MANTENIBILIDAD Y CONFIABILIDAD DE LOS SISTEMAS MECANICOS

MANTENIBILIDAD
Y
CONFIABILIDAD
DEFINICIÓN, CÁLCULO, PRÁCTICA
Ing. Giner Yuseth Huamán Montañez

LA MANTENIBILIDAD
DEFINICIÓN:
❑Es la rapidez con el cual las fallas, o el
funcionamiento defectuoso en los equipos son
diagnosticados y corregidos; o el
mantenimiento programado es ejecutado con
éxito. El MTTR es un indicador de la
Mantenibilidad.

EJEMPLO PRÁCTICO DE MANTENIBILIDAD
Durante el transcurso de la mayoría de las
carreras de Fórmula 1, los automóviles
realizan, al menos, una parada en boxes a
mitad de carrera para cambiar las ruedas. De
vez en cuando, el resultado de esta tarea de
mantenimiento determina la diferencia entre
un primer y
consiguiente,
un segundo
para reducir al
puesto. Por
mínimo el
tiempo usado en boxes, las ruedas de los
automóviles de Fórmula 1 se diseñan de tal
modo que una sola tuerca central
proporciona suficiente fuerza para su fijación
al eje. En la Tabla, se muestran los tiempos
típicos de cambio de las cuatro ruedas.
Las tareas anteriores requieren quince mecánicos, tres para retirar y poner cada rueda, dos
con gatos de elevación rápida, y el mecánico jefe que sujeta un cartel delante del coche con
rótulos de «Frenos apretados / Salida»

Durante el diseño, debe procurarse que el equipo
cuente, en lo posible, con lo siguiente:
a) Las partes y componentes deben ser estandarizados,
para permitir su minimización e intercambio en forma
sencilla y rápida.
b) Las herramientas necesarias para
máquina deben ser, en lo posible, comunes
especializadas, ya que haría surgir
necesidad de tener
esto último
una gran
herramientas, con los consiguientes
cantidad
problemas
intervenir la
y no
la
de
de
mano de obra y control complicados.
CARACTERÍSTICAS DE LA MANTENIBILIDAD

c) Los conectores que unen a los diferentes subsistemas
deben estar hechos de tal modo, que no puedan ser
intercambiados por error.
d) Las labores de operación y mantenimiento pueden ser
ejecutadas sin poner en peligro a las personas, al
equipo o a otros equipos cuyo funcionamiento dependa
del primero.
e) El equipo debe tener soportes, asas, apoyos y
sujetadores que permitan mover sus partes con
facilidad y apoyarlas sin peligro, mientras se interviene.

f) El equipo debe poseer ayudas de diagnóstico o
elementos de auto diagnóstico que permitan una rápida
identificación de las causas de la falla.
g) El equipo debe contar con un sistema adecuado de
identificación de puntos de prueba y componentes que
sean fácilmente vistos e interpretados.

LA MANTENIBILIDAD ESTÁ EN FUNCIÓN DE :
• Los equipos
• La modularidad
• La estandarización
• Procedimientos para
ubicar fallas
• Accesibilidad
• Ambiente
• Manejo de materiales
• Política de mantenimiento
sistemático
• Disponibilidad de repuestos
• Espacio de trabajo
• Destreza de operarios
• Numero de operarios
• Control de Trabajo
• Calidad de documentación
• Facilidad de cambios de
gama.

SE DEBE ESPECIFICAR LA MANTENIBILIDAD
AL DISEÑAR UN EQUIPO :
• Indicando costos de inversión y gastos de programas de
mantenimiento.
• Mínimo ratio de servicio aceptable
• Seleccionar equipos de intervalo de confiabilidad dado.
• Especificar tiempos promedio fuera de servicio máximo
en reparaciones generales
• Especificar tiempos promedio fuera de servicio máximo
en operaciones
• Definir políticas y programas de mantenimiento.

