t)dt = 
                         rn   para m = n


                                             29
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el
intervalo –1 < t < 1, ya que:
                1         1          4   1
                                     t
                ∫1t t dt = −∫1t dt = 4        =0
                    2         3

                −                        −1


Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son
ortogonales en el intervalo –π < t <π, ya que
            π                       2    π
                            sen t
           ∫π sent cos tdt = 2
           −                             −π
                                              =0



¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?
                                                        30
Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un
par de funciones, el siguiente es un conjunto de
una infinidad de funciones ortogonales en el
intervalo -T/2< t < T/2:

{1, cos(ω0t), cos(2ω0t), cos(3ω0t),...,
sen(ω0t), sen2ω0t, sen3ω0t,...}

con ω0= 2π/Τ.


                                                   31
Vamos a verificarlo probándolo a pares:

1.- f(t) = 1 vs. cos(mω0t):          ω0= 2π/Τ


         T/ 2                          T/ 2
                           sen(mω0t)
          ∫ 1cos (mω0t)dt = mω0
         −T/ 2                         −T/ 2
                                               =

           2 sen(mω0T/ 2 ) 2 sen(mπ )
         =                =           =0
                mω0           mω0

Ya que m es un entero.
                                                   32
2.- f(t) = 1 vs. sen(mω0t):                          ω0= 2π/Τ
T/ 2                              T/ 2
                  − cos (mω0t)
 ∫ 1 sen(mω0t)dt = mω0
−T/ 2                             −T/ 2
                                          =

                    −1
                 =     [ cos (mω0T/ 2 )- cos (mω0T/ 2 )] = 0
                   mω0

                                  cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]
3.- cos(mω0t) vs. cos(nω0t):              cos2θ = ½ (1+cos2θ)


  T /2
                                0         para m ≠ n
   ∫/ cos(mω0 t)cos(nω0 t)dt = T / 2
  −T 2                                   para m = n ≠ 0
                                                                33
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]
                               sen2 A =½ (1-cos2θ)
4.- sen(mω0t) vs. sen(nω0t):

    T/ 2
                               0          para m ≠ n
    ∫ 2sen(mω0t)sen(nω0t)dt = T/ 2
   −T/                                   para m = n ≠ 0

5.- sen(mω0t) vs. cos(nω0t):
                               sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
    T/ 2

     ∫ sen(mω t) cos (nω t)dt = 0
   −T/ 2
              0         0             para cualquier m,n

                                                               34
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?

 Vamos a aprovechar la ortoganilidad que
 acabamos de demostrar del conjunto de
 funciones: {1, cos(ω0t), cos(2ω0t), cos(3ω0t),...,
 sen(ω0t), sen2ω0t, sen3ω0t,...}
 con ω0= 2π/Τ, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para
 calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,...
 de la serie de Fourier:
                 ∞
  f(t) = 1 a0 + ∑ [an cos (nω0t) + bn sen(nω0t)]
         2
                n =1
                                                      35
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por
cos(mω0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
     T /2                                  T /2             0, si m ≠ 0
       ∫
     −T / 2
            f (t ) cos(mω0t )dt = 1 a0
                                  2          ∫ cos (mω t)dt +
                                           −T / 2
                                                        0


      ∞           T /2                                   0, si m ≠ 0
     ∑ a ∫ cos (nω t) cos (mω t)dt +
     n =1
              n            0           0                 T/2, si m = n
                  −T / 2
      ∞           T /2             0
     ∑ b ∫ sen(nω t) cos (mω t)dt
     n =1
              n            0           0
                  −T / 2


                  T /2
 am = T
      2
                   ∫ f (t ) cos(mω t )dt
              −T / 2
                                  0                 m = 1, 2, 3,...
                                                                   36
Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar a parte:
       T /2                                  T /2            T, si m = 0

         ∫
       −T / 2
              f (t ) cos(mω0t )dt = 1 a0
                                    2          ∫ cos (mω t)dt +
                                             −T / 2
                                                         0


        ∞           T /2                                  0, si m ≠ 0
       ∑ a ∫ cos (nω t) cos (mω t)dt +
       n =1
                n            0           0
                                                          T/2, si m = n
                    −T / 2
                    T /2             0
        ∞

       ∑ b ∫ sen(nω t) cos (mω t)dt =
       n =1
                n            0           0
                    −T / 2

       1                                              T /2
         a0T                              2
       2                             a0 =
                                          T             ∫
                                                      −T / 2
                                                             f (t )dt
                                                                    37
Similarmente, multiplicando por sen(mω0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
     T /2                                   T /2                0

       ∫
     −T / 2
            f (t ) sen(mω0t) dt = 1 a0
                                  2           ∫ sen(mω t)dt +
                                            −T / 2
                                                           0


                   T /2
                                    0
      ∞

     ∑ a ∫ cos (nω t)sen(mω t)dt +
     n =1
               n            0           0
                   −T / 2
      ∞            T /2                                    0, si m ≠ 0
     ∑ b ∫ sen(nω t)sen(mω t)dt
     n =1
              n             0           0
                                                           T/2, si m = n
                   −T / 2

              T /2
bm = T
     2
                ∫ f (t )sen(mω t )dt
              −T / 2
                                0                    m = 1, 2, 3,...
                                                                       38
Un ejemplo históricamente importante:
Encontrar la serie de Fourier para la función
de onda cuadrada de periodo T:
                                     f(t)
                                 1

                                                         t
                 ...   -T
                            /2   0
                                            /2
                                            T    T ...


                                     -1

La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
           − 1 para − T < t < 0
  f (t ) =            2
                                                  ω0= 2π/Τ
            1   para 0 < t < T
                              2
                                                             39
Coeficiente a0:
                                               T /2

         − 1 para − T < t < 0
f (t ) =            2
                                 a0 = T
                                      1
                                                ∫ f (t )dt
                                              −T / 2
          1   para 0 < t < T
                            2




         0       T /2
                                     0           T /2
                                                          
 a0 = T  ∫ − dt + ∫ dt  = T − t
      2                     2
                                              +t          =0
         −T / 2   0         
                                    −T / 2           0   
                                                          




                                                                40
Coeficientes an:

                                           T /2
          − 1 para − T < t < 0
 f (t ) = 
            1
                      2

                para 0 < t < T
                                  an = T
                                       2
                                             ∫ f (t ) cos(nω t )dt
                                                            0
                            2             −T / 2


           0                    T /2
                                                    
   an = T  ∫ − 1⋅ cos(nω0t )dt + ∫ 1⋅ cos(nω0t )dt 
        2

           −T / 2                0                 
         1                 0
                                    1
                                                  T /2
                                                       
    = T −
      2
               sen(nω0t )        +      sen(nω0t )  = 0
         nω 0
                         −T / 2   nω 0            0  
                                                        para n ≠ 0

                                                                     41
Coeficientes bn:
                                            T /2
           − 1 para − T < t < 0
  f (t ) =            2           bn = T
                                        2
                                              ∫ f (t )sen(nω t )dt
                                                            0

            1   para 0 < t < T
                              2
                                            −T / 2

               0                 T /2
                                                  
       bn = T  ∫ − sen(nω0t )dt + ∫ sen(nω0t )dt  =
            2

               −T / 2             0              
          1                 0
                                     1             T /2
                                                        
      =T
       2
                cos(nω0t )        −      cos(nω0t ) 
          nω 0
                          −T / 2   nω 0            0  
               1
            =     [ (1 − cos(nπ )) − (cos(nπ ) − 1)]
              nπ
            =
               2
              nπ
                 [1 − (−1) n )] para n ≠ 0
                                                                 42
Finalmente, la serie de Fourier queda como
         4
 f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...]
         π               3               5


         4 ∞ 1
 f (t ) = ∑            sen( (2n − 1)ω0t ) )
         π n =1 2n − 1
En la siguiente figura se muestran: la
componente fundamental y los armónicos 3,
5 y 7, así como la suma parcial de estos
primeros cuatro términos de la serie para
ω0 = π (ω0= 2π/Τ), es decir, T = 2:
                                                             43
4
  f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...]
          π              3              5

                          Componentes de la Serie de Fourier
              1.5

                1
Componentes




              0.5

                0

        -0.5
                                                               Suma
                                                               fundamental
               -1                                              tercer armó nico
                                                               quinto armó nico
                                                               sé ptimo armó nico
        -1.5
            -1                  -0.5             0     t       0.5                  1
                                                                                        44
                    Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
Nota:
       Para expresarse como serie de Fourier
f(t), no necesita estar centrada en el origen.
Simplemente debemos tomar el intervalo,
donde está definida, como el periodo de la
serie.
La ortogonalidad de las funciones seno y
coseno no sólo se da en el intervalo de
–T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que
cubra un periodo completo:
        de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,
con el mismo resultado.                      45
Habíamos calculado                                         f(t)
                                                     1
  los coeficientes para:
                                                                                          t
                                     ...   -T
                                                /2   0
                                                                    /2
                                                                    T        T ...
         − 1 para − T / 2 < t < 0
f (t ) = 
         1    para 0 < t < T / 2                            -1


 Si los calculamos para la misma función desplazada
 tienen que ser los mismos:            f(t)
                                                     1
          1 para 0 ≤ t < T / 2
f (t ) =                                                                                 t
         − 1 para T / 2 ≤ t < T                /2                      /2
                                     ...   -T            0          T        T ...


                                                             -1
 Repite los cálculos y compruébalo.                                                  46
f(t)
De hecho si repetimos                                    1
para cualquier intervalo
                                                                                   t
de longitud el periodo
T de la función, será lo
                                                             -1
mismo:                                   ...
                                                  t0                 t0 +T   ...



         T /2                T                 t 0 +T

a0 = T
     1
           ∫
         −T / 2
                f (t )dt = T ∫ f (t )dt = T
                           2

                             0
                                          2
                                                 ∫
                                                t0
                                                        f (t )dt = T ∫ f (t )dt
                                                                   2

                                                                       T

         T /2
an = T
     2
           ∫
         −T / 2
                f (t ) cos(nω0t )dt = ... = T ∫ f (t ) cos(nω0t )dt
                                            2

                                                     T
          T /2
bn = T
     2
           ∫
         −T / 2
                  f (t ) sen(nω0t )dt = ... = T ∫ f (t ) sen(nω0t )dt
                                              2

                                                         T                         47
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para

                           π −t
                  f (t ) =
                             2
la función con la que empezamos el tema.
O sea, demostrar que Euler tenía razón.




                                                48
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
                                                     2π
                f (t ) = 1 + cos(3t ) de periodo T =
                                                      3
                                          2π
                                           3
                    2             3
                a0 = ∫ f (t )dt =          ∫ (1 + cos(3t ))dt = 2
                    T T           π        0
                                  2π

    2                        3     3
                                                                     1, si n = 1
an = ∫ f (t ) cos(nω0t )dt =         ∫ (1 + cos(3t )) cos(nω0t )dt = 0, si n ≠ 1
    T T                      π       0                               
                                 2π
                                  3
    2                        3
bn = ∫ f (t ) sen(nω0t )dt =     ∫ (1 + cos(3t ))sen(nω t )dt = 0
                                                           0         para todo n
    T T                      π   0
                                                                               La serie
                                 en definitiva                                 es la
                    ∞                     ∞                                    propia
         f (t ) = 1 + ∑ an cos(nω0t ) + ∑ bn sen(nω0t ) = 1 + cos(3t )         función...
                   n =1                   n =1                                      49
Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida
sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de
Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al
intervalo de definición. En muchos libros se habla de
extender de forma par o impar una función. La serie de
Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:




                                                        t
                                   Extensión par




                                                         t
                                     Extensión impar         50
Funciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice
función par (o con simetría par) si su
gráfica es simétrica respecto al eje vertical,
es decir, la función f(t) es par si
                                  f(t) = f(-t)
                      f(t)


                                         t
      −2π     −π             π      2π


                                             51
En forma similar, una función f(t) se dice
función impar (o con simetría impar), si su
gráfica es simétrica respecto al origen, es
decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)


                     f(t)


                                       t
      −2π    −π             π     2π



                                           52
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son
pares o impares?
f(t) = t + 1/t ,
g(t) = 1/(t2+1).

