cinematica

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Popular Para La Educación
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Asignatura: Mecánica Aplicada
Escuela 45 sección “A”
Edo-Bolívar
Profesor: Integrantes:
Alcides Cadiz Jetzary Corniel
C.I.27.334.218
Nayelvis Gutierrez
C.I.27.602.561
Puerto Ordaz, 15 de Septiembre del 2018

2. Índice
Pág.
 Introducción………………………………………………………………………....3
 DESARROLLO
1. Movimiento
a) Definición……………………………………………………………………………4
b) Aplicaciones………………………………………………………………………...4
2. Tipos de movimientos
a) Movimiento de traslación………………………………………………………….5
b) Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo………………………………..5
c) Movimiento en el plano general…………………………………………………..6
d) Movimiento alrededor de un punto……………………………………………….6
e) Movimiento general………………………………………………………………...7
3. Sistemas de referencia
a) Definición……………………………………………………………………………8
b) Tipos y aplicaciones: Fijo y móvil…………………………………………………8
4. Ecuación general de la velocidad. Absoluta y Relativa……………………….9
5. Ecuación general de la aceleración. Absoluta y Relativa……………………..9
6. Centro de rotación instantáneo en el movimiento plano………………………9
 Conclusión…………………………………………………………………………10
 Glosario…………………………………………………………………………….11
 Bibliografía…………………………………………………………………………12

3. Introducción
Es considerado un sistema de partículas en el cual las distancias relativas entre
ellas permanecen constantes. Cuando las distancias entre las partículas que
constituyen un sólido varían, dicho solido se denomina deformable. En lo que
sigue nos ocuparemos únicamente del estudio del movimiento de un sólido rígido.
En general, el movimiento de un sólido rígido puede ser muy complejo; sin
embargo, vamos a ver que haciendo las descomposiciones oportunas, puede ser
analizado por partes, lo que nos permitirá simplificar el problema.
El movimiento de un sólido se puede estudiar como la composición del movimiento
de traslación de su centro de masas con respecto a un eje que pasa por el centro
de masas.

4. Cinemática del Sólido Rígido
La cinemática del sólido rígido es una aplicación de la cinemática al movimiento de
un objeto tridimensional rígido en el espacio. El movimiento más general del sólido
rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento
básicos: de traslación y de rotación.
Entendemos por sólido rígido una idealización matemática de un sistema físico en
la que la distancia entre dos puntos materiales cualesquiera de ellas permanece
invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos reales de hecho son
realmente deformables, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las
acciones de las fuerzas; sin embargo, si estas son suficientemente pequeñas, las
deformaciones producidas son despreciables y, entonces, es útil la abstracción de
considerarlos como cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido
es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En
este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido
real, al igual que lo es la partícula o punto material.
Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se
muestra en la Figura 1. Indicaremos por ri y rj los vectores de posición de dos
puntos, Pi y Pj, del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por
|ri – rj |2 = (ri – rj ) • (ri – rj ) = cte.
Que es equivalente (ri – rj ) = cte, ya que la raíz cuadrada de una constante es
otra constante.
La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda
perfectamente determinada si conocemos la posición de tres cualquiera de sus
puntos, no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura 1. Para
especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o
coordenadas; de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve
parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio.
Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las
condiciones de rigidez expresadas por [1]; esto es, tres ecuaciones
(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 + (z1 – z2)2 = k212
(x2 – x3)2 + (y2 – y3)2 + (z2 – z3)2 = k223
(x3 – x1)2 + (y3 – y1)2 + (z3 – z1)2 = k231
Que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que
el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la