IMPACTO DE LA MANTENIBILIDAD
EN LA SEGURIDAD
La realización de cualquier tarea de mantenimiento está relacionada con un riesgo
asociado, tanto en términos de la realización incorrecta de una tarea de
mantenimiento específica, como de las consecuencias que la realización de la tarea
produce en otro componente del sistema, esto es, la posibilidad de inducir un fallo en
el sistema durante el mantenimiento.
Se creó la ingeniería de mantenibilidad: una
científica que estudia la
los factores y los recursos
disciplina
complejidad,
relacionados con las actividades que debe
realizar el usuario para mantener la
funcionabilidad de un producto, y que elabora
métodos para su cuantificación, evaluación,
predicción y mejora.

Técnico
t = f(Factores personales, condicionales, ambientales)
LA MANTENIBILIDAD Y EL MANTENIMIENTO

Características de Mantenibilidad
Frecuentemente utilizadas:
1. Función de Mantenibilidad
2. Tiempo porcentual de recuperación
3. Tiempo Medio de recuperación
4. Realización de la recuperación
LA MANTENIBILIDAD COMO UN
PROCESO COMPLEJO

Indica la probabilidad de que la funcionabilidad del sistema sea recuperada en el
momento especificado de mantenimiento, o antes (del tiempo empleado - t)
Am = Parámetro de Escala
Bm = Parámetro de Forma
Cm = Origen de distribución
Ф = Función Normal Laplace
FUNCIONES DE MANTENIBILIDAD

FUNCIÓN EXPONENCIAL DE LA MANTENIBILIDAD
(*) La mantenibilidad es frecuentemente expresada como:
M = Mantenibilidad (probabilidad de que el equipo sea
restituido a su condición operativa dentro de un tiempo
restrictivo)
t = tiempo restrictivo concedido
MTTR = tiempo promedio para reparar
M = 1 – e– t / MTTR
(*)Para una distribución
estadística de tiempos entre
fallos EXPONENCIAL y con una
frecuencia de fallas Cte.

CASO 1- CÁLCULO DE LA MANTENIBILIDAD
M= 1 – e– t / MTTR
Para realizar un mantenimiento se tiene un tiempo restrictivo
t=25 días (máximo tiempo), se requiere un elevado grado de
mantenibilidad M=80% y se pide calcular el tiempo MTTR en el
que se planifica la ejecución del trabajo.
Entonces tenemos que: M=0,8 y t=25 días tenemos :
—
25
0.8 = 1 - eMTTR
–25
ln( 0. 2) = ln( eMTTR)
—
25
MTTR
= 1. 61 →
MTTR = 16 días

INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Caso 1
Conclusiones y/o interpretaciones del ejercicio anterior
Deberá planificarse el trabajo para la ejecución en 16 días por
lo cual tendremos un 80% de confianza de cumplirlo en 25 días
o menos.
El cronograma de trabajo deberá ajustarse de tal manera que
todas las actividades estén contenidas dentro del plazo de 16
días y será necesario modificar los procedimientos de
ejecución de los trabajos, introducir el uso de herramientas o
equipos especiales, trabajar 2 o 3 turnos, incrementar la fuerza
laboral y evitar intervenir aquellos equipos que cuenten con
reserva y puedan repararse con la planta en servicio.

El cambio de una bomba de combustible de un motor tiene un
ratio constante de reparación de 3 horas, asumiendo que los
datos se asemejan a una distribución exponencial, ¿cual es la
probabilidad de que la bomba se cambie en un tiempo mayor a
4 horas?,
Entonces tenemos que: MTTR=3 y t= 4 tenemos :
M = 1 – e–4 / 3
; M =1 - e–1.33
;
M = 1 - 0.2645 = 73,55%
La probabilidad de que se cambie la bomba en más de 4 horas =
(p > 4) = 1 – (p<4) = 1 – 0.7355 = 0.2645 = 26.45%
CASO 2- CÁLCULO DE LA MANTENIBILIDAD
M= 1 – e–t / MTTR

LA CONFIABILIDAD
DEFINICIÓN:
❑“Es la probabilidad de que un equipo no falle, es decir,
funcione satisfactoriamente, dentro de los límites de
desempeño establecidos, en una determinada etapa de
su vida útil y para un tiempo de operación estipulado,
teniendo como condición que el equipo se utilice para el
fin y con la carga para la que fue diseñado.”
❑Conforme un equipo esta operando, su confiabilidad
disminuye, es decir, aumenta la probabilidad de que
falle; las rutinas de mantenimiento planificado tienen la
misión de diagnosticar y restablecer la confiabilidad
perdida.