Solución:
Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es
función impar.
Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por
lo tanto g(t) es función par.

                                                  53
Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o
impar? (f es una función arbitraria).

Solución:
Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).
Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),
finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que
h(t) es función par, sin importar como sea
f(t).

                                            54
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior,
todas las funciones siguientes son pares:

h(t) = sen (1+t2)
h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)
h(t) = cos (2+t2) + 1
h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2
etc...
Ya que todas tienen la forma f(1+t2).
                                        55
• Si f (x) es par:
                a                a

                ∫ f ( x)dx
                −a
                             = 2 ∫ f ( x)dx
                                 0

a                                             a

∫    f ( x)dx                                 ∫ f ( x)dx
                                              0
−a




                       -a       a

                                                           56
• Si f (x) es impar:
               a

               ∫ f ( x)dx = 0
              −a




a

∫ f ( x)dx
−a



                   -a    a

                                57
Como la función sen(nω0t) es una función
 impar para todo n y la función cos(nω0t) es
 una función par para todo n, es de esperar
 que:

• Si f(t) es par, su serie de Fourier no
  contendrá términos seno, por lo tanto
  bn= 0 para todo n.

• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no
  contendrá términos coseno, por lo tanto
  an= 0 para todo n.                     58
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos
analizado:
                                  f(t)
                              1

                                                      t
              ...   -T
                         /2   0
                                         /2
                                         T    T ...


                                  -1

Es una función impar, por ello su serie de
Fourier no contiene términos coseno:
         4
 f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...]
         π              3              5

                                                          59
P2. Septiembre 2005

 a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones

      f ( x) = sin x    y    g ( x) = cos x en − π ≤ x ≤ π

Respuesta.


            a0 ∞
    f ( x) = + ∑ [ an cos(nx) + bn sin( nx)]
            2 n =1

f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica

Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0
                                                                 60
1 π                      2 π
an = ∫ f ( x) cos(nx)dx = ∫ sin x cos(nx)dx =
    π −π                      π 0
  1 π
= ∫ [ sin(1 + n) x + sin(1 − n) x ] dx =
  π 0
  1 2
=        [ cos(n − 1)π − 1]
  π n −1
      2




     4           −4
 a0 = ; a n =           , n par; an = 0, n impar
     π        π (n − 1)
                  2



                                                   61
2 ∞ 4 cos(2nx)
         sin x = − ∑
                π n =1 π 4n − 1
                           2




 f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódica

 Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0

    1 π                    4 π /2
an = ∫ g ( x) cos(nx)dx = ∫ cos x cos(nx)dx =
    π −π                   π 0
  2 π /2
= ∫ [ cos(n + 1) x + cos(n − 1) x ] dx
  π 0                                       62
4           ±4
a0 = ; a n =           , n par; an = 0, n impar
    π        π (n − 1)
                 2



          2      4 (−1) cos(2nx)
                   ∞         n
   cos x = − ∑
          π n =1 π     4n − 1
                         2




                                                  63
Onda triangular
       (Triangle Wave)




π 4  cos x cos 3 x cos 5 x    
 −  2 +           +        + 
2 π 1        3 2
                      5 2
                               

                                   64
Right Triangular Wave




  sin x sin 2 x sin 3 x    
2      −       +        − 
  1        2       3       
                                65
Saw Tooth Wave




      sin x sin 2 x sin 3 x    
π − 2      +       +        + 
      1        2       3       
                                    66
Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para

         f (t ) = cos(αt ), − π < t < π
con periodo T = 2π (frecuencia fundamental
ω0 = 1) y α un número real no entero, es:


            sen(α π ) 1      ∞
                                   (−1) n
                                                      
cos(α t ) =            + 2α ∑ 2            cos(n t ) 
               π      α     n =1 α − n
                                          2
                                                      



                                                    67
sen(α π ) 1      ∞
                                   (−1) n
                                                      
cos(α t ) =            + 2α ∑ 2            cos(n t ) 
               π      α     n =1 α − n
                                          2
                                                      
−π < t < π

Observa que si tomamos t = 0 entonces:

              π      1           (−1)
                                 ∞        n
                    = + 2α ∑ 2
           sen(α π ) α     n =1 α − n
                                      2


y con α = 1/2.
                 ∞
                    (−1) n            ∞
                                           (−1) n
     π = 2+∑                  = 2 + 4∑
           n =1 (1 / 2) − n
                       2    2
                                     n =1 1 − 4n 2   68
sen(α π ) 1      ∞
                                   (−1) n
                                                      
cos(α t ) =            + 2α ∑ 2            cos(n t ) 
               π      α     n =1 α − n
                                          2
                                                      
−π < t < π

O que si tomamos t = π entonces:    cos(π t ) = (−1)   n



                sen(α π ) 1         ∞
                                           1  
    cos(α π ) =           α + 2α ∑ α 2 − n 2 
                   π               n =1      
              π       1        ∞
                                       1
                    = + 2α ∑ 2
          tan(α π ) α         n =1 α − n
                                         2



     ¿Es correcto el resultado?                     69
Convergencia uniforme
Que la integral traspase los sumatorios en la
deducción de las fórmulas para los coeficientes
de la serie de Fourier, equivale a asumir que la
serie converge uniformemente... Recordemos
qué es convergencia uniforme.
                                  ∞
Sea la serie infinita:   S ( x) = ∑ un ( x)
                                 n =1


y definamos sus sumas parciales como:
                                                   k
                                        S k ( x) = ∑ un ( x)
                                                  n =1     70
Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si
∀ε > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:

    S k ( x) − f ( x) < ε siempre que k > N
Observemos que en general N dependerá de ε y
del punto x (convergencia puntual).
Si N solo depende de ε, pero no de x, decimos que
la convergencia es uniforme.

Que la serie sea uniformemente convergente es
"bueno" porque:

                                                        71
(1) Si cada término un(x) de una serie es
continuo en (a, b) y la serie es uniformemente
convergente a f(x), entonces:

(a) f(x) es también continua en (a, b).
       b ∞               ∞

      ∫ ∑ u ( x)dx = ∑ ∫ u ( x)dx
                                b
(b)              n                  n
      a                         a
          n =1           n =1

(2) Si cada término un(x) de una serie posee
derivada en (a, b) y la serie derivada es
uniformemente convergente, entonces:
                     ∞          ∞
             d                   d
                ∑ un ( x) = ∑ dx un ( x)
             dx n =1        n =1
                                                 72
¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie?

(1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y
aplicar la definición o

(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:

Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| ≤ Mn y además
 ∞                       ∞

∑M
 n =1
        n   converge ⇒   ∑ u ( x) converge
                         n =1
                                n            uniformemente



                                                         73
Ejemplo:
        ∞
              sen(nx)
S ( x) = ∑        2
                      en (−π , π )
         n =1   n
     1            sen(nx)   1
Mn = 2      ⇒         2
                          ≤ 2
    n               n      n
∞
     1 π    2

∑ n2 = 6
n =1
                ⇒ S converge uniformemente


                                        74
Condiciones de Dirichlet

Condiciones de convergencia de la serie de Fourier
de f(x), suficientes pero no necesarias.

(1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades
en un periodo.

(2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos
en un periodo.

(3)
       ∫
       T
           f ( x) dx < ∞
                                                      75
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces
la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto
de continuidad y a:
                       1
                       2
                         (   +        −
                         f (x ) + f (x )   )
si x es un punto de discontinuidad.




                                                  76
Desarrolla                       0,     −π < x < 0
 en serie de Fourier:    f ( x) = 
                                  π − x,  0≤ x <π

T = 2π
      2 π
a0 =
     2π  ∫−π f ( x) dx
     1 0
            0dx + ∫ (π − x) dx 
                     π

     π  ∫−π
   =
                   0          
                               
                   π
     1        x 
               2
                    π
   =     π x −  =
     π        2 0 2

                                                       77
1                        1 0
                                     0dx + ∫ (π − x) cos nx dx 
          π                                  π
an =
     π∫−π  f ( x) cos nx dx =
                              π  ∫−π
                                           0                  
                                                               
    1           sin nx
                         π
                             1  π               1 cos nx
                                                             π

  = (π − x)               + ∫ sin nx dx  = −
    π             n    0   n 0            
                                               nπ n         0

    − cos nπ + 1 1 − (−1) n
  =                 =
        nπ2
                        n 2π
      1 π                   1
  bn = ∫ (π − x) sin nxdx =
      π 0                   n


                 π ∞ 1 − (−1) n         1       
         f ( x) = + ∑  2        cos nx + sin nx 
                 4 n=1  n π             n       
                                                              78
La función f es continua en (−π, π) excepto en x = 0. Así su
serie de Fourier converge en x = 0 a:
                                    f ( 0 + ) + f (0 − ) π + 0 π
                                                        =     =
                                              2            2    2




La serie es una extensión periódica de la
función f. Las discontinuidades en x = 0,
                                          f (0+ ) + f (0− ) π
±2π, ±4π, … convergen a:                                   =
                                                  2            2


                                                               79
Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica

    π       π 2                   π 2               1
S1 = , S 2 = + cos x + sin x, S3 = + cos x + sin x + sin 2 x
    4       4 π                   4 π               2




                                                         80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la
   función

                 f (t ) = 1 − t , t ∈ [ 0,1]
                                 2


   de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].

 Respuesta.

 Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-
 periódica.
                                                           ~
 Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a (t )
                                                           f      de
                  ~
 modo que:     1. f (t ) sea continua en [-L,L].
                  ~
               2. f ′(t ) sea continua a trozos en [-L,L].


