Actividad entregable 2 mate

Nombre de la asignatura: Matemáticas para la Administración
Parcial de estudio: Segundo
Introducción
Mientras los científicos de importantes compañías estudian y desarrollan métodos para
luchar contra los virus de computadora, también diseñan modelos matemáticos de la rapidez
con que estos se propagan. El virus conocido como Melisa contagió 100.000 computadoras
en tan solo tres días.
Las funciones exponenciales que en este parcial estudiaremos con detalle, nos proporcionan
modelos matemáticos plausibles, los que nos permiten realizar estimaciones sobre el número
de computadoras contagiadas, en un determinado intervalo de tiempo; los modelos
exponenciales son más precisos para valores de tiempo relativamente cortos, pero a pesar
de esta limitación, los modelos exponenciales explican el porqué con frecuencia los nuevos
virus infectan a miles de máquinas, antes de que los expertos en antivirus tengan tiempo de
reaccionar.
Las empresas que realizan almacenamiento de artículos o presentación y manipulación de
datos o elaboración de artículos derivados de la mezcla de varios ingredientes, se valen de
programas de computación, los que nos permiten verificar cantidades de artículos o tipos de
datos en cualquier instante.
Los programas de computación se valen de matrices o arreglos para guardar esta
información y mediante operaciones entre matrices se puede obtener cualquier tipo de
información adicional que se desee. Como esta existen infinidad de aplicaciones de las
matrices al servicio de las industrias.
Asesoría didáctica 1
Hagamos un pequeño repaso de lo aprendido en algebra, en el semestre anterior, para luego
pasar a las aplicaciones de estas funciones en la Administración y Economía.
Función exponencial
A la función f, definida por: f(x) = bx
en la cual: b > 0 , b ≠ 1 y el exponente “x” es
cualquier número real, se le denomina función exponencial, con base b.
Algunas funciones que no parecen tener la forma exponencial, pueden ponerse en tal forma
aplicando las reglas de los exponentes, por ejemplo:
2-x
= 1/(2x
) = (1/2) x
32x
= (32
) x
= 9x
En la siguiente figura se muestran las gráficas de algunas funciones exponenciales en ellas
podemos observar lo siguiente:

Propiedades
• El dominio de todas las funciones exponenciales son todos los números reales.
• El rango de todas las funciones exponenciales son los números reales positivos.
• Todas las funciones exponenciales, cortan al eje de las Y en el punto (0; 1),
porque: b0 = 1, no tienen intersección con el eje de las X.
• Las funciones exponenciales tienen dos formas básicas, que dependen de si b > 1 o
bien 0 < b < 1.
• Si b > 1 , entonces la gráfica de y = bx asciende de izquierda a derecha, es
decir, si aumenta el valor de la “x” también aumenta el valor de la “y” hasta valores
muy grandes.
• Si 0 < b < 1 , entonces la gráfica de y = bx desciende de izquierda a derecha, es
decir, al aumentar la “x” el valor de la “y” disminuye y toma valores muy cercanos a
cero.
• En todos los casos el eje de las x es una asíntota horizontal de la curva.
En las matemáticas hay el número “e” como una base de las funciones exponenciales, con
muchas aplicaciones en el análisis económico y en problemas que implican crecimiento o
decrecimiento natural, como en casos de interés compuesto y de poblaciones.

Ejemplo de análisis de una función exponencial
Analizar y graficar la función:
x
xfy
56
4
3
)(
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
Para trazar los gráficos se sugiere utilizar el programa DERIVE o cualquier otro graficador.
a) Puntos de corte con los ejes:
Si X = 0
)18,0;0(P;18,0y;
4
3
y
6
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Si Y = 0
x56
4
3
0
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= No se cumple nunca, la curva no corta el eje x
b) Dominio y rango
No existe impedimento alguno para que la x tome todos los valores, por tanto:
Dominio = Reales
Como elevado a cualquier potencia siempre es diferente de cero y positivo, entonces:
Rango = Reales positivos
c) Asíntotas
El eje de las x será asíntota horizontal.
d) Gráfico
Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-1; 3/4); P (1; (3/4)11
) para realizar su
gráfica, pues ya conocemos las características de estas curvas.
4
3

