Resumen de función cuadratica

1. UNIDAD 2:
Función cuadrática
ÁLGEBRA Y
GEOMETRÍA
ANALÍTICA

2. Las funciones cuadráticas
son utilizadas en diversas
disciplinas.
Són útiles para describir y
predecir ganancias y
costos de empresas,y
obtener así información,
sin necesidad de recurrir
a la experimentación.

3. FUNCIÓN CUADRÁTICA:
Se llama función cuadrática a la función polinómica de segundo grado.
Es decir, una función cuadrática es una función:
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄
𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑹 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎
Los términos de la función reciben los siguientes nombres:
 𝒂 𝒙𝟐: Término cuadrático
 𝒃 𝒙 ∶ Término lineal
 𝒄 ∶ Término independiente

4. • La gráfica de la función
cuadrática es una parábola.
• Sus ramas son simétricas
respecto a una recta, que es el
eje de simetría (puede ser el
eje “y” o un eje paralelo a él).
• El punto de intersección de la
parábola con el eje de simetría
se llama vértice.
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica

5. • Si b=c=0 → la fórmula de la función es de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Tiene el vértice en
el origen de
coordenadas y es
simétrica respecto
al eje “y”

6. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
• Si la gráfica de una función
cuadrática se abre hacia arriba
(a>0) el vértice, de coordenadas
(h;k), es el punto más bajo
(MÍNIMO VALOR QUE PUEDE
TOMAR LA FUNCIÓN).
• Si la gráfica de la función cuadrática
se abre hacia abajo (a<0) el vértice
, de coordenadas (h;k), es el punto
más alto. (MÁXIMO VALOR QUE
PUEDE TOMAR LA FUNCIÓN).
• La recta x=h es el eje de simetría, o
simplemente eje de la parábola.
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”

7. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Coordenadas vértice:
𝒙𝒗 = −
𝒃
𝟐𝒂
𝒚𝒗 = 𝒇(𝒙𝒗)

8. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Puntos de corte con el eje x (y=0)
(raíces o ceros de la función):
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐>0 ⇒ la parábola corta al eje x en los puntos:
𝒙𝟏 =
−𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝒙𝟐 =
−𝒃 − 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂

9. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Puntos de corte con el eje x (y=0)
(raíces o ceros de la función):
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 ⇒ la parábola corta al eje x en UN punto
𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 =
−𝒃
𝟐𝒂
RAÍZ DOBLE

10. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Puntos de corte con el eje x (y=0)
(raíces o ceros de la función):
𝒙𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Si 𝑏2
− 4𝑎𝑐 < 0 ⇒ la parábola NO corta al eje x
NO TIENE RAÍCES REALES

11. FUNCIÓN CUADRÁTICA: Gráfica
Para realizar la representación gráfica de
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄. es conveniente
hacerlo a partir de estos puntos:
Ordenada al origen:
𝑷𝟎 = (𝟎; 𝒄)

12. Intersección recta y parábola
ቊ
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Significa resolver un sistema del tipo:
Objetivo: encontrar los
puntos que satisfacen ambas
ecuaciones, o sea, los puntos
que tienen en común ambas
funciones.
P1
P2

13. Intersección recta y parábola
ቊ
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Significa resolver un sistema del tipo:
1) Aplicar el método de igualación (o
cualquiera) para resolver el sistema:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑚𝑥 + 𝑏
2) Esto dará por resultado una
ecuación de segundo grado⇒ aplicar
fórmula resolvente
𝑎𝑥2 + 𝑏 − 𝑚 𝑥 + 𝑐 − 𝑏 = 0
P1
P2

14. Intersección recta y parábola
Al aplicar fórmula resolvente puede suceder:
𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄>0 ⇒ recta y parábola secantes (tienen en común DOS puntos)

15. Intersección recta y parábola
Al aplicar fórmula resolvente puede suceder:
𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄 =0 ⇒ recta y parábola tangentes (tienen en común UN punto)

16. Intersección recta y parábola
Al aplicar fórmula resolvente puede suceder:
𝒃𝟐
− 𝟒𝒂𝒄>0 ⇒ recta y parábola exteriores (NO tienen puntos en común)

17. Dominio e imagen de una función cuadrática.
Clasificación
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄
𝑉(𝑥𝑣; 𝑦𝑣)
Dm=
Im= ሾ𝑦𝑣; )
∞
𝑹
Inyectiva?
Suryectiva?
NO INYECTIVA
NO SURYECTIVA
x
y