                                                                  101
La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es
continua en [-L,L] ) con L = 1.

                      Im (z)



                      -1        1      Re (z)




~       a0 ∞         πn           πn  
f (t ) = + ∑  an cos t  + bn sin  t  
                                          
        2 n =1       L            L 
bn = 0 por ser función par
                                                              102
1                                             1
an = ∫ (1 − t ) cos(nπt )dt = 2 ∫ (1 − t ) cos(nπt )dt =
              2
                             0
                                                            2
      −1                   ~
                                     f par

   4(−1)  n
=−
   (nπ ) 2


      1                  1           2 4
a0 = ∫ (1 − t )dt = 2∫ (1 − t )dt = 2 =
              2                          2
      −1              0              3 3

      ~       2 4                   ∞
                                     (−1)               n
      f (t ) = − 2
              3 π
                                ∑ n 2 cos( nπt )
                                n =1
                           ~
                  f (t ) = f (t )               =
                                    t∈[ 0 ,1]
                                                                103
P2. Septiembre 2006

a) (4 puntos)

   1. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función

          f(x) = x2     -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π)

   2. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a
      f(x) en [-π,π]

   3. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la
                      ∞
                         1
      serie numérica   ∑k 4
                       k =1
   4. A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el
      desarrollo en serie de Fourier de la función

           g(x) = x(x2 – π2)    -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π)

                                                                    104
Respuesta.

1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica

Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0:

         a0 ∞
f ( x) = + ∑ an cos(nx)
         2 n =1
       2 π 2    2 2
a0 = ∫ x dx = π
      π 0       3
       1 π 2            2 π 2
an = ∫ x cos(nx)dx = ∫ x cos(nx)dx =
      π −π              π 0
                                               105
2 1 2                                   
                π               π        π
                 2             2
=  x sin( nx) + 2 x cos(nx) − 3 sin( nx)  =
 π n
             0 n           0 n          0
                                          
  2 2π                       4
=      (−1) n           an = 2 (−1) n
  π n2                      n


                  π 2   ∞
                            (−1)n
         f ( x) =    + 4∑ 2 cos(nx)
                   3    n =1 n




                                             106
2.
     f continua en [ - π , π ] 
                                 hay convergencia uniforme
     f ′ continua en ( - π , π ) 

3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:



                                                    (               )
                                         2      ∞
       1                   a
        ∫−π [ f ( x)] dx = 2 + ∑ an + bn
            π            2          2  2 0

      π                        n =1
                                     π
        π           1 5                       2 5
      ∫−π ( x ) dx = x                       = π
                2 2

                    5                −π       5
                                                                        107
2               ∞
          2 4 2 2 1         1
            π =  π  +16∑ 4
          5     3   2  n =1 n

                             ∞
                              1  π   2

                         ∑ n 4 = 90
                         n =1


4.           (   2   2
                         )
     g ( x) = x x − π , x ∈ [ − π , π ], 2π periódica
                                         ∞
                                                 (−1) n
     g ′( x) = 3x 2 − π 2 = 3 f ( x) − π = 12∑ 2 cos(nx)
                                             n =1 n

                                             (−1) n
                                             ∞
 Por convergencia uniforme : g ( x) = 12∑ 3 sin( nx)
                                        n =1  n     108
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se
trunca para lograr una aproximación en suma
finita de senos y cosenos, es natural pensar que a
medida que agreguemos más armónicos, el
sumatorio se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades
de f(t), en donde el error de la suma finita no
tiende a cero a medida que agregamos
armónicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u
onda cuadrada:
        4
  f (t ) =       [ sen(ω0t ) + 13 sen(3ω0t ) + 15 sen(5ω0t ) + ...]
             π                                                    109
4
         f (t ) = [ sen(ω0t )]
                 π
1.5
        Serie con 1 armónico

  1

0.5

  0

-0.5

 -1

-1.5
   -1    -0.5        0           0.5   1
                                           110
4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t )]
        π              3              5


 1.5
          Serie con 3 armónicos

   1

 0.5

   0

-0.5

  -1

-1.5
   -1        -0.5        0        0.5        1
                                                      111
1.5
        Serie con 5 armónicos

  1

0.5

  0

-0.5

 -1

-1.5
   -1    -0.5     0     0.5     1
                                    112
1.5
        Serie con 7 armónicos

  1

0.5

  0

-0.5

 -1

-1.5
   -1    -0.5     0     0.5     1
                                    113
1.5
        Serie con 13 armónicos

  1

0.5

  0

-0.5

 -1

-1.5
   -1     -0.5    0      0.5     1
                                     114
Fenómeno de Gibbs

1.5
        Serie con 50 armónicos

  1

0.5

  0

-0.5

 -1

-1.5
   -1     -0.5    0      0.5     1
                                     115
Fenómeno de Gibbs

1.5
        Serie con 100 armónicos

  1

0.5

  0

-0.5

 -1

-1.5
   -1      -0.5    0     0.5      1
                                      116
117
Forma compleja de la serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una
función periódica f(t), con periodo T = 2π/ω0.
                 ∞
   f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
            2
                 n =1

Es posible obtener una forma alternativa
usando las fórmulas de Euler:
                              inω0t            − inω0t
         cos(nω0t ) = (e1
                        2                 +e             )
                                  inω0t         −inω0t
         sen(nω0t ) =   1
                        2i   (e           −e             )
                                                             118
Sustituyendo:
                ∞
f (t ) = a0 + ∑ [a
       1
       2
                          1
                        n 2   (e   inω0t
                                           +e    −inω0t
                                                          )+b   1
                                                              n 2i   (e   inω0t
                                                                                  −e   −inω0t
                                                                                                )]
               n =1


Y usando el hecho de que 1/i = -i:
                    ∞
 f (t ) = 1 a0 + ∑ [ 1 (an − ibn )e inω0t + 1 (an + ibn )e −inω0t ]
          2          2                      2
                 n =1

Y definiendo: c0 ≡ 1 a0 , cn ≡ 1 (an − ibn ), c− n ≡ 1 (an + ibn )
                   2           2                     2



                                             ∞
                        f (t ) =           ∑ cn e
                                           n = −∞
                                                      inω0t
                                                                     ω0 =
                                                                             2π
                                                                              T
                                                                                           119
A la expresión obtenida                           ∞
                                     f (t ) =   ∑ cn einω0t
                                                n = −∞


se le llama forma compleja de la serie de
Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a
partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o
bien:
           T
                                         ¿Forma e        {        }
                                                             inω0t ∞

           ∫ f (t )e
                       −inω0t
cn =   1
       T                        dt                                 n = −∞

                                          un conjunto
           0
                                          ortogonal?
Para n = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Demostrarlo.                                                            120
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la
serie de Fourier para la función ya tratada:
                               f(t)
                           1

                                                   t
           ...   -T
                      /2   0
                                      /2
                                      T    T ...


                               -1
Solución 1. Como ya se calcularon los
coeficientes de la forma trigonométrica (a n y
bn), que eran an= 0 para todo n y
             2
       bn =    [1 − (−1) n ]               para todo n
            nπ
                                                         121
Podemos calcular los coeficientes cn:

     cn = [an − ibn ] = −i
            1
            2
                                             1 2
                                             2 nπ    [1 − (−1) ]      n



    cn = −i      1
                nπ   [1 − (−1) ]    n



Entonces la serie compleja de Fourier
queda:
                              − i 5ω0t            − i 3ω0t        − iω 0 t
 f (t ) = i (... + e
        2
        π
                       1
                       5                    + e
                                             1
                                             3               +e
                           iω 0 t           i 3ω0t           i 5ω0t
                     −e             − e 1
                                        3            − e
                                                       1
                                                       5              − ...)
                                                                             122
Solución 2. También podemos calcular los
coeficientes cn mediante la integral:
                       T
               cn = T ∫ f (t )e −inω0t dt
                    1

                        0

             1  −inω0t                      
                 T /2        T
            =  ∫e      dt + ∫ − e −inω0t
                                          dt 
             T 0
                           T /2
                                             
                                             
       1  1 −inω0t         T /2                             T
                                                                 
      =  −inωo e                  −     1
                                               e   −inω0t        
       T                   0
                                       −inωo                     
                                                            T /2 



   =
         1
     − inωoT
             (e [
                −inω0T / 2
                           − 1) − (e −inω0T
                                            −e −inω0T / 2
                                                          )          ]
                                                                         123
Como ω0T = 2π y además:
                                        ± iθ
                                    e              = cos θ ± isenθ
      cn =      1
             −inωoT   [(−1) − 1) − (1 − (−1) )]
                              n                         n



                = −i      2
                        nω o T   [1 − (−1) ]   n




                 = −i     1
                         nπ   [1 − (−1) ]      n




que coincide con el resultado ya obtenido.

                                                                     124
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:

           0 , − 1 ≤ x < 0                ∞
  H ( x) =                   H ( x) =   ∑c           e   inπx

            1, 0 ≤ x < 1
                                                  n
                                         n = −∞

         1                     1                                 1
    1 −inπx           1 −inπx     1 1       − inπx 
cn = ∫ e    H ( x)dx = ∫ e    dx =         e 
    2 −1              20          2  − inπ         0

  cn =       [e − 1] = [ cos(nπ ) − isen(nπ ) − 1] =
       1 i −inπ               i
       2 nπ                 2nπ
                          0 ; si n es par
    i                    
       [ cos(nπ ) − 1] =  − i ; si n es impar n ≠ 0
  2 nπ                    nπ
                                                    125
∞
                                    1     ∞
                                                − i inπx 1
H ( x) =   ∑c       n   e   inπx
                                   = + ∑                         − i inπx 
                                                   e = + ∑ 2 Re  e 
           n = −∞                   2 0≠ n = −∞ nπ       2 n> 0  nπ       
                                             n impar        n impar


             1
      1 -iππlx 1          1 0 ; si n es par
                         
 al0 = ∫ e c0 H(x)dx n==  −dx =
           − i 0x       1           1
                        2 ∫ ; si n es impar
                  = ; c      i
      2 −1         2      nπ       2
                         0
              1 2       − i ( cos(nπx) + isen(nπx) ) 
      H ( x) = + ∑ Re                                
              2 π n >0               n               
                                   n impar

                                                     1 2      sen(nπx)
                                             H ( x) = + ∑
                                                     2 π n >0    n     126
                                                          n impar
127
128
129
La función impulso o                                        δ(t)
delta de Dirac
                    ∞ if t = 0
           δ (t ) ≡ 
                     0 if t ≠ 0                                   t

 Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en
 la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:
                                                           m −(mt ) 2
                                                f m(t) =     e
                                δ(t)                       π
                                  f3(t)
                                       f2(t)
                                               f1(t)

                                                       t           130
δ(t)
Propiedades de la función δ
                                                        t
 ∞

 ∫ δ (t ) dt = 1
 −∞
 ∞                      ∞

 ∫ δ (t − a) f (t ) dt = ∫ δ (t − a) f (a) dt = f (a)
 −∞                     −∞
 ∞

 ∫ exp(±iωt ) dt = 2π δ (ω )
 −∞
 ∞

 ∫ exp[±i(ω − ω ')t ]
 −∞
                        dt = 2π δ (ω − ω ')
                                                    131
Calcular la serie de Fourier de δ(x):
             ∞                         1
                                     1 −inπx         1
δ ( x) =   ∑c       n
                        iπnx
                        e      → cn = ∫ e δ ( x)dx =
           n = −∞                    2 −1            2

         1 ∞ inπx 1 1
δ ( x ) = ∑ e = + ∑ (e     −inπx
                                 +e )
                                   inπx

         2 n = −∞ 2 2 n >0
 1
= + ∑ cos(nπx)
 2 n >0
                                           1
                                   δ (x ) = + ∑ cos(nπx)
                                           2 n >0
                                                         132
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 133
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 134
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 135
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 136
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 137
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 138
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 139
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 140
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 141
12

10

 8

 6

 4

 2

 0

-2

-4
     -4   -3   -2   -1   0       1   2   3   4
                             x




                                                 142
Los coeficientes cn son números complejos,
y también se pueden escribir en forma
polar:                    iφ n
                       cn = c n e
                                          − iφ n
Observemos que, − n = c = cn e
                                 *
              c                  n


                                             bn 
        cn =   1
               2   a +b
                   2
                   n
                         2
                         n       φn = arctan − 
                                             a 
                                             n
Donde                        ,
para todo n ≠ 0.                                   c0 = 1 a0
                                                        2
Y para n = 0, c0 es un número real:                      143
Espectros de frecuencia discreta

Dada una función periódica f(t), le
corresponde una y sólo una serie de
Fourier, es decir, le corresponde un conjunto
único de coeficientes cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t)
en el dominio de la frecuencia de la
misma manera que f(t) especifica la función
en el dominio del tiempo.