Analicemos otro ejemplo.
Analizar y graficar la función: 2ey 1x3
+= +−
a) Puntos de corte con los ejes
Si x = 0
y = e + 2 ; y = 4,72 ; P(0 ; 4,72)
Si y = 0
2e;2e0 1x31x3
−=+= +−+−
No se da nunca, la curva no corta al eje x.
b) Dominio y rango
Dominio: Como x está en el exponente puede tomar cualquier valor.
Dominio = Reales
Rango:
13
2 +−
=− x
ey
)eln()2yln( 1x3 +−
=−
2y;02y >>−
Rango: 2< y < ∞
c) Asíntotas
Asíntota horizontal: y=2
d) Gráfico
Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-0.5; 14.2); P (0.5; 2.5) para realizar
su gráfica, pues ya conocemos las características de estas curvas.

Función logarítmica
Funciones logarítmicas: son de la forma: y = log b x si y solo si: by
= x
En esta función “b” es la base, siendo: b > 0 y b ≠ 1.
En la figura tenemos algunas funciones logarítmicas y en ellas podemos observar:
Propiedades
El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para
obtener el número.

• El dominio de estas funciones son los reales positivos.
• El rango son todos los números reales.
• Todas las funciones cortan al eje de las X en el punto (1 ; 0), porque el logaritmo de
uno en cualquier base vale cero.
• Si la base es mayor que uno, las funciones son crecientes, al aumentar “x” la “y”
también crece y tiende al infinito.
• Si la base es mayor que cero pero menor que uno las funciones son decrecientes.
• El eje de las y es asíntota vertical.
Otros logaritmos importantes, que debemos estudiar con atención son los logaritmos
naturales (ln) que tienen como base al número “e”, y cumplen con todo lo establecido para
las funciones logarítmicas.
Ln x significa loge x
Como e >1 la gráfica de y = ln x tiene la forma general de una función logarítmica con b
> 1 y asciende de izquierda a derecha.
Ejemplo de análisis de una función logarítmica
Analizar y graficar: y = log (5 - 4x)

Si x = 0
y = log (5);
y = 0.7 ; P (0; 0.7)
Si y = 0
0 = log (5 – 4x)
Esto se cumple solo si: 5 – 4x = 1
De donde: x = 1 ; P (1; 0)
b) Dominio y rango
y = log (5 – 4x); para que exista el logaritmo debe cumplirse que: 5 - 4x > 0, porque solo
hay logaritmos de cantidades positivas, por tanto:
Dominio: -∞ < x < 5/4.
Rango: poniendo la expresión en forma exponencial: 10y
= 5 – 4x; la y puede tomar todos
los valores, por tanto:
Rango: Reales
c) Asíntotas
x = 5/4 será asíntota de la curva.
d) Gráfico
Basta con calcular unos dos puntos de la curva: P (-2; 2.5); P (1.20; -2) para realizar su
gráfica, pues ya conocemos las características de estas curvas.
Analizar y graficar: y = log(7 – 4x) -3
a) Puntos de corte con los ejes:

Analicemos otro ejemplo
Analizar y graficar: y = log (4x -3) - 3
Si x = 0
y = log (– 3) - 3 No se da nunca, la curva no corta al eje x.
Si y = 0
3 = log (4x - 3) ; 103
= 4x - 3 ; 1000 = 4x - 3
4x = 1003 ; x = 250.75 ; P (250.75; 0)
b) Dominio y rango
y = log (4x - 3) – 3 ; Debe cumplirse que: 4x - 3 > 0 ; 4x > 3 ; x > 3/4
Dominio: x > 3/4
Rango: y + 3 = log (4x – 3) ; 10y+3
= 4x -3 Como y está en el exponente puede tomar
cualquier valor.
Rango: Reales
c) Asíntotas
Asíntota vertical: x = 3/4

