Theory imparted to Leveling course at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador) during semester October 2014 - March 2015. Thanks to Dr. Leonardo Reyes.

1. UNIDAD 6
Movimiento rotacional
Nivelación. Física
No todos los movimientos que se dan en la naturaleza pueden ser descritos mediante
un único eje, es decir, hay otros tipos de movimiento que no son rectilíneos. Ejemplos
ya vistos son el movimiento circular y el tiro parabólico. Denimos como movimiento
circular de una partícula cuando su trayectoria siempre está a una distancia ja de un
punto denominado centro. Este es el ejemplo más sencillo de los movimientos rotacionales
donde se puede denir un eje por el que las partículas de un cuerpo giran respecto de él.
1. Movimiento rotacional
Cuando una partícula deja el movimiento rectilíneo y su trayectoria se vuelve curva
cambia su vector velocidad, ya que se dirección cambia. Si esa curva es una sección de
un círculo de radio R, podemos vincular la distancia l recorrida en la curva si sabemos el
ángulo θ que forman los puntos inicial y nal con respecto el centro de giro
θ =
l
R
.
En los movimientos circulares se tiene que transcurrido una distancia L se vuelve al
punto de origen. Es más, siempre que se realice un número entero de la distancia L se
volverá al mismo punto de origen. Se dice entonces que la partícula realizó una vuelta
completa o una revolución. La condición de una revolución se da cuando el ángulo vale
θ = 2π rad = 360o
,
o un múltiplo entero.
Se conoce que al cambiar el vector velocidad en un intervalo de tiempo ha de originarse
una aceleración. Esta es paralela a la diferencia de los vectores velocidad nal e inicial
y para un movimiento circular se tiene que siempre apunta hacia el centro de giro: es
la aceleración centrípeta, ac. Esta mantiene a la partícula en el movimiento circular. Si
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2. en este tipo de movimiento no cambia el módulo de la velocidad se puede denir como
velocidad angular, ω como el cambio de posición angular en un intervalo de tiempo:
ω =
∆θ
∆t
=
θf − θi
tf − ti
.
Si ω es constante estamos ante un movimiento de tipo uniforme y la ecuación que rige
dicho movimiento es
θf = θi + ω∆t.
Es decir, los movimientos uniformes son aquellos en los que velocidad angular y lineal
son constantes. Bajo este caso, el módulo de la aceleración centrípeta es igual a
ac =
v2
R
= Rω2
.
Ejemplos de movimiento uniforme son un automóvil dando una curva de radio constante a
velocidad lineal constante, un satélite orbitando circularmente y un patinador realizando
un círculo a velocidad constante. En todos estos casos la aceleración centrípeta, aunque
cambie de dirección, no cambia ni de módulo ni de sentido (hacia el centro de giro).
Además, en el movimiento uniforme la velocidad lineal y la aceleración centrípeta siempre
son perpendiculares entre sí.
Ahora bien, puede pasar que ω no sea constante en el tiempo, que haya un cambio
de velocidad angular en un intervalo de tiempo. Esto nos permite denir la existencia de
una aceleración angular α :
α =
∆ω
∆t
=
ωf − ωi
tf − ti
.
Cuando esto se da se dice que el movimiento circular es uniformemente acelerado,
siempre y cuando este valor α sea constante en el tiempo. Si esto se da el vector velocidad
lineal de la partícula cambia de dirección y también de módulo. Por consiguiente, se genera
una aceleración centrípeta (por el cambio de dirección) y una aceleración tangencial, at a
la trayectoria (por el cambio de módulo). La existencia de dos vectores aceleración dará
un vector suma que no apuntará ya al centro de giro. De manera análoga a la cinemática
lineal, las ecuaciones que rigen el movimiento uniformemente acelerado serán
ωf = ωi + α∆t,
θf = θi + ωi∆t +
1
2
α(∆t)2
,
ω2
f = ω2
i + 2α∆θ.