                                             144
Espectros de frecuencia discreta

Ejemplo. Para la función ya analizada:
                                 f(t)
                            1

                                                       t
           ...   -T
                      /2     0
                                        /2
                                        T    T ...


                                 -1

Encontramos que:                      cn = −i n1π [1 − (−1) n ]
                                 1
Por lo tanto:              cn =    [1 − (−1) ]
                                            n

                                nπ

                                                                  145
A la gráfica de la magnitud de los
coeficientes cn contra la frecuencia angular
ω de la componente correspondiente se le
llama el espectro de amplitud de f(t).

A la gráfica del ángulo de fase φn de los
coeficientes cn contra ω, se le llama el
espectro de fase de f(t).

Como n sólo toma valores enteros, la
frecuencia angular ω = nω0 es una variable
discreta y los espectros mencionados son
gráficas discretas.                     146
El espectro de amplitud se muestra a continuación
           0.7
                     Espectro de Amplitud de f(t)
           0.6
           0.5
   Cn 



           0.4
           0.3
           0.2
           0.1
             0
             -30      -20     -10      0   n   10    20     30


                 Frecuencia negativa           Frecuencia
                 (?)
Observación: El eje horizontal es un eje de
frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo
de ω0).
                                                                 147
El espectro de magnitud de una f(t) real, es una
función PAR por lo que la gráfica para n ≥ 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de magnitud.


El espectro de fase de una f(t) real, es una
función IMPAR por lo que la gráfica para n ≥ 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de fase.



                                                      148
Podemos expresar de una manera ligeramente
diferente la serie de Fourier. Cada par de
términos:
           ancos(nω0t) + bnsen(nω0t)

se pueden expresar como:
             an                   bn                
   an + bn 
    2    2
                     cos(nω0t ) +         sen(nω0t ) 
            a2 + b2              an + bn
                                   2    2            
            n     n                                 

Donde lo único que hemos hecho es multiplicar
y dividir por:  an + bn
                 2    2
                                          149
  an                   bn                
     an + bn 
      2    2
                       cos(nω0t ) +         sen(nω0t ) 
              a2 + b2              an + bn
                                     2    2            
              n     n                                 
                                an
                                2       = cos θ n
                                an + bn                           bn 
                                       2
             Cn = an2 + bn2
bn                                                   θ n = arctan 
                                                                  a 
         θn                     bn      = senθ n                  n
                                a +b
                                  2    2
        an                      n     n



 Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en
 función del coseno:
               Cn [ cos θ n cos(nω0t ) + senθ n sen(nω0t )]

                              = Cn cos(nω0t − θ n )                  150
Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier
se puede escribir como:
                        ∞
        f (t ) = C0 + ∑ Cn cos(nω0t − θ n )
                        n =1


                                              bn 
Con:    Cn = a + b
                2
                n
                    2
                    n            θ n = arctan 
                                             a 
                                              n
Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes
C0, Cn y θn, de manera que la serie de Fourier
pueda escribirse como:
                                         ∞
                            f (t ) = C0 + ∑ Cn sen(nω0t +151 n )
                                                          θ
                                         n =1
Componentes y armónicos
Hemos visto que, bajo ciertas condiciones, una
función f(t) puede escribirse como la suma de
componentes sinusoidales de diferentes
frecuencias: ωn = nω0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nω0:
cn cos(nω0t + θn) se le llama el enésimo armónico
de f(t).
Al primer armónico (n = 1) se le llama la
componente fundamental y su periodo es el
mismo que el de f(t).
A la frecuencia ω0= 2π f0 = 2π / T se le llama   152
Ejemplo: La función f(t) = cos ( 3 ) + cos ( 4 )
                                 t           t


Como vimos, tiene un periodo T = 24π, por lo tanto su
frecuencia fundamental es ω0 = 2π/Τ = 1/12 rad/s.
O como ω0= 2πf0, f0 = 1/Τ = 1/ 24π Hz.
Su componente fundamental (n = 1) será:
c0 cos(ω0t + θ0) = 0 cos(t/12).
                               3
                                         f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
                               2
Tercer armónico:               1
cos(3t/12) = cos(t/4)
                        f(t)




                               0
Cuarto armónico:           -1

cos(4t/12) = cos(t/3)      -2
                                   24π
                           -3                                       153
                             0     50      100       150          200
                                                 t
Sea f (t ) una señal periódica con periodo T expresada en términos
               de la serie compleja de Fourier siguiente :
                                           ∞
                             f (t ) =    ∑ cn e inω0t
                                         n = −∞

                      Derivando f (t ) respecto a t :
                                              ∞
                               d
                    f ' (t ) =    f (t ) = ∑ inω0 cn einω0t
                               dt          n = −∞
                                           ∞
                            f ' (t ) =    ∑ d n e inω0t
                                         n = −∞

             donde los coeficientes d n vienen dados por
                                d n = inω0 cn
  en consecuencia, f ' (t ) también es periódica y está representada
por una serie de Fourier que es función del desarrollo en serie de 154 t ).
                                                                    f(
Ejercicio:
                                           f(t)
                                              0    20
                                           -2           T0 = 10
                                      4t
                              )   =
                          f(t

              -10    -5                                     5     10     t


                                  f '(t)                T0 = 10
                                                   4


             -10     -5                                     5      10    t
                                              -4



                     f ''(t)                            T0 = 10
                                                   8
              -10                                                 10
                    -5                                     5             t
                                             -8                         155
Potencia y Teorema de Parseval

El promedio o valor medio de una señal
cualquiera f(t) en un periodo dado T se
puede calcular como la altura de un
rectángulo que tenga la misma área que el
área bajo la curva de f(t)
                                      T
                             Area = ∫ f ( t )dt
         f(t)                         0
                  1
                                     h = Altura
                Area = T h           promedio

                                          t
                      T
                                                  156
De acuerdo a lo anterior, si la función
periódica f(t) representa una señal de
voltaje o corriente, la potencia promedio
entregada a una carga resistiva de 1 ohm
en un periodo está dada por:
                  T /2

                    ∫
                             2
              1
              T       [ f (t )] dt
                  −T / 2

Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el
promedio en un periodo será el promedio en
cualquier otro periodo.
                                               157
El teorema de Parseval nos permite calcular
la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes
complejos cn de Fourier de la función
periódica f(t):
                        T /2                  ∞

                          ∫ [ f (t )] dt = ∑ c
                    1             2                      2
                    T                                n
                        −T / 2            n = −∞


O bien, en términos de los coeficientes an,
b n:    T /2                 ∞
       1
       T     ∫ [ f (t )] dt = a +
                            2    1
                                 4
                                      2
                                      0
                                          1
                                          2   ∑ (a
                                              n =1
                                                         2
                                                         n   +b )
                                                               2
                                                               n
           −T / 2
                                                                   158
Teorema o identidad de Parseval
                        T /2
                   1                    1 2 1 ∞ 2
                         [ f (t )]2 dt = a0 + ∑ (an + bn )
                   T −T∫/ 2
                                                       2

                                        4    2 n =1
                                            ∞
                   f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
                            2
                                            n =1

    T /2                           T /2
                                                  1        ∞
                                                                                            
1
T     ∫    f (t ) f (t )dt = T
                             1
                                     ∫      f (t ) 2 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]dt =
    −T / 2                         −T / 2                 n =1                             
          T /2                 ∞          T /2                   ∞       T /2
    a0                             an                                bn
             ∫     f (t )dt + ∑       ∫/ 2f (t ) cos(nω0t )dt + ∑ T −T∫/ 2f (t )sen(nω0t )dt =
    T     −T / 2              n =1 T −T                         n =1


                                                          (
                                                   a0 1 ∞ 2
                                                                    )
                                                    2
                                                      + ∑ an + bn
                                                                2
                                                                                          159
                                                   4 2 n =1
Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio
de la función f(t):          f(t)
                                                       1
                                                                                       t
                                   ...   -T
                                              /2        0          T
                                                                    /2     T ...



Solución.                                                   -1

Del teorema de Parseval                                T /2                        ∞

                                                         ∫ [ f (t )] dt = ∑ C
                                                   1                   2                   2
                                                   T                                   n

y del ejemplo anterior                                 −T / 2                 n = −∞


                                         cn =               1
                                                            nπ
                                                                 [1 − (−1) n ]
sustituyendo
               ∞
                               8     1 1   1      
            ∑c
                         2
                     n       = 2     1+ + +
                                     9 25 49 + ...
            n = −∞            π                   
                                                                                           160
La serie numérica obtenida converge a
                     1 1  1
                   1+ + +    + ... = 1.2337
                     9 25 49
Por lo tanto,
          T /2              ∞
                                             8
            ∫ [ f (t )] dt = ∑ c
                                       2
      1              2
                                   n       = 2 (1.2337) = 1
      T
          −T / 2          n = −∞            π

Como era de esperar.

                                                              161
a) Sean c1 , c2 ∈ ℜ , con c1 ≠ c2 y la función:
                                                           c1 , x ∈ [ − π ,0 )
                                                  f ( x) = 
1. Calcúlese la serie de Fourier de f.                     c2 , x ∈ [ 0, π ]
2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de
                                       ∞
   ella calcule el valor de la serie:    1
                                       ∑ ( 2n − 1)
                                       n =1
                                                         2


3. ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en
   x=0?


                                 c2

                         c1



                   -π                         π
                                                                            162
1.
      1 0            π
a0 =  ∫ c1dx + ∫ c2 dx       = ( c1 + c2 )π = c + c
     π  −π                                           1  2
                      0                 π
     c1  0
an =  ∫ cos nxdx       + c2  π cos nxdx  = c1 + c2 π cos nxdx =
                                ∫0
                                                         π ∫0
                                                  
     π    −π            π                      
  c1 + c2
=         ( senπn − sen0) = 0
    nπ
     c1  0
bn =  ∫ sen(nx)dx         + c2  π sen(nx)dx  = − c1 − c2 π sen(nx)dx =
                                   ∫0
                                                            π ∫0
                                                       
     π    −π               π                        
=
  c1 − c2
    nπ
          ( cos πn − cos 0) =
                                  nπ
                                      (
                                c1 − c2
                                                )
                                           ( − 1) n − 1 ⇒
   n = 2k → b2 k = 0
   
⇒                            2( c2 − c1 )
   n = 2k − 1 → b2 k −1 = ( 2k − 1)π
   
          c1 + c2 2 ∞ ( c2 − c1 )
 f ( x) =        + ∑                sen( 2k − 1) x
             2    π k =1 ( 2k − 1)π                                     163
2.       c1 + c2      1  2( c2 − c1 ) ∞      1      sen( 2k − 1) x
 f ( x) =
             2
                   2π 
                      
                             +
                          2π       π
                                         ∑ ( 2k − 1)π
                                         k =1                  π
          1 cos nx sen(nx) 
 Como           ,      ,        es ortonormal en [ − π , π ] ⇒
          2π       π        π 
                                                             4( c1 − c2 )
       (               )
                                                      2                     2
                           π                 c2 + c1                          ∞
                                                                                      1
 ⇒ π c2 + c1 = ∫                f ( x ) dx =          2π +                    ∑ ( 2k − 1) 2 ⇒
           2       2                 2
                           −π
                                             2                   π            k =1


 ⇒
   ( c1 − c2 ) 2     4
                   = 2 ( c1 − c2 ) ∑
                                  2
                                     ∞
                                             1
                                                     ⇒∑
                                                       ∞
                                                               1
                                                                       =
                                                                         π2
                    π               k =1 ( 2k − 1)    k =1 ( 2k − 1)
                                                   2                 2
           2                                                             8

