Mathematica para cálculo iii (archivo pdf)

Proyecto de aula
Cálculo Vectorial
Politécnico Grancolombiano
FICB
Aspectos Generales
Empezando a usar Mathematica
Mathematica es una plataforma para elaborar documentos de alto nivel en un ambiente computacional
con una amplia base de fórmulas y datos.
Se utiliza para realizar cálculos numéricos y simbólicos ofreciendo una amplia gama de posibilidades a
estudiantes, científicos e ingenieros
Con ayuda de este programa se busca que el estudiante potencie las competencias analíticas e interpreta-
tivas que se desarrollan a través de los cursos de la Facultad de Ingenierías y Ciencias Básicas.
Veamos algunos conceptos básicos para comenzar a utilizar esta herramienta
Operaciones básicas
En general, la aritmética en Mathematica funciona de la misma manera que cualquier otro programa
x + y + z add
-x minus
x - y subtract
x y z or x*y*z multiply
x/ y divide
x^y power
x(y+z) grouping
Variables
Una variable es un espacio de memoria que puede contener cualquier valor y se accede mediante una
etiqueta que no esté reservada por el sistema, por ejemplo

In[1213]:= (*asignar a la variable d el valor de 2*)
d = 2
Out[1213]= 2
In[1214]:= Clear[d]
In[1215]:= (*No se puede asignar a la variable D algún valor porque
es una función reservada por el sistema y esta protegida*)
In[1216]:= D = 2
Set::wrsym : Symbol D is Protected. 
Out[1216]= 2
Como se vio, para asignar una variable se utiliza el operador de asignación = Set el cual asigna al
elemento de la izquierda aquello que se encuentre a la derecha. Si la variable no existe se creará pero si
ya existe simplemente se sobrescribirá
Una variable puede contener cualquier expresión
In[1217]:= ecuacion = a x^2 + b x + c
Clear[ecuacion]
Out[1217]= c + b x + a x2
Funciones
Las funciones son el alma de Mathematica, pueden ser subrutinas o procedimientos que llevan a cabo
una tarea dependiendo de una serie de parámetros (o expresiones) y de las opciones, las funciones
devuelven un elemento producto del proceso ejecutado
Con ellas se puede resolver ecuaciones y desigualdades, graficar funciones en el plano y en el espacio,
hallar determinantes, derivar e integrar entre otras.
Hay que tener en cuenta tres aspectos fundamentales en las funciones
◼ Toda función es capitalizable, es decir, siempre comienza en mayúsculas
◼ Los argumentos de la función se encierran en [ ] y se separan con ,
◼ Las listas y rangos se encierran en { }
2 CIII_ejec.nb

Ejemplos
In[1219]:= Plot f ,  x , xmin , xmax 
Det m 
ParametricPlot3D fx , fy , fz ,  u , umin , umax 
Solve expr , vars 
Plot::plln : Limiting value xmin in  x , xmin , xmax  is not a machine-sized real number. 
Out[1219]= Plot[ f , { x , xmin , xmax }]
Out[1220]= Det[ m ]
ParametricPlot3D::plln :
Limiting value umin in  u , umin , umax  is not a machine-sized real number. 
Out[1221]= ParametricPlot3D fx , fy , fz , { u , umin , umax }
Solve::naqs : expr is not a quantified system of equations and inequalities. 
Out[1222]= Solve[ expr , vars ]
» Comentarios
Los comentarios, como en todo programa, ayudan al lector pero no tienen algún valor en la ejecución de
la función o programa, todo comentario se encierra en (* *)
In[1223]:= (*Este es un comentario*)
Celdas, estilos de texto y plantillas de
escritura
Celdas
En Mathematica todo los comandos o textos que se escriben se categorizan en celdas, si se pasa el cursor
por la parte derecha de este texto aparecerán unas líneas azules que marcan la estructura del texto y las
celdas.
Por defecto, el estilo utilizado en las celdas es Input, el cual permite ejecutar comandos y funciones.
Para evaluar una celda presione , si solo se presiona  el input no será evaluado. Puede probar
evaluado el siguiente input
CIII_ejec.nb 3