Una de las habilidades que debe desarrollar con el estudio de estos temas, es el paso de la
forma logarítmica a la forma exponencial y viceversa, para ello basta recordar la definición
de lo que es el logaritmo de un número.
Es importante recordar las propiedades generales de los logaritmos.
Mlog
n
1
Mlog
MlogPMlog
NlogMlog)N/M(log
NlogMlog)N.M(log
a
n
a
a
P
a
aaa
aaa
=
=
−=
+=
M = loga N El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la
base, para obtener el número. aM
= N
Los conocimientos adquiridos en el capítulo, deben ser aplicados a la resolución de
problemas de interés compuesto, valor presente, inversiones, etc. Solo debe tener cuidado
en elegir los períodos correctamente.
La fórmula: proporciona el monto acumulado S de un capital P al final de n
períodos de interés a una tasa periódica de r.
n
)r1(PS +=
• Para una composición semanal n = 52
• Parea una composición diaria n = 365
• Para una composición trimestral n = 4
• Para una composición semestral n = 2
• Para una composición anual n = 1
Veamos unos ejemplos
• ¿Cuál es el monto compuesto para $7.654.32 durante 2 años al 3.54% compuesto
cuatrimestralmente?

• Determine el valor presente de $800.000 pagaderos dentro de 8 años al 12%
compuesto anualmente.
T= 8 años
S= 800000
r = 12%
S=223106,58 dólares
Otro ejemplo
• Una empresa obtiene un préstamo de $ 4000000 a 10 años plazo con una tasa de
interés de 15% capitalizable semestralmente. Calcular el interés y el monto que
debe pagar a la fecha de vencimiento.
n= 10*2 = 20 semestres
P= 4000000
r = 15%
S= 16991404,40 dólares
I = S – P = 16991404,40 – 4000000 = 12991404,40.
La fórmula: proporciona la población al cabo de t años que tendrá una
población Po que crece a un r% anual.
t
)r1(PoP +=
Si la población declina en su crecimiento poblacional P t
)r1(Po −=
Al trabajar con logaritmos de cantidades numéricas, debe hacerlo con todos los decimales
que la calculadora le entrega, para que los errores de cálculo sean mínimos.
Veamos unos ejemplos:
• La población de un país tiene una tasa de crecimiento del 2.67% anual, luego de 2
años es 14´230,524.02 habitantes. Cuál era la población inicial?

Otro ejemplo
• La ciudad de Cuenca tiene actualmente 800.000 habitantes con una tasa de
crecimiento anual del 1.18%. Cuánto tiempo debe transcurrir para que llegue a tener
1´600.000 habitantes?
La actividad tres es de aplicación de las funciones exponenciales y logarítmicas a la vida real,
tiene que dar especial atención a la elaboración de los gráficos (se sugiere usar el programa
DERIVE).
En el texto guía debe estudiar la definición de matriz, su nomenclatura, las operaciones
básicas y sus propiedades, con estos conocimientos realice algunos de los ejercicios
propuestos en el texto guía; UD debe desarrollar la habilidad de realizar operaciones con
matrices.
Veamos un ejemplo
Dado
16
25
−
=A y 83
71
−
=B Determine (A-B)2

Luego de estudiar la reducción de matrices, debemos poder distinguir cuando una matriz es
reducida o no, así como dominar el procedimiento para reducir matrices, debe desarrollar la
habilidad de realizar operaciones de renglón, para esto revise los ejercicios resueltos y
resuelva algunos de los ejercicios propuestos.
Veamos un ejemplo
Resolver por el método de reducción de matrices la siguiente matriz:
a + b - c = 4
2a - 3b + 2c = -5
-4a + b + c = 0
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
−
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
+⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
+
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
3
5
2
100
010
001
4
5/
5/
3
15
7
100
050
011
4
4
3
3
4
100
450
111
16
13
4
350
450
111
4
2
0
5
4
114
232
111
13
2
21
13
32
31
2313
12
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
RR
R
RR
RR
RR
RR
RRRR
RR
Respuesta:
A = 2
B = 5
C = 3
El concepto de matriz inversa y su campo de aplicación, deben quedar perfectamente claros
luego de estudiar el tema en el texto guía.
Debemos revisar cuidadosamente el método o procedimiento para hallar la inversa de las
matrices que la poseen, una vez que tengamos esta habilidad la aplicamos en la resolución
de sistemas lineales.
Veamos un ejemplo.
Resolver el sistema utilizando la inversa:
2x + 4y + 2z = 0
3x + z = 5
2x – 2y + 2z = 3
= =
F1 ÷2