5. posición del sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis
grados de libertad.
Geométricamente esto puede interpretarse de la siguiente forma: tres grados de
libertad son utilizados para dar las coordenadas de un punto Pi en el espacio. Una
vez fijo dicho punto, cualquier otro punto Pj del cuerpo rígido tiene su posición
limitada por la condición de rigidez:
|ri – rj |= rij
Con lo cual el punto Pj solo puede ubicarse en la superficie de la esfera de radio rij
y centro en Pi. Para dar esta ubicación solo con necesarios dos grados de libertad.
Una vez fijados los puntos PI y Pj, el cuerpo rígido puede rotar alrededor del eje de
rotación. Para determinar en qué lugar de la circunferencia se encuentra el punto
PK se utiliza el ultimo grado de libertad.
1. Definición
En la mecánica, el movimiento es un cambio de posición de un cuerpo a lo largo
del tiempo respecto de un sistema de referencia. El estudio del movimiento se
puede realizar a través de la cinemática o atreves de la dinámica. En función de la
lección del sistema de referencia que dará definida las ecuaciones del movimiento,
ecuaciones que determinaran la posición, la velocidad y la aceleración del cuerpo
en cada instante de tiempo.
2. Tipos de movimientos
a) Movimiento de Traslación: El movimiento de
traslación es el más sencillo que puede realizar el
sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico, lo
podemos definir del modo siguiente:
Se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación
cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece
paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento.
Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como se
muestra en la Figura 4. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij
= ri-rj debe mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier
movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento de

6. traslación, también ha de mantener constante su dirección; entonces, siendo c un
vector constante, se puede escribir:
ri – rj = c
y derivando con respecto al tiempo
𝒓𝒊̇ − 𝒓̇ j = 0 → vi = vj
Constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación,
esto es:
Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación
tienen, en cada instante, la misma velocidad.
Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad
de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas
consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez
definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada,
tenemos definido el movimiento del sólido.
Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que
las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes, es decir, una
se puede obtener mediante una translación de la otra. En efecto, consideremos de
nuevo dos puntos cualesquiera, Pi y Pj, pertenecientes al sólido, y sean ri y rj sus
vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos un
desplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los
vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahora
r′i y r′j, respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición
geométrica que define al movimiento de traslación, nos conducen a:
ri – rj = r’i – r’j → r’i – ri = r’j – rj → Δri = Δrj
Intervalo de tiempo Δt es único. De este resultado, junto con la noción de la línea
curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la
congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido.
Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no prejuzga
forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido.
Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los
puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y
todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación
uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser
constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Así, por ejemplo, las trayectorias
recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas
ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se

7. presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura; la
armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las
barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo
de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una
traslación con trayectoria circular.
b) Movimiento de Rotación: Se dice que un sólido
rígido está animado de un movimiento de rotación
alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos
describen trayectorias circulares centradas sobre dicho
eje y contenidas en planos normales a éste.
El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el
primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en
reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al
eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento
circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de
un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un
instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del
punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por
v = vet
Siendo et un vector unitario (de módulo igual a la unidad) tangente a la trayectoria
y v el módulo de la velocidad. Téngase en cuenta que necesariamente et cambiará
a lo largo del movimiento, ya que irá continuamente modificando su dirección
hasta llegar de nuevo a la orientación original, tras completar un giro de
2𝜋 radianes.
El módulo de la velocidad, denominado celeridad, se corresponde con
V =
𝒅𝒔
𝒅𝒕
Considerando s la distancia que el sólido va recorriendo a lo largo de la
circunferencia. Dada la definición matemática de ángulo 𝜃 = 𝑠/𝑟, se verifica que
ds = rdθ, para lo cual habrá que expresar el ángulo en radianes (rad). De aquí se
deduce que
V =
𝒅𝒔
𝒅𝒕
= 𝒓
𝒅𝜽
𝒅𝒕
El cociente dθ/dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por ω:
W =
𝒅𝜽
𝒅𝒕