Es necesario mencionar que la aceleración tangencial puede tener el mismo sentido que
la velocidad (aumenta entonces el módulo) o el contrario (reduce entonces su módulo).
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3. Por último, cabe destacar que si la aceleración angular no es constante en el tiempo
estamos analizando entonces movimientos acelerados.
Vimos también que según la dinámica, la existencia de una aceleración de una masa
indica que una fuerza actúa sobre dicha masa. Asociada a la aceleración centrípeta existe
una fuerza centrípeta con igual dirección que la aceleración y ambas apuntan hacia el
centro de giro. Ante la ausencia de la fuerza centrípeta la partícula ya no estará más
atada al movimiento circular, puesto que ninguna fuerza hará cambiar la dirección de la
velocidad. De este modo, recobrará el movimiento rectilíneo de la partícula, obedeciendo
la Primera Ley de Newton.
2. Sólido rígido
Se entiende por sólido rígido todo sistema de partículas donde todas y cada una están
vinculadas entre sí, de tal manera que el sistema es indeformable.
La condición matemática de indeformabilidad ente dos puntos cualesquiera del sólido
rígido i y j se puede expresar como
|ri − rj|2
= cte,
es decir, la distancia entre dos puntos cualesquiera de un sólido rígido siempre es la misma,
independientemente de las fuerzas externas que estén actuando sobre el sólido rígido.
Dado un sistema de referencia cartesiano, podemos localizar la posición del sólido
rígido respecto al origen eligiendo tres puntos no alineados y calculando la distancia entre
dos pares de puntos. Esto nos da tres valores jos a los que podemos llamar grados de
libertad. Los grados de libertad se pueden entender como las dimensiones en las que puede
moverse un sólido rígido. Por norma general, un sólido rígido posee seis grados de libertad:
tres para trasladarse en el espacio y tres para rotar.
3. Rotación de un sólido rígido
El movimiento de rotación de una partícula con respecto a un centro de giro puede
extrapolarse para la rotación en un sólido rígido. Sin embargo, para los sólidos rígidos
no puede denirse un solo punto, sino todo un eje de rotación. Este puede ser externo al
sistema o atravesarlo y hay que considerar que para el segundo caso existirán puntos del
sólido rígido que no rotarán (los que están contenidos en el eje de rotación).
De esta manera podemos denir la rotación en un sólido rígido como el movimiento en
trayectorias circulares de todos los puntos del sólido, excepto aquellos puntos contenidos
en el eje de rotación. Podemos entender dicho eje como una colección de centros de giro
donde las partículas que estén contenidas en el plano que congura la sección del sólido
perpendicular al eje que pase por dicho centro realizan un movimiento circular.
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4. En los sólidos rígidos puede denirse un vector de velocidad angular, ω con la misma
dirección del eje de rotación y sentido otorgado por la regla de la mano derecha, es decir,
el sentido positivo lo da el giro antihorario. De igual manera, se puede denir un vector
aceleración angular, α.
4. Velocidad y aceleración de un punto asociadas a la
rotación de un sólido rígido
Ya hemos visto que la velocidad lineal de una partícula es perpendicular al radio de
giro, es decir, es tangente a la trayectoria. La aceleración centrípeta es siempre paralela
al radio de giro y la aceleración tangencial es paralela a la velocidad lineal.
Hay que tener en cuenta que los valores de v y at pueden vincularse a α y ω. Es decir,
conociendo los valores de aceleración y velocidad angular, podemos conocer los valores de
aceleración y velocidad lineal. Es conocido que
∆l = R∆θ.
Si dividimos por ∆t ambos miembros tenemos que
∆l
∆t
= R
∆θ
∆t
⇒ v = Rω.
De manera general, para determinar el vector velocidad de un punto i y no su módulo
en un sólido rígido se ha de operar mediante producto vectorial, o sea, hay que determinar
el vector posición del punto i con respecto el eje de rotación y considerar el vector velocidad
angular.
