(1) El documento describe la serie de Fourier y las funciones periódicas. (2) Euler descubrió en 1744 que la función (π-t)/2 puede aproximarse mediante una serie de senos. (3) Daniel Bernoulli propuso en 1753 resolver el problema de ondas mediante la superposición de ondas senos y cosinos con nodos.

1. Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", 1
Genaro González

2. La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:
π − t ∞ sen(nt )
f (t ) = =∑ =
2 n =1 n
sen(2t ) sen(3t )
sen(t ) + + + ...
2 3
¿Es cierto?
Observemos que en t = 0
hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
La clave está en el concepto de función periódica. 2

3. Funciones Periódicas
Una función periódica f(t) cumple que para todo
valor de t:
f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante
T que cumple lo anterior se le llama el periodo
fundamental (o simplemente periodo) de la
función.
Observa que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,...
3
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?

4. Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
f(t) = cos ( 3 ) + cos (
t t
4 )?
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
f(t + T) = cos ( t +T
3 ) + cos ( t +T
4 ) = f(t) = cos ( 3 ) + cos (
t t
4 )
Como cos(t + 2kπ) = cos(t) para cualquier entero k,
entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere
que:
T/3 = 2k1π y T/4 = 2k2π.
Es decir:
T = 6k1π = 8k2π
con k1 y k2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es
decir, T = 24π. 4

5. Gráfica de la función f(t) = cos ( 3 ) + cos (
t t
4 )
3
T f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2
1
f(t)
0
-1
-2
24π
-3
0 50 100 150 200
t
5

6. ¿Es la suma de dos funciones
periódicas una función periódica?
Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(ω1t) + cos(ω2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos
enteros m, n tales que:
ω1T = 2π m y ω2T = 2π n.
Es decir, que cumplan:
ω1 m
T = m/ (2π ω1) = n/ (2π ω2) =
ω2 n 6

7. Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((π+3)t)
tenemos que ω 3 1
=
ω2 3+ π
¿Es periódica?
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
2
1
f(t)
0
-1
-2
0 5 10 15 20 25 30
t 7

8. Para que exista periodicidad ω1/ ω2 debe ser
un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2) f(t) = sen2(2πt)
3) f(t) = sen(t) + sen(t + π/2)
4) f(t) = sen(ω1t) + cos(ω2t)
5) f(t) = sen(√2 t) 8

9. Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo
T < min(T1,T2)?
T1 = 5
T2 = 5
T = 2,5
9

10. Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de
igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan
pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
 1  1
0≤t ≤
sen(2 Nπt ), 0 ≤ t ≤ N 0, N
f1 (t ) =  f 2 (t ) = 
1 1
 0, < t <1 sen(2 Nπt ), < t <1
 N  N
extendida periódicamente con T = 1: extendida periódicamente con T = 1:
f1 (t ) = f1 (t + 1), − ∞ < t < +∞ f 2 (t ) = f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞
 sen(2 Nπt ) , 0 ≤ t <1
f1 (t ) + f 2 (t ) = 
 f1 (t + 1) + f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞
2π 2π 1
T= = =
ω 2 Nπ N 10

11. ¿Puede una función f(t) cumplir la condición
f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo
fundamental?
1 si t es un entero
f1 (t ) = 
0 si t no es un entero
1 si t y t + T son enteros
f1 (t ) = f1 (t + T ) = 
0 si t y t + T no son enteros
⇒ T =1
11

12. 1 si t es racional pero no un entero
f 2 (t ) = 
0 si t es irracional o es un entero
1 si t y t + T son racionales pero no enteros
f 2 (t ) = f 2 (t + T ) = 
0 si t y t + T son irracionales o enteros
⇒ T =1
 1 si t es racional
f1 (t ) + f 2 (t ) = 
 0 si t es irracional
T=? 12

13. Volvamos al resultado π − t = sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ...
de Euler: 2 2 3
S (t ) = e it + e i 2t + e i 3t + ...

¿Cómo lo alcanzó?  it
e S (t ) = e i 2t + e i 3t + ...

Utilizando la fórmula de e it 1 1 sen t
Euler para cada término: S (t ) = = − +i
1 − e it 2 2 1 − cos t
S (t ) = e + e + e + ... =
it i 2t i 3t
cos t + cos(2t ) + cos(3t ) + ... + i { sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ...}

1
−
Integrando 2 sen(2t ) sen(3t ) 1
término a término: sen t + + + ... = − t + C
2 3 2
Particularizamos t π 1 1 1 π π
para encontrar C: t = → 1 − + − + ... = − + C ; C =
2 5 
3  7  4 2
π 13
4

14. π −t sen(2t ) sen(3t )
= sen t + + + ...
2 2 3
π +t sen(−2t ) sen(−3t )
= sen(− t ) + + + ...
2 2 3
t π sen(2t ) sen(3t )
+ = − sen(t ) − − − ...
2 2 2 3
Fourier series java applet
(http://www.falstad.com/fourier/) 14

15. (1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar.
No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de
periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.
Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...
Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o
sospechada ni por Euler, ni por Fourier... 15

16. Leonhard Euler
Jean 1707-1783
d'Alembert
1717-1783
Daniel
Lagrange
Bernouilli
1700-1782
16

17. Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.
Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible
tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de una
función. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una 17 función.
Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.