LA CONFIABILIDAD
MTBF
MTBF =
(*)Para una distribución estadística de tiempos entre fallos
EXPONENCIAL y con una frecuencia de fallas Cte.
La frecuencia de fallas

CASO 3: CÁLCULO DE CONFIABILIDAD
Una resorte de válvula tiene una falla constante de 120 Horas,
Calcular la confiabilidad de dicho resorte para 80 horas de
operación.
Entonces tenemos que: MTBF=120 y t= 80 tenemos :
R = e–80 / 120
; M = e–0.667
;
R = 0.5134 = 51.34% R= e–t / MTBF

Se desea que un camión tenga una confiabilidad del 90% por
cada 300 horas de funcionamiento, asumiendo que los datos
se ajustan a una distribución exponencial, indicar cual debería
ser el objetivo numérico de los tiempos promedios entre fallas
para alcanzar dicha confiabilidad.
Entonces tenemos que: R = 90% y t = 300 ;
0.9 = e– 300/ MTBF
; -0.1054 = - 300 / MTBF ;
MTBF = 300 / 0.1054 = 2846.3 Horas
CASO 4: CÁLCULO DE CONFIABILIDAD
R= e–t / MTBF

LA CONFIABILIDAD IDEAL
❑El valor ideal de la confiabilidad es el 100%; con esto
se señala que si un equipo es 100% confiable durante
un tiempo predeterminado, este equipo sin ninguna
duda está trabajando durante ese tiempo considerado;
por lo tanto:
Confiabilidad ideal = 1
❑En la practica, esta confiabilidad no existe, pues
siempre hay la posibilidad de que un equipo falle.

La no confiabilidad es la probabilidad de que un equipo falle;
por lo tanto, es el complemento de la confiabilidad.
Confiabilidad de un equipo = Confiabilidad ideal — No confiabilidad del equipo
Haciendo:
Confiabilidad de un equipo = R
No Confiabilidad = NR.
Tenemos:
R = 1 - NR
LA NO CONFIABILIDAD

LA CONFIABILIDAD EN SISTEMAS
1. LA CONFIABILIDAD EN SERIE:
❑Se le llama maquina o equipo en serie al que esta
instalado a continuación de otro, por lo que el servicio
pasa del primero al segundo y así sucesivamente; con
esta disposición, si cualquiera de los equipos deja de
funcionar, se afecta de inmediato el servicio.

1.1. CARACTERÍSTICA DE LA CONFIABILIDAD
EN SERIE:
❑Cuando dos o más equipos se encuentran
proporcionando un servicio y están instalados en serie,
disminuyen su confiabilidad ya que se comportan en
una forma similar a una cadena compuesta de varios
eslabones, soportando una carga; en cualquier
momento, la cadena puede fallar a través del eslabón
mas débil.

Ejemplo de confiabilidad en serie:
❑ Supongamos que tenemos un sistema integrado por cuatro
componentes en serie: A, B, C y D, cuyos valores de confiabilidad
son R1, R2. R3 y R4. El valor de la confiabilidad del sistema en
serie Rs es:
EQUIPO A
R1 = 0,98
EQUIPO B
R2 =0,91
EQUIPO D
R4 = 0,99
Confiabilidad de un sistema en serie
Rs = 0,98 x 0.91 x 0,97 x 0,99 = 0,86
Por ello la confiabilidad de un sistema conectado en serie es menor con
respecto a la menor de cualquiera de sus componentes.
EQUIPO C
R3 = 0,97

2. LA CONFIABILIDAD REDUNDANTE EN
PARALELO:
❑ Se llama maquina o equipo en paralelo (redundante), al que
esta instalado junto con otro y ambos suministran el mismo
servicio, de tal manera que si cualquiera de ellos deja de
funcionar, el servicio continúa suministrándose sin pérdida
de calidad.
Equipos, máquinas o componentes conectados en paralelo.
MAQUINA 1
MAQUINA 2
Servicio