De igual modo, la variación temporal de la velocidad es la aceleración tangencial, luego
∆v
∆t
= R
∆ω
∆t
⇒ at = Rα.
Para determinar el vector aceleración tangencial de un punto i con respecto el eje de
rotación es necesario conocer los vectores velocidad y aceleración angular, así como el
vector posición del punto con respecto al eje. Sin embargo, su expresión es más compleja.
5. Momento de inercia
Ya es conocido el concepto de inercia: la resistencia de una masa a cambiar su velocidad
lineal. En un sólido rígido que rota, sus partículas tendrán cierta velocidad lineal, luego
debe existir una inercia global para todo el sólido rígido. Por consiguiente, se tiene que
el momento de inercia, I, es el análogo rotacional a la inercia lineal y puede entenderse
como la resistencia de un sólido rígido a cambiar la velocidad angular con la que rota.
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5. El momento de inercia depende fuertemente de la distribución de las masas del sistema,
por lo que no es una propiedad inherente del sólido rígido: mientras más alejadas estén
las masas del eje de rotación, mayor será su momento de inercia. Para un sistema discreto
hay que sumar todos los momentos de inercia de cada partícula para obtener el I de todo
el sistema:
I =
i
mr2
i .
El valor de ri es la distancia en línea recta desde la partícula i hasta el eje de rotación.
Sus unidades, evidentemente, serán kg m2
.
Para los sistemas continuos ya no es posible realizar la suma y es necesario acudir a
cálculos matemáticos más complejos para tener una respuesta. Sin embargo, si conside-
ramos que el eje de rotación pasa por el centro de masas, los I de las estructuras más
conocidas serán las siguientes:
Estructura I (kg m2
)
Cilindro sólido (eje) 1
2
MR2
Cilindro hueco MR2
Cilindro sólido (centro) 1
12
ML2
Esfera hueca 2
3
MR2
Esfera sólida 2
5
MR2
Disco plano (centro) 1
2
MR2
Cuadro 1: Momentos de inercia de guras conocidas.
Puede calcularse, evidentemente, el momento de inercia con respecto otro eje que no
pase por el centro de masas. Existe una relación mediante el Teorema de Steiner por el
cual se puede determinar el I respecto cualquier eje de rotación si sabemos el momento
de inercia que tiene un eje de rotación paralelo al primero y que pase por el centro de
masas y la distancia que separa ambos ejes:
I = Icm + Mh2
.
6. Torque
Si tenemos un sólido rígido en reposo y se le quiere hacer girar es necesario otorgarle
una aceleración α. Debido a la Segunda Ley de Newton, para que esto sea posible es
necesario que se le aplique una fuerza. Sin embargo, que la fuerza se aplique en una
posición radial o en otra tiene gran inuencia, por lo que es necesario una nueva magnitud
para tener en cuenta eso. Es el torque o momento de la fuerza, τ :
τ = r × F = |r||F| sen θ,
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6. es decir, el torque es el producto vectorial entre el radio en el que se aplica una fuerza y
el vector de dicha fuerza. Por consiguiente, el vector torque será perpendicular tanto al
radio como a la fuerza. Grácamente, se puede determinar que el valor de τ depende de
los módulos de fuerza y radio, así como del ángulo θ que forman entre ellos.
La interpretación física del torque es la capacidad que tiene una fuerza aplicada en
cierto punto de alterar la rotación de un sólido rígido.
Si aplicamos perpendicularmente una fuerza de módulo F en un punto a distancia r
del centro de giro podemos trabajar con la Segunda Ley de Newton:
F = ma ⇒ F = mrα ⇒ rF = mr2
α ⇒ τ = Iα.