18. 18

19. En realidad la forma de solucionar el problema por parte
de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta.
Se basó en la superposición de ondas y tomó como
solución:
un(x,t) = sin(nx) cos(nt)
donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos
o nodos.
∞
u( x ,t ) = ∑ an sen( nx ) cos( nt )
n =1
Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...
19

20. Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)
∂ u( x ,t ) ∂ u( x ,t )
2 2
= ; c.i . y c.c.
∂t 2
∂x 2
X ' ' ( x ) + λX ( x ) = 0 , x ∈ ( 0 ,1 ), X ( 0 ) = X ( 1 ) = 0
T ' ' ( t ) + λT ( t ) = 0 , t > 0.
Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:
∞
f ( x ) = u( x ,0 ) = ∑ an sen( nx )
n =1
con una adecuada elección de los coeficientes an...
20

21. Joseph Fourier
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente
artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse
en forma de serie trigonométrica
semejante al ejemplo de Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier
1768-1830
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
era uno de los muchos que opinaba que algo así
era simplemente imposible... 21

22. Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.
Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).
22

23. Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la
ecuación del calor o de difusión:
∂ u 1 ∂u
2
=
∂x 2
k ∂t
Describe cómo el calor o una gota de tinta se
difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables
trasatlánticos, edad de la Tierra,...
23

24. ∂ 2u( x ,t ) 1 ∂u( x ,t ) u( x ,t ) = X ( x )T ( t )
=
∂x 2
k ∂t X ( x )T ' ( t ) = X ' ' ( x )T ( t )
u( 0 ,t ) = u( π,t ) = 0; t ≤ 0
con X ( 0 ) = X ( π ) = 0
u( x ,0 ) = f ( x ); 0 ≤ x ≤ π
Dividiendo entre X(x)T(t):
T' ( t ) X ' ' ( x )
= =A , A = cte.
T( t ) X( x )
T ' ( t ) = AT ( t ); T ( t ) = C0 e At
X ' ' ( x ) = AX ( x ); X ( x ) = C1 cos( − A x ) + C2 sen( − A x )
C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...
− n 2t
u n ( x ,t ) = e sen( nx ) 24

25. − n 2t
La combinación lineal de soluciones u n ( x ,t ) = e sen( nx )
será también solución:
∞
u( x , t ) = ∑ a n u n ( x , t )
n =1
Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los
coeficientes an.
25

26. Serie trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo
T pueden expresarse por la siguiente serie,
llamada serie trigonométrica de Fourier
f (t ) = 1 a0 + a1 cos(ω0t ) + a2 cos(2ω0t ) + a3 cos(3ω0t ) + ...
2
... + b1sen(ω0t ) + b2 sen(2ω0t ) + b3 sen(3ω0t ) + ...
Donde ω0 = 2π/T se denomina frecuencia
fundamental.
∞
f (t ) = a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
1
2
26
n =1

27. π −t sen(2t ) sen(3t )
= sen t + + + ...
2 2 3
∞
f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
2
n =1
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...
b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...
27

28. ¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una función periódica f(t), ¿cómo se
obtiene su serie de Fourier?
∞
f(t) = 1 a0 + ∑ [an cos (nω0t) + bn sen(nω0t)]
2
n =1
Necesitamos calcular los coeficientes
a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Lo haremos gracias a la ortogonalidad de
las funciones seno y coseno.
28

29. Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)}
son ortogonales en el intervalo a < t < b si
dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de
dicho conjunto cumplen:
b
0 para m ≠ n
∫
a
f m(t)f n(t)dt = 
rn para m = n
29

30. Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el
intervalo –1 < t < 1, ya que:
1 1 4 1
t
∫1t t dt = −∫1t dt = 4 =0
2 3
− −1
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son
ortogonales en el intervalo –π < t <π, ya que
π 2 π
sen t
∫π sent cos tdt = 2
− −π
=0
¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?
30

31. Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un
par de funciones, el siguiente es un conjunto de
una infinidad de funciones ortogonales en el
intervalo -T/2< t < T/2:
{1, cos(ω0t), cos(2ω0t), cos(3ω0t),...,
sen(ω0t), sen2ω0t, sen3ω0t,...}
con ω0= 2π/Τ.
31

32. Vamos a verificarlo probándolo a pares:
1.- f(t) = 1 vs. cos(mω0t): ω0= 2π/Τ
T/ 2 T/ 2
sen(mω0t)
∫ 1cos (mω0t)dt = mω0
−T/ 2 −T/ 2
=
2 sen(mω0T/ 2 ) 2 sen(mπ )
= = =0
mω0 mω0
Ya que m es un entero.
32

33. 2.- f(t) = 1 vs. sen(mω0t): ω0= 2π/Τ
T/ 2 T/ 2
− cos (mω0t)
∫ 1 sen(mω0t)dt = mω0
−T/ 2 −T/ 2
=
−1
= [ cos (mω0T/ 2 )- cos (mω0T/ 2 )] = 0
mω0
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]
3.- cos(mω0t) vs. cos(nω0t): cos2θ = ½ (1+cos2θ)
T /2
 0 para m ≠ n
∫/ cos(mω0 t)cos(nω0 t)dt = T / 2
−T 2  para m = n ≠ 0
33

34. sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]
sen2 A =½ (1-cos2θ)
4.- sen(mω0t) vs. sen(nω0t):
T/ 2
 0 para m ≠ n
∫ 2sen(mω0t)sen(nω0t)dt = T/ 2
−T/  para m = n ≠ 0
5.- sen(mω0t) vs. cos(nω0t):
sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
T/ 2
∫ sen(mω t) cos (nω t)dt = 0
−T/ 2
0 0 para cualquier m,n
34

35. ¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Vamos a aprovechar la ortoganilidad que
acabamos de demostrar del conjunto de
funciones: {1, cos(ω0t), cos(2ω0t), cos(3ω0t),...,
sen(ω0t), sen2ω0t, sen3ω0t,...}
con ω0= 2π/Τ, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para
calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,...
de la serie de Fourier:
∞
f(t) = 1 a0 + ∑ [an cos (nω0t) + bn sen(nω0t)]
2
n =1
35

36. Multiplicando ambos miembros de la igualdad por
cos(mω0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
T /2 T /2 0, si m ≠ 0
∫
−T / 2
f (t ) cos(mω0t )dt = 1 a0
2 ∫ cos (mω t)dt +
−T / 2
0
∞ T /2 0, si m ≠ 0
∑ a ∫ cos (nω t) cos (mω t)dt +
n =1
n 0 0 T/2, si m = n
−T / 2
∞ T /2 0
∑ b ∫ sen(nω t) cos (mω t)dt
n =1
n 0 0
−T / 2
T /2
am = T
2
∫ f (t ) cos(mω t )dt
−T / 2
0 m = 1, 2, 3,...
36

37. Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar a parte:
T /2 T /2 T, si m = 0
∫
−T / 2
f (t ) cos(mω0t )dt = 1 a0
2 ∫ cos (mω t)dt +
−T / 2
0
∞ T /2 0, si m ≠ 0
∑ a ∫ cos (nω t) cos (mω t)dt +
n =1
n 0 0
T/2, si m = n
−T / 2
T /2 0
∞
∑ b ∫ sen(nω t) cos (mω t)dt =
n =1
n 0 0
−T / 2
1 T /2
a0T 2
2 a0 =
T ∫
−T / 2
f (t )dt
37

38. Similarmente, multiplicando por sen(mω0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
T /2 T /2 0
∫
−T / 2
f (t ) sen(mω0t) dt = 1 a0
2 ∫ sen(mω t)dt +
−T / 2
0
T /2
0
∞
∑ a ∫ cos (nω t)sen(mω t)dt +
n =1
n 0 0
−T / 2
∞ T /2 0, si m ≠ 0
∑ b ∫ sen(nω t)sen(mω t)dt
n =1
n 0 0
T/2, si m = n
−T / 2
T /2
bm = T
2
∫ f (t )sen(mω t )dt
−T / 2
0 m = 1, 2, 3,...
38

39. Un ejemplo históricamente importante:
Encontrar la serie de Fourier para la función
de onda cuadrada de periodo T:
f(t)
1
t
... -T
/2 0
/2
T T ...
-1
La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
− 1 para − T < t < 0
f (t ) =  2
ω0= 2π/Τ
 1 para 0 < t < T
2
39

40. Coeficiente a0:
T /2
− 1 para − T < t < 0
f (t ) =  2
a0 = T
1
∫ f (t )dt
−T / 2
 1 para 0 < t < T
2
 0 T /2
  0 T /2

a0 = T  ∫ − dt + ∫ dt  = T − t
2 2
+t =0
 −T / 2 0  
 −T / 2 0 

40

41. Coeficientes an:
T /2
− 1 para − T < t < 0
f (t ) = 
1
2
para 0 < t < T
an = T
2
∫ f (t ) cos(nω t )dt
0
 2 −T / 2
 0 T /2

an = T  ∫ − 1⋅ cos(nω0t )dt + ∫ 1⋅ cos(nω0t )dt 
2
 −T / 2 0 
 1 0
1
T /2

= T −
2
sen(nω0t ) + sen(nω0t )  = 0
 nω 0
 −T / 2 nω 0 0  
para n ≠ 0
41

42. Coeficientes bn:
T /2
− 1 para − T < t < 0
f (t ) =  2 bn = T
2
∫ f (t )sen(nω t )dt
0
 1 para 0 < t < T
2
−T / 2
 0 T /2

bn = T  ∫ − sen(nω0t )dt + ∫ sen(nω0t )dt  =
2
 −T / 2 0 
 1 0
1 T /2

=T
2
cos(nω0t ) − cos(nω0t ) 
 nω 0
 −T / 2 nω 0 0  
1
= [ (1 − cos(nπ )) − (cos(nπ ) − 1)]
nπ
=
2
nπ
[1 − (−1) n )] para n ≠ 0
42

43. Finalmente, la serie de Fourier queda como
4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...]
π 3 5
4 ∞ 1
f (t ) = ∑ sen( (2n − 1)ω0t ) )
π n =1 2n − 1
En la siguiente figura se muestran: la
componente fundamental y los armónicos 3,
5 y 7, así como la suma parcial de estos
primeros cuatro términos de la serie para
ω0 = π (ω0= 2π/Τ), es decir, T = 2:
43

44. 4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...]
π 3 5
Componentes de la Serie de Fourier
1.5
1
Componentes
0.5
0
-0.5
Suma
fundamental
-1 tercer armó nico
quinto armó nico
sé ptimo armó nico
-1.5
-1 -0.5 0 t 0.5 1
44
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

45. Nota:
Para expresarse como serie de Fourier
f(t), no necesita estar centrada en el origen.
Simplemente debemos tomar el intervalo,
donde está definida, como el periodo de la
serie.
La ortogonalidad de las funciones seno y
coseno no sólo se da en el intervalo de
–T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que
cubra un periodo completo:
de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,
con el mismo resultado. 45

46. Habíamos calculado f(t)
1
los coeficientes para:
t
... -T
/2 0
/2
T T ...
− 1 para − T / 2 < t < 0
f (t ) = 
1 para 0 < t < T / 2 -1
Si los calculamos para la misma función desplazada
tienen que ser los mismos: f(t)
1
 1 para 0 ≤ t < T / 2
f (t ) =  t
− 1 para T / 2 ≤ t < T /2 /2
... -T 0 T T ...
-1
Repite los cálculos y compruébalo. 46

47. f(t)
De hecho si repetimos 1
para cualquier intervalo
t
de longitud el periodo
T de la función, será lo
-1
mismo: ...
t0 t0 +T ...
T /2 T t 0 +T
a0 = T
1
∫
−T / 2
f (t )dt = T ∫ f (t )dt = T
2
0
2
∫
t0
f (t )dt = T ∫ f (t )dt
2
T
T /2
an = T
2
∫
−T / 2
f (t ) cos(nω0t )dt = ... = T ∫ f (t ) cos(nω0t )dt
2
T
T /2
bn = T
2
∫
−T / 2
f (t ) sen(nω0t )dt = ... = T ∫ f (t ) sen(nω0t )dt
2
T 47

48. Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
π −t
f (t ) =
2
la función con la que empezamos el tema.
O sea, demostrar que Euler tenía razón.
48

49. Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
2π
f (t ) = 1 + cos(3t ) de periodo T =
3
2π
3
2 3
a0 = ∫ f (t )dt = ∫ (1 + cos(3t ))dt = 2
T T π 0
2π
2 3 3
1, si n = 1
an = ∫ f (t ) cos(nω0t )dt = ∫ (1 + cos(3t )) cos(nω0t )dt = 0, si n ≠ 1
T T π 0 
2π
3
2 3
bn = ∫ f (t ) sen(nω0t )dt = ∫ (1 + cos(3t ))sen(nω t )dt = 0
0 para todo n
T T π 0
La serie
en definitiva es la
∞ ∞ propia
f (t ) = 1 + ∑ an cos(nω0t ) + ∑ bn sen(nω0t ) = 1 + cos(3t ) función...
n =1 n =1 49

50. Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida
sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de
Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al
intervalo de definición. En muchos libros se habla de
extender de forma par o impar una función. La serie de
Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:
t
Extensión par
t
Extensión impar 50

51. Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice
función par (o con simetría par) si su
gráfica es simétrica respecto al eje vertical,
es decir, la función f(t) es par si
f(t) = f(-t)
f(t)
t
−2π −π π 2π
51

52. En forma similar, una función f(t) se dice
función impar (o con simetría impar), si su
gráfica es simétrica respecto al origen, es
decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
f(t)
t
−2π −π π 2π
52

53. Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son
pares o impares?
f(t) = t + 1/t ,
g(t) = 1/(t2+1).
Solución:
Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es
función impar.
Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por
lo tanto g(t) es función par.
53

54. Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o
impar? (f es una función arbitraria).
Solución:
Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).
Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),
finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que
h(t) es función par, sin importar como sea
f(t).
54

55. Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior,
todas las funciones siguientes son pares:
h(t) = sen (1+t2)
h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)
h(t) = cos (2+t2) + 1
h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2
etc...
Ya que todas tienen la forma f(1+t2).
55

56. • Si f (x) es par:
a a
∫ f ( x)dx
−a
= 2 ∫ f ( x)dx
0
a a
∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx
0
−a
-a a
56

57. • Si f (x) es impar:
a
∫ f ( x)dx = 0
−a
a
∫ f ( x)dx
−a
-a a
57

58. Como la función sen(nω0t) es una función
impar para todo n y la función cos(nω0t) es
una función par para todo n, es de esperar
que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no
contendrá términos seno, por lo tanto
bn= 0 para todo n.
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no
contendrá términos coseno, por lo tanto
an= 0 para todo n. 58

59. Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos
analizado:
f(t)
1
t
... -T
/2 0
/2
T T ...
-1
Es una función impar, por ello su serie de
Fourier no contiene términos coseno:
4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t ) + ...]
π 3 5
59

60. P2. Septiembre 2005
a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones
f ( x) = sin x y g ( x) = cos x en − π ≤ x ≤ π
Respuesta.
a0 ∞
f ( x) = + ∑ [ an cos(nx) + bn sin( nx)]
2 n =1
f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0
60

61. 1 π 2 π
an = ∫ f ( x) cos(nx)dx = ∫ sin x cos(nx)dx =
π −π π 0
1 π
= ∫ [ sin(1 + n) x + sin(1 − n) x ] dx =
π 0
1 2
= [ cos(n − 1)π − 1]
π n −1
2
4 −4
a0 = ; a n = , n par; an = 0, n impar
π π (n − 1)
2
61

62. 2 ∞ 4 cos(2nx)
sin x = − ∑
π n =1 π 4n − 1
2
f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0
1 π 4 π /2
an = ∫ g ( x) cos(nx)dx = ∫ cos x cos(nx)dx =
π −π π 0
2 π /2
= ∫ [ cos(n + 1) x + cos(n − 1) x ] dx
π 0 62

63. 4 ±4
a0 = ; a n = , n par; an = 0, n impar
π π (n − 1)
2
2 4 (−1) cos(2nx)
∞ n
cos x = − ∑
π n =1 π 4n − 1
2
63

64. Onda triangular
(Triangle Wave)
π 4  cos x cos 3 x cos 5 x 
−  2 + + + 
2 π 1 3 2
5 2

64

65. Right Triangular Wave
 sin x sin 2 x sin 3 x 
2 − + − 
 1 2 3 
65

66. Saw Tooth Wave
 sin x sin 2 x sin 3 x 
π − 2 + + + 
 1 2 3 
66

67. Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
f (t ) = cos(αt ), − π < t < π
con periodo T = 2π (frecuencia fundamental
ω0 = 1) y α un número real no entero, es:
sen(α π ) 1 ∞
(−1) n

cos(α t ) =  + 2α ∑ 2 cos(n t ) 
π α n =1 α − n
2

67

68. sen(α π ) 1 ∞
(−1) n

cos(α t ) =  + 2α ∑ 2 cos(n t ) 
π α n =1 α − n
2

−π < t < π
Observa que si tomamos t = 0 entonces:
π 1 (−1)
∞ n
= + 2α ∑ 2
sen(α π ) α n =1 α − n
2
y con α = 1/2.
∞
(−1) n ∞
(−1) n
π = 2+∑ = 2 + 4∑
n =1 (1 / 2) − n
2 2
n =1 1 − 4n 2 68

69. sen(α π ) 1 ∞
(−1) n

cos(α t ) =  + 2α ∑ 2 cos(n t ) 
π α n =1 α − n
2

−π < t < π
O que si tomamos t = π entonces: cos(π t ) = (−1) n
sen(α π ) 1 ∞
1 
cos(α π ) = α + 2α ∑ α 2 − n 2 
π  n =1 
π 1 ∞
1
= + 2α ∑ 2
tan(α π ) α n =1 α − n
2
¿Es correcto el resultado? 69

70. Convergencia uniforme
Que la integral traspase los sumatorios en la
deducción de las fórmulas para los coeficientes
de la serie de Fourier, equivale a asumir que la
serie converge uniformemente... Recordemos
qué es convergencia uniforme.
∞
Sea la serie infinita: S ( x) = ∑ un ( x)
n =1
y definamos sus sumas parciales como:
k
S k ( x) = ∑ un ( x)
n =1 70

71. Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si
∀ε > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:
S k ( x) − f ( x) < ε siempre que k > N
Observemos que en general N dependerá de ε y
del punto x (convergencia puntual).
Si N solo depende de ε, pero no de x, decimos que
la convergencia es uniforme.
Que la serie sea uniformemente convergente es
"bueno" porque:
71

72. (1) Si cada término un(x) de una serie es
continuo en (a, b) y la serie es uniformemente
convergente a f(x), entonces:
(a) f(x) es también continua en (a, b).
b ∞ ∞
∫ ∑ u ( x)dx = ∑ ∫ u ( x)dx
b
(b) n n
a a
n =1 n =1
(2) Si cada término un(x) de una serie posee
derivada en (a, b) y la serie derivada es
uniformemente convergente, entonces:
∞ ∞
d d
∑ un ( x) = ∑ dx un ( x)
dx n =1 n =1
72

73. ¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie?
(1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y
aplicar la definición o
(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:
Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| ≤ Mn y además
∞ ∞
∑M
n =1
n converge ⇒ ∑ u ( x) converge
n =1
n uniformemente
73

74. Ejemplo:
∞
sen(nx)
S ( x) = ∑ 2
en (−π , π )
n =1 n
1 sen(nx) 1
Mn = 2 ⇒ 2
≤ 2
n n n
∞
1 π 2
∑ n2 = 6
n =1
⇒ S converge uniformemente
74

75. Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de Fourier
de f(x), suficientes pero no necesarias.
(1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades
en un periodo.
(2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos
en un periodo.
(3)
∫
T
f ( x) dx < ∞
75

76. Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces
la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto
de continuidad y a:
1
2
( + −
f (x ) + f (x ) )
si x es un punto de discontinuidad.
76

77. Desarrolla 0, −π < x < 0
en serie de Fourier: f ( x) = 
π − x, 0≤ x <π
T = 2π
2 π
a0 =
2π ∫−π f ( x) dx
1 0
0dx + ∫ (π − x) dx 
π
π  ∫−π
=
 0 

π
1  x 
2
π
= π x −  =
π  2 0 2
77

78. 1 1 0
0dx + ∫ (π − x) cos nx dx 
π π
an =
π∫−π f ( x) cos nx dx =
π  ∫−π
 0 

1  sin nx
π
1 π  1 cos nx
π
= (π − x) + ∫ sin nx dx  = −
π n 0 n 0 
 nπ n 0
− cos nπ + 1 1 − (−1) n
= =
nπ2
n 2π
1 π 1
bn = ∫ (π − x) sin nxdx =
π 0 n
π ∞ 1 − (−1) n 1 
f ( x) = + ∑  2 cos nx + sin nx 
4 n=1  n π n 
78

79. La función f es continua en (−π, π) excepto en x = 0. Así su
serie de Fourier converge en x = 0 a:
f ( 0 + ) + f (0 − ) π + 0 π
= =
2 2 2
La serie es una extensión periódica de la
función f. Las discontinuidades en x = 0,
f (0+ ) + f (0− ) π
±2π, ±4π, … convergen a: =
2 2
79

80. Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica
π π 2 π 2 1
S1 = , S 2 = + cos x + sin x, S3 = + cos x + sin x + sin 2 x
4 4 π 4 π 2
80

81. 81

82. 82

83. 83

84. 84

85. 85

86. 86

87. 87

88. 88

89. 89

90. 90

91. 91

92. 92

93. 93

94. 94

95. 95

96. 96

97. 97

98. 98

99. 99

100. 100

101. Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la
función
f (t ) = 1 − t , t ∈ [ 0,1]
2
de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].
Respuesta.
Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-
periódica.
~
Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a (t )
f de
~
modo que: 1. f (t ) sea continua en [-L,L].
~
2. f ′(t ) sea continua a trozos en [-L,L].
101

102. La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es
continua en [-L,L] ) con L = 1.
Im (z)
-1 1 Re (z)
~ a0 ∞   πn   πn  
f (t ) = + ∑  an cos t  + bn sin  t  
 
2 n =1   L   L 
bn = 0 por ser función par
102

103. 1 1
an = ∫ (1 − t ) cos(nπt )dt = 2 ∫ (1 − t ) cos(nπt )dt =
2
 0
2
−1 ~
f par
4(−1) n
=−
(nπ ) 2
1 1 2 4
a0 = ∫ (1 − t )dt = 2∫ (1 − t )dt = 2 =
2 2
−1 0 3 3
~ 2 4 ∞
(−1) n
f (t ) = − 2
3 π
∑ n 2 cos( nπt )
n =1
~
f (t ) = f (t ) =
t∈[ 0 ,1]
103

104. P2. Septiembre 2006
a) (4 puntos)
1. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π)
2. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a
f(x) en [-π,π]
3. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la
∞
1
serie numérica ∑k 4
k =1
4. A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el
desarrollo en serie de Fourier de la función
g(x) = x(x2 – π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π)
104

105. Respuesta.
1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0:
a0 ∞
f ( x) = + ∑ an cos(nx)
2 n =1
2 π 2 2 2
a0 = ∫ x dx = π
π 0 3
1 π 2 2 π 2
an = ∫ x cos(nx)dx = ∫ x cos(nx)dx =
π −π π 0
105

106. 2 1 2 
π π π
2 2
=  x sin( nx) + 2 x cos(nx) − 3 sin( nx)  =
π n
 0 n 0 n 0

2 2π 4
= (−1) n an = 2 (−1) n
π n2 n
π 2 ∞
(−1)n
f ( x) = + 4∑ 2 cos(nx)
3 n =1 n
106

107. 2.
f continua en [ - π , π ] 
hay convergencia uniforme
f ′ continua en ( - π , π ) 
3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:
( )
2 ∞
1 a
∫−π [ f ( x)] dx = 2 + ∑ an + bn
π 2 2 2 0
π n =1
π
π 1 5 2 5
∫−π ( x ) dx = x = π
2 2
5 −π 5
107

108. 2 ∞
2 4 2 2 1 1
π =  π  +16∑ 4
5 3  2 n =1 n
∞
1 π 2
∑ n 4 = 90
n =1
4. ( 2 2
)
g ( x) = x x − π , x ∈ [ − π , π ], 2π periódica
∞
(−1) n
g ′( x) = 3x 2 − π 2 = 3 f ( x) − π = 12∑ 2 cos(nx)
n =1 n
(−1) n
∞
Por convergencia uniforme : g ( x) = 12∑ 3 sin( nx)
n =1 n 108

109. Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se
trunca para lograr una aproximación en suma
finita de senos y cosenos, es natural pensar que a
medida que agreguemos más armónicos, el
sumatorio se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades
de f(t), en donde el error de la suma finita no
tiende a cero a medida que agregamos
armónicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u
onda cuadrada:
4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 13 sen(3ω0t ) + 15 sen(5ω0t ) + ...]
π 109

110. 4
f (t ) = [ sen(ω0t )]
π
1.5
Serie con 1 armónico
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
110