❑ La confiabilidad de un sistema con componentes en
Paralelo Rp se calcula restando de la confiabilidad ideal, la
no confiabilidad del sistema NRp
❑ La no confiabilidad de un sistema con componentes en
paralelo NRp es igual al producto de las no confiabilidades
de cada uno de sus componentes.
Ejemplo de confiabilidad en Paralelo Redundante:
❑ Supongamos que tenemos un sistema integrado por cuatro
componentes en paralelo: A, B, C y D, cuyos valores de
confiabilidad son R1, R2. R3 y R4. El valor de la confiabilidad del
sistema en paralelo Rs es:

EQUIPO A
R1 = 0,990
NR1 = 0,01
EQUIPO B
R2 = 0,110
NR2 = 0,890
EQUIPO D
R4 = 0,240
NR4 = 0,760
NRp = NR1 x NR2 x NR3 x NR4
NRp = 0,01 x 0.890 x 0,410 x 0,760 = 0,003
Rs = 1 – NRp = 1 – 0,003 = 0,997
EQUIPO C
R3 = 0,590
NR3 = 0,410
Con esto podemos afirmar que la Confiabilidad de un sistema conectado en
paralelo es mayor con respecto a la mayor de cualquiera de sus
componentes.
Rs
Rs = 1 – NRp
Rs = 1 – 0,003
Rs = 0,997

Ejercicio 1
❑ Considerando que en una red de comunicaciones existe la cadena
de comunicación entre los extremos A y B, como la que abajo se
muestra:
NR: 0,02 0,18 0,01 0,26 0,02
Transmisor
Ra = 0,98
Cable
Rb =0,82
Cable
Rd = 0,74
❑ Calcular:
a. Las no confiabilidades de cada componente
b. La confiabilidad total del sistema en serie
Respta. (b):
Rs = 0,98 x 0.82 x 0,99 x 0,74 x 0,98 = 0,58
Conmutador
Rc = 0,99
Receptor
Re = 0,98

Ejercicio 2
• Ahora pongamos en paralelo con los componentes de menor
confiabilidad dos circuitos más:
Transmisor
Ra = 0,98
Cable
Rb =0,82
Cable
Rd = 0,74
❑ Calcular:
a. La confiabilidad total del sistema
Rspta. (a):
Rb= 1 – (1 – 0,82 )(1 – 0,99) = 0,9982 ;
Rd= 1 – (1 – 0,74 )(1 – 0,99) = 0,9974
Rs = 0,98 x 0.9982 x 0,99 x 0,9974 x 0,98 = 0.946
Conmutador
Rc = 0,99
Receptor
Re = 0,98
Fibra Óptica
Rb =0,99
Fibra Óptica
Rd = 0,99

Ejercicios:
1. Cinco unidades idénticas se arreglan en una redundancia (paralelo) para
formar un subsistema. La falla de las unidades son independientes y al menos
dos de ellas deben sobrevivir 1000 horas para que el sistema desempeñe su
misión. Si las unidades tienen distribuciones de tiempo de falla exponenciales
con un MTBF de 500 horas ¿ Cual es la confiabilidad del sub-sistema?
e
2. Se desea calcular la confiabilidad a un tiempo de 70 horas para los
componentes de un sistema que tienen una tasa de falla constante como s
muestra en la parte inferior:
3. Un equipo es alimentado, alternativamente, por la red eléctrica o por una
unidad en base de baterías. La probabilidad de falla de la red eléctrica y del
dispositivo de respaldo puede ser descrita mediante una distribución
exponencial. El valor MTBF de la red eléctrica = 2950 Hrs y el MTBF del
sistema de respaldo = 8800 Hrs. Calcular la confiabilidad del sistema al cabo
de una año.
Rpta. 51.67%
Rpta. 37.33%
Rpta. 40.19%

1-32
1. CONCEPTOS DE
CONFIABILIDAD

CONFIABILIDAD ¿PARA QUÉ?
• ¿Cuál es la vida promedio del producto?
• ¿Cuántas fallas espera el próximo año?
• ¿Cuánto nos costará desarrollar y dar servicio a este
producto?
• ¿Cómo podemos hacerlo más efectivo en costo?
1-33