In[1224]:= (*500 cifras significativas de *)
N[Pi, 500]
Out[1224]= 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097
494459230781640628620899862803482534211706798214808651328
230664709384460955058223172535940812848111745028410270193
852110555964462294895493038196442881097566593344612847564
823378678316527120190914564856692346034861045432664821339
360726024914127372458700660631558817488152092096282925409
171536436789259036001133053054882046652138414695194151160
943305727036575959195309218611738193261179310511854807446
23799627495673518857527248912279381830119491
Estilos de texto
A la hora de elaborar trabajos, Mathematica cuenta con diferentes estilos de texto como títulos, subtit-
ulos, ..., texto normal, items e inputs, entre otros.
En el menú Format >> Style, se encuentran los diferentes estilos y formatos de texto. En particular nos
interesa dos estilos
» Text (Alt + 7)
Si se quiere explicar algún procedimiento, escribir alguna respuesta o escribir algún comentario se
puede utilizar este tipo de texto. Se puede combinar con items y numeraciones.
También se puede escribir con símbolos matemáticos como sumatorias, límites, ecuaciones, etc, para
esto puede utilizar los asistentes de escritura en el menu Format >> Palettes (los tres primeros)
2 x + 3 y = 5
∑i=0
10
i
» Input (Alt + 9)
Este es, por defecto, el estilo de toda celda nueva, Aquí se escriben las operaciones y comandos que se
quieran evaluar. Para esto se debe presionar 
4 CIII_ejec.nb

In[1225]:= Plot[x^2, {x, -1, 1}]
Out[1225]=
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Asistentes de escritura
Los asistentes de escritura son aquellos que permiten escribir símbolos y caracteres matemáticos de
forma rápida, permitiendo elaborar trabajos de alta calidad.
Se encuentran en el menu Palettes y son:
» Bassic Math Assistant
» Class Room Assistant
» Writting Assistant
Con estos asistentes se pueden escribir números irracionales como  o ⅇ, escribir de forma rápida
matrices, potencias, fracciones, etc.
Manual práctico
A continuación se presentan los comandos básicos para trabajar en la asignatura de Cálculo vectorial.
Para esta sesión se espera que el grupo explore las cinco subsecciones:
1. Solución de ecuaciones e inecuaciones
2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales
3. Definición y gráfica de funciones
4. Cálculo de derivadas simples y derivadas parciales
5. Evaluación de Integrales simples, integrales múltiples e iteradas
6. Gráficas de cónicas
7. Trazos en 3
(rectas, planos, cilindros, superficies cuadráticas y superficies generales)
y entienda los comandos básicos para trabajar en el curso, puede modificar los ejemplos y evidenciar los
cambios en el resultado.
CIII_ejec.nb 5

Solución de ecuaciones e inecuaciones
Para solucionar todo tipo de ecuaciones se utilizan los comandos Solve o Reduce
Se debe utilizar el Equal == (doble igual) en el momento de escribir una ecuación.
Encontrar todas las soluciónes de la ecuación x3
+ 1 = 0
In[1226]:= Solve[x^3 + 1 ⩵ 0, x]
Out[1226]= {x → -1}, x → (-1)1/3
, x → -(-1)2/3

Si se quiere una aproximación decimal se utiliza el comando N
In[1227]:= N[Solve[x^3 + 1 ⩵ 0, x]]
Out[1227]= {{x → -1.}, {x → 0.5 + 0.866025 ⅈ}, {x → 0.5 - 0.866025 ⅈ}}
Dos de las soluciones no son reales (son complejas), para encontrar las soluciones reales se escribe
In[1228]:= Solve[x^3 + 1 ⩵ 0, x, Reals]
Out[1228]= {{x → -1}}
A continuación otros ejemplos
In[1229]:= (*Ecuación cuadrática con dos soluciones reales*)
Solve[x^2 - 2 x + 1 ⩵ 0, x, Reals]
Out[1229]= {{x → 1}, {x → 1}}
In[1230]:= (*Ecuación cuadrática sin solución real*)
Solve[x^2 - 2 x + 5 ⩵ 0, x, Reals]
Out[1230]= {}
In[1231]:= (*fórmula cuadrática*)
In[1232]:= Solve[a x^2 + b x + c ⩵ 0, x]
Out[1232]= x →
-b - b2 - 4 a c
2 a
, x →
-b + b2 - 4 a c
2 a