111. 4
f (t ) = [ sen(ω0t ) + 1 sen(3ω0t ) + 1 sen(5ω0t )]
π 3 5
1.5
Serie con 3 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
111

112. 1.5
Serie con 5 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
112

113. 1.5
Serie con 7 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
113

114. 1.5
Serie con 13 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
114

115. Fenómeno de Gibbs
1.5
Serie con 50 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
115

116. Fenómeno de Gibbs
1.5
Serie con 100 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1 -0.5 0 0.5 1
116

117. 117

118. Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una
función periódica f(t), con periodo T = 2π/ω0.
∞
f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
2
n =1
Es posible obtener una forma alternativa
usando las fórmulas de Euler:
inω0t − inω0t
cos(nω0t ) = (e1
2 +e )
inω0t −inω0t
sen(nω0t ) = 1
2i (e −e )
118

119. Sustituyendo:
∞
f (t ) = a0 + ∑ [a
1
2
1
n 2 (e inω0t
+e −inω0t
)+b 1
n 2i (e inω0t
−e −inω0t
)]
n =1
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
∞
f (t ) = 1 a0 + ∑ [ 1 (an − ibn )e inω0t + 1 (an + ibn )e −inω0t ]
2 2 2
n =1
Y definiendo: c0 ≡ 1 a0 , cn ≡ 1 (an − ibn ), c− n ≡ 1 (an + ibn )
2 2 2
∞
f (t ) = ∑ cn e
n = −∞
inω0t
ω0 =
2π
T
119

120. A la expresión obtenida ∞
f (t ) = ∑ cn einω0t
n = −∞
se le llama forma compleja de la serie de
Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a
partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o
bien:
T
¿Forma e { }
inω0t ∞
∫ f (t )e
−inω0t
cn = 1
T dt n = −∞
un conjunto
0
ortogonal?
Para n = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Demostrarlo. 120

121. Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la
serie de Fourier para la función ya tratada:
f(t)
1
t
... -T
/2 0
/2
T T ...
-1
Solución 1. Como ya se calcularon los
coeficientes de la forma trigonométrica (a n y
bn), que eran an= 0 para todo n y
2
bn = [1 − (−1) n ] para todo n
nπ
121

122. Podemos calcular los coeficientes cn:
cn = [an − ibn ] = −i
1
2
1 2
2 nπ [1 − (−1) ] n
cn = −i 1
nπ [1 − (−1) ] n
Entonces la serie compleja de Fourier
queda:
− i 5ω0t − i 3ω0t − iω 0 t
f (t ) = i (... + e
2
π
1
5 + e
1
3 +e
iω 0 t i 3ω0t i 5ω0t
−e − e 1
3 − e
1
5 − ...)
122

123. Solución 2. También podemos calcular los
coeficientes cn mediante la integral:
T
cn = T ∫ f (t )e −inω0t dt
1
0
1  −inω0t 
T /2 T
=  ∫e dt + ∫ − e −inω0t
dt 
T 0
 T /2


1  1 −inω0t T /2 T

=  −inωo e − 1
e −inω0t 
T 0
−inωo 
T /2 
=
1
− inωoT
(e [
−inω0T / 2
− 1) − (e −inω0T
−e −inω0T / 2
) ]
123

124. Como ω0T = 2π y además:
± iθ
e = cos θ ± isenθ
cn = 1
−inωoT [(−1) − 1) − (1 − (−1) )]
n n
= −i 2
nω o T [1 − (−1) ] n
= −i 1
nπ [1 − (−1) ] n
que coincide con el resultado ya obtenido.
124

125. Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
0 , − 1 ≤ x < 0 ∞
H ( x) =  H ( x) = ∑c e inπx
 1, 0 ≤ x < 1
n
n = −∞
1 1 1
1 −inπx 1 −inπx 1 1 − inπx 
cn = ∫ e H ( x)dx = ∫ e dx =  e 
2 −1 20 2  − inπ 0
cn = [e − 1] = [ cos(nπ ) − isen(nπ ) − 1] =
1 i −inπ i
2 nπ 2nπ
 0 ; si n es par
i 
[ cos(nπ ) − 1] =  − i ; si n es impar n ≠ 0
2 nπ  nπ
 125

126. ∞
1 ∞
− i inπx 1
H ( x) = ∑c n e inπx
= + ∑  − i inπx 
e = + ∑ 2 Re  e 
n = −∞ 2 0≠ n = −∞ nπ 2 n> 0  nπ 
n impar n impar
1
1 -iππlx 1  1 0 ; si n es par

al0 = ∫ e c0 H(x)dx n==  −dx =
− i 0x 1 1
2 ∫ ; si n es impar
= ; c i
2 −1 2  nπ 2
0
1 2  − i ( cos(nπx) + isen(nπx) ) 
H ( x) = + ∑ Re  
2 π n >0  n 
n impar
1 2 sen(nπx)
H ( x) = + ∑
2 π n >0 n 126
n impar

127. 127

128. 128

129. 129

130. La función impulso o δ(t)
delta de Dirac
∞ if t = 0
δ (t ) ≡ 
 0 if t ≠ 0 t
Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en
la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:
m −(mt ) 2
f m(t) = e
δ(t) π
f3(t)
f2(t)
f1(t)
t 130

131. δ(t)
Propiedades de la función δ
t
∞
∫ δ (t ) dt = 1
−∞
∞ ∞
∫ δ (t − a) f (t ) dt = ∫ δ (t − a) f (a) dt = f (a)
−∞ −∞
∞
∫ exp(±iωt ) dt = 2π δ (ω )
−∞
∞
∫ exp[±i(ω − ω ')t ]
−∞
dt = 2π δ (ω − ω ')
131

132. Calcular la serie de Fourier de δ(x):
∞ 1
1 −inπx 1
δ ( x) = ∑c n
iπnx
e → cn = ∫ e δ ( x)dx =
n = −∞ 2 −1 2
1 ∞ inπx 1 1
δ ( x ) = ∑ e = + ∑ (e −inπx
+e )
inπx
2 n = −∞ 2 2 n >0
1
= + ∑ cos(nπx)
2 n >0
1
δ (x ) = + ∑ cos(nπx)
2 n >0
132

133. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
133

134. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
134

135. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
135

136. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
136

137. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
137

138. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
138

139. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
139

140. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
140

141. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
141

142. 12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
142

143. Los coeficientes cn son números complejos,
y también se pueden escribir en forma
polar: iφ n
cn = c n e
− iφ n
Observemos que, − n = c = cn e
*
c n
 bn 
cn = 1
2 a +b
2
n
2
n φn = arctan − 
 a 
 n
Donde ,
para todo n ≠ 0. c0 = 1 a0
2
Y para n = 0, c0 es un número real: 143

144. Espectros de frecuencia discreta
Dada una función periódica f(t), le
corresponde una y sólo una serie de
Fourier, es decir, le corresponde un conjunto
único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t)
en el dominio de la frecuencia de la
misma manera que f(t) especifica la función
en el dominio del tiempo.
144

145. Espectros de frecuencia discreta
Ejemplo. Para la función ya analizada:
f(t)
1
t
... -T
/2 0
/2
T T ...
-1
Encontramos que: cn = −i n1π [1 − (−1) n ]
1
Por lo tanto: cn = [1 − (−1) ]
n
nπ
145

146. A la gráfica de la magnitud de los
coeficientes cn contra la frecuencia angular
ω de la componente correspondiente se le
llama el espectro de amplitud de f(t).
A la gráfica del ángulo de fase φn de los
coeficientes cn contra ω, se le llama el
espectro de fase de f(t).
Como n sólo toma valores enteros, la
frecuencia angular ω = nω0 es una variable
discreta y los espectros mencionados son
gráficas discretas. 146

147. El espectro de amplitud se muestra a continuación
0.7
Espectro de Amplitud de f(t)
0.6
0.5
Cn 
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30 -20 -10 0 n 10 20 30
Frecuencia negativa Frecuencia
(?)
Observación: El eje horizontal es un eje de
frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo
de ω0).
147

148. El espectro de magnitud de una f(t) real, es una
función PAR por lo que la gráfica para n ≥ 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de magnitud.
El espectro de fase de una f(t) real, es una
función IMPAR por lo que la gráfica para n ≥ 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de fase.
148

149. Podemos expresar de una manera ligeramente
diferente la serie de Fourier. Cada par de
términos:
ancos(nω0t) + bnsen(nω0t)
se pueden expresar como:
 an bn 
an + bn 
2 2
cos(nω0t ) + sen(nω0t ) 
 a2 + b2 an + bn
2 2 
 n n 
Donde lo único que hemos hecho es multiplicar
y dividir por: an + bn
2 2
149

150.  an bn 
an + bn 
2 2
cos(nω0t ) + sen(nω0t ) 
 a2 + b2 an + bn
2 2 
 n n 
 an
 2 = cos θ n
 an + bn  bn 
2
Cn = an2 + bn2
bn  θ n = arctan 
a 
θn  bn = senθ n  n
 a +b
2 2
an  n n
Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en
función del coseno:
Cn [ cos θ n cos(nω0t ) + senθ n sen(nω0t )]
= Cn cos(nω0t − θ n ) 150

151. Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier
se puede escribir como:
∞
f (t ) = C0 + ∑ Cn cos(nω0t − θ n )
n =1
 bn 
Con: Cn = a + b
2
n
2
n θ n = arctan 
a 
 n
Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes
C0, Cn y θn, de manera que la serie de Fourier
pueda escribirse como:
∞
f (t ) = C0 + ∑ Cn sen(nω0t +151 n )
θ
n =1

152. Componentes y armónicos
Hemos visto que, bajo ciertas condiciones, una
función f(t) puede escribirse como la suma de
componentes sinusoidales de diferentes
frecuencias: ωn = nω0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nω0:
cn cos(nω0t + θn) se le llama el enésimo armónico
de f(t).
Al primer armónico (n = 1) se le llama la
componente fundamental y su periodo es el
mismo que el de f(t).
A la frecuencia ω0= 2π f0 = 2π / T se le llama 152

153. Ejemplo: La función f(t) = cos ( 3 ) + cos ( 4 )
t t
Como vimos, tiene un periodo T = 24π, por lo tanto su
frecuencia fundamental es ω0 = 2π/Τ = 1/12 rad/s.
O como ω0= 2πf0, f0 = 1/Τ = 1/ 24π Hz.
Su componente fundamental (n = 1) será:
c0 cos(ω0t + θ0) = 0 cos(t/12).
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2
Tercer armónico: 1
cos(3t/12) = cos(t/4)
f(t)
0
Cuarto armónico: -1
cos(4t/12) = cos(t/3) -2
24π
-3 153
0 50 100 150 200
t

154. Sea f (t ) una señal periódica con periodo T expresada en términos
de la serie compleja de Fourier siguiente :
∞
f (t ) = ∑ cn e inω0t
n = −∞
Derivando f (t ) respecto a t :
∞
d
f ' (t ) = f (t ) = ∑ inω0 cn einω0t
dt n = −∞
∞
f ' (t ) = ∑ d n e inω0t
n = −∞
donde los coeficientes d n vienen dados por
d n = inω0 cn
en consecuencia, f ' (t ) también es periódica y está representada
por una serie de Fourier que es función del desarrollo en serie de 154 t ).
f(

155. Ejercicio:
f(t)
0 20
-2 T0 = 10
4t
) =
f(t
-10 -5 5 10 t
f '(t) T0 = 10
4
-10 -5 5 10 t
-4
f ''(t) T0 = 10
8
-10 10
-5 5 t
-8 155

156. Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una señal
cualquiera f(t) en un periodo dado T se
puede calcular como la altura de un
rectángulo que tenga la misma área que el
área bajo la curva de f(t)
T
Area = ∫ f ( t )dt
f(t) 0
1
h = Altura
Area = T h promedio
t
T
156

157. De acuerdo a lo anterior, si la función
periódica f(t) representa una señal de
voltaje o corriente, la potencia promedio
entregada a una carga resistiva de 1 ohm
en un periodo está dada por:
T /2
∫
2
1
T [ f (t )] dt
−T / 2
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el
promedio en un periodo será el promedio en
cualquier otro periodo.
157