TIEMPO DE VIDA Y FALLA
La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida útil
de un producto. Durante este período el cliente obtiene
las características ofrecidas intencionalmente.
Cuando cesa la capacidad del producto para entregar la
característica ofrecida al cliente, se considera que ha
habido una Falla del producto. Esto representa el
término del tiempo de vida.
1-34

MODELOS DE TIEMPO DE VIDA
1-35
Para modelar el tiempo de vida se asigna una medida: La
frecuencia relativa o la probabilidad con que ocurrirá el
evento.
La regla que asigna valores de frecuencia relativa o
probabilidades a los valores de una variable se llama
Distribución de Probabilidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
t
f(t)
• Función de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t)
• Predice el comportamiento de cualquier situación
probabilística
• Probabilidad de t de caer en algún punto del rango t1 a t2
t2
p ( t1  t  t 2 ) ∫f( t)d t
t1
El área total bajo la
curva siempre es 1
o 100%
1-36
Cuando la variable
t1 t2
es tiempo de falla, esto representa la no
confiabilidad o la probabilidad de que una unidad falle antes del
tiempo t1 o t2

DISTRIBUCION ACUMULADA DE
PROBABILIDAD
t 1
1 ∫
F(t)  P(0  t  t )  f(t)dt
0
t
f(t)
t1
t
F(t)
t1
0
1-37
Función de Densidad de Probabilidad Función de DistribuciónAcumulada
1
No confiabilidad, F(t)
0

DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD
1-38
Confiabilidad es la probabilidad de que un sistema
ejecute su función de intención sin fallar para un
intervalo específico, bajo condiciones establecidas.
Se define como la Probabilidad de Supervivencia en un
determinado tiempo.
R(t) = 1 - F(t)
Algunos autores presentan como sinónimos Supervivencia,
Fiabilidad y Confiabilidad

t
R
(t)
DEFINICIÓN DE CONFIABILIDAD
t 
R(t) 1F(t) 1 ∫f(t)dt  ∫f(t)dt
0 t
t1
1-39
Función de Densidad de Probabilidad Función de Confiabilidad
0
0
1
t
f(t)
t1
0

MTBF - MTTF
1-40
Si el tiempo de vida para una característica de calidad
es una variable aleatoria y conocemos su distribución
de probabilidad , podemos calcular una medida de
localización, por ejemplo el valor de su media.
El valor medio del Tiempo de Vida se denomina Tiempo
Promedio entre Fallas, MTBF es el acrónimo en
Inglés, y se refiere a una medición básica de
confiabilidad para artículos que se pueden reparar.
MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas, esto es
para artículos que no pueden ser reparados.

TIEMPO DE MISIÓN (OBJETIVO)
Tiempo de Misión se refiere al tiempo intentado durante
el cual el producto entrega la característica de
calidad satisfactoriamente.
El Tiempo de Misión es una decisión de negocios y
sirve para establecer una meta de logro por parte del
producto en cuanto a sus características.
Tiempo de Misión
¿Qué confiabilidad lograremos?, R(tiempo de misión)
1-41

VELOCIDAD DE FALLA
1-42
La Velocidad de Falla ó Tasa de Riesgo o también Tasa de
Falla es la fracción de fallas probables entre la proporción
de supervivientes al tiempo t.
Cuando se conoce la Distribución de Probabilidad de t, se
calcula a partir de
h(t) = PDF / R(t)
Es una medida de la “mortalidad” entre los artículos que
quedan.
- La tasa de falla representa la propensión a la falla de un producto
como una función de su edad o tiempo en operación. La tasa de falla
en cualquier tiempo dado es la proporción que caerá en la siguiente
unidad de tiempo respecto a aquellas unidades que han sobrevivido a
este tiempo.

