Teoria de juegos

1. Estrategias Mixtas
En teoría de juegos una estrategia mixta, a veces también llamada estrategia
mezclada (del nombre en inglés mixed strategy), es una generalización de
las estrategias puras, usada para describir la selección aleatoria de entre varias
posibles estrategias puras, lo que determina siempre una distribución de
probabilidad sobre el vector de estrategias de cada jugador.
Una estrategia totalmente mixta es aquella en la que el jugador asigna una
probabilidad estrictamente positiva a cada estrategia pura. Las estrategias
totalmente mixtas son importantes para el refinamiento del equilibrio.

2. Ejemplo 1 – Estrategias Mixtas

3. Solución Ej. 1
En estrategias mixtas hay que hallar la función de pagos de cada jugador:
(q) (1-q)
(p)
(1-p)
Sacando factor común con la variable de decisión del jugador no. 1, tenemos:

4. Solución Ej. 1 (cont. …)
Lo representado entre corchetes va a obtenerlo el jugador nº 1
independientemente de cuál sea su elección – pues no depende de p –. El otro
sumando es el que nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima
en función de lo que haga el otro.
Fácilmente se puede apreciar que si q=2/7, el valor del paréntesis es cero, por
lo que el jugador nº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no
influirá en el pago que va a recibir.
En otras palabras, si el jugador nº 2 opta por la estrategia X con probabilidad
2/7 y por la estrategia Y con probabilidad 5/7, el jugador nº 1 obtendrá el
mismo pago utilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier
combinación lineal de ambas.

5. Solución Ej. 1 (cont. …)
Por otro lado, si q tiene un valor inferior a 2/7, el valor del paréntesis será
positivo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar
a p el valor más alto posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de
una probabilidad, p debe valer 1.
Finalmente, si q tiene un valor superior a 2/7, el valor del paréntesis será
negativo, por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de
dar a p el valor más bajo posible, es decir, tratándose como ocurre en este
caso de una probabilidad, p debe valer 0.

6. Solución Ej. 1 (cont. …)
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1
que nos indica cuál es el p óptimo (p*), en función del valor de q.

7. Solución Ej. 1
Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será:
Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 2, tenemos:
(q) (1-q)
(p)
(1-p)

8. Solución Ej. 1
Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre
corchetes va a obtenerlo el jugador nº 2 independientemente de cuál sea su
elección – pues no depende de q –. El otro sumando es el que nos va a
interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo que haga
el otro jugador.
Fácilmente se puede apreciar que, sea cual sea el valor de p, el valor del
paréntesis es positivo – dado que p es una probabilidad y por tanto su valor
está comprendido entre cero y uno –, por lo que el jugador nº 2, si pretende
maximizar su pago, habrá de dar a q el valor más alto posible, es decir,
tratándose como en este caso de una probabilidad, q debe valer 1.

9. Solución Ej. 1 (cont. …)
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2
que nos indica cuál es el q óptimo (q*), en función del valor de p.

10. Solución Ej. 1 (cont. …)
Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada
individuo, que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno de ellos
ante lo que haga el otro, obtendremos, allí donde coincidan, los Equilibrios de
Nash.
En este caso, el único Equilibrio de Nash en
estrategias mixtas es aquel en el que el
jugador nº 1 utiliza la estrategia B con
probabilidad 1 y el jugador nº 2 emplea la
estrategia X con probabilidad 1; es el Equilibrio
de Nash que ya habíamos calculado en
estrategias puras, y no hay ninguno más.

11. Ejemplo 2 – Estrategias Mixtas

12. Solución Ej. 2
Puede ocurrir, no obstante, que exista algún otro Equilibrio de Nash en estrategias mixtas.
Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 1, tenemos:
(q) (1-q)
(p)
(1-p)

13. Solución Ej. 2 (cont. …)
Como se puede apreciar, si q = 1/3, el valor del paréntesis es cero, por lo que el
jugador nº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no influirá en el
pago que va a recibir. Dicho de otro modo, si el jugador nº 2 opta por la estrategia
X con probabilidad 1/3 y por la estrategia Y con probabilidad 2/3, el jugador nº 1
obtendrá el mismo pago utilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier
combinación lineal de ambas.
Por otro lado, si q tiene un valor inferior a 1/3, el valor del paréntesis será positivo,
por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor
más alto posible, es decir, tratándose de una probabilidad, p debe valer 1.
Finalmente, si q tiene un valor superior a 1/3, el valor del paréntesis será negativo,
por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor
más bajo posible, es decir, tratándose de una probabilidad, p deberá valer 0.

14. Solución Ej. 2 (cont. …)
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1
que nos indica cuál es el p óptimo (p*), en función del valor de q.

15. Solución Ej. 2
Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será:
Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 2, tenemos:
(q) (1-q)
(p)
(1-p)

16. Solución Ej. 2
Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre
corchetes va a obtenerlo el jugador nº 2 independientemente de cuál sea su
elección – pues no depende de q –. El otro sumando es el que, por tanto, nos
va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo que
haga el otro jugador.
Fácilmente se puede apreciar que si p es 2/3, el valor del paréntesis será cero,
por lo que el jugador nº 2 estará indiferente por el valor de q, dado que
siempre obtendrá el mismo pago sea cual sea éste. Si p es menor de 2/3 el
valor del paréntesis será positivo, por lo que lo óptimo para el jugador nº 2 será
otorgar a q el valor 1 (es decir, utilizar la estrategia X), mientras que si p es
mayor de 2/3, dado que el valor del paréntesis será negativo, debería utilizar la
estrategia Y (o lo que es lo mismo, dar a q el valor cero).