8. Y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto
de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación.
V = 𝒘𝒓
La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la
simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido,
ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma
celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad
que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angular
caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La
celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).
c) Movimiento en el plano General: Es Cualquier movimiento plano que no de
traslación o de rotación alrededor de un eje fijo. Movimiento plano es aquel en que
las trayectorias de todas las partículas se mueven en planos paralelos traslación y
rotación con movimientos plano.
d) Movimiento Alrededor de un Punto Fijo: Es el movimiento tridimensional de
un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. Por ejemplo el movimiento de una
peonza, cuando el punto de contacto con el suelo esta fijo.
e) Movimiento General: De lo dicho anteriormente el conjunto de "posiciones"
generales 𝜀 de un solido rigido o conjunto de estados se puede representar por el
conjunto 𝜀 = R3 × SO (3), es decir, en cada instante el posicionamiento general (
r(t), R(t) queda especificado si se da un vector de traslación r(t) ∈ R3 que da el
movimiento de uno de sus puntos respecto a la posición inicial, y una matriz de
rotación Rt ∈ 𝐒𝐎 (𝟑) que define la orientación del solido rígido en cada momento,
especificando como ha rotado respecto a su orientación original. En estés caso, el
movimiento general se puede expresar como:
r (t)= 𝑎( 𝑡) + 𝐑 ( 𝐭)∙ 𝒓0
Dónde:
r(t) = (𝑥( 𝑡), 𝑦( 𝑡), 𝑧( 𝑡)), es la posicion de un punto del solido rigido en un momento
dado.
r0= 𝑟(0) = (𝑥0, y0, z0) es la posición inicial del punto.
R (t), es una matriz de rotación, con la convención de que R(0) = 𝑰 (matriz
identidad).

9. Es interesante notar que la ecuación anterior puede escribirse mediante matrices
de cuatro por cuatro de la siguiente manera:
{
𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡)
𝑧( 𝑡)
1
= {
𝑅𝑥𝑥( 𝑡) 𝑅𝑥𝑦( 𝑡) 𝑅𝑥𝑧( 𝑡) 𝑎𝑥(𝑡)
𝑅𝑦𝑥( 𝑡) 𝑅𝑦𝑦( 𝑡) 𝑅𝑦𝑧( 𝑡) 𝑎𝑦(𝑡)
𝑅𝑧𝑥( 𝑡) 𝑅𝑧𝑦( 𝑡) 𝑅𝑧𝑧( 𝑡) 𝑎𝑧(𝑡)
0 0 0 1
{
𝑥0
𝑦0
𝑧0
1
El conjunto de matrices de 4 x 4 como el anterior constituyen una respuesta del
grupo euclideo especial tridimensional SE (3) que es el grupo de isometría del
espacio euclídeo tridimensional.
a) Definición: Es un cambio de posición de un cuerpo a lo largo del tiempo
respecto de un sistema de referencia. El estudio del movimiento se puede
realizar a través de la cinemática o a través de la dinámica. en función de la
elección del sistema de referencia quedaran definidas las ecuaciones del
movimiento, ecuaciones que determinaran la posición, la velocidad y l
aceleración del cuerpo en cada instante de tiempo. Todo movimiento puede
representarse y estudiarse mediante gráficas. las más habituales son que
representan el espacio, la velocidad o la aceleración en función del tiempo.
b) Tipos y aplicaciones: Fijo y móvil.
Fijo:
Ecuación general de la velocidad. Absoluta y Relativa.
Ecuación Relativa: Para calcular la velocidad de un punto A que se mueve
con respecto a un punto B, que a su vez se mueve respecto a u referencial
dado, podemos usar la siguiente relación:
VA = 𝑽B + VAB
Dónde:
VA, Velocidad del punto A respecto a un diferencial dado.
VB, Velocidad del punto B respecto al mismo referencial.