TASA DE FALLA O TASA DE RIESGO
horas tiempo
1000 400 350 300
0 2000 2100 2200
Por ejemplo, 1000 motores eléctricos se ponen a prueba en el tiempo
CERO. Cuatrocientos de ellos están trabajando a las 2000 horas, 50
de ellos fallaron en las siguientes 100 horas y otros 50 fallaron en las
siguientes horas como lo ilustra la figura.
No. de
sobrevivientes
1-43
La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es:
h(2000) = (número de fallas por hora posteriores a las 2000 horas)
Número de sobrevivientes a las 2000 horas
= (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora
Similarmente, la tasa de falla a las 2100 horas es:
h(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora

“CURVA DE LA BAÑERA”
t
Si se dibuja la tasa de riesgo o falla para una población a
través del tiempo se observa un comportamiento
descrito como la “Curva de la Bañera”
h(t)
Fallas constantes
Fallas por deterioro o desgaste
1-44
Fallas “infantiles”

1-45
2. MODELOS DE
CONFIABILIDAD
Distribuciones de Probabilidad
»Exponencial
»Weibull
»Normal

1-46
OBJETIVO
Presentar los modelos Exponencial, Weibull y Normal para
la confiabilidad, sus características principales y guías
para su empleo.
Puntos:
• Modelos Paramétricos de Confiabilidad
• Distribuciones de Probabilidad
• Parámetros
• Propiedades
• Situaciones para modelar
• Guía para elección del modelo

1-47
MODELOS PARAMÉTRICOS DE
CONFIABILIDAD
Distribuciones Paramétricas
• Algunas Distribuciones de Probabilidad se pueden
expresar como una función matemática de la variable
aleatoria.
• La función tiene además de la variable aleatoria,
constantes que le dan comportamientos específicos a
las distribuciones
Los parámetros definen:
•FORMA
•ESCALA
•LOCALIZACION
Conociendo los parámetros de una
distribución podemos inferir el
comportamiento de la confiabilidad

1-48
1. DISTRIBUCIÓN NORMAL
• La Normal o Distribución Gaussiana es la distribución
más conocida.
• Tiene Media = Mediana = Moda
• La Media , es también su parámetro de localización.
• La PDF normal tiene forma de una campana con
simetría sobre su media.
• La normal no tiene parámetro de forma. Esto significa
que la PDF normal sólo tiene una forma, “la campana”
y esta forma no cambia.
• La desviación estándar , es el parámetro de escala
de la PDF normal.

1-49
exp 
2 
1
 2
1 t 2
f (t) 
Distribución de la Función Normal
Distribución Normal
 = 500
 = 30
 = 50
 = 70
0.0060
0.0040
0.0020
0.0000
0.0080
0.0100
Función de Densidad de Probabilidad Normal
0.0140
0.0120
200 400 800 1000
600
Tiempo
f(t)

1-50
 
R(t)∫f(t)dt ∫(z)dz
t z(t)
Función de Distribución Normal
donde z(t) = (t-/ y
(z) = normal estandarizada pdf
0.400
0.200
0.000
0.600
0.800
200 300 400 700 800 900
R(t
)
500 600
Tiempo
Función de Confiabilidad Normal
1.000
 = 500
 = 30
 = 50
 = 70

• Distribución Normal
• Tienden a seguir una distribución normal los ciclos de falla en
componentes mecánicos sometidos a niveles altos de estrés
• Es útil si el coeficiente de variación es pequeño (<10%).
• Las propiedades de varios materiales tienden a seguir una
distribución Normal.
• Las fallas a la tensión de muchos materiales estructurales
siguen una distribución Normal.
• Puede representar el tiempo de falla cuando un efecto aditivo
es involucrado, i.e., el Teorema del Límite Central (CLT)
1-51

2. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

1
VARIANZA :
MEDIANA:
ln2  0.693
 
2
TASA DEFALLA : h(t)  
MEDIA: m 
CONFIABILIDAD :
PDF: f(t)  et
1
R(t)  et
• El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más
simple de todo los modelos de distribución del tiempo de
vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:
CDF: F(t)  1 et
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0 500 1,500 2,000
f(t
)
1,000
Tiempo
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
 = 0.003, MEDIA= 333
 = 0.002, MEDIA= 500
 = 0.001, MEDIA= 1,000
= MTBF
1-52