17. Solución Ej. 2 (cont. …)
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2
que nos indica cuál es el q óptimo (q*), en función del valor de p.

18. Solución Ej. 2 (cont. …)
Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada uno
de los dos individuos, que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno
de ellos ante cualquier estrategia que pueda seguir el otro, obtendremos, allí
donde coincidan, los Equilibrios de Nash.
En este caso, aparecen tres Equilibrios de Nash
en estrategias mixtas, que son los dos que ya
conocíamos en estrategias puras y uno
adicional. Éste es aquel en el que el jugador nº
1 utiliza la estrategia A con probabilidad 2/3 y
la estrategia B, con probabilidad 1/3, y el
jugador nº 2 emplea la estrategia X con
probabilidad 1/3 y la estrategia Y con
probabilidad 2/3:

19. Solución Ej. 2 (cont. …)
El E.N. que figura en la parte superior izquierda del gráfico es en el que
p vale cero y el valor de q es 1; es decir, (B, X). El de la parte inferior
derecha se produce para los valores de uno y cero p y de q,
respectivamente, por lo que se trata del E.N. ( A, Y).

20. L R
T 2,1 0,2
B 1,2 3,0
Jugador
N
o
.
1 Jugador No. 2

21. Estrategias Mixtas
u(T/q) = 2q + 0(1-q) = 2q
u(B/q) = 1q + 3(1-q) = q+3-3q = -2q+3
2q >-2q+3, 4q>3, q>3/4
Si la probabilidad de que J2 elija L es >3/4 entonces, el J1 eligirá T
Si la probabilidad de que J2 elija L es <3/4 entonces, el J1 eligirá B
u(L/p) = 1p + 2(1-p) = p+2 – 2p = -p + 2
u(R/p) = 2p + 0(1-p) = 2p
P+2>2p, 2>3p, 3p<2, p<2/3
Si la probabilidad de que J1 elija T es <2/3 entonces, el J2 eligirá L
Si la probabilidad de que J1 elija B es >2/3 entonces, el J2 eligirá R
ENEM = 2/3T+1/3B, 3/4L+1/4R

23. Nadal vs. Federer Cálculo del EN
1.- Sea q la probabilidad con la que Federer juega I (izquierda),
veamos qué prefiere Nadal:
uNADAL(I/q) = 0.5q + 0.9(1−q) = 0.9 − 0.4q
uNADAL(D/q) = 0.7q + 0.5(1−q) = 0.5 + 0.2q
Para que Nadal esté indeciso, debemos tener:
0.9 − 0.4q > 0.5 + 0.2q
q = 2/3

24. Nadal vs. Federer Cálculo del EN
Sea p la probabilidad con la que Nadal juega I, veamos qué prefiere Federer:
uFEDERER(I/p) = 0.5p + 0.3(1−p) = 0.3 + 0.2q
uFEDERER(D/p) = 0.1p + 0.5(1−p) = 0.5 − 0.4p
Para que Federer esté indeciso, debemos tener:
0.3 + 0.2p > 0.5 − 0.4p p = 1/3
Escribiremos así el equilibrio:
E.N.E.M:

25. Nadal vs. Federer
La Función “mejor respuesta”
La función mejor respuesta de Nadal nos debe decir cuál es su mejor
estrategia para cada posible estrategia mixta de Federer:
De igual manera calculamos la MR para Federer:

26. Nadal vs. Federer
La Función “mejor respuesta”

27. Juego del Gallina
En la película ‘Rebelde sin causa’, James Dean participa en el ‘juego del gallina’
con otro adolescente:
Cada uno conduce a toda velocidad un coche hacia un acantilado; el primero
que salta de su coche es un ‘gallina’. Suponga que los dos prefieren ser el último
en saltar, pero también saltar primero a no saltar, para así evitar despeñarse. En
tal caso, podemos representar el juego en forma estratégica como (nota: Que
los dos salten ‘los últimos’ se interpreta como que ninguno salta; que los dos
salten ‘los primeros’ significa que los dos saltan al mismo tiempo):

28. Halle los equilibrios de Nash en estrategias mixtas
La utilidad esperada del jugador 1 (fila) es:

29. Halle los equilibrios de Nash en estrategias mixtas
La utilidad esperada del jugador 2 (columna) es:

30. La Función “mejor respuesta” de ambos

31. Ejercicios Estrategias Mixtas 1
Jugador
N
o
.
1
Jugador No. 2

32. Ejercicios Estrategias Mixtas 2
Jugador
N
o
.
1
Jugador No. 2

33. Solución Ej. 1
En estrategias mixtas hay que hallar la función de pagos de cada jugador, y
desarrollar el ejercicio de la manera siguiente:
Jugador
N
o
.
1
Jugador No. 2