Reduce se utiliza especialmente para resolver inecuaciones
In[1233]:= Reduce
x^2 - 4
(x - 2) (x + 3)
≥ 0, x
Out[1233]= x < -3 || x ≥ -2
6 CIII_ejec.nb

También sirve para resolver ecuaciones
In[1234]:= Reduce[a x^2 + b x + c ⩵ 0 && a ≠ 0, x]
Out[1234]= a ≠ 0 && x ⩵
-b - b2 - 4 a c
2 a
|| x ⩵
-b + b2 - 4 a c
2 a
» Más información
Para más información puede buscar en el centro de documentación
Solve ▪ NSolve ▪ Reduce ▪ N
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Se pueden resolver sistemas de ecuaciones de varias formas, recuerde siempre utilizar el ==
In[1235]:= Solve[{x + 2 y == 5, 3 x - 2 y ⩵ 2}, {x, y}]
Out[1235]= x →
7
4
, y →
13
8

In[1236]:= Solve[x + 2 y == 5 && 3 x - 2 y ⩵ 2, {x, y}]
Out[1236]= x →
7
4
, y →
13
8

In[1237]:= Reduce[x + 2 y == 5 && 3 x - 2 y ⩵ 2, {x, y}]
Out[1237]= x ⩵
7
4
&& y ⩵
13
8
In[1238]:= Reduce[{x + y == 5, 3 x + 2 y ⩵ 10}, {x, y}]
Out[1238]= x ⩵ 0 && y ⩵ 5
Sistemas de 3 × 3 con solución única
In[1239]:= Reduce[x + 2 y == 5 && 3 x - 2 y ⩵ 2 && 5 x + z ⩵ 2, {x, y, z}]
Out[1239]= x ⩵
7
4
&& y ⩵
13
8
&& z ⩵ -
27
4
Sistemas de 3 × 3 con infinitas soluciones
In[1240]:= Reduce[2 x - 2 y == 5 && 4 x - 4 y ⩵ 10 && 5 x + z ⩵ 2, {x, y, z}]
Out[1240]= y ⩵ -
5
2
+ x && z ⩵ 2 - 5 x
CIII_ejec.nb 7

Sistemas de 3 × 3 sin solución
In[1241]:= Reduce[2 x - 2 y == 5 && 4 x - 4 y ⩵ 2 && 5 x + z ⩵ 2, {x, y, z}]
Out[1241]= False
Definición y gráfica de funciones
» Asignación y definiciones
◼ Asignación (lhs = rhs): la parte derecha se asigna inmediatamente es evaluada. Solo se utiliza el
símbolo =, esta es la forma de asignar constantes.
◼ El símbolo == es Equal, el cual permite escribir expresiones (para resolver ecuaciones con Solve
etc).
◼ Una asignación retrasada (lhs := rhs): la parte derecha no es evaliada inmediatamente, se evalua cada
vez que la asignación se llama. Generalmente esta es la forma de asignar funciones.
Crear una función llamada “fun1” que eleve al cuadarado cada entrada
In[1242]:= fun1[x_] := x^2
Al asignar la función, la variable es x pero se debe debe colocar x_ para indicar que es la variable “libre”
de la función
In[1243]:= fun1[π]
fun1[15]
fun1 5 
Out[1243]= π2
Out[1244]= 225
Out[1245]= 5
Si se quiere saber qué asignación tiene la función se escribe ?
In[1246]:= ? fun1
Global`fun1
fun1[x_] := x2
Se pueden crear funciones con cualquier número de variables
In[1247]:= fun2[x_, y_] := 2 x - 3 y - 5
Note que el color de las variables es verde
8 CIII_ejec.nb

Se pueden definir funciones paramétricas en cualquier dimensión
In[1248]:= circulo[t_] := {Cos[t], Sin[t]}
In[1249]:= circulo
π
2

Out[1249]= {0, 1}
In[1250]:= circulo[100 π]
Out[1250]= {1, 0}
In[1251]:= espiral3D[t_] := Cos[t], Sin[t],
t
4