 3.
                            c1 + c2 2 ∞ ( c2 − c1 )                       c1 + c2
No. Puesto que f (0) = c2 y        + ∑                 sen( 2k − 1) 0 =
                               2    π k =1 ( 2k − 1)π                         2
                   c1 + c2
y en general c2 ≠                                    f es continua a trozos
                      2                              y tiene derivadas laterales
                                                                                          164
a) A partir de la serie de Fourier de la función f ( x) = x
                                                  π ∞
   definida en el intervalo [ − π , π ] : f ( x) = + ∑ − 4 2 cos( ( 2n − 1) x )
   determinar los valores de las series: 2 n=1 π ( 2n − 1)
       ∞                                 ∞
         1                                    1
1. ∑ ( 2n − 1) 2                     2. ∑ ( 2n − 1) 4
   n =1                                 n =1



  1.
             Particularizando para x = 0, f(0) = 0 :
               π ∞         −4
             0= +∑                  cos( ( 2n − 1) 0 ) ⇒
               2 n =1 π ( 2n − 1) 2


                    π 4 ∞          1
             ⇒0= − ∑                      ⇒
                     2 π n =1 ( 2n − 1) 2


               ∞
                       1         −π       π2
             ⇒∑                =    2=
              n =1 ( 2n − 1)     −4
                             2
                                          8
                                    π
                                                                        165
2.
     Aplicando la identidad de Parseval :

                                   (           )
                           2   ∞
     1    π               a0
         ∫π                  + ∑ an + bn
                  2                2     2
              f ( x) dx =
     π   −                 2 n =1
                                                  −4
     Sustituyendo f ( x) = x , a0 = π , an =               , bn = 0 :
                                             π ( 2n − 1)
                                                         2


     1    π           π2 ∞       16
         ∫−π x 2 dx =   +∑ 2               ⇒
     π                2 n =1 π ( 2n − 1) 4


       1 2π 3 π 2 16 ∞      1
     ⇒       =   + 2∑               ⇒
       π 3     2 π n =1 ( 2n − 1) 4

          ∞
               1         π4
     ⇒∑                =
      n =1 ( 2n − 1)
                     4
                         96