0.400
0.200
0.000
0.600
0.800
0 500 1,500 2,000
R(t)
1,000
Tiempo
R(t) = e(-t) (Confiabilidad)
Función de Confiabilidad Exponencial
1.200
1.000
 = 0.003, MTBF = 333
 = 0.001, MTBF = 1,000
 = 0.002, MTBF = 500
Distribución Exponencial
1-53

h(t) =     MEDIA (Velocidad de Falla) = 1/MTBF
0.000
0.002
0.003
0.004
0 500 1,500 2,000
h(t)
1,000
Tiempo
Función de la Tasa de Falla Exponencial
 = 0.001, MTBF = 1,000
0.001
 = 0.002, MTBF = 500
 = 0.003, MTBF = 333
Note que la tasa de
falla tiende a ser una
constante  para
cualquier tiempo. La
distribución exponencial
es la única que tiene
una velocidad de falla
constante
1-54

• Distribución Exponencial
• Es usada como el modelo, para la parte de vida útil de la curva
de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante
• Los sistemas complejos con muchos componentes y múltiples
modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la
distribución exponencial
• desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más
conservadora para predicción.
La forma de la
exponencial siempre es la
misma
1-55

Dos Parámetros
• LaDistribución exponencialde2parámetrostiene las siguientesecuaciones:

VARIANZA :
1
  ln2    0.693
 
MEDIANA:
2
TASA DEFALLA : h(t)  
MEDIA: m    1
CDF: F(t)  1 e(t )
CONFIABILIDAD: R(t)  e(t )
PDF: f(t)  e(t )
 es el parámetro de
localización, si es positivo,
cambia el comienzo de la
distribución por una
distancia  a la derecha del
origen, significando que las
posibilidades de falla
empiezan a ocurrir sólo
después de  horas de
operación, y no pueden
ocurrir antes.
Note que la varianza y la tasa de falla son
iguales a las de la exponencial de un
parámetro
1-56

3. DISTRIBUCIÓN WEIBULL
1
TASA DE FALLA:


1
2
2
1



 

1


VARIANZA:2
 1  
1
MEDIANA:ln2

MEDIA:1
t

e
 t
PDF : f (t) 
 
CONFIABILIDAD : R(t)  e

CDF : F(t)  1 e
 1 t
t

t

• Ladistribuciónde
Weibull esun
modelode
distribucióndevida
útil muyflexible,
parael casode2
parámetros:
Donde  es un
parámetro de escala
(la vida característica)
y
 se conoce como el
parámetro de forma
(pendiente) y  es la
función Gamma con
(N)=(N-1)! para N
entero
1-57

1-58
DISTRIBUCIÓN WEIBULL – 3 PARÁMETROS
1
TASA DE FALLA :



1
2
2
1






 1

VARIANZA :2
1
MEDIANA : ln2

MEDIA :  1
 
 t 
 1
e
 t 
PDF : f(t) 
CONFIABILIDAD : R(t)  e
CDF : F(t)  1 e
 1 t

t

t 

Una forma más general
de 3 parámetros de la
Weibull incluye un
parámetro de tiempo de
espera (localización ó
desplazamiento). Las
fórmulas se obtienen
reemplazando t por (t-
).
No puede ocurrir una
falla antes de  horas, el
tiempo comienza en 
no en 0.

Función de Distribución Weibull f(t) exp 
  
t 
 t
1
0.0010
f(t
)
Función de Densidad de Probabilidad Weibull
0.0030
 = 0.5
 = 1000
0.0020
 = 1.0
 = 1000
 = 3.4
 = 1000
Distribución Weibull
0.0000
0 1000 2000 3000
Tiempo 1-59

Funciones de Distribución Weibull
R(t)exp 

t

0.200
0.400
0.600
0.800
R(t
)
Función de Confiabilidad Weibull
1.000
 = 0.5
 = 1000
 = 1.0
 = 1000
 = 3.4
 = 1000
0.0000
0 1000 2000 3000
Tiempo 1-60