In[1252]:= espiral3D 
π
4

Out[1252]= 
1
2
,
1
2
,
π
16

In[1253]:= Clear[fun1, fun2, circulo, espiral3D];
» Gráficas de funciones, superficies y curvas paramétricas
» Funciones de una variable
Sea la función
In[1254]:= f1[x_] :=
1
x
Graficar la función f (x) =
1
x
desde -1 hasta 3
In[1255]:= f1[x_] :=
1
x
;
Plot[f1[x], {x, -1, 3}]
Out[1256]=
-1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
CIII_ejec.nb 9

» Funciones de dos variables
Para graficar funciones de varias variables se utilizan los comandos Plot3D, ContourPlot3D,
RegionPlot3D, ParametricPlot3D, SphericalPlot3D, RevolutionPlot3D, entre otros
Es recomendable revisar la ayuda para revisar la estructura de cada comando
Graficar la superficie de la función z = x + y2
en [-3, 3] × [-2, 2]
In[1257]:= Plot3D[Sin[x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}]
Out[1257]=
Graficar varias superficies en el mismo plano
In[1258]:= f1[x_, y_] := 2 x^2 - y^2 + 1; f2[x_, y_] := -x^2 + 2 y^2 - 1;
Plot3D[{f1[x, y], f2[x, y]}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
Out[1259]=
10 CIII_ejec.nb

Graficar el mapa de contorno de una superficie
In[1260]:= Plot3D[Sin[x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}]
ContourPlot[Sin[x + y^2], {x, -3, 3}, {y, -2, 2}]
Out[1260]=
Out[1261]=
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
CIII_ejec.nb 11

Graficar una superficie en tres dimensiones
In[1262]:= f[x_, y_, z_] := 4 x^2 - 5 y^2 - 3 z^2;
ContourPlot3D[f[x, y, z] == 0, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}]
Out[1263]=
In[1264]:= Clear[f1, f]
» Curvas paramétricas
Si se conoce la curva paramétrica se puede graficar con ParametricPlot y ParametricPlot3D.
12 CIII_ejec.nb

La función paramétrica x(t) = a Cos t, y(t) = a Sin t, 0 ≤ t ≤ 2 π representa una circunferencia con
centro en el origen y radio a
In[1265]:= circulo[t_] := {4 Cos[t], 4 Sin[t]}
ParametricPlot[circulo[t], {t, 0, 2 π}]
Out[1266]=
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
CIII_ejec.nb 13

No es necesario definir antes la función, se puede escribir como parámetro de la función
In[1267]:= ParametricPlot[{Sin[12 u] Cos[u], Sin[12 u] Sin[u]}, {u, 0, 2 Pi}]
Out[1267]=
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
14 CIII_ejec.nb

Para curvas en 3D se utiliza la misma estructura
In[1268]:= espiral3D[t_] := Cos[t], Sin[t],
t
4

ParametricPlot3D[espiral3D[t], {t, 0, 4 Pi}]
Out[1269]=
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0
1
2
3
» Superficies paramétricas
Si se conoce la forma paramétrica de la superficie se puede utilizar la función ParametricPlot3D
CIII_ejec.nb 15

Grafica de un cilindro definido paramétricamente
In[1270]:= ParametricPlot3D[{Cos[u], Sin[u], 2 v}, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 1},
Mesh → 5, BoundaryStyle → Black, PlotStyle → FaceForm[Red, LightBlue]]
Out[1270]=
16 CIII_ejec.nb

Gráfica de un cono definido paramétricamente
In[1271]:= ParametricPlot3D[{v Cos[u], v Sin[u], 2 v}, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 1}, Mesh → 15,
BoundaryStyle → Black, PlotStyle → FaceForm[LightRed, LightGreen]]
Out[1271]=
Cálculo de derivadas simples y derivadas parciales
Para encontrar o evaluar derivadas (simples o parciales) se utiliza la función D o Derivative. Otra
manera es por medio de la escritura normal, es decir colocando el apóstrofe al lado de la función f ' (x).
» Derivadas simples
Se puede definir previamente la función y luego derivarla
In[1272]:= f[x_] :=
Sin[x]
(Cos[x])2
;
f'[x](*Esta es una forma de escribir la derivada*)
D[f[x], x](*Esta es una forma de escribir la derivada*)
Out[1273]= Sec[x]3
+ Sec[x] Tan[x]2
Out[1274]= Sec[x]3
+ Sec[x] Tan[x]2
CIII_ejec.nb 17