                                                                        166

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Series de fourier

  • 1. Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", 1 Genaro González
  • 2. La primera serie de Fourier de la historia Euler 1744 escribe en una carta a un amigo: π − t ∞ sen(nt ) f (t ) = =∑ = 2 n =1 n sen(2t ) sen(3t ) sen(t ) + + + ... 2 3 ¿Es cierto? Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡ La clave está en el concepto de función periódica. 2
  • 3. Funciones Periódicas Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t: f(t) = f(t + T). Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función. Observa que: f(t) = f(t + nT), donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,... 3 Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
  • 4. Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función f(t) = cos ( 3 ) + cos ( t t 4 )? Si f(t) es periódica se debe cumplir: f(t + T) = cos ( t +T 3 ) + cos ( t +T 4 ) = f(t) = cos ( 3 ) + cos ( t t 4 ) Como cos(t + 2kπ) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que: T/3 = 2k1π y T/4 = 2k2π. Es decir: T = 6k1π = 8k2π con k1 y k2 enteros. El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24π. 4
  • 5. Gráfica de la función f(t) = cos ( 3 ) + cos ( t t 4 ) 3 T f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) 2 1 f(t) 0 -1 -2 24π -3 0 50 100 150 200 t 5
  • 6. ¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica? Depende. Consideremos la función: f(t) = cos(ω1t) + cos(ω2t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: ω1T = 2π m y ω2T = 2π n. Es decir, que cumplan: ω1 m T = m/ (2π ω1) = n/ (2π ω2) = ω2 n 6
  • 7. Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((π+3)t) tenemos que ω 3 1 = ω2 3+ π ¿Es periódica? f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t) 2 1 f(t) 0 -1 -2 0 5 10 15 20 25 30 t 7
  • 8. Para que exista periodicidad ω1/ ω2 debe ser un número racional (n/m). Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas: 1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero. 2) f(t) = sen2(2πt) 3) f(t) = sen(t) + sen(t + π/2) 4) f(t) = sen(ω1t) + cos(ω2t) 5) f(t) = sen(√2 t) 8
  • 9. Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2, ¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo T < min(T1,T2)? T1 = 5 T2 = 5 T = 2,5 9
  • 10. Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:  1  1 0≤t ≤ sen(2 Nπt ), 0 ≤ t ≤ N 0, N f1 (t ) =  f 2 (t ) =  1 1  0, < t <1 sen(2 Nπt ), < t <1  N  N extendida periódicamente con T = 1: extendida periódicamente con T = 1: f1 (t ) = f1 (t + 1), − ∞ < t < +∞ f 2 (t ) = f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞  sen(2 Nπt ) , 0 ≤ t <1 f1 (t ) + f 2 (t ) =   f1 (t + 1) + f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞ 2π 2π 1 T= = = ω 2 Nπ N 10
  • 11. ¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental? 1 si t es un entero f1 (t ) =  0 si t no es un entero 1 si t y t + T son enteros f1 (t ) = f1 (t + T ) =  0 si t y t + T no son enteros ⇒ T =1 11
  • 12. 1 si t es racional pero no un entero f 2 (t ) =  0 si t es irracional o es un entero 1 si t y t + T son racionales pero no enteros f 2 (t ) = f 2 (t + T ) =  0 si t y t + T son irracionales o enteros ⇒ T =1  1 si t es racional f1 (t ) + f 2 (t ) =   0 si t es irracional T=? 12
  • 13. Volvamos al resultado π − t = sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ... de Euler: 2 2 3 S (t ) = e it + e i 2t + e i 3t + ...  ¿Cómo lo alcanzó?  it e S (t ) = e i 2t + e i 3t + ...  Utilizando la fórmula de e it 1 1 sen t Euler para cada término: S (t ) = = − +i 1 − e it 2 2 1 − cos t S (t ) = e + e + e + ... = it i 2t i 3t cos t + cos(2t ) + cos(3t ) + ... + i { sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ...}  1 − Integrando 2 sen(2t ) sen(3t ) 1 término a término: sen t + + + ... = − t + C 2 3 2 Particularizamos t π 1 1 1 π π para encontrar C: t = → 1 − + − + ... = − + C ; C = 2 5  3  7  4 2 π 13 4
  • 14. π −t sen(2t ) sen(3t ) = sen t + + + ... 2 2 3 π +t sen(−2t ) sen(−3t ) = sen(− t ) + + + ... 2 2 3 t π sen(2t ) sen(3t ) + = − sen(t ) − − − ... 2 2 2 3 Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/) 14
  • 15. (1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π. (2) La serie es una función impar. No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros. (3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2. Pero no fuera del intervalo... (4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos. (5) La aproximación no es buena en "los extremos"... Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier... 15
  • 16. Leonhard Euler Jean 1707-1783 d'Alembert 1717-1783 Daniel Lagrange Bernouilli 1700-1782 16
  • 17. Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1. Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de una función. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una 17 función. Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.
  • 18. 18
  • 19. En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución: un(x,t) = sin(nx) cos(nt) donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos. ∞ u( x ,t ) = ∑ an sen( nx ) cos( nt ) n =1 Pero recordemos que u(x,0) = f(x)... 19
  • 20. Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t) ∂ u( x ,t ) ∂ u( x ,t ) 2 2 = ; c.i . y c.c. ∂t 2 ∂x 2 X ' ' ( x ) + λX ( x ) = 0 , x ∈ ( 0 ,1 ), X ( 0 ) = X ( 1 ) = 0 T ' ' ( t ) + λT ( t ) = 0 , t > 0. Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como: ∞ f ( x ) = u( x ,0 ) = ∑ an sen( nx ) n =1 con una adecuada elección de los coeficientes an... 20
  • 21. Joseph Fourier En diciembre de 1807 Joseph Fourier presentó un sorprendente artículo a la Academia de Ciencias en París. En él afirmaba que cualquier función puede escribirse en forma de serie trigonométrica semejante al ejemplo de Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830 Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible... 21
  • 22. Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio. Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema). 22
  • 23. Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión: ∂ u 1 ∂u 2 = ∂x 2 k ∂t Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio. Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,... 23
  • 24. ∂ 2u( x ,t ) 1 ∂u( x ,t ) u( x ,t ) = X ( x )T ( t ) = ∂x 2 k ∂t X ( x )T ' ( t ) = X ' ' ( x )T ( t ) u( 0 ,t ) = u( π,t ) = 0; t ≤ 0 con X ( 0 ) = X ( π ) = 0 u( x ,0 ) = f ( x ); 0 ≤ x ≤ π Dividiendo entre X(x)T(t): T' ( t ) X ' ' ( x ) = =A , A = cte. T( t ) X( x ) T ' ( t ) = AT ( t ); T ( t ) = C0 e At X ' ' ( x ) = AX ( x ); X ( x ) = C1 cos( − A x ) + C2 sen( − A x ) C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ... − n 2t u n ( x ,t ) = e sen( nx ) 24
  • 25. − n 2t La combinación lineal de soluciones u n ( x ,t ) = e sen( nx ) será también solución: ∞ u( x , t ) = ∑ a n u n ( x , t ) n =1 Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an. 25
  • 26. Serie trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier f (t ) = 1 a0 + a1 cos(ω0t ) + a2 cos(2ω0t ) + a3 cos(3ω0t ) + ... 2 ... + b1sen(ω0t ) + b2 sen(2ω0t ) + b3 sen(3ω0t ) + ... Donde ω0 = 2π/T se denomina frecuencia fundamental. ∞ f (t ) = a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )] 1 2 26 n =1
  • 27. π −t sen(2t ) sen(3t ) = sen t + + + ... 2 2 3 ∞ f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )] 2 n =1 a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ... b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,... 27
  • 28. ¿Cómo calcular los coeficientes de la serie? Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier? ∞ f(t) = 1 a0 + ∑ [an cos (nω0t) + bn sen(nω0t)] 2 n =1 Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,... Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno. 28
  • 29. Ortogonalidad Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen: b 0 para m ≠ n ∫ a f m(t)f n(t)dt =  rn para m = n 29
  • 30. Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que: 1 1 4 1 t ∫1t t dt = −∫1t dt = 4 =0 2 3 − −1 Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –π < t <π, ya que π 2 π sen t ∫π sent cos tdt = 2 − −π =0 ¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad? 30
  • 31. Ortogonalidad de senos y cosenos Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2: {1, cos(ω0t), cos(2ω0t), cos(3ω0t),..., sen(ω0t), sen2ω0t, sen3ω0t,...} con ω0= 2π/Τ. 31
  • 32. Vamos a verificarlo probándolo a pares: 1.- f(t) = 1 vs. cos(mω0t): ω0= 2π/Τ T/ 2 T/ 2 sen(mω0t) ∫ 1cos (mω0t)dt = mω0 −T/ 2 −T/ 2 = 2 sen(mω0T/ 2 ) 2 sen(mπ ) = = =0 mω0 mω0 Ya que m es un entero. 32
  • 33. 2.- f(t) = 1 vs. sen(mω0t): ω0= 2π/Τ T/ 2 T/ 2 − cos (mω0t) ∫ 1 sen(mω0t)dt = mω0 −T/ 2 −T/ 2 = −1 = [ cos (mω0T/ 2 )- cos (mω0T/ 2 )] = 0 mω0 cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] 3.- cos(mω0t) vs. cos(nω0t): cos2θ = ½ (1+cos2θ) T /2  0 para m ≠ n ∫/ cos(mω0 t)cos(nω0 t)dt = T / 2 −T 2  para m = n ≠ 0 33
  • 34. sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2θ) 4.- sen(mω0t) vs. sen(nω0t): T/ 2  0 para m ≠ n ∫ 2sen(mω0t)sen(nω0t)dt = T/ 2 −T/  para m = n ≠ 0 5.- sen(mω0t) vs. cos(nω0t): sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)] T/ 2 ∫ sen(mω t) cos (nω t)dt = 0 −T/ 2 0 0 para cualquier m,n 34
  • 35. ¿Cómo calcular los coeficientes de la serie? Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(ω0t), cos(2ω0t), cos(3ω0t),..., sen(ω0t), sen2ω0t, sen3ω0t,...} con ω0= 2π/Τ, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier: ∞ f(t) = 1 a0 + ∑ [an cos (nω0t) + bn sen(nω0t)] 2 n =1 35
  • 36. Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mω0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: T /2 T /2 0, si m ≠ 0 ∫ −T / 2 f (t ) cos(mω0t )dt = 1 a0 2 ∫ cos (mω t)dt + −T / 2 0 ∞ T /2 0, si m ≠ 0 ∑ a ∫ cos (nω t) cos (mω t)dt + n =1 n 0 0 T/2, si m = n −T / 2 ∞ T /2 0 ∑ b ∫ sen(nω t) cos (mω t)dt n =1 n 0 0 −T / 2 T /2 am = T 2 ∫ f (t ) cos(mω t )dt −T / 2 0 m = 1, 2, 3,... 36
  • 37. Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0 que debemos tratar a parte: T /2 T /2 T, si m = 0 ∫ −T / 2 f (t ) cos(mω0t )dt = 1 a0 2 ∫ cos (mω t)dt + −T / 2 0 ∞ T /2 0, si m ≠ 0 ∑ a ∫ cos (nω t) cos (mω t)dt + n =1 n 0 0 T/2, si m = n −T / 2 T /2 0 ∞ ∑ b ∫ sen(nω t) cos (mω t)dt = n =1 n 0 0 −T / 2 1 T /2 a0T 2 2 a0 = T ∫ −T / 2 f (t )dt 37
  • 38. Similarmente, multiplicando por sen(mω0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: T /2 T /2 0 ∫ −T / 2 f (t ) sen(mω0t) dt = 1 a0 2 ∫ sen(mω t)dt + −T / 2 0 T /2 0 ∞ ∑ a ∫ cos (nω t)sen(mω t)dt + n =1 n 0 0 −T / 2 ∞ T /2 0, si m ≠ 0 ∑ b ∫ sen(nω t)sen(mω t)dt n =1 n 0 0 T/2, si m = n −T / 2 T /2 bm = T 2 ∫ f (t )sen(mω t )dt −T / 2 0 m = 1, 2, 3,... 38
  • 39. Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T: f(t) 1 t ... -T /2 0 /2 T T ... -1 La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es: − 1 para − T < t < 0 f (t ) =  2 ω0= 2π/Τ  1 para 0 < t < T 2 39
  • 40. Coeficiente a0: T /2 − 1 para − T < t < 0 f (t ) =  2 a0 = T 1 ∫ f (t )dt −T / 2  1 para 0 < t < T 2  0 T /2   0 T /2  a0 = T  ∫ − dt + ∫ dt  = T − t 2 2 +t =0  −T / 2 0    −T / 2 0   40
  • 41. Coeficientes an: T /2 − 1 para − T < t < 0 f (t ) =  1 2 para 0 < t < T an = T 2 ∫ f (t ) cos(nω t )dt 0  2 −T / 2  0 T /2  an = T  ∫ − 1⋅ cos(nω0t )dt + ∫ 1⋅ cos(nω0t )dt  2  −T / 2 0   1 0 1 T /2  = T − 2 sen(nω0t ) + sen(nω0t )  = 0  nω 0  −T / 2 nω 0 0   para n ≠ 0 41
  • 42. Coeficientes bn: T /2 − 1 para − T < t < 0 f (t ) =  2 bn = T 2 ∫ f (t )sen(nω t )dt 0  1 para 0 < t < T 2 −T / 2  0 T /2  bn = T  ∫ − sen(nω0t )dt + ∫ sen(nω0t )dt  = 2  −T / 2 0   1 0 1 T /2  =T 2 cos(nω0t ) − cos(nω0t )   nω 0  −T / 2 nω 0 0   1 = [ (1 − cos(nπ )) − (cos(nπ ) − 1)] nπ = 2 nπ [1 − (−1) n )] para n ≠ 0 42