158. El teorema de Parseval nos permite calcular
la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes
complejos cn de Fourier de la función
periódica f(t):
T /2 ∞
∫ [ f (t )] dt = ∑ c
1 2 2
T n
−T / 2 n = −∞
O bien, en términos de los coeficientes an,
b n: T /2 ∞
1
T ∫ [ f (t )] dt = a +
2 1
4
2
0
1
2 ∑ (a
n =1
2
n +b )
2
n
−T / 2
158

159. Teorema o identidad de Parseval
T /2
1 1 2 1 ∞ 2
[ f (t )]2 dt = a0 + ∑ (an + bn )
T −T∫/ 2
2
4 2 n =1
∞
f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
2
n =1
T /2 T /2
1 ∞

1
T ∫ f (t ) f (t )dt = T
1
∫ f (t ) 2 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]dt =
−T / 2 −T / 2  n =1 
T /2 ∞ T /2 ∞ T /2
a0 an bn
∫ f (t )dt + ∑ ∫/ 2f (t ) cos(nω0t )dt + ∑ T −T∫/ 2f (t )sen(nω0t )dt =
T −T / 2 n =1 T −T n =1
(
a0 1 ∞ 2
)
2
+ ∑ an + bn
2
159
4 2 n =1

160. Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio
de la función f(t): f(t)
1
t
... -T
/2 0 T
/2 T ...
Solución. -1
Del teorema de Parseval T /2 ∞
∫ [ f (t )] dt = ∑ C
1 2 2
T n
y del ejemplo anterior −T / 2 n = −∞
cn = 1
nπ
[1 − (−1) n ]
sustituyendo
∞
8  1 1 1 
∑c
2
n = 2 1+ + +
 9 25 49 + ...
n = −∞ π  
160

161. La serie numérica obtenida converge a
1 1 1
1+ + + + ... = 1.2337
9 25 49
Por lo tanto,
T /2 ∞
8
∫ [ f (t )] dt = ∑ c
2
1 2
n = 2 (1.2337) = 1
T
−T / 2 n = −∞ π
Como era de esperar.
161

162. a) Sean c1 , c2 ∈ ℜ , con c1 ≠ c2 y la función:
c1 , x ∈ [ − π ,0 )
f ( x) = 
1. Calcúlese la serie de Fourier de f. c2 , x ∈ [ 0, π ]
2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de
∞
ella calcule el valor de la serie: 1
∑ ( 2n − 1)
n =1
2
3. ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en
x=0?
c2
c1
-π π
162

163. 1.
1 0 π
a0 =  ∫ c1dx + ∫ c2 dx   = ( c1 + c2 )π = c + c
π  −π  1 2
0 π
c1  0
an =  ∫ cos nxdx   + c2  π cos nxdx  = c1 + c2 π cos nxdx =
 ∫0
π ∫0

π −π  π  
c1 + c2
= ( senπn − sen0) = 0
nπ
c1  0
bn =  ∫ sen(nx)dx   + c2  π sen(nx)dx  = − c1 − c2 π sen(nx)dx =
 ∫0
π ∫0

π −π  π  
=
c1 − c2
nπ
( cos πn − cos 0) =
nπ
(
c1 − c2
)
( − 1) n − 1 ⇒
n = 2k → b2 k = 0

⇒ 2( c2 − c1 )
n = 2k − 1 → b2 k −1 = ( 2k − 1)π

c1 + c2 2 ∞ ( c2 − c1 )
f ( x) = + ∑ sen( 2k − 1) x
2 π k =1 ( 2k − 1)π 163

164. 2. c1 + c2  1  2( c2 − c1 ) ∞ 1 sen( 2k − 1) x
f ( x) =
2
2π 

+
2π  π
∑ ( 2k − 1)π
k =1 π
 1 cos nx sen(nx) 
Como  , ,  es ortonormal en [ − π , π ] ⇒
 2π π π 
4( c1 − c2 )
( )
2 2
π  c2 + c1  ∞
1
⇒ π c2 + c1 = ∫ f ( x ) dx =  2π + ∑ ( 2k − 1) 2 ⇒
2 2 2
−π
 2  π k =1
⇒
( c1 − c2 ) 2 4
= 2 ( c1 − c2 ) ∑
2
∞
1
⇒∑
∞
1
=
π2
π k =1 ( 2k − 1) k =1 ( 2k − 1)
2 2
2 8
3.
c1 + c2 2 ∞ ( c2 − c1 ) c1 + c2
No. Puesto que f (0) = c2 y + ∑ sen( 2k − 1) 0 =
2 π k =1 ( 2k − 1)π 2
c1 + c2
y en general c2 ≠ f es continua a trozos
2 y tiene derivadas laterales
164

165. a) A partir de la serie de Fourier de la función f ( x) = x
π ∞
definida en el intervalo [ − π , π ] : f ( x) = + ∑ − 4 2 cos( ( 2n − 1) x )
determinar los valores de las series: 2 n=1 π ( 2n − 1)
∞ ∞
1 1
1. ∑ ( 2n − 1) 2 2. ∑ ( 2n − 1) 4
n =1 n =1
1.
Particularizando para x = 0, f(0) = 0 :
π ∞ −4
0= +∑ cos( ( 2n − 1) 0 ) ⇒
2 n =1 π ( 2n − 1) 2
π 4 ∞ 1
⇒0= − ∑ ⇒
2 π n =1 ( 2n − 1) 2
∞
1 −π π2
⇒∑ = 2=
n =1 ( 2n − 1) −4
2
8
π
165

166. 2.
Aplicando la identidad de Parseval :
( )
2 ∞
1 π a0
∫π + ∑ an + bn
2 2 2
f ( x) dx =
π − 2 n =1
−4
Sustituyendo f ( x) = x , a0 = π , an = , bn = 0 :
π ( 2n − 1)
2
1 π π2 ∞ 16
∫−π x 2 dx = +∑ 2 ⇒
π 2 n =1 π ( 2n − 1) 4
1 2π 3 π 2 16 ∞ 1
⇒ = + 2∑ ⇒
π 3 2 π n =1 ( 2n − 1) 4
∞
1 π4
⇒∑ =
n =1 ( 2n − 1)
4
96
166