Propiedades generales de las derivadas
In[1275]:= D[u[x] + v[x], x](*Regla de adición*)
Out[1275]= u′
[x] + v′
[x]
In[1276]:= D[k u[x], x] (*Regla del multiplo constante*)
Out[1276]= k u′
[x]
In[1277]:= D[xn
, x](*Regla de la potencia*)
Out[1277]= n x-1+n
In[1278]:= D[u[x] * v[x], x](*Regla del producto*)
Out[1278]= v[x] u′
[x] + u[x] v′
[x]
In[1279]:= Simplify@D
u[x]
v[x]
, x(*Regla del producto*)
Out[1279]=
v[x] u′[x] - u[x] v′[x]
v[x]2
Derivadas de orden superior
In[1280]:= D[ArcTan[x], {x, 2}]
Out[1280]= -
2 x
1 + x2
2
» Derivadas parciales
Con la función D se puede especificar con respecto a qué variable se va a derivar
In[1281]:= D f , x  (*derivada parcial con respecto a x ∂f/∂x*)
Out[1281]= 0
In[1282]:= Dx3
- x * y + y2
, x (*derivada parcial con respecto a x ∂f/∂x*)
Out[1282]= 3 x2
- y
In[1283]:= Dx3
- x * y + y2
, y (*derivada parcial con respecto a x ∂f/∂y*)
Out[1283]= -x + 2 y
18 CIII_ejec.nb

» Evaluar derivadas en valores específicos
Evaluar la derivada parcial de una función en un valor particular
In[1284]:= f[x_, y_] := Sin[x] Cos[y];
In[1285]:= D[f[x, y], x](*Derivar con respecto a x*)
Out[1285]= Cos[x] Cos[y]
In[1286]:= D[f[x, y], x] /.  x →
π
3
, y →
π
4

(*Derivar con respecto a x y evaluar en  π
3
, π
4
*)
Out[1286]=
1
2 2
» Derivadas de orden superior
Tambien se pueden evaluar derivadas de orden superior
In[1287]:= Simplify@D[f[x, y], {x, 2}](*2da deriada ∂2
∂x2 f *)
Out[1287]= -Cos[y] Sin[x]
» Gradiente de una función
Se puede encontrar el gradiente de una función
In[1288]:= f[x_, y_] := Sin[x] Cos[y];
D[f[x, y], {{x, y}}](*Gradiente de f*)
Out[1289]= {Cos[x] Cos[y], -Sin[x] Sin[y]}
Más información de derivadas en The Representation of Derivatives,
Defining Derivatives, Derivatives of Unknown Functions.
Calculus
Evaluación de integrales simples, integrales múltiples e iteradas
» Integrales simples
Con el asistente de escritura se pueden escribir de forma sencilla las integrales simples (indefinidas o
definididas)
CIII_ejec.nb 19

In[1290]:= 
3 - x
x3 - 4
ⅆx
Out[1290]=
1
12 × 22/3
-2 3 2 + 3 × 21/3
 ArcTan
1 + 21/3 x
3
 +
-2 + 3 × 21/3
 2 Log2 - 21/3
x - Log4 + 2 × 21/3
x + 22/3
x2

In[1291]:= 
-π
π
2
Sin[x] Cos[x] ⅆx
Out[1291]=
1
2
» Intregrales dobles
» Integrales iteradas
Si se conoce la integral iterada, se puede usar el asistente de escritura para escribirla
Integral iterada de una región rectangular
In[1292]:= 
-2
6

-1
4
y * Exp[x] ⅆx ⅆy
Out[1292]=
16 -1 + ⅇ5
ⅇ
» Integrales dobles en regiones bien definidas
Integral doble para encontrar el área de una circunferencia de radrio r
La integral iterada no resulta sencilla de evaluar
In[1293]:= 
-r
r