  • 43. Finalmente, la serie de Fourier queda como 4 f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...] π 3 5 4 ∞ 1 f (t ) = ∑ sen( (2n − 1)ω0t ) ) π n =1 2n − 1 En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para ω0 = π (ω0= 2π/Τ), es decir, T = 2: 43
  • 44. 4 f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...] π 3 5 Componentes de la Serie de Fourier 1.5 1 Componentes 0.5 0 -0.5 Suma fundamental -1 tercer armó nico quinto armó nico sé ptimo armó nico -1.5 -1 -0.5 0 t 0.5 1 44 Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
  • 45. Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado. 45
  • 46. Habíamos calculado f(t) 1 los coeficientes para: t ... -T /2 0 /2 T T ... − 1 para − T / 2 < t < 0 f (t ) =  1 para 0 < t < T / 2 -1 Si los calculamos para la misma función desplazada tienen que ser los mismos: f(t) 1  1 para 0 ≤ t < T / 2 f (t ) =  t − 1 para T / 2 ≤ t < T /2 /2 ... -T 0 T T ... -1 Repite los cálculos y compruébalo. 46
  • 47. f(t) De hecho si repetimos 1 para cualquier intervalo t de longitud el periodo T de la función, será lo -1 mismo: ... t0 t0 +T ... T /2 T t 0 +T a0 = T 1 ∫ −T / 2 f (t )dt = T ∫ f (t )dt = T 2 0 2 ∫ t0 f (t )dt = T ∫ f (t )dt 2 T T /2 an = T 2 ∫ −T / 2 f (t ) cos(nω0t )dt = ... = T ∫ f (t ) cos(nω0t )dt 2 T T /2 bn = T 2 ∫ −T / 2 f (t ) sen(nω0t )dt = ... = T ∫ f (t ) sen(nω0t )dt 2 T 47
  • 48. Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para π −t f (t ) = 2 la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón. 48
  • 49. Calcula la serie de Fourier de la función periódica: 2π f (t ) = 1 + cos(3t ) de periodo T = 3 2π 3 2 3 a0 = ∫ f (t )dt = ∫ (1 + cos(3t ))dt = 2 T T π 0 2π 2 3 3 1, si n = 1 an = ∫ f (t ) cos(nω0t )dt = ∫ (1 + cos(3t )) cos(nω0t )dt = 0, si n ≠ 1 T T π 0  2π 3 2 3 bn = ∫ f (t ) sen(nω0t )dt = ∫ (1 + cos(3t ))sen(nω t )dt = 0 0 para todo n T T π 0 La serie en definitiva es la ∞ ∞ propia f (t ) = 1 + ∑ an cos(nω0t ) + ∑ bn sen(nω0t ) = 1 + cos(3t ) función... n =1 n =1 49
  • 50. Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes: t Extensión par t Extensión impar 50
  • 51. Funciones Pares e Impares Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t) f(t) t −2π −π π 2π 51
  • 52. En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t) f(t) t −2π −π π 2π 52
  • 53. Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t , g(t) = 1/(t2+1). Solución: Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar. Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par. 53
  • 54. Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una función arbitraria). Solución: Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)). Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)). Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t), finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t). 54
  • 55. Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares: h(t) = sen (1+t2) h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2) h(t) = cos (2+t2) + 1 h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2 etc... Ya que todas tienen la forma f(1+t2). 55
  • 56. • Si f (x) es par: a a ∫ f ( x)dx −a = 2 ∫ f ( x)dx 0 a a ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx 0 −a -a a 56
  • 57. • Si f (x) es impar: a ∫ f ( x)dx = 0 −a a ∫ f ( x)dx −a -a a 57
  • 58. Como la función sen(nω0t) es una función impar para todo n y la función cos(nω0t) es una función par para todo n, es de esperar que: • Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n. • Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n. 58
  • 59. Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado: f(t) 1 t ... -T /2 0 /2 T T ... -1 Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno: 4 f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...] π 3 5 59
  • 60. P2. Septiembre 2005 a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones f ( x) = sin x y g ( x) = cos x en − π ≤ x ≤ π Respuesta. a0 ∞ f ( x) = + ∑ [ an cos(nx) + bn sin( nx)] 2 n =1 f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0 60
  • 61. 1 π 2 π an = ∫ f ( x) cos(nx)dx = ∫ sin x cos(nx)dx = π −π π 0 1 π = ∫ [ sin(1 + n) x + sin(1 − n) x ] dx = π 0 1 2 = [ cos(n − 1)π − 1] π n −1 2 4 −4 a0 = ; a n = , n par; an = 0, n impar π π (n − 1) 2 61
  • 62. 2 ∞ 4 cos(2nx) sin x = − ∑ π n =1 π 4n − 1 2 f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódica Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0 1 π 4 π /2 an = ∫ g ( x) cos(nx)dx = ∫ cos x cos(nx)dx = π −π π 0 2 π /2 = ∫ [ cos(n + 1) x + cos(n − 1) x ] dx π 0 62
  • 63. 4 ±4 a0 = ; a n = , n par; an = 0, n impar π π (n − 1) 2 2 4 (−1) cos(2nx) ∞ n cos x = − ∑ π n =1 π 4n − 1 2 63
  • 64. Onda triangular (Triangle Wave) π 4  cos x cos 3 x cos 5 x  −  2 + + +  2 π 1 3 2 5 2  64
  • 65. Right Triangular Wave  sin x sin 2 x sin 3 x  2 − + −   1 2 3  65
  • 66. Saw Tooth Wave  sin x sin 2 x sin 3 x  π − 2 + + +   1 2 3  66
  • 67. Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para f (t ) = cos(αt ), − π < t < π con periodo T = 2π (frecuencia fundamental ω0 = 1) y α un número real no entero, es: sen(α π ) 1 ∞ (−1) n  cos(α t ) =  + 2α ∑ 2 cos(n t )  π α n =1 α − n 2  67
  • 68. sen(α π ) 1 ∞ (−1) n  cos(α t ) =  + 2α ∑ 2 cos(n t )  π α n =1 α − n 2  −π < t < π Observa que si tomamos t = 0 entonces: π 1 (−1) ∞ n = + 2α ∑ 2 sen(α π ) α n =1 α − n 2 y con α = 1/2. ∞ (−1) n ∞ (−1) n π = 2+∑ = 2 + 4∑ n =1 (1 / 2) − n 2 2 n =1 1 − 4n 2 68
  • 69. sen(α π ) 1 ∞ (−1) n  cos(α t ) =  + 2α ∑ 2 cos(n t )  π α n =1 α − n 2  −π < t < π O que si tomamos t = π entonces: cos(π t ) = (−1) n sen(α π ) 1 ∞ 1  cos(α π ) = α + 2α ∑ α 2 − n 2  π  n =1  π 1 ∞ 1 = + 2α ∑ 2 tan(α π ) α n =1 α − n 2 ¿Es correcto el resultado? 69
  • 70. Convergencia uniforme Que la integral traspase los sumatorios en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es convergencia uniforme. ∞ Sea la serie infinita: S ( x) = ∑ un ( x) n =1 y definamos sus sumas parciales como: k S k ( x) = ∑ un ( x) n =1 70
  • 71. Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si ∀ε > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.: S k ( x) − f ( x) < ε siempre que k > N Observemos que en general N dependerá de ε y del punto x (convergencia puntual). Si N solo depende de ε, pero no de x, decimos que la convergencia es uniforme. Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque: 71
  • 72. (1) Si cada término un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces: (a) f(x) es también continua en (a, b). b ∞ ∞ ∫ ∑ u ( x)dx = ∑ ∫ u ( x)dx b (b) n n a a n =1 n =1 (2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces: ∞ ∞ d d ∑ un ( x) = ∑ dx un ( x) dx n =1 n =1 72
  • 73. ¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie? (1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definición o (2) utilizar la prueba M de Weierstrass: Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| ≤ Mn y además ∞ ∞ ∑M n =1 n converge ⇒ ∑ u ( x) converge n =1 n uniformemente 73
  • 74. Ejemplo: ∞ sen(nx) S ( x) = ∑ 2 en (−π , π ) n =1 n 1 sen(nx) 1 Mn = 2 ⇒ 2 ≤ 2 n n n ∞ 1 π 2 ∑ n2 = 6 n =1 ⇒ S converge uniformemente 74
  • 75. Condiciones de Dirichlet Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias. (1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo. (2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo. (3) ∫ T f ( x) dx < ∞ 75
  • 76. Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a: 1 2 ( + − f (x ) + f (x ) ) si x es un punto de discontinuidad. 76
  • 77. Desarrolla 0, −π < x < 0 en serie de Fourier: f ( x) =  π − x, 0≤ x <π T = 2π 2 π a0 = 2π ∫−π f ( x) dx 1 0 0dx + ∫ (π − x) dx  π π  ∫−π =  0   π 1  x  2 π = π x −  = π  2 0 2 77
  • 78. 1 1 0 0dx + ∫ (π − x) cos nx dx  π π an = π∫−π f ( x) cos nx dx = π  ∫−π  0   1  sin nx π 1 π  1 cos nx π = (π − x) + ∫ sin nx dx  = − π n 0 n 0   nπ n 0 − cos nπ + 1 1 − (−1) n = = nπ2 n 2π 1 π 1 bn = ∫ (π − x) sin nxdx = π 0 n π ∞ 1 − (−1) n 1  f ( x) = + ∑  2 cos nx + sin nx  4 n=1  n π n  78
  • 79. La función f es continua en (−π, π) excepto en x = 0. Así su serie de Fourier converge en x = 0 a: f ( 0 + ) + f (0 − ) π + 0 π = = 2 2 2 La serie es una extensión periódica de la función f. Las discontinuidades en x = 0, f (0+ ) + f (0− ) π ±2π, ±4π, … convergen a: = 2 2 79
  • 80. Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica π π 2 π 2 1 S1 = , S 2 = + cos x + sin x, S3 = + cos x + sin x + sin 2 x 4 4 π 4 π 2 80
  • 81. 81
  • 82. 82
  • 83. 83
  • 84. 84
  • 85. 85
  • 86. 86
  • 87. 87
  • 88. 88
  • 89. 89
  • 90. 90
  • 91. 91
  • 92. 92
  • 93. 93
  • 94. 94
  • 95. 95
  • 96. 96
  • 97. 97
  • 98. 98
  • 99. 99
  • 100. 100
  • 101. Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función f (t ) = 1 − t , t ∈ [ 0,1] 2 de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1]. Respuesta. Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L- periódica. ~ Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a (t ) f de ~ modo que: 1. f (t ) sea continua en [-L,L]. ~ 2. f ′(t ) sea continua a trozos en [-L,L]. 101
  • 102. La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1. Im (z) -1 1 Re (z) ~ a0 ∞   πn   πn   f (t ) = + ∑  an cos t  + bn sin  t     2 n =1   L   L  bn = 0 por ser función par 102
  • 103. 1 1 an = ∫ (1 − t ) cos(nπt )dt = 2 ∫ (1 − t ) cos(nπt )dt = 2  0 2 −1 ~ f par 4(−1) n =− (nπ ) 2 1 1 2 4 a0 = ∫ (1 − t )dt = 2∫ (1 − t )dt = 2 = 2 2 −1 0 3 3 ~ 2 4 ∞ (−1) n f (t ) = − 2 3 π ∑ n 2 cos( nπt ) n =1 ~ f (t ) = f (t ) = t∈[ 0 ,1] 103
  • 104. P2. Septiembre 2006 a) (4 puntos) 1. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π) 2. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-π,π] 3. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la ∞ 1 serie numérica ∑k 4 k =1 4. A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función g(x) = x(x2 – π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π) 104
  • 105. Respuesta. 1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0: a0 ∞ f ( x) = + ∑ an cos(nx) 2 n =1 2 π 2 2 2 a0 = ∫ x dx = π π 0 3 1 π 2 2 π 2 an = ∫ x cos(nx)dx = ∫ x cos(nx)dx = π −π π 0 105
  • 106. 2 1 2  π π π 2 2 =  x sin( nx) + 2 x cos(nx) − 3 sin( nx)  = π n  0 n 0 n 0  2 2π 4 = (−1) n an = 2 (−1) n π n2 n π 2 ∞ (−1)n f ( x) = + 4∑ 2 cos(nx) 3 n =1 n 106
  • 107. 2. f continua en [ - π , π ]  hay convergencia uniforme f ′ continua en ( - π , π )  3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval: ( ) 2 ∞ 1 a ∫−π [ f ( x)] dx = 2 + ∑ an + bn π 2 2 2 0 π n =1 π π 1 5 2 5 ∫−π ( x ) dx = x = π 2 2 5 −π 5 107
  • 108. 2 ∞ 2 4 2 2 1 1 π =  π  +16∑ 4 5 3  2 n =1 n ∞ 1 π 2 ∑ n 4 = 90 n =1 4. ( 2 2 ) g ( x) = x x − π , x ∈ [ − π , π ], 2π periódica ∞ (−1) n g ′( x) = 3x 2 − π 2 = 3 f ( x) − π = 12∑ 2 cos(nx) n =1 n (−1) n ∞ Por convergencia uniforme : g ( x) = 12∑ 3 sin( nx) n =1 n 108
  • 109. Fenómeno de Gibbs Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t). Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos. Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada: 4 f (t ) = [ sen(ω0t ) + 13 sen(3ω0t ) + 15 sen(5ω0t ) + ...] π 109
  • 110. 4 f (t ) = [ sen(ω0t )] π 1.5 Serie con 1 armónico 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 110
  • 111. 4 f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t )] π 3 5 1.5 Serie con 3 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 111
  • 112. 1.5 Serie con 5 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 112
  • 113. 1.5 Serie con 7 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 113
  • 114. 1.5 Serie con 13 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 114
  • 115. Fenómeno de Gibbs 1.5 Serie con 50 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 115
  • 116. Fenómeno de Gibbs 1.5 Serie con 100 armónicos 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 116
  • 117. 117