=
-3F1 +F2
-2F1 +F3
F2 *(-1/6)
=
-2F2 +F1
F3 *(1/2)6F2 +F3
=
-1/3F3 +F1
-1/3F3 +F2
X= * 0 + * 5 - * 3 = 2
Y= * 0+ 0 * 5 - * 3 = -1/2
Z= * 0 - * 5 + * 3 = -1
Actividades de aprendizaje
Actividad de aprendizaje 2.1.
Planteamientos
• En las funciones dadas, determine: los puntos de corte de la curva con los
ejes, el dominio y rango, las ecuaciones de las asíntotas, en caso de que
existan y realice un gráfico. (2 puntos)
6
7
9
)(
11
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
+x
xfy
Solamente las matrices cuadradas poseen matriz inversa y para que la tengan el
valor de su determinante debe ser diferente de cero.

7)74log( +−= xy
• En los siguientes ejercicios determine el valor de x: (3 puntos)
• !
• !
• !
• !
• !
• !
Objetivos
1. Analizar funciones logarítmicas y exponenciales.
2. Graficar las funciones logarítmicas y exponenciales en el sistema coordenado.
3. Aplicar correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de
las funciones logarítmicas y exponenciales
4. Resolver problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y
exponenciales.
Orientaciones
didácticas
Estos son ejercicios de repaso del semestre anterior, si no recuerda
consulte el texto guía y los ejemplos que constan en la asesoría 1.
Criterios de
evaluación
Determina dominios y rangos de funciones logarítmicas y exponenciales.
Grafica las funciones logarítmicas y exponenciales en el sistema coordenado.
Aplica correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de las
funciones logarítmicas y exponenciales.
Resuelve problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Planteamientos
1. En los siguientes ejercicios, halle el monto compuesto y el interés
compuesto para la inversión y tasa anual dadas: (1 punto)
• $3.014,81 durante 5 años al 3,33% compuesto semestralmente.
• $978,32 durante 6 años al 4,21% compuesto bimensualmente.
• $1854,59 durante 3 años al 2.24% compuesto trimestralmente.
• $554.25 durante 7 años y cinco meses al 3.87% compuesto anualmente.
2. La población actual de Ambato es de 2.000.000, y crece a una tasa del

3,30% anual. En el año 2015 se deben elegir concejales, uno por cada
80.000 habitantes, ¿cuántos concejales serán elegidos? (1 punto)
3. La ciudad de Loja tiene actualmente 750.000 habitantes, con una tasa de
crecimiento anual del 2.84%. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que
llegue a tener 1’950.000 habitantes? (1 punto)
4. La población de buenos Aires tiene una tasa de crecimiento del 3.12%
anual, luego de 3 años es 12´547,693 habitantes. ¿Cuál era la población
inicial? (1 punto)
5. El Ministerio de salud del Ecuador debe importar medicamentos a un
promedio de $9 por habitante cada año. Si la población actual es de
14´200.000 habitantes y la tasa de crecimiento es del 3,14% anual,
¿Cuánto se debe presupuestar para cubrir este rubro durante el período
del 1 de Enero del 2017 al 31 de Diciembre del 2020. (1 punto)
Objetivos
1. Resolver problemas de monto e interés compuesto.
2. Analizar las aplicaciones de las funciones logarítmicas y exponenciales en la
Administración de Empresas.
3. Aplicar correctamente los teoremas, axiomas y principios fundamentales de
las funciones logarítmicas y exponenciales.
4. Resolver problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y
exponenciales.
Orientaciones
didácticas
Revise aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica, en su texto
guía.
Criterios de
evaluación
Resuelve problemas de monto e interés compuesto.
Analiza las aplicaciones de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Planteamientos
1. En una transacción financiera, se compra un certificado de depósito de
$1030.000 en $850.000 y se debe mantenerlo en el banco durante 6 años.
Si el certificado devenga una tasa efectiva del 3,1%, ¿cuál es su valor al
final de ese período? (1 punto)
2. La población de Bolivia es de 18 millones de habitantes y la de Uruguay de
27 millones, si la población de Bolivia crece a una tasa anual del 3,96% y
la de Uruguay al 2,11% ¿Al cabo de cuántos años los dos países tendrán
igual población? (1 punto)