Se obtiene de esta manera el equivalente de la Segunda Ley de Newton para movimientos
rotacionales: un torque aplicado sobre una masa de momento de inercia I provoca en
este una aceleración angular α. De esta manera se entiende mucho más fácilmente que el
momento de inercia sea considerado como una resistencia del sólido rígido a cambiar de
ω, es decir, a ser acelerado.
De manera análoga a la fuerza vista en Dinámica, pueden existir diferentes torques
originados por diferentes fuerzas actuando sobre puntos determinados. Con su naturaleza
vectorial es posible que algunos se cancelen y otros se sumen, por lo que es posible denir
un torque neto o resultante:
τN
=
i
τi = Iα.
Una polea puede tener un torque debido a la tensión de la cuerda que se aplica per-
pendicularmente. Si no desliza quiere decir que la velocidad lineal de los puntos de la
cuerda tiene que ser igual a la velocidad lineal de los puntos periféricos de la polea, los
cuales están en contacto con la cuerda. Del mismo modo, la aceleración tangencial de los
puntos periféricos de la polea será la misma aceleración que posea la cuerda.
7. Energía cinética rotacional
Si tenemos un sólido rígido que solo rota sobre sí mismo, todas sus partículas, excepto
las que pertenecen al eje de rotación, están sometidas a un movimiento. De esta manera,
es posible considerar la energía cinética de todas las partículas sometidas a movimiento:
Eci =
1
2
miv2
i ,
es decir, el sólido rígido por el hecho de girar rotacionalmente posee una determinada
energía cinética de rotación.
Sumar partícula por partícula puede hacerse engorroso, por lo que si recurrimos a la
relación entre velocidad lineal y angular podemos reagrupar esta ecuación para identicar
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7. el momento de inercia del sólido rígido. Así, la energía cinética de rotación de todo el
sólido rígido será:
Ec =
1
2
Iω2
,
que es de nuevo un escalar y sus unidades son en julios (J).
8. Conservación de la energía en los movimientos rota-
cionales
En un sólido rígido, por denición, la distancia entre una partícula y otra no cambia.
Esto quiere decir que la conguración no se ve alterada ni siquiera por la actuación de
fuerzas externas. Por el ordenamiento de un sistema se puede denir una energía potencial.
Sin embargo, esta no cambiará entre un estado nal e inicial.
Por otro lado, la energía cinética hemos visto que puede originarse por la rotación
del sólido rígido. Además, si el centro de masas del sistema se mueve con determinada
velocidad aparecerá otra energía cinética por la traslación de dicho centro de masas:
Ec = ET
c + ER
c =
1
2
Mv2
cm +
1
2
Icmω2
.
Con referencia a otros sistemas, es posible denir con respecto el centro de masas
diferentes energías potenciales. Esto quiere decir que es posible denir un valor de energía
mecánica para un sólido rígido. Si no hay ninguna fuerza no conservativa que genere un
trabajo, se tendrá que la energía mecánica del sólido rígido entre un estado nal e inicial
no variará, es decir, Em se conserva.
9. Movimiento espacial de un sólido rígido
En relación a lo estudiado anteriormente, es posible diferenciar el movimiento trasla-
cional de un sólido rígido y su movimiento rotacional. Deniendo un centro de masas y
un eje de rotación se puede indicar que el primero apunta al estudio traslacional, ya que
se ha visto que las fuerzas externas aplicadas sobre un sistema generan acm, alterando el
valor de vcm. El movimiento relativo de todas las partículas respecto al centro de masas
no se ve alterado. Por tanto, podemos referenciar la posición y movimiento de todas las
partículas de manera relativa.
Identicado el centro de masas y determinada la posición de este respecto los ejes
de coordenadas, puede identicarse el eje de rotación de dicho sólido rígido. Con esto
podemos dilucidar los valores comunes de ω y α y determinar incluso la energía cinética
de rotación. Con este procedimiento se puede simplicar en gran manera el estudio de un
sólido rígido que rota y se desplaza en el espacio.
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