Resúmen de apuntes sobre el tema de cinemática de un cuerpo rígido.

1. CINEMÁTICA DE UN CUERPO RÍGIDO.-
Seaoxyzun sistemade referenciaortonormal de base {i,j,k},que arbitrariamente consideramosfijo;yQXYZun
sistemade referenciamóvil de base {I,J,K},enel espaciodel primeroysolidarioauncuerporígido S. Se dice que
el cuerporígido estáenmovimientoenel espaciode oxyz,si el sistemaQXYZestáanimadode movimiento
respectoa oxyz.
El caso que nos interesa es aquel en los ejes X,Y y Z permanecen perpendiculares entre sí durante el
movimiento, se dice que el sistema de referencia de base {I,J,K} es un sistema de coordenadas móvil
indeformables o Simplemente RÍGIDO, cuya condición se expresa como
SISTEMAS DE REFERENCIA RÍGIDOS.-
1.-Movimientode Traslación:
 Se dice que un sistemamóvil estáanimadode unMOVIMIENTODE TRASLACIÓN si entodomomento……
1.1.-TraslaciónRectilínea:
1.2.- TraslaciónCurvilínea:
2.-Movimientode Rotación:
 Se dice que un sistema móvil está animado de un movimiento de ROTACIÓN si en todo momento……
( Al menos unade las derivadasde losvectores
Unitarios esno nula)
2.1.-Pura:gira en unsolosentido
2.2.- Alternativoode vaivén
Se dice que el sistemade referenciaQXYZ
estáen movimientoconrespectoaoxyz
si algunas de las siguientes derivadas son
diferentesacero.A saber
dt
Kd
dt
Jd
dt
Id
dt
rd Q
ˆ
,,
ˆ
,

0ˆˆˆˆˆˆ  IKKJJI 
0
ˆ
;0
ˆ
;0
ˆ

dt
Kd
dt
Jd
dt
Id 0



dt
rd Q
0



dt
rd Q
dt
Kd
dt
Jd
dt
Id ˆ
;
ˆ
;
ˆ
Figura II.1

2. 3.- INMINENTE:VELOCIDADNULA; ACELERACIÓNONULA
4.- MOVIMIENTOCOMPLEJO DEL CUERPO RÍGIDO.-
Considere un cuerpo rígido en el espacio de un sistema de referencia fijo oxyz, representado en la figura ( ).
Estamos interesados en hacer la descripción cinemática de un punto de dicho cuerpo.
 Velocidad.-Engeneral,
En el caso que estudiamos,cuerporígidose tiene
 Aceleración.-
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN:.- Se llama eje instantáneo de rotación al eje que, trazado por Q, es
paralelo al vector velocidad angular instantánea.
En general, el vector velocidad angular es dependiente del tiempo, por consiguiente la dirección del eje
instantáneode rotacióntambiénvariaráconel tiempo. En cualquier caso estaremos interesados en conocer el
eje de rotación, al menos, en un instante. Esto en principio queda establecido una vez definido el plano de
movimiento.
En la figura II.3 se muestra la ubicación del eje instantáneo de rotación respecto a la dirección de la velocidad
angular.
PROPIEDADESDEL EJE INSTANTÁNEODEROTACIÓN.- Considerelasituación mostradaenlafigura,lacual es un
cuerporígido enrotaciónpura. Observamosalgunosresultadosde interésenel cálculode lavelocidadde un
puntode dichocuerpo,aprovechandociertasventajasque osofrece el usodel eje instantáneode rotación.
rQP VRxVv