18. Dominio e imagen de una función cuadrática.
Clasificación
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄
𝑉(𝑥𝑣; 𝑦𝑣)
Dm=
Im= (−∞; ሿ
𝑦𝑣
𝑹
Inyectiva?
Suryectiva?
NO INYECTIVA
NO SURYECTIVA
x
y

19. Función cúbica
Se llama función cúbica a la función polinómica de grado tres.
Es decir, una función cúbica tendrá una fórmula:
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅
𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ 𝑹 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎

20. • La gráfica de la función
cúbica es una parábola
cúbica.
FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica

21. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
Si a>0 Si a<0
• Si b=c=d=0 → la fórmula de la función es de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑
PASA POR EL ORIGEN

22. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
• Si 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑
± 𝒃 ⇒corta al eje y en ±𝒃

23. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙 + 𝒅
Dependiendo de los valores de a, b, c y d
puede tomar diversas formas, pero siempre
teniendo las siguientes características:
1) Una función cúbica puede tener tres,
dos o una raíz.

24. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙 + 𝒅
Dependiendo de los valores de a, b, c y d
puede tomar diversas formas, pero siempre
teniendo las siguientes características:
2) Dm=
Im=
R
R

25. FUNCIÓN CÚBICA: Gráfica
𝒇: 𝑹 → Τ
𝑹 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑
+ 𝒃𝒙𝟐
+ 𝒄𝒙 + 𝒅
Dependiendo de los valores de a, b, c y d
puede tomar diversas formas, pero siempre
teniendo las siguientes características:
3) Cortan al eje y en el punto P(0;d)

26. Clasificación de funciones
Funciones polinómicas
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”

27. Funciones racionales
→sus fórmulas están determinadas por el cociente de dos
polinomios 𝒇 𝒙 =
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son funciones polinómicas
El dominio de esta función son todos los números reales, excepto
aquellos en los cuales 𝑄(𝑥) sea cero.

28. Una función racional especial:
Función homográfica
f(x) =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
La gráfica es una hipérbola
Numerador y denominador son polinomios de primer grado
donde 𝒄 ≠ 𝟎 pues de no ser así la función se
convierte en lineal.
𝑐𝑥 + 𝑑 ≠ 0 ⟹ 𝑥 ≠
−𝑑
𝑐
𝑫𝒎𝒇 = 𝑹 −
−𝒅
𝒄
a, b, c y d reales
Dominio →el único valor real que no pertenece al
dominio es la raíz del denominador

29. Función homográfica: Características
f(x) =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
La gráfica es una hipérbola
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
Asíntota: rectas que, prolongadas
indefinidamente, se acercan
progresivamente a la curva de la
función sin llegar nunca a
encontrarla.

30. ⇒ Asíntota vertical → 𝑥 =
−𝑑
𝑐
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
Función homográfica: Características
Asíntota vertical
Se encuentra ubicada en el valor de x que hace cero el
denominador y no el numerador.
f(x) =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
Cuando 𝑥 →
−𝑑
𝑐
−
⇒ 𝑦 → −∞
Cuando 𝑥 →
−𝑑
𝑐
+
⇒ 𝑦 → ∞

31. Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
Función homográfica: Características
Asíntota horizontal
f(x) =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
Se encuentra ubicada en el valor de y que hacen 𝑥 → ∞
𝑦 =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
𝑦 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦𝑐𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏 − 𝑦𝑑
𝑥(𝑦𝑐 − 𝑎) = 𝑏 − 𝑦𝑑
𝑥 =
𝑏 − 𝑦𝑑
𝑦𝑐 − 𝑎
𝑥 → ∞ si 𝑦𝑐 − 𝑎 → 0 ⇒ y =
𝑎
𝑐
es asíntota horizontal

32. Función homográfica 𝒚 =
𝒂 𝒙 + 𝒃
𝒄 𝒙 + 𝒅
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
⇒ Asíntota vertical → 𝑥 =
−𝑑
𝑐
Asíntota horizontal → y =
𝑎
𝑐
Dm=𝑅 − −
𝑑
𝑐
Raíz de la función→ igualar a cero toda la función
Ordenada→ calcular f(0)
Dm=𝑅 −
−𝑑
𝑐
Im= 𝑅 −
𝑎
𝑐
Función homográfica

33. La función exponencial con base a esta definida para
todos los números reales x por:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
donde 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1
Funciones trascendentes: Función exponencial
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”

34. Funciones trascendentes: función exponencial
• Como 𝑎0
= 1, el punto de intersección
con el eje y de la función es 1.
• El eje x es una asíntota horizontal de
la función 𝑦 = 𝑎𝑥
porque 𝑎𝑥
→ ∞
cuando 𝑥 → 0
• La función crece más rápido
cuando mayor es la base.