  • 118. Forma compleja de la serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2π/ω0. ∞ f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )] 2 n =1 Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler: inω0t − inω0t cos(nω0t ) = (e1 2 +e ) inω0t −inω0t sen(nω0t ) = 1 2i (e −e ) 118
  • 119. Sustituyendo: ∞ f (t ) = a0 + ∑ [a 1 2 1 n 2 (e inω0t +e −inω0t )+b 1 n 2i (e inω0t −e −inω0t )] n =1 Y usando el hecho de que 1/i = -i: ∞ f (t ) = 1 a0 + ∑ [ 1 (an − ibn )e inω0t + 1 (an + ibn )e −inω0t ] 2 2 2 n =1 Y definiendo: c0 ≡ 1 a0 , cn ≡ 1 (an − ibn ), c− n ≡ 1 (an + ibn ) 2 2 2 ∞ f (t ) = ∑ cn e n = −∞ inω0t ω0 = 2π T 119
  • 120. A la expresión obtenida ∞ f (t ) = ∑ cn einω0t n = −∞ se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: T ¿Forma e { } inω0t ∞ ∫ f (t )e −inω0t cn = 1 T dt n = −∞ un conjunto 0 ortogonal? Para n = 0, ±1, ±2, ±3, ... Demostrarlo. 120
  • 121. Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada: f(t) 1 t ... -T /2 0 /2 T T ... -1 Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (a n y bn), que eran an= 0 para todo n y 2 bn = [1 − (−1) n ] para todo n nπ 121
  • 122. Podemos calcular los coeficientes cn: cn = [an − ibn ] = −i 1 2 1 2 2 nπ [1 − (−1) ] n cn = −i 1 nπ [1 − (−1) ] n Entonces la serie compleja de Fourier queda: − i 5ω0t − i 3ω0t − iω 0 t f (t ) = i (... + e 2 π 1 5 + e 1 3 +e iω 0 t i 3ω0t i 5ω0t −e − e 1 3 − e 1 5 − ...) 122
  • 123. Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral: T cn = T ∫ f (t )e −inω0t dt 1 0 1  −inω0t  T /2 T =  ∫e dt + ∫ − e −inω0t dt  T 0  T /2   1  1 −inω0t T /2 T  =  −inωo e − 1 e −inω0t  T 0 −inωo  T /2  = 1 − inωoT (e [ −inω0T / 2 − 1) − (e −inω0T −e −inω0T / 2 ) ] 123
  • 124. Como ω0T = 2π y además: ± iθ e = cos θ ± isenθ cn = 1 −inωoT [(−1) − 1) − (1 − (−1) )] n n = −i 2 nω o T [1 − (−1) ] n = −i 1 nπ [1 − (−1) ] n que coincide con el resultado ya obtenido. 124
  • 125. Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside: 0 , − 1 ≤ x < 0 ∞ H ( x) =  H ( x) = ∑c e inπx  1, 0 ≤ x < 1 n n = −∞ 1 1 1 1 −inπx 1 −inπx 1 1 − inπx  cn = ∫ e H ( x)dx = ∫ e dx =  e  2 −1 20 2  − inπ 0 cn = [e − 1] = [ cos(nπ ) − isen(nπ ) − 1] = 1 i −inπ i 2 nπ 2nπ  0 ; si n es par i  [ cos(nπ ) − 1] =  − i ; si n es impar n ≠ 0 2 nπ  nπ  125
  • 126. 1 ∞ − i inπx 1 H ( x) = ∑c n e inπx = + ∑  − i inπx  e = + ∑ 2 Re  e  n = −∞ 2 0≠ n = −∞ nπ 2 n> 0  nπ  n impar n impar 1 1 -iππlx 1  1 0 ; si n es par  al0 = ∫ e c0 H(x)dx n==  −dx = − i 0x 1 1 2 ∫ ; si n es impar = ; c i 2 −1 2  nπ 2 0 1 2  − i ( cos(nπx) + isen(nπx) )  H ( x) = + ∑ Re   2 π n >0  n  n impar 1 2 sen(nπx) H ( x) = + ∑ 2 π n >0 n 126 n impar
  • 127. 127
  • 128. 128
  • 129. 129
  • 130. La función impulso o δ(t) delta de Dirac ∞ if t = 0 δ (t ) ≡   0 if t ≠ 0 t Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones: m −(mt ) 2 f m(t) = e δ(t) π f3(t) f2(t) f1(t) t 130
  • 131. δ(t) Propiedades de la función δ t ∞ ∫ δ (t ) dt = 1 −∞ ∞ ∞ ∫ δ (t − a) f (t ) dt = ∫ δ (t − a) f (a) dt = f (a) −∞ −∞ ∞ ∫ exp(±iωt ) dt = 2π δ (ω ) −∞ ∞ ∫ exp[±i(ω − ω ')t ] −∞ dt = 2π δ (ω − ω ') 131
  • 132. Calcular la serie de Fourier de δ(x): ∞ 1 1 −inπx 1 δ ( x) = ∑c n iπnx e → cn = ∫ e δ ( x)dx = n = −∞ 2 −1 2 1 ∞ inπx 1 1 δ ( x ) = ∑ e = + ∑ (e −inπx +e ) inπx 2 n = −∞ 2 2 n >0 1 = + ∑ cos(nπx) 2 n >0 1 δ (x ) = + ∑ cos(nπx) 2 n >0 132
  • 133. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 133
  • 134. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 134
  • 135. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 135
  • 136. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 136
  • 137. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 137
  • 138. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 138
  • 139. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 139
  • 140. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 140
  • 141. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 141
  • 142. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 142
  • 143. Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar: iφ n cn = c n e − iφ n Observemos que, − n = c = cn e * c n  bn  cn = 1 2 a +b 2 n 2 n φn = arctan −   a   n Donde , para todo n ≠ 0. c0 = 1 a0 2 Y para n = 0, c0 es un número real: 143
  • 144. Espectros de frecuencia discreta Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn. Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo. 144
  • 145. Espectros de frecuencia discreta Ejemplo. Para la función ya analizada: f(t) 1 t ... -T /2 0 /2 T T ... -1 Encontramos que: cn = −i n1π [1 − (−1) n ] 1 Por lo tanto: cn = [1 − (−1) ] n nπ 145
  • 146. A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular ω de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase φn de los coeficientes cn contra ω, se le llama el espectro de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular ω = nω0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas. 146
  • 147. El espectro de amplitud se muestra a continuación 0.7 Espectro de Amplitud de f(t) 0.6 0.5 Cn  0.4 0.3 0.2 0.1 0 -30 -20 -10 0 n 10 20 30 Frecuencia negativa Frecuencia (?) Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de ω0). 147
  • 148. El espectro de magnitud de una f(t) real, es una función PAR por lo que la gráfica para n ≥ 0 contiene toda la información acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de magnitud. El espectro de fase de una f(t) real, es una función IMPAR por lo que la gráfica para n ≥ 0 contiene toda la información acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de fase. 148
  • 149. Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos: ancos(nω0t) + bnsen(nω0t) se pueden expresar como:  an bn  an + bn  2 2 cos(nω0t ) + sen(nω0t )   a2 + b2 an + bn 2 2   n n  Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por: an + bn 2 2 149
  • 150.  an bn  an + bn  2 2 cos(nω0t ) + sen(nω0t )   a2 + b2 an + bn 2 2   n n   an  2 = cos θ n  an + bn  bn  2 Cn = an2 + bn2 bn  θ n = arctan  a  θn  bn = senθ n  n  a +b 2 2 an  n n Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno: Cn [ cos θ n cos(nω0t ) + senθ n sen(nω0t )] = Cn cos(nω0t − θ n ) 150
  • 151. Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como: ∞ f (t ) = C0 + ∑ Cn cos(nω0t − θ n ) n =1  bn  Con: Cn = a + b 2 n 2 n θ n = arctan  a   n Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y θn, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como: ∞ f (t ) = C0 + ∑ Cn sen(nω0t +151 n ) θ n =1
  • 152. Componentes y armónicos Hemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: ωn = nω0. A la componente sinusoidal de frecuencia nω0: cn cos(nω0t + θn) se le llama el enésimo armónico de f(t). Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t). A la frecuencia ω0= 2π f0 = 2π / T se le llama 152
  • 153. Ejemplo: La función f(t) = cos ( 3 ) + cos ( 4 ) t t Como vimos, tiene un periodo T = 24π, por lo tanto su frecuencia fundamental es ω0 = 2π/Τ = 1/12 rad/s. O como ω0= 2πf0, f0 = 1/Τ = 1/ 24π Hz. Su componente fundamental (n = 1) será: c0 cos(ω0t + θ0) = 0 cos(t/12). 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) 2 Tercer armónico: 1 cos(3t/12) = cos(t/4) f(t) 0 Cuarto armónico: -1 cos(4t/12) = cos(t/3) -2 24π -3 153 0 50 100 150 200 t
  • 154. Sea f (t ) una señal periódica con periodo T expresada en términos de la serie compleja de Fourier siguiente : ∞ f (t ) = ∑ cn e inω0t n = −∞ Derivando f (t ) respecto a t : ∞ d f ' (t ) = f (t ) = ∑ inω0 cn einω0t dt n = −∞ ∞ f ' (t ) = ∑ d n e inω0t n = −∞ donde los coeficientes d n vienen dados por d n = inω0 cn en consecuencia, f ' (t ) también es periódica y está representada por una serie de Fourier que es función del desarrollo en serie de 154 t ). f(
  • 155. Ejercicio: f(t) 0 20 -2 T0 = 10 4t ) = f(t -10 -5 5 10 t f '(t) T0 = 10 4 -10 -5 5 10 t -4 f ''(t) T0 = 10 8 -10 10 -5 5 t -8 155
  • 156. Potencia y Teorema de Parseval El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t) T Area = ∫ f ( t )dt f(t) 0 1 h = Altura Area = T h promedio t T 156
  • 157. De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por: T /2 ∫ 2 1 T [ f (t )] dt −T / 2 Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo. 157
  • 158. El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f(t): T /2 ∞ ∫ [ f (t )] dt = ∑ c 1 2 2 T n −T / 2 n = −∞ O bien, en términos de los coeficientes an, b n: T /2 ∞ 1 T ∫ [ f (t )] dt = a + 2 1 4 2 0 1 2 ∑ (a n =1 2 n +b ) 2 n −T / 2 158
  • 159. Teorema o identidad de Parseval T /2 1 1 2 1 ∞ 2 [ f (t )]2 dt = a0 + ∑ (an + bn ) T −T∫/ 2 2 4 2 n =1 ∞ f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )] 2 n =1 T /2 T /2 1 ∞  1 T ∫ f (t ) f (t )dt = T 1 ∫ f (t ) 2 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]dt = −T / 2 −T / 2  n =1  T /2 ∞ T /2 ∞ T /2 a0 an bn ∫ f (t )dt + ∑ ∫/ 2f (t ) cos(nω0t )dt + ∑ T −T∫/ 2f (t )sen(nω0t )dt = T −T / 2 n =1 T −T n =1 ( a0 1 ∞ 2 ) 2 + ∑ an + bn 2 159 4 2 n =1
  • 160. Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t): f(t) 1 t ... -T /2 0 T /2 T ... Solución. -1 Del teorema de Parseval T /2 ∞ ∫ [ f (t )] dt = ∑ C 1 2 2 T n y del ejemplo anterior −T / 2 n = −∞ cn = 1 nπ [1 − (−1) n ] sustituyendo ∞ 8  1 1 1  ∑c 2 n = 2 1+ + +  9 25 49 + ... n = −∞ π   160
  • 161. La serie numérica obtenida converge a 1 1 1 1+ + + + ... = 1.2337 9 25 49 Por lo tanto, T /2 ∞ 8 ∫ [ f (t )] dt = ∑ c 2 1 2 n = 2 (1.2337) = 1 T −T / 2 n = −∞ π Como era de esperar. 161
  • 162. a) Sean c1 , c2 ∈ ℜ , con c1 ≠ c2 y la función: c1 , x ∈ [ − π ,0 ) f ( x) =  1. Calcúlese la serie de Fourier de f. c2 , x ∈ [ 0, π ] 2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de ∞ ella calcule el valor de la serie: 1 ∑ ( 2n − 1) n =1 2 3. ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en x=0? c2 c1 -π π 162
  • 163. 1. 1 0 π a0 =  ∫ c1dx + ∫ c2 dx   = ( c1 + c2 )π = c + c π  −π  1 2 0 π c1  0 an =  ∫ cos nxdx   + c2  π cos nxdx  = c1 + c2 π cos nxdx =  ∫0 π ∫0  π −π  π   c1 + c2 = ( senπn − sen0) = 0 nπ c1  0 bn =  ∫ sen(nx)dx   + c2  π sen(nx)dx  = − c1 − c2 π sen(nx)dx =  ∫0 π ∫0  π −π  π   = c1 − c2 nπ ( cos πn − cos 0) = nπ ( c1 − c2 ) ( − 1) n − 1 ⇒ n = 2k → b2 k = 0  ⇒ 2( c2 − c1 ) n = 2k − 1 → b2 k −1 = ( 2k − 1)π  c1 + c2 2 ∞ ( c2 − c1 ) f ( x) = + ∑ sen( 2k − 1) x 2 π k =1 ( 2k − 1)π 163
  • 164. 2. c1 + c2  1  2( c2 − c1 ) ∞ 1 sen( 2k − 1) x f ( x) = 2 2π   + 2π  π ∑ ( 2k − 1)π k =1 π  1 cos nx sen(nx)  Como  , ,  es ortonormal en [ − π , π ] ⇒  2π π π  4( c1 − c2 ) ( ) 2 2 π  c2 + c1  ∞ 1 ⇒ π c2 + c1 = ∫ f ( x ) dx =  2π + ∑ ( 2k − 1) 2 ⇒ 2 2 2 −π  2  π k =1 ⇒ ( c1 − c2 ) 2 4 = 2 ( c1 − c2 ) ∑ 2 ∞ 1 ⇒∑ ∞ 1 = π2 π k =1 ( 2k − 1) k =1 ( 2k − 1) 2 2 2 8 3. c1 + c2 2 ∞ ( c2 − c1 ) c1 + c2 No. Puesto que f (0) = c2 y + ∑ sen( 2k − 1) 0 = 2 π k =1 ( 2k − 1)π 2 c1 + c2 y en general c2 ≠ f es continua a trozos 2 y tiene derivadas laterales 164
  • 165. a) A partir de la serie de Fourier de la función f ( x) = x π ∞ definida en el intervalo [ − π , π ] : f ( x) = + ∑ − 4 2 cos( ( 2n − 1) x ) determinar los valores de las series: 2 n=1 π ( 2n − 1) ∞ ∞ 1 1 1. ∑ ( 2n − 1) 2 2. ∑ ( 2n − 1) 4 n =1 n =1 1. Particularizando para x = 0, f(0) = 0 : π ∞ −4 0= +∑ cos( ( 2n − 1) 0 ) ⇒ 2 n =1 π ( 2n − 1) 2 π 4 ∞ 1 ⇒0= − ∑ ⇒ 2 π n =1 ( 2n − 1) 2 ∞ 1 −π π2 ⇒∑ = 2= n =1 ( 2n − 1) −4 2 8 π 165
  • 166. 2. Aplicando la identidad de Parseval : ( ) 2 ∞ 1 π a0 ∫π + ∑ an + bn 2 2 2 f ( x) dx = π − 2 n =1 −4 Sustituyendo f ( x) = x , a0 = π , an = , bn = 0 : π ( 2n − 1) 2 1 π π2 ∞ 16 ∫−π x 2 dx = +∑ 2 ⇒ π 2 n =1 π ( 2n − 1) 4 1 2π 3 π 2 16 ∞ 1 ⇒ = + 2∑ ⇒ π 3 2 π n =1 ( 2n − 1) 4 ∞ 1 π4 ⇒∑ = n =1 ( 2n − 1) 4 96 166

Notas del editor

  1. Outline: Central Scientific Problem – Artificial Intelligence Machine Learning: Definition Specifics Requirements Existing Solutions and their limitations Multiresolution Approximation: Limitation Our Approach. Results. Binarization. Plans.