 
)( RxxRxaa Qp

 
RxVv QP


)(2 RxxRxVxAaa rrQp

 
Figura II.2
Figura II.3

3. A.-La magnitud de la velocidad de un punto de un C.R. en rotación es proporcional a la distancia del punto al
E.I.R.
B.-Enun mismoinstante,todoslospuntosde unC.R.enrotación tienensusvelocidadesenunmismoplano,el
cual esperpendicularal eje instantáneode rotación.Este planode llama“Planode movimiento”. .
C.- En un mismoinstante lasproyeccionesde lasvelocidadesde dospuntosde un cuerporígido enmovimiento
sobre la línearecta que losune,son iguales.
Considere un C.R. en movimiento y sean A y B dos puntos arbitrarios de éste, los cuales tienen
velocidades representadas por
Si A representael origende unsistemade referenciamóvil,se tiene que la velocidad (absoluta) del otro punto
se obtendrá de la expresión.
Puede usarla identidadvectorial paraobtenerel resultadoesperado.
D.-En un mismo instante, las proyecciones de las velocidades de todos los puntos de un cuerpo rígido en
movimiento sobre el vector velocidad angular, son iguales
La velocidaddel puntopestádadapor
Por definicióndel productovectorial,lamagnitud
es
Si observamoslafigura,vemosque
Por lotanto,la magnitudde la velocidades
Rxvp


)(.  Rsenvp 
)(senRd 
dvp 
En la figuraII.5 se muestraena polearotando graciasa
un pernoensu centro,por donde pasa un eje de
rotación.Además,se indicanmuestranlasvelocidades
de puntos periféricosde dichapolea.Todaslas
velocidadesde lapoleaestáncontenidasenunplano
perpendicularal eje de rotación.
mente.respectivaBA vv

y
ABxvv AB 


Para obtenerlacomponente de velocidadalo largo de la
líneaque une lospuntosenconsideración,se multiplican
por el vectorunitarioa ambosladosde la expresión
anterior
uvuv AB
ˆˆ 





 



uvuv AB
ˆˆ 
     
  )ˆ(ˆ
ˆ
ABAB uxABABxu
bxacaxcbcxba









 

Figura II.4
Figura II.5
Figura II.6

4. E.-En un mismo instante, todos los puntos de un C.R. en movimiento contenidos en una recta paralela a la
velocidad angular, tienen la misma velocidad.
En general,losdistintospuntosde unC.Ren movimientotienenvelocidadesdiferentes.Sinembargo, se
demostró que las componentes de dichas velocidades que son paralelas al vector velocidad angular
instantáneo, son iguales. Esto nos permite concluir que estas velocidades difieren en las componentes
perpendiculares a. Ahora, es interesante encontrar aquellos puntos cuyas componentes de velocidades sean
paralelas a la velocidad angular.
Considere unsistemade referenciaQXYZligadoaun C.R enmovimiento. Lavelocidad del punto p del C.R. , que
está en movimiento complejo, se expresa
Finalmente, la velocidad del punto p se obtiene al aplicar la expresión
MOVIMIENTO UNIPLANAR UN CUERPO RIGIDO.- Si un cuerpo rígido se mueve de modo que la trayectoria
de uno de sus puntos sea plana y el vector velocidad angular es constantemente perpendicular a dicho
plano, se dice que está animado de un movimiento uniplanar. Como consecuencia, todos los puntos de
un cuerpo rígido se mueven en planos perpendiculares al Vector velocidad angular.
Centro Instantáneo de Rotación.-Movimiento Uniplanar
Para el movimiento plano de un cuerpo rígido, el centro instantáneo de rotación es el punto I de
intersección del eje de rotación con el plano de movimiento y cuya velocidad es instantáneamente
nula.
Como
Por lotanto, por definiciónde productovectorial, lavelocidaddel puntopes perpendicular al vector que ubica
el punto respecto al centro de rotación , o bien está sobre una recta en el plano de movimiento que es
perpendicular a. En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas y no nulas) de dos puntos de un
cuerpo El centro instantáneo estará donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades.
La figura II.8 representa un mecanismo de biela-manivela-pistón. En dicho mecanismo se han trazado las
direcciones de las velocidad de dos de sus puntos (A y P). El centro de rotación (instantáneo) se obtuvo
encontrando el punto de intersección de las perpendiculares de las velocidades de los referidos puntos.
AB vv