3. El número estimado de unidades que serán vendidas por una empresa en t
meses a partir de ahora está dado por:
t
e .tN 07,0
000.100)( −
=
a. ¿Cuáles son las ventas presentes (t = 0)?
b. ¿Cuáles serán las ventas en 2 meses? ¿En 6 meses?
c. Realice un gráfico de la función y luego responda a la pregunta:
¿Recuperarán las ventas su nivel presente? (2 puntos)
4. El número de visitantes a los parques nacionales pueden aproximarse por
la función logarítmica f(x) = - 255 + 81 ln(x). En esta función x
representa el número de años desde 1930. ¿En que año el número de
visitantes será de 1 millón? Realice una gráfica de la función. (1 punto)
Objetivos
Resolver problemas de aplicación de las funciones logarítmicas y exponenciales en
la administración de empresas.
Orientaciones
didácticas
Realice los gráficos utilizando un graficado (DERIVE), revise las
propiedades de los logaritmos.
Criterios de
evaluación
Planteamientos
1. Dado
• Encuentre: (A + B)2
• Encuentre : A2
+ 2AB + B2
• c.- ¿Es (A + B)2
= A2 + 2AB +B2? (2 puntos)
2. Resuelva
(1 punto)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
35
46
72
415
613
2
865
3147
3
3. Resuelva por el método de reducción. (1 punto)
a + b - c = 2
2a + 7b + 3c = -1
-4a + b - 3c = 3
4. Resuelva por el método de la inversa. (1 punto)

3x - 2y + 2z = 2
x - 5y - 1z = -1
-3x - 2y + z = 1
Objetivos
1. Conocer y escribir correctamente las matrices.
2. Aplicar correctamente las propiedades de las matrices.
3. Resolver problemas sobre matrices.
4. Analizar las aplicaciones de las matrices a la administración de empresas.
5. Resolver problemas de administración de empresas mediante el uso de
matrices.
Orientaciones
didácticas
Aplique los métodos pedidos, los mismos que están definidos en su
texto guía.
Criterios de
evaluación
Aplica correctamente los principios y las propiedades de las matrices.
Resuelve problemas sobre matrices.
Analiza las aplicaciones de las matrices a problemas de economía.
Resuelve problemas de economía y administración de empresas mediante el uso
de matrices
Formato de
entrega
Archivo de Microsoft Office.
Enviar a
Envíe en un solo archivo que no pese más de 5.0 MB, a través de la
plataforma, mediante la sección Contenidos, cuyo nombre debe ser:
Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.Asignatura
Preguntas o
dudas
Envíe sus preguntas o dudas a través de la plataforma: utilice la sección Enviar
correo y marque el nombre de su tutor.
Puntaje por actividad
Actividades de aprendizaje
Puntaje
Actividad de aprendizaje 2.1. 5
20

“En caso de que para el examen sea estrictamente
necesaria la consulta de tablas, fórmulas, esquemas o
gráficos, estos serán incluidos como parte del examen
o en un anexo”.
EL EXAMEN SERÁ SIN CONSULTA.
El tutor de la asignatura

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