- r2-x2
r2-x2
1 ⅆy ⅆx
Out[1293]= π r r2
Mucho más sencillo evaluar la integral iterada cambiando a coordenadas polares
In[1294]:= 
0
r

0
2 π
r ⅆθ ⅆr
Out[1294]= π r2
20 CIII_ejec.nb

Pero tabien se puede evaluar la integral doble sobre la circunferencia de radio r
In[1295]:= Integrate[1, {x, y} ∈ Disk[{0, 0}, r]] (*Escritura con la función Integrate*)
Out[1295]= ConditionalExpressionπ r2
, r > 0
In[1296]:= 
{x,y}∈Disk[{0,0},r]
1(*con el asistente de escritura*)
Out[1296]= ConditionalExpressionπ r2
, r > 0
Visualización de un problema de integración doble
Primero se define la región de intregración
In[1297]:= ℛ = Polygon[{{0, 0}, {1, 0}, {0, 1}}];
La gráfica de la región es
In[1298]:= xo = yo = zo = 1.2;
Show[Graphics3D[{Black, drawAxes[xo, yo, zo]}],
Plot3D[0, {x, y} ∈ ℛ, PlotStyle → LightBlue, Mesh → None],
Graphics3D[
{GrayLevel[0.6, 0.4], tabx1[xo, yo, zo], tabx2[xo, yo, zo], taby1[xo, yo, zo],
taby2[xo, yo, zo], tabz1[xo, yo, zo], tabz2[xo, yo, zo]}],
Ticks → None, Axes → False, ViewPoint → {3.5, 1.5, 1.8}, Boxed → False]
Out[1299]=
Ahora se define la función
CIII_ejec.nb 21

In[1300]:= f[x_, y_] := Sin[x] Sin[y];
La gráfica de la función en la región es
In[1301]:= xo = yo = zo = 1.2;
Plot3D[f[x, y], {x, y} ∈ ℛ, PlotStyle → Red],
Plot3D[0, {x, y} ∈ ℛ, PlotStyle → {Opacity[0.5]}, Mesh → None],
Plot3D[f[x, y], {x, y} ∈ Disk[{0, 0}, 1],
PlotStyle → {Red, Opacity[0.2]}, Mesh → None],
Graphics3D[{GrayLevel[0.6, 0.4], tabx1[xo, yo, zo],
tabx2[xo, yo, zo], taby1[xo, yo, zo], taby2[xo, yo, zo],
tabz1[xo, yo, zo], tabz2[xo, yo, zo]}],
Out[1302]=
La integral de la función f (x, y) = Sin x Sin y sobre el polígno con vértices (0,0), (1,0) y (0,1) es
In[1303]:= 
{x,y}∈ℛ
f[x, y]
Out[1303]=
1
2
(2 - 2 Cos[1] - Sin[1])
La correspondiente integral iterada es
22 CIII_ejec.nb

In[1304]:= 
0
1

0
-x+1
f[x, y] ⅆy ⅆx
Out[1304]= 1 - Cos[1] -
Sin[1]
2
In[1305]:= Clear[f, ℛ];
» Integrales triples
» Integrales iteradas
Si se conoce la integral iterada, se puede usar el asistente de escritura para escribirla
Integral iterada de un prisma rectangular
In[1306]:= 
-3
2

-2
6

-1
4
y * z2
Exp[x] ⅆx ⅆy ⅆz
Out[1306]=
560 -1 + ⅇ5
3 ⅇ
» Integrales triples en superficies
Volumen de un cilindro
Primero se define la región en tres dimensiones, por ejemplo un cilindro
In[1307]:= reg1 = Cylinder[{{1, 0, 0}, {-1, 0, 0}}, 1];
La superficie es
CIII_ejec.nb 23

In[1308]:= xo = yo = zo = 1.2;
reg1 = Cylinder[{{1, 0, 0}, {-1, 0, 0}}, 1];
Graphics3D[{Opacity[0.5], reg1}],
Graphics3D[
Out[1310]=
Para evaluar el volumen se puede utilizar la integral triple
∫ ∫ ∫reg1
1 ⅆV
es decir
In[1311]:= 
{x,y,z}∈ reg1
1
Out[1311]= 2 π
Que corresponde a la integral triple
In[1312]:= 
-1
1