Rxvv QP 


Se puede demostrarque lospuntosdel cuerporígidoque tienenvelocidades
paralelasala velocidadangularestádadapor




 



22
Rvx
R
Q



 










 2
Q
P
v
v
IPvv IP  

IPvP 

Figura II.7

5. Ejercicio: Se deja al lector trazar el centro de rotación de la barra OA en el mecanismo de la figura II.9
Supongamos que queremos describir la cinemática de un punto de un C.R, por ejemplo, calcular su
velocidad.Esimprescindibleencontrar un punto que nos sirva de origen de un sistema móvil de referencia. Ya
enel pasado,vimosunmétodobasadoen lainformación de las velocidades de dos puntos de dicho C.R. Ahora
proponemosunanuevatécnica,parala cual se requiere el conocimientode unavelocidadylavelocidadangular
del cuerpo.
Sabemosque lavelocidad,respectoal centro instantáneo de rotación I, de un punto P de un cuerpo rígido está
dado por
Haciendoalgunas manipulaciones algebraicas se puede demostrar que la ubicación del centro instantáneo de
rotación está representada por el vector
MOVIMIENTO POR RODADURA:
Es un tipo especial de movimiento entre dos cuerpos, los cuales se mueven de manera tal que el elemento
rodante rueda sobre un camino de rodadura fijo o en movimiento, cumpliéndose en todo momento que
Consideremos que lafiguraII.10representadosobjetosmateriales en movimiento relativo, a uno se le
denominará elemento rodante y al otro camino de rodadura. El contacto entre los
,IPvP 

0,2


 

 Pv
PI

21 CC vv


Figura II.8
Figura II.9
Figura II.10
En el estudiodel movimientode rodadura,enlo
que respectaal comportamientocinemáticodel
puntode contacto, se presentandossituaciones:
CASO1: El caminode rodadura esmóvil
CASO2: El caminode rodadura esfijo
021

 CC vv
021

 CC vv

6. RODADURA: CONDICIONES.- Consideremos que la esfera de la figura II.11, la cual rueda sobre una superficie
horizontal.Cuandolaesferagiraunángulo , el punto de contacto (A) entre la esfera y el plano se mueve una
distancia S=R .
Supongaque estamosinteresadosencalcularla velocidad y aceleración del puto G (centro de la esfera). Como
el centrode laesfera(G) se encuentrasobre el puntode contacto, el centro de gravedad también se traslada la
misma distancia S. Por lo tanto, se cumple
Ahora, la velocidad ý la aceleración del punto G está dadas, respectivamente, por las expresiones
y
Estas condiciones “no deslizantes” se denominan condiciones de rodadura. El cuerpo está sobre el plano y
rueda con velocidad v sin deslizar. Se trata de un movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por el
punto de contacto, el cual está instantáneamente en reposo, para el caso considerado (caso 2).
El movimientode rodaduraesequivalenteaque laesferagire con velocidad en tornoa uneje que pase por el
centro de gravedad (G) y además se traslade con una velocidad v=R. En este sentido, analizaremos el
movimiento de rodadura, estudiando separadamente, la traslación y la rotación.
En primerlugar,consideremosunaesferade radioR que se traslada deslizándose sobre una superficie fija, por
tanto está en traslación pura (si dar vueltas). En consecuencia, todos los puntos de la esfera tienen la misma
velocidad de traslación (ver figura II.12).
Ahoraconsideremosque laesfera No está apoyada sobre superficie alguna, pero gira con una cierta velocidad
angular.Los puntossuperiore inferiorde lasuperficie se mueven con velocidad respecto al centro de la esfera
que se encuentra en reposo. De este modo, se puede demostrar, usando la ecuación de velocidad que
Figura II.11
RSx 


R
dt
Rd
dt
ds
vG 
)(


R
dt
Rd
dt
dv
aG 
)(
Figura II.12
AP vv


Figura II.13

7. Finalmente,“juntamos”losdos movimientos, es decir, la traslación y la rotación. El resultado se muestra en la
figura
Figura II.13