• Distribución Weibull
• Mientras la función pdf de la distribución exponencial modela la
característica de vida de los sistemas, la Weibull modela la
característica de vida de los componentes y partes.
• Modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos.
• Es el traje correcto para datos de vida
• La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la confiabilidad
de los elementos de una muestra
• Muy flexible y puede tomar diferentes formas
1-61

Tiempo de vida útil
Fallas
tempranas
Desgaste

decreciente
 < 1

constante
 = 1

creciente
 > 1
tiempo
 < 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil
 = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias
1<  < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión
 > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y
envejecimiento
1-62
Las tres porciones de la curva
de tina de la bañera tienen
diferentes índices de falla. Las
fallas tempranas se
caracterizan por un índice de
falla decreciente, la vida útil
por un índice de falla
constante y el desgaste se
caracteriza por un índice de
falla creciente. La distribución
de Weibull puede modelar
matemáticamente estas tres
situaciones.
Distribución
Weibull

 < 1 (Tasa de riesgo decreciente)
•Implica mortalidad infantil
•Si esto ocurre, puede existir:
-Carga, inspección o prueba inadecuada
-Problemas de Manufactura
-Problemas de reparación
•Si un componente sobrevive la mortalidad
infantil , la resistencia a fallar mejora con la
edad.
1 <   4 (Tasa de Riesgo creciente)
•Si esto ocurre
-La mayoría de los baleros y engranes
fallan
-Corrosión o Erosión
-El reemplazo programado puede ser
efectivo en costo
  =3.44 ⇒ aprox. Normal
 = 1 (Tasa de riesgo constante)
•Implica fallas aleatorias(Distribución
Exponencial)
•Una parte vieja es tan buena como una
nueva
•Si esto ocurre:
-Mezcla de modos de falla
-Las fallas pueden deberse a eventos
externos, como:luminosidad o errores
humanos
-Fundido y removido antes de su
desgaste
  4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)
•Implica edad avanzada y rápido desgaste
•Si esto ocurre, sospeche de:
-Propiedades del material
-Materiales frágiles como la cerámica
-Variabilidad pequeña en manufactura o
material
1-63
La Distribución Weibull - Interpretación

•Cuando  = 2.5 la Weibull se aproxima a la distribución
Lognormal(estas distribuciones son tan cercanas que se
requieren tamaños de muestra mayores a 50 para
distinguirlas).
•Cuando se modela el tiempo que se necesita para que
ocurran reacciones químicas, se ha mostrado que la
distribución Lognormal usualmente proporciona un mejor
ajuste que la Weibull.
•Cuando  = 5 la Weibull se aproxima a una Normal
puntiaguda.
1-64
DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla
observadas que no pueden modelarse adecuadamente
mediante la Weibull. Algunos ejemplos son:
1-65
1.La resistencia a la ruptura de componentes o el
esfuerzo requerido para la fatiga de metales.
2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.
3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan, tales
como las llantas de un automóvil.
4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más
débil del sistema(la distribución Weibull representa una
distribución de valor extremo).

1-66
si t 



F(t ) 1R(t )  0.6321
R(t )  exp  e1
 0.3678
t

R(t)  exp 

•¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo tiene el valor de la
vida característica, t = ?
Al llegar al
tiempo de vida
igual a la vida
característica el
63.2% de los
elementos
habrá fallado.
Este hecho se
usa en las
gráficas para
identificar el
valor de  (eta)
Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial,
recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial
cuando  = 1.

CASO 1
1
3
3
Considerando la siguiente disposición de componentes cuyas distribuciones de falla
son distintas calcular la confiabilidad total del sistema considerando los datos
mostrados para un tiempo de vida de 500 horas.
2
4
Componente Distribución Parámetros
1 Exponencial λ = 0.00004
2 Weibull – 2p η = 4500 β = 0.7
3 Exponencial λ = 0.00006
4 Weibull – 3p η = 5000; β = 1.4; ϒ = 1000

t



t

R(t)  e
Weibull – 2p
Weibull – 3p
R(t)  e 
Exponencial – 2p
Rpta. 95.18%

MANTENIBILIDAD
Y
CONFIABILIDAD
DEFINICIÓN, CÁLCULO,
PRÁCTICA
FIN

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