-1
1

- 1-y2
1-y2
1 ⅆz ⅆy ⅆx
Out[1312]= 2 π
24 CIII_ejec.nb

Gráficas de cónicas
n-vectores
En Mathematica, los vectores son listas o matrices de un solo renglón
» Escritura de vectores
vector en dos dimensiones
In[1313]:= v = {1, 2}
Out[1313]= {1, 2}
vector en tres dimensiones
In[1314]:= u = {-1, 3, -3}
Out[1314]= {-1, 3, -3}
» Representación de vectores
Para graficar vectores se utiliza el comando Graphics en 2D y Graphics3D en 3D.
CIII_ejec.nb 25

In[1315]:= v = {1, 2};
Show[
Graphics[{Red, Thick, Arrow[{{0, 0}, v}], Blue, Arrow[{{0, 0}, {-1, 1}}]}],
Axes → True,
AxesLabel → {"x", "y"}]
Out[1316]=
-1.0 -0.5 0.5 1.0
x
0.5
1.0
1.5
2.0
y
26 CIII_ejec.nb

In[1317]:= (*vectores ortogonales en R3*)
u = {-1, 2, -2};
v = {1.5, -1, 1};
xo = yo = zo = 3;
Show[Graphics3D[
{Red, Thick, Arrow[{{0, 0, 0}, v}], Blue, Arrow[{{0, 0, 0}, u}]}],
Axes → True,
AxesLabel → {"x", "y", "z"}],
Graphics3D[
Out[1320]=
x
y
z
In[1321]:= Clear[u, v]
Para más información puede buscar en el centro de documentación
Vector Operations ▪ Operations on Vectors ▪ Graphics
CIII_ejec.nb 27

Trazos en 3
(rectas, planos, cilindros, superficies generales y
superficies cuadráticas)
» Representación paramétrica de una recta en 3D
Sea la recta representada paramétricamente
x = 2 + t
y = -1 + t
z = t
La gráfica de la recta es:
In[1322]:= ParametricPlot3D[{2 + t, -1 + t, t}, {t, -5, 5}]
Out[1322]=
0
5
-5
0
-5
0
5
28 CIII_ejec.nb

Se puede graficar una recta generada por un vector w1 =
1
1
0
y que pasa por P(1, 1, 1)
In[1323]:= w1 = {1, 1, 0};
xo = yo = zo = 2;
ParametricPlot3D[{1, 1, 1} + u w1,
{u, -1.5, 1.5}, PlotStyle → Directive[Opacity[0.5]]],
Out[1325]=
x
y
z
» Representación de planos
Definiendo el plano como una superficie de dos variables
Sea el plano 2 x + 3 y - z = 4, para graficar el plano primero se puede despejar z
z = 2 x + 3 y - 4
CIII_ejec.nb 29

In[1326]:= Plot3D[2 x + 3 y - 4, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
Out[1326]=
Otra forma de graficar el plano
Sea el plano 2 x + 3 y - z = 4, para graficar un plano con los ejes cartesianos se necesita un poco más de
código.
30 CIII_ejec.nb

In[1327]:= xo = yo = zo = 7;
Show[ContourPlot3D[2 x + 3 y - z ⩵ 4, {x, -xo, xo}, {y, -yo, yo},
{z, -zo, zo}, ContourStyle → Opacity[0.2], MeshStyle → None],
Graphics3D[{Black, drawAxes[xo, yo, zo]}],
Graphics3D[
Out[1328]=
Graficar un plano conociendo tres puntos en este
Suponga que quiere graficar el plano que pasa por los puntos
a1 = {1, -4, -3};
a2 = {3, 2, -2};
a3 = {4, -6, -7};
Puede utilizar la función InfinitePlane
CIII_ejec.nb 31

In[1329]:= a1 = {1, -4, -3};
a2 = {3, 2, -2};
a3 = {4, -6, -7};
Graphics3D[{InfinitePlane[{a1, a2, a3}]}]
Out[1332]=
32 CIII_ejec.nb