35. Funciones trascendentes: función exponencial
Dominio funciones exponenciales:
Dm=R
Im=𝑅+
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”
∀𝑥𝜖𝑅: 𝑓(𝑥) > 0

36. Funciones trascendentes: función exponencial
Características:
• El dominio de la función es el conjunto de los números reales, esto es,
−∞; ∞ .
• La imagen de la función es el conjunto de los números reales positivos,
esto es, 0; ∞ .
• La intersección de la función con el eje x está en 0; 1 . La gráfica de la
función no tiene intersección con el eje x.
• La función es creciente para 𝑏 > 1 y decreciente para 0 < 𝑏 < 1.
• El eje x, esto es, y = 0, es asíntota horizontal de la gráfica de f.

37. Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1.
La función logarítmica con base a, denotada por
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙
Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
En símbolos: log ba = c  bc = a
b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1.
a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Ejemplo:
log2 16 = 4
log 216 = 4  24 = 16
Funciones trascendentes: Función logarítmica

38. Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1.
La función logarítmica con base a, denotada por
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙
Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
En símbolos: log ba = c  bc = a
b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1.
a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Ejemplo:
log3 27 = 3
log 3 27 = 3  33 = 27

39. Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1.
La función logarítmica con base a, denotada por
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙
Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
En símbolos: log ba = c  bc = a
b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1.
a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Ejemplo:
log2
1
4
= -2
log𝟐
𝟏
𝟒
= -2  2-2 =
𝟏
𝟒

40. Sea a un número positivo con 𝑎 ≠ 1.
La función logarítmica con base a, denotada por
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒂𝒚 = 𝒙
Por lo tanto log𝑎 𝑥 es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.
En símbolos: log ba = c  bc = a
b es la base del logaritmo y debe ser un número real positivo y distinto de 1.
a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Ejemplo:
log2
3
2 =
𝟏
𝟑
log𝟐
𝟑
𝟐 =
𝟏
𝟑
 𝟐
𝟏
𝟑 =
𝟑
𝟐
IMPORTANTE : Cuando escribimos “log x” sin especificar la base , sobreentendemos que esta es diez

41. Función logarítmica:
La función logaritmo es la función
inversa de la función exponencial
Funciones exponenciales:
Dm=R
Im=𝑅+
Funciones logarítmicas:
Dm= 𝑅+
Im=𝑅
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”

42. Función logarítmica:
Dm= 𝑅+
Im=R
• Como log𝑎 1 = 0, el punto de
intersección con el eje x de la
función es 1.
• El eje y es una asíntota vertical de
la función 𝑦 = log𝑎 𝑥 porque
log𝑎 𝑥 → −∞ cuando 𝑥 → 0
Funciones trascendentes: Función logarítmica

43. Función logarítmica:
Familia de funciones logarítmicas
La función crece más rápido
cuando menor es la base del
logaritmo
Funciones trascendentes: Función logarítmica
Imagen extraída de STEWART, James. “Precalculo. Matemática para el cálculo”

44. Funciones trascendentes: Función logarítmica
Características:
• El dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos,
esto es, 0; ∞
• La imagen de la función es el conjunto de los números reales, esto es,
−∞; ∞
• La intersección de la función con el eje x está en 1; 0 . La gráfica de la
función no tiene intersección con el eje y.
• La función es creciente para 𝑏 > 1 y decreciente para 0 < 𝑏 < 1.
• El eje y, esto es, 𝑥 = 0, es asíntota vertical de la gráfica de f.
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙

45. BIBLIOGRAFÍA
- Larson, Ron y otros. .”Cálculo esencial”. Ed. Cengage.. 2010. México.
- STEWART, James. “Precalculo. Matmática para el cálculo”. Ed. Cengage. 2012. Mexico.