10. VAB, Velocidad relativa del punto A con respecto al punto B.
Quedando la fórmula de la siguiente manera:
VAB= 𝑽A – 𝑽B
Ecuación Absoluta: Es la variación de posición con respecto al tiempo
observado desde u referencial fijo. El vector de posición puede variar en
modulo (debido a una velocidad lineal) y dirección (debido a un giro, es
decir, a una velocidad angular). siempre que observemos de desde un
punto fijo percibiremos las misma velocidad pues es la variación del vector
de posición lo que observamos y no el vector de posición en sí.
La velocidad absoluta de una partícula siempre se puede describir como
velocidad lineal respecto a un punto fijo y giro (velocidad angular) respecto
a él:
vp(t)= 𝑽O(t) + vp/o(t) = 𝑽O(t) × 𝒓P/O(t)
Dónde:
Vp(t),Vo(t), Son las velocidades de las partículas O Y P medidas por un
observador inercial en el instante de tiempo t.
rP/O(t), Es el vector posición que a punta desde el punto O a punto P, que
en general varia con el tiempo.
a veces, por comodidad, para llegar a esta expresión se suela expresar la
velocidad absoluta como velocidad relativa respecto a un referencial mas
velocidad de arrastre de ese referencial.
Centro de Rotación Instantáneo en el Movimiento Plano.
Es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico. Una simetría
central equivale a una rotación en tomo al entro de simetría en un ángulo de 180
grados. Debido al que movimiento debe considerarse con relación a un sistema de
referencia, también la rotación y su centro instantáneo son relativos a dicho
sistema. por ejemplo, la rueda de un vehículo posee, respecto a estés, un centro
instantáneo de rotación que coincide con su eje mientras que con relación al suelo
el centro instantáneo de rotación se halla sobre la huella del neumático.
Un cuerpo rígido unido al sistema de referencia por medio de un eje, posee un
centro instantáneo de rotación, con relación a un sistema que coincide con dicho
eje. Si está unido por medio de una varilla ( por ejemplo, el brazo longitudinal de
una suspensión).

11. Conclusión
Luego de llevada a cabo la presente investigación, al desarrollar cada uno de sus
pasos, con el constante esfuerzo entregado a la misma, se ha llegado al final de
este interesante y enriquecedor proceso; por ello, merece mencionar que dado el
carácter del trabajo, su demostración va implícita en la misma experiencia que
como autor he conseguido, tal cual en la historicidad y análisis, previos a
diagnosticar el tema, se ha subido un par de escalones en relación a la
concepción de la ciencia física, la cual bien vista y sin rebajarse a su
instrumentalizad medieval, por sí sola, es más que un quehacer de asignar
números que codifiquen a los fenómenos naturales; es pilar y es frontera, da lazos
y abre puertas, es un laberinto y es camino; hoy, por todo ello que engloba, estoy
en capacidad de emitir el criterio que ha nacido al rondar por los pasajes que se
han recorrido en el presente proceso de investigación.
El tema Cinemática de la partícula se ha reducido a una simple instrumentación de
definiciones aplicables, casi mecánicamente, sin llevar al estudiante en la mayoría
de los casos a un verdadero primer análisis, que en base a su propio esfuerzo le
permita generar una cultura en torno al tema, la cual le libraría de más de un grave
error que se cometen al momento de emitir un juicio que permita elevar una idea,
en el instante de resolver un ejercicio de aplicación.

12. Glosario
Aceleración: Es una magnitud derivada vectorial que nos indica la variación de la
velocidad por unidad de tiempo.
Movimiento: Es un cambio de posición de un cuerpo a lo largo del tiempo
respecto de un sistema de referencia. Se puede realizar a través d la cinemática o
a través de la dinámica.
Partículas: Consiste en un pequeño objeto al cual pueden ser atribuidas varias
propiedades físicas y químicas tales como un volumen o una masa.
Velocidad: Es la magnitud física de carácter vectorial que relaciona el cambio de
posición o desplazamiento con el tiempo.
Plano (Geometría): Es el elemento ideal que solo posee dos dimensiones, y
contiene infinitos puntos y rectas, se representan con una letra mayúscula en una
de las esquinas.
Distancia: Se denomina distancia entre dos vértice de un grafo al número de
vértices mínimo que debe recorrerse para unirlos.

13. Bibliografía
hptt://es.wikipedia.org/wiki/cinematica_del_solido_rigido
hptt://ocw.ehu.eus/mod/resource/view.
hptt://ocw.unican.es/pulginfile.php/1301/couerser/section/1594/08-
cinematica.pdf