Representación de un plano con su vector normal
In[1333]:= Show[
Plot3D[2 x + 3 y - 4, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}],
Graphics3D[{Blue, Thick, Arrow[Tube[{{2, 3, -1}, {0, 0, 0}}], 0.02]}],
PlotRange → {{-2, 1}, {-2, 1}, {-2, 1}},
BoxRatios → 1]
Out[1333]=
CIII_ejec.nb 33

Se puede graficar un plano generado por dos vectores: w1 =
1
1
0
, w2 =
0
1
1 / 2
y que pasa por P(1, 1, 1)
In[1334]:= {w1, w2} = {{1, 1, 0}, {0, 1, 1 / 2}};
xo = yo = zo = 2;
ParametricPlot3D[{1, 1, 1} + u w1 + v w2, {u, -1.5, 1.5}, {v, -1.5, 1.5},
Mesh → 5, PlotStyle → Directive[FaceForm[Red, Yellow], Opacity[0.5]]],
Out[1336]=
» Superficies
Se puede definir definir la región de un “cono de helado” como la región debajo de una esfera centrada
en el punto (0,0,1) y encima de un cono, la superficie es
34 CIII_ejec.nb

In[1337]:= reg1 = Sphere[{0, 0, 1}, 1];
reg2 = Cone[{{0, 0, 2}, {0, 0, 0}}, 1];
xo = yo = zo = 2.2;
ShowGraphics3D[{Black, drawAxes[xo, yo, zo]}],
RegionPlot3DImplicitRegion
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 ≤ 1 && 0 ≤
2 - z
2
≤ 1 && x^2 + y^2 ≤
z^2
4
, {x, y, z},
PlotPoints → 25, PlotStyle → Directive[Yellow, Opacity[0.5]],
Graphics3D[{Blue, Opacity[0.1], reg1, reg2}],
Graphics3D[
Ticks → None, Axes → False, ViewPoint → {3.5, 1.5, 1.8}, Boxed → False
Out[1340]=
CIII_ejec.nb 35

» Superficies cuadráticas
» Elipsoides
In[1341]:= xo = yo = zo = 3.5;
ShowContourPlot3D
x2
4
+
y2
9
+
z2
4
⩵ 1, {x, -xo, xo},
{y, -yo, yo}, {z, -zo, zo}, ContourStyle → Opacity[0.8], Mesh → 2,
Graphics3D[
Out[1342]=
36 CIII_ejec.nb

» Cono
In[1343]:= xo = yo = zo = 3.5;
x2
4
+
y2
9
==
z2
4
, {x, -xo, xo},
Graphics3D[
Out[1344]=
CIII_ejec.nb 37

» Paraboloides elípticos
In[1345]:= xo = yo = zo = 3.5;
ShowContourPlot3Dz ==
x2
2
+
y2
3
, {x, -xo, xo}, {y, -yo, yo},
{z, -zo, zo}, ContourStyle → Opacity[0.8], Mesh → 2,
Graphics3D[
Out[1346]=
38 CIII_ejec.nb

» Hiperboloide de una hoja
In[1347]:= xo = yo = zo = 3.5;
x2
4
-
y2
9
+
z2
4
⩵ 1, {x, -xo, xo},
Graphics3D[
Out[1348]=
CIII_ejec.nb 39

» Paraboloide hiperbólico
In[1349]:= xo = yo = zo = 3.5;
ShowContourPlot3Dz ==
x2
2
-
y2
3
, {x, -xo, xo}, {y, -yo, yo},
{z, -zo, zo}, ContourStyle → Opacity[0.8], Mesh → 2,
Graphics3D[
Out[1350]=
40 CIII_ejec.nb

» Hiperboloide de dos hojas
In[1351]:= xo = yo = zo = 3.5;
ShowContourPlot3D-
x2
2
-
y2
3
+ z2
⩵ 1, {x, -xo, xo}, {y, -yo, yo},
{z, -zo, zo}, RegionFunction → Function[{x, y, z}, -2 < z < 2],
ContourStyle → Opacity[0.8], Mesh → 5,
Graphics3D[
Out[1352]=
CIII_ejec.nb 41

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